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第2课时 利用基本不等式求最值1．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 2．能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．基本不等式与最值 已知x ，y 都是正数，(1)如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； (2)如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x 、y >0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a >0，b >0，且a ＋b ＝16，则ab ≤64.( ) (2)若ab ＝2，则a ＋b 的最小值为2 2.( ) (3)当x >1时，函数y ＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数y 的最小值是2xx －1.( )(4)若x ∈R ，则x 2＋2＋1x 2＋2≥2.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×题型一利用基本不等式求最值【典例1】 (1)若x >0，求y ＝4x ＋9x的最小值；(2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值；(4)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．[思路导引] 利用基本不等式求最值，当积或和不是定值时，通过变形使其和或积为定值，再利用基本不等式求解．[解] (1)∵x >0， ∴由基本不等式得y ＝4x ＋9x≥24x ·9x＝236＝12，当且仅当4x ＝9x ，即x ＝32时，y ＝4x ＋9x 取最小值12.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(3－2x )22＝92.当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取“＝”．∴y 的最大值为92.(3)∵x >2，∴x －2>0， ∴x ＋4x －2＝(x －2)＋4x －2＋2 ≥2(x －2)·4x －2＋2＝6. 当且仅当x －2＝4x －2， 即x ＝4时，x ＋4x －2取最小值6. (4)∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝10＋y x ＋9x y≥10＋29＝16. 当且仅当y x ＝9x y 且1x ＋9y＝1时等号成立， 即x ＝4，y ＝12时等号成立．∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 有最小值16.[变式] (1)本例(3)中，把“x >2”改为“x <2”，则x ＋4x －2的最值又如何？ (2)本例(3)中，条件不变，改为求x 2－2x ＋4x －2的最小值．[解] (1)∵x <2，∴2－x >0， ∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2－x )＋42－x ＋2≤－2 (2－x )·42－x＋2＝－2.当且仅当2－x ＝42－x，即x ＝0时，x ＋4x －2取最大值－2. (2)x 2－2x ＋4x －2＝(x －2)2＋2(x －2)＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2 (x －2)·4x －2＋2＝6 当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，原式有最小值6.(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同． [针对训练]1．已知x ，y >0，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．[解析] ∵x ，y >0， ∴x 3＋y 4＝1≥2 xy12， 得xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4即x ＝32，y ＝2时，取“＝”号，∴xy 的最大值为3. [答案] 32．已知x ，y >0，且x ＋y ＝4，则1x ＋3y的最小值为________．[解析] ∵x ，y >0，∴(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y≥4＋23，当且仅当y x ＝3xy， 即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号， 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32. [答案] 1＋323．若x <3，则实数f (x )＝4x －3＋x 的最大值为________． [解析] ∵x <3，∴x －3<0， ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取“＝”号．∴f (x )的最大值为－1. [答案] －1题型二利用基本不等式解决实际问题【典例2】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？[思路导引] 设每间虎笼长x m ，宽y m ，则问题是在4x ＋6y ＝36的前提下求xy 的最大值．[解] (1)设每间虎笼长x m ，宽为y m ，则由条件知4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18.设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .解法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， ∴26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3.故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大． 解法二：∵2x ＋3y ＝18，∴S ＝xy ＝16·(2x )·(3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝816＝272.(以下同解法一)(2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y . ∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24，∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．解决实际问题时，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．[针对训练]4．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000 m 2的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)[解] 设将楼房建为x 层，则每平方米的平均购地费用为2160×1042000 x ＝10800x .于是每平方米的平均综合费用y ＝560＋48x ＋10800x＝560＋48⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋225x (x ≥10)，当x ＋225x取最小时，y 有最小值．∵x >0，∴x ＋225x≥2x ·225x＝30，当且仅当x ＝225x，即x ＝15时，上式等号成立．∴当x ＝15时，y 有最小值2000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最小．课堂归纳小结1．利用基本不等式求最大值或最小值时应注意： (1)x ，y 一定要都是正数；(2)求积xy 最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 最小值时，应看积xy 是否为定值；(3)等号是否能够成立．以上三点可简记为“一正、二定、三相等”.2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用．3．求解应用题的方法与步骤(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.1．已知y ＝x ＋1x－2(x >0)，则y 有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最小值为－2D ．最小值为2[答案] B2．已知0<x <1，则当x (1－x )取最大值时，x 的值为( ) A.13 B.12 C.14D.23[解析] ∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (1－x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝14，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立．[答案] B3．已知p ，q ∈R ，pq ＝100，则p 2＋q 2的最小值是________． [答案] 2004．已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________. [解析] 由基本不等式，得4x ＋a x≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即x ＝a2时，等号成立，即a2＝3，a ＝36.[答案] 365．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80000，该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？[解] 由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80000x－200≥212x ·80000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80000x，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．课后作业(十二)复习巩固一、选择题1．当x >0时，y ＝12x＋4x 的最小值为( )A ．4B ．8C ．8 3D ．16[解析] ∵x >0，∴12x>0,4x >0.∴y ＝12x＋4x ≥212x ·4x ＝8 3.当且仅当12x＝4x ，即x ＝3时取最小值83，∴当x >0时，y 的最小值为8 3.[答案] C2．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋4y的最小值为( ) A ．6 B ．9 C ．12D ．15[解析] (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y＝x ·1x ＋4x y ＋y x ＋y ·4y ＝1＋4＋4x y ＋y x≥5＋24x y ·yx＝9.[答案] B3．若x >0，y >0，且2x ＋8y＝1，则xy 有( )A ．最大值64B ．最小值164C ．最小值12D ．最小值64[解析] 由题意xy ＝⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋8yxy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.[答案] D4．已知p >0，q >0，p ＋q ＝1，且x ＝p ＋1p ，y ＝q ＋1q，则x ＋y 的最小值为( )A ．6B ．5C ．4D ．3[解析] 由p ＋q ＝1，∴x ＋y ＝p ＋1p ＋q ＋1q ＝1＋1p ＋1q＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1p ＋1q (p ＋q )＝1＋2＋q p ＋p q ≥3＋2q p ·pq＝5， 当且仅当q p ＝p q 即p ＝q ＝12时取等号，所以B 选项是正确的． [答案] B 5．若a <1，则a ＋1a －1有最________(填“大”或“小”)值，为________． [解析] ∵a <1， ∴a －1<0， ∴－⎝⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a≥2， ∴a －1＋1a －1≤－2， ∴a ＋1a －1≤－1. 当且仅当a ＝0时取等号． [答案] 大 －1 二、填空题6．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________．[解析] 由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．[答案] 127．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________．[解析] ∵x ，y 为正数，且x ＋2y ＝1， ∴1x ＋1y＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝3＋2y x ＋x y≥3＋22，当且仅当2y x ＝x y ，即当x ＝2－1，y ＝1－22时等号成立．∴1x ＋1y的最小值为3＋2 2.[答案] 3＋2 28．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．[解析] 每年购买次数为400x次．∴总费用＝400x·4＋4x ≥26400＝160，当且仅当1600x＝4x ，即x ＝20时等号成立．[答案] 20 三、解答题9．已知a ，b ，x ，y >0，x ，y 为变量，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋by＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .[解] x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋bx y ＋ay x≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当bx y ＝ayx时取等号． 故(x ＋y )min ＝(a ＋b )2＝18， 即a ＋b ＋2ab ＝18，① 又a ＋b ＝10，②由①②可得{ a ＝2，b ＝8或{ a ＝8，b ＝2. 10．(1)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (2)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值． [解] (1)∵x <3，∴x －3<0. ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋x －3＋3 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫43－x ＋3－x ＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号，∴f (x )的最大值为－1.(2)解法一：由2x ＋8y －xy ＝0， 得y (x －8)＝2x ，∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2x x －8＝x ＋(2x －16)＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10 ≥2 (x －8)×16x －8＋10 ＝18.当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立． ∴x ＋y 的最小值是18.解法二：由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0，得8x ＋2y＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y＝8y x ＋2xy＋10≥28y x ·2xy＋10＝18.当且仅当8y x ＝2xy，即x ＝2y ＝12时等号成立，∴x ＋y 的最小值是18.综合运用11．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92D ．5 [解析] ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b 2＝1，∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a ≥52＋22a b ·b 2a ＝92(当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，“＝”成立)，故y ＝1a ＋4b 的最小值为92. [答案] C12．若xy 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3 B.72 C ．4 D.92[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2 ＝x 2＋y 2＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1y 2＋x y ＋y x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＋14y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥1＋1＋2＝4. 当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号． [答案] C13．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． [解析] 因为x >0，所以x ＋1x≥2， 当且仅当x ＝1时取等号， 所以有x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞14．设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是________． [解析] ∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t＝t ＋4t ＋5≥2t ·4t ＋5＝9， 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1， ∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1取得最小值9. [答案] 915．阳光蔬菜生产基地计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？[解] 设矩形温室的一边长为x m ，则另一边长为800xm(2<x <200)．依题意得种植面积：S ＝(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫800x －4＝800－1600x －4x ＋8 ＝808－⎝ ⎛⎭⎪⎫1600x ＋4x ≤808－21600x ·4x ＝648， 当且仅当1600x ＝4x ，即x ＝20时，等号成立．即当矩形温室的一边长为20 m ，另一边长为40 m 时种植面积最大，最大种植面积是648 m 2.。
第二章一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式教学设计一、教学目标1.知识与技能了解基本不等式的几何背景，探索基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单最大（小）值问题。
2.过程与方法进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。
3.情感态度与价值观培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生形成数形结合的思想意识。
二、教学重难点1.教学重点应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程，基本不等式在实际问题中的应用。
2.教学难点用基本不等式求最大值和最小值。
三、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图1.新课导入我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用。
那么，是否也有一些不等式在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？在前一节的学习中，我们利用完全平方公式和赵爽弦图结合得出了一类重要不等式有,这个不等式何时取等号呢？学生回忆乘法公式并对不等式进行类比。
学生回答：当且仅当a=b时，等号成立。
由简单问题引入，通过数学知识的内部提出问题。
2.探索新知特别的，当a>0,b>0时，用,分别代替上式中的a,b，可得（1），当且仅当a=b时，等号成立。
通常称公式（1）为基本不等式，其中叫做正数a,b的算术平均数，叫做正数a,b的几何平均数。
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
利用不等式的性质推导出基本不等式的证明过程，分析并理解。
课本P45探究，利用初中学过的知识相似三角形和圆证明了基本不等式。
例1：已知x>0，求的最小值分析：利用基本不等式求解。
例2：已知x,y都是正数,求证:(1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2.(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值.（积定和最小，和定积最大。
）基本不等式主要用于证明不等式和求最进一步理解记忆基本不等式。
复习引入
问题1：基本不等式的内容是什么？它有何作用？如何利用基本不等式求最值？需要注意什么？
利用基本不等式解决生活问题
运用数学知识解决生活中的最值问题，也就是最优化的问题，特别能体现数学应用价值.基本不等式是求最值的工具，特别是对求代数式的最值问题有重要的意义.
