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(7.1.01)
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dx1 a1 ( x1, x2 ,, xn ) dx a ( x , x ,, x ) n 1 2 n n dx2 a2 ( x1 , x2 ,, xn ) dxn an ( x1 , x2 ,, xn ) dxn 1 an 1 ( x1 , x2 ,, xn ) dx a ( x , x ,, x ) n 1 2 n n
x at C
首次积分!
所以方程的通解为
p( x, t ) ( x at ).
其中 是任意连续可微一元函数.
再注意到初始条件p(x, 0)=f(x), 得 ( x) f ( x), 从而得
到方程的解为
p f ( x at ).
■
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结束
例3. 用特征线法求解一阶齐是任意连续可微二元函数.
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例1. 用特征线法求解一阶齐次线性偏微分方程
3 yux 2 xu y 0
解: 根据前面的讨论, 写出特征方程组
dx dy 3 y 2 x
3 2 x y C 首次积分! 2
2
所以方程的通解为
3 2 u( x, y) ( x y ). 2
u [1 ( x1 , x2 ,n , xn ), 2 ( x1 , x2 , , xn ), , n 1 ( x1 , x2 , , xn )]
i 1 i 其中 是任意连续可微n1元函数 .
a ( x , x ,, x ) x
i 1 2 n
0
比较
(7.1.08) ■
a1 ( x1 , x2 ,, xn , u )Vx1 a2 ( x1, x2 ,, xn , u)Vxi an ( x1, x2 ,, xn , u)Vxn
b( x1 , x2 ,, xn , u )Vu 0
(7.1.15)
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结束
a1 ( x1 , x2 ,, xn , u )u x1 a2 ( x1 , x2 ,, xn , u )u x2 an ( x1, x2 ,, xn , u )u xn
(7.1.07)
因此(7.1.06)也是(7.1.07)的一个首次积分. 再由第三章第 n 1 ai 一节定理3.1知, 有恒等式 0, 两端乘以an, 得
ai ( x1, x2 ,, xn ) 0 xi i 1
n
xn
i 1
an xi
(7.1.08)
这就证明了函数 ( x1 , x2 , , xn )是特征方程组(7.1.03)的一 个首次积分的充要条件为恒等式(7.1.08)成立.
1 ( x1 , x2 , , xn ) C1 2 ( x1 , x2 , , xn ) C2 n 1 ( x1 , x2 , , xn ) Cn 1
(7.1.04)
我们的目标是通过求(7.1.03)的首次积分(7.1.04)来求 一阶齐次线性偏微分方程(7.1.01)的通解. 偏微分方程 (7.1.01) (7.1.03)的首 dx1 dx2的解与它的特征方程 dxn (7.1.03) a1 ( x1, x2 ,, xn ) a2 ( x1, x2 ,, xn ) 次积分之间的关系有如下的定理 . an ( x1, x2 ,, xn )
a1 ( x1 , x2 ,, xn , u )u x1 a2 ( x1 , x2 ,, xn , u )u x2 an ( x1, x2 ,, xn , u )u xn
b( x1 , x2 ,, xn , u )
(7.1.13)
由(7.1.15)可见, 若将V视为关于x1, x2 , … , xn, u的函 数,(7.1.15)就成为关于未知函数V的一阶齐次线性偏微分 方程. 这就证明了,若V(x1, x2 , … , xn, u)=C是一阶非齐次 拟线性偏微分方程(7.1.13)的一个隐函数形式的解,则n+1 元函数 V(x1, x2 , … , xn, u) 是一阶齐次线性偏微分方程 (7.1.15)的解.
一、一阶(拟)线性偏微分方程的通解 1. 一阶齐次线性偏微分方程 考虑形如
a1 ( x1 , x2 ,, xn )ux1 a2 ( x1 , x2 ,, xn )ux2 an ( x1 , x2 ,, xn )uxn 0
(7.1.01) 设u=u(x1, x2, … , xn)是方程(7.1.01)的一个解,则由全微 分法则, 有 du ux dx1 ux dx2 ux dxn (7.1.02)
则方程(7.1.09)的通解为
u ( x, y) [ ( x, y)]
(7.1.10)
其中 是任意连续可微一元函数.
