轴对称讲义(全)

课题轴对称与轴对称图形学习目标与考点分析1．通过学习轴对称与轴对称图形的区别和联系，进一步发展学生抽象概括能力。

2．通过轴对称与轴对称图形的学习，让学生关注生活，学会观察、增强交流。

3．经历观察生活中的轴对称现象和轴对称图形，探索它们的共同特征的活动过程，发展空间观念。

学习重点1、由具体情境抽象出轴对称与轴对称图形的概念．2、比较观察轴对称与轴对称图形之间的区别与联系。

学习方法引导、分析、探究学习内容与过程情境引入：1．剪纸活动出示剪的飞鸟图案你能说出老师是如何剪出这幅图案？教师示范：将纸对折，沿所画的线条剪出飞鸟。

同学也试一试，看谁剪出的图案最美。

指导学生观察这些图案有何共同点。

对折后两部分完全重合，也就是说这两部分是对称的。

自古以来，对称图形被认为是平衡和谐之美，我们时时刻刻生活在一个充满对称的世界之中，从动物到植物，从小巧精致的艺品到雄伟壮丽的建筑，大多都是对称的，下面让我们共同感受一下对称的美。

2．图片展示建筑脸谱第三讲轴对称剪纸国旗摩洛哥约旦英国肯尼亚点评：通过剪纸、欣赏生活中的对称美，培养学生的操作能力，强化学生的交流意识，激发学生探求新知的欲望。

3．探究1（轴对称图形）对折就有——折痕折痕可以看成——直线把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形是轴对称图形。

4．探究2（对称轴的条数）下列图形是否是轴对称图形，找出轴对称图形的所有对称轴。

思考：正三角形有条对称轴正四边形有条对称轴正五边形有条对称轴正六边形有条对称轴正n边形有条对称轴当n越来越大时，正多边形接近于什么图形？它有多少条对称轴？小结：一个轴对称图形的对称轴的条数不一定是一条。

圆无数条对称轴5．练一练（1）生活中有许多轴对称图形，你能举例吗？引导：数字，英文，汉字（2）推理游戏下面一个应该是什么形状？6．探究3（轴对称）（1）动手操作你能用两块大小、形状完全一样的直角三角形拼成轴对称图形吗（2）多媒体演示：将中的两个三角形均速向两边移动变成提问：这两个三角形有什么关系？多媒体演示两个三角形对折重叠的过程。

