高一数学《任意角》

高一必修一任意角知识点在高一必修一的数学课程中，一个重要的知识点是任意角。

了解和掌握任意角的相关概念和性质，对于我们理解和解决数学问题具有重要的意义。

本文将从几何角度和三角函数角度介绍任意角的知识点。

一、任意角的几何角度表示在平面几何中，角是由两条射线或线段构成的。

以其中一条射线为起始边，另一条射线固定不动，随着起始边的旋转，形成的角被称为任意角。

任意角的度数大小可以用角度表示法或弧度表示法来表示。

（一）度数表示法我们通常使用度（°）来表示角的度数。

一个圆的周长为360°，因此一个圆上的弧度为360°。

当角的大小小于或大于这个度数时，我们可以通过角的顺时针旋转或逆时针旋转来获得。

（二）弧度表示法除了使用度数表示法，我们还可以使用弧度表示法来度量角。

弧度是一个圆的弧长等于半径的弧所对应的角度。

一个完整的圆的周长等于2π，并且对应的角的弧度等于2π。

在弧度制中，角的大小可以是任意实数。

二、三角函数与任意角的关系三角函数是研究角度量的重要工具，它们描述了角度与长度之间的关系。

在任意角中，我们可以定义正弦、余弦和正切等三角函数。

（一）正弦函数对于任意角A，定义其正弦函数为：sin A = (对边AB) / (斜边AC)。

正弦函数的值介于-1和1之间，并且当角的度数为90°、270°等整数倍时，正弦函数的值为0。

（二）余弦函数对于任意角A，定义其余弦函数为：cos A = (邻边BC) / (斜边AC)。

余弦函数的值介于-1和1之间，并且当角的度数为0°、180°、360°等整数倍时，余弦函数的值为1或-1。

（三）正切函数对于任意角A，定义其正切函数为：tan A = (对边AB) / (邻边BC)。

正切函数的值可以为任意实数，但是在某些特殊的角度上它不存在。

三、任意角的性质与计算方法通过了解任意角的性质和计算方法，我们可以更好地应用它们来解决数学问题。

高一数学必修一任意角知识点数学是一门抽象而又实用的学科，对于高中生来说，数学的学习也是必不可少的一部分。

高一数学必修一中，一个重要的知识点就是任意角。

1. 任意角的定义任意角是指角的度数可以是任意实数的角。

在数轴上，我们可以将角的初始边和终边表示出来，并且角的顶点可以位于坐标系的任意位置。

这种角被称为任意角。

2. 任意角的度数我们知道，角度的度数是以度（°）为单位来衡量的。

对于任意角而言，它的度数可以是正数、负数或者是大于360°的数。

例如，一个角度为-45°，它的终边在数轴上逆时针旋转45°。

又例如，一个角度为420°，它的终边在数轴上顺时针旋转360°再继续旋转60°。

3. 任意角的弧度在数学中，角度的另一种衡量单位是弧度（rad）。

任意角的弧度可以是正数、负数或者是大于2π的数。

我们知道，一个完整的圆的周长是2π，而弧度就是以圆的半径为单位来衡量角度的单位。

一个角度为60°的任意角转换成弧度表示就是π/3，一个角度为-π/4的任意角即为逆时针旋转π/4。

4. 任意角的初标准位置对于任意角，我们可以将它们的终边旋转到一个特定的位置，这个位置称为初标准位置。

在初标准位置下，任意角的终边与坐标轴正向的夹角范围是0到360°或者0到2π弧度。

我们可以利用初标准位置来计算任意角的三角函数值，从而解决一些实际问题。

5. 任意角的三角函数在数学中，三角函数是任意角的重要属性之一。

任意角的三角函数包括正弦、余弦、正切、余切等。

我们可以通过观察任意角在坐标轴上的投影来计算这些三角函数值。

例如，对于角度为30°的任意角，它的正弦值是1/2，余弦值是√3/2，正切值是√3/3。

6. 任意角的三角函数的周期性三角函数在数轴上是周期性的。

对于正弦函数和余弦函数而言，它们的周期是2π。

对于正切函数和余切函数而言，它们的周期是π。

专题44 任意角1．角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．2．角的表示如图，(1)始边：射线的起始位置OA ，(2)终边：射线的终止位置OB ，(3)顶点：射线的端点O . 这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．3．角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称 定义图示正角 按逆时针方向旋转形成的角负角 按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转形成的角4．象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的． (3)nα所在象限的判断方法：确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可． (4)αn 所在象限的判断方法：已知角α所在象限，要确定角αn所在象限，有两种方法： ①用不等式表示出角αn 的范围，然后对k 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n 除余2；…；被n除余n －1.从而得出结论．②作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域．从x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是αn 的终边所落在的区域．如此，αn所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．5．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k 是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．(5)终边相同的角常用的三个结论①终边相同的角之间相差360°的整数倍；②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．提示：(1)关于x轴对称：若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k·360°，k∈Z.(2)关于y轴对称：若角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k·360°，k∈Z.(3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.(4)关于直线y＝x对称：若角α与β的终边关于直线y＝x对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.题型一角的有关概念的判断1．下列说法正确的是()A．终边相同的角一定相等B．钝角一定是第二象限角C．第一象限角一定不是负角D．小于90°的角都是锐角2．给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．3．下列结论：①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③钝角比第三象限角小；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确的结论为________(填序号)．4．下列说法正确的是()A．三角形的内角一定是第一、二象限角B．钝角不一定是第二象限角C．终边与始边重合的角是零角D．钟表的时针旋转而成的角是负角5．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是() A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C6．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有() A．B C A B．B A C C．D(A∩C) D．C∩D＝B7．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个8．下列说法正确的是()A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B．第四象限的角一定是负角C．60°角与600°角是终边相同的角D．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角为60°9．下列命题正确的是()A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角D．小于90°的角是锐角10．若将钟表拨慢10分钟，则时针转了______度，分针转了________度．11．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°.②855°.③－510°.题型二终边相同的角的表示及应用1．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2周，所得角是________．2．下列各个角中与2 019°终边相同的是()A．－149°B．679°C．319°D．219°3．下面与－850°12′终边相同的角是()A．