2.1-圆内接四边形的性质及判定定理

《二圆的内接四边形的性质与判定定理》教案教学目标(一)知识目标(1)了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念；(2)掌握圆内接四边形的概念及其性质定理；(3)熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明．(二)能力目标(1)通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力；(2)通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维；(3)通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力．(三)情感目标(1)充分发挥学生的主体作用，激发学生的探究的热情；(2)渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点．教学重、难点重点：圆内接四边形的性质定理．难点：定理的灵活运用．教学过程(一)基本概念如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形A BCD的外接圆．(二)创设研究情境问题：一般的圆内接四边形具有什么性质？研究：圆的特殊内接四边形(矩形、正方形、等腰梯形)1、边的性质：(1)矩形：对边相等，对边平行．(2)正方形：对边相等，对边平行，邻边相等．(3)等腰梯形：两腰相等，有一组对边平行．归纳：圆内接四边形的边之间看不出存在什么公同的性质．2、角的关系猜想：圆内接四边形的对角互补．(三)证明猜想教师引导学生证明．(参看思路)思路1：在矩形中，外接圆心即为它的对角线的中点，∠A与∠B均为平角∠BOD的一半，在一般的圆内接四边形中，只要把圆心O与一组对顶点B、D分别相连，能得到什么结果呢？思路2：在正方形中，外接圆心即为它的对角线的交点．把圆心与各顶点相连，与各边所成的角均方45°的角．在一般的圆内接四边形中，把圆心与各顶点相连，能得到什么结果呢？(四)性质及应用定理1圆的内接四边形的对角互补.定理2圆内接四边形的一个外角等于它的内角的对角．经过上面的讨论，我们得到了圆内接四边形的两条性质.一个自然的想法是，它们的逆命题成立吗？如果成立，就可以得到四边形存在外接圆的判定定理.假设：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°.求证：A、B、C、D在同一圆周上(简称四点共圆).分析：在不同一直线上的三点确定一个圆.经过A、B、C三点作圆O.如果能够由条件得到圆O过点D，那么就证明了命题.显然，圆O与点D有且只有三种关系：(1)点D在圆外；(2)点D在圆内；(3)点D在圆上.只要证明在假设条件下只有(3)成立，也就证明了命题.老师引导学生完成证明.可得：圆内接四边形判定定理如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.在圆内接四边形判定定理的证明中，我们用分类思想对点D与A、B、C三点确定的圆的位置关系进行探讨，在每一种情形中都运用了反证法.当问题存在多种情形时，通过对每一种情形分别论证，最后获证结论的方法，称为穷举法.推论如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.请同学们自己写出推论的证明.(五)例题解析例1如图2-9(课本第29页)，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过A的直线与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D．过B的直线与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F．求证：CE∥DF．例2如图2-10(课本第29页)，CF是△ABC的AB边上的高，FP⊥BC，FQ⊥AC.求证：A、B、P、Q四点共圆.(六)课堂小结回顾总结本课学习了哪些知识？。