轴对称作图及应⽤（讲义）（含答案）轴对称作图及应⽤（讲义）课前预习1. 作⼀条线段等于已知线段．已知：如图，线段a ．求作：线段AB ，使AB =a ．作法：（1）作射线AP ；（2）以_________为圆⼼，_______为半径作弧，交射线AP 于点B ．___________即为所求．2. 作⼀个⾓等于已知⾓．已知：如图，∠AOB ．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB ．OAB作法：（1）作射线O′A′；（2）以________为圆⼼，_______为半径作弧，交OA于点C ，交OB 于点D ；（3）以____为圆⼼，____为半径作弧，交O′A′于点C ′；（4）____________，__________作弧，交前弧于点D ′；（5）过点D ′作射线O′B′．∠A′O′B′_____________．证明：如图，连接________，________．在___________和___________中，______________________________________________________??（已作）（已作）（已作）∴____________________（）∴____________________a知识点睛1.五种基本作图：①作⼀条线段等于已知线段；②作⼀个⾓等于已知⾓；③作已知⾓的⾓平分线；④作已知线段的垂直平分线；⑤过平⾯内⼀点，作已知直线的垂线．精讲精练1.作已知线段的垂直平分线．已知：线段MN．求作：直线AB，使AB垂直平分MN．N作法：（1）分别以_______，______为圆⼼，___________为半径作弧，两弧相交于点A和点B；（2）_______________________________________．_______________________________________．2.（1）过直线上⼀点，作已知直线的垂线．已知：A为直线MN上⼀点．求作：直线AB，使AB⊥MN．A作法：①________________________________________________________________________________________________；②________________________________________________________________________________________________；③________________________________________________．_________________________________________________．（2）过直线外⼀点，作已知直线的垂线．已知：A为直线MN外⼀点．求作：直线AB，使AB⊥MN．AM N作法：①________________________________________________；②________________________________________________________________________________________________；③________________________________________________________________________________________________；④________________________________________________．_________________________________________________．3.作已知⾓的⾓平分线．已知：如图，∠AOB．求作：射线OP，使∠AOP=∠BOP（即OP平分∠AOB）．AOB作法：（1）________________，__________________作弧，交OA于点M，交OB于点N；（2）分别以______，______为圆⼼，______________为半径作弧，两弧在________________交于点P；（3）_________________________．______________________________．4.作已知⾓的四等分线．已知：如图，∠AOB．求作：射线OP，OQ，OM，使∠AOP=∠POQ=∠QOM=∠MOB（即OP，OQ，OM四等分∠AOB）．AOB5.在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（）A．图2 B．图1与图2C．图1与图3 D．图2与图3A BCD图1AB CD图2图3DCBA6.电信部门要修建⼀座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条⾼速公路m，n的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？（不写作法，保留作图痕迹）7. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，分别以A ，C 为圆⼼，⼤于12AC 长为半径作弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，分别交AC ，BC 于点D ，E ，连接AE ，则：（1）∠ADE =_________．（2）AE _______EC ；（填“=”“＞”或“＜”）（3）当AB =3，BC =4时，△ABE 的周长为______．MNED CBAA BCD NM第7题图第8题图8. 如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点B ，C 为圆⼼，以⼤于12BC 长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ．若CD =AC ，∠B =25°，则∠ACB 的度数为___________．9. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠CAB =50°．按以下步骤作图：①以点A 为圆⼼，⼩于AC 的长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点E ，F ；②分别以点E ，F 为圆⼼，⼤于12EF 的长为半径画弧，两弧相交于点G ；③作射线AG 交BC 边于点D ．则∠ADC 的度数为_________．GC B A10. 如图，已知点D ，E 分别在∠CAB 的边AB ，AC 上，观察图中作图痕迹，若PD =6，则PE 的最⼩值是（） A ．2B ．3C ．6D ．12EDC BAP11. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =BC ，AB =CD ，已知CD =8，BC =10，按以下步骤作图：①以点C 为圆⼼，适当长度为半径作弧，分别交BC ，CD 于M ，N 两点；②分别以点M ，N 为圆⼼，以⼤于12MN 的长为半径画弧，两弧在四边形ABCD 的内部交于点P ；③连接CP 并延长交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F ，则AE 的长为（） A ．2B ．3C ．4D ．5PF EDC BAMN12. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，已知∠B =60°，AB =4．以点A 为圆⼼，任意长为半径画弧分别交边AB ，AD 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆⼼，以⼤于12MN 的长为半径画弧，两弧相交于四边形ABCD 内⼀点P ，连接AP 并延长交BC 边于点E ，连接DE ．当BE =2EC 时，BC 的长为_________．P13.如图，在△ABC中，以点A为圆⼼，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E，C为圆⼼，⼤于12EC的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B=45°，∠C=2∠CAD，则∠BAC的度数为（）A．80°B．75°C．65°D．30°E DCBAPCB Al1l21第13题图第14题图14.如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆⼼，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，连接AC，BC．若∠ABC=70°，则∠1的⼤⼩为（）A．20°B．35°C．40°D．70°15.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上（AB与l不垂直），请在直线l上另找⼀点C，使△ABC是等腰三⾓形．这样的点能找⼏个？请你找出所有符合条件的点．16.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹⾓为60°，请在直线l上另找⼀点C，使△ABC是等腰三⾓形．这样的点能找⼏个？请你找出所有符合条件的点．【参考答案】 ? 课前预习1. 点Aa 长线段AB 图略2. 作法：（1）作射线O′A′；（2）以点O 为圆⼼，任意长为半径作弧，交OA于点C ，交OB 于点D ；（3）以点O′为圆⼼，OC 长为半径作弧，交O′A′于点C ′；（4）以点C ′为圆⼼，CD 长为半径作弧，交前弧于点D ′；（5）过点D ′作射线O′B′．∠A′O′B′即为所求．证明：如图，连接CD ，C ′D ′．在COD △和C O D '''△中OC O COD O D CD C D ''=??''=??''=?（已作）（已作）（已作）SSS COD C O D '''∴△≌△（） ?∴∠A′O′B′=∠AOB精讲精练 1. 图略（1）点M ，点N ，⼤于12MN 长（2）作直线AB 直线AB 即为所求 2. （1）图略①以点A 为圆⼼，任意长为半径作弧，交直线MN 于C ，D 两点；②分别以点C ，点D 为圆⼼，⼤于12CD 长为半径作弧，两弧交MN 上⽅于⼀点B ；③作直线AB ．直线AB 即为所求．（2）图略①在MN 下⽅任取⼀点P ；②以点A 为圆⼼，AP 长为半径作弧，交MN 于C ，D 两点；③分别以点C ，点D为圆⼼，以⼤于12CD长为半径作弧，两弧交MN下⽅于⼀点B；④作直线AB．直线AB即为所求．3.（1）以点O为圆⼼；任意长为半径；（2）点M；点N；⼤于12MN长；AOB内部；（3）作射线OP；射线OP即为所求．4.略5. C6.略7.（1）90°；（2）=；（3）78.105°9.65°10.C11.A12.613.B14.C15.略16.略。

轴对称最值问题（讲义）➢课前预习1.如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到奶站的距离之和最小？街道居民区B 居民区A➢知识点睛1.轴对称最值问题基本结构分析（1）求和最小：①特征：有定点，有动点，动点在____________上运动，求线段和（周长）最小．②解决方法：以动点所在的直线为对称轴，作定点的对称点，________________，利用两点之间线段最短进行处理．例题：在直线l上找一点P，使得在直线同侧的点A，B到点P的距离之和AP+BP 最小．BAl（2）求差最大：①特征：有定点，有动点，动点在____________上运动，求线段差最大．②解决方法：以动点所在的直线为对称轴，作定点的对称点，__________________，利用三角形两边之差小于第三边进行处理．例题：在直线l上找一点P，使得在直线两侧的点A，B到点P的距离之差AP BP最大．ABl2. 解决几何最值问题的理论依据：①___________________________________（已知两个定点）②___________________________________（已知一个定点、一条定直线） ③___________________________________（已知两边长固定或其和、差固定）➢ 精讲精练1. 某平原上有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水，某同学用直线l （虚线）表示小河，P ，Q 两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（ ）A ．MlB ．MQ PlC ．lD．l2. 已知：如图，点P ，Q 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的两个定点，在BC 上求作一点R ，使△PQR 的周长最小．PEDC B A第2题图 第3题图3. 如图所示，正方形ABCD 的边长是5，在正方形内作等边△ABE ，P 为对角线AC 上的一动点，则PD +PE 的最小值为__________． 4. 如图，等边三角形ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边的中点．当EF +CF 取得最小值时，∠ECF 的度数为____________．FEDC B AM FED C B A第4题图 第5题图5. 如图，等腰三角形ABC 的底边BC 的长为4 cm ，面积是12 cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于点F ，若D 为BC 边的中点，M 为线段EF 上一动点，则△BDM 的最小周长为_________．6. 如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，P 是CD 边上的一动点，要使PA +PB 的值最小，则点P 应满足的条件是（ ） A ．PB =PA B ．PC =PD C ．∠APB =90°D ．∠BPC =∠APD7. 如图，已知点P 为∠O 内一定点，分别在∠O 的两边上找点A ，B ，使△PAB 周长最小的是（ ）DC BAA．PO BAB．PO BAC．PO BAD．P2P1PO BA8.已知：如图，∠ABC=30°，P为∠ABC内部一点，BP=4，如果点M，N分别为边AB，BC上的两个动点，请画图说明当M，N在什么位置时使得△PMN的周长最小，并求出△PMN周长的最小值．9.如图，M为∠AOB内一定点，E，F分别是射线OA，OB上一点，当△MEF周长最小时，若∠OME=40°，则∠AOB的度数为__________．BO10.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD=110°，在BC，CD上分别找一点M，N．当△AMN周长最小时，∠MAN的度数为__________．A BCD MNDCBA11. 已知：如图，点P ，Q 为∠AOB 内部两点，点M ，N 分别为OA ，OB 上的两个动点，作四边形PMNQ ，请作图说明当点M ，N 在何处时，四边形PMNQ 的周长最小．12. 如图，在锐角三角形ABC 中，AB =4，△ABC 的面积为8，BD 平分∠ABC ，若M ，N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8MNDCBABCD AMN第12题图 第13题图13. 如图，正方形ABCD 的边AB =8．在线段AC ，AB 上各有一动点M ，N ，则BM +MN 的最小值是__________．14. 如图，两点A ，B 在直线MN 的同侧，已知AB =5，点P 在直线MN 上运动，则|PA -PB |的最大值为_________．15.上的动点，则|PA -PB |的最大值为________．FE PCBA16. 如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有两个格点A ，B 和直线l ．（1）求作点A 关于直线l 的对称点A 1；（2）P 为直线l 上一点，连接BP ，AP ，求△ABP 周长的最小值．【参考答案】➢课前预习1.图略➢知识点睛1.（1）①定直线；②折转直图略（2）①定直线；②折转直图略2.①两点之间，线段最短；②垂线段最短③三角形两边之差小于第三边➢精讲精练1. C2.图略3. 54.30°5.8 cm6. D7. D8.作图略，△PMN周长的最小值为4．9.50°10.40°11.如图所示：点M，N即为所求．12.B13.814.515.316.（1）图略；（2）△ABP周长最小为10。

