整式乘法及因式分解

整式的乘法与因式分解整式是指由常数、变量和运算符（加法、减法、乘法）组成的代数表达式。

整式的乘法是代数学中的基本运算之一，而因式分解则是将整式分解为多个因子的过程。

本文将探讨整式的乘法与因式分解，并说明其在数学中的重要性。

一、整式的乘法整式的乘法是将两个或多个整式相乘的运算。

在进行整式的乘法时，需要根据乘法法则进行运算。

乘法法则包括分配律、结合律和乘法交换律。

1. 分配律：对于整式a、b、c来说，分配律可以表示为：a * (b + c) = a * b + a * c(a + b) * c = a * c + b * c例如，对于整式2x * (3x + 4)，根据分配律，可以展开为2x * 3x + 2x * 4，即6x^2 + 8x。

2. 结合律：对于整式a、b、c来说，结合律可以表示为：(a * b) * c = a * (b * c)例如，对于整式(2x * 3y) * 4z，根据结合律，可以变为2x * (3y * 4z)，即24xyz。

3. 乘法交换律：对于整式a、b来说，乘法交换律可以表示为：a *b = b * a例如，对于整式2x * 3y，根据乘法交换律，可以变为3y * 2x，即6xy。

通过运用这些乘法法则，我们可以将整式相乘，得到最简形式的结果。

二、因式分解因式分解是将一个整式分解为多个因子的过程。

通过因式分解，可以将复杂的整式简化为更简单的形式，便于进一步的运算和研究。

1. 提取公因式：在进行因式分解时，首先要考虑的是是否存在公因式。

如果整式中存在公因式，可以将其提取出来。

例如，对于整式6x^2 + 9x，可以提取公因式3x，得到3x(2x + 3)。

2. 分解二次三项式：对于二次三项式，可以通过配方法进行因式分解。

例如，对于整式x^2 + 5x + 6，可以通过配方法进行分解为(x + 2)(x + 3)。

3. 分解差平方：差平方是指两个数的平方之差。

对于差平方，可以通过公式进行因式分解。

整式乘除与因式分解知识点一．知识点 （重点） 1．幂的运算性质： a m·a n＝am ＋n（m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．例：－a 2a 22．()nm a＝ amn（m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．例： (－a 5)53．()n n nb a ab = （n 为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积． 例：(－a 2b )3练习：（1）y x x 2325⋅ （2）)4(32b ab -⋅- （3）a ab 23⋅（4）222z y yz ⋅ （5）)4()2(232xy y x -⋅ （6）22253)(631ac c b a b a -⋅⋅4．nm a a ÷＝ am －n（a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）同底数幂相除，底数不变，指数相减．例：（1）x 8÷x 2 （2）a 4÷a （3）（a b ）5÷（a b ）2（4）（-a ）7÷（-a ）5 （5） (-b ) 5÷(-b )25．零指数幂的概念：a 0＝1 （a ≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ． 例：若1)32(0=-b a 成立，则b a ,满足什么条件？6．负指数幂的概念：a －p ＝pa 1（a ≠0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 7．单项式与单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．例：（1）223123abc abc b a ⋅⋅ （2）4233)2()21(n m n m -⋅-8．单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．例：（1）)35(222b a ab ab + （2）ab ab ab 21)232(2⋅-（3）)32()5(-22n m n n m -+⋅ （4）xyz z xy z y x ⋅++)(23229．多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．例：（1）)6.0(1x x --）（ （2）))(2(y x y x -+ （3）2)2n m +-（练习：1．计算2x 3·(－2xy)(－12xy) 3的结果是2．(3×10 8)×(－4×10 4)＝3．若n 为正整数，且x 2n ＝3，则(3x 3n ) 2的值为4．如果(a n b ·ab m ) 3＝a 9b 15，那么mn 的值是5．一个长方体的长为(a ＋4)cm ，宽为(a －3)cm ，高为(a ＋5)cm ，则它的表面积为，体积为。

同底数幂的乘法：a m×a n=a m+na 可以是单项式，底数为正数还是负数，括号外为奇数次方还是偶数次方，若偶次方有没有对着负号，运算过后把底数都化为正数，再利用同底数幂的乘法。

若为同类项再把系数相加减。

a 若为多项式时，看底数是相同的还是相反数，若相反的把相反的化为相同的，若指数为偶数次方，直接改变；若指数为奇数次方，前面添负号，把底数化为相同的。

若指数中有子母，求字母的值，把底数化为相同的，一般化为最小的，再按同底数幂相乘，两个式子相等，底数一样，则指数也相等。

公式的倒用：给两个幂的值，求一个更复杂幂的值，见指数的和转化为同底数幂的乘，见指数的差转化为同底数幂的差，以所给的式子为目标进行变形出来，再代入求值。

比较几个幂的大小：根据题中给的形式，把底数化为相同的或把指数化为相同的形式，有一个相同，另一个谁大总体谁就大了。

指数比较大的幂相乘：把指数都化成最小的，根据积的乘方的倒算，把底数相乘，结果往往为±1，再算剩余的。

整式的乘法：1）几个单项式相乘，若题中有幂的乘方或积的乘方先进行自身计算，再进行其他的计算。

2）给积和一个因式，求另一个因式，利用乘法除法来做均可以，若为多项式注意带括号。

3）单项式×多项式，利用乘法的分配率来做题。

4）两个多项式乘开后没有几次项，就是看哪些项相乘可以得到几次项，利用合并同类项把系数写在一起，则总系数为0.5）多项式×多项式利用乘法的分配率来做，有公式的先用公式，先用平方差再用完全平方公式。