例3（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
追问：（1）前面我们总结了能用基本不等式解决的两类最值问题，本例的两个问题分别属于哪类问题吗？
（2）例2给出了用基本不等式解决问题的数学模型：
（1）如果正数x，y的积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；
（2）如果正数x，y的和x+y等于定值
S，那么当x=y时，积xy有最大值.
怎样把本例转化为基本不等式的数学模型求解？
学生独立阅读题目，理解题意
由池底的边长确定
设贮水池池底相邻两条边的边长分别为x m，y m，水池的总造价为z 元，则
本例实际上是已知两个正数的积为定值，求当这两个数取什么值时，它们的和有最小值，以及最小值是多少.可以转化为数学模型（1）解决.
学生回答解答过程，教师板书.
学生尝试总结，教师帮助梳理.首先，要从实际问题中抽象出数量关系，列出代数式；接着，思考问题是否与基本不等式的数学模型相匹配；然后，根据“一正、二定、三相等”的方法运算求解；最后，用求得的结果解释实际问题.
课时达标检测设计
检测的目标点与用时
设；反馈、矫正方法预
与达标效果补充。
2.2 基本不等式学习目标：1.知识与技能：会从不同角度探索基本不等式，会用基本不等式解决简单的最值问题；2.过程与方法：经历基本不等式的推导过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养；3.情感态度价值观：培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，并在探究的过程中，体会数学的严谨性，发现数学的实用性教学重点：基本不等式的定义，证明方法和几何解释；用基本不等式解决简单的最值问题.教学难点：基本不等式的几何解释，用基本不等式解决简单最值问题.教学过程：教学内容师生活动设计意图情境导学探新知情境1：展示第24届国际数学家大会的会标，介绍赵爽弦图历史渊源.情境2：介绍知名校友国际数学新秀韦东奕.师：展示部分北京数学家大会的图片，介绍发展史.生：欣赏和感受数学历史文华,榜样就在我们身边.渗透德育，激发学生的民族自豪感，调动学生数学学习积极性.合作探究释问题1：你能否从数学家的角度来欣赏会标，由哪些几何图形构成？蕴含怎样的不等关系？师：提出问题1，留给学生一分钟时间独立思考.生：整个图案由正方形和四个全等的直角三角形构成.生：大正方形面积不小于四个直角三角形面积和.激发学生探究欲望，引导学生从几何图形出发抽象出重要不等式，为接下来基本不等式做铺垫，体会数疑难重要不等式：222a b ab+≥当且仅当a b=时，等号成立. 师：设直角三角形的直角边分别为a,b,如何表示上述不等关系？师：观察数学模型，当a,b,满足什么条件时，大正方形面积等于四个直角三角形面积和？生：a b=时取得相等学建模，数形结合的思想.合作探究释疑难问题2：由重要不等式出发，如何才能得到两个正数和与积的不等关系？基本不等式：0,0a b>>2a bab+≥当且仅当a=b时取得等号.2a b+是两个正数a,b的算术平均数，ab是两个正数a, b的几何平均数师：重要不等式体现了平方和与积的关系，你能想到哪些方法使其转变成两个正数和与积的关系？生：小组交流讨论，时长3分钟.生：可用正数,a b代替原式中的a,b,即得到2a b ab+≥生：原不等式两边同时加2ab2224a b ab ab++≥即()24a b ab+≥即2a b ab+≥师：何时取等？生：当且仅当a b=等号成立.师：板书基本不等式体会代换方法在数学学习中的作用，感受数学知识间的联系，通过分析基本不等式的结构特征得到基本不等式的代数解释，加深对基本不等式的认识，多种方法下，培养学生的发散思维.合问题3：是否还有其它方式证明师：有哪些方式可以比较两个代数式的大小？从几何和代数两个角度实现基本作探究释疑难(),02a bab a b+≥>？做差法证明基本不等式.生：做差法.生：一人黑板板书做差法证明基本不等式，其余同学练习本证明.生：黑板上讲解证明思路，过程.师：结合板书同学证明步骤，讲强调取等的重要性.不等式的证明，培养学生逻辑推理能力，实现从感性认识到理性认识升华.合作探究释疑难问题4：“当a b=时等号成立”“仅当a b=时等号成立”含义分别是什么？师：结合第一章我们研究的常用逻辑用语，你能否发现，“a b=”和“等号成立”之间的关系？生：“当a b=时等号成立”是说“a b=”是“等号成立”的充分条件; “仅当a b=时等号成立”是说“a b=”是“等号成立”的必要条件，也就是“a b=”和“等号成立”互为充要条件.师：肯定学生能够前后知识融会贯通.强调基本不等式取等条件，加深学生对于等号是否成立的理性认识.加强学生前后知识间的联系和数学应用意识.合作探究释疑难问题5：如图AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b,过点C做垂直于AB的弦DE，连接AD,BD，你能利用这个图形得到基本不等式的几何解释吗？师：前后4人小组，4分钟时间讨论交流.生：小组讨论，选派小组代表上台为同学展示交流成果，其他同学做补充.师：肯定小组交流成果.师：几何画板动态演示，使学生直观感受变与不变.师：引导学生总结，半径即为2a b+，CD ab=，圆中直径不小于任意一条弦，当且仅当弦过圆心时，学生自己发现基本不等式的几何解释相对较困难，给出几何图形后，引导学生将ab和2a b+与图中的几何元素建立起联系，再观察这些几何元素在变化中表现得大小关系，从而得到基。
2019-2020学年高二数学《用基本不等式求最值》教学设计一、内容与解析(一）内容：用基本不等式求最值时条件，会用化归法求函数的最值。
（二）解析：本节课要学的内容()指的是(),其核心(或关键)是(),理解它关键就是要().学生已经(),本节课的内容()就是在此基础上的发展.由于它还与()有()的联系,所以在本学科有()的地位,并有()作用,是本学科的核心内容(或一般内容,次要内容).教学的重点是(),解决重点的关键是()二、教学目标及解析(一)教学目标:1.理解利用基本不等式求最值的原理2.掌握利用基本不等式求最值的条件3.会用基本不等式解决简单的最值问题4.能综合运用函数关系，基本不等式解决一些实际问题(二)解析:(1)就是指从形式上理解如何才能构建出用均值不等式的结构（2）就是指能从形式上配凑出用均值不等式的结构，并把握住三大条件：“一正；二定；三相等”四、教学过程复习上节课知识给出命题：○1对任意10,lg 2lg x x x >+≥ ○2对任意1,222x x x R ∈+≥ ○3对任意1(0,),tan 22tan x x x π∈+≥ ○4对任意1,sin 2sin x R x x∈+≥ 其中为真命题是有问题1.通过问题1，我们可以总结得到，利用均值不等式求最值时，必须同时满足三个条件：“一正”、“二定”、“三相等”。
已知1x >-，求函数2()1f x x x =++的最小值 求函数2()f x = 求函数2()f x =的最小值求函数()2(3)(03)f x x x x =⋅-<<的最大值求函数221()1x xf xx++=+的值域【设计意图】1.通过该例题的设置，让学生了解在实际问题中我们也可以利用均值不等式求最值。
2.通过设未知量，列方程或不等式。
让学生了解这些过程其实质就是将实际问题转化为数学问题的过程。
【师生活动】1.如何设未知量，如何将实际问题转化为数学问题？2.如何解决上述的数学问题？3.将数学结果还原成实际问题的结论。
【新教材】2.2 基本不等式学案（人教A 版）1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。
2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。
3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。
重点：基本不等式的形成以及推导过程和利用基本不等式求最值；难点：基本不等式的推导以及证明过程．一、 预习导入阅读课本44-45页，填写。
1.重要不等式2.基本不等式 (1)基本不等式成立的条件:_____________.(2)等号成立的条件:当且仅当______时取等号.注意：一正二定三等.3.几个重要的不等式(1)a 2+b 2≥______(a,b ∈R).(2) ≥____(a,b 同号). (3) (a,b ∈R).(4) (a,b ∈R). )0,0(2>>+≤b a b a ab b a a b +2)2(b a ab +≤222)2(2b a b a +≥+ 新人教A 版 必修第一册4. 设a>0,b>0，则a,b 的算术平均数为___________,几何平均数为______，基本不等式可叙述为：_____________________.1.已知x>0，求x+ 的最小值.2. 已知x ，y 都是正数，求证：（1）如果积xy 等于定值P ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值 ；（2）如果和x+y 等于定值S ，那么当x=y 时，积xy 有最大值 .题型一 利用基本不等式求最值例1 求下列各题的最值.（1）已知x>0,y>0,xy=10,求 的最小值； （2）x>0,求 的最小值；（3）x<3，求 的最大值； 跟踪训练一（1）已知x>0,y>0，且 求x+y 的最小值； （2）已知x<求函数 的最大值;（3）若x,y ∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y 的最小值.题型二 利用基本不等式解决实际问题例2 （ １ ） 用篱笆围一个面积为１００ 的矩形菜园 ,当这个矩形的边长为多少时 ， 所用篱笆最短？ 最短篱笆的长度是多少？（ ２ ） 用一段长为 ３６ｍ 的篱笆围成一个矩形菜园 ,当这个矩形的边长为多少时 ， 菜园的面积最大？ 最大面积是多少？跟踪训练二y x z 52+=x x x f 312)(+=xx x f +-=34)(1. 如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3AB =米，4=AD 米.（1）要使矩形AMPN 的面积大于50平方米，则DN 的长应在什么范围？（2）当DN 的长为多少米时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值.1．已知0,0x y >>，且4x y +=，则xy 最大值为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．函数15(1)1y x x x =++>-的最小值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．93．已知0,0,2a b a b >>+=，则14y a b =+的最小值是（ ） A ．92 B ．72C ．5D ．4 4．若函数1()(2)2f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a 等于（ ）A ．3B ．1C ．1D ．45．已知正数a 、b 满足226a b +=，则的最大值为__________．6．当1x ≤-时，1()1f x x x =++的最大值为__________. 7．某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（0m ≥）满足31k x m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.（1）将该产品的年利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；（2）该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？答案小试牛刀1．【答案】见解析【解析】因为x>0，所以 ≥2 当且仅当x= ，即 =1，x=1时，等号成立，因此所求的最小值为2.2．【答案】见证明【解析】证明：因为x ，y 都是正数，所以≥ （1）当积xy 等于定值P 时，≥ ，所以x+y ≥ 2 ，当且仅当x=y 时，上式等号成立.于是，当x=y 时，和x+y 有最小值2 .（2）当和x+y 等于定值S 时， ，所以 xy ，当且仅当x=y 时，上式等号成立。
基本不等式教学设计一．学情分析1.学生已经掌握了不等式以及一些不等关系的相关知识，特别是必修一p39页探究题，学生对于重要不等式已经有了初步了解；2.对于基本不等式的学习,学生的认知困难主要在两个方面: (1)什么是基本不等式？学生对新概念的理解和接受是比较困难的;(2)如何用数形结合的思路理解基本不等式？应该重视学生的独立思考和计算，重视课堂问题的讲解设计,引导学生掌握。
二．教材分析在前面的学习中,同学们已经基本掌握了一些常见不等式及不等式证明方法,本节内容一定程度上是前面学习的运用,也是后面系统学习不等式证明的基础。
基本不等式在证明不等式的过程中是一个很重要的桥梁,放缩法证明不等式会经常用到基本不等式。
另一方面, 基本不等式作为求极值的的一种方法,经常运用于实际问题,而且是高考常考的知识点,通过基本不等式,常常可以将一些较为复杂的求极值的问题化为简单问题,在化归方法中起着重要的承接作用。
通过对这一节内容的学习,学生可以较为真切的体会到数形结合法的神奇之处,也加强了数学联系生活这一重要的数学观。
在学习过程中,要用心体会数学思想方法,为以后抽象数学思想方法做好铺垫。
三．教学目标1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。
2,基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理的思维能力。
3.基本不等式的简单应用，理解积定与和定问题。
四．教学重难点1、重点：应用数形结合的思想理解基本不等式。
2、难点：基本不等式的推导及证明过程。
五．教学方法情境教学、讲授法六．教学过程(一)创设情景，导入新课如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的。
三国时期吴国的数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时，创制了一幅“勾股圆方图”，以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成。
“赵爽弦图”证法的基本思想：图形经过割补后，面积不变，这就是中国古代数学中重要的面积“出入相补”原理.是我国古代数学的特色之一.你能在这个图中找出一些相等的关系或不等关系吗？(设计意图：通过情境导入课题，能使学生很快有新内容的学习的抵制状态，进入回忆的兴奋状态，提高学生的学习兴趣。
2019-2020学年高中数学 课题函数的最值学案 新人教A 版必修1 学习目标：1、理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义。
2、借助函数的单调性，结合函数图象，形成函数最值的概念，培养应用函数的单调性求解函数最值问题。
学习重点：应用函数单调性求函数最值。
学习难点：理解函数最值可取性的意义。
一、自学导引1、画出下列函数的图象，并根据图象回答下列问题：○1 说出()x f y =的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； ○2 指出图象的最高点或最低点。
