高考数学专题之集合、复数、常用逻辑用语

一．知识归纳：1．集合的有关概念。

1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互异性（若a?A，b?A，则a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。

③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3）集合的分类：有限集，无限集，空集。

4）常用数集：N，Z，Q，R，N*2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1）子集：若对x∈A都有x∈B，则A B（或A B）；2）真子集：A B且存在x0∈B但x0 A；记为A B（或，且）3）交集：A∩B={x| x∈A且x∈B}4）并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}5）补集：CUA={x| x A但x∈U}注意：①? A，若A≠?，则? A ；②若，，则；③若且，则A=B（等集）3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1）与、?的区别；（2）与的区别；（3）与的区别。

4．有关子集的几个等价关系①A∩B=A A B；②A∪B=B A B；③A B C uA C uB；④A∩CuB = 空集CuA B；⑤CuA∪B=I A B。

5．交、并集运算的性质①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪? = A，A∪B=B∪A；③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB；6．有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2 n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。

二．例题讲解：【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P= {x|x= ,p∈Z}，则M,N,P满足关系A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M分析一：从判断元素的共性与区别入手。

第一部分 集合与常用逻辑用语1、集合的含义与表示（1）集合的含义：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）．不含任何元素的集合叫空集．元素a 属于集合A 记作a A ∈，元素a 不属于集合A 记作a A ∉．（2）集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性.（3）集合的分类：有限集、无限集．特殊的集合有：空集∅，自然数集N ，正整数集N *（或N +），整数集Z ，有理数集Q ，实数集R ，复数集C ．（4）集合的表示：①列举法{,,}a b c ；②特征性质描述法{|()}x I p x ∈．（5）几个特殊的集合：①{(x ，y )|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集.②{(x ，y )|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集.③{(x ，y )|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集.[注]：①方程组的解的集合是点集. 例：方程组⎩⎨⎧=-=+1323y x y x 的解的集合是{(2，1)}. ②点集与数集的交集是∅. 例：A ={(x ，y )| y =x +1},B={y |y =x 2+1},则A ∩B =∅．2、集合间的基本关系（1）子集：如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 就叫做集合B 的子集，记作B A ⊆或B A ⊇．如果集合A 中存在着不是集合B 的元素，则集合A 不包含于B ，记作B A ⊄或 ．（2）真子集：如果集合A 是集合B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作 或 ． （3）维恩图：我们通常用一个封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域通常叫做维恩图．（4）集合的相等：如果集合A 的每一个元素都是集合B 的元素，反过来，集合B 的每一个元素也都是集合A 的元素，则称集合A 与集合B 相等，记作A =B ．（5）相关性质：①任何一个集合是它本身的子集，记作：A A ⊆；②空集是任何集合的子集，记作：∅A ⊆；③空集是任何非空集合的真子集；B A ⊇≠A B ⊂B A ⊃≠④如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A =B .⑤如果B A ⊆，C B ⊆，那么C A ⊆.⑥n 个元素的子集有2n 个. 真子集有2n －1个. 非空真子集有2n －2个.3、集合的基本运算（1）交集：由既属于A 又属于B 的元素构成的集合，叫做A 、B 的交集，记作A B ， 即有{|}A B x x A x B =∈∧∈．（2）并集：把集合A 、B 中所有元素并在一起构成的集合，叫做A 、B 的并集，记作A B ， 即有{|}A B x x A x B =∈∨∈．（3）全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用U 表示．（4）补集：如果A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A在U 中的补集，记作U C A ，即有{|}U C A x x A x U =∉∧∈．（5）运算性质：①AB B A =，A A A =，A A ∅=∅=∅，A B A B A ⊆⇔=； ②AB B A =，A A A =，A A A ∅=∅=，A B A B B ⊆⇔=； ③U AC A U =，U A C A =∅，()U U C C A A =．④*De Morgan 公式：()U U U C A C B C AB = ()U U UC A C B C A B =[注]: ①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S =N ；A +=N ，则{}0=A C S ）③ 空集的补集是全集.④若集合A =B ，则=A C B ∅，=B C A ∅，S B C C A S =)( （ 注 ：=B C A ∅）.4、常用逻辑用语（1）命题：能判断真假的语句叫做命题，常用小写英文字母表示．正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．（2）量词与命题：① 短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词， 用符号∀表示；含有全称量词的命题叫全称命题，用符号简记为：,()x M p x ∀∈．② 短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”、“存在”在陈述中表示所述事物的 个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，用符号∃表示；含有存在量词的命题叫存在性命题，用符号简记为：,()x M q x ∃∈．[注]:要判断全称命题为假，只需举一个反例；要判断存在性命题为真，只需举一个实例． 全称命题和存在性命题的否定：①存在性命题 :,().p x M p x ∃∈⇒它的否定为：:,().p x M p x ⌝∀∈⌝②全称命题 :,().q x M q x ∀∈⇒它的否定为：:,().q x M q x ⌝∃∈⌝[注]：含有量词的命题的否定要注意“两否一不变”：否定量词（“任意”与“存在”互变）和结论（p (x )变为p (x )），不否定范围（x M ∈不能变为x M ∉）.（3）常用词语的否定:（4）推出与充要条件:①p q ⇒：p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②p q ⇔：p 是q 的充分且必要条件，简称充要条件．（5）高考试题中关于集合与常用逻辑用语的考查：关于集合的考查一类是与不等式的知识结合在一起，考查集合的运算；另一类以集合的概念为基本知识，创设新的情境考查考生的阅读理解能力和推理能力，这类题目通常是处在选择题第8题和填空题的第14题的位置及第20题压轴题位置，属于较难题目.关于常用逻辑用语的考查通常是以具体的章节的知识为背景考查，侧重于基本逻辑用语知识的应用，一般情况下试题属于容易题.例1：（2007年北京）已知集合{}1≤-=a x x A ，{}0452≥+-=x x x B ，若φ=B A ，则实数a 的取值范围是 ． ()3,2例2：已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则（ C ）A.1sin ,:≥∈∃⌝x R x pB. 1sin ,:≥∈∀⌝x R x pC.1sin ,:>∈∃⌝x R x pD. 1sin ,:>∈∀⌝x R x p例3：设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是A的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 6 个.。

复数一、复数的单位为i ，它的平方等于1-，即12-=i .二、复数及其相关概念：Ⅰ、复数：形如bi a z +=的数（其中R b a ∈,）；Ⅱ、实数：当0=b 时的复数bi a +，即a ；Ⅲ、虚数：当0≠b 时的复数bi a +；Ⅳ、纯虚数：当0=a 且0≠b 时的复数bi a +，即bi .Ⅴ、复数bi a +的实部与虚部：a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部（注意b a ,都是实数） Ⅵ、复数集C ：全体复数的集合，一般用字母C 表示.Ⅶ、复数bi a z +=的模：22||||b a bi a z +=+=.三、两个复数相等的定义：di c bi a +=+⇔c a =且d b =(其中，R d c b a ∈,,,)，特别地，0=+bi a ⇔0==b a .四、一般说来，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。

