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函数极限的性质和收敛准则函数极限是在数学分析中一个重要的概念，它包含了许多重要的性质和收敛准则。
在本文中，我们将讨论函数极限的性质和收敛准则，并详细介绍每个性质和准则的定义和证明。
一、函数极限的性质1. 唯一性性质：如果一个函数存在极限，那么它的极限是唯一的。
也就是说，如果f(x)存在极限L，则该极限是唯一的。
这个性质可以通过反证法来证明。
假设存在两个不同的数L1和L2都是f(x)的极限，即limx→a f(x) = L1和limx→a f(x) = L2、由于L1≠L2，根据极限的定义可以找到一个ε>0，使得对于任意的δ>0，当0<，x-a，<δ时，必有，f(x)-L1，<ε和，f(x)-L2，<ε，这导致矛盾。
2. 有界性质：如果一个函数存在极限，那么它在极限点的一些邻域内是有界的。
也就是说，如果limx→a f(x)存在，则存在一个正数M，使得在a的一些邻域内，有，f(x)，≤M。
这个性质可以通过极限的定义和邻域的定义来证明。
3.保号性质：如果一个函数存在极限，并且极限为L，则存在ε>0，使得当0<，x-a，<δ时，有f(x)>0或f(x)<0。
也就是说，在足够接近极限点时，函数的取值保持正号或负号。
这个性质可以通过极限的定义和邻域的定义来证明。
4. 夹逼性质：如果函数f(x)满足对于任意的x∈(a-d,a+d)，有g(x)≤f(x)≤h(x)，且limx→a g(x) = limx→a h(x) = L，那么limx→a f(x)也存在，且limx→a f(x) = L。
二、函数极限的收敛准则1. Cauchy收敛准则：如果一个函数f(x)满足对于任意的ε>0，存在一个正数δ>0，使得当0<，x-a，<δ，以及0<，y-a，<δ时，有，f(x)-f(y)，<ε。
那么函数f(x)在x→a时收敛。
紧致空间的覆盖定理与有限覆盖定理【紧致空间的覆盖定理与有限覆盖定理】紧致空间的覆盖定理和有限覆盖定理是拓扑学中两个重要概念，它们分别探讨了在紧致空间中如何用有限个开集来覆盖整个空间的问题。
本文将对这两个定理进行介绍和讨论，并分析它们的应用。
1. 紧致空间的覆盖定理紧致空间的覆盖定理是指在一个紧致空间中，存在一个有限子覆盖，即可以用有限个开集来覆盖整个空间。
这个定理是对紧致空间的一种重要性质的描述，它揭示了紧致性与有限性的关系。
紧致空间的覆盖定理有多个不同的表述形式，其中最著名的是Heine-Borel定理和Bolzano-Weierstrass定理。
- Heine-Borel定理：在欧几里德空间中，一个子集是紧致的充要条件是它是闭合且有界的。
- Bolzano-Weierstrass定理：每个有界数列都有收敛的子列。
这两个定理是紧致空间覆盖定理的重要推论。
它们在数学分析、实数理论等领域都有广泛的应用。
2. 有限覆盖定理有限覆盖定理是指在一个一般的拓扑空间中，如果存在一个无限覆盖，即无论怎样使用开集来覆盖空间总是不够的，那么一定存在一个不可数的子集。
有限覆盖定理的应用非常广泛，特别是在测度论、函数分析等领域。
它提供了一种研究空间可测性、可度量性等性质的工具与方法。
有限覆盖定理的证明一般利用反证法，通过假设存在无限覆盖，然后构造出一个无限可列的不交子集，从而得出存在不可数子集的结论。
3. 应用与拓展紧致空间的覆盖定理和有限覆盖定理在数学和物理学的研究中都有重要的应用。
在微积分中，紧致性的概念与连续性、收敛性密切相关，它为极值定理、广义积分定理等提供了基础性的支撑。
而有限覆盖定理则为测度论中的可测性问题提供了重要的线索。
在物理学中，紧致性的概念与空间封闭性、稳定性等有关，例如在分析力学中，紧束缚系统的稳定性分析中用到了紧致性的概念。
此外，紧致空间的覆盖定理和有限覆盖定理还有许多相关的拓展和推广研究，例如在拓扑图论、图像处理等领域也有相关应用。
一元微积分与数学分析—有限覆盖定理梅加强南京大学数学系在研究函数的时候,我们希望能将其局部性质转化为整体性质.从局部过渡到整体往往要用到所谓的有限覆盖定理.在研究函数的时候,我们希望能将其局部性质转化为整体性质.从局部过渡到整体往往要用到所谓的有限覆盖定理.集合族:设Γ为集合.如果Γ中的每一个元素α都对应一个集合Aα,则称{Aα}α∈Γ为集合族(一族集合),Γ为这一族集合的指标集.当指标集给定时,集合族也简记为{Aα}.例如,{[a n,b n]}是以N为指标集的一族集合.在研究函数的时候,我们希望能将其局部性质转化为整体性质.从局部过渡到整体往往要用到所谓的有限覆盖定理.集合族:设Γ为集合.如果Γ中的每一个元素α都对应一个集合Aα,则称{Aα}α∈Γ为集合族(一族集合),Γ为这一族集合的指标集.当指标集给定时,集合族也简记为{Aα}.例如,{[a n,b n]}是以N为指标集的一族集合.集合之间的运算可以对集合族来定义.例如,交集运算可定义为Aα={x|任给α∈Γ,均有x∈Aα},α∈Γ在研究函数的时候,我们希望能将其局部性质转化为整体性质.从局部过渡到整体往往要用到所谓的有限覆盖定理.集合族:设Γ为集合.如果Γ中的每一个元素α都对应一个集合Aα,则称{Aα}α∈Γ为集合族(一族集合),Γ为这一族集合的指标集.当指标集给定时,集合族也简记为{Aα}.例如,{[a n,b n]}是以N为指标集的一族集合.集合之间的运算可以对集合族来定义.例如,交集运算可定义为Aα={x|任给α∈Γ,均有x∈Aα},α∈Γ并集运算可定义为Aα={x|存在α∈Γ,使得x∈Aα}.α∈Γ定理1(Heine-Borel)设{Uα}α∈Γ为R中的一族开集.如果闭区间[a,b]包含于这一族开集的并集之中,则[a,b]必定包含于有限个Uα的并集之中.定理1(Heine-Borel)设{Uα}α∈Γ为R中的一族开集.如果闭区间[a,b]包含于这一族开集的并集之中,则[a,b]必定包含于有限个Uα的并集之中.证明.如果指标集Γ是有限集,则结论不证自明.以下设Γ为无限集.(反证法)假设[a,b]只能包含于无限个Uα的并集,则二等分[a,b]后必有一个小区间也只能包含于无限个Uα之并,记该区间为[a1,b1].再将[a1,b1]二等分,又必有一个小区间只能包含于无限个Uα之并,记该区间为[a2,b2].如此继续下去,得闭区间套{[a n,b n]},使得每一个[a n,b n]均只能包含于无限个Uα之并.证明(续).注意limn→∞(b n−a n)=limn→∞2−n(b−a)=0.根据闭区间套原理,{[a n,b n]}有一个公共点,记为ξ.根据题设,存在α0∈Γ,使得ξ∈Uα0.因为Uα是开集,故存在δ>0,使得(ξ−δ,ξ+δ)⊂Uα0.根据闭区间套原理的证明,{a n},{b n}均收敛于ξ,故存在N,当n>N时a n,b n∈(ξ−δ,ξ+δ).此时有[a n,b n]⊂(ξ−δ,ξ+δ)⊂Uα,这与[a n,b n]只能包含于无限个Uα之并相矛盾.ξ−δξ+δa n bnξ图1:有限覆盖定理例1证明:闭区间中的局部有界函数必为有界函数.