中点画线法算法

中点画线算法（任意斜率）基本原理在画直线段的过程中，当前像素点为（xp ,yp )，下⼀个像素点有两种可选择点P1(xp +1,yp )或P2(xp +1,yp +1)。

若M=(xp +1,yp +0.5)为P1与P2之中点，Q为P理想直线与x=xp +1垂线的交点。

当M在Q的下⽅，则P2应为下⼀个像素点；M在Q的上⽅，应取P1为下⼀个像素点。

在斜率0<=k<=1的时候，实现代码如下（书本代码）：void MidpointLine(int x0,int y0,int x1,int y1,int color){int a,b,d1,d2,d,x,y;a=y0-y1,b=x1-x0,d=2*a+b;d1=2*a,d2=2*(a+b);x=x0,y=y0;Drawpixel(x,y,color);while (x<x1){if (d<0){ x++,y++,d+=d2;}else{ x++,d+=d1; }Drawpixel(x,y,color);}}对于其他斜率，我们可以推出如下关系：实现代码如下：void MidpointLine(int x0,int y0,int x1,int y1,int color){int a,b,d1,d2,d,x,y;float m;if (x1<x0){d=x0,x0=x1,x1=d;d=y0,y0=y1,y1=d;}a=y0-y1,b=x1-x0;if (b==0) m=-1*a*100;else m=(float)a/(x0-x1);x=x0,y=y0;Drawpixel(x,y,color);if (m>=0 && m<=1){d=2*a+b;d1=2*a,d2=2*(a+b);while (x<x1){ if (d<=0) { x++,y++,d+=d2;}else { x++,d+=d1; }Drawpixel(x,y,color);}}else if (m<=0 && m>=-1){d=2*a-b;d1=2*a-2*b,d2=2*a;while (x<x1){ if (d>0) { x++,y--,d+=d1;}else { x++,d+=d2; }Drawpixel(x,y,color);} }else if (m>1){d=a+2*b;d1=2*(a+b),d2=2*b;while (y<y1){ if (d>0) { x++,y++,d+=d1;}else { y++,d+=d2; }Drawpixel(x,y,color);} }else{d=a-2*b;d1=-2*b,d2=2*(a-b);while (y>y1){ if (d<=0) { x++,y--,d+=d2;}else { y--,d+=d1; }Drawpixel(x,y,color);}}}备注：Drawpixel(x,y,color);是pDC->SetPixel(x,y,crColor);的意思。

