有限元期末复习

1.弹性力学和材料力学在研究对象上的区别？材料力学的研究对象是杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件；弹性力学除了研究杆状构件外，还研究板、壳、块，甚至是三维物体等，研究对象要广泛得多。

2.理想弹性体的五点假设？连续性假设，完全弹性假设，均匀性假设，各向同性假定，小位移和小变形的假定。

3.什么叫轴对称问题，采用什么坐标系分析？为什么？工程实际中，对于一些几何形状、载荷以及约束条件都对称于某一轴线的轴对称体，其体内所有的位移、应变和应力也都对称于此轴线，这类问题称为轴对称问题。

通常采用圆柱坐标系r、θ、z分析。

这是因为，当弹性体的对称轴为z轴时，所有的应力分量、应变分量和位移分量都将只是r和z的函数，而与无θ关。

4.梁单元和杆单元的区别？杆单元只能承受拉压荷载，梁单元那么可以承受拉压弯扭荷载。

具体的说，杆单元其实就是理论力学常说的二力杆，它只能在结点受载荷，且只有结点上的荷载合力通过其轴线时，杆件才有可能平衡，像均布荷载、中部集中荷载等是无法承当的，通常用于网架、桁架的分析；而梁单元那么根本上适用于各种情况〔除了楼板之类〕，且经过适当的处理〔如释放自由度、耦合等〕，梁单元也可以当作杆单元使用。

5.薄板弯曲问题与平面应力问题的区别？平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是平行于板面且沿厚度均布载荷作用，变形发生在板面内；后者受力特点是垂直于板面的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。

平面应力问题有三个独立的应力分量和三个独立的应变分量，薄板弯曲问题每个结点有三个自由度，但是只有一个是独立的其余两个可以被它表示。

6.有限单元法结构刚度矩阵的特点？对称性，奇异性，主对角元恒正，稀疏性，非零元素呈带状分布。

7.有限单元法的收敛性准那么？完备性要求，协调性要求。

完备性要求：如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，那么有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是m次完全多项式，或者说试探函数中必须包括本身和直至m阶导数为常数的项，单元的插值函数满足上述要求时，我们称单元是完备的。

有限元期末复习提纲1.弹性矩阵，应变矩阵，应力矩阵的定义微分体表面上的应力可分解为一个正应力和两个切应力。

垂直于表面的应力称为正应力；平行于表面的应力称为切应力。

应力矩阵弹性矩阵应变矩阵2.节点自由度定义，写出平面应力三角形单元，刚架单元与桁架单元（平面与空间），薄板弯曲单元，实体元的节点自由度节点自由度：节点所具有的位移分量的数量平面应力三角形单元：节点自由度2，单元自由度数=2*3=6平面刚架单元：节点自由度3（2个移动自由度，1个旋转自由度），单元自由度数=3*2=6空间刚架单元：节点自由度6，单元自由度数=6*2=12平面桁架单元：节点自由度2，单元自由度数=2*2=4空间桁架单元：节点自由度3，单元自由度数=3*2=6薄板弯曲单元：实体元：4节点四面体单元：节点自由度3，单元自由度数=3*4=123.平面应力问题的定义和特点1. 平面应力问题如果空间物体满足以下两个条件，则该问题可以按平面应力问题考虑。

（1）某方向尺寸较另外两方向的尺寸小得多，即近似为一等厚的薄板；（2）受到平行于板面的沿厚度方向均匀分布的面力；根据上述条件，在上图中，图(a)所示的结构属于平面应力问题。

而图(b)中结构的载荷与板平面不平行，图(c)中结构的厚度t与截面尺寸差不多，因此不是平面应力问题。

一般地，当结构厚度t≤L／15(L为截面特征尺寸)时，结构可作为平面应力问题。

如车辆的墙板顶板等受拉压的平板，内燃机的飞轮，链传动的链片以及宽度较小的直齿圆柱齿轮等。

4.杆件结构的分类及其特点杆件结构定义：当结构长度尺寸比两个截面方向的尺寸大得多时，这类结构称为杆件曲杆直杆等截面杆（1）桁杆，和其他结构采用铰相连接，如图（a)所示，其连接处可以自由转动，因此这类结构只承受拉压作用，内部应力为拉压应力。

影响应力的几何因素主要是截面面积。

由桁杆组成的杆系称为桁架，若杆系和作用力均位于同一平面内，则称为平面桁架，否则称为空间桁架。

有限元考试复习资料（含计算题）1试说明用有限元法解题的主要步骤。

（1）离散化：将一个受外力作用的连续弹性体离散成一定数量的有限小的单元集合体，单元之间只在结点上互相联系，即只有结点才能传递力。

（2）单元分析：根据弹性力学的基本方程和变分原理建立单元结点力和结点位移之间的关系。

（3）整体分析：根据结点力的平衡条件建立有限元方程，引入边界条件，解线性方程组以及计算单元应力。

（4）求解方程，得出结点位移（5）结果分析，计算单元的应变和应力。

2.单元分析中,假设的位移模式应满足哪些条件,为什么?要使有限元解收敛于真解，关键在于位移模式的选择，选择位移模式需满足准则：（1）完备性准则：（2）连续性要求。