二圆内接四边形的性质与判定定理图2－2－11．圆内接四边形的性质定理(1)定理1：圆的内接四边形的对角互补．如图2－2－1：四边形ABCD内接于⊙O，则有：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.图2－2－2(2)定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．如图2－2－2：∠CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有：∠CBE＝∠D.2．圆内接四边形的判定定理及其推论(1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(2)推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．1．“内接于圆的平行四边形、菱形、梯形分别是矩形、正方形、等腰梯形”这种说法正确吗？【提示】正确．根据圆内接四边形的对角互补可证．2．圆内接四边形的性质定理和它的判定定理及推论有何关系？【提示】 性质定理1和判定定理互为逆定理，性质定理2和判定定理的推论互为逆定理．图2－2－3如图2－2－3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，在AB 上截取PA ＝AC ，以PC 为直径的圆分别交AB 、BC 、AC 于D 、E 、F.求证：PA PB ＝DADP.【思路探究】 先利用PC 是圆的直径，得到PF ∥BC ，再利用圆内接四边形的性质，得到DF ∥PC ，最后利用平行线分线段成比例证明结论．【自主解答】 连接DF 、PF. ∵PC 是直径， ∴PF ⊥AC. ∵BC ⊥AC ， ∴PF ∥BC ，∴PA PB ＝FA FC. ∵四边形PCFD 内接于⊙O ， ∴∠ADF ＝∠ACP ， ∵AP ＝AC ， ∴∠APC ＝∠ACP.∴∠ADF ＝∠APC.∴DF ∥PC ， ∴DA DP ＝FA FC ，∴PA PB ＝DA DP .1．在本题的证明过程中，都是利用角相等证明了两直线平行，然后利用直线平行，得到比例式相等． 2．圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内对角，可用来作为三角形相似或两直线平行的条件，从而证明一些比例式成立或证明某些等量关系．如图2－2－4所示，已知四边形ABCD内接于⊙O，延长AB和DC相交于点E，EG平分∠AED，且与BC、AD 分别交于F、G.图2－2－4求证：∠CFG＝∠DGF.【证明】∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EBF＝∠ADE.又EF是∠AED的平分线，则∠BEF＝∠DEG，∴△EBF∽△EDG.∴∠EFB＝∠DGF.又∵∠EFB＝∠CFG，∴∠CFG＝∠DGF.图2－2－5如图2－2－5所示，在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于G，求证：(1)D、E、F、G四点共圆；(2)G、B、C、F四点共圆．【思路探究】(1)要证D、E、F、G四点共圆，只需找到过这四点的外接圆的圆心，证明圆心到四点的距离相等，可取GF的中点H，证点H即为圆心．(2)要证G、B、C、F四点共圆，只需证∠B＝∠AFG(或∠C＝∠AGF)，由D、E为中点，可知DE∥BC，∠B＝∠ADE，故只需证∠ADE＝∠AFG，由D、E、F、G四点共圆可得．【自主解答】(1)如图，连接GF，取GF的中点H.∵DF⊥AB，EG⊥AC，∴△DGF，△EGF都是直角三角形．又∵点H是GF的中点，∴点H到D、E、F、G的距离相等，∴点H是过D、E、F、G的外接圆的圆心，∴D、E、F、G四点共圆．(2)连接DE.由(1)知D、G、F、E四点共圆．由四点共圆的性质定理的推论，得∠ADE＝∠AFG.∵AD＝DB，AE＝EC，∴D是AB的中点，E是AC的中点，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∴∠AFG＝∠B，∴G、B、C、F四点共圆．1．解答本题(1)是利用到定点的距离等于定长的点在同一圆上来证明的，本题(2)利用了圆内接四边形判定定理的推论来证明的．2．判定四点共圆的方法：(1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆；(2)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；(4)与线段两端点连线夹角相等(或互补)的点连同该线段两端点在内共圆．图2－2－6如图2－2－6，在△ABC中，E，D，F分别为AB，BC，AC的中点，且AP⊥BC于P，求证：E，D，P，F四点共圆．【证明】∵AP⊥BC，F为AC的中点，∴PF是Rt△APC斜边上的中线，∴PF＝FC，∴∠FPC＝∠C，∵E、F、D分别为AB、AC、BC的中点，∴EF∥CD，ED∥FC，∴四边形EDCF为平行四边形，∴∠FED＝∠C，∴∠FPC＝∠FED，∴E、D、P、F四点共圆.如图2－2－7，已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点(不与点A，C重合)，延长BD至E.图2－2－7(1)求证：AD的延长线DF平分∠CDE；(2)若∠BAC＝30°，△ABC中BC边上的高为2＋3，求△ABC外接圆的面积．