高数(上)第八单元课后习题答案8-7

第8章多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念内容概要课后习题全解习题8-1★1.设222(,)xy f x y x y =+，求(1,)y f x。

解：222222(1,)1()yy xy x f y x x y x==++★2. 已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，试求(,,)f x y x y xy +-。

解： 2(,,)()()xyxf x y x y xy x y xy +-=++★★3.设()z x y f x y =++-，且当0y =时，2z x =，求()f x 。

解：将0y =代入原式得： 20(0)x x f x =++- ，故 2()f x x x =-4.求下列函数的定义域： ★（1）2ln(21)zy x =-+解：要使表达式有意义，必须 2210y x -+>∴ 所求定义域为 2{(,)|210}D x y y x =-+>★（2）z=解：要使表达式有意义，必须0x ≥， ∴{(,)|D x y x =≥★★（3）u=解：要使表达式有意义，必须11-≤≤∴{(,,)|D x y z z =≤≤★★★（4）z = 解：要使表达式有意义，必须 222224010ln(1)0ln1x y x y x y ⎧-≥⎪-->⎨⎪--≠=⎩∴ 222{(,)|01,4}D x y x y y x =<+≤≤★★（5）ln()z y x =-+解：要使表达式有意义，必须220010y x x x y ⎧->⎪≥⎨⎪-->⎩∴ 22{(,)|1,0}D x y x y x y =+<≤<5.求下列极限：★（1）10y x y →→知识点：二重极限。

思路：(1,0)为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。

解：1ln 2ln 21y x y →→== ★★（2）00x y →→知识点：二重极限。

思路： 应用有理化方法去根号。

高等数学课后习题答案第八章1第八章习题解答节8.1部分习题解答 5、求极限（1）、101011l i m 2201=+-=+-→→yx xy y x （2）、xy y x y x 1sin)(lim 0+→→。

由y x xyy x +≤+≤1sin )(0，而0)(lim 00=+→→y x y x 所以01sin)(lim 00=+→→xyy x y x （3）、2ln 214)02ln()sin ln(lim2202=++=++→→y x y x y x （4）、=+-→→xy xy y x 42lim 041421)42(lim 00-=+-=++-→→xy xy xy y x （5）、110c o s 1c o s l i m000==++→→e y x y e x y x （6）、=++-→→xy y x ey x y x )()cos(1lim22220=++→→xy y x ey x y x )()(21sin 2lim 222220 )(21)(21sin lim 222200y x y x y x ++→→0101)(21sin lim 2200=?=+?→→xy y x e y x 6、证明下列极限不存在（1）、yx yx y x -+→→00l i m 证明：取路径0=x 有=-+→→y x y x y x 00lim1lim0-=-→=yyy x 取路径0=y 有=-+→→y x y x y x 00lim1lim 00=→=xx x y ，所以y x yx y x -+→→00lim 不存在（2）、xy x x y x -+→→2220l i m证明：取路径x y =有xy x x y x -+→→22200lim x x x y x -=→→2202lim 0142lim 00=-=→→x x y x 取路径x y =有x y x x y x -+→→2220 0lim 1lim 220==→→x x y x ，所以xy x x y x -+→→22200lim 不存在。

第八章习题解答（2） 节8.4部分习题解答1、设22v uv u z ++= y x v y x u -=+=,，求x z ∂∂，yz ∂∂ 解：v u u z +=∂∂2 v u vz 2+=∂∂ 1=∂∂x u ，1=∂∂x v ；1=∂∂y u ，1-=∂∂yv 所以x z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂x u ⋅∂∂v z =∂∂xvx v u v u v u 6)(3)2()2(=+=+++y z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂y u ⋅∂∂v z =∂∂yv y v u v u v u 2)2()2(=-=+-+ 2、设v u z ln 2= y x v yxu 23,-==，求x z ∂∂，y z ∂∂解：v u u zln 2=∂∂ vu v z 2=∂∂ y x u 1=∂∂，3=∂∂x v ；2yx y u -=∂∂，2-=∂∂y v所以 x z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂x u ⋅∂∂v z =∂∂x v )23(3)23l n (23ln 21222y x y x y x y x v u v u y -+-=+y z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂y u ⋅∂∂v z =∂∂y v )23(2)23l n (22ln 2223222y x y x y x y x v u v u y x ----=-- 3、设v e z uln = 22222,2y x v y x u -=-=，求x z ∂∂，yz∂∂ 解：v e u z uln =∂∂ ve v z u =∂∂ x x u 4=∂∂，x x v 2=∂∂；y y u 2-=∂∂，y yv 4-=∂∂ 所以x z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂x u ⋅∂∂v z =∂∂xv]21)2ln(2[22ln 42222222yx y x xe v e x v xe y x u u-+-=+-y z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂y u ⋅∂∂v z =∂∂yv ]22)2ln(2[24ln 2222222yx y x ye v e y v ye y x u u-+--=--- 4、设y x e z 2-= 3,sin t y t x ==，求 dtdz解：y x e x z 2-=∂∂ y x e yz 22--=∂∂，t dt dx cos =，23t dt dy =， 所以dt dz ⋅∂∂=x z +dt dx ⋅∂∂y z =dtdy223c o s t te y x +-)2(2y x e --=)6(c o s 22s i n 3t t e t t -- 5、设)arcsin(y x z -= 34,3t y t x ==，求 dtdz 解：2)(11y x x z --=∂∂ 2)(11y x y z ---=∂∂，t dt dx 3=，212t dt dy =， 所以 dt dz ⋅∂∂=x z +dt dx ⋅∂∂y z =dtdy=---22)(1123y x t 232)43(1123t t t ---6、设)23tan(22y x t z -+= t y tx ==,1，求dtdz 解：2sec 4x x z =∂∂)23(22y x t -+ 2s e c 2y yz -=∂∂)23(22y x t -+， 2sec 3=dt dz )23(22y x t -+；21t dt dx -=，tdt dy 21=， 1=dt dt 所以t dz ∂⋅∂∂=x z +dt dx ⋅∂∂y z =∂∂+t z dt dy 2s e c )23(22y x t -+]3212)1(14[2+--tt t t 2sec =)22(2t t +)42(3t -⋅ 7、设1)(2+-=a z y e u ax xz x a y cos ,sin ==，求 dx du解：=∂∂x u 1)(2+-a z y ae ax ，=∂∂y u12+a ae ax ，-=∂∂z u 12+a ae ax x dx dy cos =；x dxdzsin -=，所以 dx du ⋅∂∂=x u ⋅∂∂+y u =⋅∂∂+dx dzz u dx dy ]s i n c o s )c o s s i n ([12x x a x x a a a e ax ++-+ x e ax sin =8、设222z y xe u ++= x y z sin 2=，求x u ∂∂，yu∂∂ 解：x x u 2=∂∂222z y x e ++⋅ y yu2=∂∂222z y x e ++⋅，z z u 2=∂∂222z y x e ++⋅ x y x z cos 2=∂∂，x y yz sin 2=∂∂； 所以：x u ∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅+∂∂=xzz u y u x u 0]cos 22[2222x zy x e z y x +++ =+=++]cos sin 22[22sin 2422x xy y x e xy y x]2sin 2[4sin 2422x y x e xy y x+=++y u ∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂+⋅∂∂=yz z u y u x u 0]sin 222[222x y z y e z y x ⋅+++ =⋅+=++]sin 2sin 22[2sin 2422x y x y y e xy y x]sin 21[222sin 2422x y ye xy y x+++9、设)cos(22y x y x z +++= v y v u x arcsin ,=+=，求vu zu z ∂∂∂∂∂2, 解：)sin(2y x x x z +-=∂∂，)sin(2y x y yz +-=∂∂ 1=∂∂u x ，1=∂∂v x ，0=∂∂u y211vv y -=∂∂所以)a r c s i n s i n ()(2)s i n (2v v u v u y x x uz++-+=+-=∂∂)111)(arcsin cos(222vv v u v u z -+++-=∂∂∂ 10、设,arctan y xz =v u y v u x -=+=,验证：22vu v u v z u z +-=∂∂+∂∂ 证明：22yx yx z +=∂∂，22y x x y z +-=∂∂，1=∂∂u x ，1=∂∂v x ，11=∂∂u y ，1-=∂∂v y所以)(122x y y x u z -+=∂∂22v u v +-=，)(122x y yx v z ++=∂∂22v u u += 故有 左边=+-=∂∂+∂∂=22vu vu v z u z 右边 11、设f 具有连续的一阶偏导数，求下列函数的一阶偏导数 （1）、)34,23(y x y x f z -+=解：设y x v y x u 34,23-=+=，于是有3=∂∂x u ，2=∂∂y u ，4=∂∂x v ，3-=∂∂yv2143f f x z +=∂∂ =∂∂yz2133f f - （2）、),(22xy e y x f z -= 解：设xy e v y x u =-=,22，于是有x x u 2=∂∂，y y u 2-=∂∂，xy ye x v =∂∂，xu xe yv=∂∂ =∂∂x z 212f ye xf xy + 212f xe yf yzxy +-=∂∂ （3）、)32,ln (y x x y f z +=解：设y x v x y u 32,ln +==，于是有x y x u =∂∂，x y u ln =∂∂，2=∂∂x v ，3=∂∂yv212f f x y x z +=∂∂ 213ln f xf yz+=∂∂ （4）、),(yxx y f z = 解：设y x v x y u ==,，于是有2x y x u -=∂∂，x y u 1=∂∂，y x v 1=∂∂，2yx y v -=∂∂ 2121f y f xy x z +-=∂∂2211f y x f x y z -=∂∂ （5）、),,(y x y x x f z -+=解：设y x v y x u -=+=,，于是有1=∂∂x u ，1=∂∂x v ，1=∂∂y u ，1-=∂∂yv321f f f x z ++=∂∂ 32f f yz -=∂∂ （6）、),,(x y z xy x f u =解：设xyz t xy s ==,，于是有y x s =∂∂，yz x t =∂∂，x y s =∂∂，zx yt=∂∂ 0=∂∂z x ，0=∂∂z s xy zt=∂∂ 321yzf yf f x u ++=∂∂ 32z x f xf yu+=∂∂ 3xyf z u =∂∂ 12、设)(u f 具有连续的导数，)(xyxf xy z += 验证：z xy yz y x z x+=∂∂+∂∂ 验证：)])(()([2xy x y f x x y f y x x z x-'++=∂∂)()(x y f y x y xf xy '-+= ='+=∂∂)])(([xyx y f x x y y z y)(x y f y xy '+左边==+=+=∂∂+∂∂z xy xyxf xy y z y x z x)(2右边 13、设)(22y x f z +=，)(u f 具有二阶连续的导数，求,,222y x z x z ∂∂∂∂∂,22y z∂∂ 解：设22y x u +=有1f u z=∂∂ 1122f u z =∂∂ x x u 2=∂∂ 222=∂∂x u 0=∂∂∂y x u y y u2=∂∂ 222=∂∂yu 12xf x z =∂∂ x xf f x z 22211122+=∂∂112142f x f += 11112422xyf y xf yx z ==∂∂∂ 12yf y z=∂∂ 11212242f y f yz +=∂∂ 14、设f 具有二阶连续的导数，求,,222y x z x z ∂∂∂∂∂,22yz∂∂（1）、),(xy y x f z += 解：设xy v y x u =+=,有1f u z =∂∂ 1122f u z =∂∂ 122f v u z =∂∂∂ 2f v z =∂∂ 2222f v z =∂∂ 1=∂∂x u 022=∂∂x u 02=∂∂∂y x u 1=∂∂y u 022=∂∂y u y x v =∂∂ 022=∂∂x v 12=∂∂∂y x v x y v =∂∂ 022=∂∂yv 于是有：22222)(xv v z x u u z z v y u x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂=∂∂22212112f y yf f ++=y x vv z y x u u z z v x u v y u y x z ∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂222))((2221211)(f xyf f y x f ++++= 22222)(y vv z y u u z z v x u yz ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂=∂∂22212112f x xf f ++= （2）、),(yxxy f z =解：设yx v xy u ==, 有1f u z =∂∂ 1122f u z =∂∂ 122f v u z =∂∂∂ 2f v z=∂∂ 2222f v z =∂∂ y x u =∂∂ 022=∂∂x u 12=∂∂∂y x u x y u =∂∂ 022=∂∂yu y x v 1=∂∂ 022=∂∂x v221yy x v -=∂∂∂ 2y x y v -=∂∂ 3222y x y v =∂∂ 于是有：22222)1(x v v z x u u z z v y u y x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂=∂∂2221211212f y f f y ++=yx vv z y x u u z z v y x u x v y u y y x z ∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂-∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂2222))(1(221223111f y f f y x xyf -+-+=222222)(y v v z y u u z z v y x u x y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂-∂∂=∂∂232242122211222f y x f y x f y x f x ++-=。