轴对称知识点一、轴对称图形轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.要点诠释：轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.知识点二、轴对称1.轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点要点诠释：轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.2.轴对称图形与轴对称的区别：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形.知识点三、轴对称与轴对称图形的性质轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．知识点四、线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．性质：性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．要点诠释：三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.类型一、轴对称变换1.如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆三个顶点坐标分别为(1,6)A -，(5,3)B -，(3,1)C -．（1）ABC ∆关于y 轴对称的图形△111A B C （其中1A ，1B ，1C 分别是A ，B ，C 的对称点），请写出点1A ，1B ，1C 的坐标；（2）若直线l 过点(1,0)，且直线//l y 轴，请在图中画出ABC ∆关于直线l 对称的图形△222A B C （其中2A ，2B ，2C 分别是A ，B ，C 的对称点，不写画法），并写出点2A ，2B ，2C 的坐标．类型二、线段垂直平分线知识点① 线段垂直平分线的性质2. 如图，已知ABC ∆，AB 、AC 的垂直平分线的交点D 恰好落在BC 边上．（1）判断ABC ∆的形状；（2）若点A 在线段DC 的垂直平分线上，求AC BC的值．知识点② 线段垂直平分线的判定3. 如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，BE CD =，且BD 与CE 相交于点O ，求证：点O 在线段BC 的垂直平分线上．类型三、利用轴对称的性质求图形的面积4. 在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点A 关于BC 边的对称点为A '，点B 关于AC 边的对称点为B '，点C 关于AB 边的对称点为C '，若1ABC S ∆=，求A B C S '''．类型四、“将军饮马”问题5. 如图，点P、Q为MON内两点，分别在OM与ON上找点A、B，使四边形PABQ的周长最小．类型五、角平分线与线段垂直平分线的综合6. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB于点F，交BC的延长线于E（1）在图①中，连接DF，证明DF//AC（2）在图①中，连接AE，证明∠EAC=∠B（3）如图②，若线段CD上存在一点M，使∠MPD=∠ACD，AM与EF交于点P，连接DP 并延长与AC交于点N，求证：AN=DM.①②【复习巩固】一．选择题（共7小题）1．如图，ABC ∆中，D 点在BC 上，将D 点分别以AB 、AC 为对称轴，画出对称点E 、F ，并连接AE 、AF ．根据图中标示的角度，求EAF ∠的度数为何？( )A ．113︒B ．124︒C ．129︒D ．134︒2．如图所示，在四边纸片ABCD 中，//AD BC ，//AB CD ，将纸片沿EF 折叠，点A ，D 分别落在A '，D '处，且A D ''经过点B ，FD '交BC 于点G ，连接EG ，若EG 平分FEB ∠，//EG A D ''，80D FC '∠=︒，则A ∠的度数是( )A ．65︒B ．70︒C ．75︒D ．80︒3．如图，直线MN 是四边形AMBN 的对称轴，点P 是直线MN 上的点，下列判断错误的是( )A ．AM BM =B ．AP BN =C ．M AP M BP ∠=∠D ．ANM BNM ∠=∠4．如图，在ABC ∆中，AB 边的中垂线DE ，分别与AB 边和AC 边交于点D 和点E ，BC 边的中垂线FG ，分别与BC 边和AC 边交于点F 和点G ，又BEG ∆周长为16，且1GE =，则AC 的长为( )A ．13B ．14C ．15D ．165．如图，50∠的平分线BE交AD于点E，连接∠=︒，AD垂直平分线段BC于点D，ABCABC∠的度数是()EC，则AECA．115︒B．75︒C．105︒D．50︒6．如图，四边形ABCD中，AB AD=，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若110∠=︒，BAD则ACB∠的度数为()A．40︒B．35︒C．60︒D．70︒7．如图，P是AOB∠两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰∠外的一点，M，N分别是AOB好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R恰好落在MN的延长线上．若 2.5PN=，PM=，3 MR=，则线段QN的长为()7A．1 B．1.5 C．2 D．2.5二．解答题（共3小题）8如图，点A、B在直线l同侧，请你在直线l上画出一点P，使得PA PB+的值最小，画出图形并证明．9．如图，OBC ∆中，BC 的垂直平分线DP 交BOC ∠的平分线于D ，垂足为P ．（1）若60BOC ∠=︒，求BDC ∠的度数；（2）若BOC α∠=，则BDC ∠= （直接写出结果）．10．如图，ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BC 的中垂线交BC 于点E ，交BD 于点F ，连接CF ．（1）若60A ∠=︒，24ABD ∠=︒，求ACF ∠的度数；（2）若5BC =，:5:3BF FD =，10BCF S ∆=，求点D 到AB 的距离．。

