基本不等式—最值—对勾函数耐克函数(学案 附答案)

第2讲 基本不等式精讲+对勾函数暴力讲解【学习目标】1.了解基本不等式的证明过程.2.会用对勾函数的性质求特定函数的最值3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.【要点梳理】要点1 对勾函数()0,0by ax a b x=+>>的图像与性质 （1） 定义域：()(),00,-∞+∞；（2） 值域：(),2,ab ⎡-∞-+∞⎣； （3） 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称；（4） 图像在一、三象限，当0x >时，by ax x=+≥x =等号），即()f x 在x =0x <时，()f x 在x =-；（5） 单调性：增区间⎫+∞⎪⎪⎭，,⎛-∞ ⎝，减区间是⎛ ⎝，⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭要点2 基本不等式 基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 要点3 几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 要点4 利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 【经典例题】 题型1 基本公式套用例1 【★】已知a ，b ，0c >，且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值为________．例2 【★•2019秋•徐汇区校级期中】设0x >，0y >，下列不等式中等号能成立的有（ ）． ①114x yx y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②()114x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭；24；④4x y ++；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3 【★•2019秋•历下区校级月考】设,a b +∈R ，则下列各式中不一定成立的是（ ）． A ．2a b ab + B ．2b aa b+C 222abD ．2ab ab a b+例4 【★•2019秋•迎泽区校级月考】已知实数1x >，则91x x +-的最小值为（ ）． A ．4B ．6C ．7D ．10例5 【★★】设a ，0b >，5a b +=+________．例6 【★★•2019秋•梅河口市校级期末】已知a ，b 为正数，2247a b +=，则大值为（ ）．A B C ．D ．2题型2 对勾函数例1【★★•2019秋•淮安期末】函数22(1)1y x x x =+>-的最小值是( ) A ．2B ．4C ．6D ．8例2【★★•2020春•龙华区校级月考】若1x >，则1411x x ++-的最小值等于( ) A ．6B ．9C ．4D ．1例3【★★•2019春•河北月考】若1x <，则2471x x x -+-的( )A ．最小值为2B ．最大值为2C ．最小值为6-D ．最大值为6-例4【★★•2019春•东湖区校级月考】函数24(0)1x x y x x ++=>+的最小值是( )A ．3B ．4C ．103D ．6例5【★★•2019秋•常熟市期中】若2x >，则函数42y x x =+-的最小值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6题型3 “1”的代换例1．【★★•2020•韶关二模】已知0x >，0y >，且121x y+=，则2x y +的最小值是( ) A ．7B ．8C ．9D ．10例2．【★★•2020•辽阳二模】已知0a >，0b >，32a b ab +=，则23a b +的最小值为()A ．20B ．24C ．25D ．28例3．【★★•2020春•九龙坡区校级期中】若x ，y R +∈，且315x y+=，则34x y +的最小值是( )A ．5B ．245C D ．195例4．【★★•2020春•昌吉市期中】若0a >，0b >，23a b +=，则36a b+的最小值为( ) A ．5 B ．6C ．8D ．9题型4 x ，y ，xy 型例1【★★•2019春•江岸区校级期末】已知223a b ab ++=，0a >，0b >，则2a b +的取值范围是( )A ．(0,3)B ．[33)C ．[2，)+∞D ．[2，3)例2【★★•2020春•浙江期中】已知0x >，0y >，3236x y xy ++=，则3x y +的最小值为 ．例3【★★•2020春•定海区校级月考】已知实数a ，b 满足1a >，0b >且2220a b ab +--=，那么2a b +的最小值是 ．例4【★★•2020•红桥区模拟】已知0x >，0y >，35x y xy +=，则2x y +的最小值是 ． 例5【★★•2020•河西区二模】已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为例6【★★•2020•锡山区校级模拟】已知01a <<，01b <<，且44430ab a b --+=，则12a b+的最小值是 ．题型5 2x ，2y ，xy 型例1【★★•2020•浙江模拟】对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为( ) A ．12-B ．12C ．2-D ．2例2【★★•2019秋•聊城期末】若实数x ，y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是()A ．6B ．4C D ．23例3【★★•2020春•浙江期中】若正数x ，y 满足2249330x y xy ++=，则xy 的最大值是() A ．43B ．53C ．2D ．54例4【★★•2020•南通模拟】（2020•南通模拟）已知实数x ，y 满足22210x xy y ---=，则222522x yx xy y +++的最大值为 ．【课后练习】1．【★2020春•福州期中】以下结论，正确的是（ ） A ．y ＝x +≥4 B ．e x +＞2C ．x （1﹣x ）≤（）2＝D ．sin x +（0＜x ＜π）的最小值是22．【★★2020•湖北模拟】直线2ax +by ﹣2＝0（a ＞0，b ＞0）过函数图象的对称中心，则的最小值为（ ） A ．9B ．4C ．8D ．103．【★★2020•滨海新区模拟】已知正实数a ，b 满足a +b ＝1，则的最小值为（ ） A ．13B ．11C ．10D ．94．【★★2020•河东区一模】已知实数a 、b ，ab ＞0，则的最大值为（ ）A．B．C．D．6。

