韦达定理复习题

韦达定理练习题一、选择题A. x1 + x2 = b/aB. x1 x2 = b/aC. x1 x2 = √(b^2 4ac)/aD. x1 x2 = c/a2. 已知一元二次方程x^2 5x + 6 = 0的两根为x1和x2，则x1 x2的值为？A. 5B. 6C. 5D. 63. 若一元二次方程2x^2 4x + 1 = 0的两根为x1和x2，则x1 + x2的值为？A. 2B. 4C. 2D. 4二、填空题1. 已知一元二次方程x^2 3x + 2 = 0的两根为x1和x2，则x1 + x2 = ______，x1 x2 = ______。

2. 若一元二次方程3x^2 6x + 2 = 0的两根为x1和x2，则x1 + x2 = ______，x1 x2 = ______。

3. 已知一元二次方程4x^2 + 8x 9 = 0的两根为x1和x2，则x1 + x2 = ______，x1 x2 = ______。

三、解答题1. 已知一元二次方程x^2 (2a+1)x + a^2 = 0的两根为x1和x2，求x1 + x2和x1 x2的值。

2. 设一元二次方程x^2 (k+3)x + 2k = 0的两根为x1和x2，求x1 + x2和x1 x2的值。

3. 已知一元二次方程x^2 (a+b)x + ab = 0的两根为x1和x2，求x1 + x2和x1 x2的值。

4. 若一元二次方程x^2 (m+n)x + mn = 0的两根为x1和x2，求x1 + x2和x1 x2的值。

5. 已知一元二次方程x^2 (2a1)x + a^2 a = 0的两根为x1和x2，求x1 + x2和x1 x2的值。

四、应用题1. 在一个一元二次方程中，两根的和是10，两根的积是21，请写出这个方程。

2. 如果一元二次方程的两根分别是方程系数的倒数，且两根的积是1/6，求这个方程。

3. 有一个一元二次方程，它的两根的和是它们积的3倍，且两根的积是12，求这个方程。

韦达定理练习题初三韦达定理是初中数学中的重要定理之一，它为我们解决三角形中的问题提供了有效的工具。

在初三学习阶段，我们需要通过练习题的形式，巩固和应用韦达定理的知识。

下面是一些韦达定理练习题，帮助同学们更好地掌握这一知识点。

【题目一】已知△ABC中，AB = 6，AC = 8，BC = 10，求△ABC的高。

【解题思路】根据韦达定理，对于三角形ABC，有公式：a² = b² + c² - 2bc * cosA其中，a、b、c分别表示三角形的边长，A表示夹角。

根据已知条件，代入公式中可得：8² = 6² + 10² - 2 * 6 * 10 * cosA进一步计算可得：64 = 36 + 100 - 120cosA28 = -120cosAcosA ≈ -0.233由于A为锐角，cosA不可能为负数，因此此题无解。

【题目二】已知△ABC中，AB = 12，BC = 18，AC = 24，求△ABC的面积。

【解题思路】根据韦达定理，我们可以先通过余弦定理求得角BAC的值。

cosA = (b² + c² - a²) / 2bccosA = (18² + 24² - 12²) / 2 * 18 * 24cosA ≈ 0.5由于韦达定理中的角A为夹角，无法直接计算面积，我们需要进一步计算角B、角C。

角B = arcsin(b * sinA / a)角B = arcsin(18 * sin(0.5) / 12)角B ≈ 0.573 rad角C = π - A - B角C = π - 0.5 - 0.573角C ≈ 2.068 rad根据三角形面积公式S = 0.5 * a * b * sinC，代入已知条件可得：S = 0.5 * 12 * 18 * sin(2.068)S ≈ 110.4所以，△ABC的面积约为110.4平方单位。

韦达定理经典习题一．选择题（共16小题）1．若方程x2﹣（m2﹣4）x+m=0的两个根互为相反数，则m等于（）A．﹣2B．2C．±2D．42．若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为1，则另一个根为（）A．﹣4B．2C．4D．﹣33．设a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014B．2015C．2016D．20174．一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情况是（）A．有两个正根B．有两个负根C．有一正根一负根且正根绝对值大D．有一正根一负根且负根绝对值大5．已知m、n是方程x2+3x﹣2=0的两个实数根，则m2+4m+n+2mn的值为（）A．1B．3C．﹣5D．﹣96．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（）A．4，﹣2B．﹣4，﹣2C．4，2D．﹣4，27．一元二次方程x2+x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则+=（）A．B．1C．D．8．关于x的方程x2+2（k+2）x+k2=0的两实根之和大于﹣4，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＜0C．﹣1＜k＜0D．﹣1≤k＜9.已知a、b是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根，那么+的值为（）A．B．C．﹣D．﹣10.已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣7x+12=0B．x2+7x+12=0C．x2+7x﹣12=0D．x2﹣7x﹣12=011.设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014B．2015C．2012D．2013二．填空题（共30小题）12．已知：一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为．13．一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是．14．若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，则α2+β2=．15．一元二次方程x2+mx+2m=0的两个实根分别为x1，x2，若x1+x2=1，则x1x2=．16.已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为．17.已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式a2+b+3的值为．18.已知关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣2a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值是．19．方程x2﹣3x+1=0中的两根分别为a、b，则代数式a2﹣4a﹣b的值为．20已知a+b=3，ab=﹣7，则代数式2a2+b2+3b的值为．21．已知x1，x2是关于x的方程x2+nx+n﹣3=0的两个实数根，且x1+x2=﹣2，则x1x2=．22.已知实数a≠b，且满足（a+1）2=3﹣3（a+1），3（b+1）=3﹣（b+1）2．则的值为．23.已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=．．24.已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，x1、x2是此方程的两个实数根，现25.若两个不等实数m、n满足条件：m2﹣2m﹣1=0，n2﹣2n﹣1=0，则m2+n2的值是．26.设x1，x2是方程x2﹣x﹣2013=0的两实数根，则=．27.．设x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，则的值为．28.．若α，β是方程x2﹣3x+1=0的两个根，则α2+αβ﹣3α=．三．解答题（共4小题）29.已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m=0有实数根．（1）求m的取值范围（2）若两实数根分别为x1和x2，且，求m的值．30.已知一元二次方程2x2﹣6x﹣1=0的两实数根为x1、x2，不解方程，求代数式的值．31.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．方程两根x1，x2x1+x2=x1x2=x2+2x+1=0x2﹣3x﹣4=0x2+4x﹣7=01212=，x1x2=利用你的猜想解下列问题：若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3=0的两根求，x12+x22和（x1+2）（x2+2）的值．。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）一. 选择题1. 关于x 的方程x a a a a x a 2222260++-+++=()的两实数根互为相反数，则a＝_________。