230°12′B．229°48′C．129°48′D．130°12′4．已知0°≤α＜360°，且α与600°角终边相同，则α＝________，它是第________象限角．5．角－870°的终边所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．在－360°～0°范围内与角1 250°终边相同的角是()A．170°B．190°C．－190°D．－170°7．与600°角终边相同的角可表示为()A．k·360°＋220°(k∈Z) B．k·360°＋240°(k∈Z)C．k·360°＋60°(k∈Z) D．k·360°＋260°(k∈Z)8．已知角α＝－3000°，则与角α终边相同的最小正角是________．9．与2019°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．10．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________.11．写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．12．在－360°～360°之间找出所有与下列各角终边相同的角，并判断各角所在的象限．①790°；②－20°.13．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：(1)－120°；(2)640°.14．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．(1)－120°；(2)660°；(3)－950°08′.15．已知角α＝2020°.(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.16．在与角1030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角．17．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)－720°到－360°的角．18．在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角β.(1)最大的负角和最小的正角；(2)[360°，720°)内的角．19．已知角β为以O为顶点，x轴为始边，逆时针旋转60°所成的角．(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°<β<720°的元素．20．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中，(1)有几种终边不相同的角？(2)若－360°<α<360°，则集合中的α共有多少个？21．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M有几类终边不相同的角？(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(3)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．22．若角α与β的终边在一条直线上，则α与β的关系是__________．23．若角α，β的终边相同，则α－β的终边在()A．x轴的非负半轴B．y轴的非负半轴C．x轴的非正半轴D．y轴的非正半轴24．已知角α的终边与角－690°的终边关于y轴对称，则角α＝___________.25．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为()A．α＋β＝k·360°，k∈Z B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z D．α－β＝k·360°，k∈Z26．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________.27．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．28．终边在第一或第三象限的角的集合是________．29．终边在直线y＝－x上的所有角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z} B．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°＋225°，k∈Z} D．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}30．终边落在直线y＝3x上的角的集合为________．31. 一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动，两只蚂蚁均从点A (1,0)同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14 s 时回到A 点，并且在第2 s 时均位于第二象限，求α，β的值．题型三 象限角的判定(任意角终边位置的确定和表示)1．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( )A ．90°－αB ．90°＋αC ．360°－αD ．180°＋α2．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．3．若角α的终边在y 轴的负半轴上，则角α－150°的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．y 轴的正半轴上D ．x 轴的负半轴上4．若α＝k ·180°＋45°，k ∈Z ，则α所在象限是( )A ．第一或第三象限B ．第一或第二象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限5．若β是第二象限角，则270°＋β是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角6．若α是第二象限角，则2α，α2分别是第几象限的角？7．已知α为第三象限角，则α2所在的象限是( )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限8．若α是第一象限角，则2α，α2分别是第几象限角？9．(1)若α为第三象限角，试判断90°－α的终边所在的象限；(2)若α为第四象限角，试判断α2的终边所在的象限．10．若α是第一象限角，则－α2是( )A ．第一象限角B ．第一、四象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角11．已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是( )A ．第一象限角B ．第一、二象限角C ．第一、三象限角D ．第一、四象限角12．已知θ为第二象限角，那么θ3是( )A ．第一或第二象限角B ．第一或第四象限角C ．第二或第四象限角D ．第一、二或第四象限角13．已知α是第一象限角，则角α3的终边可能落在________．(填写所有正确的序号)①第一象限 ②第二象限 ③第三象限 ④第四象限题型四 区域角的表示1．已知，如图所示．分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．2．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．3．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈________.4．如图，终边落在阴影部分的角的集合是()A．{α|－45°≤α≤120°}B．{α|120°≤α≤315°}C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}5．写出终边落在阴影部分的角的集合．6．写出角的终边在图中阴影区域的角的集合(包括边界)．7．写出终边落在图中阴影区域内(不包括边界)的角的集合．8．如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．9．如图，α，β分别是终边落在OA，OB位置上的两个角，且α＝60°，β＝315°.(1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角γ的集合；(2)求终边落在阴影部分(不包括边界)，且在0°～360°范围内的角的集合．10．已知集合A＝{α|k·180°＋45°＜α＜k·180°＋60°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－55°＜β＜k·360°＋55°，k∈Z}．(1)在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；(2)在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域；(3)求A∩B.1112。