（1）32)(+-=x x f （2）32)(+-=x x f ，]2,1[-∈x（3）2)(x x f = （4）2)(x x f -=2、函数最大（小）值定义(1)最大值 一般地，设函数()x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的I x ∈，都有()M x f ≤；②存在I x ∈0，使得()M x f =0，那么，称M 是函数()x f y =的最大值。
(2)最小值 一般地，设函数()x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①__________________________________；②________________________________，那么，称M 是函数()x f y =的最小值。
二、合作探究：例1、求函数21--+=x x y 的最大值和最小值。
变式练习1、()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤≤=2,321,210,2x x x x x f 的值域为（ ） A ．R B ．[)+∞,0 C ．[]3,0 D ．[]{}32,0变式练习2、求函数())32(1422≤≤+-=x x x x f 的最大值和最小值。
例2、求函数()123-=x x f 在区间[]5,1上的最大值和最小值。
变式练习3、函数()14+-=x x f 在区间[]3,1-上的最大值为 ，最小值为 。
变式练习4、函数()2-=x x f ，{}4,2,1,0∈x 的最大值为 。
专题2：基本不等式1．≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0 ；(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．注意：(1)a ＋b 2和ab 分别叫a ，b 的算术平均数和几何平均数 ；(2)两种重要变形：①a ＋b ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 ；2．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，则x ＋y x ＝y 时，和x ＋y 有最小 值2p .(简记：积定和最小 )(2)如果和x ＋y 是定值p ，则xy ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大 值p 24.(简记：和定积最大 ) 3．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R)； (2)b a ＋a b≥2 (a ，b 同号 )； (3)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)．※考点自测1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( × ) (2)当x ＞1时，函数y ＝x ＋1x的最小值等于2.( × ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件．( × ) (4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × ) 2．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80B ．77C ．81D ．82答案 C3．若函数y ＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4答案 C4．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．答案 25 m 25．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________．答案 116※题型讲练题型一 利用基本不等式求最值命题点1 配凑法求最值例1 (1)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________． (2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________． 答案 (1)1 (2)23＋2命题点2 “1”字代换法求最值例2 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值为 .(2)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是 .答案 (1)16 (2)92命题点3 换元法求最值例3 (1)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________．(2)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．答案 (1)15 (2)6(2)已知0<x <12，则y ＝12x (1－2x )的最大值为 .(3)已知x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则x ＋y 的最大值为_____．答案 (1)C (2)116 (3)2题型二 利用基本不等式解决恒成立问题例4 (1)已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为() A ．9 B ．12 C ．18 D ．24(2)若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)B (2)a ≥15．变式训练2：(1)当x <32时，不等式a ≥x ＋82x －3恒成立，则实数a 的取值范围是________．(2)若对于任意x ∈N *，x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，则a 的取值范围_______．答案 (1) a ≥－52 (2)[－83，＋∞)变式训练3：(1)如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m 长的钢筋网材料，则每间虎笼的长= ，宽= 时，可使每间虎笼面积最大，最大面积为 . 答案 长为4.5 m ，宽为3 m 时，面积最大272. (2)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1＋1a )(1＋1b)≥9. 证明： 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a. 同理1＋1b ＝2＋a b. 所以(1＋1a )(1＋1b )＝(2＋b a )(2＋a b) ＝5＋2(b a ＋a b)≥5＋4＝9. 所以(1＋1a )(1＋1b )≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．※课后练习(时间：45分钟)1．下列不等式中，一定正确的是( )A ．a ＋4a≥4 B ．a 2＋b 2≥4ab C ．ab ≥a ＋b 2 D ．x 2＋3x2≥2 3 答案：D2．已知x >0，y >0，x ＋y ＝3，若1x ＋m y(m >0)的最小值为3，则m 等于( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．4答案 D3．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A ．1ab ≤14B ．1a ＋1b≤1 C ．ab ≥2 D ．a 2＋b 2≥8 答案 D4．正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4b ＋1的最小值是( ) A ．1 B ．94C ．9D ．16 答案 B5．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋k a ＋b≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( ) A ．0 B ．4 C ．－4 D ．－2答案 C6．若y ＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于 . 答案 37．已知x ，y ＞0，且4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为_______．答案：38．设0<x <2，则函数y ＝x (4－2x )的最大值为 ．答案 29．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________．(单位：元)答案：16010．已知不等式(x ＋y )()1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值是________．答案： 411．已知正数x ，y 满足：x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为 .答案 812．正数x ，y 满足1x ＋9y＝1. (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值．解：(1)由1＝1x ＋9y ≥2 1x ·9y 得xy ≥36，当且仅当1x ＝9y，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )()1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x y ≥19＋2 2y x ·9x y ＝19＋62，当且仅当2y x ＝9x y ，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2.13．已知a 、b 、c 都是正实数，且满足9a ＋b ＝ab ，求使4a ＋b ≥c 恒成立的c 的取值范围．解：9a ＋b ＝ab ，故9b ＋1a＝1， 所以4a ＋b ＝(4a ＋b )(9b ＋1a )＝13＋36a b ＋b a ≥13＋236a b ·b a＝25，即4a ＋b ≥25， 当且仅当36a b ＝b a，即b ＝6a 时等号成立． 而c >0，所以要使4a ＋b ≥c 恒成立，c 的取值范围为0<c ≤25.14．求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值． 解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0.∴y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2 (x ＋1)4x ＋1＋5＝9. 当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号成立． ∴当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值为9.。
1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)概念方法微思考1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示 不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值． 2．函数y ＝x ＋1x的最小值是2吗？提示 不是．因为函数y ＝x ＋1x 的定义域是{x |x ≠0}，当x <0时，y <0，所以函数y ＝x ＋1x无最小值．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( × )(2)“x >0且y >0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件．( × ) (3)(a ＋b )2≥4ab (a ，b ∈R )．( √ ) (4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( × )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ ) 题组二 教材改编2．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80B ．77C ．81D ．82 答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max＝81.3．若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ，面积为y m 2，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，其中0<x <10，∴y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25. 题组三 易错自纠4．“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x ＝2.因为x ，1x同号，所以若x ＋1x≥2，则x >0，1x>0，所以“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的充要条件，故选C.5．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋2B ．1＋3C ．3D ．4 答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，故选C. 6．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( ) A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 D解析 由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋1x＝15⎝⎛⎭⎪⎫4＋9＋3y x ＋12x y≥15(4＋9＋236)＝5， 当且仅当3y x ＝12xy，即y ＝2x 时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小值为5.故选D.题型一 利用基本不等式求最值 命题点1 配凑法例1(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(4－3x )22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．答案 23＋2解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立． 命题点2 常数代换法例2(2019·大连模拟)已知首项与公比相等的等比数列{a n }中，满足a m a 2n ＝a 24(m ，n ∈N *)，则2m ＋1n的最小值为( )A ．1B.32C ．2D.92答案 A解析 由题意可得，a 1＝q ， ∵a m a 2n ＝a 24， ∴a 1·qm －1·(a 1·qn －1)2＝(a 1·q 3)2，即q m·q 2n＝q 8， 即m ＋2n ＝8.