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注: 当n=3时, 方程(7.1.01)成为
a( x, y, z )ux b( x, y, z)uy c( x, y, z)uz 0
i i
Vu
a1 ( x1 , x2 ,, xn , u )Vx1 a2 ( x1, x2 ,, xn , u)Vxi an ( x1, x2 ,, xn , u)Vxn
b( x1 , x2 ,, xn , u )Vu 0
(7.1.15)
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结束
u ai ( x1, x2 ,, xn ) 0 xi i 1
n
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(7.1.01)
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注: 当n=2时, 方程(7.1.01)成为
a( x, y )ux b(x , y )u y 0
(7.1.09)
dx dy ,它有一个首次积分 ( x, y ) C , 其特征方程组为 a( x, y) b( x, y)
第七章 特征线法、达朗贝尔公式 和分离变量法
第一节 特征线法 第二节 达朗贝尔公式 反射法 第三节 分离变量法简介
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第一节 特征线法
一、一阶(拟)线性偏微分方程的通解 1. 一阶齐次线性偏微分方程 考虑形如
a1 ( x1 , x2 ,, xn )ux1 a2 ( x1 , x2 ,, xn )ux2 an ( x1 , x2 ,, xn )uxn 0
b( x1 , x2 ,, xn , u )
(7.1.13)
反过来, 假设n+1元函数V(x1, x2 , … , xn, u)是(7.1.15) 的解, 且Vu≠0, 则由(7.1.15)和(7.1.14)可以推出由方程
V x1 , x2 ,, xn , u 0
b( x1 , x2 ,, xn , u )
(7.1.13)
的一阶齐次拟线性偏微分方程的通解, 其中ai(i=1,2,…,n), b都是n+1个变元x1, x2 , … , xn, u的连续函数,且不全为零.
设V(x1, x2 , … , xn, u)=0是方程(7.1.13)的一个隐函数 形式的解, 注意到u是x1, x2 , … , xn的函数,由隐函数求导 法, 得到 Vx ux ,(i 1,2,, n) (7.1.14)
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其中 是任意连续可微一元函数.
■
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例2. 求解交通流线性关系模型
p p a 0, t 0, x x t p ( x,0) f ( x).
解: 根据前面的讨论, 写出特征方程组
dt dx 1 a
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( x1 , x2 , , xn ) 是特征方程组(7.1.03)的一个首次积分
的充要条件是: u ( x1 , x2 ,, xn ) 是一阶齐次线性偏微分 方程(7.1.01)的解.
因此, 若u ( x1 , x2 ,, xn ) 是一阶齐次线性偏微分方 程(7.1.01)的任意一个解,则它是特征方程组(7.1.03)的一 个首次积分. 再由第三章第一节定理3.5,它可由特征方程组(7.1.03) 的n1个首次积分(7.1.04)来表达
1 2 n
dx1 dx2 dxn a1 ( x1, x2 ,, xn ) a2 ( x1, x2 ,, xn ) an ( x1, x2 ,, xn )
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(7.1.03)
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我们称(7.1.03)为(7.1.01)的特征方程组,由特征方程组 (7.1.03)确定的空间曲线称为特征曲线. 由于特征方程组 (7.1.03)是一个包含n1个方程的常微分方程组, 所以它 有n1个首次积分
(7.1.01) 的一阶齐次线性偏微分方程的通解, 其中ai(i=1,2,…,n)是 自变量x1 , x2 , … , xn的n(n≥2)元连续函数, 且不全为零. 方程(7.1.01)的通解可通过求解一个常微分方程组而 得到, 通常称这种求解方法为特征线法.
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第一节 特征线法
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定理7.1 假设已经得到特征方程组(7.1.03)的n1个 首次积分(7.1.04), 则一阶齐次线性偏微分方程(7.1.01) 的通解为
u ( x1 , x2 ,, xn ) [1 ( x1 , x2 ,, xn ), 2 ( x1, x2 ,, xn ),, n 1 ( x1, x2 ,, xn )]
首次积分!
所以方程的通解为
u( x, y) ( x y z, x 2 y 2 z 2 ).
