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高中数学优质学案 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)

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3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)学习目标1.掌握两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的化简、求值、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．知识点一两角和的余弦公式记忆口决：“余余正正，符号相反”．知识点二两角和与差的正弦公式记忆口诀：“正余余正，符号相同”．1．不存在角α，β，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β.( × ) 提示 如α＝β＝0，cos(α＋β)＝cos 0＝1，cos αcos β＋sin αsin β＝1. 2．任意角α，β，都有sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.( √ ) 提示 由两角和的正弦公式知结论正确．3．存在角α，β，使sin(α－β)≠sin αcos β－cos αsin β.( × )提示 由两角差的正弦公式知不存在角α，β，使sin(α－β)≠sin αcos β－cos αsin β. 4．存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin αcos β－cos αsin β.( √ ) 提示 如α＝β＝0时，sin(α＋β)＝0，sin αcos β－cos αsin β＝0.题型一 给角求值例1 (1)已知角α的终边经过点(－3,4)，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( ) A.25 B ．－25 C.210 D ．－210[考点] 两角和与差的正弦公式 [题点] 利用两角和与差的正弦公式求值 [答案] C[解析] 因为角α的终边经过点(－3,4)， 则sin α＝45，cos α＝－35，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝45×22－35×22＝210. (2)计算：sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°.[考点] 两角和与差的正弦公式[题点] 利用两角和与差的正弦公式化简求值 解 原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°) ＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16° ＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12.反思感悟 解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子，分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式． 跟踪训练1 (1)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.12[考点] 两角和与差的正弦公式[题点] 利用两角和与差的正弦公式化简求值 [答案] D[解析] 原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.(2)若已知角α的终边经过点(－5,12)，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝ . [考点] 两角和的余弦公式 [题点] 两角和的余弦公式 [答案] －53＋1226[解析] 因为cos α＝－513，sin α＝1213，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos αcos π6－sin αsin π6 ＝－513×32－1213×12＝－53＋1226.题型二 给值求值例2 已知sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)． [考点] 两角和的余弦公式[题点] 两角和的余弦公式 解 ∵0<α<π4<β<3π4，∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0. 又∵sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝－1213，sin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝－45. ∴cos(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β－cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β ＝513×35－⎝⎛⎭⎫－1213×⎝⎛⎭⎫－45＝－3365. 反思感悟 (1)给值(式)求值的策略①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解．跟踪训练2 (2018·黑龙江哈尔滨第六中学高二期中)在△ABC 中，sin A ＝35，cos B ＝513，则cos C 等于( ) A.1665或5665 B ．－1665或－5665C ．－1665D.1665[考点] 两角和的余弦公式 [题点] 两角和的余弦公式 [答案] D[解析] 依题意得sin B ＝1213，sin B >sin A ，∴B >A ，∴A 为锐角．又∵sin A ＝35，∴cos A ＝45.∴cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－45×513＋35×1213＝1665，故选D.两角和与差的正弦公式应用典例 定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ a b c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β＝ .[考点] 两角和与差的正弦公式[题点] 两角和与差的正弦公式的综合应用 [答案] π3[解析] 由题意，得sin αcos β－cos αsin β＝3314，∴sin(α－β)＝3314.∵0<β<α<π2，∴cos(α－β)＝1－27196 ＝1314. 又由cos α＝17，得sin α＝437.∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12，∴β＝π3.[素养评析] (1)题中定义了一种新运算法则，解题时要先理解法则然后运算求解． (2)理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，体现了数学运算的核心素养.1．sin 7°cos 37°－sin 83°sin 37°的值为( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32[考点] 两角和与差的正弦公式 [题点] 利用两角和与差的正弦公式求值 [答案] B[解析] 原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°＝sin(－30°)＝－sin 30°＝－12.2．