例1证明:闭区间中的局部有界函数必为有界函数.证明.设f是[a,b]中的局部有界函数,则任给x∈[a,b],均存在δ(x)>0以及M(x),使得|f(y)|≤M(x),∀y∈x−δ(x),x+δ(x)∩[a,b].显然,[a,b]包含于集合族x−δ(x),x+δ(x)x∈[a,b]之并.由Heine-Borel定理,存在x1,···,x k∈[a,b],使得[a,b]⊂ki=1x i−δ(x i),x i+δ(x i).记M=max{M(x i)|i=1,2,···,k},则|f|≤M在[a,b]中总成立.定理2(Bolzano)有界数列必有收敛子列.定理2(Bolzano)有界数列必有收敛子列.证明.设{a n }为有界数列,不妨设a n 均包含于[a ,b ].断言：存在α∈[a ,b ],使得任给δ>0，(α−δ,α+δ)中均含有无限项a n .(反证法)假设不然,则任给x ∈[a ,b ],存在δ(x )>0,使得 x −δ(x ),x +δ(x ) 只含有限项a n .显然,[a ,b ]包含于集合族 x −δ(x ),x +δ(x ) x ∈[a ,b ]之并.由Heine-Borel 定理,[a ,b ]包含于有限个 x −δ(x ),x +δ(x ) 之并.这说明[a ,b ]只含有限项a n ,从而和a n 均包含于[a ,b ]相矛盾.利用此断言,我们选取{a n }的子列,使之收敛到α.事实上,先取a n 1∈(α−1,α+1).再取n 2>n 1,使得a n 2∈(α−1/2,α+1/2).如此继续,可得子列{a n k },使得当k ≥1时a n k ∈(α−1/k ,α+1/k ).显然,{a n k }收敛到α.引理1(Lebesgue数引理)设{Uα}α∈Γ为一族开集,其并集包含了闭区间[a,b].则存在正数λ>0,使得长度不超过λ的任何闭区间I⊂[a,b]必定完全包含于某个Uα中.引理1(Lebesgue数引理)设{Uα}α∈Γ为一族开集,其并集包含了闭区间[a,b].则存在正数λ>0,使得长度不超过λ的任何闭区间I⊂[a,b]必定完全包含于某个Uα中.证明.(反证法)如果不然,则存在一列闭区间{I n}n≥1,使得|I n|<1/n,但每一个Uα都不能完全包含任何一个I n.记I n=[a n,b n],由于{a n}为有界点列,根据Bolzano 定理,它有收敛子列,不妨设{a n}本身收敛,其极限记为ξ∈[a,b].显然,{b n}也收敛到ξ.根据题设,存在某个α,使得ξ∈Uα.由Uα为开集可知,故存在δ>0,使得(ξ−δ,ξ+δ)⊂Uα.这说明,当n充分大时,必有a n,b n∈(ξ−δ,ξ+δ)⊂Uα,此时I n=[a n,b n]⊂Uα.这与I n的选取相矛盾.引理1(Lebesgue数引理)设{Uα}α∈Γ为一族开集,其并集包含了闭区间[a,b].则存在正数λ>0,使得长度不超过λ的任何闭区间I⊂[a,b]必定完全包含于某个Uα中.证明.(反证法)如果不然,则存在一列闭区间{I n}n≥1,使得|I n|<1/n,但每一个Uα都不能完全包含任何一个I n.记I n=[a n,b n],由于{a n}为有界点列,根据Bolzano 定理,它有收敛子列,不妨设{a n}本身收敛,其极限记为ξ∈[a,b].显然,{b n}也收敛到ξ.根据题设,存在某个α,使得ξ∈Uα.由Uα为开集可知,故存在δ>0,使得(ξ−δ,ξ+δ)⊂Uα.这说明,当n充分大时,必有a n,b n∈(ξ−δ,ξ+δ)⊂Uα,此时I n=[a n,b n]⊂Uα.这与I n的选取相矛盾.引理中的λ称为{Uα}α∈Γ的Lebesgue数.定理3(Cantor定理)设f∈C0[a,b],则任给ε>0,存在δ>0,使得只要x1,x2∈[a,b]且|x1−x2|<δ,就有|f(x1)−f(x2)|<ε.定理3(Cantor定理)设f∈C0[a,b],则任给ε>0,存在δ>0,使得只要x1,x2∈[a,b]且|x1−x2|<δ,就有|f(x1)−f(x2)|<ε.证明.根据连续性,任给x∈[a,b],存在δ(x)>0,当y∈(x−δ(x),x+δ(x))∩[a,b]时, |f(y)−f(x)|<ε/2.显然,[a,b]包含于开集族{(x−δ(x),x+δ(x))}x∈[a,b]之并,记此开集族的Lebesgue数为δ.设x1<x2∈[a,b],当|x1−x2|<δ时,根据Lebesgue引理,存在某个x∈[a,b],使得[x1,x2]⊂(x−δ(x),x+δ(x)).此时|f(x1)−f(x2)|≤|f(x1)−f(x)|+|f(x)−f(x2)|<ε/2+ε/2=ε.。
§3 函数极限存在的条件与讨论数列极限存在的条件一样，我们将从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性。
下面的定理只对这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的。
下述归结原则有时成为海涅（Heine）定理。
定理3.8（归结原则）设在内有定义。
存在的充要条件是：对任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等。
证 [必要性] 设，则对任给的，存在正数，使得当时，有。
另一方面，设数列且，则对上述的，存在，使得当时，有，从而有。
这就证明了。
(充分性) 设对任何数列且，有，则可用反证法推出事实上，倘若当时不以为极限，则存在某，对任何（不论多么小），总存在一点，尽管，但有。
现依次取，，，…，，…，则存在相应的点，，，…,…,使得，而，。
显然数列且，但当时不趋于。
这与假设相矛盾，所以必有。
注1 归结原则也可简述为：对任何（）有。
注2若可找到一个以为极限的数列，使不存在，或找到两个都以为极限的数列注3与，使与都存在而不相等，则不存在。
例1 证明极限不存在。
证设，（），则显然有，（），（）。
故有归结原则即得结论。
函数的图象如图3-4所示。
由图象可见，当时，其函数值无限地在-1与1的范围内振荡，而不趋于任何确定的数。
归结原则的意义在于把函数极限归结为数列极限来处理。
从而，我们能应用归结原则和数列极限的有关性质来证明上一节中所述的函数极限的所有性质。
对于，，和这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式，现以这种类型为例阐述如下：定理3.9设函数在点的某空心右邻域有定义。
的充要条件是：对任何以为极限的递减数列，有。
这个定理的证明可仿照定理3.8进行，但在运用反证法证明充分性时，对的取法要作适当的修改，以保证所找到的数列能递减地趋于。
证明的细节留给读者作为练习。
相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理。
现以这种类型为例叙述如下：定理3.10设是定义在上的单调有界函数，则右极限存在。