基本不等式与对勾函数b、对勾函数y = ax • b (a . 0,b .0)的图像与性质x性质： 1.定义 '*_f(x) =aj+ —>C.A A 0) 当孟a 0*. == 3 + —2石瓦f 当 且仅当站=—)」AX当孟= —(iix + —｝台 2-Jab,X所臥得到血点坐标A (£.2加)』,_2石咬一41 I I 1*iI I i i| I I5-—_—M —— —三 <_ — ■. ■■ ■■ ■ ■“ ■ ■■ tM' — —' "W— ■* ~ — 1(-=,0) (0,二)2. 值域：(-：：,-2 . ab) (2、ab,：：)3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即 f(x) f(-x) =0 4. 图像在一、三象限当x =0时，由基本不等式知 yuax + PzzJab (当且仅当x = J 匕取等号)，xV a由奇函数性质知: 当x<0时，f (x)在x= — 时，取最大值 -^ab\ a一、对勾函数的变形形式 类型一：函数y =ax • b (a ：：： 0, b ：：： 0)的图像与性质 x此函数与对勾函数 y =(-a)x • J?关于原点对称，故函数图像为x即f (x)在x=—时，取最小值a2 . ab5.单调性：增区间为( 减区间是(0，性质: 类型二：斜勾函数y = ax • b (ab ：：： 0)xf(x)二2ax bx c(ac 0)此类函数可变形为cc f(x)二ax b ，贝y f(x)可由对勾函数 y 二ax上下平移得到xx性质： ②a 0,b . 0作图 如下： 类型三：函数例1作函数f (x) x2 x 1的草图解：f(x)二匚x1f(x)=x 1作图如下:x类型四：函数f(x)=x・a(a 0,k") x k此类函数可变形为a t af(x)=(x，k )-k ,则f (x)可由对勾函数y = x 左右平移,x上下平移得到例2作函数f (x)的草图x -2解：f (x) 例3作函数f(x)=x-2 12作图如下:x — 2=xx -2x 3x 2x 3x「f(x)二x的作图:x 2 1 1 1 f (x) x=1 x=x 2 1 x+2 x+2 x+21 练习：1.求函数f(x) =x 在(2/ ::)上的最低点坐标2x —4 解：f (x)X2.求函数f(X )= X的单调区间及对称中心X —1a.若a • 0 ,则f (x)的单调性和对勾函数 y = x •巴的单调性相反，图像如下: x1 .定义域：(一匚片•：：)由奇函数性质知: 当x<0时，f (x)在x= - b 时，取最小值-—a _2Jb5.单调性：减区间为( Jb, +30 ), (一00，-Jb )增区间是[- b, b]类型五： ax函数 f (X )二 2(a = 0,b . 0)f (x)二x 2 b3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个倒着的“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈 中心对称，即f(x) f (-x) =04.图像在一、三象限 当x 0时，由基本不等式知f (x) V ——a 二a (当且仅当X 二• b 取等号2"： 2"即f (x)在x - b 时，取最大值a2“b此类函数定义域为R ，且可变形为性质:3当 x=1 时，f(x)二X-12(x —1)23(xT) 4 (X-1)3(xT) 4 x 〔4x — 1问：若区间改为［4,则f (x)的最大值为2x 7x 10类型七：函数f(x)2x max +bx+cx 1x例4作函数f(x)二—X x 解：f(x)二: x +1 11 x - xb.若acO ,作出函数图像： 2x r 的草图 x 2 4 例5作函数f (x)二类型六：函数 f (x)二 ax bx c(a = 0) x 十m 2 此类函数可变形为f(xH a(X m) S(X m)=a(x m) —t — s(at 0)x+ m则f (x)可由对勾函数 y 二ax •丄左右平移，上下平移得到 xx 2+x +1 1 例6说明函数f(x) 由对勾函数y=x 如何变换而来 ■ x 解：f(x)= (x 1)2 -(x 1) ^x . 1 1 X 十1 故 此函数f (x)可由对勾函数 (填“上”、“下”)平移*1宀 y = x 向 __________ x单位.草图如下:(填 “左”、“右”)平移 单位,2.已知x 1 ，求函数f (X )口x 2 9x -10x-1的最大值练习：1.已知x ^ -1，求函数f(x)=的最小值例7求函数f ( X )工 在区间(1, •二)上的最大值解：当x =1时，f (1)=0x + b 类型八：函数f (x)=Jx + a此类函数可变形为标准形式：f(x^x a ^^./xb-a (b_a.O) v x + ax + 3例8求函数f(x)的最小值 <x 解:f(x) =x "4Jx —1x + 5 •求函数f(x)的值域J x +1函数 f(x)=—— v'x 十此类函数可变形为标准形式：解: y =x…x 2 aa2xf (x )= ( X 2 * * a)2 b-ax 2 a二 x 2 a 「Tag °〉工的最小值4x 2 5 =解：f(x) = x 2 4x 2 4 1 f (x)' = lx 2 +4 十 1 Jx 2 +4 lx 2+4练习：1.求函数f (X )例10已知a 0,求函数y= X 2 1、—2 的值域X 2 17x 2a 1 .X 2—a 的最小值。