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若sin α＝35，则2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.725 B.15 C.25 D ．2[考点] 两角和与差的正弦公式 [题点] 利用两角和与差的正弦公式求值 [答案] A[解析] 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，α是第一象限内的角，根据sin 2α＋cos 2α＝1，其中sin α>0，cos α>0，可得cos α＝45，又根据两角和的正弦公式得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋sin π4cos α＝22sin α＋22cos α＝22×35＋22×45＝7210， 所以2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝725. 3．sinπ12－3cos π12＝ . [考点] 两角和与差的正弦公式 [题点] 利用两角和与差的正弦公式求值 [答案] － 2[解析] 原式＝2⎝⎛⎭⎫12sin π12－32cos π12＝2⎝⎛⎭⎫cos π3sin π12－sin π3cos π12 ＝2⎝⎛⎭⎫sin π12cos π3－cos π12sin π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π12－π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－ 2. 4．已知sin α＝－35，α是第四象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝ . [考点] 两角和与差的正弦公式 [题点] 利用两角和与差的正弦公式求值 [答案]72105．已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2.求： (1)cos(2α－β)的值； (2)β的值．[考点] 两角和与差的正弦公式 [题点] 利用两角和与差的正弦公式求角 解 (1)因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，又sin(α－β)＝1010>0， 所以0<α－β<π2，由题意得，sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010， cos(2α－β)＝cos [α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. (2)cos β＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝55×31010＋255×1010＝22， 又因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4.1．公式的推导和记忆 (1)理顺公式间的逻辑关系C (α－β)――――→以－β代换βC (α＋β)―――→诱导公式S (α＋β)――――→以－β代换βS (α－β)． (2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式C (α－β)，C (α＋β)可记为“同名相乘，符号反”； 对于公式S (α－β)，S (α＋β)可记为“异名相乘，符号同”．(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C (α－β)，C (α＋β)，S (α－β)，且公式sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，角α，β的“地位”不同也要特别注意． 2．应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin 2α＋cos 2α，1＝sin 90°，12＝cos 60°，32＝sin 60°等，再如：0，12，22，32等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数．。

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3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)


换元
换为
2
S : sin( ) sin cos cos sin
cos(
)
sin
2
探究：如何由余弦公式推出正弦公式
C : cos( ) cos cos sin sin 换元 Nhomakorabea换为
2
S : sin( ) sin cos cos sin
cos( ) sin
tan sin cos
P144 例3
练习：
P146 练习 1，2，3，4
小结
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
2
你能想出其他方法吗？
探究：如何由余弦公式推出正弦公式
S : sin( ) sin cos cos sin
换元
换为
S : sin( ) sin cos cos sin
探究：正切和差公式
T :
tan( ) tan tan 1 tan tan
T :
tan( ) tan tan 1 tan tan
3
2
4
解：Q sin 2 , ( , 3 ) cos 5
3
2
3
Q cos 3 , IV
4
sin 7
4
cos( ) cos cos sin sin
3 (
5 ) ( 2)(
7 )
43
3
4
2 73 5 12
探究：如何由余弦公式推出正弦公式
C : cos( ) cos cos sin sin
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)


sin ( ) sin[ ()] sin cos() cos sin() sin cos cos sin .
两角差的正弦公式
sin ( ) sin cos cos sin
简记： S
( )
异名积，符号同.
sin( ) cos ( ) 2
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角
和与差的正弦公式？
sin( ) cos 2 cos ( ) 2 cos( ) cos sin( ) sin 2 2 sin cos cos sin .
2 4 2 3 7 2 ( ) ; 2 5 2 5 10
cos( ) cos cos sin sin 4 4 4 2 4 2 3 = ( ) 2 5 2 5 7 2 = . 10
例2 利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1)sin 72°cos 42° cos 72°sin 42° . (2) cos 20°cos 70° sin 20°sin 70° .
解：(1)原式 sin(72o 18o ) sin 90o 1.
3 (2)原式 sin(14 74 ) sin(60 ) . 2 1 (3)原式 cos(34 26 ) cos 60 . 2
3.化简:(1) 2(sin x cos x). (2) 2 cos x 6 sin x.
