平行四边形部分测试题

一、选择题(每小题3分,共36分)1.已知一个正多边形的一个外角为36°,则这个正多边形的边数是( D )A.7B.8C.9D.102.如图所示,▱ABCD的对角线交于点O,且AB=5,△OCD的周长为23,则▱ABCD的两条对角线的和是( C )第2题图A.18B.28C.36D.463.顺次连接平面上A,B,C,D四点得到一个四边形,从①AB∥CD;②BC=AD;③∠A=∠C;④∠B=∠D中任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有( C )A.5种B.4种C.3种D.1种4.如图所示,E是▱ABCD的边AD延长线上一点,连接BE,CE,BD,BE交CD于点F.添加以下条件,不能判定四边形BCED为平行四边形的是( C )第4题图A.∠ABD=∠DCEB.DF=CFC.∠AEB=∠BCDD.∠AEC=∠CBD5.如图所示,▱ABCD的对角线AC的长为10 cm,∠CAB=30°,AB的长为6 cm,那么▱ABCD的面积为( B )第5题图A.60 cm2B.30 cm2C.20 cm2D.16 cm26.如图所示,点D,E 分别是△ABC 的边AB,AC 的中点,求证:DE ∥BC,且DE=12BC.第6题图证明:延长DE 到点F,使EF=DE,连接FC,DC,AF,又∵AE=EC,∴四边形ADCF 是平行四边形.以下是排序错误的证明过程:①∴DF BC;②∴CF AD,即CF BD;③∴四边形DBCF 是平行四边形;④∴DE ∥BC,且DE=12BC.则正确的证明顺序应是( A )A.②→③→①→④B.②→①→③→④C.①→③→④→②D.①→③→②→④7.如图所示,在△ABC 中,D,E,F 分别是BC,AC,AD 的中点,若△ABC 的面积是40,则四边形BDEF 的面积是( C )第7题图A.10B.12.5C.15D.208.如图所示,将正六边形与正五边形按如图所示方式摆放,公共顶点为O,且正六边形的边AB 与正五边形的边DE 在同一条直线上,则∠COF 的度数是( C )第8题图A.74°B.76°C.84°D.86° 9.如图所示,在▱ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,BD=2AD,E,F,G 分别是OC,OD,AB 的中点,有下列结论:①BE ⊥AC;②四边形BEFG 是平行四边形;③EG=GF;④EA 平分∠GEF.其中正确的是( B )第9题图A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④10.如图所示,在平行四边形ABCD中,∠B=60°,AB⊥AC,AC的垂直平分线交AD于点E,△CDE的周长是15,则平行四边形ABCD的面积为( D )第10题图A.25√32B.40C.50D.25√311.如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=6 cm,AD=10 cm,点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动,点Q在BC边上,以每秒 4 cm 的速度从点C出发,在CB间往返运动,两个点同时出发,当点P到达点D时停止运动(同时点Q也停止运动),在运动以后,以P,D,Q,B四点为顶点组成的四边形为平行四边形的有( C )第11题图A.1次B.2次C.3次D.4次12.(2021嘉兴)如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=5,点D在AC上,且AD=2,点E是AB上的动点,连接DE,点F,G分别是BC和DE的中点,连接AG,FG,当AG=FG时,线段DE的长为( A )第12题图A.√13B.5√22C.√412D.4二、填空题(每小题3分,共18分)13.一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°,则该多边形的对角线有14 条.14.(2020金华)如图所示,平移图形M与图形N可以拼成一个平行四边形,则图中α的度数是30°.第14题图15.(2021临沂)在平面直角坐标系中,▱ABCD的对称中心是坐标原点,顶点A,B的坐标分别是(-1,1),(2,1),将▱ABCD沿x轴向右平移3个单位长度,则顶点C的对应点的坐标是(4,-1) .16.如图所示,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小聪想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长.一位同学帮他想了一个主意:先在地上取一个可以直接到达A,B两点的点C,找到AC,BC的中点D,E.若测得DE的长为8 m,则A,B两点间的距离为16 m.第16题图17.如图所示,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BC,垂足为.E,AB=2,BD=4√2,AC=4,则AE的长为4√55第17题图18.(2020天津)如图所示,▱ABCD的顶点C在等边三角形BEF的边BF 上,点E在AB的延长线上,G为DE的中点,连接CG.若AD=3,AB=CF=2,则CG的长为 1.5 .第18题图三、解答题(共46分)19.(6分)请根据下面x与y的对话解答下列各小题.x:我和y都是多边形,我们俩的内角和相加的结果为1 440°.y:x的边数与我的边数之比为1∶3.(1)求x与y的外角和相加的度数;(2)分别求出x与y的边数;(3)试求出y共有多少条对角线.解:(1)360°+360°=720°.(2)设x的边数为n,则y的边数为3n.