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七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版

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七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版

第三章因式分解

1.因式分解

定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。即：多项式几个整式的积例：axbx

13131

x3

因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。2.因式分解的方法：

（1）提公因式法：

①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式

或多项式。

系数——取各项系数的最大公约数

字母——取各项都含有的字母

指数——取相同字母的最低次幂

例：12a3b3c8a3b2c36a4b2c2的公因式是

解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部

3232

分a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式abc，故多项式的公因式是2abc.

②提公因式的步骤第一步：找出公因式；

第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩

下的另一个因式。

注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要

先提取符号。

2233

例1：把12ab18ab24ab分解因式.

解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab，故公因式为6ab。

2233

解：12ab18ab24ab

6ab

例2：把多项式3x分解因式

解析：由于4x，多项式3x可以变形为3x,我们可以发现多项

式各项都含有公因式（x4）,所以我们可以提取公因式（x4）后,再将多项式写成积的形式.解：3x=3x=

例3：把多项式x22x分解因式

解：x22x=x（2）运用公式法

定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

a.逆用平方差公式：a2b2

b.逆用完全平方公式：a22abb22

3

3

2

2

c.逆用立方和公式：ab

d.逆用立方差公式：a3b3

注意：①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。

②选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项

式，可考虑完全平方公式。

例1：因式分解a214a49

2

解：a14a49=2

例2：因式分解a2a解：a2a=（3）分组分解法（拓展）

①将多项式分组后能提公因式进行因式分解；例：把多项式abab1分解因式

解：abab1==a②将多项式分组后能运用公式进行因式分解.

22

例：将多项式a2ab1b因式分解

22

222

22

解：a2ab1b

=11

2x（4）十字相乘法（形如xpq形式的多项式，可以考虑运用此种方法） 222

方法：常数项拆成两个因数p和q，这两数的和pq为一次项系数

x2xpq

x2xpq

例：分解因式x2x30分解因式x252x100补充点详解补充点详解

我们可以将-30分解成p×q的形式，我们可以将100分解成p×q的形式，使p+q=-1,p×q=-30,我们就有p=-6,使p+q=52,p×q=100,我们就有p=2,q=5或q=-6,p=5。q=50或q=2,p=50。

所以将多项式x2xpq可以分所以将多项式x2xpq可以分解为解为

x

x5

x2

-6

x50

x2x30

3.因式分解的一般步骤：

x252x100

如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，

通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。

注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明

确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。一、例题解析

提公因式法

提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.确定公因式的方法：

系数——取多项式各项系数的最大公约数；

字母——取各项都含有的字母的最低次幂.【例1】分解因式：

⑴15aab

2n1

10abba

2n

⑵4a2n1bm6an2bm1

【巩固】分解因式：2n12n22n，n为正整数. 【例2】先化简再求值，yxyxyxyx2，其中x2，y

2

求代数式的值：22x，其中x.

3

1．2

22221

【例3】已知：bca2，求abc的值.

33333

公式法

平方差公式：a2b2

①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；

③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.完全平方公式：a22abb22a22abb22①左边相当于一个二次三项式；

②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；

分解因式：x3x2zx2y.

③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；

④右边是这两个数或式的和的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定.一些需要了解的公式：

a3b3a3b33a33a2b3ab2b33a33a2b3ab2b3

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湘教版数学七年级下册 --《因式分解》单元检测

湘教版数学七年级下册 --《因式分解》单元检测

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

信达

初中数学试卷

2014--2015学年七年级《因式分解》单元检测

一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分）

1．（2014秋•南昌期末）下列式子从左到右变形中，是因式分解的为（ ）

A．a2+4a•21=a（a+4）•21 B． a2+4a﹣21=（a﹣3）（a+7）

C．（a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21 D． a2+4a﹣21=（a+2）2﹣25

2．（2014秋•旬阳县校级月考）若A=10a2+3b2﹣5a+5，B=a2+3b2﹣8a+5，则A﹣B的值与

﹣9a3b2的公因式为（ ）

A．a B．﹣3 C．9a3b2 D．3a

3．（2014•常德）下面分解因式正确的是（ ）

A．x2+2x+1=x（x+2）+1 B． （x2﹣4）x=x3﹣4x

C．ax+bx=（a+b）x D． m2﹣2mn+n2=（m+n）2

4．（2014•威海）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（ ）

A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x） C．x2﹣2x+1 D． x2+2x+1

5．（2014•恩施州）把ax2﹣4axy+4ay2分解因式正确的是（ ）

A．a（x2﹣4xy+4y2） B．a（x﹣4y）2 C．a（2x﹣y）2 D． a（x﹣2y）2

6．（2005•十堰）将多项式a2﹣9b2+2a﹣6b分解因式为（ ）

A．（a+2）（3b+2）（a﹣3b） B．（a﹣9b）（a+9b）

C．（a﹣9b）（a+9b+2） D．（a﹣3b）（a+3b+2）

7．（2009•江津区）把多项式ax2﹣ax﹣2a分解因式，下列结果正确的是（ ）

新湘教版七年级数学下册《3章 因式分解 3.2 提公因式法 3.2提取公因式法(1)》教案_5

新湘教版七年级数学下册《3章 因式分解 3.2 提公因式法 3.2提取公因式法(1)》教案_5

提公因式法教学设计

教学目标：

1、使学生了解因式分解的意义，了解因式分解和整式的乘法是整式的两种相反方向的变形。

2、让学生会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法进行因式分解。

3、通过与因数分解的类比，让学生感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想。

教学重点、难点：

1、教学重点：因式分解的概念及提公因式法的应用。

2、教学难点：正确找出多项式中各项的公因式和当

教学过程：

一、回顾

1、什么叫因式分解？

二、引领探究

（一）、观察归纳，引出新知

1、下列各多项式有没有共同的因式？

（1）a c+ b c

（2）3 x2 +x

（3）30 m b2 + 5n b

（4）3x+6

（5）a2 b–2a b2 + ab （6）7 ( a–3 )–b ( a–3)