习题8−31.求下列函数的全微分:(1)yx xy z +=;解dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=dy yxx dx y y )()1(2−++=.(2)x ye z =;解xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+−=∂∂+∂∂=.(3)22yx y z +=;解因为2/3222322)()(21y x xy y x y x z +−=+−=∂∂−,2/3222222222)(y x x y x y x y y y x yz +=++⋅−+=∂∂,所以dy y x x dx y x xy dz 2/32222/322)()(+++−=)()(2/322xdy ydx y x x −+−=.(4)u =x yz .解因为1−⋅=∂∂yz x yz x u ,x zx y u yz ln =∂∂,x yx zu yz ln =∂∂,所以xdzyx xdy zx dx yzx du yz yz yz ln ln 1++=−2.求函数z =ln(1+x 2+y 2)当x =1,y =2时的全微分.解因为2212y x x x z ++=∂∂,2212y x y y z ++=∂∂,3121=∂∂==y x x z ,3221=∂∂==y x y z,所以dy dx dz y x 323121⋅+===.3.求函数xy z =当x =2,y =1,∆x =0.1,∆y =−0.2时的全增量和全微分.解因为x y x x y y z −∆+∆+=∆,y x x xy dz ∆+∆−=12,所以,当x =2,y =1,∆x =0.1,∆y =−0.2时,119.0211.02)2.0(1−=−+−+=∆z ,125.0)2.0(211.041−=−×+−=dz .4.求函数z =e xy 当x =1,y =1,∆x =0.15,∆y =0.1时的全微分.解因为y xe x ye y yz x x z dz xy xy ∆+∆=∆∂∂+∆∂∂=所以,当x =1,y =1,∆x =0.15,∆y =0.1时,ee e dz 25.01.015.0=⋅+⋅=*5.计算33)97.1()102(+的近似值.解设33y x z +=,由于y y z x x z y x y y x x ∆∂∂+∆∂∂++≈∆++∆+3333)()(332233233y x y y x x y x +∆+∆++=,所以取x =1,y =2,∆x =0.02,∆y =−0.03可得95.2212)03.0(2302.0321)97.1()02.1(32333=+−⋅⋅+⋅++≈+.*6.计算(1.97)1.05的近似值(ln2=0.693).解设z =x y ,由于y yz x x z x x x y y y ∆∂∂+∆∂∂+≈∆+∆+)(y x x x yx x y y y ∆+∆+=−ln 1,所以取x =2,y =1,∆x =−0.03,∆y =0.05可得(1.97)1.05≈2−0.03+2ln2⋅0.05+1.97+0.0693≈2.093.*7.已知边长为x =6m 与y =8m 的矩形,如果x 边增加5cn 而y 边减少10cm ,问这个矩形的对角线的近似变化怎样？解矩形的对角线为22y x z +=,)(122y y x x yx y dy dz x dx dz dz z ∆+∆+=∆+∆=≈∆,当x =6,y =8,∆x =0.05,∆y =−0.1时,05.0)1.0805.06(86122−=⋅−⋅+≈∆z .这个矩形的对角线大约减少5cm .*8.设有一无盖圆柱形容器,容器的壁与底的厚度均为0.1cm ,内高为20cm ,内半径为4厘米,求容器外壳体积的近似值.解圆柱体的体积公式为V =πR 2h ,∆V ≈dV =2πRh ∆R +πR 2∆h ,当R =4,h =20,∆R =∆h =0.1时,∆V ≈2×3.14×4×20×0.1+3.14×42×0.1≈55.3(cm 3)这个容器外壳的体积大约是55.3cm 3.*9.设有直角三角形,测得其两腰的长分别为7±0.1cm 和24±0.1cm ,试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差.解设两直角边的长度分别为x 和y ,则斜边的长度为22y x z +=.||||||||||||y y z x x z dz z ∆⋅∂∂+∆⋅∂∂≤≈∆|)|||(122y y x x yx ∆+∆+=.令x =7,y =24,|∆x |≤0.1,|∆y |≤0.1,则得斜边长度z 的绝对误差约为124.0)1.0241.07(247122=⋅+⋅+=z δcm .*10.测得一块三角形土地的两边长分别为63±0.1m 和78±0.1m ,这两边的夹角为60°±1°,试求三角形面积的近似值,并求其绝对误差和相对误差.解设三角形的两边长为x 和y ,它们的夹角z ,为则三角形面积为z xy s sin 21=.zdz xy zdy x zdx y dS cos 21sin 21sin 21++=||cos 21||sin 21||sin 21||||dz z xy dy z x dx z y dS S ++≤≈∆.令x =63,y =78,3π=z ,|dx |=0.1,|dy |=0.1,180π=dz ,则55.2718021278631.0232631.023278=××+×+×≈πδs ,82.21273sin 786321=⋅⋅⋅=πS ,%29.182.212755.27==S s δ,所以三角形面积的近似值为2127.82m 2,绝对误差为27.55m 2,相对误差为1.29%.*11.利用全微分证明:两数之和的绝对误差等于它们各自的绝对误差之和.证明设u =x +y ,则||||||||||||y x y x y yu x x u du u ∆+∆≤∆+∆=∆∂∂+∆∂∂=≈∆.所以两数之和的绝对误差|∆u |等于它们各自的绝对误差|∆x |与|∆y |的和.*12.利用全微分证明:乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和;商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和.证明设u =xy ,yx v =,则∆u ≈du =ydx +xdy ,2y xdy ydx dv v −=≈∆,由此可得相对误差;y dy x dx xy xdy ydx u du u u +=+=≈∆y y x x y dy x dx ∆+∆=+≤;y dy x dx y xy xdy ydx v dv v v −=⋅−==∆2y y x x y dy x dx ∆+∆=+≤.。