即：若两个复数都是实数，则可以比较大小；否则，不能比较大小。

五、共轭复数的概念：实部相等，虚部互为相反数的两个复数是共轭复数。

),(R b a bi a z ∈+=的共轭复数为：),(R b a bi a z ∈-=六、复数的运算Ⅰ、复数代数形式的加法、减法运算法则：()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±Ⅱ、复数代数形式的乘法运算运算法则：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++Ⅲ、复数代数形式的除法运算运算法则：i dc ad bc d c bd ac d c i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a 222222)())(())((+-+++=+-++=-+-+=++ 七、复数bi a z +=与复平面内的一点),(b a Z 对应，复平面内的任意一点),(b a Z 又可以与以原点为起点，点),(b a Z 为终点的向量OZ 对应，这些对应都是一一对应.八、常用的结论：Ⅰ、i i =1，12-=i ，i i -=3，14=i ；i i =5，16-=i ，i i -=7，18=i .Ⅱ、4=T ，i i n =+14，124-=+n i ，i i n -=+34，144=+n i .常用逻辑用语一、命题、真命题、假命题：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.二、命题的形式：数学中的命题大都可以表示成以下形式：若p，则q.这里，p是命题的条件，q是命题的结论.三、四种命题：原命题、逆命题、否命题和逆否命题.若原命题为：“若p，则q”，则它的逆命题为：“若q，则p”，它的否命题为：“若p⌝，则p⌝”.⌝”，它的逆否命题为：“若q⌝，则q四、四种命题间的相互关系：Ⅰ、原命题与逆否命题互为逆否命题；逆命题与否命题互为逆否命题.Ⅱ、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性.例如，原命题与逆否命题逻辑等价；逆命题与否命题逻辑等价.Ⅲ、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.Ⅳ、由于原命题和它的逆否命题等价，具有相同的真假性，因为在直接证明原命题有困难时，可以考虑证明与它等价的逆否命题.五、充分条件、必要条件、充要条件Ⅰ、若qp⇒，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.Ⅱ、若既有qp⇒，又有pp⇔，则p与q互为充要条件.q⇒，即qⅢ、形如“若p，则q”的命题中，存在以下四种关系：（1）若qq⇒/，则p是q的充分不必要条件.p⇒且p（2）若qp⇒/且pq⇒，则p是q的必要不充分条件.（3）若qq⇒，则p是q的充要条件.p⇒且p（4）若qq⇒/，则p是q的既不充分也不必要条件.p⇒/且p六、简单的逻辑联结词Ⅰ、且（and）（1）用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作：qp∧，读作：“p且q”.（2）当qp∧是真命题；p,都是真命题时，q当q p ,两个命题中有一个命题是假命题时，q p ∧是假命题.Ⅱ、或（or ）（1）用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作：q p ∨，读作：“p 或q ”.（2）当q p ,两个命题中有一个命题是真命题时，q p ∨是真命题；当q p ,两个命题都是假命题时，q p ∨是假命题.Ⅲ、非（not ）（1）对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作：p ⌝，读作：“非p ”或“p 的否定”.（2）若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题.七、“命题的否定”与“否命题”的区别：（1）“命题的否定”只否定该命题的结论；而“否命题”既否定条件，又否定结论. 例如：命题p ：正方形的四条边相等；命题p ⌝：正方形的四条边不相等；p 的否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等.（2）一个命题与它的否定形式是完全对立的，两者之间有且只有一个成立；而对于否命题，它是否成立和原命题是否成立没有直接关系.八、全称量词与存在量词：Ⅰ、全称量词、全称命题：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示； 含有全称量词的命题，叫做全称命题.Ⅱ、存在量词、特称命题：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示； 含有存在量词的命题，叫做特称命题.九、含有一个量词的命题的否定：Ⅰ、全称命题的否定是特称命题.全称命题p ：)(,x p M x ∈∀， 它的否定p ⌝：)(,00x p M x ⌝∈∃.Ⅱ、特称命题的否定是全称命题.特称命题p ：)(,00x p M x ∈∃， 它的否定p ⌝：)(,x p M x ⌝∈∀.复数1．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则 ( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－12．已知复数z 满足(12)z i i ⋅-=，则复数对应的点在复平面对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下面是关于复数21z i =- 的四个命题：1p :2z =, 2:p 22z i = 3:p z 的共轭复数为1i -+ 4:p z 的虚部为1其中真命题为（ ）A ．23,p p B ．12,p p C ．24,p p D ．34,p p4．在复平面内，复数i iz 212+-=的共轭复数的虚部为 （ ）A ．25- B ．25 C ．25i D ．25i -5．复数)()2(2为虚数单位i i i z -=，则=||z （ ）A ．5B ．5C ．41D ．256．i 为虚数单位，若)i z i =，则||z =（ ）A ．1BCD ．27．已知11abi i =-+，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则||a bi -=（ ）A ．3B ．2C ．5 D8．已知复数i z -=1（i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，则z 1的值为（ ）A ．1B ．22C ．21D ．29．复数2(1)z i =+的实部是（ ）A ．2 B ．1 C ．0 D ．1-10．设复数i 满足i i z 21)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的虚部是________11．若复数2a iz i +=（i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a 等于（ ）A ．1B ．﹣1C ．21D ．21-12．已知集合{}iz A ,3,1=（其中i 为虚数单位），{4}B =，A B A =U ，则复数z 为（）A ．i 2-B ．i 2C ．i 4-D ．i 413．若1m ii i +=+（i 为虚数单位），则实数m = .14．已知i 为虚数单位，则232015i i i i ++++=L ．15．如果复数1z ai =+，满足条件2z <,那么实数a 的取值范围是（ ）A ．(- B ．（-2，2） C ．（-1，1） D ．(16．设i 是虚数单位,若复数10()3a a R i-∈-是纯虚数,则a 的值为（ ） A ．-3 B ．-1 C ．3 D ．117．已知C z ∈，且122=--i z ，i 是虚数单位，则i z 22-+的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．518．已知i 是虚数单位，则311i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭ =（ ）A ．1 B ．i C ．i - D ．1-19. 求当a 为何实数时，复数i a a a a z )12()32(22-++--=满足：（Ⅰ）z 为实数； （Ⅱ）z 为纯虚数； （Ⅲ）z 位于第四象限。