由题意,得180×(n-2)+180×(3n-2)=1 440,解得n=3,∴3n=9,∴x与y的边数分别为3和9.(3)∵12×9×(9-3)=27,∴y共有27条对角线.20.(8分)如图所示,在四边形ABCD中,AD=BC,点O是对角线AC的中点,点E是BC边上一点,连接EO并延长交AD于点F,交BA的延长线于点G,且OE=OF.(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;(2)若∠D=63°,∠G=42°,求∠GEC的度数.(1)证明:∵点O是对角线AC的中点,∴OA=OC.在△AOF和△COE中,{OA=OC,∠AOF=∠COE, OF=OE,∴△AOF≌△COE(SAS),∴∠OAF=∠OCE,∴AD∥BC.又∵AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.(2)解:由(1),得四边形ABCD是平行四边形,∴∠B=∠D=63°,∴∠GEC=∠B+∠G=63°+42°=105°.21.(10分)如图所示,点B,E分别在AC,DF上,AF分别交BD,CE于点M,N,∠A=∠F,∠C=∠D.(1)求证:四边形BCED是平行四边形;(2)已知DE=3,连接BN,若BN平分∠DBC,求CN的长.(1)证明:∵∠A=∠F,∴DF∥AC,∴∠C=∠FEC.又∵∠C=∠D,∴∠FEC=∠D,∴DB∥EC,∴四边形BCED 是平行四边形.(2)解:∵BN 平分∠DBC,∴∠DBN=∠CBN.∵BD ∥EC,∴∠DBN=∠BNC,∴∠CBN=∠BNC,∴CN=BC.又∵BC=DE=3,∴CN=3.22.(10分)如图所示,在四边形ABCD 中,对角线AC,BD 交于点O,E,F 分别是AB,CD 的中点,且AC=BD.求证:OM=ON.证明:如图所示,取AD 的中点G,连接EG,FG.∵G,F 分别为AD,CD 的中点,∴GF 是△ACD 的中位线,∴GF=12AC,GF ∥AC. 同理,得GE=12BD,GE ∥BD.∵AC=BD,∴GF=GE,∴∠GFN=∠GEM.又∵EG ∥OM,FG ∥ON,∴∠OMN=∠GEM,∠GFN=∠ONM,∴∠OMN=∠ONM,∴OM=ON.23.(12分)分别以▱ABCD(∠CDA ≠90°)的三边AB,CD,DA 为斜边作等腰直角三角形△ABE,△CDG,△ADF.(1)如图①所示,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时,连接GF,EF.请判断GF 与EF 的关系.(只写结论,不需证明)(2)如图②所示,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时,连接GF,EF,(1)中结论还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,说明 理由.解:(1)GF⊥EF,GF=EF.(2)GF⊥EF,GF=EF成立.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥DC,∴∠DAB+∠ADC=180°.∵△ABE,△CDG,△ADF都是等腰直角三角形,∴DG=CG=AE=BE,DF=AF,∠CDG=∠ADF=∠BAE=∠DAF=45°, ∴∠BAE+∠DAF+∠EAF+∠ADF+∠FDC=180°,∴∠EAF+∠CDF=45°.∵∠CDF+∠GDF=45°,∴∠FDG=∠EAF,∴△GDF≌△EAF(SAS),∴EF=FG,∠EFA=∠DFG,∴∠EFA+∠GFA=∠GFD+∠GFA=90°,∴∠GFE=90°,∴GF⊥EF,GF=EF.。

【精选】人教版八年级下册数学第十八章《平行四边形》测试卷（含答案）一、选择题(每题3分，共30分)1．已知在▱ABCD中，∠B＋∠D＝200°，则∠B的度数为( ) A．100° B．160° C．80° D．60°2．【2022·广东】如图，在△ABC中，BC＝4，点D，E分别为AB，AC的中点，则DE＝( )A.14B.12C．1 D．2(第2题) (第4题) (第5题) (第8题) 3．【2022·河北】依据所标数据，下列一定为平行四边形的是( )4．【教材P44例2改编】【2021·恩施州】如图，在▱ABCD中，AB＝13，AD＝5，AC ⊥BC，则▱ABCD的面积为( )A．30 B．60 C．65 D.65 25．【教材P53例1改编】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠AOB ＝60°，AB＝5，则BD的长为( )A．20 B．15 C．10 D．56．【2021·河南】关于菱形的性质，以下说法不正确．．．的是( )A．四条边相等 B．对角线相等C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形7．下列命题中，是真命题的为( )A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．一组邻边相等的矩形是正方形8．如图，已知在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是( )A．16 3 B．16 C．8 3 D．89．【2022·青岛】如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE的长度为( )A.62B. 6 C．2 2 D．2 3(第9题) (第10题) (第11题) (第13题)10．【教材P68复习题T13拓展】【2022·恩施州】如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t(单位：s)，下列结论正确的是( )A．