第8讲四边形动点问题

四边形动点问题解题技巧引言四边形动点问题是数学中常见的一个问题，也称为四边形运动几何问题。

它涉及到一个四边形，其中三个顶点是固定不动的，而第四个顶点在运动当中。

本文将介绍四边形动点问题的基本概念和解题技巧，以帮助读者更好地理解和解决这类问题。

基本概念在开始讨论四边形动点问题之前，我们先来了解一些基本概念：1.四边形：四边形是由四个线段连接在一起形成的几何图形。

它有四个顶点和四条边。

2.动点：动点是指在一定时间内位置发生改变的点。

在四边形动点问题中，通常涉及到一个顶点作为动点，其位置会随着时间的变化而变化。

解题技巧解决四边形动点问题的关键是要能够分析和利用几何图形的性质。

以下是一些常用的解题技巧：折线法折线法是解决四边形动点问题的常用方法之一。

具体步骤如下：1.根据题目所给条件，确定四边形的固定顶点和动点。

2.假设动点在某一时刻位于四边形的某个位置，通过分析几何性质，确定其他顶点和边的位置。

3.根据动点随时间的变化，得出四边形其他顶点和边的变化规律。

4.利用求解几何图形的方法，求出动点的运动轨迹。

5.根据题目要求，确定动点的最终位置或特性。

共线关系在解决四边形动点问题时，有时可以利用共线关系来简化求解过程。

当四边形的三个固定顶点及其对应的边共线时，可以利用相似三角形的性质来求解动点的位置。

各种特殊情况的考虑在解决四边形动点问题时，有时需要考虑一些特殊情况，如四边形退化为三角形的情况、四边形退化为直线的情况等。

针对不同的特殊情况，需要采取相应的分析方法和解题技巧。

解题示例下面通过一个具体的例子来演示如何应用解题技巧解决四边形动点问题。

例题：一个矩形的两个对角线交于点O，其中一个顶点A固定不动，另一个顶点B在矩形的一侧边上以一定速度向下移动。

求矩形的另外两个顶点C和D的运动轨迹。

解答： 1. 设矩形的高为h，宽为w，动点B的初始位置为(0, h)。

2.假设动点B的坐标为(x, y)，根据矩形的性质，可以确定顶点C和D的坐标：–顶点C的坐标为(x+w, y)；–顶点D的坐标为(x+w, y-h)。

动态几何问题--------动点问题（四边形动点专题）【动态几何问题的特点】动态几何是以几何知识和几何图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题；用运动的观点研究几何图形中图形的位置、角与角、线段与线段之间的位置及大小关系。

几何图形按一定的条件进行运动，有的几何量是随之而有规律地变化的，形成了轨迹和极值；而有的量是始终保持不变，也就是我们常说的定值。

动态几何就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的 “变”与“不变”性；动态几何问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵活、多变，动中有静，动静结合，能够在运动变化中发展空间想象能力，综合分析能力，是近几年中命题的热点。

【动态几何问题的解决方法】解决动态几何题，通过观察，对几何图形运动变化规律的探索，发现其中的“变量”和“定量”。

动中求静，即在运动变化中探索问题中的不变性；动静互化，抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动与静”的关系；这需要有极敏锐的观察力和多种情况的分析能力，加以想象、结合推理，得出结论。

解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动。

解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系.【动态几何问题的分类】动态几何问题是以几何图形为背景的，几何图形有直线型和曲线型两种，那么动态几何也有直线型的和曲线型的两类，即全等三角形、相似三角形中的动态几何问题，也有圆中的动态问题。

有点动、线动、面动，就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动等。

根据其运动的特点，又可分为：（1）动点类（点在线段或弧线上运动）也包括一个动点或两个动点；（2）动直线类；（3）动图形问题。

【典型例题】例1.如图，在梯形中，ABCD 动点从点出发沿线段3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，，∠．M B 以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段BC C N C 以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．CD D t （1）求的长；BC （2）当时，求的值；MN AB ∥t （3）试探究：为何值时，t MNC △CB例2. 已知：等边三角形的边长为4厘米，长为1厘米的线段在ABC MN 的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动（运动开始时，点ABC △AB AB B 与点重合，点到达点时运动终止），过点分别作边的垂线，M A N B M N 、AB 与的其它边交于两点，线段运动的时间为秒．ABC △P Q 、MN t （1）线段在运动的过程中，为何值时，四边形恰为矩形？并求出MN t MNQP 该矩形的面积；（2）线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的时间MN MNQP S 为．求四边形的面积随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量t MNQP S t 的取值范围．t 例3.如图，在等腰梯形中，∥，,AB =12 ABCD AB DC cm BC AD 5==cm,CD =6cm , 点从开始沿边向以每秒3cm 的速度移动，点从开P A AB B Q C 始沿CD 边向D 以每秒1cm 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。

四边形中的动态问题图形中的点、线的运动，构成了数学中的一个新问题——动态几何。

它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。

在解这类题时，要充分发挥空间想象的能力，往往不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。

例1、Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上。

令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动，直到C点与N点重合为止。

设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式？例练、菱形OABC的边长为4cm，∠AOC=600，动点P从O出发，以每秒1cm的速度沿O-A-B路线运动，点P出发2秒后，动点Q从O出发，在OA上以每秒1cm的速度运动，在AB上以每秒2cm的速度沿O-A--B运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线，设P点运动的时间为x秒，这两条平行线在菱形上截出的图形的周长为ycm，问当x为多少时，周长y可能为一个定值，定值为多少？四边形动点问题(一)1.（1）如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论.2.已知等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EF∥AB，分别交AC，BC于E，F点，作PM∥AC，交AB于M点，连接ME．（1）求证：四边形AEPM为菱形；（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？3. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．（1）当x的值为时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；（2）当x的值为时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．4. 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD=，∠B=45°．直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于．5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t= 时，四边形MNCD是平行四边形．（2）当t= 时，四边形MNCD是等腰梯形6.如图，在ΔABC中，D是BC的中点，BC=10㎝,AD=7㎝,从点A沿着A→D的方向运动，速度是每秒2㎝，连结CE,BE,过点B作BF∥CE,交射线AD于点F,设运动时间为t秒（0<t<3.5）（1）求证：ΔBDF≌ΔCDE（2）当t为何值时，四边形BFCE是矩形，说明理由（3）若四边形BFCE是矩形，当AB和CA满足什么条件时，四边形BFCE是正方形。

四边形中的动点问题动点问题是初中数学中常见的问题之一。

这种问题涉及到一些物体或点在平面或空间中的运动轨迹，从而引发一系列有趣的问题。

本文将重点讨论四边形中的动点问题。

一、定义四边形是一个拥有四个端点并且每个端点有两条相邻的边相连的图形。

在四边形中，如果一些点在边界或内部移动，我们称这些点是动点。

二、基本问题四边形中的动点问题主要有三个基本问题：1. 四边形内任取一个动点，这个点的移动轨迹是什么？2. 四边形内任取两个动点，它们的运动是否有任何联系？3. 四边形内任取三个动点，它们是否存在特殊的位置关系？三、解决方法1. 关于第一个问题，我们可以采用向量法、坐标法、三角函数法等不同的方式来解决。

