第3讲 幂级数

数学分析3段考试题

一、 判断、填空题（每小题3分，共15分）

1、设lim()(),xfxfxxI,若()(1,2,)fxn都在I上连续，则()fx在I上连续.（ ）

2、若(),,(1,2,)nnuxMxIn，且lim0nnM，则函数项级数1()nnux在I上一致收敛.（ ）

3、由sin________nxnn及M判别法可知级数1sinnnxnn在___________x内一致收敛.

4、幂级数13(1)nnnxn的收敛域为_____________.

5、若()fx在(0,)内连续，则()fx在(0,)内可展成只含有正弦项的傅里叶级数.（ ）

二、计算题（每小题9分，共45分）

1、求级数(1)13nnnnx的收敛半径与收敛区域.

2、求1(1)nnnx的收敛域及和函数.

3、求20()sinxfxtdt的幂级数展开.

4、把函数2()ln(12)fxxx展成x的幂级数，并求其收敛域.

5、将函数2()fxx在[,]上展成余弦函数，并由此求211nn.

三、 证明题（每小题10分，共40分）

1、 证明函数项级数211(1)sinnnxn在(,)上一致收敛.

2、 设()nfx与()ngx在(,)ab上分别一致收敛于()fx与()gx，且()fx与()gx有界.证明：()()nnfxgx在(,)ab上一致收敛于()()fxgx.

3、 讨论幂级数1nnnx在以下区间的一致收敛性：

（1）[,](01)aaa；（2）(1,1).

4、 设f为[,]上光滑函数，且()()ff。,nnab为f的傅里叶系数，'',nnab为f的导函数'f的傅里叶系数.证明:

'''00,,(1,2,)nnnnaanbbnan.

