六年级数学工程问题基础部分讲义

工程问题知识点1：工程问题：由两个或两个以上单位(或人)，共同去完成一件工作或一项工程，计算需要完成任务的时间，这一类应用题叫做“工程问题”。

题目中没有给出具体的总工程量，通常用单位“1”表示(即整体思想)，并用“1÷工作时间”推算工作效率，用一个分数单位1n⎛⎫⎪⎝⎭表示。

基本数量关系与一般工作问题完全相同，即总工程量÷工作效率＝工作时间；总工程量÷工作时间＝工作效率知识点2：工程问题中的“牛吃草”问题工程问题中的“牛吃草”问题是工程问题的特殊形式，即题目条件里面有变量。

所以解答此类问题首先应该将工程问题中的条件与“牛吃草”中的“原有草量”、“新生长的草量”和“牛吃草”一一对应，而关键是确定工程问题里面的两个不变量，仿照“牛吃草”问题即：原有量和增加率。

所以类似的基本数量关系式有：增加率＝(台(人)数×时间－台(人)数×时间)÷时间差；原有量＝(台(人)数－增加率×1)×时间台(人)数＝原有量÷时间＋增加率×1；时间＝原有量÷(台(人)数－增加率×1)通常把“牛吃草”的速度即减少的速度设为“1”份。

知识点3：解题的思考方法：解答工程问题时一定要认真审题，弄明白是完成全部工程，还是该工程的部分(即它的几分之几)？有几个人或单位参加工作？他们完成这项工程各自需要多少时间？推得各自的工效是几分之一？他们是同时开始、同时结束工作的，还是有先有后的？具体要求什么等等。

因为工程问题的条件可用多种形式提出，有的不以“工程”命题，有的与其他类型的题目结合，这样，工程问题的题目就复杂起来。

但复杂是可以向简单转化的，通过一定的手段，使其变为若干个基本题，解题的基本思路与方法是不变的。

因此，只要抓住工作总量、工作效率、工作时间三者的关系，细心分析，就能找到解题的途径、步骤和方法。

例1(基础)原计划由一支工程队修建一座公园，预计需要1年零6个月；现在为了加紧完工，又调来了两支工程队，已知两只工程队的工作效率相同，那么需要多久才能完工？(提高、尖子)原计划一个工程队铺设一条水管需要18天，开工6天之后抽调走工程队中23的人数去做其他的工作，那么一共需要多少天才能建成这座大桥？(基础)批改一批考卷，李老师单独做需要12小时，王老师和李老师一起批改，需要8小时，那王老师单独批改这份考卷需要多少时间？(提高、尖子)有一批书，小明9天可装订34，小丽20天可装订56，现小明和小丽合作共装订了6天，余下的由小丽来装订，问：装订完这批书共用多少天？例3(基础、提高)满一个水池的水，同时开①、②、③号阀门需要15小时；同时开①、③、⑤号阀门需要10小时；同时开①、③、④号阀门需要12小时；同时开②、④、⑤号阀门需要8小时。

第15讲 简单的工程问题➢ 考纲透视1、工作总量：需要完成的工作量。

（比如：做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等）在工程问题中，当工作总量会出现两种情况，一种是告诉了具体的数值，另一种没有告诉具体数值，我们就以“1”来表示。

2、工作时间：完成一项工作，完成整个工作所花掉的实际时间（休息时间除外）。

工作时间一定为带有单位的具体的数值。

3、工作效率：一个单位时间内所完成的工作量。

（单位时间：一天，一小时，一分钟）4、求工作效率时通常都是：找准工作时间对应的工作量。

然后利用工作量除以工作时间。

➢ 例题剖析【例1】（1）五星花园修隧道，这条隧道长200米，有一个工程队修完共用20天，每天修多少米？（2）修一段路，共修了20天，那么每天修这条路的多少？当工作总量为具体的数值时，工作效率同样为具体的数值，带有单位。

当工作总量没有告诉具体的数值，为“1”时，工作效率为分数，不带单位。

【例2】例：求出甲乙的工作效率①完成一项工程，甲独做需要10天，乙独做需要15天，①修一段路，甲单独修要10天，乙修6天修了这段路的52。

①修一段路，甲2天修了这段路的51，乙修8天修了这段路的158。

【例3】妈妈买了20个苹果，要求姐姐每天吃4个，弟弟每天吃1个，姐弟一起吃，问这些苹果多少天能被吃完？【变式1】1、完成一项工程，甲独做需要10天完成，乙独做需要15天完成过，那么甲乙合作，合作的工作效率是 ；2、甲乙合做6天，:甲做 天，乙也做 天3、完成一项工作，甲乙先合作20天，再由乙单独做5天完成这项工作，那么乙的做了____天，甲做了______天。