其中最常用的方法是向量法，即用向量表示动点在平面内的位置，并利用向量的加减法来求得动点的移动轨迹。

比如，对于任意一边AB，在边AB上取一点C，设动点P的向量表示为向量a，向量AC表示为向量b，则P点在AC向量上的投影可以表示为向量b’。

而向量a’可以表示为由向量b’平移而来的向量，其中平移的大小和方向取决于向量b和a之间的夹角。

2. 第二个问题比较复杂，需要利用向量叉乘、双曲线函数等高深的数学知识来解决。

一般来说，我们需要找到两个动点之间的代数关系式，再根据这个关系式来判断它们是否有联系。

比如，如果我们发现两个动点在一条直线上运动，则它们存在一定的约束条件，这个约束条件可以用向量叉乘来表达。

3. 第三个问题则是考验计算几何能力的问题。

一般来说，我们需要找到一种不变量来描述三个动点之间的特殊位置关系。

比如，如果我们发现这三个动点共线，则我们可以通过向量叉乘或线性方程组来计算它们的位置关系。

如果我们发现这三个点可以构成一个三角形，则我们可以通过三角形的几何性质来判断它们的位置关系。

如果我们发现这三个动点可以构成一个正方形或者矩形，则我们可以通过它们的对角线、边长、面积等几何参数来计算它们的位置关系。

四、典型例题1. 在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且AE=CF。

四边形的动点问题1、如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4）， 点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． （1）求直线AC 的解析式；（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值．2、如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为 ；（2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．OE CBDAαlOCBA（备用图）3、如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.4、 如图，在平行四边形ABCD 中，AD=4cm ，∠A=60°，BD ⊥AD.一动点P 从A 出发，以每秒1cm 的速度沿A→B→C 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM ⊥AD.1．当点P 运动2秒时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求△APE 的面积；2．当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A→B 的路线运动，且在AB 上以每秒1cm 的速度匀速运动，（当P 、Q 中的某一点到达终点，则两点都停止运动.）过Q 作直线QN ，使QN ∥PM ，设点Q 运动的时间为t 秒（0≤t≤8），直线PM 与QN 截平行四边形ABCD 所得图形的面积为S （cm2）. （1）求S 关于t 的函数关系式；（2）求S 的最大值.A D EB FC 图4（备A D EB FC 图5（备ADE BF C 图1 图2 A D E B F C P NM图3 A D E B F C P N M （第25题） 分两种情况：（1）①当P 、Q 都在AB 上运动时，PM 、QN 截平行四边形ABCD 所得的图形永远为直角梯形.此时0≤t≤6.②当P 在BC 上运动，而Q 在AB 边上运动时，画出相应图形，所成图形为六边形DFQBPG.不规则图形面积用割补法.此时6＜t≤8.5、如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD 的边AD 在x 轴上，点A 在原点，AB ＝3，AD ＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x 轴正方向作匀速运动．同时点P 从A 点出发以每秒1个单位长度沿A －B －C －D 的路线作匀速运动．当P 点运动到D 点时停止运动，矩形ABCD 也随之停止运动． ⑴求P 点从A 点运动到D 点所需的时间； ⑵设P 点运动时间为t （秒）. 当t ＝5时，求出点P 的坐标；若⊿OAP 的面积为s ，试求出s 与t 之间的函数关系式（并写出相应的自变量t 的取值范围）．6、（嘉兴市秀洲区模拟）一次数学兴趣活动，小明提出这样三个问题，请你解决：（1）把正方形ABCD 与等腰Rt △PAQ 如图（a ）所示重叠在一起，其中∠PAQ =90°，点Q 在边BC 上，连接PD ，求证：△ADP ≌△ABQ ．（2）如图（b ），O 为正方形ABCD 对角线的交点，将一直角三角板FPQ 的直角顶点F 与点O 重合，转动三角板使两直角边始终与BC 、AB 相交于点M 、N ，求证：OM=ON ．（3）如图（c ），将（2）的“正方形”改为“矩形”，其它条件不变，如果AB=4，AD =6，FM=x ，FN=y ，试求y 与x 之间的关系式．图（a ） （第2题图）A B C D ()O F MN （图b ） （图c ） A B C D F M N Q P Q D P C B QA P5.在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 是边BC 上的两点，且BE ＝FC ，DE 与AF 相交于梯形ABCD 内一点O ． (1) 求证：OE ＝OF ；(2) 当EF ＝AD 时，联结AE 、DF ，先判断四边形AEFD 是怎样的四边形，再证明你的结论．8、(2010娄底市一模)已知：如图模1-13，在□ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将△ABE 沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得△GFC .⑴求证：BE =DG ；⑵若∠B =60︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论.中考试卷练习中考数学达标试题14一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．计算：2(3)--的结果是（ ） A ．5B ．1C ．1-D ．5-2．下列计算正确的是（ ）A ．336x x x += B ．236m m m ⋅= C 3223-= D ．14772⨯= 3．下列几何体中，俯视图相同的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④O F E D C B AADGCB F E4．下列函数中，是正比例函数的是( )A ．8y x =-B ．8y x-=C ．256y x =+D ．0.51y x =--5．方程(2)20x x x -+-=的解是（ ） A ．2 B ．2- ，1C ．1-D ．2，1-6．矩形的长为x ，宽为y ，面积为9．则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的l5名运动员的成绩如下表所示： 成绩（m ） 1.501.601.651.701.751.80人数1 2 4 3 3 2这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是( )．A ．1.65，1.70B ．1.70，1.70C ．1.70，1.65D ．3，4 8．在函数1212xy x -=-中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．12x ≠ B ．12x ≤ C ．12x <D．12x ≥9．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（），A ．l20°B ．180°C ．240°D ．300°10．如图，平面直角坐标系中，⊙O 半径长为l ．点P(a ，0)，⊙P 的半径长为2．把⊙P 向左平移，当⊙P 与⊙O 相切时，a 的值为（ ） A ．3 B ．1 C ．1，3 D ．±1，±3二、填空题(共12分)11．不等式26x +> 的解集为_______。

四边形中的动点问题（带答案）四边形中的动点问题1、如图，把矩形ABCD沿 EF翻折，点B恰好落在AD边的B'处，若AE= 2, DE= 6,Z EFB= 60°, 则矩形ABCD勺面积是 _____________________2、如图，在四边形ABCD中对角线ACL BD 垂足为0,点E, F, G, H分别为边AD AB, BC CD 的中点•若AC= 8, BD= 6,则四边形EFGH的面积为3、如图，正方形ABCD勺边长为4,点P在DC 边上，且DP= 1,点Q是AC上一动点，则D® PQ 的最小值为 _____________________4、如图，在Rt△ ABC中，/ B= 90°,AC= 60 cm Z A= 60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D, E 运动的时间是t s(0 < t < 15) •过点D作DF 丄BC于点F,连接DE EF.(1)求证：AE= DF;(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△ DEF为直角三角形？请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm射线AG// BC,点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t. (1)连接EF当EF经过AC边的中点D时，(1)求证：△ ADE^A CDF：6、在菱形ABCD中，/ B=60°,点E在射线BC上运动，/ EAF=60，点F在射线CD上(1)当点E在线段BC上时(如图1)( 1)求证：EC+CF=A； (2) 当点E在BC的延长线上时(如图2),线段EC CFAB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明图1 027、如图，在菱形ABC［中, AB=2 / DAB=60 , 点E 是AD边的中点.点M是AB边上一动点（不与点A重合）,延长ME交射线CD于点N 连接MD AN（1）求证：四边形AMDI是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMD是矩形；②当AM的值为时，四边形AMD是菱形.D8 如图，△ ABC中，点0是边AC上一个动点，过0作直线MN BC 设MN交/ BCA的平分线于点E, 交/ BCA 的外角平分线于点F.(1)探究：线段0E与OF的数量关系并加以证明；(2)当点0运动到何处，且△ ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？(3)当点0在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由.9、如图，已知菱形ABC［中, / ABC=60 , AB=8 过线段BD上的一个动点P (不与B、D重合)分别向直线AB AD作垂线，垂足分别为E、F.(1)BD的长是______ ;(2)连接PC当PE+PF+P(取得最小值时，此时PB的长是_______10、如图，/ MON=9°,矩形ABCD勺顶点A B 分别在边OM ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OMk运动，矩形ABCD勺形状保持不变，其中AB=2 BC=1运动过程中，点D到点O的最大距离为 __________________ .11、如图，已知矩形ABCD AD=4 CD=10 P是AB上一动点，M N E分别是PD PC CD的中点.(1)求证：四边形PMEI是平行四边形；(2)请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN 是菱形；(3)四边形PMEf有可能是矩形吗？若有可能,求出AP的长；若不可能，请说明理由.12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm AC=16cm AC BD相交于点0,若E, F 是AC上两动点，分别从A, C两点以相同的速度向C、A 运动，其速度为0.5cm/s。

