命题及其关系

一、命题及其关系

1、命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。

判断为真的语句叫做真命题。判断为假的语句叫做假命题。

例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？

（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数是素数，则是奇数； （3）2小于或等于2；

（4）对数函数是增函数吗？ （5）； （6）平面内不相交的两条直线一定平行；

说明：例1中的（2）就是一个“若，则”的命题形式，我们把其中的叫做命题的条件，叫做命题的结论.

例2：将下列命题改写成“若，则”的形式.

（1）两条直线相交有且只有一个交点； （2）对顶角相等；

（3）全等的两个三角形面积也相等.

2、四种命题 问题：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．

（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数． （1）和（2）这样的两个命题叫做互逆命题

（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数． （1）和（3）这样的两个命题叫做互否命题，

（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数． （1）和（4）这样的两个命题叫做互为逆否命题。

命题的四种形式：如果, 原命题：若P， 则q．那么, 逆命题：若 ,则 ．

否命题：若 ，则 ． 逆否命题：若 ，则 ．

例3：把命题“奇函数的图像关于原点对称。”改写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题。

3、四种命题间的关系（1）形式上

（2）真假性上

原 命 题 逆 命 题 否 命 题 逆 否 命 题

真 真

假 真

假 真

假 假

由表格发现：1°原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，原命题的逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．

互为逆否的两个命题 的真假性．

2°互逆命题或互否命题，它们的真假性 ．

3°原命题与它的逆否命题, 是等价. 叫做等价命题.因此, 证原命题为真, 与证它的逆否命题为真等效.

练习：1、写出命题“若a和b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题和逆否命题。

4、一些常见词语的否定

二、充分条件与必要条件

1、定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p  q,那么我们就说p是q的充分条件；q是p必要条件．

例1、（1）若x ＞ a2 + b2，则x ＞ 2ab, （2）若ab ＝ 0，则a ＝ 0.

练习：１：下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？

（1）若x ＝1，则x2 － 4x ＋ 3 ＝ 0； （2）若f(x)＝ x，则f(x)为增函数；

（3）若x为无理数，则x2为无理数．

２：下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件?

(1) 若x ＝ y，则x2 ＝ y2； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等； （3）若a ＞b,则ac＞bc．

引例：已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数. aa215xpqpqpq2、充要条件的定义：一般地,如果既有pq ，又有qp 就记作p  q.

此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.

概括地说,如果p  q,那么p 与 q互为充要条件.

类比定义：一般地，若pq ,但q  p，则称p是q的充分但不必要条件；

若pq，但q  p，则称p是q的必要但不充分条件；

若pq，且q  p，则称p是q的既不充分也不必要条件．

例2：下列各题中，哪些p是q的什么条件？

（1）p:b＝0,q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数； （2）p:x ＞ 0,y ＞ 0,q: xy＞ 0；

（3）p: a ＞ b ,q: a + c ＞ b + c； （4）p:x ＞ 5, ,q: x ＞ 10

（5）p: a ＞ b ,q: a2 ＞ b2

注意从集合的角度理解充分必要条件。

三、简单的逻辑联结词

引例：下列各组命题中，三个命题间有什么关系？

（1）①12能被3整除； （2）①27是7的倍数；

②12能被4整除； ②27是9的倍数；

③12能被3整除且能被4整除。 ③27是7的倍数或是9的倍数

1、归纳定义

一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q读作“p且q”。

用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q,读作“p或q”。

注意：“p或q”，“p且q”，命题中的“p”、“q”是两个命题，而原命题，逆命题，否命题，逆否命题中的“p”,“q”是一个命题的条件和结论两个部分.

2、命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假的规定

3、下列各组命题中的两个命题间有什么关系？

（1） ①35能被5整除； ②35不能被5整除； （2） ①方程x2+x+1=0有实数根。 ②方程x2+x+1=0无实数根。

归纳定义：一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作￢p读作“非p”或“p的否定”。

4、命题“￢p”与命题p的真假间的关系

5、命题的否定与否命题的区别

例：如果命题p:5是15的约数，那么命题￢p：

p的否命题：

例1：将下列命题分别用“且”与“或” 联结成新命题“p∧q” 与“p∨q”的形式，并判断它们的真假。

（1）p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等。

（2）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数.

例2：选择适当的逻辑联结词“且”或“或”改写下列命题，并判断它们的真假。

（1）1既是奇数，又是素数； （2）2≤2．

例3、判断下列命题的真假 （1）6是自然数且是偶数 （2）是A的子集且是A的真子集；

（3）集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；

四、全称量词与存在量词

“所有的”“任意一个” 这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做全称量词，用符号“”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题。

全称命题：“对M中任意一个x，有p（x）成立”可用符号简记为：xM, p（x），

存在一个”“至少有一个”这样的词语，这些词语都是表示整体的一部分的词叫做存在量词。并用符号“”表示。含有存在量词的命题叫做特称命题（或存在命题）

特称命题：“存在M中一个x，使p（x）成立”可以用符号简记为：,()xMpx。

练习（1）下列全称命题中，真命题是：

A. 所有的素数是奇数； B. 2,(1)0xRx；

C.1,2xRxx D.1(0,),sin22sinxxx

（2）下列特称命题中，假命题是：

A.2,230xRxx B.至少有一个,xZx能被2和3整除

C. 存在两个相交平面垂直于同一直线 D.{|xxx是无理数},x2是有理数．

（3）已知：对1,xRaxx恒成立，则a的取值范围是 ；

五、含有一个量词的命题的否定

引例：判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出下列命题的否定吗？

（1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3）x∈R, x2－2x＋1≥0。

（4）有些实数的绝对值是正数； （5）某些平行四边形是菱形； （6） x∈R, x2＋1＜0。

一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

全称命题P：,()xMpx 它的否定￢P,()xMpx

特称命题P：,()xMpx它的否定￢P：x∈M，￢P(x)

全称命题的否定是特称命题。特称命题的否定是全称命题。

练习：判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定：

（1） p：所有能被3整除的整数都是奇数； （2）p：对x∈Z，x2个位数字不等于3；

（3）p： x∈R, x2＋2x＋2≤0； （4）p：有的三角形是等边三角形；

知识点一 四种命题间的关系

判断下列命题的真假．

(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；

(2)若0

(3)设a、b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0的逆命题和否命题．

知识点二 充要条件及其应用

已知关于x的方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0，a∈R，求方程有两正根的充要条件．

x，y是实数，且“xy>0”是“|x＋y|＝|x|＋|y|”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

知识点三 逻辑联结词的应用

设命题p：函数f(x)＝lgax2－x＋116a的定义域为R；命题q：不等式2x＋1<1＋ax对一切正实数均成立．如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．

知识点四 全称命题与特称命题

在下列四个命题中，真命题的个数是( )

①∀x∈R，x2＋x＋3>0； ②∀x∈Q，13x2＋12x＋1是有理数；③∃α，β∈R，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ；

④∃x0，y0∈Z，使3x0－2y0＝10. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个