A. -32B. -12C. 32 D. 122. m 为（ ）时，关于x 的方程3602x x m ++=有两个负实数根 A. 1，2 B. 1，2，3 C. 2，3D. 1，33. 关于x 的方程23502x x m ++=的两实数根都小于1，则m （ ）A. -<<1940mB. m >-1C. -<≤1940m D.m ≤9404. 已知实数a 、b 满足a a 222=-，b b 222=-，则ba ab 22+（ ）A. 5B. 13±C. 5或13-D. 5或13±5. 某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终将当年年初投入资金相加所得的总资金作为下一年年初投入资金继续进行经营，如果第一年的年获利率为P ，则第一年年终的总资金可用代数式表示为（ ）万元 A. 501()-pB. 501()+pC. 501+pD. 501-p二. 填空6. 商店里有种型号的电视机，每台售价1200元，可盈利20％，现有一客商以11500元总价购买了若干台这种型号的电视机，利润15％，若设客商买了x 台电视，则商店每台电视机进价为__________，由题列方程_______________，解得_______________。

7. 某商场今年一月份销售额100万元，二月份销售额下降了10％，该商场采取措施，销量大增，四月达129.6万元，则三、四月平均月销售额增长的百分率为_________。

8. 若三个方程x x a 24230-+-=，x x a 263120-++=，xx a 23254+-+=中至少有一个方程有实数根，则a___________9. 已知x x 12，为4356022x m x m ---=()的两实数根，且||x x 1232=，则m________三. 解答题10. 已知kx k x k 22110+-+-=()①只有整数值，且()k y y m --+=1302②有两个实数根y y 12，（1）当k 为整数时，求k（2）在（1）条件下，若m >-2，用关于m 的代数式表示y y 1222+11. 制造一种产品，原来每件成本价500元，销售价625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20％，第二个月将比第一个月提高6％，为使两月后的原销售利润不变，该产品成本价平均每月应降低百分之几？。

韦达定理初三练习题韦达定理是解决三角形问题的重要定理之一，在初中数学学习中起着关键的作用。

在本篇文章中，我们将通过一些实际的练习题来巩固和应用韦达定理的知识。

请您认真阅读题目，并按照题目要求进行解答。

练习一：已知三角形的两个边长和夹角，求第三边的长度。

1. 已知一个三角形的两条边长分别为5cm和8cm，夹角为60度。

请计算第三边的长度。

解答：根据韦达定理，我们可以使用以下公式求解：c² = a² + b² - 2abcosC。

其中，c代表第三边，a和b分别代表已知的两个边长，C代表已知的夹角。

根据题目信息，已知的两条边分别为5cm和8cm，夹角为60度。

我们可以将这些数据代入韦达定理的公式中进行计算。

c² = 5² + 8² - 2 × 5 × 8 × cos60°= 25 + 64 - 80 × 0.5= 89 - 40= 49因此，第三边的长度为√49，即7cm。

练习二：已知三角形的两个边长和一条高的长度，求另一条高的长度。

2. 已知一个三角形的两边长分别为6cm和10cm，其中一条高的长度为8cm。

请计算另一条高的长度。

解答：我们可以利用韦达定理的性质来求解这个问题。

首先，我们需要找到一个关系式来表示两条高的长度。

根据韦达定理，我们可以得到以下关系式：（a² - b²）/ （a² + b²）= （h₁² - h₂²）/ （h₁² + h₂²）。

其中，a和b代表已知的两边长，h₁和h₂分别代表已知的两条高的长度。

根据题目中的信息，已知两边长分别为6cm和10cm，其中一条高的长度为8cm。

假设另一条高的长度为h₂。

根据关系式，我们可以将这些数据代入，得到以下等式：（6² - 10²）/ （6² + 10²）= （8² - h₂²）/ （8² + h₂²）我们可以通过化简这个等式，解得h₂的值。