四边形动点问题解题技巧
四边形动点问题是指在四边形中，指定一个或多个点 (动点) 的运动方式及方向，求其余点 (定点) 在发展过程中的坐标及对应数量关系的问题。

解决四边形动点问题需要掌握以下技巧:
1. 分析题意：认真阅读题干，了解动点的运动方式、方向及限制条件，提取关键信息，确定解题方向。

2. 建立坐标系：通常是在平面直角坐标系中解决这个问题，需要将动点的位置转化为坐标，以便于应用代数方法解决问题。

3. 建立等量关系：通过分析题目中的限制条件和运动方式，建立动点和定点的等量关系，通常可以用行程问题、角度问题等来表示。

4. 列方程解题：根据等量关系，列出代数方程，求解未知数的值，然后根据题意进行画图、分析、总结。

5. 分类讨论：对于存在角度限制或速度限制等问题的题目，需要进行分类讨论，以确保解答的正确性。

6. 注意细节：在解决问题的过程中，需要注意细节，如动点的速度、方向、持续时间等因素，以免出现不必要的错误。

综上所述，解决四边形动点问题需要有清晰的思路和扎实的数学知识基础，需要善于发现问题的本质，善于运用代数方法解决问题，同时需要注意细节和分类讨论。

8四边形中的动点问题满分晋级阶梯四边形 8 级四边形7级四边形中的动点问题四边形 6 级特殊图形的旋转与正方形弦图平移和几何最值问题春季班春季班春季班第六讲第七讲第八讲漫画释义如法炮制知识互联网题型切片题型切片（两个）对应题目题由动点产生的特殊图例 1，例 2，例 3，练习 1，练习 2，练习3；型目例 4，例 5，例 6，例 7，练习4，练习 5．标由动点产生的函数关系编写思路本讲内容主要分为两个题型，题型一为由动点产生的特殊图形，例题主要是从单动点问题过渡到双动点问题，解决问题的主要策略为以静制动，分类讨论，寻找临界点．对于程度比较好的班级，给出了一个拓展版块，补充了线动及形动问题；题型二为由动点产生的函数关系，该版块重点是线段的含参表示，以及自变量的取值范围，请老师在课上进行重点强调．题型一：由动点产生的特殊图形思路导航我们常见的四边形中的动点问题可以总结为单动点问题与双动点问题．解决问题的主要策略为以静制动，分类讨论，寻找临界点．典题精练【例 1】已知如图：在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，四边形 OABC 是矩形，点 A 、C的坐标分别为A(10，0)、C(0，4)，点 D 是OA的中点，点 P 在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三yCP B角形时，点P 的坐标为．(101 中学初三月考)【解析】 3 ，4 、2，4 或 8 ，4O DAx【例 2】在平行四边形ABCD 中，对角线 AC、 BD 相交于点 O，若 E、F 是 AC 上两动点，分别从A、C 两点以相同的速度1cm/s 向 C、 A 运动．⑴四边形 DEBF 是平行四边形吗 ?请说明理由．⑵若 BD =12cm， AC=16cm ，当运动时间t 为何值时，四边形DEBF 是矩形 ?D C D CFEO OEFA B BADCD CFEOOE FAB A B 【解析】⑴四边形 DEBF 是平行四边形理由：∵ E， F 两动点，分别从A，C 两点以相同的速度向C，A 运动∴AE＝CF∴OE＝OF∴BD、EF 互相平分∴四边形 DEBF 是平行四边形⑵ ∵四边形 DEBF 是平行四边形∴当 BD ＝EF 时，平行四边形DEBF 是矩形∵BD＝ 12cm，∴ EF＝ 12cm∴OE＝ OF ＝6cm∵AC＝ 16cm∴OA＝ OC＝8cm∴AE＝ 2cm 或 AE＝ 14cm∵动点的速度是 1cm/s∴t＝ 2s 或 t＝ 14s【例 3】如图所示，在直角坐标系中，四边形 OABC 为直角梯形， OA∥ BC，BC=14cm ，A 点坐标为（ 16，0）， C 点坐标为（ 0， 2）．点 P、 Q 分别从 C、 A 同时出发，点 P 以 2cm/s 的速度由 C 向 B 运动，点 Q 以 4cm/s 的速度由 A 向 O 运动，当点 Q 停止运动时，点 P 也停止运动，设运动时间为ts 0 ≤ t ≤ 4 ．⑴求当 t 为多少时，四边形 PQAB 为平行四边形？⑵求当 t 为多少时， PQ 所在直线将梯形OABC 分成左右两部分，其中左部分的面积为右部分面积的一半，求出此时直线PQ 的函数关系式．【解析】⑴ ∵ t s 后， BP= 14 2t cm，AQ =4t cm．由y7BP= AQ ，得 142t(s)．4t ， t=73P B∴当 t= s 时， BP= AQ ，又 OA∥ BC，C 3∴四边形 PQAB 为平行四边形．O Qx A⑵∵ C 点坐标为（0， 2）， A 点坐标为（ 16， 0），∴ OC=2 cm ， OA=16 cm ．∴S梯形 OABC =1(OA+BC ) ·OC=1×(16+14)×2=30(cm 2) ．22∵ t s后，PC= 2t cm，OQ= 164t cm，∴S四边形 PQOC =116 4t2162t ．2t2由题意可得 S四边形PQOC=10，∴162t10，解得 t=3s．此时直线 PQ 的函数关系式为 y x 4 ．【探究】四边形中的动态问题【变式 1】如图，在矩形OABC 中，已知点 B 的坐标为 (9， 4)，点 P 是矩形边上的一个动点，若点 E 的坐标为 (5， 0)，且△POE 是等腰三角形，求点P 的坐标？yA P2P1By P3P4A BO E C xO E C x【解析】如图， 3 4，P22,4，P3 2.5,4，P49,3 .P1 ,【探究 2】多动点问题，注意多动点之间的联动情况，然后转化为单动点问题；【变式 2】如图，矩形ABCD 中， B 的坐标为 ( 4 3，4) ，一动点 P 从 O 出发，以每秒 1 个单位的速度，从点O 出发沿 OA 向终点 A 运动，同时动点Q 以每秒 2 个单位的速度从点O出发沿OB向终点B运动 . 过点Q作QE⊥ OB，交AB于点E，连接PE PQ. 设运动时间为t、秒 . 求t为何值时，PE OB.∥yA E BP QO C x16【解析】 PQ=BE 时， PE∥ OB，此时t.7【探究 3】线动问题，线动问题转化为点动问题；【变式 3】如图，矩形 ABCO 中， B 的坐标为 ( 4 3 ，4) ，一动点 P 从 O 出发，以每秒1 个单位的速度，从点 O 出发沿 OA 向终点 A 运动，过点 P 作直线 PF ⊥ OB ，交 OB 于点 F ；同时将直线 PF 以每秒3 个单位向右平移，分别交 AB 、 OB 于点 E 、Q ，连接 PE. 设运动时间为 t 秒 . 求 t 为何值时， PE ∥ OB.yAEBPFQOC x【解析】同上，此时 t16 .7【探究 4】形动问题，形动问题通过转化为线动问题，从而转化为点动问题；【变式 4】如图，直角 Rt △ ABO 中， A 的坐标为 (15， 53 )，斜边中线 AC 将这个直角三角形分成了2 2两个等腰三角形△ AOC 与△ ABC （如图所示） ，将△ AOC 沿直线 x 轴正方向平移得到△ A 1O 1C 1 ，当点 O 1 与点 C 重合时，停止平移。

《四边形》——动 点 问 题学习目标：加深对特殊四边形有关知识的理解及应用。

复习重点：化“动”为“静”复习难点：确定运动变化过程中的数量关系、图形位置关系一、热身：1.如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AB=14cm ，AD=15cm ，BC=21cm ，点M 从点A 开始，沿边AD 向点D 运动，（1）当AM 、CN 满足关系式 时，四边形MNCD 是平行四边形？（2）当AM 、CN 满足关系式 时，四边形MNCD 是等腰梯形？（3）当AM 、CN 满足关系式 时，四边形MNCD 是直角梯形？2.如图2：已知正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上的一动点， DN+MN 的最小值3.. 如图3，在四边形ABCD 中，AD ∥BC,且AD>BC ，BC=6cm ，P 、Q 分别从A,C 同时出发，P 以1cm/s 的速度由A 向D 运动，Q 以2cm/s 的速度由C 向B 运动， 秒后四边形ABQP 是平行四边形。

如图1 如图2 如图3 二典型例题如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=24cm ，AB=8cm ，BC=26cm ，动点P 从A 开始沿AD 边向D 以1cm/s 的速度运动；动点Q 从点C 开始沿CB 边向B 以3cm/s 的速度运动．P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts ．（1）当t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？（2）当t 为何值时，四边形PQCD 为等腰梯形？（3）当t 为何值时，四边形PQCD 为直角梯形？在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。

三、实践新知.练习运用1．如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =900，AB =14厘米，AD =18厘米，BC =21厘米，动点P 从A 开始沿AD边向点D 以1厘米/秒的速度移动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以2厘米/秒的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，C 同时出发，设移动的时间为t 秒， ⑴当t 为何值时，四边形ABQP 为矩形？⑵当t 为何值时，四边形PQCD 为等腰梯形？2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°, ∠B =60°，BC =2．点0是AC 的中点，过点0的直线l 从与AC 重合的A B C MND A B DC P QA P D位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB 边于点D .过点C 作CE ∥AB 交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α.(1)①当α=________度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为_________；②当α=________度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为_________；(2)当α=90°时,判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．3.如图，O 为△ABC 的边AC 上一动点,过点O 的直线MN ∥BC ，设MN 分别交∠ACB 的内、外角平分线于点E 、F 。

个性辅导课题四边形的动点问题及特殊平行四边形的证明教学目的1、了解四边形动点问题分析的过程与思维方法。

2、掌握特殊平行四边形的“阶梯型”证明方法。

教学内容一、检查并讲评上次布置的作业上次作业主要是关于四边形部分的一些概念、性质的理解，要求学生对平行四边形及特殊平行四边形的相关性质要相当熟悉，理解他们之间的差别与联系。

在上次课前与学生交流过程中获知学生对于四边形动点问题感到很棘手，所以我留了一道动点问题让学生思考，看看自己问题究竟出现在什么地方？动点问题难在什么地方？二、处理学生日校布置的作业，讲解疑难问题分析学生学校作业上出现的问题，答疑解惑，同时提出改进的建议和要求。

(在这里给学生提个小要求，希望学生能够对自己有个清醒的认识，平时多想想：自己在什么地方有问题，什么东西掌握得还不够好，做题时的障碍是什么？讲给老师听，这样我们的学习才会更有效率。

)三、新课讲授1、四边形的动点问题有关四边形的动点问题常常与函数关系式、图形的面积是否发生变化、特殊三角形或特殊平行四边形联系在一起，既考查同学们对基础知识的掌握情况，又考查同学们对知识的综合运用能力.我们通过两道例题来分析四边形动点问题的解题思路。

例1：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC 的方向以每秒2cm的速度运动，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t(秒).（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形．（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由．解：(1)∵四边形PQDC是平行四边形∴DQ=CP∵DQ=AD－AQ=16－t，CP=21－2t∴16－t=21－2t解得t=5 即当t=5秒时，四边形PQDC是平行四边形（2）若点P，Q在BC，AD上时（DQ+CP）·AB/2=60，即（16-t+21-2t）×12/2=60 解得t＝9（秒）若点P在BC延长线上时，则CP=2t-21, （2t-21+16-t）×12/2=60 解得t＝15（秒）∴当t＝9或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等60cm²（3）当PQ＝PD时作PH⊥AD于H，则HQ=HD∵QH=HD=1/2QD=1/2（16-t）由AH=BP得 2t=1/2（16-t）+t 解得t=16/3秒当PQ=QD时 QH=AH－AQ=BP－AQ＝2t－t=t, QD=16-t∵QD2= PQ2=122+t2∴（16--t）2=122+t2 ，解得t=7/2(秒)当QD=PD时 DH=AD -AH=AD-BP=16-2t∵QD2=PD2=PH2+HD2=122+(16-2t)2∴(16-t)2=122+(16-2t)2 即 3t2-32t+144=0∵△＜0 ∴方程无实根综上可知,当t=16/3秒或t=7/2(秒)时,△BPQ是等腰三角形例2：在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若E,F是AC上两动点,分别从A,C两点以相同的速度1cm/s 向C,A运动。