一、知识梳理1、轴对称与轴对称图形（1）如果一个图形沿着一条直线对折,直线两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形．这条直线叫做对称轴．（2）关于某条直线对称的两个图形是全等图形．（3）关于一条直线成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分．2、轴对称的性质及应用（1）性质：对称轴是对称点连线段的垂直平分线.对应线段相等，对应角相等. 对称轴即是垂直平分线.线段垂直平分线(即对称轴)上的点到线段两端点的距离相等.（2）应用：找对称轴;创造轴对称图案.可应用线段垂直平分线的性质证明：线段相等和垂直；作图找点.3、线段、角的轴对称性（1）线段的垂直平分线：线段是轴对称图形，•它的一条对称轴垂直于这条线段并且平分它，这样的直线叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）．线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.它有两条对称轴，分别为:线段的中垂线,线段本身所在的直线.M PA BN （2）角是轴对称图形，角平分线所在直线是它的对称轴.角平分线上的点到角的两边距离相等；角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.4、等腰三角形的轴对称性（1）等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴. （2）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”). （3）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.符号语言：点P 在线段AB 的垂直平分线MN上 PA=PBB C （4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(如上图). （5）直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半。

符号语言：（6）三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。

等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴。

等边三角形的每个角都等于60°。

（7）等边三角形的判定依据：三条边都相等的三角形是等边三角形。

初二数学讲义（轴对称）知识梳理1、轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。

这条直线叫做对称轴。

互相重合的点叫做对应点。

2、轴对称：两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。

这条直线叫做对称轴。

互相重合的点叫做对应点。

3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：（1）区别：轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系”；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。

（2）联系：把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。

4、轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。

（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。

（3）对应点到对称轴的距离相等。

（4）对应点的连线互相平行。

5、线段的垂直平分线：（1）定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。

（2）性质：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。

（3）判定：与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

6、等腰三角形：（1）定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。

底角只能是锐角。

（2）性质：①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”，只有一条。

②“等边对等角”：等腰三角形的两个底角相等。

③三线合一：顶角平分线、底边上的中线和地边上的高相互重合。

（3）判定方法：①定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。

②判定（“等角对等边”）：有两个角相等的三角形是等腰三角形。

7、等边三角形：（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。

说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。

（2）性质：①等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线”，有三条。

②三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。

③等边三角形的三个内角都等于60°。

（3）判定方法：①定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。

轴对称新课讲义（一） 知识要点 1、 轴对称及轴对称图形轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

这时我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称。

如下左图，△ABC 是轴对称图形。

轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

如上右图，△ABC 与△A ’B ’C ’关于直线l 对称，l 叫做对称轴，A 和A ’，B 和B ’，C 和C ’是对称点。

规律方法小结：轴对称图形是指“一个图形”；轴对称是指“两个图形”的位置关系，在某种情况下，二者可以互相转换，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形。

2、 线段的垂直平分线线段垂直平分线的定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也称为线段的中垂线）。

如下左图，直线l 经过线段AB 的中点O ，并且垂直于线段AB ，则直线l 就是线段AB 的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

如上右图，点P 是线段AB 垂直平分线上的点，则PA=PB 。

线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分A A ’B B ’C C ’ lABOlABP线上。

3、 轴对称和轴对称图形的性质两个图形成轴对称（或轴对称图形），则对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等。

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

判断：成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？ 4、 成轴对称的两个图形的对称轴的画法如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

第一章轴对称图形一、基础知识点知识点一：轴对称图形如果一个图形沿一条折叠，直线两旁的部分能够这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴知识点二：轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。

这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重叠的点）叫做对称点。

知识点三：关于某条直线成轴对称的图形的性质特征1、成轴对称的两个图形全等．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等，并且也是成轴对称的．2、轴对称图形和关于直线成轴对称有什么区别和联系？区别：①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。

②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。

联系：①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。

②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。

常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等知识点四：垂直平分线的定义经过线段并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线知识点五：线段垂直平分线的性质（1）线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的与这条线段的距离思考：反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？（2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上．知识点六：轴对称的性质以及轴对称图形：性质：⑴成轴对称的两个图形全等。

⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。

知识点七：用坐标表示轴对称1．关于x轴与y轴对称的点的坐标的规律；（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为________；（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为________．（3）点（x，y）关于原点对称的点的坐标为________．2．图形关于坐标轴对称一个图形内任一点的横坐标保持不变，纵坐标乘以-1所得的图形与原图形关于________轴对称．专题：等腰三角形知识点一：等腰三角形有相等的三角形是等腰三角形；相等的两边叫作，另一边叫作，两腰的夹角叫作，底边和腰的夹角叫作．练习1：1．如图（1）：△ABC中，若则△ABC是等腰三角形，是腰、是底边、是顶角，是底角．2．等腰三角形的两边长分别为3cm和6cm，这个三角形的周长为________．知识点二：等腰三角形的性质问题：如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是底边上的中线．求证：∠B=∠C；AD平分∠A，AD⊥BC．归纳性质：（1）等腰三角形的两个相等（简写成“等边对”）；C BA图（1）DC BA（2）等腰三角形的顶角 、底边上的 线、底边上的 互相重合（通常称作“三线合一”）；友情提醒：（1）等边对等角的边角必须是同一个三角形的边与角；（2）等腰三角形的“三线合一”不要与三角形全等混淆．练习2：1．等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是_______．2．已知等腰三角形一个内角的度数为30°，那么它的底角的度数是__ _ ___ _． 3．如果等腰三角形的一个外角是125°，则底角为 ．注：已知等腰三角形一个角的度数，求另外两角的度数，常有两种情况，需要分类讨论． 4．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°，则这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 5．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，求△ABC 各个内角的度数．知识点三： 等腰三角形的判定活动：如图（4），位于海上A 、B 两处的两艘救生船接到O 处遇险船只的报警，当时测得∠A ＝∠B ．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？COBA图（4）DC BA归纳：证明边相等或角相等，一般需要构造全等的三角形．判定定理：如果一个三角形有两个 相等，那么这两个角所对的 也相等（简写成“等角对 ”）．练习3：1．如图（5），CD 、BD 平分∠BCA 及∠ABC ，EF 过D 点且EF ∥BC ， 则图中的等腰三角形有 个，它们是2．在△ABC 中，∠B ＝36°，D 、E 在BC 边上，且AD 和AE 把∠BAC 三等分，则图中等腰三角形的个数（ ）A ． 3B ． 4C ． 5D ． 63．如图（6），∠CAE 是△ABC 的一个外角，∠1＝∠2，AD//BC ， 求证：AB=AC ．4．如图（7）,在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，∠DCB ＝∠B －∠ACB ， 求证：△DCE 是等腰三角形．知识点四：等边三角形相等的三角形是等边三角形，它是特殊的等腰三角形，也叫 ；图（6）21EDCBA 图（5）图（7）练习4：如果一个等边三角形的一条边长为6cm，那么这个等边三角形的周长是．知识点五：等边三角形的性质（1）等边三角形的三个都相等，且都等于；（2）等边三角形是轴对称图形，且有对称轴；（3）等边三角形每条边上的、和三线合一，它们所在的直线都是等边三角形的．友情提醒：等边三角形是一种特殊的等腰三角形，容易知道等边三角形的三条高（或三条中线、三条角平分线）都相等．练习5：1．△ABC中，AB=BC，∠B=∠C，则∠A=_____度．2．如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE是等边三角形，连结AE，BD．求证：AE=BD．知识点六：等边三角形的判定（1）三条都相等的三角形是等边三角形；（2）三个都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是的三角形是等边三角形．练习6：1．已知△ABC中，AB=AC, ∠A+∠B=120°,那么∠A= ；△ABC是三角形；2．下面给出的几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上中线的三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．•其中是等边三角形的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3． 如图，在△ABC 中，点D 是AB 上的一点，且AD=DC=DB ，∠B=30°，求证：△ADC 是等边三角形．分析：由已知条件知△ADC 是等腰三角形，要想证明它还是等边三角形，只需要说明这个三角形中有一个内角等于60°即可．4．如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 、F 分别是线段AB 、BC 、AC 上的点， （1）若AD=BE=CF ，问△DEF 是等边三角形吗？试证明你的结论； （2）若△DEF 是等边三角形，问AD=BE=CF 成立吗？试证明你的结论．规律技巧总结：要说明一个三角形是等边三角形，可以考虑： ①利用定义证明； ②证明三个角相等；③证明它是等腰三角形并且有一个角是60°知识点七：有一个角是30°的直角三角形在直角三角形中30°的角所对的 为斜边的 ． 练习7：三角形三内角度数之比为1：2：3，最大边长是8cm ，则最小边的长是______．AC BDAFaDBEC二、典型例题讲解（2010无锡）如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝____°。

轴对称【知识框架】【知识点&例题】知识点一：线段垂直平分线线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 如图，直线l经过线段AB的中点O，并且垂直于线段AB，则直线l就是线段AB的垂直平分线.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 如图，点P 是线段AB 垂直平分线上的点，则PA PB =.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.知识点二：坐标变换图形的平移（纵坐标“上加下减”；横坐标“左加右减”）（1）当图形上各点的横坐标不变，纵坐标加上|m|,图形将纵向平移m 个单位。

若m>0, 则向上平移，若m<0,则向下平移。

当图形上各点的纵坐标不变，横坐标加上m,图形将横向平移|m|个单位。

若m>0，则向左平移，若m<0, 则向右平移。

例1：A （-3，2）关于原点的对称点是B ，B 关于x 轴的对称点是C ，则点C 的坐标是（ ）.A ．（3，2）B ．（-3，2）C ．（3，-2）D ．（-2，3）【变式一】已知点M （2a-b,5+a),N(2b-1,-a+b). （1）若M 、N 关于x 轴对称，试求a 、b 的值 （2）若M 、N 关于y 轴对称，试求（b+2a)2015的值例2：如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线．实验与探究：①由图观察易知A ()2,0关于直线l 的对称点'A 的坐标为()0,2，请在图中分别标明()5,3B ，()2,5C -关于直线l 的对称点'B 、'C 的位置，并写出他们的坐标: 'B ,'C ；归纳与发现：②结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点(),P a b 关于第一、三象限的角平分线l 的对称点'P 的坐标为 （不必证明）；③点(),A a b 在直线l 的下方，则a ，b 的大小关系为 ；若在直线l 的上方，则 ．古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从A 出发到河边饮马，然后再到B 地军营视察，显然有许多走法．问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题．下面我们来看看数学家是怎样解决的．海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题．根据公理：连接两点的所有线中，线段最短．若A B 、在河流的异侧，直接连接AB ，AB 与l 的交点即为所求． 若A B 、在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解．海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想构建“对称模型”实现转化PA PB BC +…常见模型：（1）PA PB +最小（2）①PA PB -最小②PA PB -最大CBBA同侧图1A'BlAB图2异侧图4同侧异侧图5AA图6异侧【变形】异侧时，也可以问：在直线l 上是否存在一点P 使的直线l 为APB 的角平分线（3）周长最短类型一 类型二 类型三（4）“过河”最短距离类型一 类型二（5）线段和最小（6）在直角坐标系里的运用Al同侧异侧lBA'A'lNMl 2l 2例3：如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？【变式一】如图，在等腰Rt ABC ∆中，3CA CB ==，E 的BC 上一点，满足2BE =，在斜边AB 上求作一点P 使得PC PE +长度之和最小。