两角和的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
S( ) 简记：
公式的结构特征:
左边是复角 的正弦,右边是单角 ， 的
人教版高中数学必修四教案：3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式

人教版高中数学必修四教案：3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教材分析本节内容是数学4第三章三角恒等变换第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式的第二课时，是在学习了差角的余弦公式的基础上，进一步对差角的正弦、正切及和角的正弦、余弦和正切公式的探究.本节的六个公式是本章的重要内容，也是三角恒等变换的基础，对三角函数式的化简，求值、三角恒等式的证明等问题起着重要的支撑作用，同时，它又为后面学习倍角公式作铺垫.本节课的重点是公式的推导及公式的简单应用，难点是公式的记忆和灵活应用.通过公式的推导过程，揭示了公式间的联系，加深对公式的理解和记忆.教学中既要有意识地训练学生思维的有序性和对思维过程表述的准确性、简洁性，又要渗透转化、换元、分类讨论的数学思想，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.课时分配本节内容用1课时的时间完成，首先在两角差的余弦公式的基础上，引导学生自主探究得到两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并掌握公式的结构和变形形式.然后，通过例题运用公式解决简单的数学问题.教学目标重点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的探究过程，公式结构及应用.难点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的记忆和灵活应用.知识点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式.能力点：能以两角差的余弦公式为基础，结合诱导公式与同角三角函数关系式，推导出差角、和角的正弦、余弦和正切公式.教育点：经历公式的探究过程，注重知识间的联系，培养学生的探索精神，提高学生的推理能力和运算能力.自主探究点：以两角差的余弦公式为基础，探究差角、和角的正弦、余弦和正切公式的推导方法. 考试点：灵活使用差角、和角的公式进行三角函数式的化简、求值和恒等变形.易错易混点：使用公式时，学生容易在分析角的范围上出错.拓展点：如何利用差角、和角公式把形如sin cos a x b x +式子化简为形如sin()A x ωϕ+的三角式. 教具准备 多媒体课件课堂模式 学案导学一、 引入新课师：同学们，上节课我们学习了差角的余弦公式，请大家首先回顾一下这个公式的形式是怎样的. 生：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+. ——同名积，符号反师：由于公式()cos αβ-只可以用来解决与差角的余弦相关的三角变换问题，因而在应用中有很大的局限性，遇到差角的正弦、正切及和角的正弦、余弦、正切时，公式()cos αβ-就不能直接应用了，因此，我们有必要将公式()cos αβ-作进一步拓广，希望得到两角和与差的三角系列公式.这节课我们就来探究差角的正弦、正切公式及和角的正弦、余弦、正切公式.【设计意图】从熟悉的差角余弦公式出发，让学生意识到进一步探究差角、和角的正弦、余弦和正切公式的意义，是对旧知的扩展，进而引出本节课题，自然流畅.二、探究新知探究一：探究公式()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-.问题：由公式()C αβ-出发，如何推导公式：()cos ?αβ+=【师生活动】师：引导学生从两个方面展开联想：①函数名称的联系；②角的联系，αβ+与αβ-之间的联系.重点指出，要想利用差角的公式得到和角的公式，如果从形式上能将和角变成差角的形式，那就近了一步.生：自主思考，一般得出：①将αβ+转化为()αβ--；②在公式()cos αβ-中，以β-代β. 师生：利用换元的思想推导出()C αβ+，并进一步理解公式间的联系，共同分析对比()C αβ-与()C αβ+两公式的结构形式.()()cos cos cos cos()sin sin()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦ 即()C αβ+：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-. ——同名积，符号反【设计意图】让学生参与公式的探究过程，加深理解公式间的联系，有利于公式的记忆，培养学生换元的数学思想.探究二：探究公式()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±.问题：在公式()C αβ-与()C αβ+的基础上，怎样推导()sin ?αβ+=与()sin ?αβ-=【师生活动】师：我们的目标是求两角和与差的正弦公式，而我们已经知道了相应的余弦公式，那么，一个自然的想法是什么？就是利用余弦公式求正弦公式.如何把()sin αβ+改写成余弦？生：自主探究，从原有知识结构中提取正弦与余弦的关系，将公式推导出来.()()sin cos cos ()cos()cos sin()sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤+=-+=--=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+即()S αβ+：()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+. ——异名积，符号同以β-代β得()S αβ-：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-. ——异名积，符号同师生：共同整理推导过程，让学生认识到解决问题的关键是应用诱导公式把正弦化为余弦，体会转化与化归思想方法在解决问题中的重要性，并进一步分析所得公式的结构形式与()C αβ-、()C αβ+的区别.【设计意图】结合旧知，探究新知，既巩固已学知识，又加深理解公式间的联系，同时有利于公式的记忆，培养学生转化与化归的数学思想.探究三：探究公式()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 问题：怎样用,αβ的正切表示()tan αβ+、()tan αβ-呢？【师生活动】师：由两角和与差的正弦、余弦公式如何探究两角和与差的正切公式？以和角为例，请自主探究.生：自主探究.