勾股定理应用典型题型讲解

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1 勾股定理及其逆定理的应用常见题型

利用勾股定理求线段长

1．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE＝4，FC＝3，求EF的长．

(注：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)

利用勾股定理求面积

2．如图，长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在D′处，BC交AD′于点E，AB＝6 cm，BC＝8 cm，求阴影部分的面积．

利用勾股定理逆定理判断三角形的形状

3．在△ABC中，D为BC的中点，AB＝5，AD＝6，AC＝13，判断△ABD的形状． 百度文库 - 让每个人平等地提升自我

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利用勾股定理解决几何体表面的最短路径问题

4.(中考·青岛)如图，圆柱形玻璃杯的高为12 cm，底面周长为18 cm.在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________．

利用勾股定理解决实际问题

65如图，某港口位于东西方向的海岸线上，A，B两军舰同时离开港口O，各自沿一固定方向航行，A舰每小时航行32 n mile，B舰每小时航行24 n mile，它们离开港口一个小时后，相距40 n mile，已知A舰沿东北方向航行，则B舰沿哪个方向航行？

(第6题)

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几种常见的热门考点

勾股定理及其应用

1．直角三角形两直角边长分别为6和8，则连接这两条直角边中点的线段长为( )

A．3 B．4 C．5 D．10

(第2题)

2．如图，长方形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为________．

3．如图，已知∠C＝90°，BC＝3 cm，BD＝12 cm，AD＝13 cm.△ABC的面积是6 cm2.求：

ng at

a time and All things in their being are good for somethin新人教版八年级下册勾股定理典型例习题一、经典例题精讲题型一：直接考查勾股定理例１.在中，．ABC90C　⑴已知，．求的长6AC8BCAB⑵已知，，求的长分析：直接应用勾股定理17AB15ACBC222abc解：⑴ ⑵2210ABACBC228BCABAC题型二：利用勾股定理测量长度例题1 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！根据勾股定理AC2+BC2=AB2, 即AC2+92=152,所以AC2=144,所以AC=12.例题2 如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.解析：同例题1一样，先将实物模型转化为数学模型，如图2. 由题意可知△ACD中,∠ACD=90°,在Rt△ACD中，只知道CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。标准解题步骤如下（仅供参考）：解：如图2，根据勾股定理，AC2+CD2=AD2 设水深AC= x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5x2+1.52=（ x+0.5）2解之得x=2. 故水深为2米.题型三：勾股定理和逆定理并用——CBDA

ng at a time and All things in their being are good for somethin例题3 如图3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且那么△DEF是直角三角形吗？为什么？ABFB41解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由可以设AB=4a，那么BE=CE=2 a,AF=3 ABFB41a,BF= a,那么在Rt△AFD 、Rt△BEF和 Rt△CDE中，分别利用勾股定理求出DF,EF和DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断△DEF是否是直角三角形。 详细解题步骤如下：解：设正方形ABCD的边长为4a,则BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2 a)2=20 a2同理EF2=5a2, DF2=25a2在△DEF中，EF2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=DF2∴△DEF是直角三角形，且∠DEF=90°.注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。题型四：利用勾股定理求线段长度——例题4 如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直——例题5 如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边，他测得AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD边与AB边垂直吗？怎样去验证AD边与CD边是否垂直？解析：由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度来验证。如图4，矩形ABCD表示桌面形状，在AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm(想想为什么要设为这两个长度？)，连结MN，测量MN的长度。①如果MN=15,则AM2+AN2=MN2,所以AD边与AB边垂直；②如果MN=a≠15,则92+122=81+144=225, a2≠225,即92+122≠ a2，所以∠A不是直角。利用勾股定理解决实际问题——

勾股定理及其逆定理的应用常见题型

利用勾股定理求线段长

1．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE＝4，FC＝3，求EF的长．

(注：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)

利用勾股定理求面积

2．如图，长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在D′处，BC交AD′于点E，AB＝6 cm，BC＝8 cm，求阴影部分的面积．

利用勾股定理逆定理判断三角形的形状

3．在△ABC中，D为BC的中点，AB＝5，AD＝6，AC＝13，判断△ABD的形状．

利用勾股定理解决几何体表面的最短路径问题

4.(中考·青岛)如图，圆柱形玻璃杯的高为12 cm，底面周长为18 cm.在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________．

利用勾股定理解决实际问题

65如图，某港口位于东西方向的海岸线上，A，B两军舰同时离开港口O，各自沿一固定方向航行，A舰每小时航行32 n mile，B舰每小时航行24 n mile，它们离开港口一个小时后，相距40 n mile，已知A舰沿东北方向航行，则B舰沿哪个方向航行？

(第6题)

几种常见的热门考点

勾股定理及其应用

1．直角三角形两直角边长分别为6和8，则连接这两条直角边中点的线段长为( )

A．3 B．4 C．5 D．10

(第2题)

2．如图，长方形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为________．

3．如图，已知∠C＝90°，BC＝3 cm，BD＝12 cm，AD＝13 cm.△ABC的面积是6

cm2.求：

(1)AB的长度；

(2)△ABD的面积．

(第3题)

勾股定理的验证

4．如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．

正弦定理的变形应用

例：已知圆O的半径为R，它的内接三角形ABC中，BbaCARsin)2()sin(sin222

成立，求角C

的大小．

分析：观察已知等式的结构特征，用正弦定理将角转化为边，再用余弦定理求得角C后，将面积S表示成

函数关系式求解．

解：由BbaCARsin)2()sin(sin222

，得

BRbaCARsin2)2()sin(sin)2(222

用正弦定理，得

222

2babca，即abcba2222

．

由余弦定理，得

,

22

22

2cos222

abab

abcba

C

.

4C

小结：本题由abcba2222

，联想余弦定理求得

4C是解题的关键，类似地，由

3222

Cabcba，由

63222

abcba．熟记这些结论，可以快速解题．