韦达定理练习题韦达定理练习题韦达定理是数学中的一个重要定理，它描述了一个三角形内部的一条线段与三边的长度之间的关系。

通过韦达定理，我们可以解决一些有关三角形的问题，比如求解三角形的面积、判断三角形的形状等等。

在本文中，我们将通过一些练习题来巩固和应用韦达定理的知识。

练习题一：求解三角形的面积已知一个三角形的三边长分别为a、b、c，求解该三角形的面积。

解答：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC其中A、B、C分别为三角形的内角。

现在我们要求解三角形的面积，可以使用海伦公式：S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]其中s为三角形的半周长，可以通过三边长求得：s = (a + b + c) / 2练习题二：判断三角形的形状已知一个三角形的三边长分别为a、b、c，判断该三角形的形状（等边三角形、等腰三角形、直角三角形或一般三角形）。

解答：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC首先，我们可以通过比较三边长的大小来判断是否为等边三角形。

如果a=b=c，则为等边三角形。

其次，我们可以通过比较两条边的长度来判断是否为等腰三角形。

如果a=b或a=c或b=c，则为等腰三角形。

然后，我们可以通过判断三个内角的大小关系来判断是否为直角三角形。

如果A=90°或B=90°或C=90°，则为直角三角形。

最后，如果以上条件都不满足，则为一般三角形。

练习题三：求解三角形的高已知一个三角形的三边长分别为a、b、c，求解该三角形的高。

解答：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC现在我们要求解三角形的高，可以使用以下公式：h = 2S / a其中S为三角形的面积，可以通过海伦公式求得。

1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a丰0），如果方程有两个实数根x,x,那么12说明：定理成立的条件A>0练习题一、填空：1、如果一兀二次方程ax2+bx+c=0（a丰0）的两根为x,x，那么x+x=1212xx=.122、如果方程x2+px+q=0的两根为x,x，那么x+x=,xx=.1212123、方程2x2-3x-1=0的两根为x,x，那么x+x=,xx=.1212124、如果一元二次方程x2+mx+n二0的两根互为相反数，那么m=；如果两根互为倒数,5方程x2+mx+（n-1）=0的两个根是2和一4,那么m=,n=.6、以x,x为根的一元二次方程（二次项系数为1）是127、以<3+1,v3-1为根的一元二次方程是.8、若两数和为3,两数积为一4,则这两数分别为.9、以3+迈和3-迈为根的一元二次方程是.10、若两数和为4,两数积为3,则这两数分别为.11、已知方程2x2+3x-4二0的两根为x,x，那么x2+x2=.121212、若方程x2-6x+m=0的一个根是3-j2,则另一根是,m的值是.13、若方程x2-（k-1）x-k-1=0的两根互为相反数，则k=，若两根互为倒数，贝Uk=.14、如果是关于x的万程x2+mx+n=0的根是-詔2和J3，那么x2+mx+n在实数范围内可分解为.二已知方程x2—3x—2—0的两根为x，且>x,求下列各式的值:1212(1 )x2+x2=；(2)11+= 12x x12(3 )(x一x)2—=；(4)(x+1)(x+1)=. 1212三、选择题：1、关于x的方程2x2-8x-p=0有一个正根，一个负根，则p的值是（）（A）0（B）正数（C）—8（D）—42、已知方程x2+2x—1=0的两根是x,x，那么x2x+xx2+1—()12(A)－7 (B)3 (C)7 (D)—33、已知方程2x2—x—3—0的两根为x,x12 那么丄+丄=（）xx12（B）1(C)3 (D)4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元次方程是(A)x2+2x—3—0 (B)x2—2x+3—0(C)x2—2x—3—0 (D)x2+2x+3—05、若方程4x2+（a2—3a-10）x+4a—0的两根互为相反数, 则a的值是（(A)5或—2 (B)5 (C)—2 (D)—5或26、若方程2x2—3x—4—0的两根是x,x，那么(x+1)(x1211(C)2 +1）的值是（(B)—6 （D）-27、分别以方程x2—2x—1=0两根的平方为根的方程是（C)y2—6y—1—0(D)y2+6y一1—0(A)y2+6y+1—0 (B)y2一6y+1—0四、解答题:1、若关于x的方程5x2+23x+m=0的一个根是一5,求另一个根及m的值.2、关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4二0有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21.求m的值.3、若关于x的方程x2+(m-2)x-m-3=0两根的平方和是9.求m的值.4、已知方程x2-3x-m二0的两根之差的平方是7,求m的值.5、已知方程x2+(m2-4m-5)x+m=0的两根互为相反数，求m的值.6、关于x的方程3x2-(4m2-1)x+m(m+2)=0的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m的值.7、已知方程x2-2x+3m=0，若两根之差为一4,求m的值.8、已知x,x是一元二次方程4kx2-4kx+k+1二0的两个实数根.123(1)是否存在实数k，使(2x-x)(x-2x)二-一成立？若存在，求出k的值；若不存在，请12122您说明理由.⑵求使九+•-2的值为整数的实数k的整数值.xx21韦达定理；肘于一元二次方程ax 3+^+^0^*0）.如果方程有两个窝雜根环E ・那么丙+Aj=__，片％=-aa说明：定理成立的条件也±0练习题iK 如果一元二次方程o?+址+G =0S 古叭的两根为工厂旳，那么心+勺工_£2、如果方程工"卡戸工+《弓0的两根为為’x ±,那么百*0=_1&孔=―I①方程2+—H 工一1"的两根为f 那么斗+斗巧匸士一-涉如果一元二次方稈十+淞E+丹土0的两根互丸相反数.那么rn=PJ 如果两根互为倒数.那么祥=_...护趕++楓子厲-120的两个根是2和一4、那么m=2."-7.以.旺，观为根的一元二次方程（二抿项系数为O 是代宀七入九沁、 以舲+1,再-1为银的一元…祢方稈是％-2怡喘池可T,斑nl 若两数和为趴踽数积为-4,则这两敢分别為壬TA 曲_口？馭齢血利3-迈再根的一元二次方程是上也如壬 kd@若两数和为4,两数厂-门，瓦这两数分别为」和占II 、已期方穆2d+3工一4=U 的茁郴为“，j 心，那虫工；于工；@若方理宀钳+协=0的一卡根2近.耻I -根是丄坐_，用的值鬼J_.售琥d 塑），若方程讹-1）—七-1=0的两覘耳知皈数“则"_L ・若两根互为倒数，则"竺.严炭贅关于”的方程一F+酥+姑=0的根是-近和更、邯么F+吟严右険数范川內出分解为（世环Q 【環也）,答案: 根与系数的关系（韦达定理） —、填空:9、g已知方jix3-jj-2=o的两根为卧小且7筍亠“求下列各貳的值：⑶匚―可『==；⑷佃+1)(工严1)=—.—■三、选择题；@关于x的方程2Sp=0有-牛正根，一个负根・则p的值是(ja>)(A)0(B)正数(C)-8<D)~42、已知方程x z+2i-l=0的两根是冲x2.削么彳珀卡旺帀'42(B(A)-7(B)3{(：)了(D)-3氛已知方程空疋-工-3"的两根为书.%那么丄+丄=©A〉円x i”电(A)-|(B)+(C)3(D)-3瑾®'下测方理中，两个实数根之和为2的一元二次方程是(匚)(A)x5+2x~3=0CB)j2-2x+3=Q免钮1(C)F-2—3=0(D)J2+2x+3=O形若方程4?+(/—加―】哄+硼二0的弊互曲相反数，则"的帶1是〔C> tA)5或一2(B)5(C)-2(□)-5或26.若方程"-脈-斗=G的两根是鬲』补那么詬+i〕g+D的值是(C)(A)—扌(B)-6(C)|(D)殆@为别以方程工―2—1-0两根杓平方为根的方程是(B)%■<缜二工■,儿仏二-I矗=了求曲的值， 呼1+孙：一尊1%H 屈Qn 山械一小-.叙知九十*二A M 叩 [7k +Jk^-旳Ml 二^|.二-S*L yt-卒gd -上(韭华,“対s 站叮，也么、叔4y网二7盘亠丨m H 料r 寻]二w(K.+ViJ-4>«=74—f 二切=』石-J ，仃工X-$%占=f£tQ7•迩己知X ］，号是一元二祝方程4fac s -4^+A+1=0的两个实数根.3⑴是否存程实数帚便俗I--qH 咼-2即=-二成立？若存在，求出A 的直；若平存也 请您说明理由.d 二協’必f ““二W£*■J ■号虫S”⑵求使A +2__2的值为整数的实坡丘的鰹数学.X?斗m 的值.>tKi ，T 十41曰- 丁-仆（厲T ）（器叶1":Pz 「匕—I@己知方程x 1-2x+^m=0・若两根之差为Q 求朋的值一I"创冷一缈5左&乜乔戚宜癸£a 4窗巳*试2T%亠fr~i.^'*-??d -1—◎二讥“埠£ 厶二-耳“$£.心f-7Z+■/A0关于工的方程如'-（4用*」找十粗佃+2］二0的两实数根之和等于两实数很的倒数和，求。