6）给一个等式，求字母的值：这类题是左边为多项式×多项式，右边为一个二次三项式；把左边按多项式×多项式乘开，两个多项式相等，二次项系数等于二次项系数，一次项系数等于一次项系数，常数项等于常数项。

整式的除法：若有积的乘方或幂的乘方，先用积的乘方或幂的乘方进行自身运算，再利用同底数幂的除法。

用同底数幂的乘或除，关键是化为相同的，可以同带负号，也可以都是正的，若不同应化为相同的。

整式的运算与因式分解1. 概述整式是数学中的一种常见形式，由数字、字母和运算符号组成。

本文将介绍整式的运算和因式分解两个主题。

2. 整式的基本运算整式的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。

下面我们逐个介绍每种运算。

2.1 加法整式的加法就是把相同变量的项进行合并，例如：2x² + 3x + 5 + 4x² - 2x - 3合并同类项结果为：(2x² + 4x²) + (3x - 2x) + (5 - 3)6x² + x + 22.2 减法整式的减法与加法类似，合并同类项后进行相减，例如：(3x² + 2x - 7) - (x² - 4x + 2)合并同类项结果为：(3x² - x²) + (2x + 4x) + (-7 - 2)2x² + 6x - 92.3 乘法整式的乘法是将每个项相乘，并合并同类项，例如：(2x + 3)(x - 4)展开并合并同类项结果为：2x² - 8x + 3x - 122x² - 5x - 122.4 除法整式的除法是指定一个整式为除数，将被除数做整除运算得到商和余数。

例如：(2x³ - 5x² + 3) ÷ (x - 2)使用长除法进行计算，得到商为2x² - x + 1，余数为5。

3. 整式的因式分解因式分解是将一个整式写成多个因式相乘的形式。

下面我们介绍几种常见的因式分解方法。

3.1 公因式提取法对于给定的整式，如果每一项都有相同的因子，那么可以先提取出公因式，例如：6x² + 9x这里的公因式是3x，提取后得到：3x(2x + 3)3.2 完全平方公式对于一个二次整式（二项式的平方），可以使用完全平方公式进行因式分解，例如：x² + 4x + 4这里的完全平方是(x + 2)²，因此可以写成：(x + 2)²3.3 平方差公式平方差公式可以将一个差的平方整式进行因式分解，例如：x² - 4这里可以使用差的平方公式：(x + 2)(x - 2)4. 示例与应用现在我们通过一些示例来展示整式的运算和因式分解的应用。

整式的乘法与因式分解知识点的回顾1、单项式： 都是数与字母的乘积的代数式叫做单项式（单独的一个数或一个字母也是单项式）。

2、多项式： 几个单项式的和叫做多项式。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

4、一个单项式中，所有字母的指数 和叫做这个单项式的 次数；一个多项式中，次数最高的项的次数 叫做这个多项式的次数。

（单独一个非零数的次数是 0） 5、整式的 加减运算法则 ：去括号法则 整式的加减合并同类项法则练一练 ：1、下列代数式中，单项式共有 个，多项式共有个。

－ 1a 2 , 5 a23b 2, 2 ， ab ， 1 ( x y) ,1(a b) , a ,x 2 1 , x y34a27 πx 2 y 3z2、（ 1）单项式的系数是 ，次数是 ；2（2） π 的次数是。

（3） 3ab 2c 2a 2b ab 2是单项式的和，次数最高的项是，它是 次 项式，二次项是，常数项是3、一个多项式加上 -2x 3+4x 2y+5y 3 后，得 x 3-x 2y+3y 3，求这个多项式， 并求当 x=- 1 ，y= 1时，22这个多项式的值。

第一讲 . 整式的乘法1、同底数幂的乘法同底数幂的乘法， 底数不变，指数相加。

即： ma n a m n，（ m , n都是正整数）。

a例1 （1） 35 36 （ 2） b 2 m b m 1(3)( y) y 2 ( y) 31提示：①三个或三个以上的同底数幂相乘，法则也适用，即a m a n a p a m np ，（ m, n, p 都是正整数）；②不要忽视指数为一的因数；③底数不一定是一个数或者一个字母，也可以是单项式或多项式；④注意法则的逆用，即 a mna m a n2、幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即：a m n a mn，（m , n都是正整数）。