专项练(一) 集合、复数、常用逻辑用语一、单项选择题1.(2021·新高考Ⅰ卷)设集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{2，3，4，5}，则A ∩B ＝( ) A.{2} B.{2，3} C.{3，4} D.{2，3，4}答案 B解析 因为A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{2，3，4，5}，所以A ∩B ＝{2，3}，故选B. 2.若命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x <x ，则綈p 为( )A.∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x ≥xB.∀x ∉⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x ≥xC.∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x 0≥x 0D.∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x 0≤x 0 答案 C解析 全称量词命题的否定是存在量词命题，据此可知： 若p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x <x ，则綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x 0≥x 0.3.(2021·全国甲卷)已知(1－i)2z ＝3＋2i ，则z ＝( ) A.－1－32iB.－1＋32iC.－32＋i D.－32－i答案 B 解析 z ＝3＋2i （1－i ）2＝3＋2i －2i＝3i －22＝－1＋32i.故选B. 4.(2021·全国乙卷)已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合M ＝{1，2}，N ＝{3，4}，则∁U(M∪N)＝()A.{5}B.{1，2}C.{3，4}D.{1，2，3，4}答案 A解析法一因为集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，所以M∪N＝{1，2，3，4}.又全集U＝{1，2，3，4，5}，所以∁U(M∪N)＝{5}.故选A.法二因为∁U(M∪N)＝(∁U M)∩(∁U N)，∁U M＝{3，4，5}，∁U N＝{1，2，5}，所以∁U(M∪N)＝{3，4，5}∩{1，2，5}＝{5}.故选A.5.(2021·重庆二联)已知复数z＝2i1＋i，其中i是虚数单位，则z－在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 D解析因为z＝2i1＋i＝2i（1－i）（1＋i）（1－i）＝1＋i，所以z－＝1－i，其在复平面内的对应点为(1，－1)，位于第四象限，故选D.6.(2021·八省八校一联)已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|x>m}，若A∪B＝{x|x>1}，则()A.m≥1B.1≤m<3C.1<m<3D.1≤m≤3答案 B解析由x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)<0，得1<x<3，所以A＝(1，3).又B＝{x|x>m}，A∪B＝{x|x>1}，所以1≤m<3.故选B.7.(2021·山东中学联盟联考)“∀x∈[－2，1]，x2－2a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A.a≥0B.a≥1C.a≥2D.a≥3答案 D解析 “∀x ∈[－2，1]，x 2－2a ≤0”为真命题，即2a ≥x 2在x ∈[－2，1]时恒成立，所以2a ≥4，所以a ≥2，即“∀x ∈[－2，1]，x 2－2a ≤0”为真命题的充要条件是a ≥2，所以可转化为求“a ≥2”的充分不必要条件，即找集合A ＝{a |a ≥2}的非空真子集，结合选项，所以a ≥3，故选D.8.(2021·唐山二模)设复数z 满足|z －2i|＝1，则在复平面内z 对应的点到原点距离的最大值是( ) A.1 B. 3 C. 5 D.3答案 D解析 法一 由题意可知，在复平面内复数z 对应的点集为复平面内到定点(0，2)的距离为1的点的集合，即以(0，2)为圆心，1为半径的圆.因为圆心(0，2)到原点的距离为2，所以圆上任一点到原点的距离的最大值为2＋1＝3，故选D. 法二 设复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则x 2＋(y －2)2＝1，所以－1≤y －2≤1，即1≤y ≤3，所以x 2＋y 2＝4y －3≤9，所以x 2＋y 2≤3，即在复平面内z 对应的点到原点距离的最大值是3.故选D. 二、多项选择题9.(2021·潍坊期末)设全集为U ，则如图的阴影部分用集合可表示为( )A.A ∩BB.(∁U A )∩BC.[∁U (A ∩B )]∩BD.(∁U A )∪B答案 BC解析 由题图可知，A ∩B 为集合A 与集合B 的公共部分，故排除A 选项.(∁U A )∪B 为全集U 中去除集合A 后剩余的部分再加上A ∩B 的部分，故排除D 选项.经验证，B ，C 正确.故选BC.10.(2021·八省联考)设z 1，z 2，z 3为复数，z 1≠0，则下列命题正确的是( ) A.若|z 2|＝|z 3|，则z 2＝±z 3 B.若z 1z 2＝z 1z 3，则z 2＝z 3C.若z －2＝z 3，则|z 1z 2|＝|z 1z 3|D.若z 1z 2＝|z 1|2，则z 1＝z 2 答案 BC解析 由复数模的概念可知，|z 2|＝|z 3|不能得到z 2＝±z 3，例如z 2＝1＋i ，z 3＝1－i ，A 错误；由z 1z 2＝z 1z 3可得z 1(z 2－z 3)＝0.因为z 1≠0，所以z 2－z 3＝0，即z 2＝z 3，B 正确；因为|z 1z 2|＝|z 1|·|z 2|，|z 1z 3|＝|z 1|·|z 3|，而z －2＝z 3，所以|z －2|＝|z 3|＝|z 2|，所以|z 1z 2|＝|z 1z 3|，C 正确；当z 1z 2＝|z 1|2时，z 1z 2＝|z 1|2＝z 1z －1，∴z 1z 2－z 1z －1＝z 1(z 2－z －1)＝0，∴z －1＝z 2，D 错误.故选BC.11.(2021·广州阶段训练)以下四个命题中，是真命题的是( ) A.“a >b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件 B.“x >2”是“lg(3－x )<0”的必要不充分条件C.若命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0D.若a <b <0，则a 2<ab <b 2 答案 ABC解析 对于A 选项，当a ＝0，b ＝－1时，a >b 成立，但a 2>b 2不成立，当a ＝ －1，b ＝0时，a 2>b 2成立，但a >b 不成立.所以“a >b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件，所以A 选项正确；对于B 选项，lg(3－x )<0⇔0<3－x <1⇔2<x <3，所以“x >2”是“lg(3－x )<0”的必要不充分条件，所以B 选项正确；对于C 选项，根据特称命题的否定是全称命题的知识可知C 选项正确； 对于D 选项，取a ＝－2，b ＝－1，则a 2>b 2，所以D 选项错误.故选ABC. 12.(2021·新高考原创卷五)设集合A ＝{x |x ＝m ＋3n ，m ，n ∈N *}，若x 1∈A ，x 2∈A ，x 1⊕x 2∈A ，则运算⊕可能是( ) A.加法 B.减法 C.乘法 D.除法答案 AC解析 由题意可设x 1＝m 1＋3n 1，x 2＝m 2＋3n 2，其中m 1，m 2，n 1，n 2∈N *，则x 1＋x 2＝(m 1＋m 2)＋3(n 1＋n 2)，x 1＋x 2∈A ，所以加法满足条件，A 正确；x 1－x 2＝(m 1－m 2)＋3(n 1－n 2)，当n 1＝n 2时，x 1－x 2∉A ，所以减法不满足条件，B 错误；x 1x 2＝m 1m 2＋3n 1n 2＋3(m 1n 2＋m 2n 1)，x 1x 2∈A ，所以乘法满足条件，C 正确； x 1x 2＝m 1＋3n 1m 2＋3n 2，当m 1m 2＝n 1n 2＝λ(λ>0)时，x 1x 2∉A ，所以除法不满足条件，D 错误.故选AC. 三、填空题13.已知集合A ＝{y |y ＝x 2－1}，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}，则∁R (A ∩B )＝________. 答案 (－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞解析 易知A ＝{y |y ＝x 2－1}＝[0，＋∞)，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.∴A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，从而∁R (A ∩B )＝(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.14.(2021·青岛模拟)若命题“∃x ∈R ，e x <a －e －x ”为假命题，则实数a 的取值范围为________. 答案 (－∞，2]解析 根据题意得，∀x ∈R ，e x ≥a －e －x ，即∀x ∈R ，e x ＋e －x ≥a .∵e x ＋e －x ≥2，∴a ≤2.15.(2021·武汉调研)已知m ，n 是平面α内的两条相交直线，且直线l ⊥n ，则“l ⊥m ”是“l ⊥α”的________条件. 答案 充要解析 当l ⊥m 时，因为m ，n 是平面α内的两条相交直线， 根据线面垂直的判定定理，可得l ⊥α； 当l ⊥α时，因为m ⊂α，所以l ⊥m . 综上，“l ⊥m ”是“l ⊥α”的充要条件.16.设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3＋i ，则|z 1－z 2|＝________.答案 2 3解析 法一 设z 1－z 2＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，因为z 1＋z 2＝3＋i ，所以2z 1＝(3＋a )＋(1＋b )i ，2z 2＝(3－a )＋(1－b )i. 因为|z 1|＝|z 2|＝2，所以|2z 1|＝|2z 2|＝4， 所以（3＋a ）2＋（1＋b ）2＝4，① （3－a ）2＋（1－b ）2＝4，② ①2＋②2得a 2＋b 2＝12， 所以|z 1－z 2|＝a 2＋b 2＝2 3.法二 设复数z 1，z 2在复平面内分别对应向量OA →，OB →，则z 1＋z 2对应向量OA →＋OB→. 由题知|OA→|＝|OB →|＝|OA →＋OB →|＝2，如图所示，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，则z 1－z 2对应向量BA →，OA＝AC ＝OC ＝2，可得BA ＝2OA sin 60°＝23，故|z 1－z 2|＝|BA→|＝2 3.。