高等数学课后习题及参考答案（第八章）习题8-11. 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点所成的点集(称为导集)和边界. (1){(x , y )|x ≠0, y ≠0};解 开集, 无界集, 导集为R 2, 边界为 {(x , y )|x =0或y =0}. (2){(x , y )|1<x 2+y 2≤4};解 既非开集, 又非闭集, 有界集, 导集为 {(x , y )|1≤x 2+y 2≤4}, 边界为 {(x , y )|x 2+y 2=1或x 2+y 2=4}. (3){(x , y )|y >x 2}; 解 开集, 区域, 无界集, 导集为 {(x , y )| y ≥x 2}, 边界为 {(x , y )| y =x 2}.(4){(x , y )|x 2+(y -1)2≥1}⋂{(x , y )|x 2+(y -2)2≤4}. 解 闭集, 有界集, 导集与集合本身相同, 边界为 {(x , y )|x 2+(y -1)2=1}⋃{(x , y )|x 2+(y -2)2=4}.2. 已知函数yx xy y x y x f tan ),(22-+=, 试求f (tx , ty ).解 )(tan )()()()(),(22ty tx ty tx ty tx ty tx f ⋅⋅-+=),()tan (2222y x f t y x xy y x t =-+=.3. 试证函数F (x , y )=ln x ⋅ln y 满足关系式:F (xy , uv )=F (x , u )+F (x , v )+F (y , u )+F (y , v ).证明 F (xy , uv )=ln((x , y )⋅ln(uv )=(ln x +ln y )(ln u +ln v )=ln x ⋅ln u +ln x ⋅ln v +ln y ⋅ln u +ln y ⋅ln v =F (x , u )+F (x , v )+F (y , u )+F (y , v ). 4. 已知函数f (u , v , w )=u w +w u +v , 试求f (x +y , x -y , xy ). 解 f (x +y , x -y , xy )=(x +y )xy +(xy )(x +y )+(x -y )=(x +y )xy +(xy )2x .5. 求下列各函数的定义域: (1)z =ln(y 2-2x +1); 解 要使函数有意义, 必须 y 2-2x +1>0, 故函数的定义域为D ={(x , y )|y 2-2x +1>0}. (2)y x y x z -++=11;解 要使函数有意义, 必须 x +y >0, x -y >0, 故函数的定义域为D ={(x , y )|x +y >0, x -y >0}.(3)y x z -=;解 要使函数有意义, 必须 y ≥0,0≥-y x 即y x ≥, 于是有 x ≥0且x 2≥y , 故函数定义域为D ={(x , y )| x ≥0, y ≥0, x 2≥y }. (4)221)ln(yx x x y z --+-=; 解 要使函数有意义, 必须 y -x >0, x ≥0, 1-x 2-y 2>0, 故函数的定义域为D ={(x , y )| y -x >0, x ≥0, x 2+y 2<1}.(5)222222221r z y x z y x R u -+++---=(R >r >0); 解 要使函数有意义, 必须R 2-x 2-y 2-z 2≥0且x 2+y 2+z 2-r 2>0, 故函数的定义域为D ={(x , y , z )| r 2<x 2+y 2+z 2≤R 2}. (6)22arccos y x z u +=.解 要使函数有意义, 必须 x 2+y 2≠0, 且1||22≤+y x z 即z 2≤x 2+y 2, 故函数定义域为D ={(x , y , z )|z 2≤x 2+y 2, x 2+y 2≠0}.6. 求下列各极限: (1)22)1,0(),(1lim y x xyy x +-→;解110011lim22)1,0(),(=+-=+-→y x xy y x .(2)22)0,1(),()ln(lim yx e x y y x ++→; 解 2ln 01)1ln()ln(lim 22022)0,1(),(=++=++→e y x e x y yx . (3)xyxy y x 42lim )0,0(),(+-→; 解xy xy y x 42lim)0,0(),(+-→)42()42)(42(lim )0,0(),(+++++-=→xy xy xy xy y x 41)42(1lim )0,0(),(-=++-=→xy y x .(4)11lim )0,0(),(-+→xy xyy x ;解11lim)0,0(),(-+→xy xyy x )11)(11()11(lim)0,0(),(-+++++=→xy xy xy xy y x 2)11lim )11(lim )0,0(),()0,0(),(=++=++=→→xy xyxy xy y x y x . (5)yxy y x )sin(lim)0,2(),(→;解 y xy y x )sin(lim )0,2(),(→221sin lim )0,2(),(=⋅=⋅=→x xy xyy x .(6)22)()cos(1lim 2222)0,0(),(yx y x e y x y x ++-→. 解 2222)()(21lim )()cos(1lim 22222)0,0(),(2222)0,0(),(yx y x y x y x e y x y x e y x y x ++=++-→→ 0lim 212222)0,0(),(=+=→y x y x e y x (用等价无穷小代换). 7. 证明下列极限不存在: (1)yx yx y x -+→)0,0(),(lim;证明 如果动点p (x , y )沿y =0趋向(0, 0), 则1lim lim00 )0,0(),(==-+→=→x x y x yx x y y x ;如果动点p (x , y )沿x =0趋向(0, 0), 则1lim lim00 )0,0(),(-=-=-+→=→y yy x y x y x y x .因此, 极限yx yx y x -+→)0,0(),(lim不存在.(2)22222)0,0(),()(lim y x y x y x y x -+→. 证明 如果动点p (x , y )沿y =x 趋于(0, 0), 则1lim )(lim 44022222 )0,0(),(==-+→=→x x y x y x y x x xy y x ;如果动点p (x , y )沿y =2x 趋向(0, 0), 则044lim )(lim 2440222222 )0,0(),(=+=-+→=→x x x y x y x y x x xy y x .因此, 极限22222)0,0(),()(lim y x y x y x y x -+→不存在.8. 函数xy xy z 2222-+=在何处间断？解 因为当y 2-2x =0时, 函数无意义, 所以在y 2 -2x =0处, 函数xy x y z 2222-+=间断.9. 证明0lim 22)0,0(),(=+→yx xyy x . 证明 因为22||||2222222222y x yx y x y x xy y x xy +=++≤+=+,所以 02lim ||lim 022)0,0(),(22)0,0(),(=+≤+≤→→y x y x xyy x y x .因此 0lim22)0,0(),(=+→yx xyy x . 方法二:证明 因为2||22y x xy +≤, 故22||22222222y x y x y x y x xy +=++=+. 对于任意给定的ε>0, 取δ=2ε, 当δ<+<220y x 时恒有εδ=<+≤-+22|0|2222y x y x xy,所以 0lim22)0,0(),(=+→yx xyy x .10. 设F (x , y )=f (x ), f (x )在x 0处连续, 证明: 对任意y 0∈R , F (x , y )在(x 0, y 0)处连续.证明 由题设知, f (x )在x 0处连续, 故对于任意给定的ε>0, 取δ>0, 当|x -x 0|<δ时, 有|f (x )-f (x 0)|<ε.作(x 0, y 0)的邻域U ((x 0, y 0), δ), 显然当(x , y )∈U ((x 0, y 0), δ)时, |x -x 0|<δ, 从而|F (x , y )-F (x 0, y 0)|=|f (x )-f (x 0)|<ε, 所以F (x , y )在点(x 0, y 0)处连续.又因为y 0是任意的, 所以对任意y 0∈R , F (x , y )在(x 0, y 0)处连续.习题8-21. 求下列函数的偏导数: (1) z =x 3y -y 3x ; 解 323y y x xz -=∂∂,233xy x y z -=∂∂.(2)uvvu s 22+=;解 21)(uv v u v v u u u s -=+∂∂=∂∂,21)(vu u u v v u v v s -=+∂∂=∂∂.(3))ln(xy z =;解 x y x y x x x z 1ln ln 121)ln ln (⋅+⋅=+∂∂=∂∂)ln(21xy x =. 同理 )ln(21xy y y z =∂∂.(4) z =sin(xy )+cos 2(xy );解 y xy xy y xy xz ⋅-⋅+⋅=∂∂)]sin([)cos(2)cos()]2sin()[cos(xy xy y -=根据对称性可知)]2sin()[cos(xy xy x yz -=∂∂.(5)yx z tan ln =;解 yx y y y x yx x z 2csc 21sec tan 12=⋅⋅=∂∂,yx y x y x y x yx y z 2csc 2sec tan 1222-=-⋅⋅=∂∂. (6) z =(1+xy )y ;解 121)1()1(--+=⋅+=∂∂y y xy y y xy y xz ,]1)1[ln()1ln()1ln(xyx y xy e e y y z xy y xy y +⋅++=∂∂=∂∂++]1)1[ln()1(xy xyxy xy y ++++=.(7)zy x u =;解 )1(-=∂∂z y x zy x u ,x x zz x x y u z yz y ln 11ln ⋅=⋅=∂∂,x x zy z y x x z u z yz y ln )(ln 22⋅-=-=∂∂.(8) u =arctan(x -y )z ;解 zz y x y x z x u 21)(1)(-+-=∂∂-, zz y x y x z y u 21)(1)(-+--=∂∂-, zz y x y x y x z u 2)(1)ln()(-+--=∂∂. 2. 设g l T π2=, 试证0=∂∂+∂∂g T g l T l .解 因为lg l T ⋅⋅=∂∂1π,gg g l g T 1)21(223⋅-=⋅-⋅=∂∂-ππ, 所以 0=⋅-⋅=∂∂+∂∂g l g l g T g l T l ππ. 3. 设)11(yx ez +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂.解 因为2)11(1x ex z yx ⋅=∂∂+-, 2)11(1y e yz y x ⋅=∂∂+-, 所以 z eeyz y x z x yx yx 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+-4. 设y x y x y x f arcsin )1(),(-+=, 求)1 ,(x f x .解 因为x x x x f =-+=1arcsin )11()1 ,(,所以 1)1 ,()1 ,(==x f dx d x f x .5. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z 在点(2, 4, 5)处的切线与正向x 轴所成的倾角是多少？ 解 因为242x x x z ==∂∂,αtan 1)5,4,2(==∂∂xz ,故 4πα=.6. 求下列函数的22x z ∂∂, 22y z ∂∂, yx z ∂∂∂2. (1) z =x 4+y 4-4x 2y 2;解 2384xy x xz -=∂∂, 2222812y x x z -=∂∂; y x y yz 2384-=∂∂, 2222812x y y z -=∂∂;xy y x y yy x z 16)84(232-=-∂∂=∂∂∂. (2)xyz arctan =;解 22222)(11y x y x y xy x z +-=-⋅+=∂∂,22222)(2y x xy x z +=∂∂; 2222)1(11y x x x xy yz +=⋅+=∂∂, 22222)(2y x xy y z +-=∂∂;22222222222222)()(2)()(y x x y y x y y x y x y y y x z +-=+-+-=+-∂∂=∂∂∂. (3) z =y x .解 y y xz xln =∂∂, y y x z x 222ln =∂∂; 1-=∂∂x xy yz , 222)1(--=∂∂x y x x y z ;)1ln (1ln )ln (112+=⋅+=∂∂=∂∂∂--y x y yy y xy y y y y x z x x x x . 7. 设f (x , y , z )=xy 2+yz 2+zx 2, 求f xx (0, 0, 1), f xz (1, 0, 2), f yz (0, -1, 0)及f zzx (2, 0, 1). 解 因为f x =y 2+2xz , f xx =2z , f xz =2x , f y =2xy +z 2, f yz =2z ,f z =2yz +x 2, f zz =2y , f zzx =0, 所以 f xx (0, 0, 1)=2, f xz (1, 0, 2)=2, f yz (0, -1, 0)=0, f zzx (2, 0, 1)=0.8. 设z =x ln(xy ), 求y x z ∂∂∂23及23y x z ∂∂∂. 解 1)ln()ln(+=⋅+=∂∂xy xyyx xy x z ,x xy y x z 122==∂∂, 023=∂∂∂y x z ,y xy x y x z 12==∂∂∂, 2231y y x z -=∂∂∂. 9. 验证:(1)nx e y tkn sin 2-=满足22xy k t y ∂∂=∂∂;证明 因为nx e kn kn nx e t y t kn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx ne x y tkn cos 2-=∂∂, nx e n x y t kn sin 2222--=∂∂, nx e kn xy k t kn sin 2222--=∂∂,所以 22xyk t y ∂∂=∂∂.(2)222z y x r ++=满足rz r y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂. 证明 r x z y x x x r =++=∂∂222, 322222r x r r x r x r xr -=∂∂-=∂∂, 由对称性知32222ry r y r -=∂∂, 32222r z r z r -=∂∂,因此 322322322222222rz r r y r r x r z r y r x r -+-+-=∂∂+∂∂+∂∂ rr r r r z y x r 23)(332232222=-=++-=. 习题8-31. 求下列函数的全微分: (1)yx xy z +=;解 dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=dy y x x dx y y )()1(2-++=.(2)xy e z =;解 xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=∂∂+∂∂=.(3) 22yx y z +=;解 因为2/3222322)()(21y x xy y x y x z +-=+-=∂∂-, 2/3222222222)(y x x y x y x yy y x y z +=++⋅-+=∂∂, 所以 dy y x x dx y x xy dz 2/32222/322)()(+++-=)()(2/322xdy ydx y x x -+-=.(4)u =x yz . 解 因为1-⋅=∂∂yz x yz x u , x zx yu yz ln =∂∂, x yx z u yz ln =∂∂,所以 xdz yx xdy zx dx yzx du yz yz yz ln ln 1++=-.2. 求函数z =ln(1+x 2+y 2)当x =1, y =2时的全微分. 解 因为2212y x x x z ++=∂∂, 2212y x y y z ++=∂∂, 3121=∂∂==y x xz, 3221=∂∂==y x y z , 所以 dy dx dz y x 323121⋅+===.3. 求函数xyz =当x =2, y =1, ∆x =0.1, ∆y =-0.2时的全增量和全微分. 解 因为xy x x y y z -∆+∆+=∆, y x x x ydz ∆+∆-=12,所以, 当x =2, y =1, ∆x =0.1, ∆y =-0.2时,119.0211.02)2.0(1-=-+-+=∆z , 125.0)2.0(211.041-=-⨯+⨯-=dz .4. 求函数z =e xy 当x =1, y =1, ∆x =0.15, ∆y =0.1时的全微分. 解 因为y xe x ye y yz x x z dz xy xy ∆+∆=∆∂∂+∆∂∂=所以, 当x =1, y =1, ∆x =0.15, ∆y =0.1时, e e e dz 25.01.015.0=⋅+⋅=.*5. 计算33)97.1()102(+的近似值. 解 设33y x z +=, 由于y yz x x z y x y y x x ∆∂∂+∆∂∂++≈∆++∆+3333)()(332233233y x y y x x y x +∆+∆++=, 所以取x =1, y =2, ∆x =0.02, ∆y =-0.03可得95.2212)03.0(2302.0321)97.1()02.1(32333=+-⋅⋅+⋅++≈+. *6. 计算(1.97)1.05的近似值(ln2=0.693). 解 设z =x y , 由于y yz x x z x x x y y y ∆∂∂+∆∂∂+≈∆+∆+)(y x x x yx x y y y ∆+∆+=-ln 1,所以取x =2, y =1, ∆x =-0.03, ∆y =0.05可得(1.97)1.05≈2-0.03+2ln2⋅0.05+1.97+0.0693 ≈2.093.*7. 已知边长为x =6m 与y =8m 的矩形, 如果x 边增加5cm 而y 边减少10cm ,问这个矩形的对角线的近似变化怎样？解 矩形的对角线为22y x z +=,)(122y y x x yx y dy dz x dx dz dz z ∆+∆+=∆+∆=≈∆,当x =6, y =8, ∆x =0.05, ∆y =-0.1时,05.0)1.0805.06(86122-=⋅-⋅+≈∆z .这个矩形的对角线大约减少5cm .*8. 设有一无盖圆柱形容器, 容器的壁与底的厚度均为0.1cm , 内高为20cm ,内半径为4厘米, 求容器外壳体积的近似值.解 圆柱体的体积公式为V =πR 2h , ∆V ≈dV =2πRh ∆R +πR 2∆h , 当R =4, h =20, ∆R =∆h =0.1时,∆V ≈2⨯3.14⨯4⨯20⨯0.1+3.14⨯42⨯0.1≈55.3(cm 3), 这个容器外壳的体积大约是55.3cm 3.*9. 设有直角三角形, 测得其两腰的长分别为7±0.1cm 和24±0.1cm , 试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差. 解 设两直角边的长度分别为x 和y , 则斜边的长度为22y x z +=.||||||||||||y y z x x z dz z ∆⋅∂∂+∆⋅∂∂≤≈∆|)|||(122y y x x y x ∆+∆+=.令x =7, y =24, |∆x |≤0.1, |∆y |≤0.1, 则得斜边长度z 的绝对误差约为124.0)1.0241.07(247122=⋅+⋅+=z δcm .*10. 测得一块三角形土地的两边长分别为63±0.1m 和78±0.1m ,这两边的夹角为60︒±1︒, 试求三角形面积的近似值, 并求其绝对误差和相对误差.解 设三角形的两边长为x 和y , 它们的夹角z , 为则三角形面积为z xy s sin 21=.zdz xy zdy x zdx y dS cos 21sin 21sin 21++=||cos 21||sin 21||sin 21||||dz z xy dy z x dx z y dS S ++≤≈∆.令x =63, y =78, 3π=z , |dx |=0.1, |dy |=0.1, 180π=dz , 则55.2718021278631.0232631.023278=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯≈πδs ,82.21273sin 786321=⋅⋅⋅=πS ,%29.182.212755.27==S s δ,所以三角形面积的近似值为2127.82m 2, 绝对误差为27.55m 2, 相对误差为1.29%.*11. 利用全微分证明: 两数之和的绝对误差等于它们各自的绝对误差之和.证明 设u =x +y , 则||||||||||||y x y x y yu x x u du u ∆+∆≤∆+∆=∆∂∂+∆∂∂=≈∆.所以两数之和的绝对误差|∆u |等于它们各自的绝对误差|∆x |与|∆y |的和.*12. 利用全微分证明: 乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和; 商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和. 证明 设u =xy , y x v =, 则∆u ≈du =ydx +xdy ,2yxdyydx dv v -=≈∆, 由此可得相对误差;||||||||y dy x dx xy xdy ydx u du u u +=+=≈∆||||||||yyx x y dy x dx ∆+∆=+≤;||||||||2y dy x dx yxy xdy ydx v dv v v -=⋅-==∆||||||||y yx x y dy x dx ∆+∆=+≤.习题8-41. 设z =u 2-v 2, 而u =x +y , v =x -y , 求x z ∂∂, y z ∂∂.解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅1=2(u +v )=4x ,y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅(-1)=2(u -v )=4y .2. 设z =u 2ln v , 而y x u =, v =3x -2y , 求x z ∂∂, y z ∂∂.解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂31ln 22⋅+⋅=v u y v u 222)23(3)23ln(2y y x x y x y x -+-=, yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂)2()(ln 222-+-⋅=v u y x v u 2232)23(2)23ln(2y y x x y x y x ----=. 3. 设z =e x -2y , 而x =sin t , y =t 3, 求dtdz .解 dt dyy z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=2223)2(cos t e t e y x y x ⋅-⋅+=--)6(cos )6(cos 22sin 223t t e t t e t t y x -=-=--.4. 设z =arcsin(x - y ), 而x +3t , y =4t 3, 求dtdz .解 dt dy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=22212)(113)(11t y x y x ⋅---+⋅--= 232)43(1)41(3t t t ---=. 5. 设z =arctan(xy ), 而y =e x , 求dxdz .解 dx dy y z x z dx dz ⋅∂∂+∂∂=x xxe x x e e y x x y x y 2222221)1(11++=⋅+++=.6. 设1)(2+-=a z y e u ax , 而y =a sin x , z =cos x , 求dxdu .解 dxdz dz u dx dyy u x u dx du ⋅∂+⋅∂∂+∂∂=)sin (1cos 11)(222x a e x a a e a z y ae ax ax ax -⋅+-⋅+++-= )sin cos cos sin (122x x a x a x a a e ax ++-+=x e ax sin =. 7. 设yx z arctan =, 而x =u +v , y =u -v , 验证22v u v uv z u z +-=∂∂+∂∂. 证明)()(vy y z v x x z u y y z u x x z v z u z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂+∂∂)()(111)(11222y x yx y y x -⋅++⋅+=)1()()(111)(11222-⋅-⋅++⋅++y x yx y y x22222v u v u y x y +-=+=. 8. 求下列函数的一阶偏导数(其中f 具有一阶连续偏导数): (1) u =f (x 2-y 2, e xy );解 将两个中间变量按顺序编为1, 2号, 2122212)()(f ye f x xe f x y x f x u xy xy '+'=∂∂⋅'+∂-∂⋅'=∂∂, 212)2212)((f xe f y y e f y y x f y u xy xy '+'-=∂∂⋅'+∂-∂⋅'=∂∂.(2)) ,(zyy x f u =;解1211)()(f yz y x f y x x f x u '=∂∂⋅'+∂∂⋅'=∂∂, )()(21z yy f y x y f y u ∂∂⋅'+∂∂'=∂∂2121f z f y x '+'-=,)()(21z y z f z x z f z u ∂∂⋅'+∂∂'=∂∂22f zy'⋅-=.(3) u =f (x , xy , xyz ).解 yz f y f f x u ⋅'+⋅'+⋅'=∂∂3211321f yz f y f '+'+'=,3232f xz f x xz f x f y u '+'=⋅'+⋅'=∂∂,33f xy xy f zu '=⋅'=∂∂.9. 设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z yz y x z x +=∂∂+∂∂⋅. 证明 y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([y u u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .10. 设)(22y x f yz -=, 其中f (u )为可导函数, 验证211y z y z y x z x =∂∂+∂∂.证明 ()()u f f xy u f x f y x z 2222'-=⋅'⋅-=∂∂, ()()u f f y u f u f y f y u f y z 2222)(1)2()('-+=-⋅'⋅-=∂∂, 所以 )(11221122u f y u f f y u f f y y z y x z x ⋅+'+'-=∂∂⋅+∂∂⋅211yz zy y =⋅. 11. 设z =f (x 2+y 2), 其中f 具有二阶导数, 求22x z ∂∂, y x z ∂∂∂2, 22yz ∂∂. 解 令u =x 2+y 2, 则z =f (u ), f x xu u f x z '=∂∂'=∂∂2)(,f y yu u f y z '=∂∂'=∂∂2)(,f x f x u f x f x z ''+'=∂∂⋅''+'=∂∂2224222,f xy yu f x y x z ''=∂∂⋅''=∂∂∂422, f y f yu f y f y z ''+'=∂∂⋅''+'=∂∂422222. 12. 求下列函数的22x z ∂∂,y x z ∂∂∂2,22y z ∂∂(其中f 具有二阶连续偏导数):(1) z =f (xy , y );解 令u =xy , v =y , 则z =f (u , v ).ufy v f y u f x v v f x u u f x z ∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂0,vfu f x v f x u f y v v f y u u f y z ∂∂+∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂1.