小结：在多项式中每一项都含有的相同的因式叫做公因式。公因式可以是单项式，也可以是多项式。

2、把下列多项式分解因式：

（1） 25x-5

（2） 3 x3 -3x2 –9x

（3） 8a 2c+ 2b c

（4） -4a 3b3 +6 a2 b-2ab

（5） -2x2–12xy2 +8xy3

小结：把公因式提出来，这样的因式分解的方法叫提公因式法。

提公因式法分解因式的依据是：乘法的分配律。

公因式的构成：

1、系数，公因式中的系数是多项式中各项系数的最大公约数；

2、字母，公因式中的字母（或因式）是多项式中各项的相同字母（或因式）。

3、指数，公因式中的字母（或因式）的指数取相同字母（或因式）的最小指数。

（二）、例题学习，深化新知

例：把下列多项式分解因式：

（1）把 9x2–6 x y+3x z分解因式.

通过例题的学习，让学生讨论归纳用提公因式法进行因式分解的一般步骤： 第一步：确定多项式的公因式，公因式为各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积。

第二步：将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式。

七年级数学下册第十一章《因式分解》11.1因式分解教材说明素材(新版)冀教版

七年级数学下册第十一章《因式分解》11.1因式分解教材说明素材(新版)冀教版

1 七年级数学下册第十一章素材：

因式分解

1．因式分解与整式运算是不同的整式变形，概念的引入应着重引导学生观察变形的特点，理解变形的意义，还应随时回忆这一概念、运用这一概念、巩固这个概念，而不要希望一蹴而就．

2．在运用各种方法因式分解时应重视培养学生的观察能力，在教学中应给学生以足够的时间观察，并充分交流观察的结果，汇报观察结果后而采取对策，而不应让学生模仿例题，只有在这种观察的实践活动中，才能培养学生的观察能力，才能训练学生选择正确的解题对策．

评价与反馈建议

1．通过由学生自己得出因式分解概念及其与整式乘法的关系的结论，了解学生观察、分析问题的能力和逆向思维能力及创新能力。发现问题，及时反馈。

2．通过做一做及练习，了解学生对概念的理解程度和实际运用能力，最大限度地让学生暴露问题和认知误差，及时发现和弥补教与学中的遗漏和不足，从而及时调控教与学。

3．通过机动题，了解学生对概念的熟练程度和思维的灵敏性、深刻性、广阔性及探研创造能力，及时评价，及时矫正。

4．通过课后作业，了解学生对知识的掌握情况与综合运用知识及灵活运用知识的能力，教师及时批阅，及时反馈讲评，同时对个别学生面批作业，可以更及时、更准确地了解学生思维发展的情况，矫 2 正的针对性更强。

5．通过课堂小结，了解学生对概念的熟悉程度和归纳概括能力、语言表达能力、知识运用能力，教师恰当地给予引导和启迪。

6．课堂上反馈信息除了语言和练习外，学生神情也是信息来源，而且这些信息更真实。学生神态、表情、坐姿都反映出学生对教师教学内容的理解和接受程度。教师应积极捕捉学生在知识掌握、思维发展、能力培养等各方面全方位的反馈信息，随时评价，及时矫正，随时调节教学。

湘教版数学七年级下册--《因式分解》单元

湘教版数学七年级下册--《因式分解》单元

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信达

初中数学试卷

湖南省澧县张公庙镇中学2014--2015学年七年级《因式分解》单元检测

一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分）

1．（2014秋•南昌期末）下列式子从左到右变形中，是因式分解的为（ ）

A．a2+4a•21=a（a+4）•21 B． a2+4a﹣21=（a﹣3）（a+7）

C．（a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21 D． a2+4a﹣21=（a+2）2﹣25

2．（2014秋•旬阳县校级月考）若A=10a2+3b2﹣5a+5，B=a2+3b2﹣8a+5，则A﹣B的值与

﹣9a3b2的公因式为（ ）

A．a B．﹣3 C．9a3b2 D．3a

3．（2014•常德）下面分解因式正确的是（ ）

A．x2+2x+1=x（x+2）+1 B． （x2﹣4）x=x3﹣4x

C．ax+bx=（a+b）x D． m2﹣2mn+n2=（m+n）2

4．（2014•威海）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（ ）

A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x） C．x2﹣2x+1 D． x2+2x+1

5．（2014•恩施州）把ax2﹣4axy+4ay2分解因式正确的是（ ）

A．a（x2﹣4xy+4y2） B．a（x﹣4y）2 C．a（2x﹣y）2 D． a（x﹣2y）2

6．（2005•十堰）将多项式a2﹣9b2+2a﹣6b分解因式为（ ）

A．（a+2）（3b+2）（a﹣3b） B．（a﹣9b）（a+9b）

C．（a﹣9b）（a+9b+2） D．（a﹣3b）（a+3b+2）