P210面简单地说，当选取的单元既完备又协调时，有限元解是收敛的，即当单元尺寸趋于0时，有限元解趋于真正解，称此单元为协调单元；当单元选取的位移模式满足完备性准则但不完全满足单元之间的位移及其导数连续条件时，称为非协调单元。

3什么样的问题可以用轴对称单元求解？在工程问题中经常会遇到一些实际结构，它们的几何形状、约束条件和外载荷均对称某一固定轴，我们把该固定轴称为对称轴。

则在载荷作用下产生的应力、应变和位移也都对称此轴。

这种问题就称为轴对称问题。

可以用轴对称单元求解。

4什么是比例阻尼?它有什么特点?其本质反映了阻尼与什么有关?答:比例阻尼:由于多自由度体系主振型关于质量矩阵与刚度矩阵具有正交性关系，若主振型关于阻尼矩阵亦具有正交性,这样可对多自由度地震响应方程进行解耦分析。

比例阻尼的特点为具有正交性。

其本质上反应了阻尼与结构物理特性的关系。

5何谓等参单元?等参单元具有哪些优越性?①等参数单元(简称等参元)就是对坐标变换和单元内的参变量函数(通常是位移函数)采用相同数目的节点参数和相同的插值函数进行变换而设计出的一种单元。

②优点:可以很方便地用来离散具有复杂形体的结构。

由于等参变换的采用使等参单元特性矩阵的计算仍在单元的规则域内进行，因此不管各个积分形式的矩阵表示的被积函数如何复杂，仍然可以方便地采用标准化的数值积分方法计算。

有限元基础期末试题
1、简述单元分析的四个主要环节。

对于三结点三角形单元，写出单元分析各环节最终结果
的矩阵表达式。

2、以三结点三角形单元为例，解释位移模式概念并写出三结点三角形单元位移模式的具体
表达式。

3、结合三结点三角形单元位移模式的具体表达式，解释型函数概念并简述型函数的主要性
质。

4、写出推导单元刚度矩阵时所使用的虚功方程并解释其物理意义。

5、对下图所示离散化后的弹性平面应力问题，设弹性模量为E ，泊桑比为零，厚度为1：
a. 写出单元③由9个子矩阵组成、字符表达形式的单元刚度矩阵；
b. 按课堂教学时规定的原则，写出单元③的单元定位向量；
c. 写出单元③的单元刚度矩阵中所有子矩阵在总刚度矩阵中的位置；
d. 设所论平面应力问题中6个结点的位移解为：123456[,,,,,]T
∆=∆∆∆∆∆∆，计算单
元③的应变和应力。

有限元考试必备
1
有限元知识点归纳及复习题
1.、有限元解的特点、原因？
答：有限元解一般偏小，即位移解下限性原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。

在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。

2有限元法的基本原理
是一种工程物理问题的数值分析方法，根据近似分
割和能量极值原理，把求解区域离散为有限个单元
的组合，研究每个单元的特性，组装各单元，通过
变分原理，把问题化成线性代数方程组求解。

分析指导思想：化整为零，裁弯取直，以简驭繁，
变难为易
有限元分析的基本步骤
（1）将结构进行离散化，包括单元划分、结点编号、单元编号、结点坐标计算、位移约束条件确定（2）等效结点力的计算
（3）刚度矩阵的计算（先逐个计算单元刚度，再组装成整体刚度矩阵）
（4）建立整体平衡方程，引入约束条件，求解结点位移（5）应力计算 2。

一．简答题：1.有限单元法和里兹法的区别：有限单元法：(1) 将连续的求解域离散为有限个单元组合体，利用在每一个单元内假设的近似函数来表示全求解域上待求的未知场函数。

(2)数学意义上，是把微分方程的连续形式转化为代数形式方程组。

里兹法：在整个求解域上，直接从泛函出发，通过假设试探函数，求得问题的近似解。

2. 泛函的两个基本点：(1)泛函有它的定义域，这个定义域是指满足一定条件的函数集。

(2)泛函](xy具有明确的对应关系，泛函的值是由一条可取曲线 与可取函数)[y的整体性质决定的，它表现在“积分”上。

3. 有限单元法的基本步骤：(1)结构或物体的离散化。

(2)选取单元内的场变量插值函数。

(3)进行单元分析，求单元特性矩阵和单元特性列阵。

(4)进行整体分析，组装整体特性矩阵和整体特性列阵，建立整体方程。

(5)计算单元内部的场变量。

4. 选取插值函数的原则：(1)广义坐标的个数与单元自由度数一致。

(2)为提高单元精度，插值多项式应尽量选取完全多项式。

有时完全多项式的项数与单元自由度数并不相同，这时可以增加单元的节点个数以使单元的自由度数和完全多项式的项数相同；还可以减少多项式的项数，以使问题变得简单，但此时应注意保持多项式的对称性。