第三章 幂级数展开 函数有精确表示和近似表示： 精确表示（解析表示） 表示为初等函数通过四则运算； 近似表示： 逼近 -近似表示为初等函数通过四则运算； 级数表示 -表示为一个函数级数。 1 2 函数级数表示的意义： 利用级数计算函数的近似值； 级数法求解微分方程； 以级数作为函数的定义； 奇点附近函数的性态。 §3.1 复数项级数 （一）复数项级数的概念 3 kkkwwww210kkkvuwi级数是无穷项的和, 复无穷级数 0000kkkkkkkkkviuivuw原级数成为 0kkw0kku0kkv这样复级数 归结为两个实级数 与 ， 实级数的一些性质可移用于复级数。 4 （二）收敛性问题 1、收敛定义： 2、柯西收敛判据 （级数收敛的充分必要条件）： 对于任给的小正数 ε 必有N 存在，使得 n>N 时， 式中 p 为任意正整数。 ,1pnnkkw ,0nkknwS 前n+1项和 当n → ∞，有确定的极限， 便称级数收敛， S称为级数和；若极限不存在，则称级数发散。 nnSSlim5 3、绝对收敛级数 若 收敛，则 绝对收敛. 1220||kkkkkvuw0kkw, ,00BqApkkkkABcqpqpnnkllkkkkk00000nkknknqpc0绝对收敛级数改变先后次序，和不变. 两个绝对收敛级数逐项相乘，其和收敛，为两级数和之积. 6 (三) 复变项级数 )()()()(210zwzwzwzwkkk的每一项都是复变函数。实际上，对于 z 的一个确定值，复变项级数变成一个复数项级数。 复变项级数有一个定义域 B 。它的收敛的概念应当是相对于这个定义域而言的。 收敛-复变项级数在其定义域 B 中每一点都收敛，则称在 B 中收敛。 7 柯西收敛判据 (复变项级数收敛的充分必要条件)： 对B内每点 z，任给小正数 ε>0，必有 N(ε,z) 存在，使得当 n>N(ε,z) 时， ,)(1pnnkkzw式中 p 为任意正整数。N一般随 z不同而不同。 1)(kkzw但如果对任给小正数 ε>0，存在与 z无关的 N(ε) , 使得 n>N(ε)时，上式成立，便说 在B内一致收敛。 8 （四）一致收敛级数的性质 记级数和为w (z)。 在B内一致收敛的级数，如果级数的每一项 wk(z) 都是B内的连续函数，则级数的和w (z)也是B内的连续函数。 00d)(d )(d)(klklkklzzwzzwzzw逐项求积分 —在曲线 l 上一致收敛的级数，如果级数的每一项 wk(z)都是l上的连续函数，则级数的和w (z)也是l上的连续函数，而且级数可沿 l 逐项求积分。 9 逐项求导数—设级数 在 中一致收敛， wk(z) (k=0,1,2 ,… )在 中单值解析，则级数的和w (z)也是 中的单值解析函数, w (z) 的各阶导数可由 逐项求导数得到，即： 且最后的级数 在 内的任意一个闭区域中一致收敛。 BBB0)(kkzw0)()()()(knknzwzw0)(kkzwB0)()(knkzw10 （五）级数一致收敛的外氏（Weierstrass）判别法 如果对于某个区域 B (或曲线 l )上所有各点 z, 复变项级数 各项的模 （ mk是与 z 无关的正常数)，而正的常数项级数 0kkm0)(kkzw ,|)(|kkmzw0)(kkzw收敛，则 在区域B (或曲线 l )上绝对且一致收敛。 11 §3.2 幂级数 （一）定义 ,)()()(20201000zzazzaazzakkk(3.2.1) 最简单的解析函数项级数是幂级数，其各项均为幂函数 其中 z0, a0 , a1 , a2 , … 为复常数。这样的级数叫作以 z0为中心的幂级数。 ,|)(||||)(||||||)(|||20201000zzazzaazzakkk（二）幂级数敛散性 1、比值判别法（达朗贝尔判别法） (3.2.2) 12 若 则实幂级数 (3.2.2)收敛，复幂级数 (3.2.1)绝对收敛 ,1||lim||||||||lim010101zzaazzazzakkkkkkkk1limkkkaaRRaazzkkk10lim||(3.2.3) (3.2.4) 引入记号 若 则（3.2.1) 绝对收敛. 若 则 Rzz||0,1lim||||||||lim10101Raazzazzakkkkkkkk发散 13 R 0z收敛 发散 RC故当 ，绝对收敛 当 ，发散 Rzz0Rzz0R：收敛半径 CR: 收敛圆 2、根式判别法： 若 （3.2.2）收敛，(3.2.1） 绝 对收敛 。 1||||lim0kkkkzza1||||lim0kkkkzza发散 kkakR||1lim故 14 3、幂级数在收敛圆内部绝对且一致收敛 幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛！ kkkkRazza10|||)(|01||kkkRa)( 11RRCR10||Rzz作 ，在 0z收敛 发散 RC1RCR 1R有 对正的常数项级数 ,1lim||||lim1111111RRRaaRaRakkkkkkkk应用比值判别法，有 15 （三）例题 例1 求 的收敛圆。