∴2m ＋1n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1n ×18＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋m n ＋4n m ＋2×18≥()4＋24×18＝1.当且仅当m ＝2n 时，即m ＝4，n ＝2时，等号成立． 命题点3 消元法例3已知正实数a ，b 满足a 2－b ＋4≤0，则u ＝2a ＋3b a ＋b ( )A ．有最大值145B ．有最小值145C ．有最小值3D ．有最大值3答案 B解析 ∵a 2－b ＋4≤0，∴b ≥a 2＋4， ∴a ＋b ≥a 2＋a ＋4.又∵a ，b >0，∴aa ＋b ≤aa 2＋a ＋4，∴－aa ＋b≥－aa 2＋a ＋4，∴u ＝2a ＋3b a ＋b ＝3－a a ＋b ≥3－a a 2＋a ＋4＝3－1a ＋4a＋1≥3－12a ·4a＋1＝145， 当且仅当a ＝2，b ＝8时取等号．故选B.思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法．跟踪训练1(1)(2019·四平质检)设x >0，y >0，若x lg2，lg 2，y lg2成等差数列，则1x ＋9y的最小值为( ) A ．8B ．9C ．12D ．16 答案 D解析 ∵x lg2，lg 2，y lg2成等差数列， ∴2lg 2＝(x ＋y )lg2，∴x ＋y ＝1. ∴1x ＋9y＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ≥10＋2y x ·9xy＝10＋6＝16， 当且仅当x ＝14，y ＝34时取等号，故1x ＋9y的最小值为16.故选D.(2)若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c的最小值是( ) A ．2B ．3C ．4D ．6 答案 B解析 ∵a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2， ∴a ＋b ＋c ＋1＝3， 且a ＋1>0，b ＋c >0. ∴4a ＋1＋1b ＋c ＝13·(a ＋1＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1＋1b ＋c＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4(b ＋c )a ＋1＋a ＋1b ＋c ≥13(5＋4)＝3. 当且仅当a ＋1＝2(b ＋c )，即a ＝1，b ＋c ＝1时，等号成立．故选B. 题型二 基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4(2018·重庆诊断)已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，过第一象限内圆O 外的点P (a ，b )作圆O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，若PO →·PA →＝8，则a ＋b 的最大值为( )A ．3B ．3 2C ．4 2D ．6答案 B解析 根据题意，结合向量数量积的定义式， 可求得PO →·PA →＝|PA →|2＝8，所以可求得|PO |2＝9， 即a 2＋b 2＝9，结合基本不等式， 可得a ＋b ≤2(a 2＋b 2)＝32， 当且仅当a ＝b ＝322时取等号，故选B.命题点2 求参数值或取值范围例5(2018·中山模拟)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8答案 B解析 已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值大于或等于9， ∵1＋a ＋y x ＋axy≥a ＋2a ＋1， 当且仅当y ＝ax 时，等号成立， ∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4， 即正实数a 的最小值为4，故选B.思维升华求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．跟踪训练2(1)在△ABC 中，A ＝π6，△ABC 的面积为2，则2sin C sin C ＋2sin B ＋sin Bsin C 的最小值为( )A.32B.334C.32D.53答案 C解析 由△ABC 的面积为2，所以S ＝12bc sin A ＝12bc sin π6＝2，得bc ＝8，在△ABC 中，由正弦定理得 2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C ＝2c c ＋2b ＋bc＝2cb b (c ＋2b )＋b 2bc＝168＋2b 2＋b 28＝84＋b 2＋b 2＋48－12 ≥284＋b 2·b 2＋48－12＝2－12＝32， 当且仅当b ＝2，c ＝4时，等号成立，故选C.(2)已知函数f (x )＝ax 2＋bx (a >0，b >0)的图象在点(1，f (1))处的切线的斜率为2，则8a ＋b ab的最小值是( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．3 2答案 B解析 由函数f (x )＝ax 2＋bx ，得f ′(x )＝2ax ＋b ， 由函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为2， 所以f ′(1)＝2a ＋b ＝2，所以8a ＋b ab ＝1a ＋8b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋8b (2a ＋b )＝12⎝⎛⎭⎪⎫10＋b a ＋16a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋2b a ·16a b ＝12(10＋8)＝9，当且仅当b a ＝16a b ，即a ＝13，b ＝43时等号成立， 所以8a ＋bab的最小值为9，故选B.利用基本不等式求解实际问题数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题，用数学的方法构建模型解决问题．过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题．例某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ⇒k ＝2， ∴x ＝3－2m ＋1， 每万件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(万元)，∴2019年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx－8－16x －m＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)． (2)∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21， 当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时， y max ＝21(万元)．故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．素养提升 利用基本不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．1．函数f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为( )A ．3B ．4C ．6D ．8答案 B解析 f (x )＝x 2＋4|x |＝|x |＋4|x |≥24＝4，当且仅当x ＝±2时，等号成立，故选B.2．若x >0，y >0，则“x ＋2y ＝22xy ”的一个充分不必要条件是( ) A ．x ＝y B ．x ＝2y C ．x ＝2且y ＝1 D ．x ＝y 或y ＝1答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥22xy ，当且仅当x ＝2y 时取等号．故“x ＝2且y ＝1”是“x ＋2y ＝22xy ”的充分不必要条件．故选C. 3．(2018·潍坊模拟)已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则4a ＋1b的最小值为( )A.53 B ．3 C ．5 D ．9答案 D解析 由题意知，正数a ，b 满足a ＋b ＝1， 则4a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b (a ＋b )＝4＋1＋4b a＋ab≥5＋24b a ·ab＝9，当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝23，b ＝13时等号成立，所以4a ＋1b的最小值为9，故选D.4．若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2答案 C解析 由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1b＝1，所以a＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4，故选C.5．已知函数f (x )＝e x 在点(0，f (0))处的切线为l ，动点(a ，b )在直线l 上，则2a ＋2－b的最小值是( ) A ．4 B ．2 C ．2 2 D. 2答案 D解析 由题意得f ′(x )＝e x ，f (0)＝e 0＝1，k ＝f ′(0)＝e 0＝1.所以切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0，∴a －b ＋1＝0，∴a －b ＝－1，∴2a＋2－b≥22a ·2－b ＝22a －b＝22－1＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝－12，b ＝12时取等号，故选D. 6.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0) C.2aba ＋b≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)答案 D解析 由AC ＝a ，BC ＝b ，可得圆O 的半径r ＝a ＋b2，又OC ＝OB －BC ＝a ＋b 2－b ＝a －b 2， 则FC 2＝OC 2＋OF 2＝(a －b )24＋(a ＋b )24＝a 2＋b 22， 再根据题图知FO ≤FC ，即a ＋b 2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时取等号．故选D.7．设x ，y 均为正数，且xy ＋x －y －10＝0，则x ＋y 的最小值是________．答案 6解析 由xy ＋x －y －10＝0，得x ＝y ＋10y ＋1＝9y ＋1＋1， ∴x ＋y ＝9y ＋1＋1＋y ≥29y ＋1·(1＋y )＝6， 当且仅当9y ＋1＝1＋y ，即y ＝2时，等号成立． 8．(2019·吉林梅河口二中模拟)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7－S 5＝3(a 4＋a 5)，则4a 3＋9a 7的最小值为________． 答案 4解析 设正项等比数列{a n }的公比为q (q >0)，∵S 7－S 5＝a 7＋a 6＝3(a 4＋a 5)，∴a 7＋a 6a 5＋a 4＝q 2＝3. ∴4a 3＋9a 7＝4a 3＋9a 3q 4＝4a 3＋1a 3≥24a 3·1a 3＝4， 当且仅当4a 3＝1a 3，即a 3＝12时等号成立． ∴4a 3＋9a 7的最小值为4. 9．(2018·肇庆模拟)已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，且△ABC 的面积为334，则a 的最小值为________． 答案 3解析 由题意得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴2bc cos A ＝bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3. ∵△ABC 的面积为334，∴12bc sin A ＝343，∴bc ＝3. ∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴a 2≥2bc －bc ＝bc ＝3(当且仅当b ＝c 时，等号成立)，∴a ≥ 3.10．已知a ，b 为正实数，且(a －b )2＝4(ab )3，则1a ＋1b的最小值为________． 答案 2 2解析 由题意得(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ，代入已知得(a ＋b )2＝4(ab )3＋4ab ， 两边同除以(ab )2得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ab 2＝4(ab )3a 2b 2＋4ab a 2b 2 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab ≥4·2ab ·1ab ＝8， 当且仅当ab ＝1时取等号．所以1a ＋1b≥22， 即1a ＋1b的最小值为2 2. 11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值． 解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2x y时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1010－203，y ＝20－4103. ∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 12.某人准备在一块占地面积为1800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 的值最大，则x ，y 的值各为多少？解 (1)由题意可得xy ＝1800，b ＝2a ，则y ＝a ＋b ＋3＝3a ＋3，所以S ＝(x －2)a ＋(x －3)b ＝(3x －8)a＝(3x －8)y －33＝1808－3x －83y (x >3，y >3)． (2)方法一 S ＝1808－3x －83×1800x＝1808－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4800x ≤1808－23x ×4800x＝1808－240＝1568，当且仅当3x ＝4800x， 即x ＝40时等号成立，S 取得最大值，此时y ＝1800x＝45， 所以当x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值．