（强调工作总量不变）【例4】一件工作，甲5小时完成全部工作的41，乙6小时又完成剩下任务的一半，最后余下的部分由甲、乙合做，还需几小时才能完成？【变式2】单独完成某项工程，甲、乙、丙分别需要10小时、15小时、20小时。

开始三人一起干，后因工作需要，甲中途调走，结果共用了6小时完成这项工作。

工程问题一、工程问题：1、由两个或两个以上单位（或人），共同去完成一件工作或一项工程，计算需要完成任务的时间，这一类应用题叫做“工程问题”。

2、题目中没有给出具体的总工程量，通常用单位“1”表示（即整体思想），并用“1÷工作时间”推算工作效率，用一个分数单位1n⎛⎫⎪⎝⎭表示。

3、基本数量关系与一般工作问题完全相同，即总工程量÷工作效率=工作时间；总工程量÷工作时间=工作效率【例 1】【基础】一项工作，甲队独做需要10天，乙队独修需要12天两队合作几天修完？【分析】1111601()110126011÷+=÷=（天）【提高、尖子】铺设一条公路，单独由甲队完成需要20天，由乙队单独完成需要30天，由丙队单独完成需要60天，现在希望能尽快修好这条路，让甲、乙、丙三队一起铺设，需要几天可以完成？甲队的工作效率为112020÷=；乙队的工作效率为113030÷=；丙队的工作效率为116060÷=现在由甲、乙、丙三队合作完成，每天的工作效率是他们三队的效率之和111120306010++=现在需要111010÷=天铺设成这条路。

第五讲工程问题与繁分数【例 2】【基础】有一项工程甲队单独做需要10天时间，甲、乙两队合做需要4天，问：1）乙队单独做，要到第几天才能完成？2）如果甲先做3天，然后两队合做，还需要几天能够完成？【分析】由题目可知，甲单独做的工作效率为111010÷=；甲、乙两队合做的工作效率为1144÷=1）可以求出乙队的工作效率为113 41020-=；所以乙队单独做需要3202 162033÷==2）如果甲先做了3天，已经完成了工程的133 1010⨯=剩下的3711010-=由甲、乙两人合做，需要712842104105÷==【尖子】有一项工程，甲队单独做63天，再由乙做28天可完成，如果甲、乙合做需48天完成，现在甲先做42天，然后由乙来完成，还需要几天？【分析】根据题意，甲、乙合做48天完成，第一次与之相比，甲多做了15天，而乙少做20天，都恰好完成了全部工作所以甲工程队做15天的量等于乙工程队做20天的量即所以甲工程队做3天的量等于乙工程队做4天的量现在甲先做了42天，比两人合做时少做了6天，应该由乙来补上这部分工作根据工作效率之比，乙需要6348÷⨯=天完成；那么乙还要工作48856+=天【例 3】【基础、提高】一项工程，甲、乙合作需要12天完成，乙、丙合作需要15天完成，甲、丙合作需要20天完成，如果由甲、乙、丙三队合作需要几天完成？【分析】由题目知，甲乙的工作效率之和为112；乙丙的工作效率之和为115；甲丙的工作效率之和为1 20将三者相加，恰好是甲乙丙三队的工作效率之和的两倍，1111 1215205 ++=所以三队合作需11(2)105÷÷=天【提高、尖子】有一条公路，甲队独修10天，乙队独修12天，丙队独修15天，现在让3个队合修，但中途甲队撤离出去到外地工作，结果用了6天才把这条公路修完。