第一章中点专题三角形是初中几何的重要内容之一，也是历年中考命题的热点。

其中，三角形各边的中点、中线及中位线的有关性质的应用，是中考的必考内容，历年多以计算和证明题的形式出现。

我们预计与中点有关的操作性试题和综合性的探究题将是今后几年中考数学的重点题型。

方法技巧提炼与中点有关的辅助线，我们总结下列四种类型：类型一见中线，可倍长1.倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形或平行四边形2.有些几何题在利用“倍长中线”证完一次全等三角形后，还需再证一次全等三角形，即“二次全等”.在证明第二次全等时，难点通常会体现在倒角上.常见的倒角方法有：①“8”字型(如图1-8)；②平行线；③180° (平角；三角形内角和）；④360° (周角；四边形内角和）；⑤小旗子（三角形外角）；⑥90° (互余角）类型二见等腰三角形，想“三线合一”已知等腰三角形底边的中点，可以考虑与顶点连接，用“三线合一”类型三见斜边，想中线已知直角三角形斜边的中点，可以考虑构造斜边中线，目的是得到三条等线段和两对等角.类型四见多个中点，想中位线已知三角形的两边有中点，可以连接这两个中点构造中位线；已知一边中点，可以在另一边上取中点，连接构造中位线；已知一边中点，过中点作平行线可构造相似三角形.精题精讲精练类型一见中线可倍长例题1.如图1-9，在∆ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于点 F, AF=EF，求证：AC=BE.【思路提示】AD是中线，可考虑倍长中线.变式.如图1-10，在∆ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF//AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，若AD为三角形ABC的角平分线，求证：BG=CF.例题2.如目1-11,在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D为BC的中点，点E,F分别为AB,AC上的点,且ED⊥FD,以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？【思路提示】倍长中线DF,造全等三角形变式1.如图1-12，已知点M 为△ABC 中BC 边上的中点，∠AMB, ∠AMC 的平分线分别交AB, AC 于点E ，F,连接 EF.求证：BE+CF>EF.变式2.如图1-13，在△ABC 中，点 D 是 BC 的 中 点，DM ⊥DN ，如果BM 2+CM 2=DM 2+DN2求证：AD 2=41(AB 2+AC 2).例题3.(丰台一模）已知 ABC 和△AED 是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA = BC ，DA = DE ，连接EC ，取EC 的中点M ，连接BM 和DM. 如图1-14（1），如果点D ，E 分别在边AC ，AB 上，那么BM ，DM 的数量关系与位置关系是 ； 将图1-14（1）中的△ADE 绕点A 旋转到图1-14（2）的位置，判断（1）中的结论是否依然成立，并说明理由.【思路提示】见到中点可考虑倍长中线证全等，得到线段相等和平行线，再证二次全等即可.检测1：如图1-15，在∆ABC中，若AB=10，AC = 6，求边上的中线AD的取值范围.检测2：如图1-16，在∆ABC中，D是BC边上的中点，DE丄DF于点D，DE交AB于点E：，DF交 AC 于点F，连接EF.求证：BE + CF>EF.类型二见等腰三角形，想“三线合一”例题4.如图1-17，一副三角板如图放置，等腰直角三角板ABC固定不动，另一块三角板的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点D处，且可以绕点D旋转，在旋转过程中，两直角边的交点G, H始终在边AB,BC上.（1）在旋转过程中线段和CH大小有何关系？证明你的结论.（2）若AB=BC=4cm，在旋转过程中四边形的面积是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的取值范围.（3）若交点G，H分别在边AB，BC的延长线上，则（1）中的结论仍然成立吗？请画出相应的图形，直接写出结论.【思路提示】见到中点D，而且在等腰直角三角形的底边上，可以想“三线合一”，再证全等.例题5.如图1-18，点P是等腰Rt∆ABC底边BC上一点，过点P作BA，AC的垂线，垂足分别为点E，F,设点D为BC的中点.求证：DEF∆是等腰直角三角形.【思路提示】欲证明DEF∆=90°,故只要证明∆是等腰直角三角形，需证明DE=DF,DEF∆即可解决.≅DEF∆DAF检测1：如图1-19，∆ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E, F分别是AB, AC 边上的点，且DE丄DF.（1）请说明：DE=DF；（2）请说明：BE2+ CF2= EF2；（3）若BE=6，CF=8，求∆DEF的面积.（直接写结果）类型三见斜边，想中线例题6.如图1-20，∆ABC中，若∠B=2∠C，AD丄BC，E为BC边的中点.求证：AB=2DE.【思路提示】取斜边AC或AB的中点，利用斜边中线性质和中位线性质.例题7.如图1-21，在Rt∆ABC中，∠ACB = 90°,点D，E分别是AB, AC的中点，点F在BC 的延长线上，且∠CEF=∠A.求证：DE=CF.【思路提示】点D，E分别是直角三角形ABC斜边和直角边的中点，利用斜边中线的性质和中位线解题.检测1：如图1-22，在Rt ∆ABC 中，∠ACB = 90°，M 是AB 的中点，E ，F 分别是AC ，BC 延长线上的点，且CE=CF=21AB ，则EMF ∠的度数为多少？检测2：如图1-23，在Rt ∆ACB 中，C 为直角顶点，∠ABC=25°，O 为斜边中点.将OA 绕着点O 逆时针旋转θ (0°<θ<180°）至OP ，当∆BCP 恰为轴对称图形时，θ的值为多少？类型四见多个中点，想中位线例题8.问题一：如图1-24 (1)，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF 并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N.求证：∠BME=∠CNE.问题二：如图1-24 (2)，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E，F分别是BC，AD 的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，判断OMN∆的形状，请直接写出结论.问题三：如图1-24 (3)，在∆ABC中，AC>AB，点D在AC上，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，连接GD。

七上数学中点问题解题技巧和方法一、认识中点1、什么是中点在平面几何中，中点指的是线段的中心点，也就是将一条直线段平均分成两段的点。

在坐标系中，中点的坐标可以通过相应线段的两个端点的坐标来求得。

2、中点的特点中点具有以下特点：- 与两端点距离相等- 与两端点连线构成的线段长度是全线段长度的一半- 坐标为两端点坐标的算术平均值二、中点问题解题技巧和方法1、求直线段中点的坐标求直线段中点的坐标，可以通过端点坐标的平均值来求得。

假设直线段的两个端点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则中点的坐标为：\[M(\frac{x1+x2}{2},\frac{y1+y2}{2} )\]2、中点问题解题步骤求解中点问题一般需要经过以下步骤：- 确定问题：明确问题中需要求解的中点的具体内容，确定问题中所给条件以及未知数。

- 分析问题：通过问题分析，理清思路，确定解题的方法和步骤。

- 求解过程：根据问题需求，使用公式或者坐标的求解方法求得中点坐标。

- 检验答案：求得中点坐标后，通过计算或者图示方法对答案进行检验，确保结果的准确性。

三、实例分析下面通过实例对中点问题的解题技巧和方法进行具体分析。

例题：已知直线段AB的端点坐标分别为A（2，3）和B（6，8），求直线段AB的中点坐标M。

分析解题步骤：1. 确定问题：根据题目要求，需要求解直线段AB的中点坐标M。

2. 分析问题：根据中点的定义和公式，可以通过端点坐标的平均值求得中点坐标。

3. 求解过程：根据公式\[M(\frac{x1+x2}{2},\frac{y1+y2}{2} )\]，带入端点坐标得到：\[M(\frac{2+6}{2},\frac{3+8}{2} )\]，计算得中点坐标M为：\[M(4,5)\]。