4
4
无法直接使用基本不等式，需要凑配位和定：
f (x) 4x(3 2x) 22x(3 2x) 2( 2x 3 2x)2 9 ；
2
2
再如：f (x) 4x 2 1 直接使用基本不等式，则 f (x) 4x 2 1 2 (4x 2) 1 ，
4x 5
4x 5
4x 5
发现积不定，则需要凑配为积定：
【答案】1
【详解】因为 a 1，所以 a 2 a 1 2 1 2 a 1 2 1 2 2 1，
a 1
a 1
a 1
当且仅当 a 1 2 时取等号．故 m 2 2 1， n 2 1，所以， 2n m 1． 故答案为：1. 2．（2022·云南·屏边苗族自治县第一中学高一阶段练习）（ 若 x 2 ，求： x 2 的最小值.
【答案】(1) 9
【详解】（1）由题得 y 4x 1 1 4(x 1) 1 5，
x 1
x 1
因为 x 1，所以 x 1 0 ，
所以 4(x 1) 1 5 2 4(x 1) 1 5 9 ，
x 1
x 1
当且仅当 4(x 1) 1 ，即 x 3 时取得等号，
x 1
2
所以 y 4x 1 1 的最小值为 9 . x 1
y
4x2
9 x2
2
4x2
9 x2
12 ，
当且仅当 4x2
9 x2
，即 x
6 时取等号，
2
所以 ymin 12 ， 故选：C.
2．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高二学业考试）若 x 0 ，则 x 1 1的最小 x
值是（ ）
A．0 【答案】B
B．1
C． 3 2

形如
()(0)a f x x a x
=+>的最值 一、教学目标： 掌握利用基本不等式求最值须满足的条件；利用单调性求函数的最值。

二、教学重点和难点：
①分类讨论能力，使学生掌握分类的依据，当含有字母时应对其对应区间特别是区间两
端点的位置关系进行讨论。

②数形结合能力，利用函数的单调性求最值。

三、教学过程：
1、复习提问： 复习()(0)a f x x a x
=+>的图像与性质： （1）图像：（通过几何画板演示得出）
（2）性质：
①定义域：()(),00,-∞+∞；
②值域： ()
,2,a ⎡-∞-+∞⎣； ③奇偶性：奇函数；
④单调性：当()f x 在(,-∞及)
+∞上是增函数；
当()f x 在)⎡⎣及(上是减函数； 2、新课讲解：
例1、设4()f x x x
=+，试求()f x 的最小值。

（1）(]0,1x ∈；（2）(]0,3x ∈；
思考1、（3）当(]()0,0x n n ∈>，
例2、设函数(),0a f x x a x =+
>，[]1,2x ∈；试求()f x 的最小值。

（1）14
a =；（2）5a =；（3）2a =；
思考2：设函数()a f x x x =+，0a >，[]1,2x ∈，试求()f x 的最小值。

课堂小结：
思考3：设函数(),0a f x x a x =+
>，[]1,2x ∈；试求()f x 的最大值。

（1）14
a =
；（2）5a =；（3）2a =；
3、作业：练习册37页。

我的名字叫对勾函数，因为长得像“NIKE”，所以大家给我一个亲切的名字，“耐克”函数。

我的解析式是y=ax+b/x（a>0，b>0)，我的图像可不像一般的函数哦~它是这样的~（告诉你个秘密，它是无限接近与纵坐标的哦~）
大家看到我的图像应该有点想法的吧，没错，我是个奇函数哦~还有哦~我也是有单调性的！！！想知道怎么求吗？！你猜呀，猜对就告诉你。

好吧，不傲娇了，看到那两个钩子的最低点了不，一个是x=√b/a，另一个就是x=-√b/a。

令k=√(b/a），那么，增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0<x≤k} 变化趋势：在y轴左边，增减，在y轴右边，减增，是两个勾。

那大家现在应该知道怎么求最值问题了吧~ 对了哦~知道怎么求出来这两个点的横坐标的不？！用基本不等式啊！！！！！！
高一（二）江悦健7。

对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。

如图一、对勾函数f(x)=ax+错误！未找到引用源。

的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。

它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误！未找到引用源。

（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。

当a ≠0，b ≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。

这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。

故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。

如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。

但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。

（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。

）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。

之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：当x>0时，错误！未找到引用源。

当x<0时，错误！未找到引用源。

即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数，二、均值不等式(基本不等式） 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，又被称为“双勾函数”、"勾函数"等。

也被形象称为“耐克函数”或“耐克曲线”所谓的对勾函数（双曲线函数），是形如f(x)=ax+b/x（a>0)的函数。

由图像得名。

图像对勾函数：图像，性质，单调性第三行为f（x）=-（ax+b/y）大于等于2√ab对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示，在作图时最好画出渐近线，y=ax。

奇偶性与单调性当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当x=sqrt(b/a）的时候（sqrt表示求二次方根）奇函数。

令k=sqrt(b/a），那么：增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0<x≤k} 变化趋势：在y轴左边，增减，在y轴右边，减增，是两个勾。

渐近线对勾函数的图像是分别以y轴和y=ax为渐近线的两支双曲线。

均值不等式(基本不等式）对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。

我们都知道，（a-b)^2≥0，展开就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab，两边同时加上2ab，整理得到（a+b)^2≥4ab，同时开根号，就得到了平均值定理的公式：a+b≥2 sqrt(ab）。

把ax+b/x套用这个公式，得到ax+b/x≥2sqrt(axb/x)=2sqrt(ab），这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a），对应的f(x)=2sqrt(ab）。