因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f∂∂和vf ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f∂∂和vf ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数. )()()(22uf x y u f y x x z x x z ∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂222222222)0()(u f y v u f y u f y x v v u f x u u f y ∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=,)(1)()(2uf y y u f u f y y x z y y x z ∂∂∂∂+∂∂⋅=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ )(222yvv u f y u u f y u f ∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=v u fy u f xy u f v u f x u f y u f ∂∂∂+∂∂+∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂+∂∂=222222)1(,)()()()(22vf y u f y x v f u f x y y z y y z∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ y vv f y u u v f y v v u f y u u f x ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=222222)(1)1(222222⋅∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂=v fx u v f v u f x u f x 2222222vf v u f x u f x ∂∂+∂∂∂+∂∂=. (2)) ,(yx x f z =;解 令u =x ,yx v =, 则z =f (u , v ).v fy u f x v v f dx du u f x z ∂∂⋅+∂∂=∂∂⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂1,vfy x dy dv v f y z ∂∂⋅-=⋅∂∂=∂∂2.因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f∂∂和vf ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f∂∂和v f ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数. )(1)()1()(22vf x y u f x v f y u f x x z x x z ∂∂∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(1)(222222xvv f dx du u v f y x v v u f dx du u f ∂∂⋅∂∂+⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+⋅∂∂=22222212vfy v u f y u f ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂=,)1()(2vf y u f y x z y y x z ∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ )(1)1()(vfy y v f y dy d u f y ∂∂∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂∂∂=y vv f y v f y y v v u f ∂∂⋅∂∂⋅+∂∂⋅-∂∂⋅∂∂∂=222112232221v f y x v f y v u f y x ∂∂⋅-∂∂⋅-∂∂∂⋅-= )()()(2222vf y y x v f y x y y z y y z ∂∂∂∂⋅-∂∂⋅-∂∂=∂∂∂∂=∂∂ 22423222322v f y x v f y x y v v f y x v f y x ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂⋅-∂∂⋅=. (3) z =f (xy 2, x 2y );解 z x =f 1'⋅y 2+f 2'⋅2xy =y 2f 1'+2xyf 2',z y=f1'⋅2xy+f2'⋅x2=2xyf1'+x2f2';z xx=y2[f11''⋅y2+f12''⋅2xy]+2yf2''+2xy[f21''⋅y2+f22''⋅2xy]=y4f11''+2xy3f12''+2yf2''+2xy3f21''+4x2y2 f22''=y4f11''+4xy3f12''+2yf2''+4x2y2 f22'',z xy=2y f1'+y2[f11''⋅2xy+f12''⋅x2]+2xf2'+2xy[f21''⋅2xy+f22''⋅x2]=2y f1'+2xy3f11''+x2y2f12''+2xf2'+4x2y2f21''+2x3yf22''=2y f1'+2xy3f11''+5x2y2f12''+2xf2'+2x3yf22'',z yy=2xf1'+2xy[f11''⋅2xy+f12''⋅x2]+x2[f21''⋅2xy+f22''⋅x2]=2xf1'+4x2y2f11''+2x3y f12''+2x3yf21''+x4f22''=2xf1'+4x2y2f11''+4x3y f12''+x4f22''.(4) z=f(sin x, cos y,e x+y).解z x=f1'⋅cos x+ f3'⋅e x+y=cos x f1'+e x+y f3',z y=f2'⋅(-sin y)+ f3'⋅e x+y=-sin y f2'+e x+y f3',z xx=-sin x f1'+cos x⋅(f11''⋅cos x+ f13''⋅e x+y)+e x+y f3'+e x+y(f31''⋅cos x+ f33''⋅e x+y)=-sin x f1'+cos2x f11''+e x+y cos x f13''+e x+y f3'+e x+y cos x f31''+e2(x+y) f33''=-sin x f1'+cos2x f11''+2e x+y cos x f13''+e x+y f3'+e2(x+y) f33'', z xy=cos x[f12''⋅(-sin y)+ f13''⋅e x+y]+e x+y f3'+e x+y [f32''⋅(-sin y)+ f33''⋅e x+y]=-sin y cos x f12''+e x+y cos x f13'+e x+y f3'-e x+y sin y f32'+e2(x+y)f33'=-sin y cos x f12''+e x+y cos x f13''+e x+y f3'-e x+y sin y f32''+e2(x+y)f33'',z yy=-cos y f2'-sin y[f22''⋅(-sin y)+ f23''⋅e x+y]+e x+y f3'+e x+y[f32''⋅(-sin y)+ f33''⋅e x+y]=-cos y f 2'+sin 2y f 22''-e x +y sin y f 23'' +e x +y f 3'-e x +y sin y f 32''+ f 33''⋅e 2(x +y )=-cos y f 2'+sin 2y f 22''-2e x +y sin y f 23''+e x +y f 3'+f 33''⋅e 2(x +y ). 13. 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 而23t s x -=,23ts y +=, 证明2222)()()()(tu s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂及22222222t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂.证明 因为y u x u s yy u s x x u s u ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2321yu x u t yy u t x x u t u ∂∂⋅+∂∂⋅-=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2123所以2222)2123()2321()()(y u x u y u x u t u s u ∂∂+∂∂-+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂22)()(yu x u ∂∂+∂∂=.又因为)2321()(22yu x u s s u s s u∂∂⋅+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(23)(21222222s y y u s x x y u s y y x u s x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂= )2321(23)2321(21222222yu x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅=22222432341y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅=, )2123()(22yu x u t t u t t u ∂∂⋅+∂∂⋅-∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(21)(23222222t y y u t x x y u t y y x u t x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂-= )2123(21)2123(23222222y u x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅-+∂∂∂⋅+∂∂⋅--= 22222412343yu y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅-∂∂⋅=, 所以 22222222yu x u t u s u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂. 习题8-51. 设sin y +e x-xy 2=0, 求dxdy.解 令F (x , y )=sin y +e x -xy 2, 则F x =e x -y 2, F y =cos y -2xy , xy y e y xy y y e F F dx dy xy x 2cos 2cos 222--=---=-=. 2. 设xy y x arctan ln 22=+, 求dx dy.解 令xy y x y x F arctan ln ),(22-+=, 则22222222)()(11221y x y x x y xy y x x y x F x ++=-⋅+-+⋅+=, 22222221)(11221yx x y x xy y x y y x F y +-=⋅+-+⋅+=, y x y x F F dx dyy x -+=-=. 3. 设022=-++xyz z y x , 求x z ∂∂及y z ∂∂.解 令xyz z y x z y x F 22),,(-++=, 则 xyz yz F x -=1, xyzxz F y -=2, xyz xyF z -=1, xy xyz xyz yz F F x z z x --=-=∂∂, xy xyz xyz xz F F y z z y --=-=∂∂2. 4. 设y z z x ln =, 求x z ∂∂及y z ∂∂,解 令yz z x z y x F ln ),,(-=, 则 z F x 1=, y y z y z F y 1)(12=-⋅-=, 2211z z x y yz z x F z +-=⋅--=, 所以 z x z F F x z z x +=-=∂∂, )(2z x y z F F yz z y +=-=∂∂.5. 设2sin(x +2y -3z )=x +2y -3z , 证明1=∂∂+∂∂y z x z证明 设F (x , y , z )=2sin(x +2y -3z )-x -2y +3z , 则F x =2cos(x +2y -3z )-1, F y =2cos(x +2y -3z )⋅2-2=2F x ,F z =2cos(x +2y -3z )⋅(-3)+3=-3F x ,313=--=-=∂∂x x z x F F F F x z ,3232=--=-=∂∂x x z y F F F F y z , 于是 13231=+=--=∂∂+∂∂z z z x F FF F y z x z .6. 设x =x (y , z ), y =y (x , z ), z =z (x , y )都是由方程F (x , y , z )=0所确定的具有连续偏导数的函数, 证明1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂x z z yy x .解 因为x y F F y x -=∂∂, y z F F z y -=∂∂, zx F F x z -=∂∂, 所以 1)()()(-=-⋅-⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zx y z x y F F F F F F x z z y y x . 7. 设ϕ(u , v )具有连续偏导数, 证明由方程ϕ(cx -az , cy -bz )=0 所确定的函数z =f (x , y )满足 c y z b x z a =∂∂+∂∂.证明 因为vu u v u u b a c b a c x z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅-⋅-⋅-=∂∂,vu vv u v b a c b a c y z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅-⋅-⋅-=∂∂,所以 c b a c b b a c a y z b x z a vu v v u u =+++⋅=∂∂+∂∂ϕϕϕϕϕϕ.8. 设e z-xyz =0, 求22x z ∂∂. 解 设F (x , y , z )=e z -xyz , 则F x =-yz , F z =e z-xy , xye yz F F x z zz x -=-=∂∂, 222)()()()(xy e y x z e yz xy e x z y x z x x z z z z --∂∂--∂∂=∂∂∂∂=∂∂ 222)()(xy e xye yzyze xy ye z y zz z z ----+=32232)(22xy e e z y z xy ze y z zz ---=. 9. 设z 3-3xyz =a 3, 求yx z ∂∂∂2. 解 令F (x , y , z )=z 3-3xyz -a 3, 则 xy z yzxy z yz F F x z z x -=---=-=∂∂22333,xyz xz xy z xz F F y z z y -=---=-=∂∂22333, )()(22xyz yz y x z y y x z -∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ 222)()2())((xy z x yz z yz xy z y z y z --∂∂--∂∂+=22222)()2()()(xy z x xyz xz z yz xy z xy z xz yz -----⋅-+=322224)()2(xy z y x xyz z z ---=. 10. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数: (1)设⎩⎨⎧=+++=203222222z y x y x z , 求dx dy , dx dz ; 解 视y =y (x ), z =z (x ), 方程两边对x 求导得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=064222dx dz z dx dy y x dx dy y x dx dz , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-xdx dzz dxdy y x dx dz dx dy y 3222.解方程组得 )13(2)16(++-=∂∂z y z x x y , 13+=z x dx dz.(2)设⎩⎨⎧=++=++10222z y x z y x , 求dz dx ,dz dy ; 解 视x =x (z ), y =y (z ), 方程两边对z 求导得 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++022201z dz dy y dz dx x dz dy dz dx , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+zdz dy y dzdxx dz dy dz dx 2221.解方程组得y x z y z x --=∂∂, yx xz z y --=∂∂.(3)设⎩⎨⎧-=+=),(),(2y v x u g v y v ux f u , 其中f , g 具有一阶连续偏导数, 求x u ∂∂,xv ∂∂; 解 视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边对x 求偏导得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅'+-∂∂⋅'=∂∂∂∂⋅'+∂∂+⋅'=∂∂x v yv g x u g xv x vf x u x u f x u 21212)1()( , 即 ⎪⎩⎪⎨⎧'=∂∂⋅⋅-'+∂∂'''-=∂∂⋅'+∂∂-'121121)12()1(g x v g yv xu g f u x v f x u f x . 解之得1221221)12)(1()12(g f g yv f x g f g yv f u x u ''--'-'''--''-=∂∂, 1221111)12)(1()1(g f g yv f x f u f x g x v ''--'-'-'+''=∂∂.(4)设⎩⎨⎧-=+=vu e y v u e x u u cos sin , 求x u ∂∂, y u ∂∂, x v ∂∂, y v ∂∂. 解 视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边微分得⎩⎨⎧+-=++=vdv u vdu du e dy vdv u vdu du e dx u u sin cos cos sin , 即 ⎩⎨⎧=+-=++dy vdv u du v e dx vdv u du v e u u sin )cos (cos )sin (, 从中解出du , dv 得dy v v e v dx v v e v du u u 1)cos (sin cos 1)cos (sin sin +--++-=, dy v v e u e v dx v v e u e v dv u u u u ]1)cos (sin [sin ]1)cos (sin [cos +-+++--=, 从而 1)cos (sin sin +-=∂∂v v e v x u u , 1)cos (sin cos +--=∂∂v v e v y u u , ]1)cos (sin [cos +--=∂∂v v e u e v x v u u , ]1)cos (sin [sin +-+=∂∂v v e u e v y v u u . 11. 设y =f (x , t ), 而t 是由方程F (x , y , t )=0所确定的x , y 的函数, 其中f , F 都具有一阶连续偏导数, 试证明:tFy F t f x F t f t F x f dx dy ∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂=. 证明 由方程组⎩⎨⎧==0),,(),(t y x F t x f y 可确定两个一元隐函数⎩⎨⎧==)()(x t t x y y , 方程两边对x 求导可得 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=0dxdt t F dx dy y F x F dx dt t f x f dx dy , 移项得 ⎪⎩⎪⎨⎧∂∂-=∂∂+⋅∂∂∂∂=⋅∂∂-x F dxdt t F dx dy y F x f dx dt t f dx dy ,在01≠∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂∂∂∂∂-=y F t f t F t F y F t fD 的条件下 yF t f t F x F t f t F x f t F x F t f x f D dx dy ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂-∂∂-∂∂⋅=1.习题8-61. 求曲线x =t -sin t , y =1-cos t , 2sin 4t z =在点)22 ,1 ,12 (-π处的切线及法平面方程.解 x '(t )=1-cos t , y '(t )=sin t , 2cos 2)(t t z ='. 因为点)22 ,1 ,12 (-π所对应的参数为2π=t , 故在点)22 ,1 ,12(-π处的切向量为)2 ,1 ,1(=T . 因此在点)22 ,1 ,12(-π处, 切线方程为 22211121-=-=-+z y x π, 法平面方程为0)22(2)1(1)12(1=-+-⋅++-⋅z y x π, 即422+=++πz y x .2. 求曲线t t x +=1, tt y +=1, z =t 2在对应于t =1的点处的切线及法平面方程.解 2)1(1)(t t x +=', 21)(t t y -=', z '(t )=2t . 在t =1所对应的点处, 切向量)2 ,1 ,41(-=T , t =1所对应的点为)1 ,2 ,21(, 所以在t =1所对应的点处, 切线方程为 21124121-=--=-z y x , 即8142121-=--=-z y x ; 法平面方程为0)1(2)2()21(41=-+---z y x , 即2x -8y +16z -1=0. 3. 求曲线y 2=2mx , z 2=m -x 在点(x 0, y 0, z 0)处的切线及法平面方程.解 设曲线的参数方程的参数为x , 将方程y 2=2mx 和z 2=m -x 的两边对x 求导, 得m dx dy y 22=, 12-=dxdz z , 所以y m dx dy =, z dxdz 21-=. 曲线在点(x 0, y 0, z 0,)的切向量为)21,,1(00z y m -=T , 所求的切线方程为0000211z z z y m y y x x --=-=-, 法平面方程为0)(21)()(00000=---+-z z z y y y m x x . 4. 求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++0453203222z y x x z y x 在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程.解 设曲线的参数方程的参数为x , 对x 求导得,⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-++053203222dx dz dx dy dx dz z dx dy y x , 即⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+2533222dxdz dx dy x dx dz z dx dy y . 解此方程组得z y z x dx dy 61015410----=, zy y x dx dz 610946---+=. 因为169)1,1,1(=dx dy , 161)1,1,1(-=dx dz , 所以)161 ,169 ,1(=T . 所求切线方程为1611169111--=-=-z y x , 即1191161--=-=-z y x ; 法平面方程为0)1(161)1(169)1(=---+-z y x , 即16x +9y -z -24=0. 5. 求出曲线x =t , y =t 2, z =t 3上的点, 使在该点的切线平行于平面x +2y +z =4.解 已知平面的法线向量为n =(1, 2, 1).因为x '=1, y '=2t , z '=3t 2, 所以参数t 对应的点处的切向量为T =(1, 2t , 3t 2). 又因为切线与已知平面平行, 所以T ⋅n =0, 即1+4t +3t 2=0,解得t =-1, 31-=t . 于是所求点的坐标为(-1, 1, -1)和)271 ,91 ,31(--. 6. 求曲面e z -z +xy =3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程. 解 令F (x , y , z )=e z -z +xy -3, 则n =(F x , F y , F z )|(2, 1, 0)=(y , x , e z -1)|(2, 1, 0)=(1, 2, 0),点(2,1, 0)处的切平面方程为1⋅(x -2)+2(y -1)+0⋅(z -0)=0, 即x +2y -4=0,法线方程为02112-=-=-z y x . 7. 求曲面ax 2+by 2+cz 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的切平面及法线方程.解 令F (x , y , z )=ax 2+by 2+cz 2-1, 则n =(F x , F y , F z )=(2ax , 2by , 2cz )=(ax , by , cz ).在点(x 0, y 0, z 0)处, 法向量为(ax 0, by 0, cz 0), 故切平面方程为 ax 0(x -x 0)+by 0(y -y 0)+cz 0(z -z 0)=0,即 202020000cz by ax z cz y by x ax ++=++,法线方程为00000cz z z by y y ax x x -=-=-.8. 求椭球面x 2+2y 2+z 2=1上平行于平面x -y +2z =0的切平面方程.解 设F (x , y , z )=x 2+2y 2+z 2-1, 则n =(F x , F y , F z )=(2x , 4y , 2z )=2(x , 2y , z ).已知切平面的法向量为(1, -1, 2). 因为已知平面与所求切平面平行, 所以2121z y x =-=, 即z x 21=, z y 41-=, 代入椭球面方程得1)4(2)2(222=+-+z z z ,解得1122±=z , 则1122±=x , 11221 =y . 所以切点坐标为)1122,11221,112(±± . 所求切平面方程为0)1122(2)11221()112(=±+-±z y x , 即 2112±=+-z y x . 9. 求旋转椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解 x O y 面的法向为n 1=(0, 0, 1).令F (x , y , z )=3x 2+y 2 +z 2-16, 则点(-1, -2, 3)处的法向量为 n 2=(F x , F y , F z )|(-1, -2, 3)=(6x , 2y , 2z )|(-1, -2, 3)=(-6, -4, 6). 点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦为22364616||||cos 2222121=++⋅=⋅⋅=n n n n θ.10. 试证曲面a z y x =++(a >0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .证明 设a z y x z y x F -++=),,(, 则)21,21,21(zy x =n . 在曲面上任取一点M (x 0, y 0, z 0), 则在点M 处的切平面方程为0)(1)(1)(1000000=-+-+-z z z y y y x x x , 即 a z y x z z y y x x =++=++000000. 化为截距式, 得1000=++az z ay y ax x , 所以截距之和为a z y x a az ay ax =++=++)(000000.习题8-71. 求函数z =x 2+y 2在点(1, 2)处沿从点(1, 2)到点)32 ,2(+的方向的方向导数.解 因为从点(1, 2)到点)32 ,2(+的向量为)3 ,1(=l , 故 )cos ,(cos )23 ,21(||βα===l l e l . 又因为22)2,1()2,1(==∂∂x x z , 42)2,1()2,1(==∂∂y y z , 故所求方向导数为321234212cos cos +=⋅+⋅=∂∂+∂∂=∂∂βαy z x z l z . 2. 求函数z =ln(x +y )在抛物线y 2=4x 上点(1, 2)处, 沿这抛物线在该点处偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解 方程y 2=4x 两边对x 求导得2yy '=4, 解得y y 2='.。