(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 齐齐哈尔大学毕业设计（论文）题目一致收敛性及应用学院理学院成绩2013年 6月20日摘要对函数列和函数项级数一致收敛性的研究，是为了解决函数列的极限函数和函数项级数的和函数的分析性质。
本文利用定义来简单的介绍一致收敛性，利用柯西一致收敛准则，证明函数项级数一致收敛的判别法。
通过研究定理当中，函数列的一致收敛性、函数项级数的一致收敛性以及含参变量广义积分的一致收敛性的一致收敛的充分必要条件、一般性质和判别方法，对比出三者之间的联系。
通过例题，说明了一致收敛是和函数的充分分析性质，而不是必要条件。
由此我们可以看出，在数学分析教学中，合理恰当的例题会更好的展现出定理。
关键词：函数列；函数项级数；含参变量广义积分；一致收敛AbstractStudy the sequence of function and series of functions , is in order to solve the analysis of the nature about limiting function of sequence of functions, and function of the series of functions. Using the definition of simple introduction to the uniform convergence. Using the Cauchy criterion of uniform convergence, Prove discriminance of uniform convergence in series of functions. Through the study of theorem, the necessary and sufficient condition for uniform convergence, general character and discriminant method in uniform convergence of function sequence, uniform convergence of function series and uniform convergence of generalized integral with parameters, contrast between the three contacts. Through examples, instruction the uniform convergence is a full analysis of the nature in function, rather than a necessary condition. From this we can see that, in the teaching of mathematics analysis, reasonable appropriate examples can show the theorem will be better.Keyword:sequence of function；series of functions；generalized integral with parameters；uniform convergence目录摘要......................................................................................................... 错误！未定义书签。
极限：A m n=)!(!m n n -=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)C m n =)!(!!m n m n - 1.C m n =C m n n - 2.C 0n +C 1n +C 2n +…+C nn=2n Heine 定理 （只能用来证明极限不存在）若limx x →f(x) =A ⇔lim∞→n x n =x 0l i m 0x x n →f(xn) =A{x n } lim ∞→n x n =x 0l i m 0x x n →f(xn) =A{y n } lim∞→n y n =y 0l i m 0y y n →f(yn) =B A ≠B ⇒limx x →f(x) 极限不存在可直接用：lim∞→n nn =1lim∞→n na =1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量（同一变化过程） 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量（同一变化过程）无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量 常量与无穷小量乘积仍是无穷小量 有限个无穷大量乘积仍是无穷大量极限四则运算：设limf(x)=A limg(x)=B （自变量变化过程需统一） A 、B 是常数 limf(x)+ limg(x)=lim[f(x)+g(x)]=A+B limf(x)- limg(x)=lim[f(x)-g(x)]=A-B limf(x)limg(x)=lim[f(x)g(x)]=AB lim)()(x g x f =)(lim )(lim x g x f =BA (B ≠0)limkf(x)=klimf(x)若limf(x)=A,则lim[f(x)]n =[limf(x)]n =A n 求极限：“0”约分后用商的法则 “∞∞”同除后用商的法则复合函数的极限运算法则：设y=f[g(x)]由y=f(u) u=g(x)复合而成l i m 0x x →f[g(x)]= limu u →f(u)两个重要极限：l i m→x xx s i n =1 （lim∞→x xx sin =0）l i m ∞→n （1+n1）n =e 极限只要存在，结果一定是常数。