我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求平均数的公式。

那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。

这些知识点也是非常重要的。

专题：对数教学目标理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题.知识梳理1. 定义：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）.记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N3. 根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当0,1a a >≠时，log b a N b a N =⇔=.4. 负数与零没有对数；log 10a =， log 1a a =典例精讲【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）712128-=； （2）327a =； （3）1100.1-=；（4）12log 325=-； （5）lg 0.0013=-； （6）ln100=4.606.解：（1）21log 7128=-； （2）3log 27a =； （3）lg 0.11=-；（4）51()322-=； （5）3100.001-=； （6） 4.606100e =.【例2】计算下列各式的值：（1）lg 0.001； （2）4log 8； （3）ln e .解：（1）设lg 0.001x =，则100.001x =，即31010x -=，解得3x =-. 所以，lg 0.0013=-. （2）设4log 8x =，则48x =，即2322x =，解得32x =. 所以，43log 82=. （3）设ln e x =，则xe e =，即12xe e =，解得12x =. 所以，1ln 2e =.【例3】求证：（1）log n a a n =； （2）log log log a a a M M N N-=.证明：（1）设log n a a x =，则n x a a =，解得x n =. 所以log n a a n =.（2）设log a M p =，log a N q =，则p a M =，q a N =. 因为p p qqM a aN a-==，则log log log aa a M p q M N N=-=-.所以，log log log a a aM M N N-=.点评：对数运算性质是对数运算的灵魂，其推导以对数定义得到的指对互化关系为桥梁，结合指数运算的性质而得到. 我们需熟知各种运算性质的推导.【例4】试推导出换底公式：log log log c a c b b a=（0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）.证明：设log c b m =，log c a n =，log a b p =，则m c b =，n c a =，pa b =.从而()n p m c b c ==，即np m =. 由于log log 10c c n a =≠=，则m p n=.所以，log log log c a c b b a=.点评：换底公式是解决对数运算中底数不相同时的核心工具. 其推导也密切联系指数运算性质，牢牢扣住指对互化关系.巩固练习1．log (0,1,0)b N a b b N =>≠>对应的指数式是（ ）. A. b a N = B. a b N = C. N a b = D. N b a = 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）. A. 01ln10e ==与 B. 1()381118log 223-==-与C. 123log 9293==与 D. 17log 7177==与 3．设lg 525x =，则x 的值等于（ ）.A. 10B. 0.01C. 100D. 1000 4．设13log 82x=，则底数x 的值等于（ ）.A. 2B. 12C. 4D.145．已知432log [log (log )]0x =，那么12x -等于（ ）.A.13B.123C.122D.1336．若21log 3x =，则x = ； 若log 32x =-，则x = .7．计算：3log 81= ； 6lg 0.1= .※能力提高8．求下列各式的值：（1）22log8； （2）9log 3.9．求下列各式中x 的取值范围：（1）1log (3)x x -+； （2）12log (32)x x -+.※探究创新10．（1）设log 2a m =，log 3a n =，求2m n a +的值.（2）设{0,1,2}A =,{log 1,log 2,}a a B a =，且A B =，求a 的值.回顾总结专题:对数函数的性质教学目标通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.掌握对数函数的性质，并能应用对数函数解决实际中的问题. 知道指数函数y =a x 与对数函数y =log a x 互为反函数. （a > 0, a ≠1）知识梳理1. 定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数a y=log x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ； 函数的定义域是（0，+∞）.2. 由2log y x =与12log y x =的图象，可以归纳出对数函数的性质：定义域为(0,)+∞，值域为R ；当1x =时，0y =，即图象过定点(1,0)；当01a <<时，在(0,)+∞上递减，当1a >时，在(0,)+∞上递增.3.当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function ）. 互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称.4. 函数(0,1)x y a a a =>≠与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数.5. 复合函数(())y f x ϕ=的单调性研究，口诀是“同增异减”，即两个函数同增或同减，复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是：（i ）求定义域；（ii ）拆分函数；（iii ）分别求(),()y f u u x ϕ==的单调性；（iv ）按“同增异减”得出复合函数的单调性.典例精讲【例1】比较大小：（1）0.9log 0.8，0.9log 0.7，0.8log 0.9； （2）3log 2，2log 3，41log 3.解：（1）∵ 0.9log y x =在(0,)+∞上是减函数，且0.90.80.7>>， ∴ 0.90.91log 0.8log 0.7<<. 又 0.80.8log 0.9log 0.81<=， 所以0.80.90.9log 0.9log 0.8log 0.7<<. （2）由 333log 1log 2log 3<<，得30log 21<<. 又22log 3log 21>=，441log log 103<=，所以4321log log 2log 33<<.【例2】求下列函数的定义域：（1）2log (35)y x =-；（2）0.5log (4)3y x =-.解：（1）由22log (35)0log 1x -≥=，得351x -≥，解得2x ≥.所以原函数的定义域为[2,)+∞.（2）由0.5log (4)30x -≥，即30.50.5log (4)3log 0.5x ≥=，所以3040.5x <≤，解得1032x <≤. 所以，原函数的定义域为1(0,]32.【例3】已知函数()log (3)a f x x =+的区间[2,1]--上总有|()|2f x <，求实数a 的取值范围. 解：∵ [2,1]x ∈--， ∴ 132x ≤+≤当1a >时，log 1log (3)log 2a a a x ≤+≤，即0()log 2a f x ≤≤. ∵ |()|2f x <， ∴{1log 22a a ><， 解得2a >.当01a <<时，log 2log (3)log 1a a a x ≤+≤，即log 2()0a f x ≤≤. ∵ |()|2f x <， ∴{01log 22a a <<>-， 解得202a <<.综上可得，实数a 的取值范围是2(0,)(2,)2+∞ .