例2 （1）32＝（）b 5 522（3）x2 n 1 3（ 4） (x 3x m) 3=3、积的乘方积的乘方等于每一个因数乘方的积。

整式的乘法与因式分解全章教案一、教学目标：1. 理解整式乘法的基本概念和方法，能够熟练进行整式的乘法运算。

2. 掌握因式分解的基本原理和方法，能够对简单的一元二次方程进行因式分解。

3. 能够应用整式的乘法与因式分解解决实际问题。

二、教学内容：1. 整式乘法的基本概念和方法。

2. 整式乘法的运算规则。

3. 因式分解的基本原理和方法。

4. 因式分解的运算规则。

5. 应用整式的乘法与因式分解解决实际问题。

三、教学重点与难点：1. 整式乘法的运算规则。

2. 因式分解的方法和技巧。

3. 应用整式的乘法与因式分解解决实际问题。

四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解整式乘法与因式分解的基本概念和方法。

2. 采用示范法，示范整式乘法与因式分解的运算过程。

3. 采用练习法，让学生通过练习来巩固所学知识。

4. 采用问题解决法，引导学生应用整式的乘法与因式分解解决实际问题。

五、教学准备：1. 教案、教材、PPT等教学资源。

2. 练习题、测试题等教学资料。

3. 教学黑板、粉笔等教学工具。

4. 投影仪、电脑等教学设备。

六、教学进程：1. 导入：通过复习整式的加减法，引出整式乘法的重要性，激发学生的学习兴趣。

2. 讲解：讲解整式乘法的基本概念和方法，重点讲解运算规则。

3. 示范：示范整式乘法的运算过程，让学生理解并掌握运算规则。

4. 练习：布置练习题，让学生通过练习巩固所学知识。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调整式乘法的重要性。

七、作业布置：1. 完成练习题，巩固整式乘法的运算规则。

2. 预习下一节课的内容，为学习因式分解做准备。

八、课堂反馈：1. 课堂提问：通过提问了解学生对整式乘法的掌握情况。

2. 练习批改：及时批改学生的练习题，指出错误并给予讲解。

3. 学生反馈：听取学生的意见和建议，调整教学方法。

九、课后反思：1. 总结本节课的教学效果，反思教学方法的优缺点。

2. 根据学生的反馈，调整教学策略，提高教学质量。

整式的乘法和因式分解知识点汇总整式乘除与因式分解一、知识点1.幂的运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即，am·an＝am＋n（m、n为正整数）。

例如：(－2a)2(－3a2)3 = 4a2·-27a6 = -108a8.2.幂的乘方性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即，a(mn)＝(am)n（m、n为正整数）。

例如：(－a5)5 = (-1)5·a25 = a25.3.积的乘方性质：积的乘方等于各因式乘方的积。

即，(ab)n = an·bn（n为正整数）。

例如：(－a2b)3 = (-1)3·a6·b3 = -a6b3.4.幂的除法性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

即，a/m ÷ a/n = a(m-n)（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）。

例如：(1) x8÷x2 = x6；(2) a4÷a = a3；(3) (ab)5÷(ab)2 = a3b3.5.零指数幂的概念：a0 = 1（a≠0）。

任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1.例如：若(2a-3b)0=1成立，则a,b满足任何条件。

6.负指数幂的概念：a-p = 1/ap（a≠0，p是正整数）。

任何一个不等于零的数的-p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数。

例如：(m/n)-2 = n2/m2.7.单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

例如：(1) 3a2b·2abc·abc2 = 6a4b2c3；(2) (-m3n)3·(-2m2n)4 = -8m14n7.8.单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。

例如：(1) 2ab(5ab+3ab) = 16a2b2；(2) (ab2-2ab)·ab = a2b3-ab2.9.多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。