【思路探究】(1)利用同弧所对的圆周角相等及圆内接四边形的性质定理求解．(2)外接圆的圆心在BC边的高上，设出外接圆的半径为r，用r表示BC边上的高．【自主解答】(1)证明：如图，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠CDF＝∠ABC.又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠CDF，又由对顶角相等得∠EDF＝∠ADB，故∠EDF＝∠CDF，即AD的延长线DF平分∠CDE.(2)设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC.连接OC，由题意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB ＝75°.∴∠OCH＝60°.设圆半径为r，则r＋32r＝2＋3，得r＝2，外接圆的面积为4π.1．解答本题(2)时关键是找出外接圆的圆心位置，然后用外接圆的半径表示出BC边上的高．2．此类问题综合性较强，考查知识点较为丰富，往往涉及圆内接四边形的判定与性质的证明和应用，最终得到某些结论的成立．如图2－2－8所示，AB、CD都是圆的弦，且AB∥CD，F为圆上一点，延长FD、AB使它们交于点E.求证：AE·AC＝AF·DE.图2－2－8【证明】如图，连接BD，∵AB ∥CD ，∴BD ＝AC. ∵A 、B 、D 、F 四点共圆， ∴∠EBD ＝∠F. 又∵∠DEB ＝∠FEA ， ∴△EBD ∽△EFA. ∴DE AE ＝BD AF .∴DE AE ＝AC AF ， 即AE·AC＝AF·DE.(教材第30页习题2.2第3题)如图2－2－9，已知四边形ABCD 内接于圆，延长AB 和DC 相交于E ，EG 平分∠E ，且与BC 、AD 分别相交于F 、G ，求证：∠CFG ＝∠DGF.图2－2－9(2018·广州调研)四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，AB ＝40°，则∠D ＝__________.【【解析】 如图连接AC.∵AB ＝40°.BC 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝20°，∠BAC ＝90° ∴∠B ＝180°－∠BAC －∠ACB ＝70° ∴∠D ＝180°－∠B ＝110°.【答案】 110°1．四边形ABCD 内接于圆O ，延长AB 到E ，∠ADC ＝32°，则∠CBE 等于( ) A ．32° B ．58° C ．122° D．148°【解析】 根据圆内接四边形的外角等于它的内角的对角知，∠CBE ＝32°.【答案】 A2．下列说法正确的有( )①圆的内接四边形的任何一个外角等于它的内角的对角；②圆内接四边形的对角相等；③圆内接四边形不能是梯形；④在圆的内部的四边形叫圆内接四边形．A．0个 B．1个C．2个 D．3个【解析】①是圆内接四边形的性质定理2，正确．由于圆内接四边形的对角互补，不一定相等，②不正确．圆内接四边形可以是梯形，③不正确；顶点在同一个圆上的四边形叫圆内接四边形．④不正确．【答案】 B3．如图2－2－10，两圆相交于A，B，过A的直线交两圆于点C，D，过B的直线交两圆于点E，F，连CE，DF，若∠C＝115°，则∠D＝________.图2－2－10【解析】如图，连接AB，∵∠C＝115°，∴∠ABE＝65°，∴∠D＝∠ABE＝65°.【答案】65°4．四边形ABCD内接于圆O，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶7，则∠D＝________.【解析】∵圆内接四边形的对角互补，∴∠A＋∠C＝180°.又∵∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶7，∴∠A＝40°，∠B＝60°，∠C＝140°.又∠B＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－60°＝120°.【答案】120°一、选择题1．如图2－2－11，ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于( )图2－2－11A．120°B．136°C．144°D．150°【解析】设∠BCD＝3x，∠ECD＝2x，∴5x＝180°，∴x＝36°，即∠BCD＝108°，∠ECD＝72°.∴∠BAD＝72°，∴∠BOD＝2∠BAD＝144°.【答案】 C2．如图2－2－12，在⊙O中，弦AB的长等于半径，∠DAE＝80°，则∠ACD的度数为( )图2－2－12A．30° B．45°C．50° D．60°【解析】连接OA，OB，∵∠BCD＝∠DAE＝80°，∠AOB＝60°，∴∠BCA＝12∠AOB＝30°，∴∠ACD＝∠BCD－∠BCA＝80°－30°＝50°.【答案】 C图2－2－133．如图2－2－13所示，圆内接四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线相交于点P，对角线AC和BD相交于点Q，则图中共有相似三角形的对数为( )A．4 B．3C．2 D．1【解析】利用圆周角和圆内接四边形的性质定理，可得△PCD∽△PAB，△QCD∽△QBA，△AQD∽△BQC，△PAC∽△PBD.因此共4对．【答案】 A图2－2－144．