工程问题工程问题是将一般的工作问题分数化,换句话说从分率的角度研究工作总量、工作时间（完成丁作总量所需的时间）、工作效率（，单位时间内完成的工作於）三者之间关系的问题•它的特点是将工作总量看成单位“1”,用分率表示工作效率，对做工的问题进行分析解答.T•程问题的三个基本数址关系式是：工作效率X工作时间=工作总量. 工作总就十工作时间=工作效率. 工作总量一工作效率=丁作时间.V —件工程，甲、乙合做需6天完成，乙.丙合做需9天完成•甲、丙合做需15天完成•现在甲.乙、丙三人合做需要多少天完成？分析先求出三人合做一天完成这件工程的几分之几•再求三人合做需要多少天完成.解1+ [（¥ + + +需）十2]= 5 天）.答甲、乙.丙三人合做需要5器天完成.冷＜2卩一项工作，甲、乙合做要12天完成•若甲先做3天后，再由乙工作8天，共完成这件工作的卷如果这件工作由甲、乙单独做•甲需要多少天？乙需要多少天？分析把甲先做3天后再由乙工作8天共完成这件工作的立•看作甲、乙合作3天再由乙单砂做5天“完成这件T作的寻•又这件工作甲、乙台做要12夭完成"则甲、乙合做1天完成这件工作的越3天完成这件工作的备x 3 =与前述进行比较知•乙5 天完成这件工作的5 1 1———■12 4 6-解乙单独完成这件工作的天数「壬（辛*5）=30（天儿甲单独完成这件匸作的天数士 1 -=-（吉一点）=20（天）.答这件工作由甲、乙单独做•甲需要20夭，乙需宴30天.亠（】）做一件工程•甲独做需要12小时完成，乙独做需要］8小时兀成■甲、乙合做1小时肩，然后由甲工作1小时，再由乙工作］小时两人如此交替工作'完成任务还需多少时间？<2）加工一批零件'甲、乙两人合做］小时势完成了这批零件的器乙、丙两人接着生产1小时•又完成了為甲、丙又合做2小时，完成了剩下的任务.甲•乙、丙三人合做■还妄多少小时完成？'?晅»有—水池，装有甲、乙两个注水管.下面装有丙管放水■池空时•单开卬管5分钟可注满.单开乙管10分钟可注满；水池装潢水肩.单开丙管15分钟可将水放完.如果在池空时•将甲、乙、丙三管齐开分钟启关闭乙管*还要多少分钟可注满水池？分析三管齐开2分钟肩的T作量是1 —（辛+吉一吉）x2.*［1_（言+壽_養餐2］斗（吉一吉）="分九答2分钟后关闭乙管.还妄4分钟可注满水池.密一份穡件.甲单独打字需6小时完成•乙单独打字需K）小时完成.现在甲单独打若干小时后•因有事由乙接着打完，共用了7小时.那么甲打字用了多少小时？分析乙7小时共打字盖幻=岳送样就差—磊=磊的稿件.因此甲每小时比乙多打全部稿件的吉一霁=磊*磊*点=4号（小时人*答甲打字用了4寺小时2再单独做4夭•还剩下这项工程的着没有完成，求甲、乙两队工作效卒之比.（2）甲、乙两项工程分别由一*二队来完成.在晴天•一队完成甲工程需要12天，二队完成乙工程需姜15天卡在雨天”一队的工作效率要下降40%•二队的工作效率耍下降10%.结果两队同时完成这两项工程•那么•在施工的日子卑•雨天有多少天？g；有卬、乙两项工程•张师傅单独完成甲丁程需寰9天，单独完成乙1 [程需要12天；王师傅单独完成甲工程需要3天. E独完成乙H 程需要15天.如果两人合作完成这两项丁程.最少需要多少天？分折由题目条件知，王师傅擅长做甲工程，所以让王师傅先做甲丁程，张师傅先做乙工程.等王师傅做完甲工程再和张师傅做乙工程.解3+（】_誇）+（吉+養）=3十5 = 8（天》.答两人合作完成这两项工程，堆少需要8天.0 <34某地要修筑-条公路，甲丁•程队单独干需要io天完成，乙工程队单独干需要15天完成*如果两队合作*他们的工作效率就要降低■甲队只能完成原来的壬，乙队只能完成原来的壽.现在if划8天完成这项工程，且要求两队合作天数尽可能少*那么两队要合作多少天？分析根据题意•甲、乙及甲.乙合做的工作效率分别为霁、1 tJL 1 4 1 9 7运及10X J +l5X l0 =50*此3种情况中乙的效率最低，甲、乙合做的效率最高，要使甲、乙合作天数尽可能的少.则必须甲尽可能地多做.如果全是甲做怡天可完成磊X8 =磊=£的工作虽尚有*的匚作没有完成■这部分工作要由甲、乙合做比甲多做的部分来完成.* （1~]^x8h（io x f+n x w~^）1 2=1■十韵=5（天〉.答两队要合作5天.(1) 一项工程•甲、乙合做全工程的晋^剩下的由甲单独完成. 甲一共做了10.5天”这项工程由甲单独做需要15天，如果由乙单独做•需要多少天？(2) 师徒三人合作承包一项工程显天能够全部完成.已知师傅单•独做所需的夭数与两个徒弟合作做所需的天数相等宇而师傅与乙徒第合作做所需的天数的2倍与甲徒弟单独做完所需的天数相等•那么甲徒弟单独做，完成这项丁程需要多少天？乙徒弟单独做,完成这项工程需要多少天？练习题1 完成一项工作"噩耍甲队干5天，乙队干6天•或者甲队干7 天•乙臥干2天.如果甲.乙两队独立完成该工程各需多少天？O 一个水池•甲.乙两个水管同时打开击小时可以灌满水池：若甲管打开8小时后关闭+然后打幵乙管，再工作3小时也可以灌满水池.问：甲管先工作2小时后关闭,乙管再工作儿小时可以港满全水池？3 一件工作甲5小时完成了吉”乙£小时完成了剩下的一半，余T的部分由甲、乙合作，还需要多少小时？O 甲、乙合作完战一项工作，由于配合得好舟甲的工作效率比单独做时提高壽■乙的工作效率比单独做时提高+•甲.乙合作6小时完成了这项任务.如果甲单独做需羹H小时，那么乙单独做需要多少小时？5某工程如果由第一、二、三小队合干，需12天才能完成；由第一.三、五小队合干，需7天才能完成*由第二、四.五小队合干•需圧天才能完成*曲第一、三、四小队合干•需42天才能完成■那么这五个小队一起合干，需要多少天才能完成这项工程？0 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作•甲T：地的「作绘是乙工地工作址的L5倍.上午去甲工地的人数是去乙匚地人数的3倍■下午这批工人中有召的人去甲工地•其他工人到乙工地.到傍晚时•甲工地的工作已做完农乙工地的工作还需4名工人再做1天・那么，这批工人有多少人？。

