第三章幂级数展开

数学物理方法_第三章_幂级数展开

幂级数展开是数学物理中常用的一种方法，它是通过使用幂级数来表示一个函数，从而方便对函数进行近似计算和分析。在许多问题中，幂级数展开可以简化计算的复杂性，帮助我们更好地理解问题的本质。

幂级数是一个无穷级数，形式为：

f(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+a3(x-x0)^3+...

其中，a0、a1、a2...是常数系数，x0是展开点。幂级数展开可以将一个任意函数表示成一个级数，进而通过截断级数的方式来近似求解。这种展开方法在物理学和工程学中得到广泛应用。

幂级数展开的理论基础是泰勒级数展开，泰勒级数展开是幂级数展开的一个特殊情况。泰勒级数展开是指将任意可导函数在其中一点x0附近展开成幂级数。泰勒展开的前n+1项可以用n阶导数来表示，形式如下：

f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2/2!+f'''(x0)(x-x0)^3/3!+...+f^n(x0)(x-x0)^n/n!+...

幂级数展开的应用非常广泛，它在数学、物理、工程学和计算机科学中都有着重要的地位。以下是幂级数展开的几个典型应用：

1.函数逼近

幂级数展开是一种有效的函数逼近方法。通过截断幂级数，我们可以用其前几项来近似计算函数的值。这对于高阶函数和复杂函数来说是非常有用的，因为我们可以通过截断级数来减少计算的复杂性。

2.微分方程的求解 使用幂级数展开的方法可以求解一些特定的微分方程。对于一些微分方程，无法找到解析解，但通过将解展开成幂级数的形式，可以将微分方程转化为代数方程，从而求得解的逼近解。

3.近似计算

幂级数展开是一种常用的近似计算方法。通过截取幂级数的前几项，我们可以将一个复杂的函数近似成一个简单的形式，从而方便我们进行数值计算。

4.解析几何的研究

在解析几何中，幂级数展开是研究曲线和曲面的重要工具。通过展开曲线或曲面，我们可以对其性质进行分析和计算，帮助我们更好地理解几何问题。

第三章 幂级数展开

3.1 复数项的级数

一． 复数的无穷级数可表示为：

121kknkwwwww （1）

其中：kkwuiv

前n项和为：

11nnkknkswwwww

=11nnkkkkuiv

当n时级数：ns级数：1knw

故

111nkkkkkkwuiv

一个复数项级数可分解为实部项级数可虚部项级数两个级数的组合

收敛问题是线性讨论级数的一个重要方面，而复数项级数的收敛问题可以归结为两个实数项级数（实部和虚部）的收敛

1. 柯西收敛判据：

一个级数还可写为：

11knkkknwsw （4）

其中ns是钱n项和

1kknw为余项

判据：任何一个小正数 若能找到一个N使得n>N时1npkknw则称1knw收敛，其中p为任意整数

2. 绝对收敛

若2211kkkkkwuv是收敛的，则1kkw绝对收敛

两个敛的级数相乘后所得的级数耶是绝对收敛的，其和等于相乘级数和的乘积 二．复变项级数（复变函数项级数）

1．函数项级数一般表示为：

121()()()()kkkwzwzwzwz （5）

函数项级数的收敛问题得涉及到z的取值域，若z在B上取值是（5）收敛，则称

1()kkwz在B上收敛。B称为1()kkwz的收敛域

函数项级数也可表示为：

111()nkkkkkknwzww （6）

2. 函数项级数的收敛

如在B上，对于个点z

第三章 幂级数展开

3-1 3-2 3-3 幂级数

一、复数项级数

1nnw， nnnivuw

二、幂级数

10nnnzza 收敛半径：1/limnnnaaR

三、泰勒级数

nnnzzzfnzf000!1

3-4 解析延拓

一、解析延拓的含意

解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。

二、解析延拓的唯一性

无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。

3-5 罗朗级数

一、罗朗级数

若zf在102RZZR内单值解析，则对该区域上任一点可展开为

nnnnnnnnnzzazzazzazf00010 罗朗级数

主要部分 解析部分

dzfiaCnn110 21

二、关于罗朗级的说明  0z是级数的奇点，但不一定是zf的奇点。

 !/0nzfann

 若仅有环心是zf的奇点，则内园半径可任意小。

 罗朗级数具有唯一性。

三、例

例1 将zzfsin，z，展开为罗朗级数

753!71!51!31xxxxsix

解 753!71!51!31sinzzzzz

例2 在z1的环域上将函数1/12zzf展开为罗朗级数。

1111xxxf 1x

10f

21xxf 10f

312xxf 20f

41!3xxf !30f



复变函数讲稿

321§3.2 解析延拓

一.定义

设两个函数f1(z) ，f2(z)分别在区域B1 ，B2上解析，B1与B2有一公共区域B，

如果在B上，)()(

21zfzf≡，则称f2(z)为f1(z)在B2的解析延拓，称f1(z)为f2(z)在

B1的解析延拓.

二.例子

函数∑∞

==

0)(

kkzzf，

zzF

−=

11

)(，在1z

时，f(z)是发散的，没有意义，但F(z)仍然解析；因此函数F(z) 是 f(z)的解析延拓.

三.有关性质

1.若在区域B上的两个解析函数在B内的任一小区域恒等，则它们在全B上

恒等.即解析函数在区域内某点邻域的函数值完全决定了在全区域的函数值.（可

用反证法证明. 实变函数没有这种性质！）

2.解析延拓具有唯一性！

四. 解析延拓的方法

1.泰勒展开法（较易掌握）.

2.其他方法.

五. 解析延拓的主要应用

1.已知在某区域有定义的解析函数，用解析延拓来扩大其定义域和解析范围.

2.已知数学问题（如微分方程）的解是某区域B内的解析函数，但求解的方

法只能给出B的某个子区域内才有效的函数表达式，利用解析延拓的方法可以从

这个表达式推算出在B的其他子区域内的表达式.