【知识详解】一、轴对称与轴对称图形1、轴对称把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。

2、轴对称图形把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形为轴对称图形，这条直线为对称轴。

【判断图形是否为轴对称图形的关键，是看它能否找到一条直线，使直线两边的部分能够完全能互相重合】 线段的垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分注意：线段的垂直平分线是直线，且必须同时满足两个条件：（1）经过这条线段的中点；（2）与这条线段垂直。

二、轴对称的性质线段的垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线注意：线段的垂直平分线是直线，且必须同时满足两个条件：（1）经过这条线段的中点；（2）与这条线段垂直。

轴对称的性质1.成轴对称的两个图形全等2.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分3.成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称。

三、线段、角的轴对称性1、线段的轴对称性（1） 线段的轴对称性① 线段是轴对称图形，它的对称轴是线段的垂直平分线和它本身所在的直线。

② 线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

③ 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。

④ 线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。

（2）线段垂直平分线的尺规作图已知线段AB ，作AB 的垂直平分线，做法如下：① 分别以点A 、B 为圆心，大于21AB 的长为半径画圆，两弧相交于点C 、 D ② 过C 、D 两点作直线，直线CD 就是线段AB 的垂直平分线（如右图）2、角的轴对称性（1）角的轴对称性① 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。

② 角平分线上的点到角两边的距离相等。

③ 角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上。

（2）角平分线的尺规作图① 以点O 为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交∠AOB 两边于点M ，N 。

第十三章轴对称总复习学习过程：一、基本概念1.轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这二、主要性质说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段3.通过画出坐标系上的两点观察得出：（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（，）.（2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（，）4.等腰三角形的性质（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是5.等边三角形的性质（3）等边三角形每边上的、和该边所对内角的互相重合.6.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的．三、有关判定1.与一条线段两个端点距离的点，在这条线段的垂直平分线上.2.如果一个三角形有两个角，那么这两个角所对的边也。

（简写成“等角对等边”）.3.三个角都相等的是等边三角形.4.有一个角是60°的是等边三角形。

四、练习（一）选择题A B C D2．下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是（）3．如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为A．7cm B．10cm C．12cm D．22cmA．A B=AD B．A C平分∠BCD C．A B=BD D．△BEC≌△DEC第3题图第4题图第5题图5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB 于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm（二）填空题1.已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的另外两个内角是。