和韦达定理有关的练习题一、选择题1. 若一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的两根为x1和x2，则下列哪个选项正确地表示了韦达定理？（）A. x1 + x2 = b/a，x1 x2 = c/aB. x1 + x2 = b/a，x1 x2 = c/aC. x1 + x2 = b/a，x1 x2 = c/aD. x1 + x2 = b/a，x1 x2 = c/a2. 已知一元二次方程2x^2 5x + 3 = 0的两根分别为x1和x2，则x1 x2的值为（）。

A. 3B. 3C. 1.5D. 1.5二、填空题1. 若一元二次方程x^2 4x + 3 = 0的两根为x1和x2，则x1 + x2 = _______，x1 x2 = _______。

2. 已知一元二次方程3x^2 + 7x 2 = 0的两根分别为x1和x2，且x1 < x2，则x1 = _______，x2 = _______。

三、解答题1. 已知一元二次方程4x^2 12x + 9 = 0的两根为x1和x2，求x1和x2的值。

2. 已知一元二次方程5x^2 7x + 2 = 0的两根之和为4，求该方程的两根之积。

3. 已知一元二次方程2x^2 (4k + 1)x + 2k = 0的两根之积为k，求k的值。

4. 设一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的两根为x1和x2，若x1 + x2 = 5，x1 x2 = 6，求该方程的解。