一般能从同角三角函数的关系式出发进行探究，教师可作个别指导.但是，多数学生可能只是将和角的正弦、余弦公式代入展开而不去化简.()()()sin sin sin cos cos sin tan tan cos cos cos cos sin sin αβααβαβααβααβαβαβ++=→+==+- 师：上述公式是用单角的正、余弦表示和角的正切，那么，通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？引导学生观察思考，当cos cos 0αβ≠时，分式的分子、分母同时除以cos cos αβ，得出和角的正切公式()T αβ+：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-. 师：进一步提出引申思考的问题：在上述公式的推导过程中，角,αβ有什么条件要求吗？除此之外，公式本身还有什么限制吗？生：自主思考，可以得出α、β、αβ+都不等于()2k k Z ππ+∈.师生：指明公式成立的条件，使公式完整.进一步让学生类比思考差角的正切公式的推导，自主得出差角公式，并与和角公式比较，分析结构，帮助记忆.差角的正切公式()T αβ-：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+. 【设计意图】让学生经历探究公式的过程，变老师教为学生学，突出学习的主体地位，有利于理解和掌握新知，训练学生动手动脑相结合的学习习惯.师：依据以上公式的推导过程，请思考差角、和角的6个公式之间有怎样的内在联系？【师生活动】生：自主分析，找出公式间的逻辑关系.师生：在学生自主探究的基础上，师生共同总结公式之间的紧密逻辑关系，并用框图形式表示出来.【设计意图】及时梳理知识，完善知识体系.整体把握公式间的逻辑关系，巩固对公式的理解与掌握，为下一步公式的灵活使用打好基础.三、理解新知公式的结构特点：()cos cos cos sin sin αβαβαβ=±m . ——同名积，符号反()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±. ——异名积，符号同()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 注意：,,()222k k k k Z πππαβπαπβπ±≠+≠+≠+∈ 【设计意图】准确把握三组公式，为公式的灵活使用打好基础.四、运用新知例1．已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 分析：利用同角的平方关系22sin cos 1αα+=，求cos α，进而求tan α，再代入公式求值即可. 解：由3sin 5α=-，α是第四象限角，得4cos 5α===， 所以 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- . 于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭. 在本题中sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭与 cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭两结果一样，那么，对于任意角α，此等式成立吗？我们能否用第一章的知识证明？变式：如果本例中的条件“α是第四象限角”去掉，结果怎样表述呢？【设计意图】训练学生的解题能力，发现不同题目解题过程的区别与联系.变式中对求解过程的表述上会有更高的要求，培养学生分类讨论的思想方法.巩固练习：（1）已知35sin ,cos 513αβ==-，且α为第一象限角，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.求sin()αβ+和sin()αβ-的值.（2）已知,αβ均为锐角，且4cos 5α=，1tan()3αβ-=，求cos β的值. 答案：（1）3365，6365-； （2. 例2．利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）sin 72cos 42cos72sin 42-o o o o；（2）cos 20cos70sin 20sin 70-o o o o ； （3）1tan151tan15+-oo． 分析：本题的关键在于观察分析待化简求值的三角式的结构特征，再联想具有此特征的有关公式，经过适当变形，再顺用或逆用公式解决.解：（1）由公式()S αβ-，得：()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-=-==o o o o o o o ； （2）由公式()C αβ+，得：()cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==o o o o o o o ；（3）由公式()T αβ+及tan 451=o，得：()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 601tan151tan 45tan15++==+==--o o o o o o o o o ． 巩固练习：（1）cos 44sin14sin 44cos14-o o o o；（2）sin(54)cos(36)cos(54)sin(36)x x x x -++-+o o o o ；（3答案：（1）12-. （2）1. （3）1-. 例3．已知3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin()5αβ+=-，12sin()413πβ-=，求sin()4πα+的值. 分析：注意到已知角与待求角之间的关系：()()44ππααββ+=+--，从而把待求角转化为已知角的差的形式，再利用差角的正弦公式求解. 解：3,,4παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ， 3(,2)2παβπ∴+∈，3(,)424πππβ-∈. 3sin()5αβ+=-Q ， 4cos()5αβ∴+=. 12sin()413πβ-=Q ， 5cos()413πβ∴-=-. sin()sin[()()]sin()cos()cos()sin()4444ππππααββαββαββ∴+=+--=+-++-3541263()()51351365=-⨯-+⨯=.巩固练习：（1）已知sin α=，sin()αβ-=，,αβ均为锐角，求sin β的值.答案：2. 【设计意图】使学生掌握把待求角转化为已知角的和与差的形式的变化技巧.让学生在精析精练中，突破重点、难点，体会公式的灵活应用，从而巩固新知，提高能力.五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识？