3.4两个重要的极限§3.4 两个重要的极限教学章节：第三章函数极限——§3.4 两个重要的极限教学目标：掌握两个重要极限，并能熟练应用.教学要求：掌握两个重要极限，牢记结论；掌握证明的基本思路和方法，并能灵活运用. 教学重点：两个重要极限的证明及运用. 教学难点：两个重要极限的证明及运用.教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习. 教学过程：一、关于函数极限的性质1、质1－性质4常用于说明函数极限的一些性质.例1 设，A，证明：例2 设，（1）若在某U0(x0)内有，问是否有？为什么？（2）证明：若，则在某U0(x0)内有2、质5－性质6（迫敛性、四则运算）常用于计算.： 1、（1）222；；（2）lim2；（3）lim2（4）4；（5）、limxsinx例 lim二、关于归结原则(Heine定理)(一) 定理的内容 (二)定理的意义 (三) 定理的用途1、明极限不存在，如x的极限不存在；2、用数列极限的性质证明函数极限的性质. (1) 证明函数极限的唯一性. (2) 证明函数极限四则运算. (3) 证明单调有界定理.3、用函数极限求数列极限. (1)1n.4、结原则有不同的叙述（在不同的极限形式下），要注意灵活应用.三、关于单调有界定理 (一) 内容. (二) 意义.四、关于Cauchy准则 (一) 内容 (二) 意义 (三) 用途1、明f(x)存在；2、明1f(x)不存在.如sinx. 证明中用到归结原则，数列极限的Cauchy准则.§3.4 两个重要的极限一、 limsinx的证明在单位圆盘上，x是圆心角，以弧度计，即它恰好等于, 而是弦长BB之半，它的几何意义是，即圆心角趋于0时，对应的弦长与弧长之比趋于1.证明设面积扇形AOB面积面积，即111sinx， ,2用偶函数性质，这不等式在令时也成立.limsinx两边夹得出 .推论，，等号成立当且仅当|x|2 显然成立，而时等号成立，且只2时, x证明 , 当有时等号成立. 二、 lim的应用lim2例1 求解 xlim2sin2xx22，则x，令；故有sinx例2 求lim解令，则；且当时， sinxsint故 .sinmx例3 求（）.lim证明当时sinmxnx；当时原式1，直接利用limsin是不严注利用归结原则，可求数列极限.如求limnsin，故取，则)格的；但已知，从而由归结原则1三、证明或x证明先证情况，当时，有111，1[x]11e1x所以再证情况, 令，由极限与单侧极限关系定理，得.1t推论.1证明令x, 即得.四、应用1例1 求x.12解令，则u；且当时（时）， 12xu因此，1x例2 求.解令，则当时，1limx)x1因此，e例3 求解(，故原式1e.也可利用以下结论：，，则，11n].例4 求练习Ｐ为递增数列.Ｐ为为递减数列.Ｐ55 2 设f为定义在上的增（减）函数，证明：limf(x)存在在上有上（下）界.。
海涅定理的一些应用
郭金生;王爱斌
【期刊名称】《河西学院学报》
【年(卷),期】2016(32)2
【摘要】总结了海涅定理,归纳列举了海涅定理及其推广的实际应用.
【总页数】6页(P32-37)
【作者】郭金生;王爱斌
【作者单位】河西学院数学与统计学院,甘肃张掖734000,;双岘初级中学,甘肃静宁743406
【正文语种】中文
【中图分类】O171
【相关文献】
1.海涅定理的推广形式与应用 [J], 吴修竹;廖祖华;朱晓英
2.海涅定理及其应用 [J], 吴少祥;余庆红
3.海涅(Heine)定理的推广及其应用 [J], 王振芳;周宝明
4.浅谈海涅定理的证明与应用 [J], 徐旭东
5.不动点定理在高等数学中的一些具体应用 [J], 丛培根
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目录1引言 (1)2文献综述 (1)2.1 国外研究现状 (1)2.2 国内研究现状 (1)2.3 国内外研究现状评价 (2)2.4 提出的问题 (2)3 Heine定理及其不同结论 (2)3.1 Heine定理的证明 (2)3.2 Heine定理的推广 (4)4 Heine定理的应用 (6)4.1 判断、证明函数极限的存在性 (6)4.2 利用Heine定理求极限 (8)4.2.1 求函数极限 (8)4.2.2 求数列极限 (8)4.3 证明函数极限的性质 (9)4.4 判断函数在某点的可导性 (11)4.5 判断级数敛散性 (12)4.6 对函数()x f的局部利用海涅定理，求函数()x f的极限 (13)4.7 根据函数的特性，应用海涅定理分析解决其他问题 (14)5 总结 (16)5.1 主要发现 (16)5.2 启示 (17)5.3 局限性 (17)5.4 努力方向 (17)参考文献 (18)1Heine定理及其应用摘要Heine定理又称为归结原理，是工科数学分析和高等数学中判断数列极限和函数极限存在的一种有效的重要方法。
它是分析学中的重点和难点，在极限理论中发挥了重要的作用。
国内外有关Heine定理的若干问题的探讨和应用研究非常多，涉及范围很广，说明了其重要性和应用的广泛性。
国外对Heine定理的研究主要是解决函数和数列极限存在性问题中的应用，在教学上探讨理论应用涉及甚少，而国内在其理论方面的研究甚为广泛，但Heine定理的定义及应用仍有值得研究的问题。
比如：Heine定理通常用于极限的存在性问题，而其用途不仅仅限于此，但由于Heine定理的充分较强，使得Heine 定理在应用中存在着一定的局限性，是否能够将Heine定理的充分性条件进一步弱化，使得在用Heine定理处理极限理论问题时更加实用方便，以及在判断级数敛散性、证明函数性质定理、函数求导问题中的应用，这就是文章探讨的问题所在，这样的研究在国内外相对较少。
基于已有的Heine定理若干定义，该文在前人研究的基础上，结合数学分析中的相关定义及性质，分析了Heine定理的内涵及其推论和相应的证明，分别给出了不同形式的Heine定理，并对Heine定理做出了相应的推广，并利用Heine定理和数列极限的性质，探讨函数极限的相关性质，以及判断函数极限是否存在，给出了详细的实例，通过实例分析Heine定理在优化极限判断及运算和其他方面的应用，体现了Heine 定理在判断数列和函数极限存在及研究函数性质问题、级数敛散性判断问题中的优越性和实用性。
关键词：Heine定理；数列；函数；极限；推广；应用2Heine theorem and its applicationAbstract：Heine theorem is also known as the resolution principle, is the analysis of Engineering Mathematics and higher mathematics in the judgement of sequence limits and function limit there is a kind of effective method. It is the analysis of key point and the difficulty, in the limit theory played an important role in. Domestic and foreign related Heine theorem on the study and application of very much, involve range is very wide, illustrates its importance and wide application. On Heine theorem research mainly solves the problem of the existence of the limit of a sequence of function and application in the