当t＝4时，四边形ABMP为矩形B．当t＝5时，四边形CDPM为平行四边形C．当CD＝PM时，t＝4D．当CD＝PM时，t＝4或6二、填空题(每题3分，共24分)11．如图，在▱ABCD中，AB＝5，AC＝8，BD＝12，则△COD的周长是________．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则斜边上的中线CD＝________. 13．【2021·益阳】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC ＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是________(限填序号)．14．如图，平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，1)，D(2，3)，要把顶点A平移到顶点C的位置，则其平移方式可以是：先向右平移________个单位长度，再向上平移________个单位长度．(第14题) (第15题) (第16题) (第17题) 15．【2022·哈尔滨】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.点E在OB 上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF.若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为________．16．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，AE＝AD，DF⊥AE于点F，连接DE，AE＝5，BE＝4，则DF＝________.17．【2022·苏州】如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC, AB＝3, AC＝4，分别以A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF.则四边形AECF的周长为________．18．以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE，则∠BEC的度数是____________．三、解答题(19，20题每题8分，21，22题每题12分，其余每题13分，共66分)19．【2022·桂林】如图，在▱ABCD中，点E和点F是对角线BD上的两点，且BF ＝DE.(1)求证：BE＝DF；(2)求证：△ABE≌△CDF.20．【2021·郴州】如图，四边形ABCD中，AB＝DC，将对角线AC向两端分别延长至点E，F，使AE＝CF, 连接BE，DF.若BE＝DF，证明：四边形ABCD是平行四边形．21．【教材P55练习T2改编】【2021·长沙】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4.(1)求证：▱ABCD是矩形；(2)求AD的长．22．【2021·十堰】如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，连接AE，CF.(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．23．如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF.(1)求证：AE＝BF；(2)若正方形的边长是5，BE＝2，求AF的长．24．【2022·北京八中模拟】在▱ABCD中，AB≠AD，对角线AC，BD交于点O，AC ＝10，BD＝16.点M，N在对角线BD上，点M从点B出发以每秒1个单位长度的速度向点D运动，到达点D时停止运动，同时点N从点D出发，运动至点B后立即返回，点M停止运动的同时，点N也停止运动，设运动时间为t 秒(t＞0)．。

在△BCE 与△BAG 中，
，
∴△BCE≌△BAG（SAS）， ∴∠CBE＝∠ABG，BE＝BG， ∵∠EBF＝45°， ∴∠GBF＝45°，
在△FBE 与△FBG 中，
，
∴△FBE≌△FBG（SAS）， ∴FG＝EF＝5， ∴AF＝3， 设正方形 ABCD 的边长为 x， ∴DE＝x﹣2，DF＝x﹣3， ∴（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52， 解得：x＝6，（负值舍去）， ∴正方形 ABCD 的边长为 6， 故选：B．
A．90°
B．60°
C．45°
D．135°
2．如图，点 A、B 在直线 l1 上，点 C、D 在直线 l2 上，l1∥l2，CA⊥l1，BD⊥l2，AC＝3cm， 则 BD 等于（ ）cm．
A．1
B．2
C．3
D．4
3．如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AD＝DB，CD＝4，则 AB 等于（ ）
A．8
成为一个矩形．你添加的条件是
．
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不要因为长期埋头科学，而失去对生活、对美、对待诗意的感受能力。——达尔 文
16．菱形周长为 40cm，它的一条对角线长 12cm，则菱形的面积为
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cm2．
17．已知：如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，D、E、F 分别是 AC、AB、BC 的中点，若
CE＝8，则 DF 的长是