专题一集合、常用逻辑用语、平面向量、复数、算法、合情推理、不等式必考点一集合、常用逻辑用语[高考预测]——运筹帷幄1．以函数的定义域、值域、不等式的解集等为背景考查集合之间的交集、并集及补集的基本运算．2．利用集合之间的关系求解参数的值或取值范围．3．考查全称命题、特称命题的否定，以及全称命题与特称命题的真假判断．4．考查充分必要条件与集合、函数、方程、数列、三角函数、不等式、平面向量、立体几何中的线面位置关系等相交汇的问题．[速解必备]——决胜千里1．设有限集合A，card(A)＝n(n∈N*)，则(1)A的子集个数是2n；(2)A的真子集个数是2n－1；(3)A的非空子集个数是2n－1；(4)A的非空真子集个数是2n－2.2．(1)(∁R A)∩B＝B⇔B⊆∁R A；(2)A∪B＝B⇔A⊆B⇔A∩B＝A；(3)∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；(4)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．3．若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可叙述为：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件．[速解方略]——不拘一格类型一集合的概念及运算[例1] (1)已知集合A＝{－2，－1，0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B＝( ) A．{－1,0} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{0,1,2}解析：基本法：化简集合B，利用交集的定义求解．由题意知B＝{x|－2<x<1}，所以A∩B＝{－1,0}．故选A.速解法：验证排除法：∵－1∈B，故排除B、D.∵1∉B，∴1∉A∩B，排除C.答案：A(2)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )A．1 B．3C．5 D．9解析：基本法：用列举法把集合B中的元素一一列举出来．当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个．故选C.速解法一：排除法：估算x－y值的可能性，排除不可能的结果．∵x∈A，y∈A，∴x－y＝±1，x－y＝±2.B中至少有四个元素，排除A、B，而D选项是9个元素．即3×3更不可能．故选C.速解法二：当x＝y时，x－y＝0；当x≠y时，x与y可以相差1，也可以相差2，即x－y＝±1，x－y＝±2.故B中共有5个元素，B＝{0，±1，±2}．故选C.答案：C方略点评：对于集合问题，可根据元素的特征采用排除法快速求解，注意数轴、Venn图的应用.1．(2016·河南郑州市高三质检)设全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1,4}，B＝{2,4}，则∁U(A∩B)＝( )A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{1,3,4} D．{2,3,4}解析：基本法：本题主要考查集合的基本运算．因为U＝{1,2,3,4}，A∩B＝{4}，所以∁U(A∩B)＝{1,2,3}，故选A.速解法：∵A∩B＝{4}．∴4∉∁U(A∩B)，排除B、C、D只能选A.答案：A2．(2016·高考全国甲卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2<9}，则A∩B＝( )A．{－2，－1,0,1,2,3} B．{－2，－1,0,1,2}C．{1,2,3} D．{1,2}解析：基本法：(直接法)先化简集合B，再利用交集定义求解．∵x2<9，∴－3<x<3，∴B＝{x|－3<x<3}．又A ＝{1,2,3}，∴A ∩B ＝{1,2,3}∩{x |－3<x <3}＝{1,2}，故选D. 速解法：(代入检验法)12＜9,22＜9,32＝9，且A ∩B ⊆A . 故A ∩B ＝{1,2}，选D. 答案：D类型二 充分、必要条件[例2] (1) 函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：基本法：利用命题和逆命题的真假来判断充要条件，注意判断为假命题时，可以采用反例法．当f ′(x 0)＝0时，x ＝x 0不一定是f (x )的极值点，比如，y ＝x 3在x ＝0时，f ′(0)＝0，但在x ＝0的左右两侧f ′(x )的符号相同，因而x ＝0不是y ＝x 3的极值点．由极值的定义知，x ＝x 0是f (x )的极值点必有f ′(x 0)＝0. 综上知，p 是q 的必要条件，但不是充分条件． 答案：C(2)“x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4”是“函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4为单调递增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：基本法：若函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4为单调递增函数，则－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z .从而函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )．因此若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，则函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4为单调递增函数； 若函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4为单调递增函数⇒/ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4.所以“x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4”是“函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4为单调递增函数”的充分不必要条件．故选A.速解法：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4时⇒x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2⇒y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4为增函数，但y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4为增函数――→周期性⇒/ x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2⇒/ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4.答案：A方略点评：1.此类问题实质是判断命题真假或条件与结论的推导关系．第(1)题采用了特例(y ＝x 3)验证，第(2)题采用了“⇒”形式进行简单推理．2．先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .3．准确转化：若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件；若綈p 是綈q 的充要条件，那么p 是q 的充要条件．1．已知x ∈R ，则“x 2－3x >0”是“x －4>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：基本法：判断x 2－3x >0⇒x －4>0还是x －4>0⇒x 2－3x >0.注意到x 2－3x >0⇔x <0或x >3，x －4>0⇔x >4.由x 2－3x >0不能得出x －4>0；反过来，由x －4>0可得出x 2－3x >0，因此“x 2－3x >0”是“x －4>0”的必要不充分条件．故选B. 答案：B速解法：利用反例和实数的运算符号寻找推导关系．如x ＝4时，满足x 2－3x >0，但不满足x －4>0，即不充分．若x －4>0，则x (x －3)>0，即必要．故选B. 答案：B2．(2016·高考山东卷)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：根据直线、平面的位置关系及充分、必要条件的定义进行判断．由题意知a ⊂α，b ⊂β，若a ，b 相交，则a ，b 有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a ，b 的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件． 答案：A类型三 命题判定及否定[例3] (1)设命题p ：∃n ∈N ，n 2＞2n，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2＞2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2nC ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n解析：基本法：因为“∃x ∈M ，p (x )”的否定是“∀x ∈M ，綈p (x )”，所以命题“∃n ∈N ，n 2＞2n ”的否定是“∀n ∈N ，n 2≤2n ”．故选C.答案：C(2)已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )解析：基本法：当x ＝0时，有2x ＝3x ，不满足2x <3x ，∴p ：∀x ∈R,2x <3x是假命题． 如图，函数y ＝x 3与y ＝1－x 2有交点，即方程x 3＝1－x 2有解，∴q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2是真命题． ∴p ∧q 为假命题，排除A.∵綈p 为真命题，∴(綈p )∧q 是真命题．选B.速解法：当x ＝0时，不满足2x＜3x，∴p 为假，排除A 、C.利用图象可知，q 为真，排除D ，必选B. 答案：B方略点评：1基本法是具体判断p ，綈p ，q ，綈q 的真假.速解法是利用“当p 、q 全真时，p ∧q 为真”的道理，利用逻辑关系排除. 2要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 验证p x 成立，要判定其为假命题，只需举出一个反例即可.3要判定一个特称存在性命题为真命题，只要在限定集合M 中至少能找到一个元素x 0，使得p x 0成立即可；否则，这一特称存在性命题就是假命题.特别注意：命题的否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论；而命题的否定是只否定命题的结论.1．(2016·山西四校联考)已知命题p ：∃x ∈R,2x ＞3x；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ＞sinx ，则下列是真命题的是( )A ．(綈p )∧qB ．(綈p )∨(綈q )C ．p ∧(綈q )D ．p ∨(綈q )解析：基本法：先判断命题p 、q 的真假，然后根据选项得出正确结论． 当x ＝－1时，2－1＞3－1，所以p 为真命题；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，tan x －sin x ＝sin x 1－cos xcos x ＞0，所以q 为真命题，所以p ∨(綈q )是真命题，其他选项都不正确，故选D.速解法：p 为真时，p 或任何命题为真，故选D. 答案：D2．(2016·陕西西安市高三质检)已知命题p ：∃x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0，则( ) A ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0 B ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)＞0 C ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)＞0解析：基本法：本题主要考查命题的真假判断、命题的否定．∵3x＞0，∴3x＋1＞1，则log 2(3x＋1)＞0，∴p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)＞0.故应选B. 答案：B[终极提升]——登高博见 选择题、填空题的解法——直接法方法诠释直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则，通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”作出相应的选择，从而确定正确选项的方法．适用范围 涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．