北大版高数习题第八章答案北大版高数习题第八章答案在学习高等数学的过程中，练习题是非常重要的一部分。

通过做习题，我们可以巩固所学的知识，培养解决问题的能力。

而北大版高数习题则是广大学生们常用的习题参考材料之一。

本文将为大家提供北大版高数习题第八章的答案，希望能给大家的学习带来一些帮助。

第八章是高等数学中的一章，主要内容是关于多元函数的极限和连续性。

在这一章中，我们将学习到多元函数的极限概念、多元函数的连续性以及多元函数的一些性质。

通过学习这些知识，我们可以更好地理解和应用多元函数的相关概念和定理。

接下来，我们将给出北大版高数习题第八章的答案。

请注意，这里只给出答案，并不提供详细的解题过程。

如果你在做题过程中遇到了困难，建议你先自己思考，再参考教材或向老师请教。

1. 设函数f(x,y) = (x^2 + y^2) / (x + y)，求lim(x,y)→(0,0) f(x,y)的极限。

答案：极限不存在。

2. 设函数f(x,y) = (x^2 - y^2) / (x - y)，求lim(x,y)→(1,1) f(x,y)的极限。

答案：极限不存在。

3. 设函数f(x,y) = x^2 + y^2，求函数f(x,y) = c (c为常数)的等高线方程。

答案：x^2 + y^2 = c。

4. 设函数f(x,y) = x^2 + 2xy + y^2，求函数f(x,y) = c (c为常数)的等高线方程。

答案：x^2 + 2xy + y^2 = c。

5. 设函数f(x,y) = x^2 + y^2 + xy，求函数f(x,y) = c (c为常数)的等高线方程。

答案：x^2 + y^2 + xy = c。

通过以上习题的答案，我们可以看出多元函数的极限和连续性的一些特点。

在解题过程中，我们需要注意函数的定义域、极限的存在性以及等高线方程的求解方法等。

通过不断的练习，我们可以更加熟练地掌握这些知识点，提高我们的解题能力。

第八章 多元函数的定义1．求下列函数的定义域，并作图表示：（1）arcsin 3xz =+ （2）()2ln 48;z y x =-+（3）z x = （4）z =（5）)0;z R r =>>（6）z =解答： 本题图略（1）30,03,0,0;x x y y -≤≤≤≤⎧⎧⎨⎨≤≥⎩⎩ （2）()242y x >-；（3）,0x y <+∞≤<+∞；（4）x ≥且0y ≥；（5）2222r x y R <+≤； （6） 1.xy >所属章节：第八章第一节 难度：一级2．试用不等式表示由抛物线2y x =和2y x =所围成的区域（含边界）。

解答：201,x x y ≤≤≤≤ 所属章节：第八章第一节 难度：一级3．设(),,x f x y xy y=+求1,32f ⎛⎫⎪⎝⎭及()1,1.f - 解答：()15,3,1,1 2.23f f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所属章节：第八章第一节 难度：一级4．设()22,tan ,xf x y x y xy y=+-求(),.f tx ty解答：()()2,,.f tx ty t f x y = 所属章节：第八章第一节 难度：一级5．设22,,x f x y x y y ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭求(),.f x y解答： 令11uv u x y x v xv u y y v ⎧=+⎧=⎪⎪⎪+⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪+⎩，代入原式得 222(1)(,)()()111uv u u v f u v v v v -=-=+++，即2(1)(,)1x y f x y y -=+注：如果题目是“设22,,y f x y x x y ⎛⎫=⎪⎭-+ ⎝求(),.f x y ”则答案为令11u u x y x v yuv v y x v ⎧=+=⎧⎪⎪⎪+⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪+⎩ ，代入原式得 222(1)(,)()()111u uv u v f u v v v v -=-=+++，即2(1)(,)1x y f x y y -=+。

高等数学第八章教材答案[注意：本文适用于自主学习及交流，而非代表课堂考试答案。

在学习过程中，应先自行尝试解答问题，再对比与本文答案的异同，以强化掌握知识的能力。

]第一节：导数与微分1. (1)导数定义为函数在某一点的瞬时变化率，可用以下公式计算:f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h(2)若函数f(x)在区间[a,b]上连续且在(a,b)内可导，则在(a,b)内，存在一点c使得f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)2. 利用导数的四则运算法则、链式法则等，可以求解各种类型的题目，如函数的导数、隐函数求导、参数方程求导等。

3. 微分是导数的几何解释，微分形式为df = f'(x)dx。

微分可用于近似计算函数值的变化，例如：f(x+Δx) ≈ f(x) + f'(x)Δx第二节：不定积分与定积分1. 不定积分用符号∫表示，表示求一个函数的原函数。

常用的不定积分公式有：① ∫1/x dx = ln|x| + C② ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C (n≠-1)2. 定积分表示曲线与x轴之间的面积，用符号∫[a,b]表示。

计算定积分可采用以下方法：①几何法：根据几何图形的面积计算原则，求出曲线与x轴之间的面积。

②换元法：根据换元积分法则，将被积函数的自变量进行适当的变量代换。

③分部积分法：根据积分的乘积法则，将被积函数进行适当的乘法分解。

3. 牛顿-莱布尼茨公式是计算定积分的重要工具，公式表达为：∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)其中，F(x)为f(x)的一个原函数。

第三节：定积分的应用1. 定积分可用于计算曲线与x轴之间的面积、曲线的弧长、旋转体的体积、质量等物理量。

2. 面积计算：利用定积分求得曲线与x轴之间的面积，可以通过以下公式求解：S = ∫[a,b] |f(x)| dx3. 弧长计算：弧长公式为：L = ∫[a,b] √[1 + (dy/dx)^2] dx4. 旋转体体积计算：将曲线绕x轴或y轴旋转一周形成的空间曲面，其体积可通过以下公式求解：V = ∫[a,b] πy^2 dx 或V = ∫[a,b] πx^2 dy第四节：多元函数微积分基础1. 多元函数的偏导数可以理解为函数关于某个自变量的导数。