如图2－2－14，AB 是⊙O 的弦，过A 、O 两点的圆交BA 的延长线于C ，交⊙O 于D ，若CD ＝5 cm ，则CB 等于( )A ．25 cmB ．15 cmC ．5 cm D.52cm【解析】 连接OA ，OB ，OD ， ∵OA ＝OB ＝OD ，∴∠OAB ＝∠OBA ，∠ODB ＝∠OBD. ∵C ，D ，O ，A 四点共圆， ∴∠OAB ＝∠CDO ，∠CDO ＝∠OBA ， ∴∠CDO ＋∠ODB ＝∠OBA ＋∠OBD ， 即∠CDB ＝∠CBD ，∴CD ＝CB ， ∵CD ＝5 cm ，∴CB ＝5 cm. 【答案】 C 二、填空题图2－2－155．如图2－2－15，以AB ＝4为直径的圆与△ABC 的两边分别交于E ，F 两点，∠ACB ＝60°，则EF ＝________. 【解析】 如图，连接AE. ∵AB 为圆的直径， ∴∠AEB ＝∠AEC ＝90°. ∵∠ACB ＝60°，∴∠CAE ＝30°，∴CE ＝12AC.∵∠C ＝∠C ，∠CFE ＝∠B ， ∴△CFE ∽△CBA. ∴EF AB ＝CE AC， ∵AB ＝4，CE ＝12AC ，∴EF ＝2.【答案】 2图2－2－166．如图2－2－16，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ，若PB PA ＝12，PC PD ＝13，则BCAD 的值为________．【解析】 由于∠PBC ＝∠PDA ，∠P ＝∠P ， 则△PAD ∽△PCB ，∴PC PA ＝PB PD ＝BCAD .又PB PA ＝12，PC PD ＝13，∴PB PA ×PC PD ＝12×13. ∴PC PA ×PB PD ＝16，∴BC AD ×BC AD ＝16. ∴BC AD ＝66. 【答案】66三、解答题7．如图2－2－17，四边形ABCD 内接于⊙O ，过点A 作AE ∥BD 交CB 的延长线于点E.图2－2－17求证：AB·AD＝BE·CD. 【证明】 如图，连接AC. ∵AE ∥BD ，∴∠1＝∠2. ∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3.∵∠4是圆内接四边形ABCD 的一个外角，∴∠4＝∠ADC.∴△ABE ∽△CDA ，∴AB CD ＝BE AD， ∴AB·AD＝BE·CD.8．如图2－2－18，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．图2－2－18【解】 (1)证明：连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD×AB＝mn ＝AE·AC，即AD AC ＝AE AB. 又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB.因此∠ADE ＝∠ACB.所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12.故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH.因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH.由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC. 从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12×(12－2)＝5. 故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.9．如图2－2－19，已知P 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点，通过P 作正方形的边的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H.你能判断出E 、F 、G 、H 是否在同一个圆上吗？试说明你的猜想．图2－2－19【解】 猜想：E 、F 、G 、H 四个点在以O 为圆心的圆上．证明如下：如图，连接OE 、OF 、OG 、OH.在△OBE 、△OBF 、△OCG 、△OAH 中，OB ＝OC ＝OA.∵PEBF 为正方形，∴BE ＝BF ＝CG ＝AH ，∠OBE ＝∠OBF ＝∠OCG ＝∠OAH ＝45°.∴△OBE ≌△OBF ≌△OCG ≌△OAH.∴OE ＝OF ＝OG ＝OH.由圆的定义可知：E 、F 、G 、H 在以O 为圆心的圆上．10.如图，锐角△ABC 的内心为I ，过点A 作直线BI 的垂线，垂足为H ，点E 为内切圆I 与边CA 的切点．(1)求证：四点A ，I ，H ，E 共圆；(2)若∠C ＝50°，求∠IEH 的度数．【解】 (1)证明：由圆I 与边AC 相切于点E ，得IE ⊥AE ，结合IH ⊥AH ，得∠AEI ＝∠AHI ＝90°.所以，四点A ，I ，H ，E 共圆．(2)由(1)知四点A ，I ，H ，E 共圆，得，∠IEH ＝∠HAI ；在△HIA 中，∠HIA ＝∠ABI ＋∠BAI ＝12∠B ＋12∠A ＝12(∠B ＋∠A) ＝12(180°－∠C)＝90°－12∠C. 结合IH ⊥AH ，得∠HAI ＝90°－∠HIA ＝12∠C ； 所以∠IEH ＝12∠C. 由∠C ＝50°得∠IEH ＝25°.。