2．已知等腰三角形的一个内角是100°，则它的另外两个内角是。

第13讲轴对称现象与探索轴对称的性质目标导航知识精讲知识点01生活中的轴对称现象（1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴．（2）轴对称包含两层含义：①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同；②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合．【知识拓展】（2020秋•十堰期末）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（）A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋【即学即练1】（2021•商河县校级模拟）如果一个三角形是轴对称图形，且有一个内角是60°，那么这个三角形是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．含30°角的直角三角形【即学即练2】（2020•薛城区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，当发光电子与矩形的边碰撞2020次后，它与AB边的碰撞次数是．【即学即练3】（2020秋•鼓楼区校级月考）已知：如图，CDEF是一个长方形的台球面，有A、B两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球A，才能使A先碰到台边FC反弹后再击中球B？在图中画出A球的运动线路．知识点02 轴对称的性质（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．由轴对称的性质得到一下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．【知识拓展1】（2021秋•思明区校级期末）如图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG、BG，则S△BEG＝（）A．B．C．16D．32【即学即练1】（2021秋•高邮市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，P为这两条直线外一点，连接OP．点P关于直线AB、CD的对称点分别是点P1、P2．若OP＝4，则点P1、P2之间的距离可能是（）A．0B．7C．9D．10【即学即练2】（2021秋•普兰店区期末）如图，长方形ABCD中，点F在边BC上，△AED与△FED关于直线DE对称，若∠BFE＝50°，则∠AED＝度．【即学即练3】（2021秋•望城区期末）如图，△ABC和△ABE关于直线AB对称，△ABC和△ADC关于直线AC对称，CD与AE交于点F，若∠ABC＝32°，∠ACB＝18°，则∠CFE的度数为．【知识拓展2】（2021秋•镇海区期末）【定义】如图1，OM平分∠AOB，则称射线OB，OA关于OM对称．【理解题意】（1）如图1，射线OB，OA关于OM对称且∠AOB＝45°，则∠AOM＝度；【应用实际】（2）如图2，若∠AOB＝45°，OP在∠AOB内部，OP，OP1关于OB对称，OP，OP2关于OA对称，求∠P1OP2的度数；（3）如图3，若∠AOB＝45°，OP在∠AOB外部，且0°＜∠AOP＜45°，OP，OP1关于OB对称，OP，OP2关于OA对称，求∠P1OP2的度数；【拓展提升】（4）如图4，若∠AOB＝45°，OP，OP1关于∠AOB的OB边对称，∠AOP1＝4∠BOP1，求∠AOP（直接写出答案）．知识点03 轴对称图形（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．（3）常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．【知识拓展1】（2021秋•巴彦县期末）下列图标是节水、绿色食品、回收、节能的标志，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【即学即练1】（2021秋•微山县期末）下列图形是轴对称图形的是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．三角形D．四边形【即学即练2】（2021秋•湖州期末）如图，在3×3的正方形网格中，从空白的小正方形中再选择一个涂黑，使得3个涂黑的正方形成轴对称图形，则选择的方法有（）A．3种B．4种C．5种D．6种【即学即练3】（2021秋•嘉鱼县期末）在如图所示的正方形网格中，已有两个正方形涂黑，请再将其中的一个空白正方形涂黑，使整个图形是一个轴对称图形（最少三种不同方法）．知识点04轴对称-最短路线问题1、最短路线问题在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．【知识拓展1】（2021秋•澄城县期末）如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝15，若在OA、OB上分别有动点M、N，则△PMN周长的最小值是（）A．5B．15C．20D．30【即学即练1】（2021秋•钢城区期末）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（）A．8km B．10 km C．12 km D．10km【即学即练2】（2021秋•澄海区期末）如图，若∠AOB＝44°，P为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为（）A．82°B．84°C．88°D．92°【即学即练3】（2021秋•思明区校级期末）小茗同学在公园的花圃里发现一只小蚂蚁在搬食物，因为食物比它大，所以它搬得很辛苦．但是它不放弃，一直慢慢往回爬．一会它咬住食物使劲往后拖，一会又咬住食物来回转圈，小茗同学急的想帮它．于是他连续几天都在观察，发现这个花圃的形状，如图，是一个锐角三角形，且∠ACB＝50°，边AB上一定点P是小蚂蚁的家，小蚂蚁从家出发，它沿直线寻找食物，线路是从P出发走到AC，再从AC走到BC，最后回到家．假设M、N分别是AC和BC边上的动点，小茗同学想帮小蚂蚁寻找最短的行走路线，所以他求出当小蚂蚁行走路线所构成的△PMN周长最小时，∠MPN的度数为．【即学即练4】（2021秋•海沧区期末）如图，海上救援船要从A处到海岸l上的M处携带救援设备，再回到海上C处对故障船实施救援，使得行驶的总路程AM+CM为最小．已知救援船和故障船到海岸l的最短路径分别为AB和CD，BD＝20海里，∠AMB＝60°，救援船的平均速度是25节（1节＝1海里/小时），则这艘救援船从A处最快到达故障船所在C处的时间为小时．【知识拓展2】（2021秋•南昌县期末）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得P A+PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A'，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且P A+PB的最小值为A′B．请利用上述模型解决下列问题；（1）如图2，△ABC中，∠C＝90°，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，作出点P，使得P A+PE 的值最小；（2）如图3，∠AOB＝30°，M、N分别为OA、OB上一动点，若OP＝5，求△PMN的周长的最小值．知识点05翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．【知识拓展1】（2022•渝中区校级开学）如图，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD为（）A．2B．C．D．4【即学即练1】（2021秋•宿城区期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EF、FG为折痕．若∠EF A'＝30°，则∠GFB＝．【知识拓展2】（2021秋•河源期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ACB沿CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处．（1）求△BDE的周长；（2）若∠B＝37°，求∠CDE的度数．【即学即练1】．（2021秋•斗门区期末）如图1，将长方形ABEF的一角向长方形内部折叠，使角的顶点A 落在点A′处，OC为折痕，则OC平分∠AOA′．（1）若∠AOC＝25°，求∠A'OB的度数；（2）若点D在线段BE上，角顶点B沿着折痕OD折叠落在点B′处，且点B′在长方形内．①如果点B′刚好在线段A′O上，如图2所示，求∠COD的度数；②如果点B′不在线段A′O上，且∠A'OB'＝40°，求∠AOC+∠BOD的度数．【即学即练2】（2021秋•德城区期末）同学们，我们已经学习了角的平分线的定义，请你用它解决下列问题：（1）如图1，已知∠AOC，若将∠AOC沿着射线OC翻折，射线OA落在OB处，则射线OC一定平分∠AOB．理由如下：因为∠BOC是由∠AOC翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，所以∠BOC＝，所以射线是∠AOB的平分线；（2）如图2，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A 落在A′处，EF为折痕．①若EA′恰好平分∠FEB，求出∠FEB的度数；②过点E再将长方形的另一角∠B做折叠，使点B落在∠FEB的内部B′处（B′不在射线EA′上），EH为折痕，H为EH与射线BC的交点．请猜想∠A′EF，∠B′EH与∠A′EB′三者的数量关系，并说明理由．能力拓展一．解答题（共9小题）1．（2017春•汉阳区期中）对于特殊四边形，通常从定义、性质、判定、应用等方面进行研究，我们借助于这种研究的过程与方法来研究一种新的四边形﹣﹣﹣﹣﹣筝形．定义：在四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝CD，我们把这样四边形ABCD称为筝形性质：按下列分类用文字语言填写相应的性质：从对称性看：筝形是一个轴对称图形，它的对称轴是；从边看：筝形有两组邻边分别相等；从角看：；从对角线看：．