点评：先对底数a 分两种情况讨论，再利用函数的单调性及已知条件，列出关于参数a 的不等式组，解不等式（组）而得到参数的范围. 解决此类问题的关键是合理转化与分类讨论，不等式法求参数范围.【例4】求不等式log (27)log (41)(0,1)a a x x a a +>->≠且中x 的取值范围.解：当1a >时，原不等式化为2704102741x x x x +>⎧⎪->⎨+>-⎪⎩，解得144x <<.当01a <<时，原不等式化为 2704102741x x x x +>⎧⎪->⎨+<-⎪⎩，解得4x >.所以，当1a >时，x 的取值范围为1(,4)4；当01a <<时，x 的取值范围为(4,)+∞.点评：结合单调性，将对数不等式转化为熟悉的不等式组，注意对数式有意义时真数大于0的要求. 当底数a 不确定时，需要对底数a 分两种情况进行讨论【例1】讨论函数0.3log (32)y x =-的单调性.解：先求定义域，由320x ->, 解得32x <. 设332,(,)2t x x =-∈-∞，易知为减函数.又∵ 函数0.3log y t =是减函数，故函数0.3log (32)y x =-在3(,)2-∞上单调递增. 【例2】（05年山东卷.文2）下列大小关系正确的是（ ）. A. 30.440.43log 0.3<< B. 30.440.4log 0.33<< C. 30.44log 0.30.43<< D. 0.434log 0.330.4<<解：在同一坐标系中分别画出40.4,3,log x x y y y x ===的图象，分别作出当自变量x 取3，0.4，0.3时的函数值.观察图象容易得到：30.44log 0.30.43<<. 故选C.【例3】指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象有何关系？ 解：在指数函数x y a =的图象上任取一点00(,)M x y ，则00x y a =. 由指对互化关系，有00log a y x =.所以，点00'(,)M y x 在对数函数log a y x =的图象上. 因为点00(,)M x y 与点00'(,)M y x 关于直线y x =对称，所以指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象关于直线y x =对称.点评：两个函数的对称性，由任意点的对称而推证出来. 这种对称性实质是反函数的图象特征，即函数x y a =与log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数，而互为反函数的两个函数图象关于直线y x =对称.巩固练习1．下列各式错误的是（ ）.A. 0.80.733>B. 0.10.10.750.75-<C. 0..50..5log 0.4log 0.6>D. lg1.6lg1.4>.2．当01a <<时,在同一坐标系中,函数log x a y a y x -==与的图象是（ ）.A B C D3．下列函数中哪个与函数y =x 是同一个函数（ ） A.log (0,1)a xy a a a =>≠ B. y =2xxC. log (0,1)x a y a a a =>≠D. y =2x4．函数12log (1)y x =-的定义域是（ ）.A. (1,)+∞B. (,2)-∞C. (2,)+∞D. (1,2]5．若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ）.A. 1 m n >>B. 1n m >>C. 01n m <<<D. 01m n <<< 6．函数3log y x =的定义域为 . （用区间表示）7．比较两个对数值的大小：ln 7 ln 12 ； 0.5log0.7 0.5log 0.8.※能力提高8．求下列函数的定义域：（1） ()()34log 11x f x x x -=++-； （2）21log (45)y x =--.9．已知函数2()3log ,[1,4]f x x x =+∈，22()()[()]g x f x f x =-，求： （1）()f x 的值域； （2）()g x 的最大值及相应x 的值.※探究创新10．若,a b 为不等于1的正数，且a b <，试比较log a b 、1log ab、1log bb.1．函数1lg1x y x+=－的图象关于（ ）. A. y 轴对称B. x 轴对称C. 原点对称D. 直线y ＝x 对称2．函数212log (617)y x x =-+的值域是（ ）.A. RB. [8,)+∞C. (,3]-∞-D. [3,)+∞xy1 1oxy o 1 1oy x11 oy x1 13．（07年全国卷.文理8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ）.A.2B. 2C. 22D. 44．图中的曲线是log a y x =的图象，已知a 的值为2，43，310，15，则相应曲线1234,,,C C C C 的a 依次为（ ）.A. 2，43，15，310B.2，43，310，15 C.15，310，43，2 D. 43，2，310，155．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是（ ）. A. 12log (1)y x =+ B. 22log 1y x =- C. 21log y x= D.20.2log (4)y x =-6． 函数2()lg(1)f x x x =+-是 函数. （填“奇”、“偶”或“非奇非偶”） 7．函数x y a =的反函数的图象过点(9,2)，则a 的值为 . ※能力提高 8．已知6()log ,(0,1)af x a a x b=>≠-，讨论()f x 的单调性.※探究创新10． 已知函数()log (1),()log (1)a a f x x g x x =+=-其中(01)a a >≠且．（1）求函数()()f x g x -的定义域； （2）判断()()f x g x -的奇偶性，并说明理由；（3）求使()()0f x g x ->成立的x 的集合.对数与对数运算（2）教学目标通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；理解推导这些运算性质的依据和过程；能较熟练地运用运算性质解决问题知识梳理1. 对数的运算法则：log ()log log a a a M N M N =+ ，log log log aa a M M N N=-，log log na a M n M =，其中0,1a a >≠且，0,0,M N n R >>∈. 三条法则是有力的解题工具，能化简与求值复杂的对数式.2. 对数的换底公式log log log b a b N N a=. 如果令b =N ，则得到了对数的倒数公式1log log a b b a=. 同样，也可以推导出一些对数恒等式，如log log nna a N N =，log log mn a a n N N m=，log log log 1a b c b c a = 等.0 x C 1C 2C 4C 3 1y典例精讲【例1】化简与求值：（1）221(lg 2)lg 2lg 5(lg 2)lg 212++-+ ；（2）2log (4747)++-.解：（1）原式=2211(lg 2)lg 2lg 5(lg21)22++- =211lg 2lg 2lg 5(lg21)42+--=2111lg 2lg 2lg 5lg 21422+-+ =1lg 2(lg 22lg 52)14+-+=1lg 2(lg 1002)10114-+=+=.（2）原式=1222log (4747)⨯++-=221log (4747)2++-=221log (4747247)2++-+-=21log 142.【例2】若2510a b ==，则11a b+= . （教材P 83 B 组2题）解：由2510a b ==，得2log 10a =，5log 10b =. 则251111lg 2g 5lg 101log 10log 10a b +=+=+==.【例3】 （1）方程lg lg(3)1x x ++=的解x =________；（2）设12,x x 是方程2lg lg 0x a x b ++=的两个根，则12x x 的值是 . 解：（1）由lg lg(3)1x x ++=，得lg[(3)]lg10x x +=， 即(3)10x x +=，整理为23100x x +-=.解得x =－5或x =2. ∵ x ＞0， ∴ x =2.（2）设lg x t =，则原方程化为20t at b ++=，其两根为1122lg ,lg t x t x ==. 