圆内接四边形的性质1、（1）圆内接四边形的对角互补如图：四边形ABCD内接于⊙O，则有：∠A+∠B=1800，∠C+∠B=1800。

（2）圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。

如图：∠CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有：∠CBE=∠D2、圆内接四边形的判定（1）判定定理：如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

（2）推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。

例1 如图所示，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于E，EG平分∠BEC，且与BC、AD分别相交于FG。

求证：∠CFG=∠DGF.1、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

2、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

3、相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）4、弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半，相当它所夹的弧的圆周角度数。

例1：如图，四边形ABC D内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CM切于点C，∠BCM=600，则∠B的正切值是（）A. 12B. √33C. √32D.√3例2：如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=640，那么∠BOD=（）A.128°B.100°C.64°D.32°例3：如图所示，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连接BD、DC。

（1）求证：BD=DE=DC=DI（2）若圆O的半径为10c m，∠BAC =120°，求△B D C的面积.O P E D C B A A B C D E O 第1题1、（2011年浙江杭州二模）如图，在半圆O 中，直径AE=10，四边形ABCD 是平行四边形，且顶点A 、B 、C 在半圆上，点D 在直径AE 上，连接CE ，若AD=8，则CE 长为 ．2、（2011武汉调考模拟)如图，AB 为半圆O 的直径，OC ⊥ AB 交⊙O 于C,P 为BC 延长线上一动点，D 为AP 中点，DE ⊥PA ，交半径OC 于E ，连CD ．下列结论：①PE ⊥AE ；②DC=DE ；③∠OEA=∠A PB ：④PC+2CE 为定值．其中正确结论的个数为( )A.l 个B.2个C.3个 D .4个3、如图，⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，点P 在⊙O 上，则∠A PB 等于( )A.300B.450C.550D.6004、如图所示，ABCD 是圆上的点，∠1=700，∠A=400，则∠C= 度。

人教版高中选修4-1二圆内接四边形的性质与判定定理课程设计1. 课程背景二圆内接四边形是高中数学中的一个重要概念，它具有特殊的性质和判定定理。

本课程旨在通过探究二圆内接四边形的性质和判定定理，加深学生对几何学中基本概念和定理的理解和认识，提高学生的数学素养和解决问题的能力。

2. 教学目标本课程的教学目标是：1.了解二圆内接四边形的定义和性质，掌握其特殊性质。

2.掌握二圆内接四边形的判定定理，能够准确应用于实际问题中。

3.培养学生的空间想象和数学推理能力，加强其解决几何问题的能力。

3. 教学内容本课程的教学内容主要包括以下几个方面：3.1 二圆内接四边形的定义和性质3.1.1 定义二圆内接四边形是指一个四边形恰好可以内切于两个不相交的圆上，并且这两个圆恰好内含于这个四边形的两对对边之间。