4. 检验答案：通过计算得到的中点坐标进行检验，发现满足与端点距离相等的特点，因此得出结论，中点坐标M为(4,5)。

四、总结与思考中点问题是数学中的基础问题，其求解过程涉及到坐标系的运用、平均值的计算等数学知识。

例谈中点问题的几种辅助线的作法U思路方法37例谈中点问题的几种辅助线的作法■娄茹在研究几何图形时,若有涉及中点的问题,我们常需要添加一些适当的辅助线来解答问题,如果能够把这一类问题的一般方法作出全面的归纳,那将对我们思考问题是很有益处的.一,作等腰三角形底边上的中线在等腰三角形中,作它底边上的中线,我们可利用等腰三角形"三线合一"的性质来解答问题.例1已知:如图1,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,=AE,求证:BD=CE.分析:本题利用全等三角形可以证明,但若作底边上的高线,运用等腰三角形"三线合一"的性质,证法更显简洁.证明:作AF上BC,垂足为F,则AF上DE.BDFEc图1'.'AB=AC,AD=Ao又AF上BC,.IF上DE,o'oBF=CF.DF=EF.因此:BID=CE.二,作平行线.构造全等三角形已知三角形一边的中点,我们可以经过其中一个顶点作对边的平行线,构造""型图,从而可以得到全等三角形.例2已知:如图2,ABC=忸=90*,AD+BC=CD,为佃的中点,求证:DEC=9.证明:延长DE,交CB的延长线于点F.'.'DAE=船=90",=髓,.tED=BEF,.△AED兰△BEF.AD口C图2.'.DE=EF,AD=BFo又+BC=CD,..BF+BC=CD,即CF=CD.又DE=EF....CE上DF.因此:DEC=9.三,作平行线,构造中位线已知三角形一边的中点,我们可以过这个中点,或者过其中一个端点作平行线,构造"A"型图,从而可以得到三角形的中位线,运用中位线解答答问题. 例3已知:如图3,AD是/"ABC的中线,直线CF交AD于E,交liB于F,求证::2BFAF1B分析:本题属于三角形边上的中点问题,除了构造全等(即作BM∥CF,交AD 的延长线于点)外,也可以过中点D作平行线,构造中位线.证明:作DG∥cF,交BF于c,则AE:ED=AF:彤.DG//CF.BD:CD,.FG=吉.笪一'ED一B—I一,.田.笪一儿:ED—BF.四,作直角三角形斜边上的中线在直角三角形中,我们可以作斜边上的中线,运用"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"这个重要性质来解答问题.例4已知:如图4,在/xABC中,B=2LC,AD上BC,为BC的中点,求证:DM=吉他.证明:取的中点E,连结DE和EM,则A图4DE=÷AB,B=EDB.又EM是△BAC的中位线,..EM∥AC,即EMB=C.'.'MED=BED一EMD=B一÷B=二C,.'.仍=MED,因此:DM=DE=—1AB.注:本例取AC的中点同样可证.五,连结圆心与弧(弦)的中点在圆中,我们可以连结圆心与弧(弦)的中点,利用垂径定理的推论来解答问题.例5已知:如图5,BC为oD的直径,ADJIBC,垂足为D.A日=AF,BF和.tD相交于点E,求证:AE=BE.分析:由于点A为BF的中点,圆心是点0,若连结,则可利用垂径定理的推论来解答问题.证明:连结AO,交BF于点G,.点0为圆心,佃=AF,..AO_l_BF.在AAOD与△BOG中,'.'AJDD=BC.O=90*,AO=BO,A0=BOG,.'.△A0口兰△肋G(AAS),.'.A=B,DO=GO,又BD=A0,.'.BD:AG...△肋E兰△ACE.因此:A=BE.(作者单位:江苏省新沂市第四中学)。

实验1中点画线和Bresenham画线算法的实现计算机图形学实验报告实验1 使用画线算法，绘制直线段一．实验目的及要求（1）掌握图形学中常用的三种画线算法：数值微分法、中点画线法和Bresenham画线算法。

（2）掌握绘制直线的程序设计方法。

（3）掌握使用文件来保存直线段的方法。

（4）掌握从文本文件中恢复出直线的方法。

二．实验内容使用VC++ 6.0开发环境，分别实现中点画线算法和Bresenham 画线算法，绘制直线（注意，不能使用VC中已有的绘制直线的函数），并以文本文件的形式保存绘制的结果，可以从文本文件中恢复出以前绘制过的直线。