由121212lg lg lg()lg10b t t x x x x b +=+=== ，得到1210b x x = .点评：同底法是解简单对数方程的法宝，化同底的过程中需要结合对数的运算性质. 第2小题巧妙利用了换元思想和一元二次方程根与系数的关系.【例4】（1）化简：532111log 7log 7log 7++；（2）设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ⋅⋅⋅= ，求实数m 的值. 解：（1）原式=77777log 5log 3log 2log (532)log 30++=⨯⨯=. （2）原式左边=2222222222log 4log 5log 2006log log 3log log 3log 4log 2005log 2006mm ⋅⋅⋅=, ∴ 422log 4log 2m ==， 解得16m =.点评：换底时，一般情况下可以换为任意的底数，但习惯于化为常用对数. 换底之后，注意结合对数的运算性质完成后阶段的运算.巩固练习1．1logn n++（1n n ＋－）等于（ ）. A. 1B. －1C. 2D. －2 2．25log()(5)a -（a ≠0）化简得结果是（ ）. A. －aB. a 2C. ｜a ｜D. a3．化简3lg 2lg 5log 1++的结果是（ ）.A.12B. 1C. 2D.104．已知32()log f x x =, 则(8)f 的值等于（ ）. A. 1 B. 2 C. 8 D. 125．化简3458log 4log 5log 8log 9⋅⋅⋅的结果是 （ ）. A .1 B.32C. 2D.36．计算2(lg 5)lg 2lg 50+⋅＝ . 7．若3a ＝2，则log 38－2log 36＝ . ※能力提高 8．（1）已知18log 9a =，185b =，试用a 、b 表示18log 45的值； （2）已知1414log 7log 5a b ==，，用a 、b 表示35log 28.※探究创新10．（1）设,,x y z 均为实数，且34x y =，试比较3x 与4y 的大小.（2）若a 、b 、c 都是正数，且至少有一个不为1，1x y z y z x z x y a b c a b c a b c ===，讨论x 、y 、z 所满足的幂函数¤学习目标：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x, y=x 2, y=x 3, y =1/x , y=x 1/2 的图像，了解它们的变化情况. 知识要点：1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握y x =，2y x=，3y x =，1/2y x=，1y x -=这五个常用幂函数的图象.2. 观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当0α>时，图象过定点(0,0),(1,1)；在(0,)+∞上是增函数.（2）当0α<时，图象过定点(1,1)；在(0,)+∞上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数α由小到大. y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α由小到大.¤例题精讲：【例1】已知幂函数()y f x =的图象过点(27,3)，试讨论其单调性.解：设y x α=，代入点(27,3)，得327α=，解得13α=，所以13y x =，在R 上单调递增.【例2】已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且2()m y xm Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值．解：∵ 幂函数图象与x 、y 轴都没有公共点，∴{6020m m -<-<，解得26m <<.又 ∵ 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称， ∴ 2m -为偶数，即得4m =. 【例3】幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图象如图所示，则（ ）. A ．101n m -<<<< B ．1,01n m <-<<C ．10,1n m -<<>D ．1,1n m <->解：由幂函数图象在第一象限内的分布规律，观察第一象限内直线1x =的右侧，图象由下至上，依次是n y x =，1y x -=，0y x =，m y x =，1y x =，所以有101n m <-<<<. 选B.点评：观察第一象限内直线1x =的右侧，结合所记忆的分布规律. 注意比较两个隐含的图象1y x =与0y x =.【例4】本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区2a m 的老房子进行平改坡（“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面改建成坡屋顶，并对外墙面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为），且每年平改坡面积的百分比相等. 若改造到面积的一半时，所用时间需10年. 已知到今年为止，平改坡剩余面积为原来的22.（1）求每年平改坡的百分比；（2）问到今年为止，该平改坡工程已进行了多少年？ （3）若通过技术创新，至少保留24a m 的老房子开辟新的改造途径. 今后最多还需平改坡多少年？解：（1）设每年平改坡的百分比为(01)x x <<，则 101(1)2a x a -=，即11011()2x -=，解得11011()0.0670 6.702x =-≈=%.（2）设到今年为止，该工程已经进行了n 年，则2(1)2na x a -=，即110211()()22n =，解得n =5.所以，到今年为止，该工程已经进行了5年. （3）设今后最多还需平改坡m 年，则 51(1)4m a x a +-=，即521011()()22m +=，解得m =15. 所以，今后最多还需平改坡15年.点评：以房屋改造为背景，从中抽象出函数模型，结合两组改造数据及要求，通过三个等式求得具有实际意义的底数或指数. 体现了代入法、方程思想等数学方法的运用.第18练 §2.3 幂函数※基础达标1．如果幂函数()f x x α=的图象经过点2(2,)2，则(4)f 的值等于（ ）.A. 16B. 2C.116D.122．下列函数在区间(0,3)上是增函数的是（ ）. A. 1y x=B. 12y x = C. 1()3x y = D. 2215y x x =--3．设120.7a =，120.8b =，c 3log 0.7=，则（ ）. A. c <b <a B. c <a <b C. a <b <c D. b <a <c12±四个值，与曲线4．如图的曲线是幂函数ny x =在第一象限内的图象. 已知n 分别取2±，1c 、2c 、3c 、4c 相应的n 依次为（ ）.42510c 4c 3c 2c 1A ．112,,,222-- B. 112,,2,22--C. 11,2,2,22-- D. 112,,,222--5．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（ ）.A.12y x = B. 4y x = C. 2y x-= D.13y x =6．幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2，则(8)f 的值为 .7．比较下列各组数的大小： 32(2)a + 32a ； 223(5)a -+ 235-； 0.50.4 0.40.5.※能力提高8．幂函数273235()(1)t tf x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.一、对勾函数b y ax x=+)0,0(>>b a 的图像与性质性质：1. 定义域：),0()0,(+∞⋃-∞2. 值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f4. 图像在一、三象限当0x >时，由基本不等式知b y ax x=+≥ab 2（当且仅当b x a=取等号），即)(x f 在x=ab 时，取最小值ab 2由奇函数性质知： 当x<0时，)(x f 在x=ab -时，取最大值ab 2-5. 单调性：增区间为（∞+,a b），（a b-∞-,）减区间是（0，a b ），（a b -,0）。