“整式的乘法与因式分解”概念解读作者：尹永洲来源：《初中生世界·七年级》2014年第06期本章的主要内容是整式的乘法运算、因式分解.内容建立在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减运算等知识的基础上.整式的乘法运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识，这些知识是以后学习分式和根式运算、函数等知识的基础.一、整式的乘法整式的乘法是整式四则运算的重要组成部分.其中之前所学习的幂的运算性质，即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是整式乘法的基础.整式乘法具体内容包括单项式乘以单项式，单项式乘以多项式以及多项式乘以多项式.单项式与单项式相乘把他们的系数相乘，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.单项式乘以多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.依据是.多项式与多项式相乘用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.二 .乘法公式乘法公式是整式乘法的特殊情形.运用乘法公式能迅速而简洁地进行一些整式相乘的运算.平方差公式：注意：平方差公式展开只有两项.公式的特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.完全平方公式：完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样.三. 因式分解因式分解是多项式的一种恒等变形.因式分解不但在解方程等问题中极其重要，在数学科学其他问题和一般科学研究中也具有广泛应用，是重要的数学基础知识.因式分解的方法一般包括提公因式法、公式法.因式分解和整式乘法是互逆的运算，同学们在学习时必须能够弄清两者的区别和联系.分解因式基本概念：※把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式.※因式分解与整式乘法是互逆关系.因式分解的思路与解题步骤：（1）看各项有没有公因式，若有，先提取公因式；（2）再看能否使用公式法；（3）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解；（4）因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.因式分解的基本方法Ⅰ提公因式法概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.如：概念内涵：（1）因式分解的最后结果应当是“积”；（2）公因式可能是单项式，也可能是多项式；（3）提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律，即：方法：（1）找多项式中的公因式；公因式的构成一般情况下有三部分：①系数----各项系数的最大公约数；②字母----各项含有的相同字母；③指数----相同字母的最低次数；（2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项.（3）注意点①提取公因式后各因式应该是最简形式②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的.易错点点评：（1）注意项的符号与幂指数是否搞错；（2）公因式是否提“干净”；（3）多项式中某一项恰为公因式，提出后，括号中这一项为+1，不漏掉.Ⅱ公式法运用公式法分解因式的实质是：把乘法公式反过来使用.常用的公式：①平方差公式：（应是二项式，且每项（不含符号）都是一个整式的平方；二项是异号.）②完全平方公式：、（应是三项式；其中两项同号，且各为一整式的平方；还有一项可正负，且它是前两项幂的底数乘积的2倍.）因式分解中需要注意的几个问题1.分解的对象是多项式.而对于的变形过程，是利用了因式分解的方法和形式，而不能叫因式分解.2. 要把结果化为几个因式的积，而不是把部分化为积的形式.有些同学在分解因式时，容易出现这样的错误= ，它不符合因式分解的定义，应分解为 =3.不要分解后又乘回来有些同学对多项式因式分解后，又按整式乘法把它变成一个多项式，这是同学们因式分解时易犯错误.。

整式的乘法与因式分解整式是由字母或字母与常数的乘积所组成的代数式。

在代数中，整式的乘法和因式分解是非常重要的运算。

本文将详细介绍整式的乘法与因式分解。

一、整式的乘法整式的乘法是指利用分配律将两个或多个整式相乘的过程。

整式的乘法规则如下：1. 当两个整式相乘时，先将系数相乘，再将字母相乘，最后将结果相加。

例如，计算 (2x + 3)(4x + 5) 的结果：(2x + 3)(4x + 5) = 2x * 4x + 2x * 5 + 3 * 4x + 3 * 5= 8x^2 + 10x + 12x + 15= 8x^2 + 22x + 152. 当整式中含有多个字母时，需要将对应字母的项相乘，并按照指数的规则进行运算。

例如，计算 (2xy + 3xz)(4xy - 5xz) 的结果：(2xy + 3xz)(4xy - 5xz) = 2xy * 4xy + 2xy * (-5xz) + 3xz * 4xy + 3xz * (-5xz)= 8x^2y^2 - 10x^2z^2 + 12x^2yz - 15xz^2整式的乘法在代数中非常常见，掌握好整式的乘法规则可以方便进行复杂的代数运算。

二、因式分解因式分解是指将一个整式表示为几个整式乘积的形式。

因式分解在解方程、求极限、计算函数值等方面都有广泛的应用。

下面介绍两种常见的因式分解方法。

1. 公因式提取法公因式提取法是指将整式中的公因式提取出来，并将整式分解为公因式与其他部分的乘积。

例如，对于整式 4x^2 + 8x，可以提取公因式 4x，得到 4x(x + 2)。

2. 完全平方公式完全平方公式是指将一个二次多项式表示为两个一次多项式的平方差形式。

例如，对于整式 x^2 + 12x + 36，可以通过完全平方公式将其分解为 (x + 6)^2。

通过因式分解，可以简化复杂的整式，方便进行进一步的计算和问题求解。

综上所述，整式的乘法和因式分解是代数中重要的运算。

整式的乘法与因式分解整式是指由常数、变量和常数与变量的乘积通过加法或减法运算得到的代数式。

整式的乘法与因式分解是代数学中非常基础也非常重要的概念。

本文将从整式的定义、乘法规则和因式分解方法等方面进行讲解。

一、整式的定义整式由若干项经过加法或减法运算组成，每一项由数与变量的乘积得到。

典型的整式表达式包括：1. 常数项：仅由一个常数构成，例如2、-3等；2. 变量项：指仅由一个变量构成，例如x、y等；3. 常数与变量的乘积项：由一个常数与一个变量相乘而得的项，例如2x、-3y等；4. 多项式：由多个项通过加法或减法运算得到的整式，例如2x+3y、-4xy+5等。

二、整式的乘法规则整式的乘法运算遵循以下规则：1. 常数与整式相乘：将该常数与整式的每一项分别相乘；2. 变量与整式相乘：将该变量与整式的每一项的变量部分相乘；3. 整式与整式相乘：将两个整式的每一项进行相乘，并对结果进行合并整理。