第5讲 工程问题【学习目标】1、复习工程问题；2、熟悉小升初的常见题型。

【知识梳理】1、基础公式：（1）工作量=工作效率×工作时间；（2）工作时间=工作量÷工作效率；（3）工作效率=工作量÷工作时间。

2、常用方法：（1）分工法；（2）比例法。

【典例精析】1、修一条公路，计划每天修60米，实际每天多修15米，结果提前4天修完，一共修了多少米？60×4÷15=16(天）(60+15)×16=1200(米）2、有一批零件由甲、乙两人合作完成，原计划甲比乙多做50个，结果乙实际做的比计划少70个，比甲实际做的总数的53多10个，这批零件共有多少个？ 70×2+50=190(个）(190+10)÷(1-53)=500(个） 500-190+500=810(个）3、一项工程，甲单独做40天完成，乙单独做60天完成。

现在两人合作，中间甲因病休息了若干天，所以经过27天才完成。

甲休息了多少天？27-22=5(天）4、单独完成某路段维修工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。

开始三个队一起开工，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。

问：甲队实际工作了几天？5、加工一批零件，甲、乙两人合作需要12天完成，现在由甲先做3天，然后由乙做2天，还6、加工一批服装，原计划甲、乙两车间在25天合作完成，甲、乙合作10天后，甲单独做8天，接着乙又单独做14天，这样共完成全部任务的81%,已知甲比乙每天多做10套，求计划加工多少套服装？7、甲、乙、丙合作一项工程，4天干了整个工程的31,这4天内，除丙外，甲休息了2天，乙休息了3天，之后三人合作完成，甲的效率是丙的3倍，乙的效率是丙的2倍，问工程前后一共用了多少天？解：设丙的工效是x ，4+4=8(天）8、甲、乙、丙三人去完成植树任务，已知甲植1棵树的时间，乙可以植2棵树，丙可以植3棵树，他们先一起工作了5天，完成全部任务的31,然后丙休息了8天，乙休息了3天，甲没休息，最后一起完成任务。

工程问题基础授课时间：年月日一、知识要点与行程问题类似，工程问题也有如下公式：工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作时间＝工作效率工作总量÷工作效率＝工作时间这是工程问题最为基本的关系式，同学们必须熟练掌握！问题中，经常无法从题目中找到工作总量，此时可以把工作总量设为单位“1”例如：一个工程队51”那么工”就是这个工程队的工作效率。

所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量。

练一练·张师傅要完成120个零件，他预计6小时完成，那么，张师傅的工作效率是，如果张师傅依此效率做了3个小时，那么他做完了个零件，完成了全部工作的分之。

·李师傅要完成一批零件，他预计6个小时完成了整个工作，则以这批零件的总量为单位“1”，李师傅的工作效率是，如果李师傅工作了2个小时，那么他完成了全部工作的分之。

·明明用了10个小时完成了写大字的作业，那么明明3个小时能完成作业的分之，如果这时他写好了30个大字，那么他总共要写个大字。

·吃饭的时候，妈妈给乐乐盛了一碗米饭，乐乐发现自己用了5分钟就吃掉了半碗，如果以一碗米饭为单位“1”，那么乐乐吃米饭的效率是。

那么乐乐分钟就能吃掉这碗米饭。

·阿呆和阿瓜两个人打扫屋子，阿呆自己打扫50分钟能打扫完，阿瓜75分钟能打扫完，那么阿呆每分钟能完成全部工作的分之，阿瓜每分钟能完成全部工作的分之，如果两个人同时工作的话，那么每分钟能完成全部工作的分之。