3.1.2 性质1.二圆内接四边形的对角线互相垂直。

2.二圆内接四边形的对角线相等。

3.二圆内接四边形的任意两对对边之和相等。

4.二圆内接四边形的对边互相平行。

3.2 二圆内接四边形的判定定理3.2.1 判定定理 1给定一个四边形，若其对角线互相垂直，则该四边形是二圆内接四边形。

3.2.2 判定定理 2给定一个四边形，若其对角线相等，则该四边形是二圆内接四边形。

3.3 二圆内接四边形的应用通过数学实例，让学生掌握二圆内接四边形在实际问题中的应用，如：1.圆心角、圆周角、弦长、切线、割线、正多边形等。

2.平面内任意四个不共线的点能组成二圆内接四边形的判定等。

4. 教学方式本课程采用多种教学方式，包括：1.讲授法：通过讲解原理和推导公式，让学生理解和掌握二圆内接四边形的定义、性质和判定定理。

2.演示法：通过实际演示和实验操作，帮助学生了解二圆内接四边形的特殊性质。

3.案例分析法：通过分析实际问题的解决过程，加深学生对二圆内接四边形的理解，提高其解决几何问题的能力。

4.互动式教学：通过小组合作和讨论，促进学生之间的交流和合作，加深对课程内容的理解。

圆内接四边形的性质与判定定理【教学目标】1．了解圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的性质与判定定理，会运用圆的内接四边形的性质与判定定理证明和计算一些问题。

2．通过圆内接四边形的判定定理掌握反证法证题的思路和一般步骤。

3．在探究圆内接四边形的判定定理的过程中，体会数学证明方法的多样性。

【教学方法】首先复习圆内接三角形的知识，再利用几何图形，类比圆内接三角形探究圆内接四边形的性质；对于圆内接四边形的判定定理，要结合点与圆的位置关系，分类加以研究，所采用的方法称为反证法，理解反证法证题的思路和一般步骤，即先假设结论不成立，再推导出矛盾，从而肯定原结论。

【教学过程】材料：如图2-2-1，在⊙Ｏ中，A、B、C、D都在同一个圆上，图2-2-1问题：①指出图中圆内接四边形的外角有几个？②∠DCH的内对角是哪些角，∠DBG呢？③与∠DEA互补的角是哪个角？④∠ECB+（）=180°。

导入：观察图形发现结论。

一、新课教学：如果一个多边形的所有顶点都在一个圆上，这个多边形就叫做圆内接多边形，这个圆就是多边形的外接圆。

圆内接四边形性质定理圆内接四边形对角互补圆内接四边形判定定理 对角互补的四边形内接于圆如果 n(n ∈N*，n ≥4) 个点在同一个圆上，也称这 n 个点共圆，一个四边形内接于圆也称这个四边形的顶点四点共圆例1.如图，⊙O1与⊙O2交于点M 、N ，直线AB 过M 与⊙O1与⊙O2 分别交于点A 、B ，直线CD 过N 与⊙O1与⊙O2 分别交于点C 、D ，求证：AC//BD例2.如图，D 为△ABC 的边BC 上一点，⊙O1经过点B 、D ，交AB 于另一点E ，⊙O2 经过点C 、D ，交AC 于另一点F ，⊙O1与⊙O2 交于点G ，求证：（1）∠BAC+∠EGF ＝180°例3.如图，以锐角三角形ABC 的三边为边向外作三个等边三角形ABD 、BCE 、CAG ，求证：△ABD 、△BCE 、△CAG 的外接圆⊙O1 、⊙O2、⊙O3交于一点二、课堂练习：1．如图，锐角三角形ABC 中，60A ∠=o ，BC 为圆O 的直径，⊙O 交AB 、AC 于D 、E ，求证：2BC DE =。