1. 在平行四边形中，对角线，相交于点，若、是上两动点，、分别从、两点同时以的相同的速度向、运动．（1）四边形是平行四边形吗？说明你的理由．（2）若，，当运动时间为多少时，以、、、为顶点的四边形为矩形．2. 在矩形中，点是对角线的中点，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为，运动时间为秒，当其中一个动点到达点后就停止运动．（1）若、分别是、的中点，求证：四边形始终是平行四边形．（2）在的条件下，当为何值时，四边形为矩形．（3）若、分别是折线、上的动点，从出发，从出发，与、以相同的速度同时出发，当为何值时，四边形为菱形．3.如图，在矩形中，，点和点分别从点和点出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点和点的速度分别为和，则最快________后，四边形成为矩形．4.如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点运动，同时，点在线段上从点到点运动．则当与全等时，时间为________．5.如图，在矩形中，，点和点分别从点和点出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点和点的速度分别为和，则最快多少秒后，四边形成为矩形？6. 如图，在菱形中，，．动点、分别从点、同时出发，以的速度向点、运动，连接、，取、的中点、，连接、．设运动的时间为．（1）求证：．（2）当为何值时，四边形为菱形．（3）试探究：是否存在某个时刻，使四边形为矩形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．7. 如图，在菱形中，，．动点、分别从点、同时出发，以的速度向点、运动，连接、，取、的中点、，连接、．设运动的时间为秒．（1）求证：．（2）当为何值时，四边形为菱形．（3）试探究：是否存在某个时刻，使四边形为矩形．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．8.如图，在矩形中，，，是边上一点，于点，于点，求．9. 在矩形中，，、、、分别从、、、出发沿、、、方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止，已知在相同时间内，若，则，，．（1）以、、、为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求的值；如果不能，请说明理由．（2）当为何值时，以，为两边，以矩形的边(或)的一部分为第三边构成一个三角形．（3）当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．10.如图，直线的解析式为，与轴交于点，与轴交于点，点为线段上的一个动点，作轴于点，轴于点，连接，则线段的最小值为________．11.如图，在矩形ABCD中，，点E是AD上一个动点，把沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点恰好落在的平分线上时，的长为多少？12.如图，在中，，，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动；同时，动点从点出发沿方向以每秒的速度向终点运动，将沿翻折，点的对称点为点，设点运动的时间为秒，若四边形为菱形，则的值为________．13.如图，，矩形的顶点、分别在边、上，当在边上运动时，随之在边上运动，矩形的形状保持不变，其中，，求运动过程中，点到点的最大距离．14. 已知，、分别在边，上，当在边上运动时，随之在边上运动，且保持．（1）如图，以为底边向外作等腰，使，、运动过程中三角形的形状保持不变，求在运动过程中，点到点的最大距离．（2）如图，若以为边，向外作矩形，，那么在运动过程中，点到点的最大距离为________．参考答案1.（1）【答案】见解析【解析】四边形是平行四边形．理由：四边形是平行四边形，，，、是上两动点，、分别从、两点同时以的相同的速度向、运动，，，四边形是平行四边形．【知识点】对角线互相平分、对角线互相平分的四边形是平行四边形【来源】2017江苏省苏州市常熟市期中测试下学期261.（2）【答案】见解析【解析】根据题意得：，四边形是平行四边形，当时，四边形为矩形．即或，或，解得：或当运动时间为或时，四边形为矩形．【知识点】对角线相等的平行四边形是矩形、图形与几何分类讨论【来源】2017江苏省苏州市常熟市期中测试下学期262.（1）【答案】见解析【解析】证明：四边形是矩形，，，，，，，，分别是，中点，，，，，，在和中，，，，同理：，四边形始终是平行四边形．【知识点】勾股定理、SAS、对边相等、矩形的定义、两组对边分别相等的四边形是平行四边形【来源】2017浙江省宁波市期中测试下学期252.（2）【答案】见解析【解析】解：由得：，，四边形是平行四边形，，当时，平行四边形是矩形，，解得：．【知识点】矩形的定义、动点问题【来源】2017浙江省宁波市期中测试下学期252.（3）【答案】见解析【解析】解：连接、、，如图所示：四边形为菱形，，，，，，四边形是菱形，，设，则，由勾股定理得：，即，解得：，，，即为时，四边形为菱形．但是由于，运动到点后就停止运动，所以应舍去，所以四边形不能为菱形．【知识点】勾股定理、菱形的四条边相等、动点问题、对角线互相平分的四边形是平行四边形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形【来源】2017浙江省宁波市期中测试下学期253.【答案】4【解析】解：设最快秒后，四边形成为矩形，由得．解得，故答案为：．【知识点】对边相等、矩形的定义、动点问题【来源】2017山东省东营市广饶县月测试题25； 2015江苏省南通市启东市期中测试4.【答案】或【解析】解：$$\text{∵}$$，，，$$\text{∴}$$，，，当时，则有，即，解得，当时，则有，即，解得，故答案为：或．【知识点】全等三角形对应边对应角相等、四个角都是直角、图形与几何分类讨论【来源】2014江苏省无锡市滨湖区期中测试165.【答案】见解析【解析】解；设最快秒，四边形成为矩形，由得．解得，故答案为：秒．【知识点】矩形的定义、动点问题、四个角都是直角【来源】2015河南省周口市太康县； 2015河南省周口市太康县期末测试6.（1）【答案】见解析【解析】证明：动点、同时运动且速度相等，，四边形是菱形，，，，在与中，，，，，，，．【知识点】两直线平行，内错角相等、同位角相等，两直线平行、SAS、全等三角形对应边对应角相等、菱形的定义、菱形的四条边相等6.（2）【答案】见解析【解析】过作于，连接，，，，，四边形是平行四边形，、是、的中点，，四边形是菱形，，，，，，四边形是矩形，，，，，，，．【知识点】30°锐角的直角三角形、两组对边分别平行的四边形是平行四边形、有三个角是直角的四边形是矩形、菱形的定义、菱形的四条边相等、菱形的对角线互相垂直平分6.（3）【答案】见解析【解析】不存在，假设存在某个时刻，使四边形为矩形，四边形为矩形，，，即，解得，，与原题设矛盾，不存在某个时刻，使四边形为矩形．【知识点】勾股定理、矩形的对角线相等、菱形的定义7.（1）【答案】见解析【解析】证明：动点、同时运动且速度相等，，四边形是菱形，，，，在与中，，，，，，，．【知识点】两直线平行，内错角相等、同位角相等，两直线平行、SAS、全等三角形对应边对应角相等、菱形的定义、菱形的四条边相等【来源】2016江苏省苏州市昆山市7.（2）【答案】见解析【解析】如图，过作于，连接，，，，，四边形是平行四边形，、分别是、的中点，，四边形是菱形，，，，，，四边形是矩形，，，，，，，．故时，四边形为菱形．【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、两组对边分别平行的四边形是平行四边形、矩形的定义、有三个角是直角的四边形是矩形、菱形的对角线互相垂直平分【来源】2016江苏省苏州市昆山市7.（3）【答案】见解析【解析】不存在，假设存在某个时刻，使四边形为矩形，四边形为矩形，，，即，解得，，与原题设矛盾，不存在某个时刻，使四边形为矩形．【知识点】勾股定理、矩形的定义、四个角都是直角、矩形的对角线相等【来源】2016江苏省苏州市昆山市8.【答案】见解析【解析】利用面积法，由即可得．【知识点】矩形的定义、四个角都是直角、矩形的对角线相等、用面积求线段长度9.（1）【答案】见解析【解析】分别过、做，，，点一定在点的左侧，若要以、、、为顶点的四边形是等腰梯形，则点一定在点右侧，当、点重合时即，，即在左侧时，如图，当时，四边形为等腰梯形，，，所以，(舍)或(舍)，当时，点到达点，停止运动，当时，即点在点左侧，如图分别过，点作，，同理当时，四边形为等腰梯形，，，(舍)或，由可知，当时，四边形为平行四边形，不能为等腰梯形，综上：以、、、为顶点的四边形不能为等腰梯形．【知识点】动点问题、图形与几何分类讨论、矩形的定义、四个角都是直角、等腰梯形定义【来源】2018广东省广州市越秀区广州市铁一中学（含：亚运城（番禺）校区）24； 2009山东省淄博市中考真题；山东省淄博市；实验班提优训练九年级数学上期中综合提优测试卷9.（2）【答案】见解析【解析】当点与点重合或点与点重合时，以，为两边，以矩形的边(或)的一部分为第三边可能构成一个三角形．①当点与点重合时，由，得，(舍去)．因为，此时点与点不重合．所以符合题意．②当点与点重合时，由，得．此时，不符合题意．故点与点不能重合．所以所求的值为．【知识点】三角形的三边关系定理、勾股定理、矩形的定义、四个角都是直角、动点问题、图形与几何分类讨论、一元二次方程的应用-其它问题【来源】2018广东省广州市越秀区广州市铁一中学（含：亚运城（番禺）校区）24； 2009山东省淄博市中考真题；山东省淄博市；实验班提优训练九年级数学上期中综合提优测试卷9.（3）【答案】见解析【解析】由知，点只能在点的左侧，①当点在点的左侧时，由，解得(舍去)，．当时四边形是平行四边形．②当点在点的右侧时，由，解得(舍去)，．当时四边形是平行四边形．所以当或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．【知识点】对边相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、矩形的定义、四个角都是直角、动点问题、图形与几何分类讨论、两组对边分别相等的四边形是平行四边形【来源】2018广东省广州市越秀区广州市铁一中学（含：亚运城（番禺）校区）24； 2009山东省淄博市中考真题；山东省淄博市；实验班提优训练九年级数学上期中综合提优测试卷10.【答案】【解析】解：一次函数中，令，则，令，则，，．轴于点，轴于点，四边形是矩形，且，为定点，在线段上运动，当时，取得最小值，此时最小，，点坐标为，，，由勾股定理得：，，．故答案为：．【知识点】勾股定理、动点问题、一次函数的实际应用-与几何知识相结合、矩形的定义、有三个角是直角的四边形是矩形【来源】2017浙江省台州市椒江区台州市书生中学期中测试下学期1611.【答案】或【解析】解:过点作，，∴四边形是矩形，平分∴矩形是正方形即或或考点:折叠问题，矩形与正方形的性质【知识点】四个角都是直角、矩形的对角线相等、四条边相等，四个角相等、对角线互相垂直平分且相等、图形翻折【来源】2015江苏省苏州市吴江市吴江市青云中学期中测试上学期2612.【答案】2【解析】解：作于，于，如图，，，，，为等腰直角三角形，，和为等腰直角三角形，，，，四边形为矩形，，，，在中，，在中，，四边形为菱形，，，，(舍去)，的值为．故答案为：．【知识点】勾股定理、直角三角形-等腰直角三角形、矩形的定义、菱形的定义、动点问题【来源】2017浙江省宁波市鄞州区期中测试下学期1913.【答案】见解析【解析】解：如图，取的中点，连接、、，，当、、三点共线时，点到点的距离最大，此时，，，，，的最大值为：．【知识点】三角形的三边关系定理、勾股定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半、矩形的定义、四个角都是直角【来源】2012山东省济南市14.（1）【答案】见解析【解析】解：如图，取的中点，连接．，．点是边中点，，；连接，，有，当、、共线时，有最大值，最大值是，又为直角三角形，为斜边的中点，，，即．故答案为：．【知识点】三角形的三边关系定理、三线合一、勾股定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半、动点问题【来源】2015山东省青岛市14.（2）【答案】【解析】解:如图，取的中点，连接、、，，当、、三点共线时，点到点的距离最大，此时，，，，，的最大值为:．学而思网校——智能题库【知识点】三角形的三边关系定理、勾股定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半、矩形的定义、四个角都是直角【来源】2015山东省青岛市第 21 页，共 21 页。