5. 已知一元二次方程x^2 (2a + 1)x + a^2 = 0的两根均为正数，求a的取值范围。

6. 已知一元二次方程x^2 (k + 3)x + 2k = 0的两根分别为x1和x2，且x1 < x2，求x1和x2的值。

7. 设一元二次方程x^2 (a + b)x + ab = 0的两根为x1和x2，求证：x1和x2是正数的充分必要条件是a和b均为正数。

8. 已知一元二次方程x^2 (2k + 1)x + k^2 = 0的两根之差为1，求k的值。

一元二次方程根与系数的关系习题1、如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根是1x 、2x ，那么21x x += ，21x x ⋅= 。

2、已知1x 、2x 是方程04322=-+x x 的两个根，那么：21x x += ；21x x ⋅= ；=+2111x x ；=+2221x x ；=++)1)(1(21x x ；||21x x -= 。

3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 。

4、如果关于x 的一元二次方程022=++a x x 的一个根是1－2，那么另一个根是 ，a 的值为 。

5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。

6、已知方程2x 2+mx －4=0两根的绝对值相等，则m= 。

7、一元二次方程px 2+qx+r=0(p ≠0)的两根为0和－1，则q ∶p= 。

8、已知方程x 2－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。

9、已知关于x 的一元二次方程(a 2－1)x 2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a = 。

\10、已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x －6=0的两根为x 1和x 2，且21x x +=－2，则m= ，21x x ⋅ = 。

11、已知方程3x 2+x －1=0，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为 。

12、已知二次项系数为1的一元二次方程，它的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为 。

13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为 。

(其中二次项系数为1)14、已知关于x 的一元二次方程x 2－2(m －1)x+m 2=0。

若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。

15、已知方程x 2+4x －2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= 。

16、已知关于x 的方程x 2－3x+k=0的两根立方和为0，则k=17、已知关于x 的方程x 2－3mx+2(m －1)=0的两根为1x 、2x ，且43x 1x 121-=+，则m= 。

韦达定理例题初三练习题韦达定理是高中数学中的重要理论之一，通过韦达定理，我们可以解决一些复杂的几何和代数问题。

今天我们来看几个关于韦达定理的初三练习题，帮助大家更好地理解和掌握这一定理。

1. 三角形ABC的边长分别为a，b和c，其内角A的对边为a，角B的对边为b，请用韦达定理计算角C的对边c。

解析：根据韦达定理，我们知道a/c = b/a，可以通过交叉相乘得到a^2 = bc，从而可以得到c的表达式为c = sqrt(a^2b)。

因此，角C的对边为sqrt(a^2b)。

2. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A(0, 0)，B(4, 0)，C(4, 4)和D(0, 4)。

现在我们要求正方形ABCD的对角线的长度。

解析：对于正方形ABCD，其对角线AC和BD互相垂直且相等。

首先计算AC的长度，根据两点坐标之间的距离公式，我们可以得到AC = sqrt((4-0)^2 + (4-0)^2) = 4*sqrt(2)。

同理，BD的长度也为4*sqrt(2)。

因此，正方形ABCD的对角线的长度为4*sqrt(2)。

3. 在三角形ABC中，AB = AC，角BAC = 80°，BC = 5，请计算三角形ABC中角ABC的度数。

解析：根据韦达定理，我们知道AB/AC = sin(ABC)/sin(ACB)，且AB/AC = 1。

由于AB = AC，所以sin(ABC) = sin(ACB)，即角ABC和角ACB的正弦值相等，从而角ABC的度数与角ACB的度数相等。

又因为角BAC = 80°，所以角ACB = (180° - 80°)/2 = 50°。

因此，角ABC的度数也为50°。

4. 在平行四边形ABCD中，AB = 6，BC = 8，角BAD = 120°，请计算平行四边形ABCD的对角线AC的长度。

解析：平行四边形ABCD中，两对立边相等且对角线互相平分。

初中物理竞赛：韦达定理(附练习题及答案)韦达定理是物理学中的一个重要定理，用于求解力学问题。

它是基于能量守恒和功的定义推导出来的。

韦达定理的表达式为：\[W = \Delta KE \]其中，W表示外力做的功，\(\Delta KE\)表示物体动能的变化。

韦达定理可以应用于各种力学问题，帮助我们分析和计算物体的运动情况和动能的变化。

下面是一些韦达定理的练题及答案，供参考：1. 一个质量为2kg的物体在力为10N的作用下沿着力的方向移动了5m，求外力所做的功。

解答：根据韦达定理，外力做的功等于物体动能的变化。

由于力与物体的位移方向相同，所以力做正功。

根据韦达定理的表达式，可以得到：\[W = \Delta KE\]由于物体的质量和加速度未知，无法直接计算动能的变化。

但我们可以利用力和位移的关系求出力所做的功。

根据功的定义，可以得到：\[W = F \cdot s\]代入已知的数值可以计算出外力所做的功：\[W = 10N \cdot 5m = 50J\]所以外力所做的功为50焦耳。

2. 一个质量为1kg的物体从静止开始，受到一个恒力为5N的作用力，沿着力的方向移动了10m，求外力所做的功和物体的末速度。

解答：根据韦达定理，外力做的功等于物体动能的变化。

由于力与物体的位移方向相同，所以力做正功。

根据韦达定理的表达式，可以得到：\[W = \Delta KE\]由于物体的初始速度为零，加速度未知，无法直接计算动能的变化。

但我们可以利用力和位移的关系求出力所做的功。

根据功的定义，可以得到：\[W = F \cdot s\]代入已知的数值可以计算出外力所做的功：\[W = 5N \cdot 10m = 50J\]所以外力所做的功为50焦耳。