二圆内接四边形的性质与判定定理1．圆内接多边形的定义．如果多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边形叫做____________，这个圆叫做多边形的________．2．圆内接四边形的性质定理1：圆内接四边形的对角________．圆内接四边形的性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的________．3．圆内接四边形的判定定理．如果一个四边形的对角________，那么这个四边形的四个顶点共圆．4．判定定理的推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的________，那么这个四边形四个顶点共圆．5．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，求证：A、B、C、D四点共圆．一课堂练习1．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的个数有()①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角与∠C的外角互补；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4.A．1个B．2个C．3个D．4个2．圆内接平行四边形一定是()A．正方形B．菱形C．等腰梯形D．矩形3．下列命题中，真命题的个数为()①任意三角形都有一个外接圆，但可能不止一个；②矩形有唯一的外接圆；③菱形有外接圆；④正多边形有外接圆．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图所示，四边形ABCD为⊙O内接四边形，已知∠BOD＝60°，则∠BAD＝______，∠BCD ＝________.5．在圆内接四边形ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 可以是( )A ．4∶2∶3∶1B ．4∶3∶1∶2C ．4∶1∶3∶2D ．以上都不对6．如图所示，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，过C 作CE ∥AB 交AD 的延长线于E ，那么与∠BCE 互补的角是( )A ．∠BADB ．∠ADC C ．∠CDED ．∠DEC7．如图所示，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，点E 为AB 延长线上一点，∠CBE ＝40°，则∠AOC 等于( )A ．20°B ．40°C ．80°D ．100°8.如图所示，P A 为⊙O 直径，PC 为⊙O 的弦，过AC ︵的中点H 作PC 的垂线交PC 的延长线于点B .若HB ＝6，BC ＝4，则⊙O 的直径为( )A ．10B ．13C ．15D ．209．若圆内接四边形中3个相邻的内角比为5∶6∶4，则这个四边形中最大的内角为________，最小的内角为________．10．如图，⊙O的内接四边形BCED，延长ED、CB交于点A，若BD⊥AE，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝________，CE＝________．11．如下图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若PB＝1，PD＝3，则BCAD的值为________．12．如图所示，在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点F，AE＝EC，EG⊥AC交AB 于点G.(1)求证：点D、E、F、G四点共圆；(2)求证：点G、B、C、F四点共圆．13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．14．如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE 的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C、B、D、E所在圆的半径．小结：1.当题目中出现圆内接四边形时，首先利用圆内接四边形性质定理，再结合其他条件进行推理证明．2.判定四点共圆的方法：(1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆．(2)如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．(4)如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆(因为四个顶点与斜边中点距离相等)．3.圆内接四边形相关定理应用的重点是证明角相等、四点共圆等典型问题．4.判定四边形为圆内接四边形除定理及推论两种方法外，也可以用这几个点到同一点的距离相等来证明．参考答案预习导学1．圆内接多边形外接圆2．互补对角3．互补4．对角5．证明：四边形ABCD为矩形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝DB ， ∴OA ＝OB ＝OC ＝OD .∵点A 、B 、C 、D 到O 点的距离相等，∴A 、B 、C 、D 这四个点在以点O 为圆心，OA 为半径的同一个圆上． 1．B 2.D3．解析：①错误，任意三角形有唯一的外接圆；②正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；③错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；④正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等． 答案：B4．30°150° 5.B 6.C 7.C8．解析：连PH 及CH ，由圆内接四边形的性质定理有∠BCH ＝∠A ， 则△P AH ∽△HCB ，P A CH ＝HABC ，又CH ＝HA ，则P A ＝13.答案：B 9．120° 60°10．解析：由圆内接四边形的性质定理有∠ADB ＝∠C ，∠ABD ＝∠E . 则△ABD ∽△AEC ，则AD AC ＝AB AE ＝BDCE 代入数据即得DE ＝5，CE ＝27.答案：5 27 11.1312．证明：(1)连接GF ，由DF ⊥AB ， EG ⊥AC ，知∠GDF ＝∠GEF ＝90°，∴GF 中点到点D 、E 、F 、G 四点距离相等． ∴点D 、E 、F 、G 四点共圆．(2)连接DE .由AD ＝DB ，AE ＝EC ， 知DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B . 又由(1)中点D 、E 、F 、G 四点共圆， ∴∠ADE ＝∠GFE . ∴∠GFE ＝∠B . ∴∠B ＋∠GFC ＝180°. ∴点G 、B 、C 、F 四点共圆．13．证明：(1)由题设知A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠D ＝∠CBE . 由已知得∠CBE ＝∠E ，故∠D ＝∠E .(2)如图设BC 的中点为N ，连接MN ，则由MB ＝MC 知MN ⊥BC ，故O 在直线MN 上．又AD 不是⊙O 的直径，M 为AD 的中点，故OM ⊥AD ， 即MN ⊥AD .所以AD ∥BC ，故∠A ＝∠CBE .又∠CBE ＝∠E ，故∠A ＝∠E .由(1)知，∠D ＝∠E ，所以△ADE 为等边三角形． 14解析：(1)连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ·AB ＝mn ＝AE ·AC ，即AD AC ＝AEAB.又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB . 因此∠ADE ＝∠ACB .所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12. 故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH . 由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC . 从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12(12－2)＝5.故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.。