∵EF 是 AC 的垂直平分线， ∴OA＝OC，AE＝CE， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠B＝90°，AD∥BC， ∴∠OAF＝∠OCE， 在△AOF 和△COE 中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴AF＝CE＝6， ∴AE＝CE＝6，BC＝BE+CE＝4+6＝10，

第18章平行四边形达标测试卷一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分)1．在▱ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是()A．1 ∶2 ∶3 ∶4 B．1 ∶2 ∶1 ∶2C．1 ∶1 ∶2 ∶2 D．1 ∶2 ∶2 ∶12．将一副三角板在平行四边形ABCD中按如图摆放，则∠α＝() A．55°B．65°C．75°D．85°(第2题) (第3题) (第4题)3．如图，在四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，DE＝CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是()A．AD＝BC B．AB＝CDC．CE＝BC D．∠A＝∠D4．如图，▱ABCD的周长为32，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AB，△BCO 的周长比△ABO的周长长4，则BO的长为()A.52B.13 C．4 D．55．如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P从左向右运动时，△PCD的面积将()A．变大B．变小C．不变D．无法确定(第5题) (第6题) (第7题)6．如图，在▱ABCD 中，∠BDC ＝47°42′，依据尺规作图的痕迹，计算∠α的度数是( ) A ．67°29′B ．67°9′C ．66°29′D ．66°9′7．如图，在▱ABCD 中，将△ADC 沿AC 折叠后，点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处．若∠B ＝60°，AB ＝3，则△ADE 的周长为( ) A ．12B ．15C ．18D ．218．平移、旋转与轴对称都是图形之间的一些主要变换，为了得到▱ABCD (如图)，下列说法错误的是( )A ．将线段AB 沿BC 的方向平移至DC ，连结BC ，AD 可以得到▱ABCD B ．将△ABC 绕边AC 的中点O 旋转180°可以得到▱ABCDC ．将△AOB 绕点O 旋转180°得到△COD ，连结BC ，AD 可以得到▱ABCD D ．将△ABC 沿AC 翻折可以得到▱ABCD9．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的顶点A ，B ，C 的坐标分别是(1，0)、()6，0、()8，5，则顶点D 的坐标是( ) A ．(5，5)B ．(5，3)C ．(2，5)D ．(3，5)(第8题) (第9题) (第10题)10．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是边CD 上一点，且BC ＝EC ，CF ⊥BE 交AB 于点F ，P 是EB 延长线上一点，下列结论：①BE 平分∠CBF ；②CF 平分∠DCB ；③BC ＝FB ；④PF ＝PC ，其中正确结论的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分)11．在四边形ABCD 中，(1)若AB ＝3，BC ＝4，CD ＝3，要使该四边形是平行四边形，则AD ＝________；(2)若∠A ＝60°，∠B ＝120°，则当∠D ＝________时，四边形ABCD 是平行四边形．12．如图，在▱ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，BD ＝20，BE ＝7，AE＝4，则AC的长等于________．(第12题)(第13题)13．如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1处，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D1AD＝________．14．如图，在▱ABCD中，∠ADC＝119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE 与DF交于点H，则∠BHF＝________.15．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC＝4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为________．(第14题)(第15题)16．在平面直角坐标系中，有A(2，5)，B(5，1)，C(m，－m)，D(m－3，－m＋4)四个点，当四边形ABCD的周长最小时，m的值为________．三、解答题(本题共6小题，共70分)17．(8分)如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD＝12，BD＝10，AC＝26.(1)求△ADO的周长；(2)求证：△ADO是直角三角形．3(第17题)18.(10分)已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE，BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线，分别交AB，CD于点E，F，连结BD，EF.