四边形中的动点问题1、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是_____________2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH 的面积为________3、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为____________4、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以 4 cm/s 的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以 2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0 < t ≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.(1)求证：AE＝DF；(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t. （1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，（1）求证：△ADE≌△CDF；：（2）当t为______s时，四边形ACFE是菱形；6、在菱形ABCD中，∠B=60°，点E在射线BC上运动，∠EAF=60°，点F在射线CD上（1）当点E在线段BC上时（如图1），（1）求证：EC+CF=AB；（2）当点E在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明7、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为______时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为______时，四边形AMDN是菱形．8、如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．9、如图，已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．（1）BD的长是______；（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是______10、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A 随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为______．11、如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm／s。

第08讲专题3平行（特殊平行）四边形中的动点问题类型一：平行四边形中的动点问题类型二：矩形中的动点问题类型三：菱形中的动点问题类型四：正方形中的动点问题类型一：平行四边形中的动点问题1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝6，BC＝9，点P从点A出发，沿射线AD以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点C出发，沿CB方向以每秒1个单位长度的速度向点B 运动．当点Q到达点B时，点P，Q停止运动，设点Q运动时间为t秒．在运动的过程中，当t＝2或6时，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？【解答】解：由题意知，可分两种情况：①当CD为平行四边形的边，则P在D点左侧，PD＝6﹣2t，CQ＝t，∵PD＝CQ，∴6﹣2t＝t，解得t＝2；②当CD为平行四边形的对角线，P在D点右侧，PD＝2t﹣6，CQ＝t，∵PD＝CQ，∴2t﹣6＝t，解得t＝6，综上所述，当t＝2或6时，以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形．故答案为：2或6．2．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2.5cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t s，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴PD∥BQ．若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．设运动时间为t．当0＜t≤4时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t，BQ＝10﹣2.5t，∴10﹣t＝10﹣2.5t，1.5t＝0，∴t＝0（舍去）；当4＜t≤8时，AP＝t，PD＝10﹣t，BQ＝2.5t﹣10，∴10﹣t＝2.5t﹣10，解得：t＝；当8＜t≤10时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t﹣20，BQ＝30﹣2.5t，∴10﹣t＝30﹣2.5t，解得：t＝（舍去）；综上所述，t的值为时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形．故选：B．3．如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（）A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s【解答】解：在▱ABCD中，CD＝AB＝22cm，AD＝BC＝8cm，如图，过点D作DG⊥AB于点G，∵∠A＝45°，∴△ADG是等腰直角三角形，∴AG＝DG＝AD＝8，过点F作FH⊥AB于点H，得矩形DGHF，∴DG＝FH＝8cm，DF＝GH，∵EF＝10cm，∴EH＝＝6cm，由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm，∴GE＝AE＝AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE+EH＝（2t﹣8）+6＝（2t﹣2）cm，∴2t﹣2＝22﹣t，解得t＝8，当F点在E点左侧时，由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm，∴GE＝AE﹣AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE﹣EH＝（2t﹣8）﹣6＝（2t﹣14）cm，∴2t﹣14＝22﹣t，解得t＝12，∵点E到达点B时，两点同时停止运动，∴2t≤22，解得t≤11．∴t＝12不符合题意，舍去，∴EF的长为10cm时点E的运动时间是8s，故选：C．4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A 出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（）A．B．3C．3或D．或【解答】解：①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝9+3t﹣12，解得t＝，②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝12﹣9﹣3t，解得t＝，综上所述，t＝或时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．故选：D．5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B 运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为（）秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形A．1B．1.5C．1或3.5D．1.5或2【解答】解：∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝BC＝8，由题意可知：AP＝t，则DP＝6﹣t，CQ＝3t，①当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，∴3t﹣8＝6﹣t，解得：t＝3.5；②当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，∴8﹣3t＝6﹣t，解得：t＝1，∴当运动时间t为1秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，故选：C．6．如图，在▱ABCD中，BD为对角线，EF垂直平分BD分别交AD、BC的于点E、F，交BD于点O．（1）试说明：BF＝DE；（2）试说明：△ABE≌△CDF；（3）如果在▱ABCD中，AB＝5，AD＝10，有两动点P、Q分别从B、D两点同时出发，沿△BAE和△DFC各边运动一周，即点P自B→A→E→B停止，点Q自D→F→C→D停止，点P运动的路程是m，点Q运动的路程是n，当四边形BPDQ是平行四边形时，求m与n满足的数量关系．（画出示意图）【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ODE＝∠OBF，∵EF垂直平分BD，∴OB＝OD，在△OBF和△ODE中，，∴△BOF≌△DOE（ASA），∴BF＝DE；（2）∵四边新ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠A＝∠C，AD＝BC，∵BF＝DE，∴AE＝CF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），（3）解：∵EF垂直平分BD，∴BF＝DF，∵△ABE≌△CDF，∴DF＝BE，AE＝CF，∴△DFC的周长是DF+CF+CD＝BF+CF+CD＝BC+CD＝15，△ABE的周长也是15，①当P在AB上，Q在CD上，∵AB∥CD，∴∠BPO＝∠DQO，∵∠POB＝∠DOQ，OB＝OD，∴△BPO≌△DQO，∴BP＝DQ，∴m+n＝BP+DF+CF+CQ＝DF+CF+CQ+DQ＝DF+CF+CD＝15②当P在AE上，Q在CF上，∵AD∥BC，∴∠PEO＝∠QFO，∵△EOD≌△FOB，∴OE＝OF，∵∠PEO＝∠QFO，∠EOP＝∠FOQ，∴△PEO≌△QFO，∴PE＝QF，∵AE＝CF，∴CQ＝AP，m+n＝AB+AP+DF+PQ＝CD+CQ+DF+FQ＝DF+CF+CD＝15；③当P在BE上，Q在DF上，∵AD＝BC，AE＝CF，∴DE＝BF，∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE＝DF，BE∥DF，∴∠PEO＝∠FQO，∵∠EOP＝∠FOQ，OE＝OF，∴△PEO≌△FQO，∴PE＝FQ，∴m+n＝AB+AE+PE+DQ＝CD+CF+QF+DQ＝DF+CF+CD＝15．类型二：矩形中的动点问题7．如图，在长方形ABCD中，AD＝16cm，AB＝8cm．点P从点A出发，沿折线A﹣B﹣C方向运动，速度2cm/s；点Q从点B出发沿线段BC方向向点C运动，速度4cm/s；点P、Q同时出发，当一方到达终点时，另一方同时停止运动，设运动时间是t（s）．下列说法错误的是（）A．点P运动路程为2tcmB．CQ＝（16﹣4t）cmC．当时，PB＝BQD．运动中，点P可以追上点Q【解答】解：A．由点P的速度为2cm/s，时间为t（s），得点P运动路程为2tcm，正确，故本选项不符合题意；B．由点Q的速度为4cm/s，时间为t（s），得点Q运动路程为4tcm，则CQ＝（16﹣4t）cm，正确，故本选项不符合题意；C．当t＝时，PB＝8﹣2t＝8﹣2×＝，BQ＝4t＝4×＝，则PB＝BQ正确，故本选项不符合题意；D．假设运动中点P可以追上点Q，则2t﹣4＝4t，解得：t＝﹣2，假设不成立，原表述错误，故本选项符合题意；故选：D．8．在平面直角坐标系中，长方形ABCD按如图所示放置，O是AD的中点，且A、B、C的坐标分别为（5，0），（5，4），（﹣5，4），点P是BC上的动点，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则点P的坐标为（﹣2，4）或（﹣3，4）或（3，4）．【解答】解：如图，∵A、B、C的坐标分别为（5，0），（5，4），（﹣5，4），∴OD＝OA＝5，AB＝CD＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠CDO＝90°，设BC与y轴交于E，当DP＝DO＝5，∴CP＝＝3，∴PE＝2，∴P（﹣2，4），当OD＝OP＝5时，PE＝＝3，∴P（﹣3.4）或（3，4），综上所述，点P的坐标为（﹣2，4）或（﹣3，4）或（3，4），故答案为：（﹣2，4）或（﹣3，4）或（3，4）．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．求PE+PF＝．【解答】解：连接OP，如图所示：∵矩形ABCD的两边AB＝3，BC＝4，＝AB•BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝5，∴S矩形ABCD＝S矩形ABCD＝3，OA＝OD＝，∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝×（PE+PF）＝3，∴S△AOD∴PE+PF＝，故答案为：．10．如图，在长方形ABCD中，AB＝DC＝3cm，BC＝AD＝2cm，现有一动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿长方形的边A→B→C→D→A运动，到达点A时停止；点Q在边DC上，DQ＝BC，连接AQ．设点P的运动时间为t s，则当t＝1或2或7s时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△ADQ 全等．（不考虑两个三角形重合的情况）【解答】解：当t＝1s时，AP＝1cm，则BP＝2cm，如图1，在△AQD和△CPB中，，∴△AQD≌△CPB（SAS）；当t＝2时，AP＝2cm，如图2，∴AP＝DQ，在△AQD和△DPA中，，∴△AQD≌△DPA（SAS）；当t＝7时，AB+BC+CP＝7cm，如图3，∴CP＝2cm，∴DQ＝CP，在△AQD和△BPC中，，∴△AQD≌△BPC（SAS）；故答案为：1或2或7．11．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB 于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②∠BFG＝∠ADE；③DE⊥FG；④FG的最小值为2．其中正确结论的有①②③④．