主要涉及到哪些数学思想方法？1.知识：①()cos cos cos sin sin αβαβαβ=±m .()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±.()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 其中,,()222k k k k Z πππαβπαπβπ±≠+≠+≠+∈ 2．思想：转化与化归思想，特殊与一般思想，分类讨论思想.【设计意图】师生共同回忆所学内容，发挥学生学习的主体性，帮助学生记忆公式，梳理知识，培养良好的学习方法.六、布置作业1.阅读教材 P128-131；2.书面作业：必做题：P137 习题3.1 A 组7,8，9，10.选做题：（1）已知3cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，512sin 413πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，3(,)44ππα∈，(0,)4πβ∈，求()sin αβ+的值.（2）已知sin α=，sin()αβ-=,αβ均为锐角，求αβ+的值.3．课外思考：化简：（1）1cos 2x x ；（2）sin cos x x -；（3x x ； （4）sin cos a x b x +.【设计意图】设计作业1,2，是引导学生先复习，准确掌握6个公式后，再做作业.书面作业的布置，是为了训练学生使用差角、和角公式，解决简单的数学问题，在公式的应用中，加深对公式的理解和掌握.课外思考题的设计是为了引导学生探究如何利用差角、和角公式把形如sin cos a x b x +的式子化简为形如sin()A x ωϕ+的三角式.七、教后反思1.本教案的亮点：从学生熟悉的两角差的余弦公式出发，以旧引新，符合学生的认知规律，加强知识间的联系，结构自然顺畅.例题与习题设计恰当，突出本节课的三个知识点(三组公式)，主要选择基础题目，并安排了适当量的随堂练习，帮助学生总结解题方法和技巧，及时巩固新知.2.本节课公式较多，公式的推导、记忆与应用，都用时较多，各校学生基础不同，建议教师对巩固练习题目灵活掌握，但一定要在公式的推导上留给学生足够的时间.3.本节课的弱项：本节课容量较大，课堂上有限的时间不易照顾到对公式的全面应用，有关公式的灵活、变形使用还有待于在后续课堂上加强.八、板书设计。

《两角和与差的正弦余弦和正切公式》新课程高中数学 优质课比赛教案设计

《两角和与差的正弦余弦和正切公式》新课程高中数学 优质课比赛教案设计

3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、课标要求本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用.二、编写意图与特色本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用.三、教学重点与难点1.重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础.2.难点：两角差的余弦公式的探索与证明.3.1.1 两角差的余弦公式一、三维目标1.通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”，了解单角与复角的三角函数之间的内在联系.2.通过两角差的余弦公式的应用，会进行简单的求值、化简、证明，体会化归思想在数学中的应用，提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过本节的学习，使学生体会探究的乐趣.二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题等等.三、教学过程1.导入新课我们在初中时就知道 2cos 452=，3cos302=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家可以猜想，是不是等于cos 45cos30-呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-=2.推进新课(1)两角差的余弦公式在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来）展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索()cos αβ-与cos α、cos β、sin α、sin β之间的关系，由此得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，认识两角差余弦公式的结构.思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？提示：①结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？②怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？展示多媒体课件比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处.思考：()cos ?αβ+=，()()cos cos αβαβ+=--⎡⎤⎣⎦，再利用两角差的余弦公式得出()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦.（2）例题讲解例1.利用和、差角余弦公式求cos75、cos15的值.解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos75cos4530cos45cos30sin45sin30222=+=-=⨯=，()231cos15cos4530cos45cos30sin45sin3022224 =-=+=⨯+=.点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos6045=-，要学会灵活运用.例2.已知4sin5α=，π5,π,cos,213αββ⎛⎫∈=-⎪⎝⎭是第三象限角，求()cosαβ-的值.解：因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin5α=由此得3cos5α===-.又因为5cos,13ββ=-是第三象限角，所以12 sin13β===-.所以3541233 cos()cos cos sin sin51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.3.课堂练习课本第127页练习.4.课时小结（1）通过本节课学习要理解并掌握两角差的余弦公式及推导过程；（2）正确运用公式进行解题.5.