teaching of theory and application, very involved, and in the domestic theoretical research is very widely, but the Heine theorem and application still has a problem worthy of study. For example: Heine theorem is usually used to limit existence problem, but its use is not limited to this, but since Heine theorem sufficient strong, making Heine theorem in the application of certain limitations exist, whether can be Heine theorem sufficient conditions for further weakening, the Heine theorem of limit theory more practical problem handling convenient, as well as in judging the convergence of the series, proves the function properties, function derivative problems in application, this is the article discusses problem, this research at home and abroad relatively less. Based on the existing Heine theorem several definitions, this paper on the basis of previous studies, combined with mathematical analysis in the related definition and Properties Analysis of Heine theorem, the connotation and the inference and proof of the corresponding, respectively, are given for different forms of the Heine theorem and Heine theorem, made corresponding promotion, and by using Heine theorem and the limit of a sequence of characters, the limit of a function related to nature, and judge the function limit exists, gives a detailed example, through case analysis of Heine theorem in optimizing the ultimate judgment and operation and other aspects of the application, reflects the Heine3theorem in judging the sequence of numbers and function limit exists and problem, research on the properties of function series convergence and divergence of judgment the problem of the superiority and practicality.Key words: Heine theorem; sequence; function; limit; extension; application1引言Heine定理作为数学发展历程中的工科数学内容在分析学、代数学、几何学等数学领域已经突出巨大的研究作用.关于它的研究，在世界范围内非常多，其中的研究领域就颇为广泛，Heine定理通常应用于判断函数、数列极限存在和求解的问题，国内和国外的研究趋势很接近，现有Heine定理的若干问题的探讨及应用，体现了其重要性和应用的广泛性，有关这样的研究国内外较多，涉及范围也较广，如：Heine定理在数学分析中的应用，高等数学，复变函数中的应用等等.但针对于Heine定理在应用中存在的局限性，是否能够将Heine定理进行推广，并应用于求解相关问题，这样的研究较少.基于已有的Heine 定理若干定义的探讨和应用，本文在前人研究的基础上，结合工科数学分析教学实践，给出了Heine定理的内涵及其推论和相应的证明，分别给出了不同形式的Heine定理，并对Heine定理做出了相应的推广.归纳总结出了Heine定理的应用并举出实例，通过实例介绍Heine定理在优化极限判断及运算和其他方面的应用，体现了Heine定理在判断数列和函数极限存在及函数性质证明问题、级数敛散性判断问题中的优越性和实用性.2 文献综述2.1国外研究现状国外对Heine定理的研究主要是应用于解决在极限理论中的应用和在其他学科中的应用，而在教学上探讨理论应用则很少涉及. [美]B.Gelbaum在其文献实分析习题及解答中介绍了Heine定理在分析学中的应用,并举出相应的实例来做出相关说明，具有一定新颖性,值得借鉴.2.2国内研究现状国内有关Heine定理的理论从国外引进，在数列、函数极限理论中发挥了重要的作用.国内Heine定理很少谈及学科领域的相关计算问题，但相关的研究有一定发展.如：刘玉45琏，傅沛仁在其编写的数学分析讲义（第三版上册）中较详细地阐述了Heine 定理在判断求解函数极限、数列极限问题函数极限的四则运算等问题中的应用；马建珍在其文献数列问题与函数问题的转化中[13]描述了函数极限和数列极限之间的关系，将Heine 定理做为沟通函数极限和数列极限之间的桥梁，说明了Heine 定理在极限理论中的重要性.2.3国内外研究现状的评价上述文献中已给出了Heine 定理的若干问题的探讨和应用，说明了Heine 定理的重要性和应用的广泛性，但其还有值得研究的空间和余地.在Heine 定理应用方面的研究国内相对于国外的研究较广泛,而且很多研究问题及结论有很好的借鉴价值,可以作为研究的理论基础,而国外,更多的研究主要在于将Heine 定理应用于解决其它前沿学科中的计算问题,但在不同的问题当中是否都能够运用到Heine 定理，适用于解决什么样的问题，这样的研究较少.2.4提出问题鉴于国内外的研究现状，一般的Heine 定理则不仅只能求解或判断函数、数列的极限存在与否的问题，而且该定理的充分性较强，运用中有一定的局限性，那么能否弱化Heine 定理的充分性，拓宽Heine 定理的使用范围，或者将Heine 定理推广运用到函数的性质证明、解决函数和数列的极限问题、函数在某一点的导数以及判断级数的收敛性问题，从而体现Heine 定理的优越性和应用的广泛性，本文针对此类问题作详细探讨.3 Heine 定理及其不同结论3.1海涅定理的证明定理 ()⇔=→b x f ax lim 对任意数列{}n a ，a a n ≠，且a a n n =∞→lim ，有()b a f n n =∞→lim .