解题规律 基本法，单刀直入限时速解训练一 集合、常用逻辑用语(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A ＝{1,3,5,6}，则∁U A ＝( )A ．{1,3,5,6}B ．{2,3,7}C ．{2,4,7}D ．{2,5,7}解析：选C.由补集的定义，得∁U A ＝{2,4,7}．故选C.2．已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R }，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．－3∈A B ．3∉B C ．A ∩B ＝B D ．A ∪B ＝B解析：选C.由题知A ＝{y |y ≥－1}，因此A ∩B ＝{x |x ≥2}＝B ，故选C. 3．设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( ) A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1) D ．(－∞，1]解析：选A.M ＝{x |x 2＝x }＝{0,1}，N ＝{x |lg x ≤0}＝ {x |0<x ≤1}，M ∪N ＝[0,1]，故选A.4．(2016·山东聊城模拟)集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4解析：选D.因为A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，a ＝4，则a ＝4.5．(2016·湖北八校模拟)已知a ∈R ，则“a ＞2”是“a 2＞2a ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.因为a ＞2，则a 2＞2a 成立，反之不成立，所以“a ＞2”是“a 2＞2a ”成立的充分不必要条件．6．已知集合A ＝{z ∈C |z ＝1－2a i ，a ∈R }，B ＝{z ∈C ||z |＝2}，则A ∩B 等于( ) A ．{1＋3i,1－3i} B ．{3－i} C ．{1＋23i,1－23i} D ．{1－3i}解析：选A.问题等价于|1－2a i|＝2，a ∈R ，解得a ＝±32.故选A. 7．已知命题p ：对任意x ＞0，总有e x≥1，则綈p 为( ) A ．存在x 0≤0，使得e x 0＜1B ．存在x 0＞0，使得e x 0＜1C ．对任意x ＞0，总有e x＜1 D ．对任意x ≤0，总有e x＜1解析：选B.因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ：对任意x ＞0，总有e x≥1的否定綈p 为：存在x 0＞0，使得e x 0＜1.故选B.8．已知命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝1，命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0.下面结论正确的是( ) A ．命题“p ∧q ”是真命题 B ．命题“p ∧(綈q )”是假命题 C ．命题“(綈p )∨q ”是真命题 D ．命题“(綈p )∧(綈q )”是假命题解析：选D.取x 0＝π4，有tan π4＝1，故命题p 是真命题；当x ＝0时，x 2＝0，故命题q 是假命题．再根据复合命题的真值表，知选项D 是正确的． 9．给出下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x ＞4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x ＞1；③“若a ＞b ＞0且c ＜0，则c a ＞c b”的逆否命题； ④若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题． 其中真命题是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④解析：选A.①中不等式可表示为(x －1)2＋2＞0，恒成立； ②中不等式可变为log 2x ＋1log 2x≥2，得x ＞1；③中由a ＞b ＞0，得1a ＜1b，而c ＜0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④由p 且q 为假只能得出p ，q 中至少有一个为假，④不正确．10．(2016·山东济南模拟)设A ，B 是两个非空集合，定义运算A ×B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }．已知A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ＞0}，则A ×B ＝( )A ．[0,1]∪(2，＋∞) B．[0,1)∪[2，＋∞) C ．[0,1] D ．[0,2]解析：选A.由题意得A ＝{x |2x －x 2≥0}＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＞1}，所以A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝(1,2]，所以A ×B ＝[0,1]或(2，＋∞)．11．“直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝1相交”是“0＜b ＜1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.若“直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝1相交”，则圆心到直线的距离为d ＝|b |2＜1，即|b |＜2，不能得到0＜b ＜1；反过来，若0＜b ＜1，则圆心到直线的距离为d ＝|b |2＜12＜1，所以直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝1相交，故选B. 12．(2016·陕西五校二模)下列命题正确的个数是( )①命题“∃x 0∈R ，x 20＋1＞3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”；②“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的必要不充分条件； ③x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立⇔(x 2＋2x )min ≥(ax )max 在x ∈[1,2]上恒成立； ④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a·b ＜0”． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B.易知①正确；因为f (x )＝cos 2ax ，所以2π|2a |＝π，即a ＝±1，因此②正确；因为x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立⇒a ≤x ＋2在x ∈[1,2]上恒成立⇒a ≤(x ＋2)min ，x ∈[1,2]，因此③不正确；因为钝角不包含180°，而由a·b ＜0得向量夹角包含180°，因此“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a·b ＜0且a 与b 不反向”，故④不正确． 二、填空题(把答案填在题中横线上)13．若关于x 的不等式|x －m |<2成立的充分不必要条件是2≤x ≤3，则实数m 的取值范围是________．解析：由|x －m |<2得－2<x －m <2，即m －2<x <m ＋2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m －2<x <m ＋2}的真子集，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m －2<2m ＋2>3，由此解得1<m <4，即实数m 的取值范围是(1,4)．答案：(1,4)14．若命题“∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋m ≤0”是假命题，则m 的取值范围是________．解析：由题意，命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋m ＞0”是真命题，故Δ＝(－2)2－4m ＜0，即m ＞1. 答案：(1，＋∞)15．已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋2≤0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是________．解析：因为p ∨q 是假命题， 所以p 和q 都是假命题．由p ：∃x 0∈R ，mx 20＋2≤0为假命题知， 綈p ：∀x ∈R ，mx 2＋2＞0为真命题， 所以m ≥0.①由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0为假命题知， 綈q ：∃x 0∈R ，x 20－2mx 0＋1≤0为真命题，所以Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.②由①和②得m ≥1. 答案：[1，＋∞)16．下列四个命题中，真命题有________．(写出所有真命题的序号)①若a ，b ，c ∈R ，则“ac 2＞bc 2”是“a ＞b ”成立的充分不必要条件；②命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”；③命题“若|x |≥2，则x ≥2或x ≤－2”的否命题是“若|x |＜2，则－2＜x ＜2”；④函数f (x )＝ln x ＋x －32在区间(1,2)上有且仅有一个零点．解析：①若c ＝0，则不论a ，b 的大小关系如何，都有ac 2＝bc 2，而若ac 2＞bc 2，则有a ＞b ，故“ac 2＞bc 2”是“a ＞b ”成立的充分不必要条件，故①为真命题；②特称命题的否定是全称命题，故命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”，故②为真命题；③命题“若p ，则q ”形式的命题的否命题是“若綈p ，则綈q ”，故命题“若|x |≥2，则x ≥2或x ≤－2”的否命题是“若|x |＜2，则－2＜x ＜2”，故③为真命题；④由于f (1)f (2)＝⎝⎛⎭⎪⎫ln 1＋1－32⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋2－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋12＜0，则函数f (x )＝ln x ＋x －32在区间(1,2)上存在零点，又函数f (x )＝ln x ＋x －32在区间(1,2)上为增函数，所以函数f (x )＝ln x＋x －32在区间(1,2)上有且仅有一个零点，故④为真命题．答案：①②③④必考点二 平面向量、复数运算[高考预测]——运筹帷幄1．用平面向量的几何运算、坐标运算进行线性运算和数量积的运算． 2．复数的代数形式的四则运算及几何意义． [速解必备]——决胜千里1．向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP →＝λ1OA →＋λ2OB →(其中λ1＋λ2＝1)．2．三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP →与向量OA →、OB →的关系是OP →＝12(OA →＋OB →)．3．三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔GA →＋GB →＋GC →＝0⇔G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3.OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →⇔O 为△ABC 垂心． 4．a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)． 5．i 4n＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i.6．z ·z ＝|z |2，(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i.[速解方略]——不拘一格类型一 平面向量的概念及线性运算[例1] (1)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4)解析：基本法：设C (x ，y )，则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC →＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.