布置作业：习题3.1A组2、3、4.§3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、三维目标：1.在学习余弦差角公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内部联系.2.通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生体会联系变化的观点.3.通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生分析问题的能力.二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、教学过程：1.导入新课大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？2.推进新课（1）两角和与差的正弦正切公式让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦. 让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-． 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 注意：,,()222ππππππZ k k k k αβαβ+≠+≠+≠+∈. 以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？ ()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+. 注意：,,()222ππππππZ k k k k αβαβ+≠+≠+≠+∈． （2）例题讲解例1.已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求πππsin ,cos ,tan 444ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===， 3sin 35tan 4cos 45ααα-===-，于是有πππ43sin sin cos cos sin 44455ααα⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ43cos cos cos sin sin 444252510ααα⎛⎫⎛⎫+=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 两结果一样，我们能否用第一章知识证明？π3tan tan1π44tan 7π341tan tan 144ααα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭. 例2.利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）sin 72cos 42cos72sin 42-；（2）cos 20cos70sin 20sin 70-；（3）1tan151tan15+-． 分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.解：（1）()1sin 72cos 42cos 72sin 42sin 7242sin 302-=-==； （2）()cos 20cos 70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==；（3）()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15++==+==--． 3.课堂练习课本第131页练习.4.课时小结本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.5.布置作业：习题3.1A 组7、8.§3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式一、三维目标：1.通过让学生探索，发现并推导二倍角公式，了解它们之间以及它们与和角公式内在联系.2.通过对二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.3.通过本节学习，引导学生寻找数学规律的方法，发现和探索精神.二、教学重、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式.教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.三、教学过程：1.复习引入大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可）2.推进新课：（1）二倍角公式()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-.思考：把上述关于cos 2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--． 注意：ππ2π,π22k k αα≠+≠+()Z k ∈. （2）例题讲解例1.已知5ππsin 2,,1342αα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：由ππ,42α<<得π2π2α<<． 又因为5sin 2,13α=12cos 213α==-． 于是512120sin 42sin 2cos 221313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 225119cos 412sin 21213169αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭；120sin 4120169tan 4119cos 4119169ααα-===-． 例2.在ABC ∆中，4cos 5A =，tan 2B =，求tan(22)A B +的值.本例采用两种方法来解决：一种是先求出tan 2A 和tan 2B ，从而求出tan(22)A B +，另一种是先求出tan()A B +再求出tan(22)A B +.这两种方法都是对倍角公式与和角公式的联合运用，本质上没有什么区别.值得注意的是在三角形的背景下研究问题，会带来一些隐含条件，如0π,πA A B C <<++=等，教学中可以在学生自己尝试解决问题后，引导他们进行适当的小结.学生基础较好的班级可以直接求tan2C的值.3.课堂练习课本第135页练习.4.课时小结本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.5.布置作业：习题3.1A组：15、16、17.。