三．算法设计与分析Bresenham算法绘制直线的程序（仅包含整数运算）。

void MidBresenhamLine(int x0,int y0,int x1,int y1,int color) {int dx,dy,d,UpIncre,DownIncre,x,y;if(x0>x1){x=x1;x1=x0;x0=x;y=y1;y1=y0;y0=y;}x=x0;y=y0;dx=x1-x0;dy=y1-y0;d=dx-2*dy;UpIncre=2*dx-2*dy;DownIncre=-2*dy;while(x<=x1){putpixel(x,y,color);X++;if(d<0){y++;d+=UpIncre;}else d+=DownIncre;}}四．程序调试及运行结果的自我分析与自我评价// testView.cpp : implementation of the CT estView class#include "stdafx.h"#include "test.h"#include "testDoc.h"#include "testView.h"#include // ifstream、ofstream等位于其中#include#include // string类型需要#include "DlgInput.h" //CDlgInput类的头文件using namespace std;#ifdef _DEBUG#define new DEBUG_NEW#undef THIS_FILEstatic char THIS_FILE[] = __FILE__;#endif// CTestViewIMPLEMENT_DYNCREATE(CTestView, CView)BEGIN_MESSAGE_MAP(CTestView, CView)//{{AFX_MSG_MAP(CTestView)ON_COMMAND(ID_MENUITEM32771, OnMenuitem32771)ON_COMMAND(ID_MENUBRESENHAMLINE, OnMenubresenhamline) ON_COMMAND(ID_MENUCLEARVIEW, OnMenuclearview)ON_COMMAND(ID_FILE_OPEN, OnFileOpen)ON_COMMAND(ID_FILE_SA VE, OnFileSave)//}}AFX_MSG_MAP// Standard printing commandsON_COMMAND(ID_FILE_PRINT, CView::OnFilePrint)ON_COMMAND(ID_FILE_PRINT_DIRECT, CView::OnFilePrint) ON_COMMAND(ID_FILE_PRINT_PREVIEW,CView::OnFilePrintPreview) END_MESSAGE_MAP()// CTestView construction/destructionCTestView::CTestView(){// TODO: add construction code herem_nFlag = -1; // 不是任何绘图类型}CTestView::~CT estView(){}BOOL CTestView::PreCreateWindow(CREATESTRUCT& cs){// TODO: Modify the Window class or styles here by modifying// the CREATESTRUCT csreturn CView::PreCreateWindow(cs);}// CTestView drawingvoid CTestView::OnDraw(CDC* pDC){CTestDoc* pDoc = GetDocument();ASSERT_V ALID(pDoc);// TODO: add draw code for native data hereif(1==m_nFlag) // 中点画线{MidPointLine(m_X0, m_Y0, m_X1, m_Y1, RGB(255,0,0) );}else if(2==m_nFlag) // Bresenham画线{BresenhamLine(m_X0, m_Y0, m_X1, m_Y1, RGB(0,255,0) );}}// CTestView printingBOOL CTestView::OnPreparePrinting(CPrintInfo* pInfo){// default preparationreturn DoPreparePrinting(pInfo);}void CTestView::OnBeginPrinting(CDC* /*pDC*/, CPrintInfo* /*pInfo*/){// TODO: add extra initialization before printing}void CTestView::OnEndPrinting(CDC* /*pDC*/, CPrintInfo* /*pInfo*/){// TODO: add cleanup after printing}// CTestView diagnostics#ifdef _DEBUGvoid CTestView::AssertValid() const{CView::AssertValid();}void CTestView::Dump(CDumpContext& dc) const{CView::Dump(dc);}CTestDoc* CTestView::GetDocument() // non-debug version is inline{ASSERT(m_pDocument->IsKindOf(RUNTIME_CLASS(CT estD oc)));return (CT estDoc*)m_pDocument;}#endif //_DEBUG// CTestView message handlersvoid CTestView::OnMenuitem32771(){// TODO: Add your command handler code herem_nFlag = 1; // 中点画线CDlgInput dlg;if(IDOK==dlg.DoModal()){m_X0=dlg.m_nX0;m_Y0=dlg.m_nY0;m_X1=dlg.m_nX1;m_Y1=dlg.m_nY1;RedrawWindow(); //重绘窗口}}void CTestView::OnMenubresenhamline(){// TODO: Add your command handler code herem_nFlag = 2; // Bresenham画线CDlgInput dlg;if(IDOK==dlg.DoModal()){m_X0=dlg.m_nX0;m_Y0=dlg.m_nY0;m_X1=dlg.m_nX1;m_Y1=dlg.m_nY1;RedrawWindow(); //重绘窗口}}// 算法: 中点画线// 输入: 起点(x0,y0),终点(x1,y1);// 输入要求x0<=x1;void CTestView::MidPointLine( int x0, int y0, int x1, int y1, int color ){CDC * pDC=GetDC();int a,b,d0,d1,d2,d3,d4,d5,d,x,y;a=y0-y1;b=x1-x0; // 之前的设置已经保证始终有x1>=x0d=2*a+b;d0=2*a-b;d1=2*a;d2=2*(a+b);d3=2*b;d4=2*(a-b);d5=a-2*b;x=x0;y=y0;pDC->SetPixel(x,y,color);if(x==x1) // 斜率k为无穷大{if(y<=y1){while(y<=y1){pDC->SetPixel(x,y,color);y++;}}else{while(y>=y1){pDC->SetPixel(x,y,color);y--;}}}// if 斜率k为无穷大else // 斜率k为有限值{// double k=-a/b;// if( k+1>1e-6 && k-1<1e-6 || fabs(k-1)<1e-6 || fabs(k+1)<1e-6) // |k|<=1(即：-1<= k <=1)，与1e-6比较是浮点数比较方法if( -b<=-a && -a<=b ) // 用浮点数比较在|k|=1.0f时容易出问题，所以直接用整数比较（将斜率k转换为a与b的比较；之前的设置已经保证b为正数）{if(y<=y1){while(x<x1)< p="">{if(d<0){x++;y++;d+=d2;}else{x++;d+=d1;}pDC->SetPixel(x,y,color);}}else{while(x<x1)< p="">{if(d0<0){ x++;d0+=d1;}else{ x++;y--; d0+=d4; }pDC->SetPixel(x,y,color);}}}// if( |k|<=1 )else // |k|>1{if(y<=y1){while(x<x1)< p="">{if(d<0){y++;d+=d3;}else{y++;x++;d+=d2;}pDC->SetPixel(x,y,color);}}else{while(x<x1)< p="">{if(d5<0){ x++;y--; d5+=d4;}else{y--; d5+=-2*b;}pDC->SetPixel(x,y,color);}}}// else( |k|>1 )}// else 斜率k为有限值ReleaseDC(pDC);}// 算法: Bresenham画线// 输入: 起点(x0,y0),终点(x1,y1);// 输入要求x0<=x1;void CTestView::BresenhamLine( int x0, int y0, int x1, int y1, int color ){ CDC * pDC=GetDC();int x,y,dx,dy,e;dx=x1-x0;dy=y1-y0;e=-dx;x=x0;y=y0;while(x<=x1){ pDC->SetPixel(x,y,color);x++;e=e+2*dy;if(e>0){y++;e=e-2*dx;}}}void CTestView::OnMenuclearview(){// TODO: Add your command handler code here m_X0=0;m_Y0=0;m_X1=0;m_Y1=0;RedrawWindow();//重绘窗口}// 打开过去保存的文件，该文件包含直线的端点坐标void CTestView::OnFileOpen(){// TODO: 在此添加命令处理程序代码if( m_nFlag!=1 && m_nFlag!=2 ){MessageBox("请先在菜单中选择绘制直线的方法!","提示",MB_ICONWARNING);return;}CFileDialog dlgFile (TRUE, _T("txt"), _T(""),OFN_FILEMUSTEXIST| OFN_HIDEREADONL Y, _T("线段端点坐标文件(*.txt)|*.txt||"), this);if( IDOK == dlgFile.DoModal()){CString fileName = dlgFile.GetFileName();ifstream rFile;rFile.open(fileName,ios::in);if ( ! rFile.is_open() ){MessageBox("文件打开失败!","提示",MB_ICONW ARNING);return;}CString strLine0;string strLine;int nX,nY;// 起点、终点，两个坐标rFile>>strLine;strLine0 = strLine.c_str();nX = atoi( strLine0.Left( strLine0.Find(",") ) ); // 解析文件，如“220,221”表示一个点的x、y坐标nY = atoi( strLine0.Mid( strLine0.Find(",")+1 ) );m_X0 = nX;m_Y0 = nY;rFile>>strLine;strLine0 = strLine.c_str();nX = atoi( strLine0.Left( strLine0.Find(",") ) );nY = atoi( strLine0.Mid( strLine0.Find(",")+1 ) );m_X1 = nX;m_Y1 = nY;RedrawWindow();rFile.close();}}// 保存当前视图上绘制的所有直线的端点坐标void CTestView::OnFileSave(){// TODO: 在此添加命令处理程序代码CFileDialog dlgFile(FALSE, _T("txt"), _T(""), OFN_OVERWRITEPROMPT, _T("线段端点坐标文件(*.txt)|*.txt||"), this);if( IDOK == dlgFile.DoModal()) // 保存文件{CString strFileName = dlgFile.GetFileName(); // 包含完整路径的文件名称ofstream wFile;wFile.open(strFileName,ios::out|ios::ate|ios::app);if ( ! wFile.is_open() ){MessageBox(strFileName+"文件创建失败!","提示",MB_ICONW ARNING);return;}wFile<<m_x0<<","<<m_y0<<="">wFile<<m_x1<<","<<m_y1<<="">五．实验心得及建议实验心得：Bresenham算法是一种很方便很实用很简单的算法，它对任意斜率的直线段具有通用性。