t 为复数 kttt21收敛圆内部为 ,1||t1).|(| 1112tttttk.111limlim1kkkkaaR解：收敛圆半径 ,111120ttttttnnnkk其实， ,1111limlim10ttttnnnkkn对于 ,1||t16 例 2 求 的收敛圆，z 为复数。 解： tz26421zzz321ttt.111limlim1kkkkaaR1).|(| 1112642zzzzz1||zz 平面收敛圆 t 平面收敛圆 1t17 （四）幂级数在收敛圆内的性质 1、幂级数每一项均是z的解析函数，而且在收敛圆内任一闭区域中一致收敛，所以级数的和w(z)是收敛圆内的一个解析函数。 2、幂级数在收敛圆内可逐项积分 3、幂级数在收敛圆内可逐项求导 00d)(d )(d)(klklkklzzwzzwzzw0)()()()(knknzwzw且幂级数逐项求导或积分后收敛半径不变。 18 本节作业：第37页 第3题（1，3，4）。 19 （一）泰勒定理：设 f(z) 在以 z0 为圆心的圆 CR 内 解析，则 对圆内的任意 z 点, f(z) 可展为幂级数， 其中展开系数为 为圆CR 内包含z且与CR 同心的圆。 00,)()(kkkzzazf1!)(d)()(210)(10RCkkkkzfzfia1RC1RCζ为 上的点， z0称为该级数的展开中心。 §3.3 泰勒（Taylor）级数展开 20 证明：作 ,因为f(z)在单闭区域 上解析，由柯西公式 ,d)(i21)(1RCzfzf)( 11RRCR .1 111002000000zzzzzzzzzzzz其中 10Rzz00000111)()(11zzzzzzzz展开（注意 ） 00zzz(3.3.1) 21 将（3.3.3）代入（3.3.1）逐项积分 0100000011kkkkkkzzzzzzzz.d)(i21)()(11000RCkkkzfzzzf).|(| )(!)()(0000)(Rzzzzkzfzfkkk即 ——以 z0 为中心的泰勒级数。 (3.3.3) 可以证明（p39），以 z0 为中心的泰勒级数是唯一的。 泰勒级数的收敛半径R等于展开中心 z0至被展开函数的最近奇点b的距离，即 0zbR22 例 在 z0=0的邻域上将 ez 展开。 解 因为 1)0()(,e)()(0)()(kkzkfzfzf.!!!2!11e02kkkzkzkzzz故 !)!1(limlim1kkaaRkkkk收敛半径 （二）将解析函数展成泰勒级数的方法 1、直接求导计算——最普通的办法 23 例 在 z0=1的邻域上将ez 展开。 解 因为 e|)e(1)(znz!)1(!2)1(!1)1(1ee2kzzzkz!)!1(limlim1kkaaRkkkk故 收敛半径 例 在 z0=0 邻域的上将 和 展开。 解 0|)(sin ;)1(|)(sin0)2(0)12(zkkzkzz ,0)( ,sin)(,1)( ,cos)(,0)0('' ,sin)('' ,1)0(' ,cos)(' ,0)0( ,sin)()4(1)4(1)3(1)3(1111111zfzzfzfzzffzzffzzffzzf.)!12()1()!12()1(!5!3!1sin0121253kkkkkzkkzzzzzzzfsin)(1zzfcos)(225 02242)!2()1( )!2()1(!4!21coskkkkkzkkzzzz)!2()!22(limlim1kkaaRkkkk)!12()!32(limlim1kkaaRkkkk类似 收敛半径 收敛半径 26 zzfln)( lnz 是多值函数，各分支在支点 0, ∞ 相连。但 z0=1 不是支点，在其 的邻域各分支相互独立。多值函数在确定了单值分支后，可象单值函数那样在各单值分支上作泰勒展开。 10zzZ=1例 在 z0=1 邻域的上将 展开。 解 ,)!1()1()1( ,)!1()1()( ,!3)( ,!3)(,!2)( ,!2)(,1)1('' ,!1)('' ,1)1(' ,1)(' ,21ln)1( ,ln)(1)(1)()4(4)4()3(3)3(2kfzkzfzfzzfzfzzffzzffzzfinfzzfkkkkk27 1)|1(| )1()1(2ln11zzknizkkk收敛半径 R=1。n=0的那一支为主值分支。 ,1)1()2)(1()0( ,)1)(1()2)(1()( ,1)2)(1()0( ,)1)(2)(1()(,1)1()0('' ,)1)(1()('' ,1)0(' ,)1()(' ,1)0( ,)1()()()()3(3)3(21mkkmkmmmmmmmmkmmmmfzkmmmmzfmmmfzmmmzfmmfzmmzfmfzmzffzzfmzzf)1()(例 在 z0=0邻域的上将 展开(m不是整数). 解