以一个具体的例子来说明整式的乘法规则。

假设有两个整式：(2x+3)(3x-4)。

按照上述规则，可以将它们的每一项分别相乘，然后整理合并得到最终结果。

具体计算过程如下：(2x+3)(3x-4) = 2x * 3x + 2x * (-4) + 3 * 3x + 3 * (-4)= 6x² - 8x + 9x - 12= 6x² + x - 12三、整式的因式分解方法因式分解是将一个整式表示为多个乘积的形式，其中每个乘积称为因式。

因式分解有多种方法，这里介绍两种常见的因式分解方法：提公因式法和配方法。

1. 提公因式法：适用于整式中存在公共因子的情况。

具体步骤如下：（1）将整式中的各项进行化简，找出它们的公共因子；（2）将整式中各项的公共因子提取出来；（3）将提取出的公共因子与剩余部分相乘得到最终结果。

例如，对于如下整式：6x² - 8x。

可以将6x²与-8x的公共因子2x提取出来，得到2x(3x - 4)。

整式的乘法和因式分解知识点汇总整式乘除与因式分解在研究代数的过程中，整式乘除与因式分解是非常重要的知识点。

下面将对这些知识点进行详细讲解。

一．幂的运算性质幂的运算性质是代数中最基本的知识之一。

其中，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘。

例如，对于表达式(－2a)2(－3a2)3，可以先计算幂的乘方，然后再将同底数幂相乘。

二．乘方的运算乘方的运算也是代数中的基本知识。

根据乘方的运算法则，积的乘方等于各因式乘方的积。

例如，对于表达式(－a5)5，可以将其分解为a的5次方的积，然后再进行乘方运算。

三．同底数幂的除法同底数幂的除法也是代数中的基本知识之一。

根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减。

例如，对于表达式x÷x，可以将其化简为x的0次方，即1.四．零指数幂和负指数幂在代数中，零指数幂和负指数幂也是非常重要的概念。

任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1；任何一个不等于零的数的负指数幂，等于这个数的指数幂的倒数。

例如，对于表达式(2a3b)1，可以通过代数式的运算，求出a和b的取值范围。

五．单项式和多项式的乘法单项式和多项式的乘法也是代数中的基本知识之一。

对于单项式相乘，需要将系数和同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

对于单项式与多项式相乘，需要用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。

对于多项式与多项式相乘，需要先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。

通过对整式乘除与因式分解的研究，可以更好地理解代数的基本概念和运算法则，为后续的研究打下坚实的基础。

1.计算 (3×10^8)×(-4×10^4) = -1.2×10^132.计算 2x·(-2xy)·(-3) = 12x^2y3.若n为正整数，且x^(2n)=3，则(3x^(3n))^2的值为 274.如果 (anb·abm)^3 = a^9b^15，那么 mn 的值是 55.-[-a^2(2a^3-a)] = 2a^5 - a^36.(-4x^2+6x-8)·(-1/2x) = 2x^3-3x^2+4x7.2n(-1+3mn^2) = -6mn^2+2n8.若 k(2k-5)+2k(1-k) = 32，则 k = 49.(-3x^2)+(2x-3y)(2x-5y)-3y(4x-5y) = -10x^2+31xy-15y^210.在 (ax^2+bx-3)(x^2-x+8) 的结果中不含 x^3 和 x 项，则a = 1/2，b = -311.一个长方体的长为 (a+4)cm，宽为 (a-3)cm，高为(a+5)cm，则它的表面积为 2a^2+22a+32，体积为 (a+4)(a-3)(a+5) = a^3+6a^2-7a-60.若将长方形的长和都扩大了2cm，则面积增大了 8cm^2.12.一个长方形的长是 10cm，宽比长少6cm，则它的面积是 40cm^2.当长和都扩大了2cm时，面积增大了 44cm^2.13.单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式。