5. 收敛准则：准则1 完备性要求。

如果出现在泛函中场函数的最高阶导数为m阶，则有限单元法收敛的条件之一是单元内场函数的插值函数至少是m次完全多项式，或者说插值函数必须包括本身和直至m阶导数为常数的项。

准则2 协调性要求。

如果出现在泛函中的最高阶导数是m阶，则试探函数在相邻单元的交界面上应有函数直到m - 1阶的连续导数。

6. 等参变换的定义：将局部(自然)坐标中几何形状规则的单元变换为整体坐标系中几何形状扭曲的单元。

当坐标变换和函数插值采用相同的节点，为等参单元；当坐标变换节点数多于插值函数节点数，为超参变换；当坐标变换节点数少于插值函数节点数，为亚参变换。

7. 等参单元基本思想：用相同数目的节点参数和相同的插值函数来定义单元的形状以及单元内的场变量。

1、有限元法是分析连续体的一种近似计算方法，简言之就是将连续体分割为有限个单元的离体的数值方法。

有限元分析方法是广泛应用于工程实体建模、结构分析与计算的有效方法。

有限元法是一种适用于大型或者复杂物体结构的力学分析与计算的有效方法。

2、有限元法的实现过程：对象离散化----单元分析----构造总体方程----求解方程----输出结果3、建立有限元方程的方法：（1）直接方法：指直接从结构力学引申得到。

直接方法具有过程简单、物理意义明确、易于理解等特点。

（2）变分方法：常用方法之一，主要用于线性问题的模型建立。

（3）加权残值法：对于线性自共轭形式方程，加权残值法可得到和变分法相同的结果，如对称的刚度矩阵。

4、有限元法的基本变量：有限元分析过程中的常用变量包括体力、面力、应力、位移和应变等体力：指分布在物体体积内部各个质点上的力，如重力、惯性力等。

面力：指分布在物体表面上的力。

如风力、接触力、流体力、阻力等。

应力：指在外力作用下其物体产生的内力。

位移：指节点的移动。

在约束条件下的节点位移称作虚位移，是指可能发生的位移。

应变：指在外力作用下其物体发生的相对变形量。

是无量纲的变量。

线段单位长度的伸缩，称为正应变。

在直角坐标中所取单元体为正六面体时，单元体的两条相互垂直的棱边，在变形后直角改为变量定义为剪应变、角应变或切应变。

切应变以直角减少为正，反之为负。

5、正应力和剪应力的概念第二章1、ANSYS软件的使用主要包括4方面:初初始设置、前处理、求解计算和后处理。

2、前处理主要包括：①单元类型选择; ②定义材料参数;③建立几何模型;④划分单元网格;⑤设置约束条件和施加外载荷等3、单元实常数的定义。

实常数是有限元分析过程中需要用到单元类型的补充几何特性如杆单元的横截面积、梁单元的横截面积和惯性矩、板壳单元的厚度等等,是计算求解的重要参数。

4、弹性模量和泊松比弹性模量:E=σ/ε材料在单向受拉或受压时,纵向正应力σ=F/A与线应变ε=∆l/l 的比值,其单位与应力的单位相同泊松比：μ=|ε′/ε|，材料在单向受拉或受压时,横向正应变ε′=∆b/b与纵向正应变ε=∆l/l之比的绝对值。

1.两种平面问题的根本概念和根本方程；答：弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形和应力的分布规律来代替，这类问题称为平面问题。

平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。

平面应力问题设有张很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变化的面力，体力也平行于板面且不沿厚度变化。

由于平板很薄，外力不沿厚度变化，因此在整块板上有：，，剩下平行于XY面的三个应力分量未知。

平面应变问题设有很长的柱体，支承情况不沿长度变化，在柱面上受到平行于横截面而且不沿长度变化的面力，体力也如此分布。

平面问题的根本方程为：平衡方程几何方程物理方程〔弹性力学平面问题的物理方程由广义虎克定律得到〕•平面应力问题的物理方程平面应力问题有•平面应变问题的物理方程平面应变问题有在平面应力问题的物理方程中，将E替换为、替换为，可以得到平面应变问题的物理方程；在平面应变问题的物理方程中，将E替换为、替换为，可以得到平面应力问题的物理方程。