求证：BD，EF互相平分．(第18题) 19．(12分)如图，在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连结GE，EH，HF，FG.求证：四边形GEHF是平行四边形．(第19题)20．(12分)如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝∠CBD＝90°，BE∥CD交AD于点E，且EA＝EB.若AB＝80，DB＝4.求四边形ABCD的面积．(第20题)21．(14分)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝ 2 cm，BC＝12 cm，∠B＝45°，5点P在边BC上，由点B向点C运动，速度为2 cm/s，点Q在边AD上，与点P同时出发，由点D向点A运动，速度为1 cm/s，连结PQ，设运动时间为t s.(1)当t为何值时，四边形ABPQ为平行四边形？(2)设四边形ABPQ的面积为y cm2，请用含有t的代数式表示y；(不必写出t的取值范围)(3)当点P运动至何处时，四边形ABPQ的面积是▱ABCD面积的34(第21题)22．(14分)在▱ABCD中，点P和点Q是直线BD上不重合的两个动点，AP∥CQ，AD＝BD.(第22题)(1)如图①，求证：BP＝DQ；(2)由图①易得BP＋BQ＝BC，请分别写出图②，图③中BP，BQ，BC三者之间的数量关系，并选择一个关系进行证明；(3)在(1)和(2)的条件下，若DQ＝1，DP＝3，请直接写出BC的长．7答案一、1.B 2.C 3.A 4.A 5.C 6.D7.C8.D9.D 10．D二、11.(1)4(2)120°12.1013.55°14.61°15．616.2三、17.(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD.∵AC＝26，BD＝10，∴OA＝13，OD＝5.∵AD＝12，∴△ADO的周长＝5＋12＋13＝30.(2)证明：由(1)知OA＝13，OD＝5，AD＝12，∴在△AOD中，AD2＋DO2＝122＋52＝169，AO2＝132＝169，∴AD2＋DO2＝AO2，∴△AOD是直角三角形．18．证明：∵DE，BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线，∴∠ADE＝∠CDE，∠CBF＝∠ABF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC.∴∠AED＝∠CDE，∠CFB＝∠ABF.∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF.∴AE＝AD，CF＝CB.∴AE＝CF.∴AB－AE＝CD－CF，即BE＝DF.∵DF∥BE，∴四边形DEBF是平行四边形．∴BD，EF互相平分．19．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∴∠GBE＝∠HDF.∵AG＝CH，∴AB＋AG＝CD＋CH，即BG＝DH.又∵BE＝DF，∴△GBE≌△HDF.∴GE＝HF，∠GEB＝∠HFD.∴∠GEF＝∠HFE.∴GE∥HF.∴四边形GEHF是平行四边形．20．解：∵∠ADB＝∠CBD＝90°，∴DE∥CB.9 ∵BE ∥CD ，∴四边形BEDC 是平行四边形． ∴BC ＝DE .在Rt △ABD 中，由勾股定理得AD ＝AB 2－DB 2＝（80）2－42＝8. 设DE ＝x ，则EA ＝8－x ，∴EB ＝EA ＝8－x . 在Rt △BDE 中，由勾股定理得 DE 2＋DB 2＝EB 2， ∴x 2＋42＝(8－x )2.解得x ＝3.∴BC ＝DE ＝3，∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BDC ＝12AD ·DB ＋12DB ·BC ＝16＋6＝22.21．解：(1)由已知可得BP ＝2t cm ，DQ ＝t cm ，AD ＝BC ＝12 cm ，∴AQ ＝(12－t )cm.∵四边形ABPQ 为平行四边形， ∴BP ＝AQ ，即12－t ＝2t ，∴t ＝4， ∴当t ＝4时，四边形ABPQ 为平行四边形． (2)过点A 作AE ⊥BC 于点E .在Rt △ABE 中，∠AEB ＝90°，∠B ＝45°，∴AE ＝BE . 由勾股定理可知AB 2＝AE 2＋BE 2，∴AE ＝1 cm. ∴S 四边形ABPQ ＝12(BP ＋AQ )·AE ＝12(12＋t )cm 2， 即y ＝12(12＋t )＝12t ＋6.(3)S ▱ABCD ＝1×12＝12(cm 2)．由题意得34×12＝12t ＋6，∴t ＝6.∴BP ＝2×6＝12(cm)．此时BP ＝BC ，∴当点P 运动至点C 处时，四边形ABPQ 的面积是▱ABCD 面积的34.22．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴∠ADB ＝∠CBD . ∵AP ∥CQ ，∴∠APQ ＝∠CQB .∴△ADP ≌△CBQ . ∴DP ＝BQ .∴BQ －PQ ＝PD －PQ ，即BP ＝DQ . (2)解：图②：BQ －BP ＝BC ，证明： ∵AP ∥CQ ，∴∠APB ＝∠CQD .∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB.∴∠ABP＝∠CDQ. ∵AB＝CD，∴△ABP≌△CDQ.∴BP＝DQ.∴BC＝AD＝BD＝BQ－DQ＝BQ－BP. 图③：BP－BQ＝BC，证明略．(3)解：BC＝2或4.。