速解法：∵AB →＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)， BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 答案：A方略点评：1.基本法是设出点C 坐标，并利用AC →＝(－4，－3)求出点C 坐标，然后计算BC →的坐标．速解法是利用向量减法的意义：BC →＝AC →－AB →.2．向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起点”，结合几何法、代数法(坐标)求解．(2)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC →解析：基本法一：设AB →＝a ，AC →＝b ，则EB →＝－12b ＋a ，FC →＝－12a ＋b ，从而EB →＋FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b )＝AD →，故选A.基本法二：如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →. 答案：A方略点评：基本法一是利用了基本定理运算.基本法二是利用了三角形法则进行运算.1．(2016·河北唐山市高三统考)在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( )A.12AB →＋12AD →B.34AB →＋12AD →C.34AB →＋14AD →D.12AB →＋34AD → 解析：基本法：由于M 为BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B. 答案：B2．(2016·高考全国甲卷)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 解析：基本法：∵a ∥b ，∴a ＝λb 即(m,4)＝λ(3，－2)＝(3λ，－2λ)∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3λ，4＝－2λ，故m ＝－6.速解法：根据向量平行的坐标运算求解： ∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ∴m ×(－2)－4×3＝0 ∴－2m －12＝0，∴m ＝－6. 答案：－6类型二 平面向量数量积的计算与应用[例2] (1)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：基本法：因为2a ＋b ＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，所以(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1.故选C. 速解法：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴a 2＝2，a·b ＝－3， 从而(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a·b ＝4－3＝1.故选C. 答案：C方略点评：1.基本法是把2a ＋b 看作一个向量，求其坐标，最终用坐标法求数量积．速解法是通过展开(2a ＋b )·b ，分别计算a 2及a ·b ，较简单．2．当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时，其数量积的计算可利用定义法；当向量以坐标形式出现时，其数量积的计算用坐标法；如果建立坐标系，表示向量的有向线段可用坐标表示，计算向量较简单．(2)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 解析：基本法：以AB →、AD →为基底表示AE →和BD →后直接计算数量积． AE →＝AD →＋12AB →，BD →＝AD →－AB →，∴AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →·(AD →－AB →)＝|AD →|2－12|AB →|2＝22－12×22＝2.速解法：(坐标法)先建立平面直角坐标系，结合向量数量积的坐标运算求解．如图，以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，D (0,2)，E (1,2)，∴AE →＝(1,2)，BD →＝(－2,2)， ∴AE →·BD →＝1×(－2)＋2×2＝2. 答案：2方略点评：1.向量的模的求法一是根据向量的定义，二是将向量的模转化为三角形的某条边求其长．2．求非零向量a ，b 的夹角一般利用公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |先求出夹角的余弦值，然后求夹角．也可以构造三角形，将所求夹角转化为三角形的内角求解，更为直观形象．1．(2016·高考全国丙卷)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30° B．45° C ．60° D．120°解析：基本法：根据向量的夹角公式求解．∵BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，∴|BA →|＝1，|BC →|＝1，BA →·BC →＝12×32＋32×12＝32，∴cos ∠ABC ＝cos 〈BA →，BC →〉＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32.∵0°≤〈BA →，BC →〉≤180°，∴∠ABC ＝〈BA →，BC →〉＝30°.速解法：如图，B 为原点，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32∴∠ABx ＝60°，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12∠CBx ＝30°，∴∠ABC ＝30°. 答案：A2．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b·c ＝0，则t ＝________. 解析：基本法：∵b ·c ＝0，∴b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，t a·b ＋(1－t )·b 2＝0， 又∵|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°， ∴12t ＋1－t ＝0，t ＝2. 速解法：由t ＋(1－t )＝1知向量a 、b 、c 的终点A 、B 、C 共线，在平面直角坐标系中设a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32.把a 、b 、c 的坐标代入c ＝t a ＋(1－t )b ，得t ＝2.答案：2类型三 复数的代数运算及几何意义[例3] (1)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2解析：基本法：由已知1＋z1－z ＝i ，可得z ＝i －1i ＋1＝i －12i ＋1i －1＝－2i－2＝i ，∴|z |＝|i|＝1，故选A. 速解法：∵1＋i1－i ＝i ，∴z ＝i ，∴|z |＝1.答案：A方略点评：1.基本法是利用解方程思想求出未知数z . 速解法是利用了一个常用特殊运算结果直接得出z .2．复数的代数形式的运算，类比于多项式的乘除法与合并同类项，只是利用z z ＝|z |2，把i 2换为－1，复数除法的关键是将分母实数化．3．与复数的模、共轭复数、复数相等有关的问题，可设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用待定系数法求解．(2)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：基本法：∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ⇒4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4，解得a ＝0.速解法：检验法：将a ＝0代入适合题意，故选B. 答案：B方略点评：1.基本法是利用复数相等的条件求解，速解法是代入检验排除法，较简单．2．利用复数相等转化为实数运算是复数实数化思想的具体应用，是解决复数问题的常用方法．1．(2016·高考全国乙卷)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3解析：基本法：先化简复数，再根据实部与虚部相等列方程求解．(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，由题意知a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A. 答案：A2．若a 为实数，且2＋a i 1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解析：基本法：由已知得2＋a i ＝(1＋i)(3＋i)＝2＋4i ，所以a ＝4，故选D. 答案：D[终极提升]——登高博见 速解选择题方法——排除法方法诠释排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论．适用范围这种方法适用于直接法解决问题很困难或者计算较烦琐的情况．解题规律(1)对于干扰项易于淘汰的选择题，可采用排除法，能剔除几个就先剔除几个． (2)允许使用题干中的部分条件淘汰选项． (3)如果选项中存在等效命题，那么根据规定——答案唯一，等效命题应该同时排除． (4)如果选项中存在两个相反的或互不相容的判断，那么其中至少有一个是假的． (5)如果选项之间存在包含关系，要根据题意才能判断.限时速解训练二 平面向量、复数运算(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2i D ．3－2i解析：选A.∵z ＝i(3－2i)＝3i －2i 2＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选A. 2．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形解析：选C.由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2得(BC →＋BA →－AC →)·AC →＝0，则2BA →·AC →＝0，即BA ⊥AC ，故选C. 3．已知1－i2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D.z ＝1－i21＋i＝－2i 1＋i ＝－2i 1－i 1＋i 1－i＝－1－i. 4．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( ) A ．－32a 2 B ．－34a 2C.34a 2D.32a 2解析：选D.BD →·CD →＝(BC →＋CD →)·CD →＝BC →·CD →＋CD →2＝12a 2＋a 2＝32a 2.5．(2016·广西南宁适应性测试)已知i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若(1－i)z ＝2，则z 为( ) A ．1＋i B ．1－i C ．2＋i D ．2－i 解析：选B.依题意得z ＝21－i ＝21＋i1－i 1＋i＝1＋i ，∴z ＝1－i ，选B. 6．若向量AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BC →＝( ) A ．(1,1) B ．(－1，－1) C ．(3,7) D ．(－3，－7)解析：选B.因为AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，所以BC →＝AC →－AB →＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，故选B.7．i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 018＝( )A ．－iB ．－1C ．iD ．1 解析：选B.因为⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 018＝(i 2)1 009＝(－1)1 009＝－1.8．已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322 B.3152C ．－322D ．－3152解析：选A.AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，|CD →|＝52， 故AB →在CD →上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝32 2.9．(2016·陕西西安质检)设复数z 1和z 2在复平面内的对应点关于坐标原点对称，且z 1＝3－2i ，则z 1·z 2＝( ) A ．