分析：必要性，应用函数极限定义和数列极限定义[1]，可证得极限()b a f n n =∞→lim ，充分性，因为在已知条件中，数列{}n a 是任意的，这样的数列是无限多的，所以从已知条件出发直接证明有()b x f ax =→lim 很困难.在这种情形下，通常采用反证法.假设()b x f ax ≠→lim ，构造某一个数列{}n a ，a a n ≠，且a a n n =∞→lim ，但是有()b a f n n ≠∞→lim ，与已知条件矛盾.6证明：必要性()⇒已知()b x f ax =→lim ，即0>∀ε，0>∃δ，δ<-<∀a x x 0:， 有()ε<-b x f ，对任意数列{}n a ，a a n ≠，且a a n n =∞→lim .根据数列极限定义，对上述0>δ，+∈∃N N ，N n >∀， 有δ<-<a a n 0，从而N n >∀，有()ε<-b a f n ， 即()b a f n n =∞→lim ,充分性()⇐应用反证法假设()b x f ax ≠→lim ，根据函数极限的否定叙述，0>∃ ε，0>∀δ，δ<-<∃a x x 0:， 有() ε≥-b x f ，取11=δ， 10:11<-<∃a a a ， 有() ε≥-b a f 1，212=δ，210:22<-<∃a a a ，有() ε≥-b a f 2， …… n n 1=δ, na a a n n 10:<-<∃, 有() ε≥-b a f n ， ……7于是，构造出一个数列{}n a ，a a n ≠，因为()∞→→=n nn 01δ， 所以a a n n =∞→lim ，显然，()b a f n n ≠∞→lim ，与已知条件矛盾 所以()b a f n n =∞→lim .小结：海涅定理又称为归结原则[2].它既常用来说明某些函数极限不存在，又是沟通函数极限和数列极限之间的桥梁，在极限理论中处于重要的地位.根据海涅定理的必要性，函数()x f 在a 的极限可化为函数值数列的极限；根据海涅定理的充分性，又能够把数列极限的性质转移到函数极限上来.3.2海涅定理的推广首先给出下列三种极限的海涅定理：()b x f x =∞→lim ⇔对任意数列{}n a ，且 +∞=∞→n n x lim ，有 ()b a f n n =∞→lim .()b x f a x =+→lim ⇔对任意数列{}n a 和任意0>δ，存在0>N ，当N n >时，有δ+<<n n a a a ，且 ()b a f n n =∞→lim .()b x f a x =-→lim ⇔对任意数列{}n a 和任意0>δ，存在0>N ，当N n >时，有n n a a a <<-δ，且 ()b a f n n =∞→lim .根据海涅定理必要性的逆否命题可得以下3个推论：推论1 若存在某个数列{}n a ，且a a n n =∞→lim ，a a n ≠，而数列(){}n a f 不存在极限，则函数()x f 在a 也不存在极限.推论2 若存在某两个数列{}n a 与{}n b ，且a a n n =∞→lim ，a a n ≠与a b n n =∞→lim ，a b n ≠，8分别有()c a f n n =∞→lim 与()d b f n n =∞→lim ，且d c ≠，则函数()x f 在a 也不存在极限.推论3 函数()x f 在D 内无界⇔存在数列{}D a n ⊂，使()∞=∞→n n a f lim .应用海涅定理的推论解决函数极限的存在性问题时更加方便实用，是判断函数极限不存在的一种非常好的方法.下面介绍几种等价类型的海涅定理：定理 1 设()x f 在M x >上有定义，则()b x f x =∞→lim ⇔对于任何以∞为极限的数列{}n a ()M a n >，都有()b a f n n =∞→lim .定理2 设()x f 在a 的某一领域()δ;a U 内有定义，则函数()x f 在点a 连续⇔对任何含于()δ;a U 且以a 为极限的数列{}n a ，都有()()a f a f n n =∞→lim .定理3 设()x f 在a 的某空心右领域()δ;a U +有定义，则()b x f ax =+→lim ⇔对于任何以a 为极限的单调递减数列{}()δ;a U a n +⊂，都有()b a f n n =∞→lim .定理4 设()x f 在a 的某空心左领域()δ;a U -有定义，则()b x f ax =-→lim ⇔对于任何以a为极限的单调递增数列{}()δ;a U a n-⊂，都有()b a f n n =∞→lim . 海涅定理有许多种形式，不仅结构形式类似，证明方法也很类似，在此不再一一列举. Heine 定理在函数极限理论中起着重要的作用，为了丰富极限理论的内容，对Heine 定理进行了相应的推广.这些推广形式，在研究函数的性质中，显得更为方便有用.定理5 ()x f ax →lim 存在⇔{}n a ∀，a a n ≠，且有()∞→→n a a n ，都有(){}n a f 收敛.定理6 ()x f ax +→lim 存在⇔{}n a ∀，1+>n n a a ，且()∞→→n a a n ，都有(){}n a f 收敛.定理7 ()x f ax -→lim 存在⇔{}n a ∀，1+<n n a a ，且()∞→→n a a n ，都有(){}n a f 收敛.对于函数在一点连续也有相应的定理.定理8 ()x f 在a 点连续⇔{}n a ∀，()∞→→n a a n ，都有(){}n a f 收敛于()a f . 作为Heine 定理推广形式的应用，在此举2个例子：例1证明：若函数()x f 在开区间()b a ,单调增加，且有界，则极限()x f ax +→lim 与()x f bx -→lim 都存在.证明：由于()x f 在()b a ,上有定义，则对任意数列{}()b a a n ,⊂，且9⋅⋅⋅>>⋅⋅⋅>>n a a a 21，a a n →因为函数()x f 在开区间()b a ,单调增加且有界，则(){}n a f 单调减少且有下界，由于单调有界数列存在极限，故有(){}n a f 收敛， 由定理6，知()x f ax +→lim 存在，同理，可证明()x f bx -→lim 存在.例2证明：若函数()x f 在()b a ,有定义，且单调增加，则()b a x ,∈∀ ，极限()()x f x f x x -→=-lim 0与()()x f x f x x -→=+lim 0都存在，且()()()00+≤≤- x f x f x f .