第四节 函数展开成幂级数

6.3 函数展开成幂级数

一、填空题：

1.函数xexf)(的Maclaurin级数为xe＝ .

解：!!212nxxxenx， ),(x.

2.函数xxf11)(在00x处的幂级数为x11＝ .

解：nnxxxxx)1(11132， )1,1(x.

3.函数xxfarctan)(展成x的幂级数为xarctan .

解：12)1(5131arctan1253nxxxxxnn ]1,1[x.

二、求xxf41)(在20x处的幂级数展开式.

解：因为0)22(21221121)2(2141)(nnxxxxxf，

且122x，得40x，而当40xx或时，上面级数都发散.

所以，nnnxxf)2(21)(01，40x.

三、将22)(xxxxf在00x处展开成幂级数，并求其收敛域.

解：21131_1131)2211(31)2)(1(2)(2xxxxxxxxxxxf，

因为011nnxx， 11x；

02)1(211nnnnxx， 121x，即22x；

根据幂级数运算性质有

000]2)1(1[312)1(3131211311131)(nnnnnnnnnnxxxxxxf， 所以，02]2)1(1[312nnnnxxxx，11x.

四、将xxfcos)(展开成3x的幂级数.

解： 因为)3sin(23)3cos(21]3)3cos[()(xxxxf

§11.5 函数展开成幂级数

一、泰勒级数

如果fx()在xx0处具有任意阶的导数，我们把级数

nnxxnxfxxxfxxxfxf)(!)()(!2)()(!1)()(00)(200000 (1)

称之为函数fx()在xx0处的泰勒级数。

它的前n1项部分和用sxn1()记之，且

sxfxkxxnkkkn1000()()!()()

这里：0!1000,()()()fxfx

由上册中介绍的泰勒中值定理，有

fxsxRxnn()()()1

当然，这里Rxn()是拉格朗日余项，且

Rxfnxxnnnxx()()()!()()()10101在与之间。

由Rxfxsxnn()()()1有

lim()lim()()nnnnRxsxfx01。

因此，当lim()nnRx0时，函数fx()的泰勒级数

fxfxxxfxxxfxnxxnn()()!()()!()()!()()0000020012

就是它的另一种精确的表达式。即 fxfxfxxxfxxxfxnxxnn()()()!()()!()()!()()0000020012

这时，我们称函数)(xf在0xx处可展开成泰勒级数。

特别地，当00x时，

nnxnfxfxffxf!)0(!2)0(!1)0()0()()(2

这时，我们称函数)(xf可展开成麦克劳林级数。

将函数)(xf在0xx处展开成泰勒级数，可通过变量替换0xxt，化归为函数 )()()(0tFxtfxf 在 0t 处的麦克劳林展开。因此，我们着重讨论函数的麦克劳林展开。

【命题】函数的麦克劳林展开式是唯一的。

证明：设fx()在x0的某邻域(,)RR内可展开x成的幂级数

fxaaxaxaxnn()0122

函数展成幂级数的公式

在数学中，幂级数是一种特殊的函数表示方法，它可以用无限多个幂次项的和来表示一个函数。幂级数的形式可以写为：

f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+...

其中，a₀，a₁，a₂，a₃等是系数，可以是实数或复数，x是自变量。

幂级数的展开系数a₀，a₁，a₂，a₃等根据函数的性质不同而有所不同。下面介绍几个常见函数的幂级数展开公式。

1. 指数函数(exp(x)的幂级数展开)：

指数函数exp(x)可以展开为无限和的形式：

exp(x) = 1 + x + (x²/2!) + (x³/3!) + ...

其中，n!表示n的阶乘。

2. 正弦函数(sin(x)的幂级数展开)：

正弦函数sin(x)可以展开为无限和的形式：

sin(x) = x - (x³/3!) + (x⁵/5!) - (x⁷/7!) + ...

3. 余弦函数(cos(x)的幂级数展开)：

余弦函数cos(x)可以展开为无限和的形式：

cos(x) = 1 - (x²/2!) + (x⁴/4!) - (x⁶/6!) + ...

4. 自然对数函数(ln(x)的幂级数展开)：

自然对数函数ln(x)可以展开为无限和的形式： ln(x) = (x-1) - (x-1)²/2 + (x-1)³/3 - (x-1)⁴/4 + ...

以上仅列举了几个常见函数的幂级数展开公式，实际上，许多其他函数也可以通过幂级数展开来表示，例如三角函数的反函数、双曲函数、指数函数的反函数等。

幂级数展开的优点是可以用有限项的和来近似计算一个函数的值，特别是在自变量比较接近展开点的情况下，保留有限项可以获得较高的精度。此外，幂级数展开也有助于理解函数的性质和行为。在实际应用中，幂级数展开在物理、工程、计算机科学等领域有重要的应用，例如在信号处理、图像处理、优化求解等方面都得到了广泛应用。

总之，幂级数是一种重要的函数展示方法，在数学和应用领域都有着重要的地位。幂级数展开的公式可以根据具体函数的性质来给出，通过展开系数的求解可以得到函数的幂级数展开形式，并用于近似计算和函数性质的研究。

201 第四节 函数展开成幂级数

一、泰勒级数

前面讨论了这样一个问题，对于给定的幂级数，求出其收敛域并确定其和函数的性质，并在可能时求出和函数的表达式。这节我们讨论该问题的反问题：给定函数xf，要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”，即是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数xf。（如果能够找到这样的幂级数，就说xf在该区间内可展开成幂级数。）解决这个问题有很重要的应用价值，因为它给出了函数xf的一种新的表达方式，并使我们可以用简单函数——多项式来逼近一般函数xf。

在第三章中我们已经学过

泰勒公式：若函数xf在点0x的某一邻域内具有直到1n阶的导数，则在该邻域内xf的n阶泰勒公式：

200000!2xxxfxxxfxfxf

xRxxnxfnnn00! (1)

成立，其中xRn为拉格朗日型余项。

101!1nnnxxnfxR （之间与在xx0）

如果令00x，就得到马克劳林公式：

xRxnfxfxffxfnnn!0!20002 （2） 202 此时， 11!1nnnxnxfxR （10）

公式说明，任一函数只要有直到1n阶的导数，就可等于某个n次多项式与一个余项的和。

下列幂级数

nnxnfxfxff!0!20002 （3）

我们称为马克劳林级数。那么它是否以函数xf为和函数呢？

若令马克劳林级数（3）的前1n项和为xsn1，即

nnnxnfxfxffxs!0!200021

那么，级数（3）收敛于函数xf的条件为