第八章函数应用8.1二分法与求方程近似解 (1)8.1.1函数的零点 (1)8.1.2用二分法求方程的近似解 (10)8.2函数与数学模型 (17)8.2.1几个函数模型的比较 (17)8.2.2函数的实际应用 (23)章末复习 (33)8.1二分法与求方程近似解8.1.1函数的零点学习任务核心素养1．理解函数的零点的概念以及函数的零点与方程根的关系．(重点) 2．会求函数的零点．(重点、难点) 3．掌握函数零点的存在定理并会判断函数零点的个数．(难点)1．通过零点的求法，培养数学运算和逻辑推理的素养．2．借助函数的零点与方程根的关系，培养直观想象的数学素养.解方程的历史方程解法时间图·东方方程解法时间图·西方知识点1函数的零点的定义一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．1.函数的零点是点吗？[提示]不是，函数的零点是实数．知识点2方程、函数、图象之间的关系(1)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解．(2)函数y＝f(x)的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标．2.函数的零点是函数与x轴的交点吗？[提示]不是，函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标．1.函数f(x)＝2x－4的零点是________．2[由2x－4＝0得x＝2，所以2是函数f(x)的零点．]知识点3零点存在定理若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何函数都有零点．()(2)任意两个零点之间函数值保持同号．()(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.()[提示](1)可举反例f(x)＝x2＋1无零点．(2)两个零点间的函数值可能会保持同号，也可以异号，如f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)有三个零点，即x＝1,2,3，在(1,2)上f(x)为正，在(2,3)上f(x)为负，故在零点1和3之间函数值有正有负或零．(3)举例f(x)＝x2－1，选择区间(－2,2)，显然f(x)在(－2,2)上有零点1和－1，但是f(2)·f(－2)>0.[答案](1)×(2)×(3)×类型1求函数的零点【例1】求下列函数的零点．(1)f(x)＝x3－x；(2)f(x)＝2x－8；(3)f(x)＝1－log4x；(4)f (x )＝(ax －1)(x －2)(a ∈R )．[解] (1)∵f (x )＝x 3－x ＝x (x 2－1)＝x (x －1)(x ＋1)，令f (x )＝0，得x ＝0,1，－1，故f (x )的零点为x ＝－1，0,1.(2)令f (x )＝2x －8＝0，∴x ＝3， 故f (x )的零点为x ＝3.(3)令f (x )＝1－log 4 x ＝0，∴log 4 x ＝1，∴x ＝4. 故f (x )的零点为x ＝4.(4)当a ＝0时，函数为f (x )＝－x ＋2， 令f (x )＝0，得x ＝2. ∴f (x )的零点为2.当a ＝12时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x －2)＝12(x －2)2，令f (x )＝0，得x 1＝x 2＝2. ∴f (x )有零点2.当a ≠0且a ≠12时，令f (x )＝0，得x 1＝1a ，x 2＝2. ∴f (x )的零点为1a，2.综上，当a ＝0时，f (x )的零点为2；当a ＝12时，函数的零点为2；当a ≠0且a ≠12时，f (x )的零点为1a ，2.怎样求函数的零点？[提示] 求函数f (x )的零点时，通常转化为解方程f (x )＝0，若方程f (x )＝0有实数根，则函数f (x )存在零点，该方程的根就是函数f (x )的零点；否则，函数f (x )不存在零点．[跟进训练]1．(1)求函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点；(2)已知函数f (x )＝ax －b (a ≠0)的零点为3，求函数g (x )＝bx 2＋ax 的零点．[解] (1)当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3； 当x >0时，令－2＋ln x ＝0，解得x ＝e 2.所以函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点为－3和e 2.(2)由已知得f (3)＝0，即3a －b ＝0，即b ＝3a . 故g (x )＝3ax 2＋ax ＝ax (3x ＋1)． 令g (x )＝0，即ax (3x ＋1)＝0， 解得x ＝0或x ＝－13.所以函数g (x )的零点为0和－13. 类型2 函数零点的证明【例2】 证明函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 在(1,2)上存在零点． [证明] 因为f (1)＝ln 2－2<0， f (2)＝ln 3－1>0，且函数f (x )在区间(1,2)上的图象是不间断的， 所以函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 在(1,2)上存在零点．若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条不间断的曲线，且f (a )·f (b )<0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点．[跟进训练]2．证明f (x )＝x 3＋3x －1在区间(0,1)上有零点． [证明] 因为f (0)＝03＋3×0－1＝－1<0， f (1)＝13＋3－1＝3>0，且函数f (x )在区间(0,1)上的图象是不间断的，所以函数f (x )＝x 3＋3x －1在(0,1)上有零点．类型3 判断零点所在的区间【例3】 (1)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的部分对应值如下表：x －3－2－10123 4y 6m －4－6－6－4n 62)A．(－3，－1)和(2,4)B．(－3，－1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)(2)f(x)＝e x＋x－2的零点所在的区间是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)(1)A(2)C[(1)易知f(x)＝ax2＋bx＋c的图象是一条连续不断的曲线，又f(－3)f(－1)＝6×(－4)＝－24<0，所以f(x)在(－3，－1)内有零点，即方程ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)内有根，同理方程ax2＋bx＋c＝0在(2,4)内有根．故选A.(2)法一：∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，∴f(x)在(0,1)内有零点．法二：e x＋x－2＝0，即e x＝2－x，∴原函数的零点所在区间即为函数y＝e x 和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间．如图，由图象可得函数y＝e x和y ＝2－x的图象交点所在的区间为(0,1)．]确定函数f(x)零点所在区间的常用方法解方程法当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上零点存在定理首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点数形结合法通过画函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断[跟进训练]3．根据表格中的数据，可以断定方程e x－(x＋3)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是________．(填序号)x －1012 3e x0.371 2.727.4020.12x＋32345 6①(－1,0)；②(0,1)；③(1,2)；④(2,3)．③[设f(x)＝e x－(x＋3)，由上表可知，f(－1)＝0.37－2<0，f(0)＝1－3<0，f(1)＝2.72－4<0，f(2)＝7.40－5>0，f(3)＝20.12－6>0，∴f(1)·f(2)<0，因此方程e x－(x＋3)＝0的根在(1,2)内．]类型4函数零点(方程不等实根)个数的判断【例4】(1)函数f(x)＝e x－3的零点个数为________．(2)函数f(x)＝ln x－1x－1的零点个数是________．(3)已知关于x的一元二次方程(x－1)(3－x)＝a－x(a∈R)，试讨论方程实数根的个数．(1)1(2)2[(1)令f(x)＝0，∴e x－3＝0，∴x＝ln 3，故f(x)只有1个零点．(2)在同一坐标系中画出y＝ln x与y＝1x－1的图象，如图所示，函数y＝ln x与y＝1x－1的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln x－1x－1的零点个数为2.](3)[解]法一：原方程化为－x2＋5x－3＝a.令f(x)＝－x2＋5x－3，g(x)＝a.作函数f(x)＝－x2＋5x－3的图象，抛物线的开口向下，顶点的纵坐标为12－25 4×(－1)＝134，画出如图所示的简图：由图象可以看出：①当a ＞134时，方程没有实数根；②当a ＝134时，方程有两个相等的实数根； ③当a ＜134时，方程有两个不相等的实数根． 法二：原方程化为x 2－5x ＋3＋a ＝0. Δ＝25－4(3＋a )＝－4a ＋13.①当Δ＜0，即a ＞134时，方程没有实数根； ②当Δ＝0，即a ＝134时，方程有两个相等的实数根； ③当Δ＞0，即a ＜134时，方程有两个不相等的实数根．把本例(1)函数改为“y ＝2x |log a x |－1(0<a <1)”再判断其零点个数． [解] 由2x|log a x |－1＝0得|log a x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x及y ＝|log a x |(0<a <1)的图象如图所示，由图可知，两函数的图象有两个交点，所以函数y ＝2x |log a x |－1有两个零点．判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数．[跟进训练]4．函数f (x )＝lg x －sin x 的零点有i (i ∈N *)个，记为x i ，x i ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，(k ＋1)π2，k ∈N *，则k 构成的集合为____________．{1,4,5} [由f (x )＝lg x －sin x 得lg x ＝sin x ，在同一坐标系中作出y ＝lg x 和y ＝sin x 的图象，如下图，由图象知，函数f (x )＝lg x －sin x 有三个零点x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π，5π2，x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2，3π， 因为x i ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，(k ＋1)π2，k ∈N *，所以k ＝1,4,5，所以k 构成的集合为{1,4,5}．]课堂达标练习1．(多选题)下列图象表示的函数中有零点的是( )BCD [B 、C 、D 的图象均与x 轴有交点，故函数均有零点，A 的图象与x 轴没有交点，故函数没有零点．]2．函数f (x )＝2x －3的零点所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)B [∵f (1)＝2－3＝－1<0， f (2)＝22－3＝1>0，∴f (1)·f (2)<0，即函数f (x )的零点所在的区间为(1,2)．]3．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝e x ＋x －3，则f (x )的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以0是函数f (x )的一个零点．当x ＞0时，令f (x )＝e x ＋x －3＝0，则e x ＝－x ＋3.分别画出函数y ＝e x 和y ＝－x ＋3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f (x )在(0，＋∞)上有一个零点．又根据对称性知，当x ＜0时函数f (x )也有一个零点． 综上所述，f (x )的零点个数为3.应选C.]4．已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )对应值表： x 1 2 3 4 567f (x )136.13615.552－3.9210.88－52.488 －232.064 11.2384 [∵f (2)·f (3)＜0，f (3)·f (4)＜0，f (4)·f (5)＜0，f (6)·f (7)＜0，∴共有4个区间．] 5．函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有零点，实数a 的取值范围为________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103 [由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解， 即a ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，设t ＝x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，则t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.]回顾本节知识，自我完成以下问题．1．你认为函数零点存在定理中要注意哪些问题？[提示] (1)函数是连续的．(2)定理不可逆．(3)至少存在一个零点． 2．f (a )·f (b )<0是连续函数在区间(a ，b )上存在零点的什么条件？f (a )·f (b )>0时在区间上一定没有零点吗？[提示]充分不必要条件．不一定，f(a)·f(b)>0时函数在区间(a，b)上可能有零点．8.1.2用二分法求方程的近似解学习任务核心素养1．通过实例理解二分法的概念．(难点) 2．了解二分法是求方程近似解的常用方法．3．能够借助计算器用二分法求方程的近似解．(重点)借助二分法的操作步骤与思想，培养逻辑推理数学建模、数学抽象的数学核心素养.通过上一节的学习，利用函数的零点存在定理可以确定函数的零点所在的区间，请利用计算器尝试探求函数f(x)＝ln x＋2x－6零点的近似值(精确到0.1)．知识点1二分法的定义对于在区间[a，b]上的图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值，即f(x)＝0的近似解的方法叫做二分法．1.观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()A B C D[答案]A知识点2用二分法求一元方程f(x)＝0近似解的步骤(1)确定区间：一元方程f(x)＝0的根所在的区间[a，b]，使f(a)·f(b)<0.(2)求区间(a，b)的中点：x1＝a＋b 2.(3)计算f(x1)．①若f(x1)＝0，则x1就是一元方程f(x)＝0的近似解；②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1，此时零点x0∈(a，x1)；③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1，此时零点x0∈(x1，b)．(4)判断是否达到题目要求，即若达到，则得到一元方程f(x)＝0近似解，否则重复步骤(2)～(4)．用“二分法”求方程的近似解时，应通过移项问题转化为求函数的零点近似值．如求f(x)＝g(x)的近似解时可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，将问题转化为求h(x)的零点近似值的问题．2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．()(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．()(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．()(4)用“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到．()[提示]四句话都是错的．(1)中，二分法求出的解也有精确解，如f(x)＝x －1在(0,2)上用二分法求解时，中点为x＝1，而f(1)＝0.(2)中，f(x)＝|x|≥0，不能用二分法．(3)中，二分法求零点时，零点可以在等分区间后的右侧，也可以在左侧．(4)中f(x)在[a，b]内的近似解可能有多个，而二分法求解时，只须达到一定的精确度即可，故可能会漏掉一些，另外在等分区间后，中点的函数值与某一端点函数值同号时内部也未必没有零点，故采用“二分法”不一定求出函数的所有零点的近似解．[答案](1)×(2)×(3)×(4)×类型1“二分法”的概念【例1】下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近以值的是()A B C DD[根据二分法的基本方法，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A、B、C都符合条件，而选项D不符合，由于零点左右两侧的函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．故选D.]判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．[跟进训练]1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A．4,4B．3,4C．5,4 D．4,3D[图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.]2．关于“二分法”求方程的近似解，下列说法正确的是()A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解D[如果函数在某区间满足二分法，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，∴A 错误；二分法的实施满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点，∴B 错误；C 只要限定了近似解的范围就可以得到方程的近似解，∴C 错误；“二分法”求方程的近似解，甚至有可能得到函数的精确零点，∴D 正确．]类型2 用“二分法”求方程的近似解【例2】 用二分法求方程2x 3＋3x －3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)． [解] 令f (x )＝2x 3＋3x －3，经计算，f (0)＝－3<0，f (1)＝2>0，f (0)·f (1)<0， 所以函数f (x )在(0,1)内存在零点， 即方程2x 3＋3x －3＝0在(0,1)内有解． 取(0,1)的中点0.5，经计算f (0.5)<0， 又f (1)>0，所以方程2x 3＋3x －3＝0在(0.5,1)内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表： (a ，b ) 中点c f (a ) f (b ) f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 (0,1) 0.5 f (0)<0 f (1)>0 f (0.5)<0 (0.5,1) 0.75 f (0.5)<0 f (1)>0 f (0.75)>0 (0.5,0.75) 0.625 f (0.5)<0 f (0.75)>0 f (0.625)<0 (0.625,0.75) 0.687 5f (0.625)<0f (0.75)>0f (0.687 5)<0(0.687 5,0.75)|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1解．1．(变条件)若本例中的“精确度0.1”换为“精确度0.05”结论又如何？ [解] 在本例的基础上，取区间(0.687 5,0.75)的中点x ＝0.718 75，因为f (0.718 75)<0，f (0.75)>0且|0.718 75－0.75|＝0.031 25<0.05，所以x ＝0.72可作为方程的一个近似解．2．(变条件)若本例中的方程“2x 3＋3x －3＝0”换为“x 2－2x ＝1”其结论又如何呢？[解] 设f (x )＝x 2－2x －1.∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0.∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0.取2与3的平均数2.5，∵f(2.5)＝0.25>0，∴2<x0<2.5；再取2与2.5的平均数2.25，∵f(2.25)＝－0.437 5<0，∴2.25<x0<2.5；如此继续下去，有f(2.375)<0，f(2.5)>0⇒x0∈(2.375,2.5)；f(2.375)<0，f(2.437 5)>0⇒x0∈(2.375,2.437 5)．∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.用二分法求方程的近似解应明确两点(1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的，求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．(2)对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．[跟进训练]3．求32的近似值．(精确到0.1)[解]32是x3＝2的根，因此可构造f(x)＝x3－2，问题转化为“求f(x)的零点的近似解”．用二分法求其零点．由f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0.故可取区间[1,2]为计算的初始区间．用二分法逐次计算，如下：f(1)<0，f(1.5)>0⇒x1∈(1,1.5)，f(1.25)<0，f(1.5)>0⇒x1∈(1.25,1.5)，f(1.25)<0，f(1.375)>0⇒x1∈(1.25,1.375)，f(1.25)<0，f(1.312 5)>0⇒x1∈(1.25,1.312 5)，至此可见，区间[1.25,1.312 5]上所有值精确到0.1均为1.3，所以1.3是32精确到0.1的近似值．课堂达标练习1．用“二分法”可求一元方程的近似解，对于精确到ε的说法正确的是() A．ε越大，近似解的精确度越高B．ε越大，近似解的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关B[依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，近似解的精确度越低．]2．在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是()A．[1,4]B．[－2,1]C．[－2,2.5] D．[－0.5,1]D[因第一次所取的区间是[－2,4]，所以第二次所取的区间可能是[－2,1]，[1,4]；第三次所取的区间可能为[－2，－0.5]，[－0.5,1]，[1,2.5]，[2.5,4]，只有D在其中，故答案为D.]3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________．x3[因为x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解．]4．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，精确到0.1，取区间(2,4)的中点x1＝2＋42＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________.(填区间)(2,3)[由f(2)·f(3)<0可知，x0∈(2,3)．]5．如图，一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A，B)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测________次．6[第1次取中点把焊点数减半为642＝32，第2次取中点把焊点数减半为322＝16，第3次取中点把焊点数减半为162＝8，第4次取中点把焊点数减半为82＝4，第5次取中点把焊点数减半为42＝2，第6次取中点把焊点数减半为22＝1，所以至多需要检测的次数是6.]回顾本节知识，自我完成以下问题．1．用二分法求函数近似零点时，函数应满足哪些条件？[提示](1)f(x)在区间(a，b)上的图象连续不断．(2)在区间(a，b)端点的函数值f(a)·f(b)<0.2．使用二分法求方程近似解的理论依据是什么？[提示]零点存在定理．8.2函数与数学模型8.2.1几个函数模型的比较学习任务核心素养1．理解指数爆炸、直线上升、对数增长的含义．(重点)2．区分指数函数、一次函数以及对数函数增长速度的差异．(易混点)3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．(难点)借助三个函数模型的增长特征，培养数学运算、数学建模的核心素养.我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异．知识点三种函数模型的性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝kx(k>0) 在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化趋势随x增大逐渐近似与y轴平行随x增大逐渐近似与x轴平行保持固定增长速度增长速度①y＝a x(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝log a x(a>1)的增长速度越来越慢；在描述现实问题的变化规律时，常用“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”来表示指数函数、一次函数、对数函数的增长方式．②当x足够大时，总有a x>kx>log a x(1)当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数．()(2)对任意的x>0，kx>log a x.()(3)对任意的x>0，a x>log a x.()(4)函数y＝log2x增长的速度越来越慢．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)√类型1几类函数模型的增长差异【例1】(1)下列函数中，增长速度最快的是() A．y＝2 019x B．y＝2 019C．y＝log2 019x D．y＝2 019x(2)下面对函数f(x)＝log12x，g(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫12x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是()A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快(1)A(2)C[(1)指数函数y＝a x，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.(2)观察函数f(x)＝log12x，g(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫12x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢，在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢；函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象递减速度不变．]常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型一次函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模型y＝log a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．[跟进训练]1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：x 151015202530y1226101226401626901y2232 1 02437 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y32102030405060y42 4.332 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907y2[以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.]类型2指数函数、对数函数与一次函数模型的比较【例2】函数f(x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32与g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f (2 020)与g (2 020)的大小．[解] (1)C 1对应的函数为g (x )＝2x ，C 2对应的函数为f (x )＝2x . (2)∵f (1)＝g (1)，f (2)＝g (2)，从图象上可以看出，当1＜x ＜2时，f (x )＜g (x )， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32；当x ＞2时，f (x )＞g (x )， ∴f (2 020)＞g (2 020)．由图象判断指数函数、一次函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数．[跟进训练]2．函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图象如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较)．[解] (1)C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，C 2对应的函数为f (x )＝lg x . (2)当x <x 1时，g (x )>f (x )；当x 1<x <x 2时，f (x )>g (x )；当x >x 2时，g (x )>f (x )；当x ＝x 1或x ＝x 2时，f (x )＝g (x )．类型3 函数模型的选择【例3】 某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随生源利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，y ＝1.02x ，其中哪个模型符合该校的要求？[解] 作出函数y ＝3，y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，y ＝1.02x 的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y ＝log5x进行奖励才符合学校的要求．几类不同增长函数模型选择的方法(1)增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此时的函数模型是一次函数模型．(2)增长速度越来越快，即自变量增加相同量时，函数值的增量成倍增加，此时的函数模型是指数函数模型．(3)增长速度越来越慢，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越小，此时的函数模型是对数函数模型．[跟进训练]3．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝log a(t＋1)来拟合h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．t(年)12345 6h(米)0.61 1.3 1.5 1.6 1.7 [解由图象可以看出增长的速度越来越慢，用一次函数模型拟合不合适，则选用对数函数模型比较合理．不妨将(2,1)代入h＝log a(t＋1)中，得1＝log a3，解得a＝3.故可用函数h＝log3(t＋1)来拟合这个实际问题．当t＝8时，求得h＝log3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2米．课堂达标练习1．已知变量y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是()A．y减少1个单位B．y增加1个单位C．y减少2个单位D．y增加2个单位C[结合函数y＝1＋2x的变化特征可知C正确．]2．下列函数中，随x的增大而增大且速度最快的是()A．y＝e x B．y＝ln xC．y＝2x D．y＝e－xA[结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确．] 3．“红豆生南国，春来发几枝”．如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y 的关系图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是()A．指数函数y＝2t B．对数函数y＝log2tC．幂函数y＝t3D．二次函数y＝2t2A[根据已知所给的关系图，观察得到图象在第一象限，且从左到右图象是上升的，并且增长速度越来越快，根据四个选项中函数的增长趋势可得，用指数函数拟合最好，故选A.]4．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x ＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案．乙、甲、丙[将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出．]5．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________．[答案]y＝－14x＋50(0<x<200)回顾本节知识，自我完成以下问题．1．比较函数增长情况有哪些方法？[提示](1)解析法．直接看解析式是一次函数、指数型函数还是对数函数．(2)表格法．通过分析表格中的数据得出函数增长速度差异．(3)图象法．在同一坐标系中画出函数的图象，观察图象并借助计算器．2．三类不同增长的函数有哪些特点？[提示]当自变量很大时，(1)y＝kx＋b直线上升；(2)y＝a x(a>1)指数爆炸；(3)y＝log a x(a>1)对数增长．8.2.2函数的实际应用学习任务核心素养1．了解数学建模的基本步骤，体会数学建模的基本思想．(难点)2．了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能进行简单应用．(重点)通过学习本节内容，提升数学建模和数学运算的核心素养.函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，是研究变量之间依赖关系的有效工具，利用函数模型可以处理生产、生活中许多实际问题．某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10 000 m 2，该中心每块球场的建设面积为1 000 m 2，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关．当该中心建球场x 块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用函数f (x )＝400⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x －520来刻画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？生活中经常会遇到这种成本最低、利润最高等问题，如何处理这些问题呢？ 知识点 函数的实际应用 1．常见的函数模型(1)一次函数模型：f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)； (2)反比例函数模型：f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)； (3)二次函数模型：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(4)指数函数模型：f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b ＞0，b ≠1)； (5)对数函数模型：f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a ＞0，a ≠1)； (6)幂函数模型：f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)． (7)分段函数模型；(8)对勾函数模型：f (x )＝x ＋ ax (a 为正常数)． “对勾”函数f (x )＝x ＋ax (a >0)的性质①该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减．②当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ；当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a . 2．解决实际问题的一般流程实际问题―→建立数学模型―→求解数学模型―→解决实际问题 其中建立数学模型是关键．3．用函数模型解决实际问题的基本步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型；(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．1.思考辨析(正确的画√，错误的画×)(1)在一次函数模型中，系数k 的取值会影响函数的性质．( ) (2)在幂函数模型的解析式中，a 的正负会影响函数的单调性．( ) (3)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)×2.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示．时间/天 1 2 3 4 利润/千元23.988.0115.99) A ．y ＝log 2x B ．y ＝2x C ．y ＝x 2D ．y ＝2xB [逐个检验可得答案为B.]类型1 利用已知函数模型解实际问题【例1】 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f (x )表示学生掌握和接受概念的能力(f (x )值越大，表示接受的能力越强)，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，有以下公式：f (x )＝⎩⎨⎧－0.1x 2＋2.6x ＋43，0<x ≤10，59，10<x ≤16，－3x ＋107，16<x ≤30.(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？。