一、整式的乘除：1、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.例如：_______3=-a a ；________22=+a a ；________8253=+-+b a b a __________________210242333222=-++-+-x xy x y x xy xy y x 2、同底数幂的乘法法则：a m ·a n =a m+n (m ，n 是正整数). 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 例如：________3=⋅a a ；________32=⋅⋅a a a3、幂的乘方法则：(a m )n =a mn (m ，n 是正整数).幂的乘方，底数不变，指数相乘. 例如：_________)(32=a ；_________)(25=x ；()334)()(a a =4、积的乘方的法则：(a b)m =a m b m (m 是正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.例如：________)(3=ab ；________)2(32=-b a ；________)5(223=-b a 5、同底数幂的除法法则：a m ÷a n =a m-n (a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m ＞n). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 规定：10=a 例如：________3=÷a a ；________210=÷a a ；________55=÷a a 6、单项式乘法法则y x 32⋅ )5)(2(22xy y x - )2()3(22xy xy -⋅ 2232)()(b a b a ⋅-7、单项式除法法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.y x y x 2324÷ ()xy y x 6242-÷ ()()58103106⨯÷⨯第四讲 整式乘除与因式分解新概念8、单项式与多项式相乘的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.)(c b a m ++ )532(2+--y x x )25(32b ab a ab +--9、多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.)6)(2(-+x x )12)(32(+--y x y x ))((22b ab a b a +-+10、多项式除以单项式的除法法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. ()x x xy ÷+56； ()()a ab a 4482-÷-()b a b a b a 232454520÷- c c b c a 2121222÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-11、整式乘法的平方差公式：(a +b)(a -b)=a 2-b 2.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 例如：（4a －1）（4a+1）=___________； （3a －2b ）（2b+3a ）=___________；()()11-+mn mn = ； =--+-)3)(3(x x ；12、整式乘法的完全平方公式：(a +b)2=a 2+2a b+b 2，(a -b)2=a 2-2a b+b 2.两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.例如：()____________522=+b a ； ()_______________32=-y x()_____________22=+-ab ； ()______________122=--m 二、因式分解：1、提公因式法：4y xy - 32x x + x 2+12x 3+4x )1()1(-+-a n a m2、公式法.：（1）、平方差公式：))((22b a b a b a -+=-12-x 2294b a - 22)(16z y x +- 22)2()2(b a b a --+（2）、完全平方公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-442+-m m 2269y xy x ++ 924162++x x 36)(12)(2++-+b a b a3、分组分解法：1a b ab +++ ab －c ＋b －ac a 2－2ab ＋b 2－c 24、“十字相乘法”：即式子x 2+(p+q)x+pq 的因式分解. x 2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).x 2＋7x ＋6 （2）、x 2－5x －6 （3）、x 2－5x ＋61.计算：a 7÷a=__________; (ab)12÷(ab)4=______; (a+b)10÷(a+b)5=_________ X 7÷x 2=___________; (a-b)12÷(a-b)4=_______________2.计算：（a-b ）11÷(b-a)10+(-a-b)5÷(a+b)4 （a-b ）15÷(a-b)5÷(b-a)8(-a 11)3÷(-a)17÷(-a 3)2÷a 8 (-a 16)2÷(-a 15) ÷(-a 3)2÷a 83.变式练习： 已知2m =7,2n =5,求4m-n 的值。

整式的乘除与因式分解知识点归纳整式是由常数、变量及它们的积和和差经过有限次加、减、乘运算得到的式子。

整式有不同的运算法则，包括乘法、除法和因式分解。

以下是整式的乘除与因式分解的知识点归纳：1.整式的乘法：整式的乘法是指两个或多个整式相乘的运算。

在整式相乘时，需注意以下几点：-两个或多个常数相乘，结果仍是常数；-两个或多个同类项相乘，结果是它们的系数相乘，指数相加的同类项；-不同类项相乘时，按照乘法交换律和乘法结合律可以调整次序、合并同类项；-乘法运算中可以运用分配率，将一个整式乘以一个括号内的整式，再将结果分别与括号内的各项相乘，最后合并同类项得出结果。

2．整式的除法：整式的除法是指将一个整式除以另一个整式的运算。

在整式相除时，需要注意以下几点：-除法的定义：对于两个整式f(x)和g(x)，若存在整式q(x)和r(x)，使得f(x)=q(x)·g(x)+r(x)，且r(x)是0或次数低于g(x)的整式，则称g(x)是f(x)的除式，q(x)是商式，r(x)是余式；-除法的步骤：进行长除法运算，从被除式中选择一个最高次项与除式的最高次项相除，得到商式的最高次项；-对除式乘以商式后减去得到的结果，继续进行除法计算，重复以上步骤；-最后得到的商式即为整式的商，最后得到的余式即为整式的余式。

3.整式的因式分解：因式分解是指将一个整式拆分成多个整式的乘积。

在进行因式分解时，需要注意以下几点：-提取公因式：当一个整式的各个项都有相同的因子时，可以提取出该因子作为公因式；-分解差的平方：对于形如a^2-b^2的差的平方，可以分解成(a+b)(a-b)的乘积；-分解一些特殊形式的整式，如完全平方差、完全立方和差、完全立方和等；-假设原式可分解成两个较简单的整式，然后根据求解思路进行分解。