当多人合作的时候，单位时间内完成的工作总量就是这些人工作量的总和，那么多人合作时的“总工效”就是他们的“工效和”。

二、精讲精练例1 一条公路，甲队单独去修需要20天完成，乙队单独去修需要30天完成，那么：（1）甲、乙两队一起修，共需要多少天完成？（2）如果甲、乙两队合修若干天之后，乙队停工休息，而甲队继续修5天才修完，那么乙队一共修了多少天？练习1：中央电视台正在进行3·15晚会的筹备工作，甲工作组单独来做需要12天完成，乙工作组单独做需要15天完成，丙工作组单独做需要20天完成，现在甲、乙两个工作组共同工作了5天之后去做其他的工作，剩下的筹备工作由丙工作组单独做，那么还需要多少天才能完成筹备工作？例2 有一条公路，甲队独修需10天，乙队独修需12天，丙队独修需15天，现在让3个队合修，但中间甲队有别的任务离开了，结果用了6天才把这条公路修完，当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了多少天才完成？练习2：一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要15天完成，丙单独做需要20天完成，那么三个人共同做需要多少天才能完成？中间的时候甲有其他的任务离开了，结果用了6天才把工作完成，那么甲工作了几天？例3 一项工程，乙单独做要14天完成；如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，需要9天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，会比上次轮流的做法多用多少天？练习3：一份文稿，甲单独打完需要8个小时，现在乙来和甲一起打，如果第一个小时甲打字，第二个小时乙打字，接着一个小时甲打字，......，那么需要7个小时就能完工，如果第一个小时乙打字，第二个小时甲打字，接着一个小时乙打字，......，这样会比原来快多少小时？例4 有一批待加工的零件，甲单独做需要4天完成，乙单独做需要5天完成，如果两人合作，那么完成任务时甲比乙多做了20个零件，这批零件共有多少个？练习4：有一批零件需要加工，甲单独做需要5小时完成，乙单独做需要8小时完成，现在两人开始合作，3小时后甲比乙多做了9个零件，那么两人目前一共加工了多少零件？※例5 有一批资料需要复印，甲机单独复印要11小时，乙机单独复印要13小时，现在甲、乙两台复印机同时工作，由于相互有些干扰，每小时两台机器共少印28张，结果用6小时15分钟印完。

18.工程问题知识要点梳理一、基本概念1．工程问题：做某件事，制造某种产品，完成某项任务或工程等，都叫做工程问题。

2．工程问题的三个基本量是工作效率、工作时间和工作总量。

（1）工作效率：单位时间内完成的工作量，它是衡量一个人工作快慢的量。

（2）工作时间：完成工作总量所需的时间。

（3）工作总量：完成一项工作的总量。

一般都是把工作总量看做单位“1”。

二、基本数量关系1．一般公式：工作总量＝工作效率×工作时间工作效率＝工作总量÷工作时间工作时间＝工作总量÷工作效率甲工效＋乙工效＝甲乙合作工效之和特别注意：工作量和工作效率都可以直接相加求和，但工作时间不能。

2．巧解工程问题：一般不知道工作总量的时候，我们常常用假设法求解。

我们把工作总量假设为单位“1”，这个巧解方法的公式有：（1）一般给出工作时间，工作效率＝1工作时间。

（2）一般给出工作效率1a，就可以知道工作时间为a。

三、基本方法算术方法、比例方法、方程方法。

考点精讲分析典例精讲考点1 简单的工程问题【例1】一件工作，甲单独10天完成，乙单独15天完成，甲乙合做（）天完成。

【精析】根据题意，把这件工作总量看作单位“1”，甲的工作效率是110，乙的工作效率是115，甲、乙的工作效率和是110+115，再用工作总量除以工作效率和就等于合作的工作时间。

【答案】 把这件工作总量看作单位“1”， 1÷(110+115)=1÷3+230=1÷16=6（天）【归纳总结】 此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，要求甲乙合做需要多少天可以完成，应求出甲乙工作效率和。

考点2 合作工程问题【例2】 一件工作，甲、乙合作需4小时完成，甲、丙合作需5小时完成，乙、丙合作需6小时完成，乙单独做这件工作需多少个小时完成？【精析】 首先把这件工作看作单位“1”，根据工作效率＝工作量÷工作时间，分别求出甲乙、甲丙、乙丙的工作效率，再把它们求和，即可求出三人的工作效率之和的2倍，进而求出三人的工作效率之和是多少；然后用三人的工作效率之和减去甲丙的工作效率，求出乙的工作效率；最后根据工作时间＝工作量÷工作效率，用1除以乙的工作效率，求出乙单独做这件工作需多少个小时完成即可。

尹老师奥数----小升初班工程问题工程问题，究其本质是运用分数应用题的量率对应关系，即用对应分率表示工作总量与工作效率，这种方法可以称作是一种“工程习惯”，这一类问题称之为“工程问题”。