画中点的依据一、画中点的定义画中点是指在一条线段上找到一个点，使得这个点到线段的两个端点的距离相等。

画中点问题是一个经典的几何问题，也是数学中的一个基础概念。

二、画中点的方法2.1 通过线段的中点画中点最常用的方法是通过线段的中点来确定。

线段的中点是指线段的两个端点的中垂线的交点。

具体步骤如下：1.连接线段的两个端点，得到线段；2.在线段上找到两个等长的线段，分别连接线段的两个端点与等长线段的中点；3.连接两个中点，得到线段的中垂线；4.中垂线与线段的交点即为线段的中点。

2.2 通过线段的三等分点除了通过线段的中点确定画中点外，还可以通过线段的三等分点来确定。

线段的三等分点是指将线段分成三个等长的部分，其中两个三等分点分别位于线段的两个端点的外侧，另一个三等分点位于线段的中点处。

具体步骤如下：1.连接线段的两个端点，得到线段；2.在线段上找到两个等长的线段，分别连接线段的两个端点与等长线段的中点；3.连接两个中点，得到线段的中垂线；4.在中垂线上找到两个等长的线段，分别连接中垂线的两个端点与等长线段的中点；5.连接两个中点，得到线段的三等分线；6.三等分线与线段的交点即为线段的中点。