（填序号）【解答】解：如图所示，连接BE，交FG于点O，∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠EFB＝∠EGB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴四边形EFBG为矩形，∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE，∴DE＝FG，即①正确；∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE，∵OB＝OF，∴∠OFB＝∠ABE，∴∠BFG＝∠ADE，即②正确，延长DE，交FG于M，交FB于点H，由①得，∠ABE＝∠ADE，∵OB＝OF，∴∠OFB＝∠ABE，∴∠OFB＝∠ADE，∵∠BAD＝90°，∴∠ADE+∠AHD＝90°，∴∠OFB+∠AHD＝90°，即∠FMH＝90°，∴DE⊥FG，即③正确；∵E为对角线AC上的一个动点，∴当DE⊥AC时，DE最小，∵AB＝AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，∴AC＝＝4，∴DE＝AC＝2，由①知，FG＝DE，∴FG的最小值为2，即④正确，综上，①②③④正确，故答案为：①②③④．12．已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连接DE．（1）动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？（2）若动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请求出t的值；否则，说明理由．【解答】解：（1）若△ABP与△DCE全等，∴BP＝CE或AP＝CE，当BP＝CE＝3时，则t＝3÷1＝3，当AP＝CE＝3时，则t＝（6+6+4﹣3）÷1＝13，∴当t为3或13时，△ABP和△DCE全等；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，CD⊥BC，在Rt△DCE中，CE＝3，∴DE＝＝5，若△PDE为等腰三角形，则PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE，当PD＝DE时，∵PD＝DE，DC⊥BE，∴PC＝CE＝3，∵BP＝BC﹣CP＝3，∴t＝3÷1＝3，当PE＝DE＝5时，∵BP＝BE﹣PE，∴BP＝9﹣5＝4，∴t＝4÷1＝4，当PD＝PE时，∴PE＝PC+CE＝3+PC，∴PD＝3+PC，在Rt△PDC中，DP2＝CD2+PC2．∴（3+PC）2＝16+PC2，∴PC＝，∵BP＝BC﹣PC，∴BP＝，∴t＝÷1＝，综上所述：当t＝3或4或时，△PDE为等腰三角形．类型三：菱形中动点问题13．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点E是BD上不与点B和点D重合的一个动点，过点E分别作AB和AD的垂线，垂足为F，G，则EF+EG的值为（）A．B．2C．D．4【解答】解：连接AC交BD于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠BAD＝60°，AB＝AD＝4，∵AB＝4，∴AO＝AB＝2，∴AC＝2AO＝4，OB＝＝2，∴，连接AE，＝S△ABE+S△ADE，∴S△ABD∴，∴EF+EG＝2，故选：A．14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F同时从O点出发在线段AC上以1cm/s的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），设运动时间为t s．连接DE，DF，BE，BF，已知△ABD是边长为6cm的等边三角形，当t＝3s时，四边形DEBF为正方形．【解答】解：由题意得OE＝OF＝t cm，∴EF＝2t cm，∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OB＝OD，AC⊥BD，∴四边形DEBF是菱形，∴当EF＝BD时，四边形DEBF是正方形，∵△ABD是边长为6cm的等边三角形，∴BD＝6cm，∴由EF＝BD得2t＝6，解得t＝3，∴当t＝3s时，四边形DEBF是正方形，故答案为：3．15．如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB 方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（）A．B．C．D．【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠ADB＝∠ADC＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD，又∵△DEF是等边三角形，∴∠EDF＝∠DEF＝60°，又∵∠ADB＝60°，∴∠ADE＝∠BDF，在△ADE和△BDF中，，∴△ADE≌△BDF（ASA），∴AE＝BF，∵AE＝t，CF＝2t，∴BF＝BC﹣CF＝5﹣2t，∴t＝5﹣2t∴t＝，故选：D．16．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝16，BD＝12，则EF的最小值为（）A．8B．6C．4.8D．2.4【解答】解：连接OP，作OH⊥AB于点H，∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝×16＝8，OB＝OD＝BD＝×12＝6，∴∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝10，，∵AB•OH＝OA•OB＝S△AOB∴×10OH＝×8×6，解得OH＝4.8，∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠PEO＝∠PFO＝∠EOF＝90°，∴四边形PEOF是矩形，∴EF＝OP，∴OP≥OH，∴EF≥4.8，∴EF的最小值为4.8，故选：C．17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝12cm，AB＝18cm，CD＝23cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线B﹣C﹣D 向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）用含t的式子表示PB．（2）当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？（3）只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形PBCQ为菱形，则点Q的运动速度应为多少？【解答】解：（1）由于P从A点以1cm/s向B点运动，∴t s时，AP＝t×1＝t cm，∵AB＝18cm，∴BP＝AB﹣AP＝（18﹣t）cm；（2）过B点作BN⊥CD于N点，∵AB∥CD，∠ADC＝90°，∴四边形ACNB是矩形，∴BN＝AD＝12cm，AD＝DN＝18cm，∵CD＝23cm，∴CN＝CD﹣CN＝5cm，∴Rt△BNC中，根据勾股定理可得：BC＝＝＝13cm，则Q在BC上运动时间为13÷2＝6.5s，∵BC+CD＝23+13＝36cm，∴Q运动时间最长为36÷2＝18s，∴6.5s≤t≤18s时，Q在CD边上，此时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况：①四边形PQCB是平行四边形，如图所示：∵AB∥CD即PB∥CQ，∴只需PB＝CQ即可，由（1）知：PB＝（18﹣t）cm，∵Q以2cm/s沿沿折线B﹣C﹣D向终点D运动，∴运动时间为t s时，CQ＝2t﹣BC＝（2t﹣13）cm，∴18﹣t＝2t﹣13，解得：t＝s；②四边形ADQP是平行四边形，如图所示：同理∵AP∥DQ，∴只需AP＝DQ，四边形ADQP是平行四边形，由（1）知：AP＝t cm，点DQ＝CD+CB﹣2t＝（36﹣2t）cm，∴36﹣2t＝t，解得：t＝12s，综上所述：当t＝s或12s时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形；（3）设Q的速度为x cm/s，由（2）可知：Q在CD边上，此时四边形PBCQ可为菱形，∵PB∥CQ，∴只需满足PB＝BC＝CQ即可，由（1）知：PB＝（18﹣t）cm，由（2）知：CQ＝（xt﹣13）cm，BC＝1cm，∴18﹣t＝13，xt﹣13＝13，解得：t＝5s，x＝5.2cm/s，∴当Q点的速度为5.2cm/s时，四边形PBCQ为菱形．类型四：正方形中动点问题18．如图，在正方形ABCD中，AB＝3cm，延长BC到点E，使CE＝1cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE 全等时，t的值为2或7．【解答】解：∵△DCE是直角三角形，∴△PBC为直角三角形，∴点P只能在AB上或者CD上，当点P在AB上时，有BP＝CE，∴BP＝CE＝1，∴AP＝2，∴t＝2÷1＝2，当点P在CD上时，有CP＝CE＝1，∴t＝（3+3+1）÷1＝7，故答案为：2或7．19．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P，则∠APD的度数为90°；连接CP，线段CP的最小值为﹣1．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADE＝∠DCF＝90°，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠DAE＝90°，∴∠APD＝90°，取AD的中点O，连接OP，则OP＝AD＝×2＝1（不变），根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO＝＝＝，所以，CP＝CO﹣OP＝﹣1．故答案为：90°，﹣1．20．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE交BC于点H，过H作GH⊥BD于G，连结AH．以下四个结论中：①AF＝HE；②∠HAE＝45°；③；④△CEH的周长为12．正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①连接FC，延长HF交AD于点L，如图1，∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝∠CDF＝45°．∵AD＝CD，DF＝DF，∴△ADF≌△CDF（SAS）．∴FC＝AF，∠ECF＝∠DAF．∵∠ALH+∠LAF＝90°，∴∠LHC+∠DAF＝90°．∵∠ECF＝∠DAF，∴∠FHC＝∠FCH，∴FH＝FC．∴FH＝AF，∵FH⊥AE，∴FH＜EH，∴AF＜EH，故①错误；∵FH⊥AE，FH＝AF，∴∠HAE＝45°，故②正确；∵F是动点，∴FG的长度不是定值，不可能，故③错误；④延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，如图2，则四边形LHCI为平行四边形，∴LI＝HC，∵HL⊥AE，CI∥HL，∴AE⊥CI，∴∠DIC+∠EAD＝90°，∵∠EAD+∠AED＝90°，∴∠DIC＝∠AED，∵ED⊥AM，AD＝DM，∴EA＝EM，∴∠AED＝∠MED，∴∠DIC＝∠DEM，∴180°﹣∠DIC＝180°﹣∠DEM，∴∠CIM＝∠CEM，∵CM＝MC，∠ECM＝∠CMI＝45°，∴△MEC≌△CIM（AAS），∴CE＝IM，∵E，F，H共圆，∠HFE＝90°，∴HE为直径，∵∠HCF＝90°，∴点C在以HE为直径的圆上，∴∠FHE＝∠FCE，∵∠FCE＝∠FAD，∴∠FAD＝∠FHE，∵∠AFL＝∠HFE，AF＝HF，∴△AFL≌△FHE（ASA），∴AL＝HE，∴HE+HC+EC＝AL+LI+IM＝AM＝12．故△CEH的周长为12，④正确．综上所述，②④正确．故选：B．21．如图，正方形ABCD的边长为2cm，E是边AD的中点，P为对角线BD上一动点，连接PA、PE，当点P移动到使∠BPA＝∠DPE时，AP+PE的值为（）A．B．C．D．【解答】解：取CD的中点F．∵正方形ABCD的边长为2cm，E是边AD的中点，∴∠ADB＝∠CDB，DE＝DF＝1cm，∵DP＝DP，∴△DPE≌△DPF，∴∠DPF＝∠DPE，PE＝PF，∴AP+PE＝AP+PF．∵∠BPA＝∠DPE，∴∠DPF＝∠BPA．∵∠BPA+∠APE+∠DPE＝180°，∴∠DPE+∠APE+∠DPE＝180°，∴A，P，F共线，∴AP+PE＝AP+PF＝AF．∵，∴．故选：B．22．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E为AB上一动点．连接OE，作OF⊥OE交BC于点F，已知AB＝2，则四边形EBFO的面积为（）A．1B．2C．D．4【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝2，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠ABC＝∠BCD＝90°，AC⊥BD，∴AC＝BD＝2，∠ABO＝∠OBC＝∠BCO＝∠ACD＝45°，∴OB＝OC＝OD＝OA＝，∵AC⊥BD，∴∠AOB＝∠BOC＝90°，∴∠AOE+∠BOE＝90°，∠COF+∠BOF＝90°，∵OF⊥OE，∴∠BOE+∠BOF＝90°，∴∠BOE＝∠COF，在△BOE和△COF中，，∴△BOE≌△COF（SAS），＝S△COF，∴S△BOE＝S△COF+S△DOF＝S△DOC，∴S四边形EBFO∵AB＝2，＝4，∴S正方形ABCD＝1，∴S S正方形ABCD∴四边形EBFO的面积为1．故选：A．23．如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点B出发，以2cm/s的速度、沿B→C→D方向，向点D运动；动点Q从点A出发，以1cm/s的速度、沿A→B方向，向点B运动．若P、Q两点同时出发，运动时间为ts．（1）连接PD、PQ、DQ，求当t为何值时，△PQD的面积为11cm2；（2）当点P在BC上运动时，是否存在这样的t，使得△PQD是以PD为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当点P在BC上时，即0≤t≤2，如图1，AQ＝t，BQ＝4﹣t，BP＝2t，PC＝4﹣2t，＝S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△BPQ﹣S△CPD，∵S△PDQ∴16﹣•4•t﹣•（4﹣t）•2t﹣•4•（4﹣2t）＝11，整理得t2﹣2t﹣3＝0，解得t1＝﹣1，t2＝3，都不合题意舍去；当点P在CD上时，即2＜t≤4，AQ＝t，DP＝8﹣2t，＝BC•DP，∵S△PDQ∴•4（8﹣2t）＝11，解得t＝（不合题意舍去），∴不存在t的值，使△PQD的面积为11cm2；（2）存在．如图2，AQ＝t，BQ＝4﹣t，BP＝2t，PC＝4﹣2t（0≤t≤2），当DP＝DQ时，∵DC＝DA∴Rt△DPC≌Rt△DAQ，∴PC＝AQ，即4﹣2t＝t，解得t＝；当PD＝PQ时，在Rt△PBQ中，PQ2＝PB2+BQ2＝（2t）2+（4﹣t）2，在Rt△PBCD中，PD2＝PC2+CD2＝（4﹣2t）2+42，∴（2t）2+（4﹣t）2＝（4﹣2t）2+42，整理得t2+8t﹣16＝0，解得t1＝﹣4﹣4（舍去），t2＝4﹣4，∴t＝或4﹣4时，△PQD是以PD为一腰的等腰三角形．。