⑴解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用公式：工作效率×工作时间=工作总量，表示出各个工程队（人员）或其组合在统一标准和单位下的工作效率。

⑵利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等。

抛开“工作总量”，和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案，一般情况下，工程问题求的是时间。

对一些有循环周期的工程问题，要注意弄清一个周期的工作量，还要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间。

【工程问题知识点】一：基本数量关系：1.工效×时间=工作总量 2.工作效率=工作总量÷工作时间 3.工作时间=工作总量÷工作效率二：基本特点：设工作总量为“1”，工效=1/时间三：基本方法：算术方法、比例方法、方程方法。

四：基本思想：分做合想、合做分想。

五：类型与方法：一：分做合想:1.合想,2.假设法,3.巧抓变化(比例),4.假设法。

二：等量代换：方程组的解法→代入法，加减法。

三：按劳分配思路：每人每天工效→每人工作量→按比例分配四：休息请假：方法：1.分想：划分工作量。

2.假设法：假设不休息。

五：休息与周期： 1.已知条件的顺序：①先工效，再周期，②先周期，再天数。

2.天数：①近似天数，②准确天数。

3.列表确定工作天数。

六：交替与周期：估算周期，注意顺序！七：注水与周期：1.顺序，2.池中原来是否有水，3.注满或溢出。

八：工效变化。

九：比例：1.分比与连比，2.归一思想，3.正反比例的运用，4.假设法思想(周期)。

十：牛吃草问题：1.新生草量，2.原有草量，3.解决问题。

【工程问题公式】基本公式：①工作总量=工作效率×工作时间②工作效率=工作总量÷工作时间③工作时间=工作总量÷工作效率为了讨论方便，我们将工程问题分为几大类Ａ．一队工程B．多人／多队①量效对应（单位１）②假设法③比例法④方程法（１，２,３,４只是一种方法）C．给排水 D．周期工程Ｅ．最佳配置 B Ｆ．按劳报酬 G．工效变化 H.牛吃草问题【Ａ．一队工程】例题１：一车运矿石，晴天每天运20次，雨天每天运12次，一共运了112次，平均每天14次，这几天有几天下雨？解：假设没下雨【20×（112÷14）-112】÷（20-12）=6例2：修一条公路，计划每天修60米，实际每天比计划多修15米，结果提前4天完成，公路一共多少米解1：按正常修，提前4天要修60×4=240，实际修的天数240÷15=16 计划天数16+4=20 公路长20×60=1200解2：每天修60+15=75，若按正常天数多修75×4=300 实际修的天数300÷15=16 计划天数16+4=20 公路长20×60=1200【B．多人／多队】①量效对应（单位１）1、一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？解：设这项工程为1个单位，则甲乙合作的工作效率为1/12，乙丙合作的工效为1/15，甲丙合作的工效为1/20，因此甲乙丙三队合作的工效的为(1/12+1/15+1/20)÷2=1/10，因此三队合作完成这项工程的时间为：1÷1/10=10 （天）2．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。

工程问题学生姓名年级学科授课教师日期时段核心内容工作效率、工作时间、工作总量课型一对一教学目标1、使学生认识工程应用题的特点，初步掌握它的解答方法，理解解题思路；2、培养学生猜测、观察、推理等能力，培养学生的创新意识及合作能力；3、加强数学和学生生活实际的联系，使学生体验到数学就在身边，对数学产生兴趣。

重、难点1、工程问题的数量关系特征及解法；2、把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。

课首沟通提问，让学生回顾以前学过的工程问题的三种量，包括它们之间的三种关系式，让学生举一个工程问题的例子，并指出例子中的三个量各是什么。

课首小测1.修一段30千米的公路。

甲队独做10天完成，乙队独做15天完成，两队合做几天可以完成？2.修一段公路。

甲队独做10天完成，乙队独做15天完成，两队合做几天可以完成？3.（广州市大联盟小升初试题）修路队修一条公路，计划每天修105米，450天完成，如果要提前30天完成，那么实际每天要修多少米？4.张师傅t小时加工m个零件．那么m÷t表示( )；t÷m表示( )知识梳理在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫它们做“工程问题”.工程问题应用题一般公式：工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作时间=工作效率工作总量÷工作效率=工作时间用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：工作总量÷工作时间=工作效率（单位时间内完成工作总量的几分之几）；工作总量÷工作效率=工作时间导学一知识点讲解 1工作总量是具体量，运用工程问题一般公式解决实际问题。

例 1.（中大附中小升初试题）筑路队计划30天修路1500米，实际每天修路的米数是原计划每天修的1.2倍，这样可提前几天完成？【学有所获】做此类我们应先从出发，已知根据公式可求，再求，根据公式最后求。