三、画中点的应用画中点在几何学中有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。

3.1 三角形的垂心在三角形中，垂心是指三条高线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

垂心可以通过画中点的方法来确定。

具体步骤如下：1.连接三角形的三个顶点，得到三角形；2.对三条边分别做垂线，得到三条高线；3.通过画中点的方法确定三条高线的中点；4.连接三个中点，得到垂心。

3.2 矩形的中点连线矩形的中点连线是指连接矩形的相邻边中点的线段。

矩形的中点连线可以通过画中点的方法来确定。

具体步骤如下：1.连接矩形的相邻边的中点，得到中点连线。

3.3 五边形的对角线五边形的对角线是指连接五边形的两个不相邻顶点的线段。

五边形的对角线可以通过画中点的方法来确定。

中点画线算法中点画线算法(Midpoint Line Drawing Algorithm)是通过在每列像素中确定与理想直线最靠近的像素来进⾏扫描转换的。

步骤实现斜率: 0<=k<=1直线端点:(x1,y1),(x2,y2)1) 初始化。

令 a=y1-y2, b=x2-x1, d=2*a+b, deta1=2*a, deta2=2*(a+b), x=x1, y=y1.2) ⽤颜⾊color画像素(x,y)。

3) 判断x是否⼩于x2。

如果x代码实现(基于VC 6.0) 斜率: 任意1#define ROUND(a) ((int)(a+0.5))2/* 中点直线⽣成算法 */3void CDrawDC::LineMP(int x1, int y1, int x2, int y2, COLORREF color)4 {5int a,b,x,y,d,da1,da2;67if(x1<x2 && y1<y2){8 a=y1-y2;9 b=x2-x1;10 x=x1,y=y1;11 d=2*a+b;12 da1=2*a;13 da2=2*(a+b);1415 SetPixel(ROUND(x),ROUND(y),color);16for(;x<x2;){17if(d<0){18 x++;19 y++;20 d+=da2;21 }else{22 x++;23 d+=da1;24 }25 SetPixel(ROUND(x),ROUND(y),color);26 }27 }else if(x1>x2 && y1>y2){28 a=y2-y1;29 b=x1-x2;30 x=x2,y=y2;31 d=2*a+b;32 da1=2*a;33 da2=2*(a+b);3435 SetPixel(ROUND(x),ROUND(y),color);36for(;x<x1;){37if(d<0){38 x++;39 y++;40 d+=da2;41 }else{42 x++;43 d+=da1;44 }45 SetPixel(ROUND(x),ROUND(y),color);46 }47 }else if(x1>x2 && y1<y2){48 a=-y2;49 b=x1-x2;50 x=0,y=0;51 d=2*a+b;52 da1=2*a;53 da2=2*(a+b);5455 SetPixel(ROUND(x1-x),ROUND(y+y1),color);56for(;x<b;){57if(d<0){58 x++;59 y++;60 d+=da2;61 }else{62 x++;63 d+=da1;64 }65 SetPixel(ROUND(x1-x),ROUND(y+y1),color);66 }67 }else if(x1<x2 && y1>y2){68 a=-y1;69 b=x2-x1;70 x=0,y=0;71 d=2*a+b;72 da1=2*a;73 da2=2*(a+b);7475 SetPixel(ROUND(x2-x),ROUND(y+y2),color);76for(;x<b;){77if(d<0){78 x++;79 y++;80 d=d+da2;81 }else{82 x++;83 d+=da1;84 }85 SetPixel(ROUND(x2-x),ROUND(y+y2),color);86 }87 }88 }参考来源: 《计算机图形学实⽤教程（第三版）· 苏⼩红编著》。

线段的中点和分点公式线段是指由两个端点所确定的一段直线。

在数学中，我们经常需要计算线段的中点和分点的坐标。

本文将介绍线段的中点和分点的计算公式，并且给出一些实际的应用例子。

1. 线段的中点公式线段的中点即为线段的中间点，离两个端点的距离相等。

如果我们已知线段的两个端点的坐标，可以使用下面的公式来计算线段的中点的坐标：中点的横坐标 = (端点1的横坐标 + 端点2的横坐标) / 2中点的纵坐标 = (端点1的纵坐标 + 端点2的纵坐标) / 2例如，假设线段的端点1为A(x1, y1)、端点2为B(x2, y2)，我们可以使用上述公式来计算线段AB的中点的坐标。

这个中点的坐标可以表示为M((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。

2. 线段的分点公式线段的分点指的是线段上的任意一点，它将线段分成两个小线段。

如果我们已知线段的两个端点的坐标以及分点离端点1的距离比例（即所占线段总长度的比例），可以使用下面的公式来计算分点的坐标：分点的横坐标 = 端点1的横坐标 + (端点2的横坐标 - 端点1的横坐标) * 比例分点的纵坐标 = 端点1的纵坐标 + (端点2的纵坐标 - 端点1的纵坐标) * 比例例如，假设线段的端点1为A(x1, y1)、端点2为B(x2, y2)，我们可以使用上述公式来计算线段AB上距离端点1长度比例为k的分点的坐标。