2弹性力学中的根本物理量和根本方程；答：根本物理量有：空间弹性力学问题共有15个方程，3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。

其中包括6个应力分量，6个应变分量，3个位移分量。

平面问题共8个方程，2个平衡方程，3个几何方程，3个物理方程，相应3个应力分量，3个应变分量，2个位移分量。

根本方程有：1.平衡方程及应力边界条件：平衡方程：边界条件：2.几何方程及位移边界条件：几何方程：边界条件：3.物理方程:3.有限元中使用的虚功方程。

对于刚体，作用在其上的平衡力系在任意虚位移上的总虚功为0，这就是刚体的平衡条件，或者称为刚体的虚功方程。

对于弹性变形体，其虚位移原理为：在外力作用下处于平衡的弹性体，当给予物体微小的虚位移时，外力的总虚功等于物体的总虚应变能。

设想一处于平衡状态的弹性体发生了任意的虚位移,相应的虚应变为,作用在微元体上的平衡力系有〔X,Y,Z〕和面力。

外力的总虚功为实际的体力和面力在虚位移上所做的功，即：在物体产生微小虚变形过程中，整个弹性体内应力在虚应变上所做的功为总虚应变能，即：其中为弹性体单位体积内的应力在相应的虚应变上做的虚功，由此得到虚功方程：4.节点位移，单元位移及它们的关系。

一、命令流举例：有一长为100mm的矩形截面梁，截面为10X1mm，与一规格为20mmX7mmX10mm的实体连接，约束实体的端面，在梁端施加大小为3N的y方向的压力，梁与实体都为一材料，弹性模量为30Gpa，泊松比为0.3。

本例主要讲解梁与实体连接处如何利用耦合及约束方程进行处理。

命令流如下：FINI/CLE/FILNAME,BEAM_AND_SOLID_ELEMENTS_CONNECTION !定义工作文件名/TITLE,COUPLE_AND_CONSTRAINT_EQUATION !定义工作名/PREP7 !进入前处理ET,1,SOLID95 !定义实体单元类型为SOLID95ET,2,BEAM4 !定义梁单元类型为BEAM4MP,EX,1,3E4 !定义材料的弹性模量MP,PRXY,1,0.3 !定义泊松比第 1 页共13 页 1R,1 !定义实体单元实常数R,2,10.0,10/12.0,1000/12.0,10.0,1.0 !定义梁单元实常数BLC4,,,20,7,10 !创建矩形块为实体模型WPOFFS,0,3.5 !将工作平面向Y方向移动3.5 WPROTA,0,90 !将工作平面绕X轴旋转90度VSBW,ALL !将实体沿工作平面剖开WPOFFS,0,5 !将工作平面向Y方向移动5 WPROTA,0,90 !将工作平面绕X轴旋转90度VSBW,ALL !将实体沿工作平面剖开WPCSYS,-1 !将工作平面设为与总体笛卡儿坐标一致K,100,20,3.5,5 !创建关键点K,101,120,3.5,5 !创建关键点L,100,101 !连接关键点生成梁的线实体LSEL,S,LOC,X,21,130 !选择梁线LATT,1,2,2 !指定梁的单元属性第 2 页共13 页 2LESIZE,ALL,,,10 !指定梁上的单元份数LMESH,ALL !划分梁单元VSEL,ALL !选择所有实体V ATT,1,1,1 !设置实体的单元属性ESIZE,1 !指定实体单元尺寸MSHAPE,0,2D !设置实体单元为2DMSHKEY,1 !设置为映射网格划分方法VMESH,ALL !划分实体单元ALLS !全选FINI !退出前处理!------------------------/SOLU !进入求解器ASEL,S,LOC,X,0 !选择实体的端面DA,ALL,ALL !约束实体端面ALLS !全选第 3 页共13 页 3FK,101,FY,-3.0 !在两端施加Y向压力CP,1,UX,1,21 !耦合节点1和节点21X方向自由度CP,2,UY,1,21 !耦合节点1和节点21Y方向自由度CP,3,UZ,1,21 !耦合节点1和节点21Z方向自由度CE,1,0,626,UX,1,2328,UX,-1,1,ROTY,-ABS(NZ(626)-NZ(2328)) !设置约束方程CE,2,0,67,UX,1,4283,UX,-1,1,ROTZ,-ABS(NY(67)-NY(4283)) !设置约束方程CE,3,0,67,UZ,1,4283,UZ,-1,1,ROTX,-ABS(NY(67)-NY(4283)) !设置约束方程ALLS !全选SOLVE !保存FINI !退出求解器!------------------------/POST1 !进入通用后处理PLNSOL, U,Y, 0,1.0 !显示Y方向位移PLNSOL, S,EQV, 0,1.0 !显示等效应力ETABLE,ZL1,SMISC,1 !读取梁单元上I节点X方向的力第 4 页共13 页 4ETABLE,ZL2,SMISC,7 !读取梁单元上J节点X方向的力ETABLE,MZ1,SMISC,6 !读取梁单元上I节点Z方向的力矩ETABLE,MZ2,SMISC,12 !读取梁单元上J节点Z方向的力矩PLETAB,ZL1 !显示梁单元X方向的力PLETAB,MZ1 !显示梁单元Z方向力矩!**********************************************二、基础知识题1.有限单元法的核心是建立单元刚度矩阵。