习 题 8-11．设有一个面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布有面密度为(,)x y μμ=的电荷，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q ．解 用一组曲线将D 分成n 个小闭区域i σ∆，其面积也记为(1,2,,)i i n σ∆=.任取一点(,)i i i ξησ∈∆,则i σ∆上分布的电量(,)i i i Q μξησ∆≈∆.通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为1lim (,)(,)d ,ni i i i DQ x y λμξησμσ→==∆=∑⎰⎰其中1max{i i nλσ≤≤=∆的直径}．2. 设12231()d D I x y σ=+⎰⎰其中1{(,)11,22}D x y x y =-≤≤-≤≤；又22232()d D I x y σ=+⎰⎰其中2{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤．试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系．解 由二重积分的几何意义知，1I 表示底为1D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体1Ω的体积；2I 表示底为2D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体2Ω的体积．由于位于1D 上方的曲面223()z x y =+关于yOz 面和zOx 面均对称，故yOz 面和zOx 面将1Ω分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为2Ω．由此可知124I I =．3. 利用二重积分定义证明： (1) d ()DD σσσ=⎰⎰其中为的面积；(2) (,)d (,)d ()DDkf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰其中为常数；(3)12(,)d (,)d (,)d ,DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中12D DD =，1D 、2D 为两个无公共内点的闭区域.证 (1) 由于被积函数(,)1f x y ≡，故由二重积分定义得11d lim (,)lim lim .nniiii i i Df λλλσξησσσσ→→→===∆=∆==∑∑⎰⎰(2) 011(,)d lim (,)lim (,)(,)d .nni i i i i i i i DDkf x y kf k f k f x y λλσξησξησσ→→===∆=∆=∑∑⎰⎰⎰⎰(3) 因为函数(,)f x y 在闭区域D 上可积，故不论把D 怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D 时，可以使1D 和2D 的公共边界永远是一条分割线。