这个分点的坐标可以表示为P(x1 + (x2 - x1) * k, y1 + (y2 - y1) * k)。

3. 应用例子线段的中点和分点公式在几何学和物理学中有广泛的应用。

以下是一些例子：- 几何图形中的对称轴：对称轴是指一个几何图形的中心线，在轴上的任意一点到图形两侧的距离相等。

我们可以使用线段的中点公式来计算对称轴的坐标。

- 物体运动的中点和分点：在物理学中，我们经常需要计算物体在一段时间内的平均位置。

我们可以使用线段的中点公式来计算物体在两个时间点的中点位置，并使用线段的分点公式来计算物体在不同时间点的分点位置。

101x x y y x y k --=∆∆=Bkx y i i +=()()111111<+==∆∆+=∆++=+∆+=+=++++k ky y x let xk y y x k B kx B x x k B kx y i i i i i i i i ()111111>+==∆∆+-=-=+++k k x x y let ky k B k y k B k y x i i i i i 实验一、直线生成算法DDA 画线算法一 .名称：DDA 画线算法；二 . 算法分析：1.设直线两端点为:P1(x1,y1)及 P0(x0,y0),2.则直线斜率3.则直线方程为4.当 k <1 , x 每增加1，y 最多增加1(或增加小于1)。

5.当 k>1 ,y 每增加1,x 最多增加1 (或增加小于1) 。

y ix i y i +1 x i +1三．算法实现：void CHuayahuaView::OnDda() //DDA画直线{// TODO: Add your command handler code hereCDC* pdc1 = GetDC();int color = RGB(255,0,0);int x1=10,y1=20,x2=200,y2=200;double k=(y2-y1)*1.0/(x2-x1);//k<1;double y=y1;for(int i=x1;i<=x2;i++){pdc1->SetPixel(i,(int)(y+0.5),color);y=y+k;}ReleaseDC(pdc1);}四：程序截图：中点画线算法一．实验名称：中点画线算法二．算法分析：直线方程直线将二维空间划分为三个区域:如F(x,y)=0, 则(x,y) 在直线上如F(x,y)<0, 则(x,y)在直线下方如F(x,y)>0, 则(x,y)在直线上方条件: a= -(y1-y0)b=(x1-x0)c= -B(x1-x0)三．代码实现：void CHuayahuaView::MidPointLine(){// TODO: Add your command handler code hereCDC* pdc1 = GetDC();int color = RGB(255,0,0);int x1=30,y1=50,x2=200,y2=100;//斜率；int x,y,a,b,d,d0,d1,d2;a=y2-y1;b=x2-x1;d=2*a+b;d1=2*a;d2=2*(a+b);x=x1,y=y1;pdc1->SetPixel(x,(int)(y+0.5),color);while(x < x2){if(d>0){x++;y++;d+=d2;}else{x++;d+=d1;}pdc1->SetPixel(x,(int)(y+0.5),color);}ReleaseDC(pdc1);}四．程序截图：Bresenham画线算法一．算法名称：Bresenham画线算法二．算法分析：定义决策变量d = d+k (0<k<1)设0<k<1，如直线上的一点为（x,y）,则点，为: （x+1,y） (d<0.5) 或（x+1,y+1）(d>=0.5) 当d>1时,让以证0<=d<1d0=0定义决策变量d = d+k (0<k<1)设0<k<1，如直线上的一点为( x,y）, 则下一点为: （x+1,y） (d<0.5) 或（x+1,y+1）(d>=0.5) 当d>1时, 让d=d-1,以保证0<=d<1定义决策变量e = d-0.5 (0<k<1),e0 = -0.5则下一点为:（x+1,y） (e<0) 或（x+1,y+1）(e>=0) 当e >0时, 让e=e-1, (重新初始化误差项)由于算法只用到误差项的符号,为了改用整数以避免除法,可以作如下替换:e = 2*e*dx定义决策变量e = 2*e*dx, e0 = - dx;e=e +2*dy则下一点为: （x+1,y） (e <0) ;或（x+1,y+1）(e >=0) 当e >0时, 让e= e - dx, (重新初始化误差项)三．算法实现：void CHuayahuaView::Breshnham(){// TODO: Add your command handler code hereCDC* pdc2 = GetDC();int color = RGB(255,0,0);int x1=50,y1=50,x2=200,y2=150;int x,y,dx,dy,e;dx=x2-x1;dy=y2-y1;e=-dx；x=x1;y=y1;for(int i=0;i<=dx;i++){pdc2->SetPixel(x,(int)(y+0.5),color);x++;e=e+2*dy;if(e>=0){y++;e=e-2*dx;}}ReleaseDC(pdc2);}四：程序运行截图：。

先标明这转载自/xxxxxx91116/article/details/6295714直线扫描算法之---bresenham改进算法(任何斜率，任何方向)by zxx图形学神马的全都是数学，看来以后我不能搞这个，伤脑筋，所以先把我现在懂得先记录下来吧。

不过呢，我的水平实在有限，对于算法这种东西实在难以说明白，请大家包涵。

书上讲的实在是太过简略，所以这里我把一些简单的推导过程都记录下来：1.重温bresenham未改进算法（斜率在0-1之间的直线）我想要记录的是bresenham改进算法，所以在讲解改进算法之前，我先用一个简单的例子说明一下未改进算法的思想：这是一个斜率k在0-1之间的一条直线，我就用斜率为0-1之间的直线来重温：首先，如图1所示，假设x列的像素已定，其坐标为（x，y），那么下一个坐标一定是：（x+1，y+1）或者（x+1，y）。