圆内接四边形的性质及判定定理教学目标1．理解圆内接多边形与多边形外接圆的概念；2．掌握圆内接四边形的性质与判定定理；3．能用圆内接四边形的性质与判定定理解决有关的论证与计算．教学重点和难点重点是圆内接四边形的性质与判定定理的证明；难点是圆内接四边形的性质与判定定理的灵活运用．教学过程一．复习旧知问题1：什么是圆内接多边形？如果一个多边形的所有顶点都在一个圆上，这个多边形就叫做圆内接多边形，这个圆就是多边形的外接圆问题2：任意三角形都有外接圆，任意正方形都有外接圆吗？任意矩形都有外接圆吗？问题3：任意四边形都有外接圆吗？如果一个四边形有外接圆，那么这样的四边形有什么特征？二．新课讲解观察图2-5，这组图中的四边形都内接于圆.你能从中发现这些四边形的共同特征吗？圆内接四边形的性质定理：定理1：圆的内接四边形的对角互补.定理2：圆的内接四边形的外角等于它的内对角问题4；四边形ABCD中，当∠B+∠D=180°，则A、B、C、D会在同一圆上吗？圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.三、例题讲解.....1212121DF CE F O E O EF B D O C O CD A B A O O ∥求证：交于点，与圆交于点与圆的直线经过点交于点，与圆交于点与圆的直线经过点两点、都经过与圆如图，圆例...2四点共圆、、、求证：，边上的高，的是△如图，例Q P B A AC FQ BC FP AB ABC CF ⊥⊥..21.1.3四点共圆、、、求证：中，已知：如图，四边形共圆那么四边形的四个顶点两个顶点的视角相等，）如果四边形一边上的（例D C B A ABCD ∠=∠ ..221DF CE F E D C B A B A O O ∥求证、与、的直线分别交两圆于的直线与过两点，过、相交于和圆）如图，圆（ .3CD AB BC AD BD AC ABCD ⋅+⋅=⋅中，边形）试证明：在圆内接四（四、课堂练习教材P30第1、2、3题五、课堂小节1.知识总结圆内接四边形的性质定理：定理1：圆的内接四边形的对角互补.定理2：圆的内接四边形的外角等于它的内对角A B QCPF问题4；四边形ABCD中，当∠B+∠D=180°，则A、B、C、D会在同一圆上吗？圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.2.方法总结正难则反的思想六、课后作业：《学案》。