方法二 设S ＝f (x )＝1808－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4800x (x >3)， 则f ′(x )＝4800x 2－3＝3(40－x )(40＋x )x 2， 令f ′(x )＝0，则x ＝40，当0<x <40时，f ′(x )>0；当x >40时，f ′(x )<0.所以当x ＝40时，S 取得最大值，此时y ＝45.13．(2018·郑州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a －c b ＝cos C cos B，b ＝4，则△ABC 面积的最大值为( )A ．4 3B ．2 3C ．3 3 D. 3 答案 A解析 ∵2a －c b ＝cos C cos B， ∴(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C＝sin(B ＋C )＝sin A .又sin A ≠0，∴cos B ＝12. ∵0<B <π，∴B ＝π3. 由余弦定理得b 2＝16＝a 2＋c 2－2ac cos π3＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，∴ac ≤16，当且仅当a ＝c 时等号成立．∴S △ABC ＝12ac sin π3≤12×16×32＝4 3. 故△ABC 面积的最大值为4 3.故选A.14．如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →，则1x ＋4y的最小值为( )A ．32B ．2C ．52D ．92答案 D解析 设AD →＝mAB →＋nAC →，AE →＝λAB →＋μAC →，∵B ，D ，E ，C 共线，∴m ＋n ＝1，λ＋μ＝1， ∵AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →＝()m ＋λAB →＋()n ＋μAC →， 则x ＋y ＝m ＋n ＋λ＋μ＝2，∴1x ＋4y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ()x ＋y ＝12⎝⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y x ·4x y ＝92，当且仅当x ＝23，y ＝43时，等号成立．故1x ＋4y 的最小值为92，故选D.15．设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p ·a q ，则f (n )＝S n －1·(S n －1＋2)＋256a n的最小值为_______． 答案 30解析 当q ＝1时，a p ＋1＝a p ·a 1＝2a p ， ∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n ＝2n ，S n ＝2(2n－1)2－1＝2n ＋1－2， ∴S n －1＝2n －2，S n －1·(S n －1＋2)＝(2n －2)·2n，∴f (n )＝(2n －2)2n ＋2562n ＝2n －2＋2562n ≥2256－2＝30，当且仅当2n ＝16，即n ＝4时，等号成立，f (n )min ＝30.16．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，侧面BCC 1B 1的面积为46， 求该正三棱柱外接球表面积的最小值．解 设BC ＝a ，CC 1＝b ，则ab ＝46，底面三角形外接圆的半径为r ， 则a sin60°＝2r ，∴r ＝33a . 所以R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＝b 24＋a 23≥2b 24·a 23＝29612＝42， 当且仅当a ＝32b 时，等号成立． 所以该正三棱柱外接球表面积的最小值为 4π×42＝162π.。
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 1.2.2运用基本不等式求最值学案 新人教A 版选修4-5【学习目标】1.理解并熟练掌握基本不等式；2.熟练掌握巧用基本不等式求最值的方法. 【重点难点】基本不等式及其变形的灵活应用.【学习过程】一、问题情景导入：1.叙述基本不等式定理的内容,2.在应用基本不等式定理时应注意什么？一正、二定、三相等二、自学探究：（阅读课本第5-8页，完成下面知识点的梳理）已知+∈R b a ,1.若M b a =+22（M 为常数），则b a +有最 值 ， ab 有最 值 ；2.若N ab =（N 为常数），则b a +有最 值 ，22b a +有最 值 ；3.若T b a =+（T 为常数），则22b a +有最 值 ，ab 有最 值 .三、例题演练：例1若0,0>>y x ，且141=+y x ，则y x +的最小值为 。
变式：⑴已知b a ,是正数，且()+∞∈=+,0,,1y x y bx a，则y x +与()2b a +的大小关系是 .⑵函数()()1,013log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=++ny mx 上，其中0>mn ，则n m 21+的最小值为 .例2已知.1,0,0=+>>b a b a 且求证： ()()22121.2;411.1≤+++≥+b a ba变式：若(),3,0,=++∞∈b a b a 且求b a +++11的最大值。
【课堂小结与反思】【课后作业与练习】1.已知不等式()91≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++y a x y x 对任意正实数y x ,恒成立，则正实数a 的最小值为 。
2.函数()101≠>=-a a ay x 且的图像恒过定点A ，若点A 在直线01=-+ny mx ()0>mn 上，则nm 11+的最小值是 。
3.已知M 是△ABC 内一点，且︒=∠=⋅30,32BAC AC AB ,若MAB MCA MBC ∆∆∆,,的面积分别为,,,21y x 则y x 41+的最小值是 .4.若直线()0,002>>=+-b a by ax 被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，则ba 11+的最小值为 。
第2课时基本不等式的应用学 习 目 标核 心 素 养1.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．(重点)2．会用基本不等式求解实际应用题．(难点)1.通过基本不等式求最值，提升数学运算素养．2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.已知x 、y 都是正数，(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 24. (2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p . 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92 D ．5 C [∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1. ∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a ≥52＋22a b ·b 2a ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，等号成立. 故y ＝1a ＋4b 的最小值为92.]2．若x >0，则x ＋2x 的最小值是________．22 [x ＋2x ≥2x ·2x ＝22，当且仅当x ＝2时，等号成立．]3．设x ，y ∈N *满足x ＋y ＝20，则xy 的最大值为________． 100 [∵x ，y ∈N *，∴20＝x ＋y ≥2xy ， ∴xy ≤100.]利用基本不等式求最值【例1】 (1)已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值．[思路点拨] (1)看到求y ＝4x －2＋14x －5的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求y ＝12x (1－2x )的最值，需要出现和为定值．[解] (1)∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，上式等号成立， 故当x ＝1时，y max ＝1. (2)∵0<x <12， ∴1－2x >0，∴y ＝14×2x (1－2x )≤14×⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116. ∴当且仅当2x ＝1－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，即x ＝14时，y max ＝116.利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章§3.2函数的基本性质中学习.1．(1)已知x >0，求函数y ＝x 2＋5x ＋4x 的最小值；(2)已知0<x <13，求函数y ＝x (1－3x )的最大值． [解] (1)∵y ＝x 2＋5x ＋4x ＝x ＋4x ＋5≥24＋5＝9， 当且仅当x ＝4x 即x ＝2时等号成立． 故y ＝x 2＋5x ＋4x (x >0)的最小值为9.(2)法一：∵0<x <13，∴1－3x >0. ∴y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x ) ≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(1－3x )22＝112. 当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立． ∴当x ＝16时，函数取得最大值112. 法二：∵0<x <13，∴13－x >0.∴y ＝x (1－3x )＝3·x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13－x 22＝112，当且仅当x ＝13－x ，即x ＝16时，等号成立． ∴当x ＝16时，函数取得最大值112. 利用基本不等式求条件最值【例2】 已知x ＞0，y ＞0，且满足8x ＋1y ＝1.求x ＋2y 的最小值． [解] ∵x ＞0，y ＞0，8x ＋1y ＝1， ∴x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y (x ＋2y )＝10＋x y ＋16y x≥10＋2x y ·16yx ＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋1y ＝1，x y ＝16yx ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝3时，等号成立， 故当x ＝12，y ＝3时，(x ＋2y )min ＝18.若把“8x ＋1y ＝1”改为“x ＋2y ＝1”，其他条件不变，求8x ＋1y 的最小值． [解] ∵x ，y ∈R ＋， ∴8x ＋1y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y＝8＋16y x ＋x y ＋2＝10＋16y x ＋xy ≥10＋216＝18. 当且仅当16y x ＝xy 时取等号，结合x ＋2y ＝1，得x ＝23，y ＝16， ∴当x ＝23，y ＝16时，8x ＋1y 取到最小值18.1．本题给出的方法，用到了基本不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足基本不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形．2．常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项．常见形式有f (x )＝ax ＋bx 型和f (x )＝ax (b －ax )型．2．已知a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝1，求1a ＋1b 的最小值． [解] 法一：1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·(a ＋2b ) ＝1＋2b a ＋a b ＋2＝3＋2b a ＋ab ≥3＋22b a ·a b＝3＋22，当且仅当⎩⎨⎧2b a ＝ab ，a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝1－22时等号成立．∴1a ＋1b 的最小值为3＋2 2.法二：1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b ＝1＋2b a ＋ab ＋2 ＝3＋2b a ＋ab ≥3＋22，当且仅当⎩⎨⎧2ba ＝ab ，a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝1－22时，等号成立，∴1a ＋1b 的最小值为3＋2 2. 利用基本不等式解决实际问题【例3】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？[解] 设每间虎笼长x m ，宽y m ， 则由条件知，4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18. 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy . 法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， 所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S max ＝272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3.故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大． 法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y .∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝y ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－32y ＝32y (6－y )． ∵0<y <6，∴6－y >0.∴S ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤(6－y )＋y 22＝272. 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5. 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大．1．在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案．2．对于函数y ＝x ＋kx (k >0)，可以证明0＜x ≤k 及－k ≤x ＜0上均为减函数，在x ≥k 及x ≤－k 上都是增函数．