有限元期末考试题及答案一、选择题1. 有限元方法是一种数值分析方法，主要用于求解什么类型的数学问题？A. 线性代数方程B. 微分方程C. 积分方程D. 代数方程答案：B2. 在有限元分析中，单元的划分是基于什么原则？A. 单元数量B. 单元形状C. 问题域的几何特性D. 计算资源答案：C3. 下列哪项不是有限元分析中常用的单元类型？A. 三角形单元B. 四边形单元C. 六面体单元D. 圆形单元答案：D二、填空题4. 有限元方法中，______是指将连续的物理域离散成有限数量的小区域，这些小区域称为单元。

答案：离散化5. 在进行有限元分析时，通常需要定义材料属性，包括______、密度和弹性模量等。

答案：泊松比三、简答题6. 简述有限元方法的基本步骤。

答案：有限元方法的基本步骤包括：定义问题域、离散化问题域、选择单元类型、定义材料属性、构建全局刚度矩阵、施加边界条件、求解线性代数方程、提取结果。

7. 解释什么是有限元分析中的收敛性，并说明影响收敛性的因素。

答案：收敛性是指随着单元数量的增加，有限元分析结果逐渐接近真实解的性质。

影响收敛性的因素包括单元的类型、形状、大小以及网格的布局等。

四、计算题8. 假设有一个长度为2米的杆，两端固定，中间施加了一个向下的力F=1000N。

如果杆的材料是钢，其弹性模量E=210 GPa，泊松比ν=0.3，请计算杆的弯曲位移。

答案：首先，根据Euler-Bernoulli梁理论，可以写出弯曲位移的方程为：\[ w(x) = \frac{F}{384EI} L^3 \]其中，\( w(x) \) 是位移，\( F \) 是施加的力，\( L \) 是杆的长度，\( E \) 是弹性模量，\( I \) 是截面惯性矩。

对于一个矩形截面，\( I \) 可以表示为：\[ I = \frac{bh^3}{12} \]假设杆的截面宽度为b，高度为h，代入上述公式，可以计算出位移。

有限元课程习题1、试简要阐述有限元分析的基本步骤主要有哪些。

有限元分析的主要步骤主要有：1、结构的离散化2、单元分析。

选择位移函数、根据几何方程建立应变与位移的关系、根据物理方程建立应力与位移的关系、根据虚功原理建立节点力与节点位移的关系（单元刚度方程）3、等效节点载荷计算4、整体分析，建立整体刚度方程2、有限元网格划分的基本原则是什么？提出图示网格划分中不合理的地方。

有限元划分网格的基本原则是：1、拓朴正确性原则。

即单元间是靠单元顶点、或单元边、或单元面连接2、几何保形原则。

即网格划分后，单元的集合为原结构近似3、特性一致原则。

即材料相同，厚度相同4、单元形状优良原则。

单元边、角相差尽可能小5、密度可控原则。

即在保证一定精度的前提下，网格尽可能稀疏一些(a)单元间没有考虑节点相联(b)网格形状太差，单元边长相差太大(c)没有考虑对称性，单元边长相差太大3、分别指出图示平面结构划分为什么单元？有多少个节点？多少个自由度？（a）桁架结构模型• 划分为杆单元， 8个节点，12个自由度出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。

诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。

宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。

若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。

侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。

将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰“能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。

亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。

先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。

第1章 杆件结构1.1 单元刚度如何叠加成结构的整体刚度矩阵？为什么这样叠加？如何从刚度矩阵的物理意义去理解此叠加关系？叠加成的整体刚度矩阵又有什么特点？答：（1）首先对杆件结构进行自然离散，并对其进行节点编号和单元编号，然后通过坐标转换公式将局部坐标系下的单元刚度矩阵转换为整体坐标系下的单元刚度矩阵。

将所得的单元刚度矩阵按节点编号进行组装，即可形成整体刚度。

（2）这样的叠加方法条理清晰，便于电脑程序编程，分块进行，效率较高，且尤其适用于大量杆件结构体系，将所有的计算程序化后，大大节省了时间，并且精度较高。

（3）刚度矩阵的物理意义是表示结构或构件单元在单位位移或变形下所能承受的力的大小。

通过单元刚度矩阵建立单元节点力与节点位移之间的关系，通过整体刚度矩阵建立所受外荷载与整体位移之间的关系。

通过单元刚度矩阵叠加构建整体刚度矩阵，则建立起了结构整体外荷载与整体位移之间的方程，进而通过求得的整体位移进一步求出单元之间的节点位移，并最终求得各单元之间的节点力。