例 2.（广州市番禺执信中学小升初试题）电视机厂试制一批新产品，原计划每天生产40台，30 天完成，实际每天比计划增产25％，实际多少天完成?例 3. [单选题] （中大附中小升初试题）一个水利工程队用6辆汽车运石头，每天可以运96吨，后来又增加了同样的汽车3辆，求每天可以多运石头多少吨？下列算式中错误的是。

六年级数学上册工程问题知识点一、定义工程问题是一个经典的数学问题，它主要涉及到工作效率、工作时间和工作总量之间的关系。

工程问题的基本公式是：工作总量= 工作时间×工作效率。

二、工作效率工作效率是单位时间内完成工作的量。

它通常用一个比值来表示，例如，一个人在一天内完成一项工作的1/3，那么他的工作效率就是1/3。

三、工作时间工作时间是指完成一项工作所需的总时间。

它通常用一个时间单位来表示，例如小时、天等。

四、工作总量工作总量是指一项工作的总完成量。

它通常用一个具体的数值来表示，例如修建一座桥梁的总工程量。

五、工程问题的解题思路1. 识别问题：首先需要明确问题的类型，是工程问题还是其他类型的问题。

2. 定义变量：确定工作效率、工作时间和工作总量等变量。

3. 建立数学方程：根据基本公式建立数学方程，表示出工作效率、工作时间和工作总量之间的关系。

4. 解方程：解方程以找出未知的变量。

5. 整合答案：将解出的变量代入原方程，得出最终答案。

六、例题解析例题：一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要8天完成。

如果两队合作，他们需要多少天完成这项工程？解析：我们可以设工程总量为1，则甲队的工作效率为1/10，乙队的工作效率为1/8。

如果两队合作，那么他们的工作效率就是两队效率的和，即(1/10 + 1/8)。

根据基本公式，我们可以建立方程：工作总量= 工作时间×工作效率，即1 = 时间×(1/10 + 1/8)。

解方程可以得到时间=4天。

所以，两队合作需要4天完成这项工程。

七、练习题1. 一项工程，甲队单独做需要6天完成，乙队单独做需要4天完成。

如果两队合作，他们需要多少天完成这项工程？2. 一项工程，甲队单独做需要12天完成，乙队单独做需要8天完成。

如果两队合作，他们需要多少天完成这项工程？八、总结工程问题是一个经典的数学问题，它主要涉及到工作效率、工作时间和工作总量之间的关系。

第4讲工程问题一、基础篇工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。

这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。

解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。

工作量＝工作效率×工作时间工作时间＝工作量÷工作效率工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）变通后可以利用上述数量关系的公式。

例1、一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，在两队合作，需要几天完成例2、一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。

现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个例3、某项工程，可由若干台机器在规定的时间内完成，如果增加2台机器，则只需用规定时间的78就可做完；如果减少2台机器，那么就要推迟23小时做完，现问：由一台机器去完成这项工程需要多少时间例4、一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。

当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管随堂练习1、一件工作，甲干6天，乙接着干5天可以完成；或者甲干2天，乙接着干7天也可以完成，甲乙合作多少天可以完成2、加工同种零件，甲干6小时，乙干9小时可以完成任务，如果甲干2小时，乙干6小时两人只能完成任务的一半，如果甲乙单独完成任务各需多少小时3、一步书稿，甲先打10天后，由乙接着打10天可以完成，如果甲先打4天后余下的乙接着打25天可以完成，这边书稿，如果由甲单独打要多少天4、一项工程，甲独做24小时完成，乙独做36小时完成，现要求20小时完成，并且要求两人合作的时间尽可能的少，那么甲乙合作多少小时5、有甲乙两项工作，张单独完成家工作要10天，单独完成乙工作要15天，李单独完成甲工作要8天，单独完成乙工作要20天，如果；两项共组都可以由两人合作，那么两项工作都完成最少要多少天6、有甲、乙两项工作，张师傅单独完成甲工作要9天，单独完成乙工作要12天，王师傅单独完成甲工作要3天，单独完成乙工作要15天，如果每项工作都可以由两人合作，那么两项工作都完成最少要多少天巩固练习1、单独干某项工程，甲队需20天完成，乙队需30天完成。

工程问题知识点六年级工程问题在数学中是一个重要的领域，它涉及到将数学概念应用于解决实际问题。

对于六年级的学生来说，工程问题通常包括但不限于计算面积、体积、速度、距离和时间等。

以下是一些工程问题的基本知识点，可以帮助学生在解决相关问题时更加得心应手。

一、面积的计算在工程问题中，面积的计算是基础。

学生需要掌握不同几何图形的面积计算方法，例如：- 矩形面积 = 长× 宽- 三角形面积 = 底× 高÷ 2- 圆形面积= π × 半径²二、体积的计算体积的计算对于理解三维空间非常重要。