求此函数的最值时，若所给的范围含±k 时，可用基本不等式，不包含±k 时，可用函数的单调性求解(后面第三章3.2函数的基本性质中学习)．3．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积[解] 设将楼房建为x 层，则每平方米的平均购地费用为2 160×1042 000x ＝10 800x . ∴每平方米的平均综合费用 y ＝560＋48x ＋10 800x ＝560＋48⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋225x .当x＋225x取最小值时，y有最小值．∵x>0，∴x＋225x≥2x·225x＝30.当且仅当x＝225x，即x＝15时，上式等号成立．∴当x＝15时，y有最小值2 000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．1．利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正二定三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用基本不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用基本不等式的情境．2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到.1．思考辨析(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．()(2)若a>0，b>0且a＋b＝4，则ab≤4.()(3)当x>1时，函数y＝x＋1x－1≥2xx－1，所以函数y的最小值是2xx－1.()[提示](1)由a＋b≥2ab可知正确．(2)由ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22＝4可知正确．(3)xx－1不是常数，故错误．[答案](1)√(2)√(3)×2．若实数a、b满足a＋b＝2，则ab的最大值为()A ．1B ．22C ．2D ．4 A [由基本不等式得，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1.] 3．已知0<x <1，则x (3－3x )取最大值时x 的值为( ) A.12 B.34 C.23D.25A [∵0<x <1，∴1－x >0，则x (3－3x )＝3[x (1－x )]≤3×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34， 当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．] 4．已知x >0，求y ＝2xx 2＋1的最大值． [解] y ＝2x x 2＋1＝2x ＋1x. ∵x >0，∴x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，∴y ≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立．。
2．2 基本不等式 第1课时 基本不等式问题导学预习教材P44－P46，并思考以下问题： 1．基本不等式的内容是什么？ 2．基本不等式成立的条件是什么？3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？1．重要不等式与基本不等式■名师点拨(1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是不同的．前者要求a ，b 是实数即可，而后者要求a ，b 都是正实数(实际上后者只要a ≥0，b ≥0即可)．(2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a ＝b时，等号成立”．2．基本不等式与最值 已知x ＞0，y ＞0，则(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 24．(2)若xy ＝P (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小． ■名师点拨利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： ①一正：符合基本不等式a ＋b2≥ab 成立的前提条件，a ＞0，b ＞0；②二定：化不等式的一边为定值；③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立． 以上三点缺一不可．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab 均成立．( ) (2)若a >0，b >0且a ≠b ，则a ＋b >2ab .( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22.( ) (4)a ，b 同号时，b a ＋ab ≥2.( )(5)函数y ＝x ＋1x 的最小值为2.( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)× 如果a >0，那么a ＋1a ＋2的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．3D ．4解析：选D.因为a >0，所以a ＋1a＋2≥2a ·1a＋2＝2＋2＝4，当且仅当a ＝1时取等号． 不等式(x －2y )＋1x －2y ≥2成立的前提条件为( )A ．x ≥2yB ．x >2yC ．x ≤2yD ．x <2y解析：选B.因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x －2y >0，即x >2y ，故选B.已知0＜x ＜1，则x (1－x )的最大值为________，此时x ＝________．解析：因为0＜x ＜1，所以1－x ＞0，所以x (1－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（1－x ）22＝⎝⎛⎭⎫122＝14，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时“＝”成立，即当x ＝12时，x (1－x )取得最大值14.答案：14 12对基本不等式的理解下列结论正确的是( ) A ．若x ∈R ，且x ≠0，则4x ＋x ≥4B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值【解析】 对于选项A ，当x <0时，4x ＋x ≥4显然不成立；对于选项B ，符合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项C ，忽视了验证等号成立的条件，即x ＝1x ，则x ＝±1，均不满足x ≥2；对于选项D ，x －1x 在0<x ≤2的范围内单调递增，有最大值2－12＝32.【答案】 B应用基本不等式时的三个关注点给出下列条件：①ab ＞0；②ab ＜0；③a ＞0，b ＞0；④a ＜0，b ＜0.其中能使b a ＋ab≥2成立的条件有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C.当b a ，a b 均为正数时，b a ＋ab≥2，故只须a ，b 同号即可，所以①③④均可以．故选C.利用基本不等式直接求最值(1)已知t ＞0，求y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值；(2)若正实数x ，y 满足2x ＋y ＝1，求xy 的最大值． 【解】 (1)依题意得y ＝t ＋1t －4≥2t ·1t －4＝－2，等号成立时t ＝1，即函数y ＝t 2－4t ＋1t(t >0)的最小值是－2. (2)因为正数x ，y 满足2x ＋y ＝1，所以2x ＋y ＝1≥22xy ，所以2xy ≤12，解得xy ≤18，当且仅当x ＝14，y ＝12时取等号．(1)若a ＋b ＝S (和为定值)，当a ＝b 时，积ab 有最大值S 24，可以用基本不等式ab ≤a ＋b 2求得．(2)若ab ＝P (积为定值)，则当a ＝b 时，和a ＋b 有最小值2P ，可以用基本不等式a ＋b ≥2ab 求得．不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立．1．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9D ．36解析：选B.因为x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，所以(1＋x )(1＋y )＝1＋x ＋y ＋xy ＝9＋xy ≤9＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝9＋42＝25，因此当且仅当x ＝y ＝4时，(1＋x )(1＋y )取最大值25. 2．若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8 C ．9D ．10解析：选C.因为a ，b 都是正数，所以⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4ab＝9，当且仅当b ＝2a 时取等号．利用基本不等式求最值(1)已知x >2，则y ＝x ＋4x －2的最小值为________．(2)若0<x <12，则函数y ＝12x (1－2x )的最大值是________．(3)若x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋4y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________．【解析】 (1)因为x >2， 所以x －2>0，所以y ＝x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2（x －2）·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立． 所以y ＝x ＋4x －2的最小值为6.(2)因为0<x <12，所以1－2x >0，所以y ＝12x (1－2x )＝14×2x ×(1－2x )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116， 当且仅当2x ＝1－2x ， 即当x ＝14时，y max ＝116.(3)因为x ，y ∈(0，＋∞)，x ＋4y ＝1， 所以1x ＋1y ＝x ＋4y x ＋x ＋4y y ＝5＋4y x ＋xy ≥9，当且仅当4y x ＝x y，即x ＝13，y ＝16时取等号．【答案】 (1)6 (2)116(3)9若把本例(1)中的条件“x >2”改为“x <2”，求y ＝x ＋4x －2的最大值．解：因为x <2， 所以2－x >0， 所以f (x )＝x ＋4x －2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2－x ）＋42－x ＋2≤－2（2－x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫42－x ＋2＝－2，当且仅当2－x ＝42－x ，得x ＝0或x ＝4(舍去)，即x ＝0时，等号成立． 故f (x )＝x ＋4x －2的最大值为－2.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．1．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13B.1243解析：选B.由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时取等号．2．函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是( ) A ．32－3 B ．3 C ．6 2D ．62－3解析：选D.y ＝3(x 2＋1)＋6x 2＋1－3≥23（x 2＋1）·6x 2＋1－3＝218－3＝62－3，当且仅当x 2＝2－1时等号成立，故选D.3．已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，则x ＋y 的最小值为________．解析：x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9xy≥10＋2y x ·9xy＝10＋6＝16. 即x ＝4，y ＝12时等号成立，所以x ＋y 的最小值为16. 答案：161．下列不等式中，正确的是( ) A ．a ＋4a ≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 3解析：选D.a ＜0，则a ＋4a ≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2＜4ab ，故B 错，a ＝4，b ＝16，则ab ＜a ＋b2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．2．若a >0，b >0，a ＋2b ＝5，则ab 的最大值为( ) A ．25B.25248解析：选D.a >0，b >0，a ＋2b ＝5，则ab ＝12a ·2b ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 22＝258，当且仅当a ＝52，b ＝54时取等号，故选D. 3．若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是( )A ．2B ．a C.2a a －1D ．3解析：选D.因为a ＞1，所以a －1＞0， 所以a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2（a －1）·1a －1＋1＝3.当且仅当a －1＝1a －1即a ＝2时取等号．4．已知x ，y 为正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值．解：因为x ，y 为正实数， 所以(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋3y ＝4＋⎝⎛⎭⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3. 当且仅当y x ＝3x y，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， 所以1x ＋3y ≥1＋32，故1x ＋3y 的最小值为1＋32.[A 基础达标]1．已知a ，b ∈R ，且ab >0，则下列结论恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b≥2 解析：选D.对于A ，当a ＝b 时，a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错误；对于B ，C ，虽然ab >0，只能说明a ，b 同号，当a ，b 都小于0时，B ，C 错误；对于D ，因为ab >0，所以b a >0，ab >0，所以b a ＋ab≥2b a ·a b ，即b a ＋ab≥2成立． 