（4）特点：1）对称性。

由于杆单元的单刚是对称矩阵，则由它们集成的总刚也具有对称性。

2)奇异性。

即无论是单刚还是总刚都是奇异的，它们不存在逆阵。

3)存在相当数量的零元素。

由于杆系结构的特点，一个节点可能只连接少数几个单元，因此可能与周围邻近的几个节点之间存在非零的元素。

1.2 如图所示的圆杆，由两个不同截面的杆件（1）与（2）组成，在节点1，2，3上作用有轴向节点载荷1Q 、2Q 、3Q 而平衡。

试写出3个轴向载荷与节点的轴向位移1u 、2u 、3u 之间的矩阵关系。

解：杆件1的单元刚度矩阵为：[]1111111EA k l -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；杆件2的单元刚度矩阵为：[]2221111EA k l -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦； 结构的整体刚度矩阵为：1111111112112211222122111211222221222222EA EA l l k k EA EA EA EA K k k k k l l l l k k EA EA l l ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+=-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦而又12l l L ==，所以11112222A A E K A A A A L A A -⎡⎤⎢⎥=-+-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦令节点位移向量为{}123,,Tu u u δ=，节点力为{}123,,TF Q Q Q =，从而可得3个轴向载荷与节点的轴向位移其关系为11112112223223Q A A u E Q A A A A u L Q A A u -⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎢⎥=-+-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥-⎩⎭⎣⎦⎩⎭1.3 如图所示为三角桁架，已知25/101.2mm N E ⨯=，两直边的长度m l 1=，各杆的截面积21000mm A =，求此结构的整体刚度矩阵[]K ，若节点的编号改变后，问[]K 的有无变化？解：杆件的单元刚度矩阵为：[]1111ii iEA k l -⎡⎤'=⎢⎥-⎣⎦，从而可得各个单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵为：[]11111EA k l -⎡⎤'=⎢⎥-⎣⎦；[]21111EA k l -⎡⎤'=⎢⎥-⎣⎦；[]31111k -⎡⎤'=⎢⎥-⎣⎦平面杆单元坐标转置矩阵：cos sin cos sin T αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，而又00012390045ααα===-、和，从而各个单元的坐标转置矩阵分别为：10101T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦；21010T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦；3222T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎢-⎢⎣⎦根据上面给出的坐标转置矩阵，可得各个单元在整体坐标系下的单元刚度矩阵为[][]1111000000101101000101001100010000010101T EA EA k T k T l l ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎡⎤⎡⎤'⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦[][]2222101010001110000000011100101010000000T EA EA k T k T l l -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤'⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[][]3333101111101111001111011100111111011111T k T k T --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-----⎡⎤⎡⎤'⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦令节点位移向量为{}112233,,,,,Tu v u v u v δ=，节点力为{}112233,,,,,Tx y x y x y F q q q q q q =，按照整体刚度矩阵的拼装原则，可得[]1010000100011010000011 EAKl-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦若节点的编号改变后，[]K会发生变化，但是并不影响最终的计算结果。

一、填空（共10个空，每空2分，共20分）11、有限元法是近似求解连续场问题的数值方法。

2、有限元法将连续的求解域离散，得到有限个单元，单元和单元之间用节点相连。

3、直梁在外力作用下，横截面上的内力有剪力和弯矩两个。

4、平面刚架结构在外力作用下，横截面上的内力有剪力、弯矩和轴力。

5、进行直梁的有限元分析，梁单元上每个节点的节点位移为挠度和转角。

、平面刚架结构中，已知单元e的坐标变换矩阵[T e]及局部坐标系x´O´y ´下的单元刚度矩阵[K´]e，则单元在整体坐标系xOy下的单元刚度矩阵为 P31 。

7、平面刚架结构中，已知单元e的坐标变换矩阵[T e]及整体坐标系xOy下的单元节点力矩阵{p}e，则单元在局部坐标系x´O´y´下的单元节点力矩阵为 P30 。

8、在弹性范围和小变形的前提下，节点力和节点位移之间是线性系。

9、弹性力学问题的方程个数有 15个，未知量个数有 15 个。

10、弹性力学平面问题的方程个数有个，未知量个数有个。

11、把经过物体内任意一点各个截面的应力状况叫做一点的应力状态。

12、形函数在单元节点上的值，具有本点为 1 、它点为零的性质，并且在三角形单元的任一节点上，三个形函数之和为 1 。

13、形函数是定义于元内部坐标连续函数。

14、在进行节点编号时，要尽量使同一单元的相邻节点的号码差尽可能小，以便最大限度地缩小刚度矩阵带宽，节省存储、提高计算效率。

15、三角形单元的位移模式为。

16、矩形单元的位移模式为。

17、在选择多项式位移模式的阶次时，要求所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关，这一性质称为几何各向同性。