2

0010200

0

010

2

010200......(1)

...

||||...||...(2)kk

kk

k

k

kaaaaa

aa

aaaa



(z-z)(z-z)(z-z)(z-z)

其中，，都是复常数，该级数叫做以z为中心的幂级数。

各项模组成的正项级数：

||z-z|||z-z|||z-z3.2 幂级数

•教学重点：幂级数敛散性判别法，收敛圆的概念及求解方法

•教学过程：

•一.幂级数：组成级数的每一项是幂级数的形式。

•二.幂级数敛散性判别法：

•（1）应用正项级数的比值判别法（达朗伯判别法）

1

101

0

0limlim1,k

kk

kkkkkaa

aa



z-z

z-z则(2)式收敛(1)式绝对收敛

z-z

111

00

0

011

0lim,

R>R

R

C

RRRCC

()k

kk

R

RR

k

ka

a

azz







引入记号R,R=

当z-z时，原级数绝对收敛，当z-z时，原级数发散。

幂级数在以z为圆心，以为半径的圆的内部绝对收敛，在圆外发散。

该圆称为幂级数的收敛圆。其半径称为收敛半径。

而在圆周上各点，幂级数是否收敛则要具体分析。

“圆的内部”：指比稍小一些的闭圆域。

以z为圆心，以（稍小于）作圆周，在所围闭圆域上，有：

1

1

1111

11

k=01

10

k=0k=0R

RR

RlimlimR1,

R

R()k

k

k

kkk

kkkkkk

kk

kka

aa

a

aaR

aazz







＋

＋＋对应用比值判别法：＝

则收敛。由一致收敛的性质(3)可知，幂级数

在收敛圆的内部不仅绝对而且一致收敛。

0

0

2

11,

1,

1

R

......

R=1.01

n+11kkkk

kkkk

kkk

k

k

kk

klimazz

limazz

lim

a

tttt

a

limt

a

tt













＋（2）根值判断法

如果则（2）式收敛，（1）式绝对收敛

如果则（1）式各项的模>1因而发散。

收敛半径的另一公式：R=

例：求幂级数1的收敛圆，为复变数

解：由收敛半径计算公式：＝收敛圆：

第九章 无穷级数 第四讲

第四讲 幂级数

授课题目（章节）： §11.3 幂级数

教学目的与要求：

了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；

掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法；

了解幂级数在收敛区间内的基本性质，会求幂级数的和函数。

教学重点与难点：

幂级数的收敛半径、收敛域的求法

讲授内容：

一、函数项级数的概念

定义1.12(),(),,()nuxuxux是定义在区间I上的函数列，称和式

12()()()nuxuxux为定义在区间I上的（函数项）级数，记为1()nnux

定义2.若0xI，常数项级数0()nux收敛，则称0x为函数项级数1()nnux的收敛点；

若0xI，常数项级数0()nux发散，则称0x为函数项级数1()nnux的发散点；

1()nnux的收敛点（发散点）的全体称为1()nnux的收敛域（发散域）。

定义3.在收敛域上，函数项级数1()nnux的和是关于x的函数，称之为和函数()sx。

即在收敛域上，1()nnux()sx

例求函数项级数21nxxx的收敛域及和函数。

二、幂级数及其收敛域

定义4.函数项级数2012nnaaxaxax称为关于x的幂级数，记为 第九章 无穷级数 第四讲

0nnnax；（00nnnxax时，收敛）

函数项级数2010200()()()nnaaxxaxxaxx称为关于0()xx的幂级数，记为00()nnnaxx。

定理1.(Abell定理)如果幂级数0nnnax当00(0)xxx时收敛，则0||||xx时，0nnnax绝对收敛；如果0nnnax当0xx时发散，则0||||xx时，0nnnax发散。