整式的乘除运算和因式分解是数学中重要的操作，有广泛的应用。

在代数方程求解、多项式计算、消元法等多个数学领域中，都需要运用到整式的乘除与因式分解的知识。

整式的乘法注意：单项式的乘法的关键是通过乘法的交换律和结合律，把它转化为幂的运算．单项式与多项式的乘法可以采用我们已经熟悉的有理数运算中乘法分配律的应用类比理解，并且指导运算．多项式与多项式的乘法，先将一个多项式的每项分别与另外一个多项式的每项相乘，再把所得的积相加，运算中利用单项式与单项式的乘法和合并同类项．运算时需要按照一定的顺序进行，防止漏项和符号出错．1.单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数.2.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式.多项式中每个单项式叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫多项式的次数.3.整式的概念：单项式和多项式统称整式.注意：凡是分母含有字母的代数式都不是整式，也不是单项式和多项式.4.单项式与单项式相乘的法则：把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式.注意：（1）①积的系数等于各因式系数的积；②相同字母相乘是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”计算；③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，要注意不要丢掉这个因式；④单项式乘以单项式的结果仍是单项式；⑤单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用.（2）单项式乘法中，若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行.例1.计算：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）例2.计算：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（n是正整数）例3.先化简，后求值：，其中.例4.已知，求的值.5.单项式与多项式相乘的法则：使用单项式乘以多项式的每项，再把所得的积相加.注意：（1）法则中“每项”是指含有性质符号的项；（2）单项式乘以多项式，它的积仍为多项式，项数与原多项式（没有同类项）的项数相同，不要漏乘项；（3）乘积中符号的确定与括号法则基本一致，括号前的单项式系数为正数，去括号后多项式各项的符号都不变，否则都改变；（4）对混合运算应该注意运算顺序，并且有同类项时，必须合并同类项，从而得到最简结果；（5）由法则可以看出：单项式与多项式相乘就是根据乘法分配律把问题转化为单项式的乘法，它的思路是例5.计算:（1）（2）（3）（4）例6.计算：（1）（2）例7.解方程：（1）（2）例8.先化简，后求值：，其中.例9.化简：．（n是正整数）6.多项式与多项式相乘的法则：使用多项式的每项分别乘以多项式的每项，再把所得的积相加.例10.计算：(1) (2)(3) （4）(5) (6)例11.计算：(1) (2)(3) (4)例12.计算：（1）（2）例13.计算：（1）（2）例14.先化简，后求值:(1) ,其中(2) ,其中例15.按如图的程序计算：若开始输入n值为，则最后输出结果是__________.例16.已知：二次三项式和的乘积中不含项和项．求p,q的值．例17.计算：（1）（2）（3）（4）例18.解答题：（1）已知代数式与的值相等，求x．（2）解不等式．（3）已知：．求m、n的值．因式分解1．分解因式的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做分解因式．2．因式分解的基本方法有：(1) 提取公因式法；(2) 公式法；(3) 分组分解法；(4) 十字相乘法．例1.单项式与的公因式为___________.例2.若4x2+2(m+1)x+25是完全平方式，则m的值等于___________.例3.若x2+x+m=(x-n)2，则m+n=_________.例4.在多项式m2+n2，-a3+b3，x4+4y2，-4s2+9t2中，可以使用平方差公式分解因式的有___________.例5.若x2-mx-28=(x+4)(x-7)，则m=___________.例6.若的值为0，则的值为___________.例7.若，则___________.例8.方程的解为___________.例9.若=，则=___________.例10.因式分解：（1）=___________.（2）=___________.（3）=___________.（4）=___________.（5）=___________.（6）=___________.（7）m2+5n-mn-5m=___________.（8）bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=___________.课堂反思1.幂的运算是初中代数运算的重点和必考点，但是它的内容简单，只需要深刻地记忆幂的运算的相关性质，并且适量地解决经典题型，要求学生熟练掌握.2.整式的乘法属于基本内容，只要熟练地掌握运算法则并且能够准确地解题即可.3.因式分解是初中代数运算的重点和必考点，要求学生熟练掌握，需要灵活地运用因式分解的各种方法准确地解题.课后训练1.下列4个算式：(1) (2)(3) (4)其中,计算错误的有 ( )A.4个B.3个C.2个D.1个2.你认为下列各式正确的是 ( )A． B．C．D．3.下列运算正确的是 ( )A．3a+2b=5ab B．a3a2=a5 C．a8÷a2=a4D．（－2a2）3=－a64.下列计算正确的是 ( )A．x4·x4=x16 B．(a3)2·a4=a9 C．(ab2)3÷(－ab)2=－ab4 D．(a6)2÷(a4)3=1 5．计算：的结果是 ( )A．B． C． D．6．下列运算中，结果是的是 ( )A． B．C． D．7.已知是大于1的自然数,则等于 ( )A. B. C. D.8.已知a=，b=，c=，那么a、b、c 的大小关系是（）A. a＞b＞cB. b＞c＞aC. a＜b＜cD. c＞a＞b9.的计算结果是 ( )A. B．C． D.10.下列计算中正确的是 ( )A.B．C.D．11.三个连续偶数，中间一个为k，则这三个数的积为 ( )A. B. C. D.12.使的积中不含和的项，则p、q的值分别为 ( )A． B．C． D.13.计算：的结果是 ( )A． B．C. D．14.若，，则的值为 ( )A． B． C．D．15.若，则________．(使用幂的形式表示）16.计算：；的结果是．17.已知，，则．18.如果等式，则的值为．11.因式分解：（1）______________.（2）______________. （3）______________.（4）=______________.（5）______________.（6）______________.（7）______________.（8）______________.（9）______________.12.计算：()15×(315)3（2）(m (1)为偶数,)（3）（4）（5）（n是正整数）（5）（6）（6）（7）（8）（9）（10）（10）（11）（12）13.解方程：．14.求证：代数式的值与x的值无关．15.若，解关于的方程．16.若.17.已知（1）求的值；（2）求的值.18.求使得成立的所有的值.19.若a、b、c都是正数，且a2=2，b3=3，c4=4，比较a、b、c的大小.20.已知，求代数式[－3.5（x+y）]3·（x－y）·[－2（x+y）（x－y）]2的值.21.已知a2+a=－1，求a2005+a3006+a4007的值.22.一长方体的高是厘米，底面积是平方厘米，则它的体积是_______立方厘米．23.一种细菌的半径是厘米，用科学计数法表示为分米24.︱x︱＝(x－1)0，则x = .25.汛期来临前，滨海区决定实施“海堤加固”工程.某工程队承包了该项目，计划每天加固60米.在施工前，得到气象部门的预报，近期有“台风”袭击滨海区，于是工程队改变计划，每天加固的海堤长度是原计划的1.5倍，这样赶在“台风”来临前完成加固任务.设滨海区要加固的海堤长为a米，则完成整个任务的实际时间比原计划时间少用了天.（使用含有a的代数式表示）26.阅读下列一段话，并且解决后面的问题.观察下面一列数：1，2，4，8，…我们发现，这列数从第二项起，每一项与它前一项的比值都是2.我们把这样的一列数叫做等比数列，这个共同的比值叫做等比数列的公比.（1）等比数列5，―15，45，…的第4项是；（2）如果一列数a1,a2,a3,…是等比数列，且公比是q,那么根据上述规定有所以则a n= .(用a1与q的代数式表示)（3）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项和第4项.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