－5＋12i B ．－5－12i C ．－13＋12i D ．－13－12i解析：选A.z 1＝3－2i ，由题意知z 2＝－3＋2i ， ∴z 1·z 2＝(3－2i)·(－3＋2i)＝－5＋12i ，故选A.10．(2016·辽宁沈阳质检)在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.89 B.109 C.259 D.269解析：选B.由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB →与AC →垂直，所以△ABC 为直角三角形．以AC 所在直线为x 轴，以AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)．不妨令E 为BC 的靠近C 的三等分点，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23， F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109.11．(2016·辽宁五校联考)已知复数z ＝1＋i ，则z 2－2zz －1＝( )A ．－2iB ．2iC ．－2D ．2解析：选B.z 2－2z z －1＝1＋i2－21＋i i ＝－2i＝2i ，故选B.12．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧a ⊥c ，b ∥c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝0，2y ＋4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，a ＋b ＝(3，－1)， ∴|a ＋b |＝10，故选B.二、填空题(把答案填在题中横线上)13．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________. 解析：∵λa ＋b ＝0，即λa ＝－b ，∴|λ||a |＝|b |. ∵|a |＝1，|b |＝5，∴|λ|＝ 5. 答案： 514．设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝__________.解析：复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为a 2＋b 2＝3，则a 2＋b 2＝3，则(a ＋b i)(a －b i)＝a 2－(b i)2＝a 2－b 2·i 2＝a 2＋b 2＝3. 答案：315．已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝__________. 解析：∵OA →⊥AB →，∴OA →·AB →＝0， 即OA →·(OB →－OA →)＝0， ∴OA →·OB →＝OA →2＝9. 答案：916．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：∵(1－2i)(a ＋i)＝2＋a ＋(1－2a )i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ≠0，2＋a ＝0，解得a ＝－2.答案：－2必考点三 算法、框图与推理[高考预测]——运筹帷幄1．根据框图的程序进行结果的求解，判断条件的补写、完善过程． 2．以数表、数阵、图形、代数式为背景进行归纳推理与类比推理． [速解必备]——决胜千里 1．程序框图中有S ＝S ＋12i －12i ＋1，i ＝i ＋1时，表示数列裂项求和．2．程序中有“S ＝S ＋2n＋n ，n ＝n ＋1”表示等比数列与等差数列求和． 3．三角形数N (n,3)＝12n 2＋12n (第n 个三角形数)四边形数N (n,4)＝n 2(第n 个四边形数) 五边形数N (n,5)＝32n 2＋－12n (第n 个五边形数)k 边形数N (n ，k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－1n 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－2n (k ≥3)(第n 个k 边形数)4．类比推理常见的类比内容 平面几何中的点↔空间几何中的线 平面几何中的线↔空间几何中的面 平面几何中的三角形↔空间几何中的三棱锥 平面几何中的圆↔空间几何中的球 [速解方略]——不拘一格类型一 求算法与框图的输入或输出值[例1] (1)执行下面的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：基本法：逐次运行程序，直至输出n . 运行第一次：S ＝1－12＝12＝0.5，m ＝0.25，n ＝1，S ＞0.01；运行第二次：S ＝0.5－0.25＝0.25，m ＝0.125，n ＝2，S ＞0.01；运行第三次：S ＝0.25－0.125＝0.125，m ＝0.062 5，n ＝3，S ＞0.01； 运行第四次：S ＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m ＝0.031 25，n ＝4，S ＞0.01； 运行第五次：S ＝0.031 25，m ＝0.015 625，n ＝5，S ＞0.01； 运行第六次：S ＝0.015 625，m ＝0.007 812 5，n ＝6，S ＞0.01；运行第七次：S＝0.007 812 5，m＝0.003 906 25，n＝7，S＜0.01.输出n＝7.故选C.速解法：由框图可知S＝1－121－122－123－124－…－12n＝1－12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n1－12＝12n≤0.01输出n，∴2n≥100，∴n的最小值为7.答案：C方略点评：1.基本法是按程序一次次循环计算，当不满足条件时跳出循环得出结果．2．速解法是归纳S＝S－m的运算规律利用数列求和进行估算，稍简单一点．(2)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝( )A．0 B．2C．4 D．14解析：基本法：逐次运行程序，直至程序结束得出a值．a＝14，b＝18.第一次循环：14≠18且14＜18，b＝18－14＝4；第二次循环：14≠4且14＞4，a＝14－4＝10；第三次循环：10≠4且10＞4，a＝10－4＝6；第四次循环：6≠4且6＞4，a＝6－4＝2；第五次循环：2≠4且2＜4，b＝4－2＝2；第六次循环：a＝b＝2，跳出循环，输出a＝2，故选B.速解法：“更相减损术”是求两个正整数的最大公约数，本题求14,18的最大公约数，结合选项知为2，选B.答案：B方略点评：1.基本法是按更相减损术的运算过程逐步求解．速解法是利用更相减损术的作用和公约数的定义直接得答案，显然简单．2．求输出结果的题目，要认清输出变量是什么，有的是求函数值，有的是求和、差、积、商的运算结果，有的是计数变量等．1．(2016·高考全国甲卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝( )A．7 B．12C．17 D．34解析：基本法：逐次运行程序，直到满足条件时输出s值终止程序．输入x＝2，n＝2.第一次，a＝2，s＝2，k＝1，不满足k>n；第二次，a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2，不满足k>n；第三次，a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3，满足k>n，输出s＝17.答案：C2．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．如果输入某个正整数n后，输出的S∈(10,20)，那么n的值为( )A．3 B．4C ．5D ．6解析：基本法：依据初始条件，逐步求出S 的值，判断n 的值． 由S ＝0，k ＝1得S ＝1，k ＝2，应该为否，即2≤n ⇒S ＝1＋2×1＝3，k ＝3为否，即3≤n ⇒S ＝1＋2×3＝7，k ＝4为否，即4≤n ⇒S ＝1＋2×7＝15，k ＝5为是，即5>n 综上，4≤n <5，∴n ＝4.故选B.速解法：先读出框图的计算功能，再结合等比数列求和公式求解． 框图功能为求和，即S ＝1＋21＋22＋…＋2n －1.由于S ＝1×1－2n1－2＝2n－1∈(10,20)，∴10<2n－1<20，∴11<2n<21， ∴n ＝4，即求前4项和．∴判断框内的条件为k >4，即n ＝4.故选B. 答案：B类型二 补写、完善程序框图[例2] (1)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( )A ．s ≤34？B ．s ≤56？C ．s ≤1112？D ．s ≤2524？解析：基本法：由s ＝0，k ＝0满足条件，则k ＝2，s ＝12，满足条件；k ＝4，s ＝12＋14＝34，满足条件；k ＝6，s ＝34＋16＝1112，满足条件；k ＝8，s ＝1112＋18＝2524，不满足条件，输出k ＝8，所以应填s ≤1112.速解法：由题意可知S ＝12＋14＋16＋18＝2524，此时输出8，是不满足条件，故选C.答案：C方略点评：基本法是按程序过程逐步判断是否满足条件速解法是归纳了s ＝s ＋1k的作用求和直接验算.(2)阅读如下程序框图，如果输出i ＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )解析：基本法：当i ＝2时，S ＝2×2＋1＝5<10；当i ＝3时，仍然循环，排除D ；当i ＝4时，S ＝2×4＋1＝9<10；当i ＝5时，不满足S <10，即此时S ≥10，输出i .此时A 项求得S ＝2×5－2＝8，B 项求得S ＝2×5－1＝9，C 项求得S ＝2×5＝10，故只有C 项满足条件．故选C.答案：C方略点评：1.基本法是根据框图的程序对i 的取值验证，速解法是根据当s ≥10时，输出的i 值验证答案．2．循环结构有当型循环和直到型循环．当型循环是当满足条件时执行循环体．直到型循环是直到满足条件时才跳出循环．3．首先看懂每个图形符号的意义和作用，其次试走几步循环体，体会循环体的内容和功能，最后利用判断框中的条件确定循环的次数．1．给出30个数：1,2,4,7,11,16，…，要计算这30个数的和．下图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框①处和执行框②处可以分别填入( )A．i≤30？和p＝p＋i－1B．i≤31？和p＝p＋i＋1C．i≤31？和p＝p＋iD．i≤30？和p＝p＋i解析：基本法：由题可知，程序要执行30次．所以①处应填i≤30？，②处应填p＝p＋i. 答案：D2．如图，给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 016的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A．i≤2 021? B．i≤2 019?C．i≤2 017? D．i≤2 015?解析：基本法：由题知，判断框内可填“i≤2016？”或“i≤2017？”或“i<2017？”或“i<2018？”，故选C.答案：C类型三合情推理、演绎推理[例3] (1)(2016·高考全国甲卷)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析：基本法：根据丙的说法及乙看了丙的卡片后的说法进行推理．由丙说“我的卡片上的数字之和不是5”，可推知丙的卡片上的数字是1和2或1和3.又根据乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”可知，乙的卡片不含1，所以乙的卡片上的数字为2和3.再根据甲的说法“我与乙的卡片上相同的数字不是2”可知，甲的卡片上的数字是1和3. 答案：1和3 (2)观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …，照此规律， 第n 个等式可为________. 解析：基本法：12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …，12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n )＝(－1)n ＋1n n ＋12.速解法：设a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10 即a 1＝1×1＋12，a 2＝2×2＋12，a 3＝3×3＋12，a 4＝4×4＋12， 其符号规律为(－1)n ＋1∴第n 个等式右侧为(－1)n ＋1n n ＋12.答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋12方略点评：1.基本法是分析式子的特点归纳出运算方法，利用数列求和． 速解法是直接归纳“＝”右侧的数字规律，较为简单．2．在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．3．在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比。