任意角知识点任意角是指角的度数可以是正数、负数或零的角。

在平面几何中，我们经常遇到各种类型的角，例如锐角、直角和钝角。

但是，这些角度都限制在0到90度之间。

然而，当我们需要处理超过90度的角度时，我们就需要使用任意角的知识。

在本文中，我们将详细介绍任意角的概念、性质和常见的度量单位。

1. 任意角的概念任意角是指度数不受限制的角。

它可以是正数、负数或零。

我们通常用字母表示任意角，如∠A、∠B、∠C等。

任意角通常是由终边上的一个点P和坐标轴原点O连接而成的射线所确定的。

2. 任意角的性质任意角具有以下性质：- 任意角可以有无数个终边- 两个角的终边相同，则它们的度数相等- 两个角的度数为正数时，它们的终边方向相同；度数为负数时，它们的终边方向相反3. 任意角的度量单位在度量任意角时，我们可以使用以下两种常见的度量单位：- 角度：角度是最常见的度量单位，用度（°）表示。

一个完整的圆是360度，一个直角是90度。

例如，一个180度的任意角表示半个圆，而一个-90度的任意角表示向下的直角。

- 弧度：弧度是另一种度量角的单位。

它用弧长和半径的比值来表示。

一个完整的圆对应的弧度是2π，即约等于6.28。

弧度的计算可以使用弧长公式：θ = s/r，其中θ表示弧度，s表示弧长，r表示半径。

4. 任意角的转换我们可以通过转换来改变任意角的度数，例如：- 角度到弧度的转换：通过角度与弧度的换算公式（θ = π/180 × α），我们可以将角度转换为弧度。

- 弧度到角度的转换：通过弧度与角度的换算公式（α = 180/π × θ），我们可以将弧度转换为角度。

5. 任意角的四象限在坐标平面中，我们可以将任意角根据终边所在的象限进行分类。

四象限分别是第一象限、第二象限、第三象限和第四象限：- 第一象限：角的终边位于x轴正半轴和y轴正半轴之间，角度范围为0度到90度。

- 第二象限：角的终边位于x轴负半轴和y轴正半轴之间，角度范围为90度到180度。