基于图形计算器的教学设计案例借助图形计算器 研究函数(0)ay x a x=+>的图像与性质 执教：杨一奋（江苏省常州市第五中学）【教学内容及解析】函数既是高中数学中的重要内容也是一条纽带，函数的观点和方法贯穿整个高中数学的全过程又把中学数学的各个分支紧紧连在一起。

近几年高考试题中，函数部分占有相当大比重，所考察内容主要有函数定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、以及函数图像的变换等。

对于函数这些性质，学生除了牢固掌握外还必须会灵活应用，并通过它们研究函数性质。

普通高中课程标准实验教科书《数学》的编排也基本是按照这几个方面直线编排，但学生学习后总觉得各部分是孤立的，对其整体理解很欠缺，因此有必要设置一个载体，实现知识点间的横向联系，让学生自主研究。

本课教学重点：函数图像的猜想、验证，函数单调性、值域的归纳及验证，让学生掌握研究方法也是这节课的重点内容。

在系统学习过必修一中的指数函数、对数函数及幂函数后，学生的函数知识掌握情况及函数的意识如何，需要通过新的函数研究加以检验；本课例选用对勾函数作为研究对象，一是因为对勾函数作为一种常见而又特殊的函数，其单调性较基本初等函数复杂，同时涉及到多种类型（本课时限定为研究(0)a y x a x=+>），对学生而言有一定难度和挑战，却也是检测学生函数意识的较好载体。

通过对函数图像的猜想，利用图形计算器验证图像，实现从数到形，从形到数的完美结合，让学生充分感觉数形结合思想的重要性；运用类比思想，找到研究方案，结合图像，归纳新函数性质，再用代数方法证明性质考虑到学生缺少基本不等式及导数的知识准备，在考察对勾函数的极值点（本文称为“转折点”）时会遇到一定的困难，因此选用了图形计算器作为研究工具。

【教学目标及解析】(一)教学目标1、技术操作层面：掌握图形计算器中“表格”、“图形”、“动态图形”等模块的基本操作命令，能利用函数分析等命令自行进行数学观察和思考。

对勾函数讲解与例题解析对勾函数对勾函数:数学中⼀种常见⽽⼜特殊的函数。

如图⼀、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质对勾函数是数学中⼀种常见⽽⼜特殊的函数。

它在⾼中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(⼀) 对勾函数的图像对勾函数是⼀种类似于反⽐例函数的⼀般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正⽐例函数f(x)=ax 与反⽐例函数f(x)= b/x “叠加”⽽成的函数。

这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，⾮常重要。

当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。

故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。

如下图所⽰：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发⽣了质的变化。

但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”⽽成。

（请⾃⼰在图上完成：他是如何叠加⽽成的。

）⼀般地，我们认为对勾函数是反⽐例函数的⼀个延伸，即对勾函数也是双曲线的⼀种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）接下来，为了研究⽅便，我们规定a>0，b>0。

之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(⼆) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利⽤均值不等式可以得到：当x>0时，。

当x<0时，。

即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（⼆）得到了对勾函数的顶点坐标，从⽽我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内是奇函数，⼆、均值不等式(基本不等式）对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