第八章 空间解析几何与向量代数自测题A一、填空1. 已知空间三点(1,2,0)A 、(1,3,2)B -、(2,3,1)C ，则cos BAC ∠=AB 在AC上的投影为；三角形的面积ABC S ∆=2；同时垂直于向量AB 与AC的单位向量为1,4,3)±--. 2. xOy 面上的曲线2y x =绕y 轴旋转一周所得旋转曲面方程为22y x z =+.3. 在平面解析几何中2y x =表示抛物线_图形，在空间解析几何中表示_抛物柱面_图形.4. 球面0242222=++-++z y x z y x 的球心坐标为(1,2,1)--.5. 曲线22291x y z x z ⎧++=⎨+=⎩在xOy 面上的投影为22228x x y z ⎧-+=⎨=⎩.6.曲面z =被曲面2220x y x +-=所截下的部分在xOy 面上的投影为22200x x y z ⎧-+≤⎨=⎩.7. 过点A (3,0,1)-且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程为37540x y z -+-=.8. 点A (3,0,1)-到平面2230x y z -+-=的距离为23. 9. 直线531123-=++=-z k y k x 与直线22531-+=+=-k z y x 相互垂直，则k =34. 二、解答题1. 求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面. 解：由已知可知，已知平面的法向量为0(6,2,3)n =-，取所求平面的法向量为120743(6,3,10)623ij kn M M n =⨯=--=--，所以所求平面方程为 6(4)3(1)10(2)0x y z -+---=，即631070x y z +--=.2. 求通过直线13213x y z +-==-与点A (3,0,1)的平面方程. 解：由已知可知，直线过点(0,1,3)P -，方向向量为(2,1,3)s =-，取所求平面的法向量 312(1,13,5)213ij kn PA s =⨯=-=---，所以所求平面方程为3135(1)0x y z ----=，即 13520x y z --+=.3. 求直线2432-=-=-z y x 与平面062=-++z y x 的交点及夹角余弦. 解：直线的参数是方程为2,3,42x t y t z t =+=+=+，代入平面方程得1t =-，所以交点坐标为(1,2,2)，5sin |cos(,)|,cos 66s ns n s n ϕϕ⋅====. 4. 求过点A (3,0,1)且与直线13213x y z +-==-垂直相交的直线方程. 解：设垂足坐标为000(,,)P x y z ，则由已知条件得00013213x y z +-==-， 0002(3)3(1)0AP s x y z ⋅=--+-=，解得11339(,,)71414P --，取所求直线方向向量为AP ，所以所求直线的方程为3122132571414x y z --==--，即31441325x y z --==--. B1. 求点A (3,0,1)到直线13213x y z +-==-的距离； 解：由已知可知，直线过点(0,1,3)P -，方向向量为(2,1,3)s =-，所以19514AP s d s ⨯==. 2. 判定直线113:213x y z l +-==-与直线2152:342x y z l -++==-是否相交，如果相交，求出交点，如果异面，求出两条异面直线间的距离；解：由已知可知，直线1l 过点1(0,1,3)P -，方向向量为1(2,1,3)s =-，直线2l 过点1(1,5,2)P--，方向向量为2(3,4,2)s =-，因为1212145[ ]2131170342PP s s --=-=-≠-，所以两直线异面，距离 121212[ ]117390PP s s d s s ==⨯；3. 求点(1,1,3)A 关于平面0x y z ++=对称的点.解：过点(1,1,3)A 且与平面垂直的直线方程为点113x y z -=-=-，所以垂足为224(,,)333P --，设对称点为(,,)M x y z ，则2AM AP =，即555(1,1,3)2(,,)333x y z ---=---，所以771(,,)333M ---.4. 求直线2432-=-=-z y x 在平面062=-++z y x 上的投影直线及直线关于平面对称的直线方程；解：由已知可知，直线0l 的参数式方程为2,3,42x t y t z t =+=+=+，代入平面方程可得1t =-，所以交点为1(1,2,2)P ，过点(2,3,4)P 且与已知平面垂直的直线2l 方程为22,3,4x t y t z t =+=+=+，垂足为211319(,,)366P ，所以已知直线0l 在平面上的投影直线为122217366x y z ---==-，即12247x z y --=-=-， 设点(2,3,4)P 关于已知平面的对称点为3P ，则322PP PP =，解得3447(,,)333P -，所以已知直线关于平面对称的直线方程为122721333x y z ---==--，即12272x y z --==---. 5. 求直线1321x y z +==--绕z 轴旋转一周所得旋转曲面方程.解：设所求曲面上任一点(,,)P x y z 是由直线上的点1111(,,)P x y z 绕z 轴旋转得来，则22221111111,,321x y x y x y z z z ++=+===--，消去111,,x y z 得22252840x y z z +-+=.。

第八章习题解答（3）节8.5部分习题解答1、下列方程确定了)(x f y =，求dxdy，（1）、0sin 2=−+xy e y x 解：设=),(y x F 0sin 2=−+xy e y x ，2y e x F x −=∂∂；xy y yF2cos −=∂∂（2）、xyy x arctanln 22=+解：设=),(y x F xy y x arctanln 22−+，=−+−+=∂∂)()(112222x y x y y x x x F 22y x yx ++；=∂∂y F =+−+)1((11222x xy y x y 22y x xy +−；yx y x F F dx dy y x −+=−=（3）、xy y x =解：设x y y x y x F −=),(，)ln (1ln 1y x y x x y y yx x F y x y −=−=∂∂−)ln (1ln 1x x y x yxy x x y F y x y −=−=∂∂−；y x F F dx dy −=)ln ()ln (x x y x y y x y −−=（4）、1=+y e xy 解：设1),(−+=y e xy y x F ，y x F =∂∂y e x yF+=∂∂；y x F F dx dy −=ye x y +−=2、下列方程确定了),(y x f z =，求x z ∂∂yz ∂∂（1）、0=−xyz e z 解：设=),,(z y x F xyz e z −，yz F x −=zx F y −=xy e F z z −=；x z ∂∂z x F F −=xye yzz −=y z ∂∂z y F F −=xye zxz −=（2）、333a xyz z =−解：设=),,(z y x F 333a xyz z −−，yz F x 3−=zx F y 3−=xy z F z 332−=；x z ∂∂z x F F −=xyz yz−=2y z ∂∂z y F F −=xye zx−=2（3）、122=+−z e yz y x 解：设=),,(z y x F 122−+−z e yz y x ，xy F x 2=z x F y 22−=z z e y F +−=2；x z ∂∂z x F F −=ze y xy−=22y z∂∂z y F F −=ze y z x −−=222（4）、xyzz =sin 解：设=),,(z y x F xyz z −sin ，yz F x 2−=xz F y −=xy z F z −=cos ；x z ∂∂z x F F −=xyz yz −=cos 2y z ∂∂z y F F −=xyz xz−=cos 3、设z y x z y x 32)32sin(2−+=−+确定了),(y x f z =，验证：+∂∂x z 1=∂∂yz证明：设=),,(z y x F )32()32sin(2z y x z y x −+−−+，1)32cos(2−−+=z y x F x 2)32cos(4−−+=z y x F y 3)32cos(6+−+−=z y x F z ；x z ∂∂z x F F −=32=y z∂∂z y F F −=31=所以+∂∂x z 13132=+=∂∂y z 4、设),(),,(),,(y x z z x z y y z y x x ===都是由方程0),,(=z y x F 确定的函数，证明1−=∂∂⋅∂∂⋅∂∂xz z y y x 证明：1)1((3−=−=−−−=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zx y z x y F F F F F F x zz y y x 5、函数),(v u ϕ具有连续的偏导数，验证方程0),(=−−bz cy az cx ϕ所确定的函数),(y x z z =满足+∂∂x z ac yzb =∂∂证明：设bz cy v az cx u −=−=,，则有c x u =∂∂，0=∂∂y u ，a z u −=∂∂，0=∂∂x v ，c yv =∂∂，b z v−=∂∂1ϕϕc x =2ϕϕc y =21ϕϕϕb a z −−=211ϕϕϕϕϕb a ca a x za z x +=−=∂∂212ϕϕϕϕϕb a cb b y zb z y +=−=∂∂于是+∂∂x z a=∂∂y zb ++211ϕϕϕb a ca =+212ϕϕϕb a cbc b a b a c =++2121)(ϕϕϕϕ6、设f 具有连续偏导数，方程),(y z xz f z −=确定了),(y x f z =，求,x z ∂∂yz∂∂解：设=),,(z y x F ),(y z xz f z −−，又设y z v xz u −==,，则有z x u =∂∂，0=∂∂y u ，x z u =∂∂，0=∂∂x v ，1−=∂∂yv ，1=∂∂z v1zf F x −=2f F y =211f xf F z −−=x z∂∂z x F F −=2111f xf zf −−=y z∂∂2121f xf f −−−=7、设f 具有连续偏导数，方程0),,(=+++z y x y x x f 确定了),(y x f z =，求,x z ∂∂yz∂∂解：设=),,(z y x F ),,(z y x y x x f +++，321f f f F x ++=32f f F y +=3f F z =x z∂∂z x F F −=3321f f f f ++−=y z∂∂321f f f +−=8、求由方程组所确定的函数的导数或偏导数（1）、⎩⎨⎧=+++=203222222z y x y x z 求,x y ∂∂,xz∂∂解：对等式两边同时求关于x 的偏导数得⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂064222x zz x y y x x y y x x z就是⎪⎩⎪⎨⎧−=∂∂+∂∂=∂∂−∂∂xx y y x z z x x y y x z2322解得13)13(222321222+=+=−−−=∂∂z xz y xy y z y y x y x x z )13(2)16(2321321++−=−−=∂∂z y z x y z y x z x x y （2）、⎪⎩⎪⎨⎧=++=+221222z y x z y x 求,dz dx ,dz dy解：对等式两边同时求关于z 的偏导数得⎪⎩⎪⎨⎧−=+=+122dzdy dz dx z dz dy y dz dxx解得)(221122112y x y z y x y z dz dx −+=−=)(221122112y x x z y x zx dz dy −+−=−=（3）、⎩⎨⎧=−+=−+0033x yu v y xv u 求,x u ∂∂,x v ∂∂解：对等式两边同时求关于x 的偏导数得⎪⎩⎪⎨⎧=−∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂0130322xu y x v v v x vx x u u 就是⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂−=∂∂+∂∂13322x v v x u y v x v x x uu 解得xy v u x v v yxu v xv x u−+−=−=∂∂223222933331xy v u yv u v yx u yv u x v −+=−=∂∂222222933313（4）、⎩⎨⎧=+=+u y v x v u y x sin sin 求,y u ∂∂,yv∂∂解：对等式两边同时求关于y 的偏导数得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂+=∂∂∂∂+∂∂=y u uy u y v v x yv y u cos sin cos 1即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=∂∂−∂∂=∂∂+∂∂u y v v x y u u y y vy u sin cos cos 1解得：u y v x u v x v x u y v x u y u cos cos sin cos cos cos 11cos sin 11+−=−−−=∂∂u y v x u y u vx u y u u y y v cos cos cos sin cos cos 11sin cos 11++=−−=∂∂习题8.6解答1、求下列曲线在指定点的切线和法平面（1）、曲线t t z t y t x +===1,,2在点21,1,1(解：2)1(1)(,2)(,1)(t t z t t y t x +=′=′=′，从而得在点21,1,1(的切线的方向向量为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=→41,2,1s ，于是得切线方程为：1218141−=−=−z y x ；法平面方程为021()1(8)1(4=−+−+−z y x ，即0252168=−++z y x （2）、曲线2sin 4,cos 1,sin t z t y t t x =−=−=在2π=t 的对应点解：2cos 2)(,sin )(,cos 1)(tt z t t y t t x =′=′−=′，2π=t 的对应点是点)22,1,12(−π，该的切线的方向向量为{2,1,1=→s ，于是得切线方程为：22211121−=−=−+z y x π；法平面方程为0)22(2)1()2(=−+−+−+z y x π，即02422=−−++πz y x （3）、曲线t z t t y t x 22cos ,cos sin 3,sin 2===在4π=t 的对应点解：t t z t t y t t t t x 2sin )(,2cos 3)(,2sin 2cos sin 4)(−=′=′==′，4π=t 的对应点是点)21,23,1(，该的切线的方向向量为{}1,0,2−=→s ，于是得切线方程为：12102321−−=−=−z y x ；法平面方程为021()1(2=−−−z x ，即0232=−−z x （4）、曲线t z tty t t t x =−=+=,1,12在)01,1(解：tt z t t y t t t t t x 21)(,1)(,)1(2)1(2)1(2)(222=′−=′+=+−+=′，1=t 对应着)01,1(，该的切线的方向向量为{}1,2,22121,1,1−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=→s ，于是得切线方程为：11221−=−=−z y x ；法平面方程为0)1(2)1(2=−+−−z y x ，即0322=−+−z y x （5）、曲线⎩⎨⎧=−+−=−++0453203222z y x x z y x 在点)1,1,1(解：设x z y x z y x F 3),,(222−++=，4532),,(−+−=z y x z y x G 32−=x F x ，y F y 2=z F z 2=于是{}2211−=→n 2=x G ，3−=y G 5=z G 于是{}5322−=→n 所以切线的方向向量{}191653222121−=−−=×=→→→→→→kj i n n s 于是得切线方程为：1191161−−=−=−z y x ；法平面方程为0)1()1(9)1(16=−−−+−z y x ，即024916=−−+z y x （6）、曲线⎩⎨⎧=+=+222222z x y x 在点)1,1,1(解：设2),,(22−+=y x z y x F ，2),,(22−+=z x z y x G x F x 2=，y F y 2=0=z F 于是{}01121=→n x G x 2=，0=y G z G z 2=于是{}10122=→n 所以切线的方向向量{}11110101121−−==×=→→→→→→k j i n n s 0是得切线方程为：111111−−=−−=−z y x ；法平面方程为0)1()1()1(=−−−−−z y x ，即01=+−−z y x 2、在曲线32,,t z y t x ===上求一点，使在该点的切线与平面102=++z y x 平行解：已知平面的法向为{}121=→n ，曲线的切线的方向{}2321t ts =→，由题设可知•→n 0=→s 即03412=++t t 解得31,121−=−=t t ，所求的点是)1,1,1(−−或者)271,91,31(−−3、求下列曲面在指定点的切平面和法线（1）、zxy z ln+=在点)1,1,1(解：zzxy z y x F −+=ln ),,(,1x F x =,1=y F ,11−−=zF z 切平面的法向为{}211−=→n ，切平面为0)1(2)1()1(=−−−+−z y x 即02=−+z y x 法线为211111−−=−=−z y x （2）、22y x z +=在点)5,1,2(解：zy x z y x F −+=22),,(,2x F x =,2y F y =,1−=z F 切平面的法向为{}124−=→n ，切平面为0)5()1(2)2(4=−−−+−z y x 即0524=−+y x 法线为152142−−=−=−z y x （3）、3=+−xy z e z 在点)0,1,2(解：=),.(z y x F 3−+−xy z e z ,y F x =,x F y =,1−=zz e F 切平面的法向为{}021=→n ，切平面为0)1(2)2(=−+−y x 即042=−+y x 法线为2112zy x =−=−5、在曲面xy z =上求一点，使在该点的法线垂直于平面093=+++z y x 平行解：所求法线的方向为{}131=→n 设=),.(z y x F zxy −,y F x =,x F y =,1−=z F 切平面的法向为{}1−=→x yn ，于是有向量{}131=→n {}1−=x y λ所以1131−==x y 得3,1,3=−=−=z y x ，所求的点是()313−−。