2.（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3D.322解析：选B.因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0， a ＋6≥0， 所以（3－a ）（a ＋6）≤（3－a ）＋（a ＋6）2＝92.即（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为92.3．已知实数x ，y 满足x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，则x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选D.因为x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋xy ≥4＋24y x ·xy＝8， 当且仅当4y x ＝xy 时等号成立．故选D.4．设x >0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( )A ．3B ．3－2 2C ．3－2 3D ．－1解析：选C.y ＝3－3x －1x ＝3－⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≤3－2 3x ·1x ＝3－23，当且仅当3x ＝1x，即x ＝33时取等号． 5．设x ＞0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( ) A ．0 B.12 C ．1D.32解析：选A.因为x ＞0，所以x ＋12＞0，所以y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2 ≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立，所以函数的最小值为0.6．已知x ＞0，y ＞0，2x ＋3y ＝6，则xy 的最大值为________． 解析：因为x ＞0，y ＞0，2x ＋3y ＝6， 所以xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22 ＝16·⎝⎛⎭⎫622＝32. 当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32.答案：327．若点A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n 的最小值为________．解析：因为点A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上， 所以2m ＋n ＝1，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2（2m ＋n ）n ＝4＋⎝⎛⎭⎫n m ＋4m n ≥8. 答案：88．给出下列不等式：①x ＋1x ≥2；②⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2；③x 2＋y 2xy ≥2；④x 2＋y 22>xy ；⑤|x ＋y |2≥|xy |.其中正确的是________(写出序号即可)．解析：当x >0时，x ＋1x ≥2；当x <0时，x ＋1x ≤－2，①不正确；因为x 与1x同号，所以⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2，②正确； 当x ，y 异号时，③不正确； 当x ＝y 时，x 2＋y 22＝xy ，④不正确；当x ＝1，y ＝－1时，⑤不正确． 答案：② 9．已知y ＝x ＋1x.(1)已知x ＞0，求y 的最小值； (2)已知x ＜0，求y 的最大值． 解：(1)因为x ＞0，所以x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立．所以y 的最小值为2.(2)因为x ＜0，所以－x ＞0.所以f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋1－x ≤－2（－x ）·1－x＝－2，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时等号成立．所以y 的最大值为－2.10．(1)若x ＜3，求y ＝2x ＋1＋1x －3的最大值；(2)已知x ＞0，求y ＝2xx 2＋1的最大值．解：(1)因为x ＜3，所以3－x ＞0.又因为y ＝2(x －3)＋1x －3＋7＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（3－x ）＋13－x ＋7，由基本不等式可得2(3－x )＋13－x ≥22（3－x ）·13－x ＝22，当且仅当2(3－x )＝13－x，即x ＝3－22时，等号成立，于是－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（3－x ）＋13－x ≤－22，－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（3－x ）＋13－x ＋7≤7－22，故y 的最大值是7－2 2.(2)y ＝2x x 2＋1＝2x ＋1x .因为x ＞0，所以x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，所以0＜y ≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立．故y 的最大值为1. [B 能力提升]11．若0＜x ＜12，则函数y ＝x 1－4x 2的最大值为( )A ．1 B.12 C.14D.18解析：选 C.因为0＜x ＜12，所以1－4x 2＞0，所以x1－4x 2＝12×2x1－4x 2≤12×4x 2＋1－4x 22＝14，当且仅当2x ＝1－4x 2，即x ＝24时等号成立，故选C. 12．已知x ≥52，则y ＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1解析：选D.y ＝x 2－4x ＋52x －4＝（x －2）2＋12（x －2）＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2）＋1x －2， 因为x ≥52，所以x －2＞0，所以12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2）＋1x －2≥12·2（x －2）·1x －2＝1，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时取等号．故y 的最小值为1.13．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝ab . (1)求ab 的最小值； (2)求a ＋2b 的最小值． 解：因为2a ＋b ＝ab ， 所以1a ＋2b ＝1；(1)因为a >0，b >0， 所以1＝1a ＋2b ≥22ab ，当且仅当1a ＝2b ＝12，即a ＝2，b ＝4时取等号，所以ab ≥8，即ab 的最小值为8；(2)a ＋2b ＝(a ＋2b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ·2ab＝9， 当且仅当2b a ＝2ab ，即a ＝b ＝3时取等号，所以a ＋2b 的最小值为9.14．已知a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝2 2.(1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a －b )2≥4(ab )3，求ab 的值．解：(1)因为a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝22，所以1a ＋1b ＝22≥21ab ，即ab ≥12(当且仅当a ＝b 时等号成立)．因为a 2＋b 2≥2ab ≥2×12＝1(当且仅当a ＝b 时等号成立)，所以a 2＋b 2的最小值为1.(2)因为1a ＋1b ＝22，所以a ＋b ＝22ab .因为(a －b )2≥4(ab )3，所以(a ＋b )2－4ab ≥4(ab )3，即(22ab )2－4ab ≥4(ab )3，即(ab )2－2ab ＋1≤0，(ab －1)2≤0.因为a ，b 为正实数，所以ab ＝1.[C 拓展探究]15．是否存在正实数a 和b ，同时满足下列条件：①a ＋b ＝10；②a x ＋by ＝1(x >0，y >0)且x ＋y 的最小值为18，若存在，求出a ，b 的值；若不存在，说明理由．解：因为a x ＋by＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋bx y ＋ayx ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2， 又x ＋y 的最小值为18， 所以(a ＋b )2＝18.由⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋b ）2＝18，a ＋b ＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝2.故存在实数a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2满足条件．。
专题六 不等式问题三：利用基本不等式处理最值一、考情分析不等式问题始终是高考数的热点题型之一,而基本不等式法是最为常见、应用十分广泛的方法之一．下面笔者以近几年高考试题及模拟题为例,对高考中考查利用基本不等式解题的基本特征和基本类型作一些分类解析,供参考．二、经验分享(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值．(4)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形,然后利用基本不等式求解． (5)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(6)求参数的值或范围：观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或范围．三、知识拓展1．(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+；(2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）．2．(1)若00a ,b >>,则ab ba ≥+2；(2)若00a ,b >>,则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）； (3)若00a ,b >>,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab （当且仅当b a =时取“=”）．！ 3．若0x >,则12x x +≥（当且仅当1x =时取“=”）；若0x <,则12x x+≤-（当且仅当1x =-时取“=”）；若0x ≠,则12x x+≥,即12x x +≥或12x x +≤-（当且仅当b a =时取“=”）．4．若0>ab ,则2≥+ab b a （当且仅当b a =时取“=”）；若0ab ≠,则2a bb a +≥,即2a b b a +≥或2a b b a +≤-（当且仅当b a =时取“=”）．6．若R b a ∈,,则22222a b a b 骣++琪£琪桫（当且仅当b a =时取“=”）． 7．一个重要的不等式链：2221122a b a b ab a b++≤≤≤+． 8.()()22223()3ab bc ca a b c a b c++≤++≤++9．函数()()0,0bf x ax a b x=+>>图象及性质 (1)函数()0)(>+=b a xb ax x f 、图象如右图所示：(2)函数()0)(>+=b a xb ax x f 、性质：①值域：()22,ab ab ,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣； ②单调递增区间：,,,b ba a ⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭；单调递减区间：0,,,0b b a a ⎛⎤⎡⎫- ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭． 10.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”； (2)求最值的条件“一正,二定,三相等”；(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．四、题型分析(一) 利用基本不等式求最值利用基本不等式求函数最值时,应注意三个条件：“一正,二定,三相等”,这三个条件中,以定值为本．因为在一定限制条件下,某些代数式需经过一定的变式处理,才可利用基本不等式求得最值,而怎样变式,完全取决于定值的作用．主要有两种类型：一类是中条件给出定值式,一类是条件中无定值式． 类型一 给出定值【例1】已知,a b ∈R ,且24a b +=,则33ab +的最小值为（ ） A ．23 B ．6 C ．33 D ．12 【答案】B【解析】22223323323236a a b abb++≥⨯===,当且仅当a=2,b=1时,等号成立．故选B ．【小试牛刀】设,x y 是正实数,且1x y +=,则2221x y x y +++的最小值是__________． 【答案】14． 【分析一】考虑通法,消元化为单元函数,而后可用导数法和判别式法求解函数的最小值；【解析一】121)2(2)1()12(1222222222=++≥+++++++=+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++xy y x y x y x y x y x y x y y x x类型二 未知定值【例2】【2017届山西晋中榆社中高三11月月考】已知,x y 为正实数,则433x y x y x++的最小值为（ ）A ．53 B ．103 C ．32D ．3 【答案】D【解析】4343431213333x y x x y x x y x y x x y x x y x+++=+-≥-=+++,当且仅当433x x y x y x +=+时取等号,故选D.【点评】配凑法是解决这类问题的常用方法,其目的是将代数式或函数式变形为基本不等式适用的条件,对于这种没有明确定值式的求最大值（最小值）问题,要灵活依据条件或待求式合理构造定值式．