整式的乘法与因式分解第一节：整式的乘法1．同底数幂的乘法一般地，对于任意底数a与任意正整数m，有(m、n都是正整数)。

即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

该乘法法则是幂的运算中最基本的法则。

在应用法则运算时，要注意以下几点:①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；②指数是1时，不要误以为没有指数；③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为（其中m、n、p均为正整数）；⑤公式还可以逆用：（m、n均为正整数）。

2．幂的乘方一般地，对任意底数a与任意正整数m、n，有(m、n都是正整数)。

即幂的乘方，底数不变，指数相乘。

该法则是幂的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆。

另有：（m、n都是正整数）。

当底数有负号时,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，如将(-a)3化成-a3。

底数有时形式不同，但可以化成相同。

要注意区别(ab)n与(a+b)n意义是不同的，不要误以为(a+b)n=a n+b n（a、b均不为零）。

3.积的乘方法则一般地，对于任意底数a、b与任意正整数n，有（n为正整数）。

即积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。

4.整式的乘法1）单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。

这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

整式的乘除与因式分解知识点一、整式乘除法同底数幂相乘,底数不变,指数相加. a m ·a n =a m+n [m,n 都是正整数] 同底数幂相除,底数不变,指数相减. a m ÷a n =a m-n [a≠0,m,n 都是正整数,且m>n] 任何不等于0的数或式子的0次幂都等于1. a 0=1[a ≠0]， 00无意义幂的乘方,底数不变,指数相乘. (a m )n =a mn [m,n 都是正整数] 积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得幂相乘.(ab)n =a n b n [n 为正整数]注：不要漏积中任何一个因式 单项式与单项式相乘,把它们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.ac 5·bc 2=(a ·b)·(c 5·c 2)=abc 5+2=abc 7 注：运算顺序先乘方，后乘除，最后加减单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式 单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,m(a+b+c)=ma+mb+mc 注：不重不漏，按照顺序，注意常数项、负号 .本质是乘法分配律。

多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相乘(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn乘法公式：平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. (a+b)(a-b)=a 2-b 2 完全平方公式:两数和[或差]的平方,等于它们的平方和,加[或减]它们积的2倍. (a ±b)2=a 2±2ab+b 2 因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式,也叫做把这个多项式分解因式.因式分解方法:1、提公因式法. 关键:找出公因式公因式三部分：①系数(数字)一各项系数最大公约数；②字母--各项含有的相同字母；③指数--相同字母的最低次数；步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．注意：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．2、公式法.①a 2-b 2=(a+b)(a-b)两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积a 、b 可以是数也可是式子②a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 完全平方两个数平方和加上或减去这两个数的积的2倍,等于这两个数的和[或差]的平方. ③x 3-y 3=(x-y)(x 2+xy+y 2) 立方差公式3、十字相乘(x+p)(x+q)=x 2+(p+q)x+pq因式分解三要素：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式（2）因式分解必须是恒等变形；（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．弄清因式分解与整式乘法的内在的关系:互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差 添括号法则：如括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如括号前是负号各项都得改符号。