证明：设()b a x ,∈ ，对开区间()b a ,中任一数列{}n a ，使()∞→→n x a n 且{}n a 严格单调减少，因为函数()x f 在()b a ,上单调增加，则(){}n a f 单调减少，且()() x f a f n ≥. 由单调有界原理，有(){}n a f 收敛， 由定理6，知()()x f x f x x -→=+lim 0存在，且()()0+≤ x f x f ，同理，可证得()()x f x f x x -→=-lim 0存在，且()() x f x f ≤-0.4 Heine 定理的应用海涅定理揭示了变量离散变化与连续变化之间的内在联系，在某种条件下，数列极限与函数极限可以相互转换.104.1 判断、证明函数的极限的存在性海涅定理是判断极限不存在的有力工具，尤其是海涅定理的推论是判断函数极限不存在的一种非常好的方法.例1证明()xx x f 1cos 1⋅=当0→x 时极限不存在. 分析：要证明函数()x f 极限不存在，根据海涅定理的推论2，我们只需构造两个数列{}{}n n b a ,，使他们满足以a 为极限且与它们对应的函数序列的极限存在但不相等来证明函数极限不存在.证明：令数列πn a n 21=， ()π121+=n b n ，其中⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,2,1n ，且0→n a ，0→n b 但0≠n a ，0≠n b ，则有()()+∞=⋅=⋅∞→∞→ππn n a a n nn n 2cos 2lim 1cos 1lim， ()[]()[]-∞=+⋅+=⋅∞→∞→ππ12cos 12lim 1cos 1lim n n b b n n nn ， 因为-∞≠∞+，所以()xx x f 1cos 1⋅=， 在当0→x 时极限不存在.例2证明：函数()xx x f 1sin 1⋅=在(]1,0内无界，但当+→0x 时()x f 不是无穷大. 证明：取221ππ+=n a n ，()⋅⋅⋅=3,2,1n ，则(]1,0∈n a ，且()∞→+=22ππn a f n ，()∞→n ，由海涅定理的推论3可知，()x f 在(]1,0内无界， 若取πn b n 21=，()⋅⋅⋅=3,2,1n ， 则(]1,0∈n b ，且()0≡n b f ， 当∞→n 时，+→0n b ，有()0lim =∞→n n b f ，所以当+→0x 时()x f 不是无穷大.4.2求极限极限运算是工科数学的核心内容，这是因为导数是函数因变量与自变量改变量之比的极限，定（重）积分是一个黎曼和的极限[3-6]，级数的收敛问题是通过转化为极限的存在问题解决的，恰当的运用Henie 定理及其推论能够很好的实现优化极限运算的目的. 4.2.1求函数极限例3 已知xx x 1sinlim 0→存在，求此极限. 分析：已知函数极的限存在，要求函数极限时，只要取一个特殊的数列就可以求得函数极限.解：根据海涅定理，取 πn x n 1=，()⋅⋅⋅=2,1n 则0sin 1lim0=→ππn n x ， 所以01sinlim 0=→xx x . 4.2.2 求数列极限在直接求数列极限比较困难的情况下，可先考察与之相对应的函数极限，利用函数性质及海涅定理可求出数列极限.例4求极限141arctanlim 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→n n n n π，()+∈N n . 分析：令 ()141arctan2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x x x x f π，若()x f n +∞→lim 存在，则设n a n =，有+∞=∞→n n a lim ，+∞≠n a ，由海涅定理可求的极限.解：令()141arctan 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x x x x f π， 则()141arctan lim lim 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+∞→+∞→x x x x f x x π 1141arctan lim 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+∞→x x x x π14613lim 22+++=+∞→x x x x （由洛必达法则得）21= 由Heine 定理，有21141arctanlim 2=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→n n n n π. 4.3证明函数极限的性质利用海涅定理，可以把函数极限的问题转化为数列极限，再根据数列极限的性质，可证明相应的函数性质.例5 若()a U x∈∀，有()()()x h x g x f ≤≤，且()()b x h x f ax ax ==→→lim lim ，则()b x g ax =→lim .证明：已知()()b x h x f ax ax ==→→lim lim ，根据海涅定理的必要条件，()a U内任意数列{}n a ，a a n ≠，且a a n n =∞→lim ，有()()b a h a f n n n x ==∞→∞→lim lim ，又已知N n ∈∀，有()()()n n n a h a g a f ≤≤， 由数列的两边夹法则[7-11]，有 ()b a g n n =∞→lim ,再根据海涅定理的充分条件，有 ()b x g ax =→lim .例6对0>∀ε，0>∃A ，A x >∀'与A x >∀"有()()ε<-"'x f x f ，则极限()x f x +∞→lim 存在.证明：取数列{}n x ，且()∞→+∞→n x n ，即 0>A ，N N ∈∃1，1N n >∀⇒A x n >， 由已知条件1N n >∀，1N m >∀⇒()()ε<-m n x f x f ，根据数列柯西收敛准则[12-14]，数列(){}n X f 收敛，设 ()b x f n n =∞→lim ，即0>∀ε，N N ∈∃2，2N n >∀⇒()ε<-b x f n ，下面证明，对任意数列{}n y ，()∞→+∞→n y n 都有()b y f n n =∞→lim ，已知()∞→+∞→n y n ，即0>A ，N N ∈∃3，3N n >∀⇒A y n >， 由已知条件，有()()ε<-n n y f x f ， 于是N n >∀⇒()()()()εεε2=+<-+-≤-b x f x f y f b y f n n n n即()b y f n n =∞→lim ，根据海涅定理，有()b x f x =+∞→lim ，所以极限()x f x +∞→lim 存在.4.4判断函数在某点的可导性应用海涅定理，可求得函数差商的极限，从而可判断函数再某点的可导性. 