八上四边形动点问题
四边形是初中数学中的一种重要图形，掌握四边形的性质可以
帮助我们更好地理解空间几何知识。

本文将讨论八年级上册涉及的
四边形动点问题。

问题描述
在直角坐标系中，有一个矩形ABCD，对角线AC和BD的交
点是P。

点P随着矩形ABCD的变化而运动，令M, N分别为C点
在AP, BP上的垂足，O为MN的交点。

若矩形ABCD在平面内可
以任意移动，求证：当M, N在同一侧时，点O在以AC和BD为
直径的圆上。

解题思路
本题需要我们掌握四边形的性质和坐标系中点的坐标计算方法。

具体来说，我们可以采用以下的解题思路：
- 通过坐标系计算AC, BD的表达式；
- 计算MN的表达式；
- 通过分析M,N同侧、异侧的关系，推导O是否在以AC和
BD为直径的圆上；
- 利用自己的思考和动手能力完成证明。

需要注意的是，本题需要我们熟练掌握射影、垂线等基本知识，同时在实际计算时需要注意计算精度和证明过程的严谨性。

小结
四边形动点问题是初中数学中的一个经典问题，涉及到坐标计算、图形性质等多个方面。

通过认真学习，我们可以深入理解这个
问题，提高我们的数学思维能力。

初二动点问题1. 如图，在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q 从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时,另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2)当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（3）当t为何值时,四边形PQCD为直角梯形？分析:（1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．（2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．（3）四边形PQCD为直角梯形时QC—PD=EC．所有的关系式都可用含有t的方程来表示,即此题只要解三个方程即可．解答:解：(1）∵四边形PQCD平行为四边形∴PD=CQ∴24-t=3t解得：t=6即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形．（2）过D作DE⊥BC于E则四边形ABED为矩形∴BE=AD=24cm∵四边形PQCD为等腰梯形∴QC—PD=2CE即3t—（24-t)=4解得:t=7(s）即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形．（3)由题意知：QC—PD=EC时,四边形PQCD为直角梯形即3t—（24-t）=2解得:t=6。