（4）值域： (,2 ab) (2 ab,)
二、典型例题
例 1、如果函数 y kx2k
2
k 2
的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？
解析：有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数 y 又在第二，四象限内，则 k 0 可以求出的值 答案：由反比例函数的定义，得：
k 0） ⑵反比例函数的图像是双曲线，y （ k 为常数， 中自变量 x 0 ， 函数值 y 0 ，
所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不 与坐标轴相交． ⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是 y x 或 y x ） ． ⑷反比例函数 y
k o ko
可求出 k ）
5．反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数，但是反比例函 数y
k 中的两个变量必成反比例关系． x
7．反比例函数的应用 2、耐克函数 在高中数学学习中，我们常常会碰到形如 y ax
b (a 0, b 0) 的函数，我们称这样的函 x
数为“耐克函数”，它是一种类似于反比例函数的重要的函数之一，它的性质及图像有十分鲜 明的特征和规律，其图像形如两个中心对称的对勾，故又名对号函数、对勾函数，在实际问 题中有着广泛的应用． 我们都知道，(a b) 0 ， 展开就是 a 2 b 2 2ab 0 ， 有 a 2 b 2 2ab ， 当且仅当 a b
初高中数学衔接课程教案 14 耐克函数 一、知识点梳理 1、反比例函数 1. 定义：一般地，形如 y 以写成 y kx
1
k k （ k 为常数， k o ）的函数称为反比例函数． y 还可 x x

对勾函数讲解与例题解析对勾函数是一种常见而特殊的函数，虽然在高中教材中不常出现，但在考试中却经常被考到。

对勾函数的图像由直线和双曲线组成，当a，b同号时，形状类似双勾，因此被称为“对勾函数”、“勾勾函数”、“海鸥函数”。

当a，b异号时，图像会发生质的变化，但仍可看作是两个函数叠加而成。

对勾函数认为是反比例函数的一种延伸，其顶点坐标可以通过均值不等式求得。

对勾函数的定义域、值域也可根据顶点坐标得出，且在定义域内是奇函数。

对勾函数的单调性和渐进线也可以从图像中得到。

研究勾函数性质需要用到均值不等式。

均值不等式是根据二次函数推导而来的。

二次函数展开后可以得到a^2+b^2≥2ab，整理后得到(a+b)^2≥4ab，开根号后得到a+b≥2√ab。

将ax+b/x套用这个公式，可以得到ax+b/x≥2√ab，当且仅当ax=b/x时取到最小值，此时x=sqrt(b/a)，对应的f(x)=2√ab。

均值不等式可以写成(a+b)/2≥√ab，其中前面的式子是算术平均数，后面的式子是几何平均数，总结起来就是算术平均数不小于几何平均数。

要求函数y=x+1/x的最小值，可以用均值不等式来解。

因为x>0，所以y=x+1/x≥2√x/x=2，当且仅当x=1时取到最小值，此时y=2.另一种解法是用二次函数的方法，将y=x+1/x表示为y=x^2+1/x^2+2，然后用求根公式求出当y取最小值时对应的x=1，此时y=2.单调性定义是指函数在一定区间内单调递增或单调递减。

如果对于任意的x1,x2，只有x1,x2∈(a,b)时，f(x1)-f(x2)>0，则函数在(a,b)内单调递增；如果对于任意的x1,x2，只有x1,x2∈(a,b)时，f(x1)-f(x2)<0，则函数在(a,b)内单调递减。

因为y=x+1/x在(0,1)内单调递增，在(1,∞)内单调递减，所以当x=1时取到最小值，y=2.复合函数的单调性是指由两个单调递增或单调递减的函数组成的复合函数在一定区间内也具有相同的单调性。

不等式不等式是高考必考的热点内容，考查的广度和深度是其他章节无法比拟的，任何一份高考试卷中，涉及到不等式内容的考点所占比例超过70%。

一方面，考查不等式的性质、解法、证明以及实际应用；另一方面，与高中阶段的数学各个部分都存在着密切的联系。

因此，对于不等式的学习，应达到多层面，多角度熟练掌握的程度。

第一节基本不等式1.若则，等号成立的条件：；证明：当时，,展开后即可得到所求不等式及等号成立的条件。

2.基本不等式的变形（包括2个方面）①若的实数，则,等号成立的条件：；若则,等号成立的条件：；若则,等号成立的条件：；(上述3个不等式，考虑如何证明？)注：上述的不能仅仅理解为两个参数，它可以是表达式或函数的解析式。

②若则等号成立的条件：（注意：不等式的右边是）例题1.已知∞且，求的最小值及的最小值。

解：，∴的最小值为：；求有两种方法，其一是配式，，∴；另一种方法是，由,∵∞，∴。

例题2.已知,求证：。

证明：由基本不等式得：这里等号成立的条件是，；同理，这里等号成立的条件是，，∴而条件是,即对于不等式等号成立，即且即。

注：本题把等号成立的条件，作为求证的目标，比较新颖。

例题3.已知满足求的最小值。

解：,这里,.注：解答本题的关键是，如何运用好，两次使用了基本不等式，但不矛盾。

例题4. 求的最大值。

解：函数的定义域为,可以用其它的方法来解，比如用两边平方转化成二次函数求极值等。

但由于与的两式平方和为常数3，故应用基本不等式的变形公式简单些。

∵2，当且仅当→时成立，故。

例题5.已知,则的最小值为（）。

解：当且仅当等号成立，的最小值为16.注：这里要求2元表达式的的最值，不能直接整体应用基本不等式（即不能直接整体消去a、b）而且也没有给出条件等式（即不可能代入消元）,因此，对局部用基本不等式的变形公式进行处理。

例题6.若二次函数的值域为[0,+∞),则的最小值为（）。

解：由题意得即则，当且仅当a=c=2时，等号成立，所以的最小值为。