根据动能定理，可以得到：\[W = \Delta KE = \frac{1}{2} mv^2 - 0\]由此可以求解出物体的末速度：\[50 = \frac{1}{2} \cdot 1kg \cdot v^2\]\[v^2 = 100\]\[v = 10m/s\]所以物体的末速度为10米每秒。

韦达定理练习题一．填空题（共16小题）1．方程x2+x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值为．2．已知实数x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则x1x2＝．3．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个不相等的实数根，则ab﹣2022a﹣2022b的值是．4．设x1、x2是方程x2﹣mx＝0的两个根，且x1+x2＝﹣3，则m的值是．5．若m，n是方程x2+2021x﹣2022＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值为．6．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为α、β，则αβ﹣α﹣β的值为．7．已知α，β是一元二次方程x2﹣x﹣9＝0的两个实数根，则代数式α2﹣2α﹣β+3的值为．8．设a、b为x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a3+a2+3a+2024b＝．9．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣1＝0的根，则的值是．10．α、β是关于x的方程x2﹣x+k﹣1＝0的两个实数根，且α2﹣2α﹣β＝4，则k的值为．11．关于x的一元二次方程3x2﹣10x﹣17＝0的两个根分别为x1和x2，则＝．12．已知a，b是关于x的一元二次方程x2+（m+3）x﹣2＝0的两个不相等的实数根，且满足＝﹣1，则m的值是．13．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则mn+m+n＝．14．已知m，n是方程x2﹣3x＝2的两个根，则式子的值是．15．已知方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣x22+4x2的值为．16．关于x的一元二次方程x2﹣kx+4＝0的两个实数根分别是x1、x2，且满足x12+x22﹣2x1﹣2x2﹣7＝0，则k的值为．二．解答题（共4小题）17．已知关于x的方程2x2+2kx+k﹣1＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求方程的另一个根．18．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0．（1）证明无论k取何值时方程总有两个实数根．（2）△ABC中，BC＝5，AB、AC的长是这个方程的两个实数根，求k为何值时，△ABC 是等腰三角形？19．已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣4＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）若此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，且x1＝3x2，求m的值．20．阅读材料并解决下列问题：材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求+的值．解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m+n＝1，mn＝﹣1，∴+＝＝＝＝﹣3．根据上述材料解决下面的问题：（1）一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．（2）已知实数m，n满足3m2﹣3m﹣1＝0，3n2﹣3n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）已知实数p，q满足p2＝7p﹣2，2q2＝7q﹣1，且p≠2q，求p2+4q2的值．参考答案与试题解析一．填空题（共16小题）1．方程x2+x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值为﹣1．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接可得答案．【解答】解：∵方程x2+x﹣1＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．2．已知实数x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则x1x2＝﹣1．【分析】根据根与系数的关系解答．【解答】解：∵方程x2+x﹣1＝0中的a＝b＝1，c＝﹣1，∴x1x2＝＝﹣1．故答案是：﹣1．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．3．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个不相等的实数根，则ab﹣2022a﹣2022b的值是2019．【分析】由a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系即可求出两根之和和两根之积，代入代数式即可求解．【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个不相等的实数根，∴a+b＝﹣1，ab＝﹣3．∴ab﹣2022a﹣2022b＝ab﹣2022（a+b）＝﹣3﹣2022×（﹣1）＝2019，故答案为：2019．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．4．设x1、x2是方程x2﹣mx＝0的两个根，且x1+x2＝﹣3，则m的值是﹣3．【分析】直接利用根与系数的关系求解．【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝m，而x1+x2＝﹣3，所以m＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．5．若m，n是方程x2+2021x﹣2022＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值为1．【分析】利用根与系数的关系可得出m+n＝﹣2021，mn＝﹣2022，再将其代入m+n﹣mn 中即可求出结论．【解答】解：∵m，n是方程x2+2021x﹣2022＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣2021，mn＝﹣2022，∴m+n﹣mn＝﹣2021﹣（﹣2022）＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．6．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为α、β，则αβ﹣α﹣β的值为﹣2．【分析】根据根与系数的关系得到α+β＝3，αβ＝1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据根与系数的关系得到α+β＝3，αβ＝1，所以αβ﹣α﹣β＝αβ﹣（α+β）＝1﹣3＝﹣2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．7．已知α，β是一元二次方程x2﹣x﹣9＝0的两个实数根，则代数式α2﹣2α﹣β+3的值为11．【分析】利用一元二次方程的根及根与系数的关系可得出α2﹣α＝9，α+β＝1，再将其代入α2﹣2α﹣β+3＝α2﹣α﹣（α+β）+3中即可求出结论．【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2﹣x﹣9＝0的两个实数根，∴α2﹣α﹣9＝0，α+β＝1，∴α2﹣α＝9，所以α2﹣2α﹣β+3＝α2﹣α﹣（α+β）+3＝9﹣1+3故答案为：11．【点评】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系，利用一元二次方程的根及根与系数的关系，找出α2﹣α＝9，α+β＝1是解题的关键．8．设a、b为x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a3+a2+3a+2024b＝﹣2024．【分析】先根据一元二次方程根的定义得到a2＝﹣a+2021，再用a表示a3得到a3＝2022a ﹣2021，所以原式变形为2024（a+b），接着根据根与现实的关系得到a+b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a为x2+x﹣2021＝0的根，∴a2+a﹣2021＝0，即a2＝﹣a+2021，∴a3＝a（﹣a+2021）＝﹣a2+2021a＝a﹣2021+2021a＝2022a﹣2021，∴a3+a2+3a+2024b＝2022a﹣2021﹣a+2021+3a+2024b＝2024（a+b），∵a、b为x2+x﹣2021＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，∴a3+a2+3a+2024b＝2024×（﹣1）＝﹣2024．故答案为：﹣2024．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．9．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣1＝0的根，则的值是﹣1．【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，将所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，把求出的两根之和与两根之积代入计算，即可求出值．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣1＝0的根，∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣1，∴＝＝＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题10．α、β是关于x的方程x2﹣x+k﹣1＝0的两个实数根，且α2﹣2α﹣β＝4，则k的值为﹣4．