学生需要了解不同几何体的体积计算公式：- 长方体体积 = 长× 宽× 高- 圆柱体体积= π × 半径² × 高- 球体体积= 4/3 × π × 半径³三、速度、距离和时间的关系在工程问题中，经常需要解决与速度、距离和时间相关的问题。

学生需要掌握以下关系：- 速度 = 距离÷ 时间- 距离 = 速度× 时间- 时间 = 距离÷ 速度四、单位换算在解决工程问题时，单位换算是一个常见的任务。

学生需要熟悉不同单位之间的转换关系，例如：- 米和厘米：1米 = 100厘米- 千克和克：1千克 = 1000克- 升和毫升：1升 = 1000毫升五、比例和比例尺在绘图和设计中，比例和比例尺的使用是必不可少的。

学生需要理解比例尺的概念，并能够使用它来计算实际尺寸：- 比例尺 = 图上距离÷ 实际距离- 实际距离 = 图上距离÷ 比例尺六、简单的机械原理对于稍微复杂一些的工程问题，学生可能需要了解一些基本的机械原理，比如杠杆原理、滑轮系统等，以及它们在实际应用中的作用。

七、实际应用将所学知识应用于实际问题是工程问题教学的最终目标。

学生应该能够将数学概念与现实世界的问题联系起来，比如计算建筑的面积、设计简单的机械装置等。

六年级数学上册工程问题公开课一、基础工程问题（单人工作）1. 一项工程，甲单独做8天完成，甲每天完成这项工程的几分之几？- 解析：把这项工程看作单位“1”，工作效率 = 工作总量÷工作时间。

甲单独做8天完成，那么甲每天完成1÷8=(1)/(8)。

2. 乙单独做一项工程需要10天，乙3天完成这项工程的几分之几？- 解析：乙的工作效率是1÷10=(1)/(10)，那么乙3天完成的工作量为(1)/(10)×3=(3)/(10)。

3. 丙每天能完成一项工程的(1)/(12)，丙完成这项工程需要多少天？- 解析：工作时间 = 工作总量÷工作效率，把工作总量看作单位“1”，丙每天完成(1)/(12)，则完成这项工程需要1÷(1)/(12)=12天。

二、基础工程问题（两人合作）4. 一项工程，甲单独做6天完成，乙单独做9天完成。

甲乙合作，每天完成这项工程的几分之几？- 解析：甲的工作效率是1÷6=(1)/(6)，乙的工作效率是1÷9=(1)/(9)。

甲乙合作每天完成(1)/(6)+(1)/(9)=(3 + 2)/(18)=(5)/(18)。

5. 甲单独做一项工程需要12天，乙单独做需要15天。

甲乙合作4天完成这项工程的几分之几？- 解析：甲的工作效率为(1)/(12)，乙的工作效率为(1)/(15)，甲乙合作的工作效率为(1)/(12)+(1)/(15)=(5+4)/(60)=(3)/(20)。

那么合作4天完成的工作量为(3)/(20)×4=(3)/(5)。

6. 一项工程，甲每天完成(1)/(8)，乙每天完成(1)/(10)，甲乙合作多少天可以完成这项工程？- 解析：甲乙合作的工作效率为(1)/(8)+(1)/(10)=(5 + 4)/(40)=(9)/(40)。

工作时间 = 工作总量÷工作效率，把工作总量看作单位“1”，则需要1÷(9)/(40)=(40)/(9)天。

✧ 工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。

✧ 在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量=工作效率×工作时间,工作时间=工作量÷工作效率,工作效率=工作量÷工作时间.✧ 工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可以是部分工程量，常用分数表示，例如:工程的一半表示成12，工程的三分之一表示成13✧ 工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。

单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。

✧ 工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。

但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。

例1 单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。

甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？练习1 某工程甲单独干10天完成，乙单独干15天完成，他们合干多少天才可完成工程的一半？例2 某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。

如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。

问：甲队干了多少天？练习2 某工程甲队单独做需48天，乙队单独做需36天。

甲队先干了6天后转交给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了10天，将工程做完。

求乙队在中间单独工作的天数。

例3 单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。

开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。

问：甲队实际工作了几天？练习3 甲、乙、丙三人合修一围墙.甲、乙合修6天修好围墙的13,乙、丙合修2天修好余下的14,剩下的三人又合修了5天才完成.共得工资180元,按各人所完成的工作量的多少来合理分配,每人分别得多少钱？例4一批零件，张师傅独做20小时完成，王师傅独做30小时完成。

如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。

这批零件共有多少个？练习4修一段公路，甲队独做要用40天，乙队独做要用24天。