勾股定理例题详解

勾股定理经典例题详解

知识点一：勾股定理

如果直角三角形的两直角边长分别为：a,b,斜边长为c,那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．

要点诠释：1勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理;

2勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于锐角三角形和钝角三角;

3理解勾股定理的一些变式：

c2=a2+b2, a2=c2-b2, b2=c2-a2 , c2=a+b2-2ab

知识点二：用面积证明勾股定理

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形;

图1中,所以;

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图2所示的正方形;

图2中,所以;

方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图3—1和3—2所示的两个形状相同的正方形;

在3—1中,甲的面积=大正方形面积—4个直角三角形面积,

在3—2中,乙和丙的面积和=大正方形面积—4个直角三角形面积,

所以,甲的面积=乙和丙的面积和,即：.

方法四：如图4所示,将两个直角三角形拼成直角梯形;

,所以;

知识点三：勾股定理的作用

1．已知直角三角形的两条边长求第三边； 2．已知直角三角形的一条边,求另两边的关系；

3．用于证明平方关系的问题； 4．利用勾股定理,作出长为的线段;

2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数

满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数,称为勾股数又称为高数或毕达哥拉斯数,显然,以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形;

熟悉下列勾股数,对解题是会有帮助的：

①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41． 如果a,b,c是勾股数,当t>0时,以at,bt,ct为三角形的三边长,此三角形必为直角三角形;

经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中,∠C=90°

1已知a=6, c=10,求b, 2已知a=40,b=9,求c； 3已知c=25,b=15,求a.

思路点拨: 写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用;

解析：1 在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b=

2 在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c=

3 在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a=

总结升华：有一些题目的图形较复杂,但中心思想还是化为直角三角形来解决;如：不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差或和;

举一反三

变式:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少

答案∵∠ACD=90°

AD=13, CD=12

∴AC2 =AD2－CD2

=132－122

=25

∴AC=5

又∵∠ABC=90°且BC=3

∴由勾股定理可得

AB2=AC2－BC2

=52－32

=16

∴AB= 4

∴AB的长是4.

类型二：勾股定理的构造应用

2、如图,已知：在中,,,. 求：BC的长.

思路点拨：由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于D,则有 ,,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的长.

解析：作于D,则因,

∴的两个锐角互余

∴在中,如果一个锐角等于,

那么它所对的直角边等于斜边的一半.

根据勾股定理,在中,

.

根据勾股定理,在中,

.

∴ .

总结升华：利用勾股定理计算线段的长,是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直条件时,也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.

举一反三变式1如图,已知：,,于P. 求证：.

思路点拨: 图中已有两个直角三角形,但是还没有以BP为边的直角三角形.

因此,我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样,实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理,可证明这几条线段的平方之间的关系.

解析：连结BM,根据勾股定理,在中,

.

而在中,则根据勾股定理有

.

∴

又∵ 已知,

∴.

在中,根据勾股定理有

,

∴.

变式2已知：如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2;求：四边形ABCD的面积;

分析：如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单; 解析：延长AD、BC交于E;

∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°;

∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,

∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==;

∵DE2= CE2-CD2=42-22=12,∴DE==;

∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=

类型三：勾股定理的实际应用

一用勾股定理求两点之间的距离问题

3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点;

1求A、C两点之间的距离;

2确定目的地C在营地A的什么方向;

思路点拨：把实际问题中的角度转化为图形中的角度,利用勾股定理求解;

解析：1过B点作BE米,

CＨ＝０.６＋２.３＝２.９米＞２.５米． 因此高度上有米的余量,所以卡车能通过厂门．

二用勾股定理求最短问题

4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分．请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线．

思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短,通过利用勾股定理计算线路长,然后进行比较,得出结论．

解析：设正方形的边长为1,则图1、图2中的总线路长分别为

AB+BC+CD＝3,AB+BC+CD＝3

图3中,在Rt△ABC中

同理

∴图3中的路线长为

图4中,延长EF交BC于H,则FH⊥BC,BH＝CH

由∠FBH＝ 及勾股定理得：

EA＝ED＝FB＝FC＝

∴EF＝1－2FH＝1－

∴此图中总线路的长为4EA+EF＝ 3＞>

∴图4的连接线路最短,即图4的架设方案最省电线．

总结升华：在实际生产工作中,往往工程设计的方案比较多,需要运用所学的数学知识进行计算,比较从中选出最优设计．本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质．

举一反三

变式如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高ＡＢ为4cm,ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程．

解：

如图,在Rt△ＡＢＣ中,ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm, 根据勾股定理得

提问：勾股定理

∴ AC＝＝ ＝≈１０．７７cm勾股定理．

答：最短路程约为１０．７７cm． 类型四：利用勾股定理作长为的线段

5、作长为、、的线段;

思路点拨：由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为和1的直角三角形斜边长就是,类似地可作;

作法：如图所示

1作直角边为1单位长的等腰直角△ACB,使AB为斜边；

2以AB为一条直角边,作另一直角边为1的直角;斜边为；

3顺次这样做下去,最后做到直角三角形,这样斜边、、、的长度就是

、、、;

总结升华：1以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；2取单位长时可自定;一般习惯用国际标准的单位,如1cm、1m等,我们作图时只要取定一个长为单位即可;

举一反三 变式在数轴上表示的点;

解析：可以把看作是直角三角形的斜边,,

为了有利于画图让其他两边的长为整数,

而10又是9和1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3和1;

作法：如图所示在数轴上找到A点,使OA=3,作AC⊥OA且截取AC=1,以OC为半径,

以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为;

类型五：逆命题与勾股定理逆定理

6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确

1．原命题：猫有四只脚．正确

2．原命题：对顶角相等正确

3．原命题：线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等．正确 4．原命题：角平分线上的点,到这个角的两边距离相等．正确

思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系;

解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫不正确

2. 逆命题：相等的角是对顶角不正确

3. 逆命题：到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上．•正确

4. 逆命题：到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上．正确

总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备;

7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断ΔABC的形状;

思路点拨：要判断ΔABC的形状,需要找到a、b、c的关系,而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从该条件入手,解决问题;

解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得 ：

a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,

∴ a-32+b-42+c-52=0;

∵ a-32≥0, b-42≥0, c-52≥0;

∴ a=3,b=4,c=5;

∵ 32+42=52,

∴ a2+b2=c2;

由勾股定理的逆定理,得ΔABC是直角三角形;

总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到;

举一反三变式1四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积;

答案：连结AC

∵∠B=90°,AB=3,BC=4

∴AC2=AB2+BC2=25勾股定理