【分析】α2﹣2α﹣β＝α2﹣α﹣（α+β）＝4，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于k的一元一次方程，即可解得答案．【解答】解：∵α、β是方程x2﹣x+k﹣1＝0的根，∴α2﹣α+k﹣1＝0，α+β＝1，∴α2﹣2α﹣β＝α2﹣α﹣（α+β）＝﹣k+1﹣1＝﹣k＝4，∴k＝﹣4，故答案是：﹣4．【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．11．关于x的一元二次方程3x2﹣10x﹣17＝0的两个根分别为x1和x2，则＝．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再由进行求解即可．【解答】解：∵一元二次方程3x2﹣10x﹣17＝0的两根是x1，x2，∴，，∴．故答案是：．【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．12．已知a，b是关于x的一元二次方程x2+（m+3）x﹣2＝0的两个不相等的实数根，且满足＝﹣1，则m的值是﹣5．【分析】根据根与系数的关系结合＝﹣1，即可得出关于m的方程，解之即可得出m的值，再由根的判别式Δ＞0，即可确定m的值．【解答】解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2+（m+3）x﹣2＝0的两个不相等的实数根，∴a+b＝﹣（m+3），ab＝﹣2，∵＝﹣1，即＝＝﹣1，解得：m＝﹣5．∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝（m+3）2﹣4×（﹣2）＝（m+3）2+8＞0，∴m＝﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系结合＝﹣1，找出关于m的方程是解题的关键．13．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则mn+m+n＝﹣7．【分析】根据根与系数的关系得到m+n＝﹣2，mn＝﹣5，然后利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：根据题意得：m+n＝﹣2，mn＝﹣5，所以mn+m+n＝﹣5+（﹣2）＝﹣7．故答案为：﹣7．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．14．已知m，n是方程x2﹣3x＝2的两个根，则式子的值是27．【分析】利用一元二次方程解的定义和根与系数的关系，采用整体代入求解．【解答】解：∵m，n是方程x2﹣3x＝2的两个根，∴m2＝3m+2，n2﹣2＝3n，m+n＝3，∴m3﹣10m+n＝m（3m+2）﹣10m+n＝3m2﹣8m+n＝3（3m+2）﹣8m+n＝m+n+6＝3+6＝9，n﹣＝＝＝3，原式＝9×3＝27．故答案为：27．【点评】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，利用整体思想代入求值是解题的关键．15．已知方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣x22+4x2的值为4．【分析】利用一元二次方程解的定义得到x12＝2x1+2，x22＝2x2+2；然后由根与系数的关系求得x1+x2＝2；最后代入所求的代数式求值即可．【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，∴x12＝2x1+2，x22＝2x2+2，x1+x2＝2．∴x12﹣x22+4x2＝（2x1+2）﹣（2x2+2）+4x2＝2（x1+x2）＝2×2＝4．故答案是：4．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．16．关于x的一元二次方程x2﹣kx+4＝0的两个实数根分别是x1、x2，且满足x12+x22﹣2x1﹣2x2﹣7＝0，则k的值为5．【分析】由根与系数的关系可得：x1+x2＝k，x1x2＝4，再把已知的条件进行整理，整体代入运算即可求解．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣kx+4＝0的两个实数根分别是x1、x2，∴x1+x2＝k，x1x2＝4，∵x12+x22﹣2x1﹣2x2﹣7＝0，∴（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）﹣7＝0，∴k2﹣2×4﹣2k﹣7＝0，整理得：k2﹣2k﹣15＝0，解得：k＝5或k＝﹣3，当k＝﹣3时，Δ＝32﹣4×1×4＝9﹣16＝﹣7＜0，则原方程无实数解，故k＝5．故答案为：5．【点评】本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是熟记根与系数的关系并灵活运用．二．解答题（共4小题）17．已知关于x的方程2x2+2kx+k﹣1＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求方程的另一个根．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ4（k﹣1）2+4＞0，由此可证出方程有两个不相等的实数根；（2）把x＝﹣1代入方程，求得k＝1，即可得出2x2+2x＝0，然后解方程即可求出方程的另一个根．【解答】（1）证明：Δ＝b2﹣4ac＝（2k）2﹣4×2×（k﹣1）＝4k2﹣8k+8＝4（k﹣1）2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵x＝﹣1是该方程的一个根，∴2﹣2k+k﹣1＝0，解得k＝1，∴方程为2x2+2x＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝0，∴方程的另一个根为x＝0．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”．18．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0．（1）证明无论k取何值时方程总有两个实数根．（2）△ABC中，BC＝5，AB、AC的长是这个方程的两个实数根，求k为何值时，△ABC 是等腰三角形？【分析】（1）表示出方程根的判别式，根据根的判别式的正负即可确定出方程根的情况；（2）由（1）得到AB≠AC，分AC＝BC与AB＝BC两种情况求出k的值即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+3）]2﹣4×1×（k2+3k+2）＝1＞0，∴无论k取何值时方程总有两个实数根．（2）解：∵方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的解为：x＝＝，即x1＝k+2，x2＝k+1，∵AB、AC是方程的两个实数根，∴AB≠AC，∵BC＝5，∴当k+2＝5，或k+1＝5时，△ABC是等腰三角形，∴k＝3或4，故当k为3或4时，△ABC是等腰三角形．【点评】此题考查了根与系数的关系，涉及的知识有：一元二次方程根与系数的关系，根的情况判断，以及等腰三角形的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣4＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）若此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，且x1＝3x2，求m的值．【分析】（1）求出一元二次方程根的判别式，判断Δ与0的关系．（2）利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2与x1x2，再利用x1＝3x2形成关于m 的方程，然后求解即可．【解答】（1）证明：关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣4＝0，∵a＝1，b＝﹣4m，c＝4m2﹣4．∴Δ＝（﹣4m）2﹣4×1×（4m2﹣4）＝16＞0．∴此方程有两个不相等的实数根；（2）解：若此方程的两个根分别为x1，x2，由题意得，x1+x2＝4m，x1x2＝4m2﹣4．∵x1＝3x2，∴3x2+x2＝4m，即x2＝m，∴x1＝3m，∴3m•m＝4m2﹣4，即m2＝4，解得m＝±2．当m＝﹣2时，x1＝﹣6，x2＝﹣2．此时x1＜x2，不符合题意．∴m＝﹣2舍去故m的值为2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，及根与系数的关系，根据根与系数的关系及两个根的关系得到方程中有关参数的方程是解题的关键．20．阅读材料并解决下列问题：材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求+的值．解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m+n＝1，mn＝﹣1，∴+＝＝＝＝﹣3．根据上述材料解决下面的问题：（1）一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣．（2）已知实数m，n满足3m2﹣3m﹣1＝0，3n2﹣3n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）已知实数p，q满足p2＝7p﹣2，2q2＝7q﹣1，且p≠2q，求p2+4q2的值．【分析】（1）5x2+10x﹣1＝0中，a＝5，b＝10，c＝﹣1，则x1+x2＝﹣＝﹣2，x1x2＝＝﹣．（2）由题意m，n可以看作3x2﹣3x﹣1＝0的两个不等的实数根，由此可得结论；（3）由题意知p与2q即为方程x2﹣7x+2＝0的两个不等的实数根，由此可得结论．【解答】解：（1）在5x2+10x﹣1＝0中，a＝5，b＝10，c＝﹣1，∴x1+x2＝﹣＝﹣2，x1x2＝＝﹣．故答案为：﹣2，﹣；（2）∵m，n满足3m2﹣3m﹣1＝0，3n2﹣3n﹣1＝0，m≠n，∴m，n可以看作3x2﹣3x﹣1＝0的两个不等的实数根，∴m+n＝1，mn＝﹣，∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣×1＝﹣；（3）由题意知p与2q即为方程x2﹣7x+2＝0的两个不等的实数根，∴p+2q＝7，2pq＝2，∴p2+4q2＝（p+2q）2﹣4pq＝72﹣2×2＝45．【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题．。