18、单元刚度矩阵描述了节点力和节点位移之间的关系。

19、在选择多项式作为单元的位移模式时，多项式阶次的确定，要考虑解答的收敛性，即要满足单元的完备性和协调性的要求。

20、三节点三角形单元内的应力和应变是常数，四节点矩形单元内的应力和应变是线性变化的。

有限元期末考试试题有限元期末考试试题有限元分析是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域中的结构分析、热传导、流体力学等问题。

作为有限元分析的基础，期末考试试题将涵盖有限元的基本原理、方法和应用。

本文将以期末考试试题为主线，深入探讨有限元分析的相关知识。

一、选择题1. 有限元分析的基本思想是什么？A. 将连续体划分为有限个单元B. 将连续体划分为无限个单元C. 将连续体划分为两个单元D. 将连续体划分为三个单元2. 有限元分析中，单元是指什么？A. 物理实体B. 离散区域C. 数学模型D. 计算节点3. 有限元分析的目的是什么？A. 求解连续体的精确解B. 求解连续体的近似解C. 求解连续体的数值解D. 求解连续体的解析解二、填空题1. 有限元分析中，单元的划分应满足什么条件？单元的划分应满足连续性和完整性的条件。

2. 有限元分析中，刚度矩阵的维度是多少？刚度矩阵的维度与单元自由度的个数相关。

三、简答题1. 有限元分析的步骤是什么？有限元分析的步骤包括建立有限元模型、确定边界条件、求解方程、后处理结果。

2. 有限元分析中，如何选择适当的单元类型？选择适当的单元类型需要考虑问题的特点、几何形状和边界条件等因素。

四、计算题1. 对于一个矩形截面的梁，长度为L，宽度为b，高度为h，杨氏模量为E，应力为σ，根据弹性力学理论，梁的弯曲刚度EI与梁的几何尺寸和材料性质有关。

请推导出梁的弯曲刚度的表达式。

解：根据弹性力学理论，梁的弯曲刚度EI与梁的几何尺寸和材料性质有关。

对于矩形截面的梁，弯曲刚度的表达式为：EI = (E * b * h^3) / 12其中，E为杨氏模量，b为梁的宽度，h为梁的高度。

通过以上计算题，我们可以看出有限元分析的应用范围广泛，可以用于解决各种工程问题。

通过对试题的分析和解答，我们对有限元分析的基本原理、方法和应用有了更深入的了解。

总结：本文以有限元期末考试试题为主线，辅以相关知识的解析和讨论，深入探讨了有限元分析的基本原理、方法和应用。

1、有限元是近似求解一般连续场问题的数值方法2、有限元法将连续的求解域离散为若干个子域,得到有限个单元,单元和单元之间用节点连接3、直梁在外力的作用下,横截面的内力有剪力和弯矩两个.4、平面刚架结构在外力的作用下,横截面上的内力有轴力、剪力、弯矩 .5、进行直梁有限元分析,平面刚架单元上每个节点的节点位移为挠度和转角6、平面刚架有限元分析，节点位移有轴向位移、横向位移、转角。

7、在弹性和小变形下，节点力和节点位移关系是线性关系。

8、弹性力学问题的方程个数有15个，未知量个数有15个。

9、弹性力学平面问题方程个数有8，未知数8个。

10、几何方程是研究应变和位移之间关系的方程11、物理方程是描述应力和应变关系的方程12、平衡方程反映了应力和体力之间关系的13、把经过物体内任意一点各个截面上的应力状况叫做一点的应力状态14、9形函数在单元上节点上的值,具有本点为_1_.它点为零的性质,并且在三角形单元的任一节点上,三个行函数之和为_1_15、形函数是_三角形_单元内部坐标的_线性_函数,他反映了单元的_位移_状态16、在进行节点编号时,同一单元的相邻节点的号码差尽量小.17、三角形单元的位移模式为_线性位移模式_-18、矩形单元的位移模式为__双线性位移模式_19、在选择多项式位移模式的阶次时,要求_所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关的性质为几何_各向同性20、单元刚度矩阵描述了_节点力_和_节点位移之间的关系21、矩形单元边界上位移是连续变化的1. 诉述有限元法的定义答：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法2. 有限元法的基本思想是什么答：首先，将表示结构的连续离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。