【小试牛刀】【山东省烟台市2018届高三下期高考诊断性测试】已知函数()322()3f x ax bx cx d a b =+++<在R 上是单调递增函数,则23cb a-的最小值是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A【解析】 由题意的()232f x ax bx c =++,因为函数()f x 在R 上单调递增,所以满足2{4120 23a b ac a b>∆=-≤>,可得23b c a≥,且0a >所以()2221233233232c b b b a a b a a b a ≥≥=--+-⎛⎫ ⎪⎝⎭,当且仅当3b a =时等号成立,所以()2123323c b b a a b a ≥≥--,故选A.技巧一：凑项【例3】【2017届甘肃天水一中高三12月月考】设0a b >>,则211()a ab a a b ++-的最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【分析】拼凑成和为定值的形式【点评】使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件,如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象,还应加强非定构定、不等作图这方面的训练,并注重表达的规范性,才能灵活应对这类题型.【小试牛刀】已知()()1,2,1216a b a b >->-++=,则a b +的最小值是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】B【解析】因为1,2a b >->-,则10,20a b +>+>． 所以()()()()123212383 5.a b a b a b +=+++-≥++-=-=且仅当12a b +=+,即3,2a b ==时等号成立,故选B ． 技巧二：凑系数【例4】 当04x <<时,求()82y x x =-的最大值．【分析】由04x <<知820x ->,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值．注意到2(82)8x x +-=为定值,故只需将()82y x x =-凑上一个系数即可．【解析】()()211282822828222x x y x x x x --⎛⎫=-=⋅-≤=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭,当282x x =-,即2x =时取等号,∴当2x =时,(82)y x x =-的最大值为8．【评注】本题无法直接运用基本不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用基本不等式求最大值．【小试牛刀】设230<<x ,求函数()432y x x =-的最大值． 【解析】∵230<<x ,∴023>-x ,∴()()223294322232222x x y x x x x 骣+-琪=-=??琪桫,当且仅当232x x =-,即330,42x 骣琪=?琪桫时等号成立． 【点评】总的来说,要提高拼凑的技巧,设法拼凑出乘积或和为定值的形式． 技巧三： 分离【例5】求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域．【分析一】本题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有()1x +的项,再将其分离．【小试牛刀】已知a,b 都是负实数,则ba bb a a +++2的最小值是（ ） A ．65B ．2（﹣1）C ．221-D ．2（+1）【答案】B【解析】()()()()()222222222a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a b+-++-++++=+=+-++++++222≥- ,故选B ．技巧四：换元【例6】已知a ,b 为正实数,2b ＋ab ＋a ＝30,求y ＝1ab的最小值．【分析】这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的；二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行．【点评】①本题考查不等式ab ba ≥+2()0,0a b >>的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230ab a b =++()0,0a b >>出发求得ab 的范围,关键是寻找到ab b a 与+之间的关系,由此想到不等式ab ba ≥+2()0,0a b >>,这样将已知条件转换为含ab 的不等式,进而解得ab 的范围． 【小试牛刀】【2017届重庆市第一中高三上期期中】设正实数y x ,满足1=+y x ,则xy y x ++22的取值范围为 【答案】]89,1[【解析】因为xy y x 21≥+=,所以410≤<xy xy xy xy xy y x xy y x +-=+-+=++212)(222设]21,0(∈=t xy ,所以)210(12212222≤<++-=+-=++t t t t t xy y x当41=t 时,上式取得最大值89141412-2=++）（当21=t 时,上式取得最小值1121212-2=++）（所以xy y x ++22的取值范围为]89,1[【点评】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,因此可以用在一些不等式的证明中,还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中,同时含有两个变量的和与积的形式,就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解． 技巧五：整体代换多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错． 【例7】已知0,0x y >>,且191x y+=,求x y +的最小值． 【错解】0,0x y >>,且191x y +=,∴()1992212x y x y xy x y xy ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭,故()min 12x y +=． 【错因】解法中两次连用基本不等式,在2x y xy +≥等号成立条件是x y =,在1992xyxy+≥等号成立条件是19x y=,即9y x =,取等号的条件的不一致,产生错误．因此,在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法． 【正解】190,0,1x y x y >>+=,()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭,当且仅当9y x x y =时,上式等号成立,又191x y+=,可得4,12x y ==时,()min 16x y +=． 【小试牛刀】【2017届江苏无锡市普通高中高三上期中】已知正实数,a b 满足37a b +=,则1412a b+++的最小值为___________． 【答案】134314+ 【解析】 因为1412a b +++11413(2)4(1)[(1)3(2)]()[13]14121412b a a b a b a b++=++++=++++++ 134313+≥,故应填答案134314+. 技巧六：取平方【例8】已知x ,y 为正实数,3x ＋2y ＝10,求函数W ＝3x ＋2y 的最值．【小试牛刀】求函数152152()22y x x x =-+-<<的最大值．【解析】注意到21x -与52x -的和为定值．22(2152)42(21)(52)4(21)(52)8y x x x x x x =-+-=+--≤+-+-=,又0y >,022y ∴<≤,当且仅当21x -=52x -,即32x =时取等号,故max 22y =． 【点评】本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式创造了条件． 技巧七：构造要求一个目标函数),(y x f 的最值,我们利用基本不等式构造一个以),(y x f 为主元的不等式（一般为二次不等式）,解之即可得),(y x f 的最值．【例9】设,x y 为实数,若2241x y xy ++=,则2x y +的最大值是 ．【分析】利用基本不等式将已知定值式中224x y ,xy +的均转化成含2x y +的不等式,再求2x y +的最大值． 【答案】2105． 【解析】2222233214(2)(2)(2)()222x y x y xy x y x y x y +=++=+-⋅≥+-,可解得2x y +的最大值为2105． 【点评】本题的解法过程体现了“消元”的思想,所求目标函数是和的形式,那我们就设法消去条件等式中的乘积,方法就是利用基本不等式,这里它的作用,一个是消元,还有就是把条件的等式变为了不等式． 【小试牛刀】【2017届河北武邑中高三周考】若正实数x ,y ,满足115x y x y+++=,则x y +的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C. 4 D ．5 【分析】构成关于x y +的不等式,通过解不等式求最值【解析】由5y 1x 1y x =+++,得5xy y x y x =+++）（.即yx y x +++≥=+++4)(5xy y x y x ）（, 04)(5y x 2≤++-+y x ）（.计算得出: 4y x 1≤+≤.y x +∴的最大值是4.所以C 选项是正确的.技巧八：添加参数【例10】若已知0,,>c b a ,则bcab c b a 2222+++的最小值为 ．【解析】bcab bcab bc ab c b b a bc ab c b a 21222)1(22222222+-+≥++-++=+++λλλλ时可取得函数的最小值,此时λλ-=12,此时51=λ,最小值为552．【小试牛刀】设w z y x ,,,是不全为零的实数,求22222wz y x zwyz xy +++++的最大值．【点评】从这个例子我们可以看出,这种配凑是有规律的,关键是我们建立了一个等式12122(1)21ααββ==--,这个等式建立的依据是等号成立的条件,目的就是为了取得最值．【小试牛刀】设,,x y z 是正实数,求2221010x y z xy yz zx++++的最小值．【解析】引进参数k ,使之满足()()()()22222222210101010221022z z x y z kx ky k x k y kxy k yz zx ++=++-++-+≥+-+,依据取等号的条件,有：22(10)4k k t t =-=⇒=,故2221010x y z xy yz zx++++的最小值4．综上所述,应用均值不等式求最值要注意：一要“正”：各项或各因式必须为正数；二可“定”：必须满足“和为定值”或“积为定值”,要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构,如果找不出“定值”的条件用这个定理,求最值就会出错；三能“等”：要保证等号确能成立,如果等号不能成立,那么求出的仍不是最值． (二) 基本不等式与恒成立问题【例11】【2017届福建福州外国语校高三上期期中】已知x >0,y >0,且21+=1x y,若2x+2y>m +2m 恒成立,则实数m 的取值范围是 ． 【分析】先求左边式子的最小值 【解析】∵0>x ,0>y ,且21+=1x y ,∴214y x 4y x x+2y=(x+2y)(+)=4++4+2=8x y x y x y≥⋅,当且仅当4y x =x y ,即y x 2=时取等号,又21+=1x y,∴4=x ,2=y ,∴()82min =+y x ,要使2x+2y>m +2m 恒成立,只需2min (x+2y)>m +2m ,即28>m +2m ,解得24<<-m ,故答案为24<<-m .【点评】恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等）,此时,函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件）,因此,适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数()12+=ax x f 恒大于0,就必须对a 进行限制--令0≥a ,这是比较简单的情况,而对于比较复杂的情况时,先分离参数的话做题较简单.【小试牛刀】若2()x xy a x y +≤+对任意的正实数,x y 恒成立,求a 的最小值．。
2019-2020学年高中数学 1.2.2运用基本不等式求最值学案 新人教
A 版选修4-5
【学习目标】1.理解并熟练掌握基本不等式；
2.熟练掌握巧用基本不等式求最值的方法. 【重点难点】基本不等式及其变形的灵活应用.
【学习过程】
一、问题情景导入：
1.叙述基本不等式定理的内容,
2.在应用基本不等式定理时应注意什么？
一正、二定、三相等
二、自学探究：（阅读课本第5-8页，完成下面知识点的梳理）
已知+∈R b a ,
1.若M b a =+2
2（M 为常数），则b a +有最 值 ， ab 有最 值 ； 2.若N ab =（N 为常数），则b a +有最 值 ，
22b a +有最 值 ；
3.若T b a =+（T 为常数），则2
2b a +有最 值 ， ab 有最 值 .
三、例题演练：
例1若0,0>>y x ，且
141=+y x ，则y x +的最小值为 。
变式：⑴已知b a ,是正数，且()+∞∈=+,0,,1y x y
b x a ，则 y x +与
()2
b a +的大小关系是 .
⑵函数()()1,013log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=++ny mx 上，其中0>mn ，则n m 21+的最小值为 .
例2已知.1,0,0=+>>b a b a 且求证： ()()22
121.2;411.1≤+++≥+b a b
a
变式：若(),3,0,=++∞∈b a b a 且求b a +++11的最大值。
【课堂小结与反思】
【课后作业与练习】
1.已知不等式()91≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++y a x y x 对任意正实数y x ,恒成立，则正实数a 的最小值为 。
2.函数()101≠>=-a a a
y x 且的图像恒过定点A ，若点A 在直线01=-+ny mx ()0>mn 上，则
n
m 11+的最小值是 。
3.已知M 是△ABC 内一点，且︒=∠=⋅30,32BAC AC AB ,若MAB MCA MBC ∆∆∆,,的面积分别为
,,,2
1y x 则y x 41+的最小值是 .
4.若直线()0,002>>=+-b a by ax 被圆01422
2=+-++y x y x 截得的弦长为4，则b
a 11+的最小值为 。
5.已知y x R y x b a ,,,,,+∈为变量，b a ,为常数，且10=+b a ， y x y b x a +=+,1的最小值为18，求b a ,
6.设082,,=-+∈+xy y x R y x 且，求y x +的最小值.
7.已知822,0,0=++>>xy y x y x ，则y x 2+的最小值是 。
8.已知
()0,0232>>=+y x y x ，则xy 的最小值为 。
9. ①若+∈R c b a ,,且()324-=+++bc c b a a ，求c b a ++2的最小值.
②设0>>b a ，则()
b a a ab a -++
112的最小值为 .
③求证：()c b a a c c b b a ++≥+++++2222222。