1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b c x x x x a a+=-= 说明：定理成立的条件0∆≥练习题一、填空：1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 .8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 .9、以23+和23-为根的一元二次方程是 .10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 .13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ； （2）2111x x += ； （3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = .三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ）（A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ）(A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ）(A )－31 (B) 31(C )3 (D) －34、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ）（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x（C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（） (A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或26、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（）(A )－21(B) －6 (C ) 21 (D) －257、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ）（A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y（C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．答案：。

一元二次方程根与系数的关系习题1、如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根是1x 、2x ，那么21x x += ，21x x ⋅= 。

2、已知1x 、2x 是方程04322=-+x x 的两个根，那么：21x x += ；21x x ⋅= ；=+2111x x ；=+2221x x ；=++)1)(1(21x x ；||21x x -= 。

3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 。

4、如果关于x 的一元二次方程022=++a x x 的一个根是1－2，那么另一个根是 ，a 的值为 。

5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。

:6、已知方程2x 2+mx －4=0两根的绝对值相等，则m= 。

7、一元二次方程px 2+qx+r=0(p ≠0)的两根为0和－1，则q ∶p= 。

8、已知方程x 2－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。

9、已知关于x 的一元二次方程(a 2－1)x 2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a = 。

10、已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x －6=0的两根为x 1和x 2，且21x x +=－2，则m= ，21x x ⋅ = 。

【11、已知方程3x 2+x －1=0，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为 。

12、已知二次项系数为1的一元二次方程，它的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为 。

13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为 。

(其中二次项系数为1)14、已知关于x 的一元二次方程x 2－2(m －1)x+m 2=0。

若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。

15、已知方程x 2+4x －2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= 。

16、已知关于x 的方程x 2－3x+k=0的两根立方和为0，则k= 、17、已知关于x 的方程x 2－3mx+2(m －1)=0的两根为1x 、2x ，且43x 1x 121-=+，则m= 。