其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。

3. 有限元法的分类和基本步骤有哪些答：分类：位移法、力法、混合法；步骤：结构的离散化，单元分析，单元集成，引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。

1、弹性力学与材料力学主要不同在于：研究方法。

2、利用Ansys进行结构分析时，结果文件是什么文件：jobname.rst文件。

3、在Ansys单元库中，Plane42属于结构实体单元。

4、在一个分析中可能有多个材料特性组，Ansys通过独特的（C ）来识别每个材料的特性组。

A.特性B.说明C. 参考号D.方法5、载荷包括所有边界条件以及外部或者内部的作用效应，下列不属于Ansys载荷的是（ D ）。

A. DOF约束B.力C.体载荷D.应力【解析】：应力是结果，不是条件。

6、（B ）什么要求面或者体有规则的形状，即必须满足一定的准则。

A.自由网格B.映射网格C. Sweep网格D.其他7、什么样的载荷独立于有限元网格，即可以改变单元网格而不影响施加的载荷（ C ）。

A.阶跃载荷B.有限元模型载荷C.实体模型载荷D.斜坡载荷8、有限元法首先把求解出的解是（D ），单元应变和应力都可以由它来求得。

A.节点坐标B.节点自由度C.节点载荷D.节点位移9、下列不属于Ansys产品当中求解联立方程的方法是（C ）。

A.稀疏矩阵直接解法B.直接解法C.变分法D.雅可比共轭梯度法10、下列不属于/postl显示的图形类别的是（B ）。

A.等直线图B.灰度图C.形状变形图D.矢量图11、对二维桁架进行强度校核时，选择的单元类型是（C ）。

A. plane82B. Beam3C. Link2DSPrlD. Shell6312、5为板的厚度，b为长度的最小值，当满足1/80 -1/100 <5 /b < 1/5-1/8时，这样的板属于（ B ）。

A.薄膜B.薄板C.厚板D.壳13、下列哪个布尔运算的结果是由每个初始输入的图元的共同部分形成的新图元（A）A.交运算B.加运算C.减运算D.分割14、在整个有限元分析过程中，离散化是分解的基础。

15、典型的Ansys文件包括：数据库文件，日志文件，结果文件。

16、Ansys提供两种工作方法：人机交互方式（GUI），命令流输入方式（Batch 方式）。

一.有限元法求解弹性力学问题的基本步骤，为什么应力解答的稱度低于位移解答精度？（1）步骤2弹性单元的离散化2选择位移函数3建立单元刚度方程4建立整体平衡方程5,求解整体平衡方程（2）位移法求解，位移是直接解，应力是一个与位移导数相尖的派生解，这就导致了应力解答的精度低于位移解答精度。

二•简述单元刚度矩阵和整体刚度矩阵的性质单元刚度矩阵性质481单元刚度矩阵每一列元素表示一组平衡力系，对于平面问题，每列元素之和为零。

2.单元刚度矩阵中对角线上的元素为正。

3单元刚度矩阵为对称矩阵4单元刚度矩阵为奇异矩阵整体刚度矩阵性质1每一列元素表示一组平衡力系，対于平面问题，每列元素之和为零。

2.单元刚度矩阵中对角线上的元素为正。

3单元刚度矩阵为对称矩阵4单元刚度矩阵为奇异矩阵，排除整体刚度位移后为正定矩阵o5整体刚度矩阵是带状矩阵三、简述你知道的单元类型，对同一类型的单元精度比较，给出一般规律。

三角形单元中，三结点的常应变单元•其单元内应力是常量，它是一种简单但精度低的单元：六结点的二次三角形单元精度高但不能适应曲线边界。

而矩形单元，其精度虽比相应的三角形单元高，但不易改变单元尺寸，以及不能适应曲线边界和非直角的直线边界。

平面等参数单元适应了曲线边界和非直角的直线边界。

四、有限元网格划分的过程中应注意哪些问题？1网格数目网格数目的多少将影响计算结果的精度和计算规模的人小。

一般来讲，网格数目增加，计算精度会仃所进步，但同时计算规模也会增加。

实际应用时可以比较两种网格划分的计算结果，假如两次计算结果相差较大，可以继续增加网格，相反则停止计算。

2网怡疏密网格疏密是指在结构不同部位采用人小不同的网格，这是为了适应计算数据的分布特点。

在计算数据变化梯度较人的部位（如应力集中处），为了较好地反映数据变化规律，需要采用比较密集的网格。

而在计算数据变化梯度较小的部位，为减小模型规模，则应划分相对稀疏的网格。

3单元阶次选用高阶单元可进步计算精度，所以当结构外形不規则、应力分布或变形很复杂时可以选用高阶单元•但高阶单元的节点数较多，在网格数目相同的情况下由高阶单元组成的模型规模要大得多，因此在使用时应权衡考虎计算精度和时间。