5（s)即当t=6。

5（s）时,四边形PQCD为直角梯形．点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．2.如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1)试说明EO=FO;(2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．分析：（1)根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．（2)利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（3）利用已知条件及正方形的性质解答．解答:解：（1）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴OE=OC,同理，OC=OF,∴OE=OF．（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．如图AO=CO，EO=FO,∴四边形AECF为平行四边形,∵CE平分∠ACB,∴∠ACE= ∠ACB,同理，∠ACF= ∠ACG，∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= （∠ACB+∠ACG）= ×180°=90°，∴四边形AECF是矩形．(3）△ABC是直角三角形∵四边形AECF是正方形，∴AC⊥EN,故∠AOM=90°，∵MN∥BC，∴∠BCA=∠AOM，∴∠BCA=90°，∴△ABC是直角三角形．点评：本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论(1）和矩形的判定证明结论（2），再对(3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．3.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC 于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A 点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．（1)求NC，MC的长（用t的代数式表示）；（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在,请说明理由；（4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形．分析：（1）依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC—BN=BC—AQ=BC—AD+DQ，BC、AD已知,DQ就是t，即解；∵AB ∥QN，∴△CMN∽△CAB,∴CM：CA=CN：CB，（2)CB、CN已知，根据勾股定理可求CA=5,即可表示CM；四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；（3）可先根据QN平分△ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值．然后根据得出的t的值，求出△MNC的面积，即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值．（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：①当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值．②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．③当MP=PC时，在直角三角形MNP中,先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值．综上所述可得出符合条件的t的值．解答:解:（1）∵AQ=3—t∴CN=4—(3-t)=1+t在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=32+42∴AC=5在Rt△MNC中,cos∠NCM= = ，CM= ．（2）由于四边形PCDQ构成平行四边形∴PC=QD，即4—t=t解得t=2．（3)如果射线QN将△ABC的周长平分,则有：MN+NC=AM+BN+AB即：（1+t）+1+t= （3+4+5）解得：t= （5分）而MN= NC= （1+t)∴S△MNC= （1+t)2= (1+t）2当t= 时，S△MNC=（1+t）2= ≠ ×4×3∴不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分．(4)①当MP=MC时(如图1）则有：NP=NC即PC=2NC∴4-t=2（1+t）解得:t=②当CM=CP时(如图2)则有：（1+t)=4-t解得：t=③当PM=PC时（如图3)则有：在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2而MN= NC= （1+t）PN=NC—PC=（1+t）—（4—t）=2t—3∴［(1+t）]2+（2t—3）2=（4-t）2解得：t1= ，t2=—1（舍去）∴当t= ，t= ，t= 时,△PMC为等腰三角形点评：此题繁杂,难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．4.如图，在矩形ABCD中,BC=20cm，P,Q,M，N分别从A，B，C,D出发沿AD,BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm,DN=x2cm．（1)当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2)当x为何值时,以P，Q,M，N为顶点的四边形是平行四边形;（3）以P，Q,M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能,求x的值；如果不能，请说明理由．分析：以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根据这两种情况来求解x的值．以P，Q，M,N为顶点的四边形是平行四边形的话,因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时，AP=MC,BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC,BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式．如果以P,Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm,BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形．解答:解:(1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．①当点P与点N重合时,由x2+2x=20，得x1= -1,x2=- —1（舍去）．因为BQ+CM=x+3x=4（-1）＜20,此时点Q与点M不重合．所以x= —1符合题意．②当点Q与点M重合时,由x+3x=20，得x=5．此时DN=x2=25＞20，不符合题意．故点Q与点M不能重合．所以所求x的值为-1．（2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，由20-(x+3x）=20—（2x+x2），解得x1=0（舍去），x2=2．当x=2时四边形PQMN是平行四边形．②当点P在点N的右侧时，由20-(x+3x）=（2x+x2）—20，解得x1=-10(舍去)，x2=4．当x=4时四边形NQMP是平行四边形．所以当x=2或x=4时，以P,Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．（3）过点Q，M分别作AD的垂线,垂足分别为点E，F．由于2x＞x，所以点E一定在点P的左侧．若以P,Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，即2x—x=x2-3x．解得x1=0（舍去),x2=4．由于当x=4时，以P，Q，M,N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P，Q，M,N为顶点的四边形不能为等腰梯形．点评：本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点．5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开始，沿边AD向点D运动,速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动,速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒．(1）当t为何值时，四边形MNCD是平行四边形?（2）当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？分析：（1）根据平行四边形的性质，对边相等，求得t值；（2)根据等腰梯形的性质,下底减去上底等于12,求解即可．解答:解:(1)∵MD∥NC，当MD=NC,即15-t=2t，t=5时，四边形MNCD是平行四边形；（2)作DE⊥BC，垂足为E，则CE=21—15=6，当CN—MD=12时,即2t-(15—t）=12,t=9时,四边形MNCD是等腰梯形点评：考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容．6.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠C=90°，BC=16,DC=12，AD=21，动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t（s）．（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系；(2）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？分析：（1)若过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形,得出PM=DC=12，由QB=16-t,可知：s= PM×QB=96-6t；（2）本题应分三种情况进行讨论，①若PQ=BQ，在Rt△PQM中,由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入,可将时间t求出；②若BP=BQ，在Rt△PMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ,将数据代入，可将时间t求出；③若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ,将数据代入，可将时间t求出．解答：解:（1）过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．∴PM=DC=12,∵QB=16—t，∴s= •QB•PM= （16-t）×12=96-6t（0≤t≤ ）．（2)由图可知,CM=PD=2t，CQ=t,若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形,可以分三种情况：①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=(16-t）2，解得；②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t)2+122,由PB2=BQ2得（16—2t)2+122=（16—t）2,此方程无解，∴BP≠PQ．③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16—2t）2+122得，t2=16(不合题意，舍去）．综上所述，当或时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．点评:本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．7.直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O⇒B⇒A运动．（1)直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；(3）当S= 485时,求出点P的坐标,并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．分析:（1）分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标；（2)）因为OA=8,OB=6,利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q由O到A 的时间是8秒，点P的速度是2,从而可求出，当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时,OQ=t，OP=2t，S=t2，当P在线段BA 上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t,作PD⊥OA于点D,由相似三角形的性质，得PD=48-6t5，利用S= 12OQ×PD，即可求出答案;（3）令S= 485，求出t的值，进而求出OD、PD，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标．解答：解：（1）y=0，x=0,求得A（8，0）B(0，6），（2）∵OA=8，OB=6，∴AB=10．∵点Q由O到A的时间是81=8（秒）,∴点P的速度是6+108=2（单位长度/秒）．当P在线段OB上运动（或O≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2．当P在线段BA上运动（或3＜t≤8)时，OQ=t，AP=6+10-2t=16—2t，如图,做PD ⊥OA 于点D,由 PDBO=APAB ，得PD= 48-6t5． ∴S= 12OQ•PD =- 35t2+245t ．（3）当S= 485时，∵ 485＞12×3×6∴点P 在AB 上 当S= 485时，— 35t2+245t= 485 ∴t=4∴PD= 48-6×45= 245，AD=16-2×4=8 AD= 82-（245）2= 325 ∴OD=8— 325= 85 ∴P （ 85， 245） M1( 285， 245），M2（— 125， 245)，M3（ 125，— 245)点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时,应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．动点问题及四边形难题1如图1,在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点,四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． (1）求直线AC 的解析式；(2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0)，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；2。

八上四边形动点问题问题描述在数学课上，我们研究了四边形的性质和特点。

现在，我们来研究一个有趣的问题：四边形内一动点的特点。

问题一有一个任意形状的四边形ABCD，动点P在四边形内运动，如果点P到AB的距离固定为d，点P到BC的距离固定为m，点P 到CD的距离固定为n，点P到DA的距离固定为k，请用文字描述出所有满足这些条件的点P的轨迹。

问题二在四边形ABCD中，动点P在四边形内运动，如果点P到AB 的距离固定为d，点P到BC的距离固定为m，点P到CD的距离固定为n，那么点P到DA的距离会有什么特殊的性质或规律？解决思路问题一- 根据题意，我们已知点P到四边形的四条边的距离分别为d、m、n、k，并且这些距离都是固定的。

- 可以观察到，四边形内满足这些条件的点P的轨迹是一个特殊的曲线。

- 我们可以通过数学方法来求解这个曲线。

首先，连接点P和四边形的顶点A、B、C、D，得到四个三角形。

- 根据点到直线的距离公式，我们可以列出四个方程来表示点P到边AB、BC、CD、DA的距离。

- 将这四个方程联立求解，即可得到点P的坐标，从而确定它的轨迹。

问题二- 在四边形ABCD中，点P到四条边的距离都是固定的。

- 根据点到直线的距离公式，我们可以得到一个关于点P到边DA距离的方程。

- 观察这个方程，可以发现它是一个线性函数。

- 这意味着当我们改变点P在四边形内的位置时，点P到边DA的距离会以一定的速率变化，而且变化的趋势是直线的。

- 这个性质为我们进一步研究四边形动点问题提供了线索。

结论- 通过数学方法，我们可以确定点P满足给定条件的轨迹。

- 四边形动点问题中，当点P到三条边的距离固定时，点P到第四条边的距离会以一定的速率变化，且变化趋势是直线的。

- 这些结果向我们揭示了四边形内动点的一些特点，为我们对四边形的性质和特性有了更深入的理解。

以上是关于八年级数学的四边形动点问题的文档。

希望能对你有帮助！。