而是哪一个取决于d的值，如果d>0.5那么就是（x+1，y+1），如果d<0.5,那么就是（x+1，y），而d是什么呢？当然是斜率了。

（原因如下：y=kx+b当x增加1时：y=kx+k+b所以当x增加1是，y方向的增量是d。

）所以每次我们只需要让d=d+k（k是斜率）即可，当d>=1时，就让d减一，这样就保证了d在0-1之间。

当d>0.5,下一个点取（x+1，y+1）当d<0.5,下一个点取（x+1，y）然后呢，我们为了判断的方便，让e=d-0.5，这样就变成了：当e>0，下一个点取（x+1，y+1）当e<0，下一个点取（x+1，y）2.过渡，重温之后，我们就想要改进，为什么要改进呢？因为我们这里面有0.5，还有k，k里面有dx/dy，这些除法和小数都不是我们想要的，我们想要的是，只有整数，且只有加法的算法，下面就全面讨论一下改进算法。

3.改进算法篇（不同斜率，不同方向）这里，我们主要分为4个角度来说明：A.斜率在0-1只间B.斜率在1-无穷之间C.斜率在0-（-1）之间D.斜率在（-1）-负无穷之间E．两种特殊情况，两条直线。

中点的八大用法
1. 计算中点
中点是两个数的平均值，可以用公式计算：
中点 = (数1 + 数2) / 2
例如，数1为2，数2为6，则中点为 (2+6)/2 = 4。

2. 判定中点
当两个数都已知，可以利用中点的定义来判定任意一个数是否为这两个数的中点。

如果这个数等于这两个数的平均值，则它是中点。

3. 求线段中点
在几何中，我们可以利用中点的概念来确定一个线段的中点。

只需要将线段两端点的横纵坐标分别相加除以2，就可以得到线段的中点坐标。

4. 拆分线段
通过线段的中点，可以将线段等分为两个长度相等的部分。

这种拆分方法在数学和计算机图形学中经常使用。

5. 布局设计
在设计中，中点可以作为布局的基准点，使设计更加对称美观。

例如，在网页设计中，中点可以用来排版页面元素使得页面看起来更加整洁。

6. 统计学
在统计学中，对于一组数据，可以找到它们的中点并计算出平均值，以便评估数据的分布情况和趋势。

7. 物理学
在物理学中，中点可以用来描述物体的质心。

质点系统的质心是它们所有的质量的平均位置，而且它的运动符合牛顿第一定律。

8. 艺术创作
在艺术创作中，中点可以用来创造视觉上的平衡和对称。

例如，在绘画和雕塑中，艺术家通常会使用中点来确定物体的比例关系和对称性。

中点的计算公式在数学的世界里，中点这个概念可是有着不小的作用呢！今天咱们就来好好聊聊中点的计算公式。

先来说说啥是中点。

中点呀，就像是两个小伙伴站在一条线上，中间那个让他们距离相等的点，这就是中点啦。

比如说，在一条数轴上，有两个数 A 和 B，那它们的中点 M 该怎么算呢？这就用到咱们的中点计算公式啦，中点 M = （A + B）÷ 2 。

就拿个简单的例子来说吧，假设数轴上有两个数 3 和 7，那它们的中点是多少呢？按照公式来算，就是（3 + 7）÷ 2 = 5 。

你看，这 5 就正好在 3 和 7 的正中间，是不是很神奇？在平面几何里，中点的计算公式也同样重要。

比如在一个三角形里，如果知道了两个顶点的坐标，要找它们连线的中点，那也得靠这个公式。

我记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙总是弄不明白。

那是一个阳光明媚的下午，教室里有点闷热，大家都有点心不在焉的。

我正讲到中点公式，这个小家伙皱着眉头一脸迷茫地看着我。

我走过去问他是不是没听懂，他点点头，小声说：“老师，我怎么觉得这个公式好难呀，怎么用都用不对。

”我笑着安慰他别着急，然后拿了个三角形在黑板上给他一步一步地演示。

我先标上了两个顶点的坐标，然后按照公式慢慢算给他看。

我一边算一边给他解释每个步骤的道理，看着他似懂非懂的眼神，我又换了几个例子继续讲。

终于，他的眼睛亮了起来，兴奋地说：“老师，我懂啦！”那一刻，我心里别提多有成就感了。

其实呀，中点的计算公式在生活中也有不少用处呢。

比如说，你要在一条路上找一个中间的位置来摆摊，或者规划两个地点之间的中点作为集合点，这时候中点公式就能派上用场啦。

再比如说，装修房子的时候，如果要在一面墙上挂一幅画，想让它在中间位置显得美观，也能通过测量两端的距离，用中点公式来确定挂画的位置。

总之，中点的计算公式虽然看起来简单，但是用处可大着呢！大家一定要好好掌握，说不定啥时候就能派上大用场。

希望大家在学习数学的道路上，都能像找到中点一样，一步一个脚印，稳稳地向前走！。