高考数学核心公式100组一级核心公式高考数学·一级核心公式100组一、集合、复数与常用逻辑用语1.复数的四则运算设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，a，b，c，d∈R；加法：a+b i+c+d i=(a+c)+(b+d)i；减法：a+b i−（c+d i）=(a−c)+(b−d)i；乘法：+⋅(+p=(−p+(+p；=；2.复数的模长设复数z＝a＋b i；模长|z|＝|a＋b i|＝a2＋b2(a，b∈R)，其中2=−1。

3.全称命题与存在命题的否定全称命题：∀x∈M，p(x)的否定为：∃x∈M，非p(x)。

存在性命题：∃x∈M，q(x)的否定为：∀x∈M，非q(x)。

二、不等式4.均值不等式公式均值不等式公式为：ab≤a＋b2，均值不等式成立的使用条件为：(1)一正：a>0，b>0.(2)二定：当ab或a+b为定值时，可以使用，即ab为常数时，可求得a+b的最小值；a+b为常数时，可求得ab的最大值。

(3)三相等：当且仅当a＝b时，等号可以取到。

5.均值不等式的重要推导公式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R).(2)ba＋ab≥2(a，b同号).(3)ab≤(a＋b2)2(a，b∈R).(4)将平方和与和的平方联系起来的不等式公式是：(a+b)2≤2（a2＋b2)22ln ln 112222b a ba b a b a ab ba b a ab +≤+≤--≤≤+=+≤≤≤≤平方平均数算数平均数对数平均数几何平均数调和平均数不等式串是指：6.不等式串/链公式7.分式型不等式的解法()()0()()0()()00()0()()f xg x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩；()()0()()0()()0;0()0()()f xg x f x f x f x g x g x g x g x ≤⎧<⇔<≤⇔⎨≠⎩三、函数与导数8.常见5类函数定义域的要求类型x 满足的条件2nf (x )，n ∈N ＋f (x )≥01f (x )与[f (x )]0f (x )≠0log a f (x )(a >0，a ≠1)f (x )>0log f (x )g (x )f (x )>0，且f (x )≠1，g (x )>0tan f (x )f (x )≠k π＋π2，k ∈Z9.二次函数的三种表达形式①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n(a ≠0)．③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．10.指数函数、对数函数、幂函数指数函数表达式为：y ＝a x (a >0，a ≠1)，当a >1时，单调递增，当0<a <1时，单调递减，横过定点(0,1)。

《备战2020年浙江省高考数学优质卷分类解析》第一章 集合、常用逻辑用语与复数1.集合的运算，五年五考.高考对集合基本运算的考查，集合由描述法呈现，转向由离散元素呈现．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的，明确集合中含有的元素，进一步进行交、并、补等运算．常见选择题.2. 充要条件，五年五考.高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查，主要命题形式是选择题.由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要集中在以函数、方程、不等式、立体几何线面关系、数列等为背景的充分条件和必要条件的判定．3.复数的概念运算，五年三考（近三年）.常见题型有选择题、填空题，重点考查除法、乘法等运算，同时考查复数的模、共轭复数等概念.一．选择题1．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．【浙江省台州市2019届高三4月调研】若全集，集合，，则集合（ ）A ．B ．C ．D ．3．【浙江省2019届高三高考全真模拟（二)】已知集合2{|560}A x x x =-+≤，{|15}B x Z x =∈<<，则A B ⋂=（ ） A ．[2,3]B ．(1,5)C ．{}2,3D ．{2,3,4}4．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】已知集合 A ＝{1，2，－1}，集合 B ＝{y | y ＝x 2，x∈A}，则A∪B＝（ ） A ．{1} B ．{1，2，4}C ．{-1，1，2，4}D ．{1，4}5．【浙江省宁波市2019届高三上期末】已知集合，则（ ）. A ．B ．C ．D ．6．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．7．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末】如果全集，，，则A ．B ．C ．D ．8．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考】若集合，，则（ ） A ．B ．C ．D ．9．【浙江省金华十校2019届下学期高考模拟】设集合11{|}22M x x =-<<，2{|}N x x x =≤，则M N ⋂=（ ）A ．1[0,)2B ．1(,1]2-C ．1[1,)2-D ．1(,0]2-10．【浙江省金华十校2019届下学期高考模拟】已知,a b ∈R ，下列四个条件中，使a b >成立的充分不必要的条件是（ ） A ．1a b >-B ．1a b >+C ．a b >D ．22a b > 11．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末】已知条件p ：，条件，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 12．【浙江省台州市2019届高三4月调研】已知，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．【浙江省宁波市2019届高三上学期期末】已知平面 ，直线满足，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 14．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】已知平面，直线，若，，，则“”是“中至少有一条与垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件15．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】已知a ，b 都是实数，那么“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．【浙江省2019届高三高考全真模拟（二)】设0a >，0b >，则“lg()0ab >”是“lg()0a b +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件17．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件18. 【浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考】已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 19.【浙江省2019届高考模拟卷（三)】在中，“”是“为钝角三角形”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 20．【浙江省七彩联盟2019届高三上期中】设，则“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件21. 【浙江省2019届高考模拟卷（一)】已知圆．设条件，条件圆上至多有个点到直线的距离为，则是的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件22. 【浙江省2019届高考模拟卷（二)】已知平面，直线满足，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件23．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】复数（为虚数单位）的共轭复数是（）A．B．C．D．24．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】已知是虚数单位，则复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限25．【浙江省2019届高三高考全真模拟（二)】已知i是虚数单位，复数z满足2(1)1iiz-=+，则z=（）A．2B．2 C．1 D．526．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】已知i是虚数单位，则等于（）A．1 -i B．1 +i C．- 1 - i D．- 1＋i27．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考】己知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二.填空题28．【浙江省宁波市2019届高三上期末】设为虚数单位，给定复数，则的虚部为___；模为___29．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末】已知复数z 的共轭复数，则复数z 的虚部是______，______．30．【浙江省金华十校2019届下学期高考模拟】已知复数z 满足(12)34i z i +=-，i 为虚数单位，则z 的虚部是_____，z =_____．。