例7证明函数()()x D x x f 2=（其中()x D 为Dirichlet 函数[15]）在原点可导，而在其他点出不可导.证明：因为()()()()()00lim 0lim 00lim '0200f x xD xx D x x f x f x x x ===-=--→→→， 所以()x f 在原点可导且()00'=f ，当0≠ x 时，设数列{}n x 是大于且趋于 x 的有理数列，数列{}'nx 是大于且趋于 x 的无理数列，于是，当 x 为无理数时，因为()()+∞=-=--∞→∞→x x x x x x f x f n nn n n n 2lim lim ，但()()0lim ''=--∞→x x x f x f n n n ， 由海涅定理可知()x f 在无理点 x 处不可导； 当 x 为非零有理点时，因为()()()x x x x x x x x x x f x f n n n n n n n n 2lim lim lim 22=+=--=--∞→∞→∞→，但()()-∞=--∞→x x x f x f n n n ''lim ， 由海涅定理可知()x f 在非零有理点 x 处也不可导， 所以()()x D x x f 2=只在原点可导，而在其他点出不可导.4.5判断级数敛散性级数实质上是一个和式的极限，因此运用Henie 定理及其推论判断常数项级数的敛散性是一种有效的方法.例8判断级数∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-11ln 1n n n n 的敛散性. 解：构造函数()()21ln x x x f +-=，当0→x 时，()x f 经过Taylor 展开为： ()()21ln x x x f +-=()21642⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=x o x xx x()214221⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=x o x x x因为0→x 时，()()4221424121x o x x o x +-→⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-所以，当0→x 时，()()532142421x o x x o x x x +→⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--即当0→x 时，()x f 与3x 为同阶无穷小， 或()41lim3=→xx f x 令na n 1=，由海涅定理，有4111ln 1lim3=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→n nn n x 又因为级数∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛131n n 收敛， 所以级数∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-11ln 1n n n n 收敛. 4.6对函数()x f 的局部利用海涅定理，求函数()x f 的极限如果函数()x f 能写成几个函数的乘积形式，其中一个或几个函数的极限能够比较方便地利用海涅定理求出，并且其他函数的极限的求得比较简单.这时求函数()x f 的极限就可用这种方法.例9求极限()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅+∞→1112lim n nn x x n ()0>x 解：因为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅+1112n nx x n ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⋅=++111112n n n x x n ()()()11111111+⋅+⋅-⋅=++n nn nx xn n n 由于x x x tx t t t t ln ln lim 1lim 0=⋅=-∞→→ 有海涅定理可知()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⋅=+⋅-+∞→+∞→111211lim ln 111lim n nn n n n x x n x n nx ()()()1lim 111lim lim 1111+⋅+⋅-⋅=∞→+∞→+∞→n n n nx x n n n n n nx ln =.4.7根据函数的特性，应用海涅定理分析解决其他问题例10设()x f 为周期函数，且()0lim =+∞→x f x ，证明()0≡x f .分析：抓住()x f 为周期函数.假设有一点 x 使得()0≠ x f ，则有无穷多个点nT x + ，()⋅⋅⋅=,2,1n ，使得()()0>=+ x f nT x f .当n 充分大时，nT x + 也可以取得充分大.由条件()0lim =+∞→x f x 推出()() x f nT x f <+，从而得出矛盾.证法一：用反证法假设()0≡x f 不成立，则至少存在一点 x 使得()0≠ x f ，因为()0lim =+∞→x f x故对于()0>= x f ε，总存在0>M ，当M x >时，有()() x f x f =<ε 设T 为()x f 的周期，取定一个正整数n ，使得M nT x >+ ，则有()() x f nT x f <+由于()x f 为周期函数，所以()() x f nT x f =+ 这与上式矛盾，所以 ()0≡x f .证法二：设T 为()x f 的周期， x 为任一固定实数， 取nT x x n += ， ()⋅⋅⋅=,2,1n于是由周期函数的定义有()()() x f nT x f x f n =+=，()⋅⋅⋅=,2,1n 所以有()() x f x f n n =∞→lim ， ()1由于()0lim =+∞→x f x ，又+∞=∞→n n x lim ，所以根据海涅定理有()0lim =+∞→n n x f ， ()2于是由()1和()2式，并由极限的唯一性可得()0= x f ，又因为 x 为任一实数，所以对一切实数x ，有 ()0≡x f .例11命题：“若()x f '在()+∞∞-,上连续，()x f 在()+∞∞-,上有界，则()x f '在()+∞∞-,上也有界”是否正确？解 因为()2sin x x f =在()+∞∞-,上有界且其导数在()+∞∞-,连续， 但在点πn x n 2=处有()πn x f n 22'=，从而()∞=∞→n n x f 'lim .所以命题不正确.若能充分观察到2sin x 所特有的有界性及在∞点领域内的无限振荡性，及狄利克莱函数()x D 在任意领域内的无线振荡性，，则很多举反例的问题就迎刃而解了。