判定：按要求用文字语言填写相应的判定方法，补全图形，并完成方法2的证明．方法1：从边看：运用筝形的定义；方法2：从对角线看：；如图，四边形ABCD中，．求证：四边形ABCD是筝形应用：如图，探索筝形ABCD的面积公式（直接写出结论）．2．（2021秋•渭滨区期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝20，AB＝DC ＝16．将四边形ABCD沿直线AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．（1）求BF的长．（2）求EC的长．3．（2021秋•济南期末）在数学实验课上，李静同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：操作一：如图1，将Rt△ABC纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A与B重合，折痕为DE．（1）如果AC＝5cm，BC＝7cm，可得△ACD的周长为；（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，可得∠B的度数为；操作二：如图2，李静拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线CD折叠，使点A与点E重合，若AB＝10cm，BC＝8cm，请求出BE的长．4．（2020秋•饶平县校级期末）如图，点P是∠AOB外的一点，点Q是点P关于OA的对称点，点R是点P关于OB的对称点，直线QR分别交∠AOB两边OA，OB于点M，N，连接PM，PN，如果∠PMO＝33°，∠PNO＝70°，求∠QPN的度数．5．（2020秋•含山县期末）如图①，将笔记本活页一角折过去，使角的顶点A落在A′处，BC为折痕（1）图①中，若∠1＝30°，求∠A′BD的度数；（2）如果又将活页的另一角斜折过去，使BD边与BA′重合，折痕为BE，如图②所示，∠1＝30°，求∠2以及∠CBE的度数；（3）如果在图②中改变∠1的大小，则BA′的位置也随之改变，那么问题（2）中∠CBE的大小是否改变？请说明理由．6．（2021春•章贡区期末）如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问：点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？求出这个最小值．（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值．7．（2021秋•义乌市期中）如图，A、B两个小镇在河流的同侧，它们到河流的距离AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现要在河流边修建一自来水厂分别向两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元．（1）请在河流上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最少．（不写作法，保留作图痕迹）（2）最低费用为多少？8．（2020•济宁模拟）准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD 上的N点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，BE＝2，求菱形BFDE的面积．9．（2019春•江阴市期中）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动，如图1，已知AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，（1）点A、B在运动的过程中，∠ACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠ACB的大小．（2）如图2，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，则∠ABO＝；如图3，将△ABC 沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，则∠ABO＝；（3）如图4，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线交于E、F，则∠EAF＝；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的倍，求∠ABO的度数．分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共14小题）1．（2021秋•公安县期末）下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．（2021秋•海曙区期末）下列四个数学符号中，是轴对称图形的是（）A．≌B．≠C．⊥D．≥3．（2020春•漳州期末）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D4．（2019秋•桐梓县期末）在汉字“生活中的日常用品”中，成轴对称的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．（2021秋•五常市期末）如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若∠MON＝35°，则∠GOH＝（）A．60°B．70°C．80°D．90°6．（2021秋•迁安市期末）如图，将长方形纸片沿MP和NP折叠，使线段PB'和PC'重合，则下列结论正确（）①∠BPB′＝∠C′PC②∠BPM+∠B'PM＝90°③∠BPM+∠NPC＝90°④∠NPM＝90°⑤∠B'PM+∠NPC＝90°A．①②③B．③④⑤C．②③④D．①⑤7．（2021秋•鲤城区校级期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，则∠EBD的度数（）A．80°B．90°C．100°D．110°8．（2021秋•宜兴市期末）将一张纸如图所示折叠后压平，点F在线段BC上，EF、GF为两条折痕，若∠EFG＝α，则∠B'FC'的度数是（）A．α﹣45°B．2α﹣90°C．90°﹣αD．180°﹣2α9．（2021秋•滦州市期末）某市计划在公路l旁修建一个飞机场M，现有如下四种方案，则机场M到A，B两个城市之间的距离之和最短的是（）A．B．C．D．10．（2021秋•余杭区期中）下列图形不一定是轴对称图形的是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．线段D．圆11．（2021春•东坡区校级期末）如图1，▱ABCD的对角线交于点O，▱ABCD的面积为120，AD＝20．将△AOD、△COB合并（A与C、D与B重合）形成如图2所示的轴对称图形，则MN+PQ＝（）A．29B．26C．24D．2512．（2021秋•应城市期末）如图，∠MON＝50°，P为∠MON内一点，OM上有点A，ON上有点B，当△P AB的周长取最小值时，∠APB的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．100°13．（2021秋•博白县期末）如图，将长方形纸片的一角作折叠，使顶点A落在A′处，EF为折痕，若EA′恰好平分∠FEB，则∠FEB的度数为（）A．60°B．120°C．130°D．100°14．（2021秋•平舆县期末）如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸CD的距离分别为AC、BD，且AC＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500m．牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，牧童回家所走的最短路程为（）A．500m B．1000m C．1500m D．2000m二．填空题（共2小题）15．（2021秋•浦东新区期末）如图，长方形ABCD中，长BC＝a，宽AB＝b，（b＜a＜2b），四边形ABEH 和四边形ECGF都是正方形．当a、b满足的等量关系是时，图形是一个轴对称图形．16．（2021秋•思明区校级期末）如图，园区入口A到河的距离AE为100米，园区出口B到河的距离BF 为200米，河流经过园区的长度EF为400米，现策划要在河上建一条直径CD为100米的半圆形观赏步道（如图：C在D左侧），游览路线定为A﹣C﹣D﹣B，问步道入口C应建在距离E米处，才能使游览路线最短．三．解答题（共10小题）17．（2019秋•石景山区期末）如图，在4×4的正方形网格中，有5个黑色小正方形．（1）请你移动一个黑色小正方形，使移动后所形成的4×4的正方形网格图形是轴对称图形．如：将8号小正方形移至14号；你的另一种做法是将号小正方形移至号（填写标号即可）；（2）请你移动2个小正方形，使移动后所形成的图形是轴对称图形，你的一种做法是将号小正方形移至号、将号小正方形移至号（填写标号即可）．18．（2019春•滕州市期末）在下列各图中分别补一个小正方形，使其成为不同的轴对称图形．19．（2015秋•相城区期中）画图：试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格，正多边形的34567…边数…对称轴的条数根据上表，猜想正n边形有条对称轴．20．（2014秋•兴化市校级月考）请找出下列符号所蕴含的内在规律，然后设计一个恰当的图形．．21．（2021秋•温岭市期末）如图，D是Rt△ABC斜边BC上的一点，连接AD，将△ACD沿AD翻折得△AFD．恰有AF⊥BC．（1）若∠C＝35°，∠BAF＝；（2）试判断△ABD的形状，并说明理由．22．（2021春•龙口市月考）如图，直线a∥b，点A，D在直线b上，射线AB交直线a于点B，CD⊥a于点C，交射线AB于点E，AB＝15cm，BE：AE＝1：2，P为射线AB上一动点，P从A点出发沿射线AB 方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD．（1）当t＝m时，PC+PD有最小值，求m的值；（2）当t＜m（m为（1）中的取值）时，探究∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系，并说明理由；（3）当t＞m（m为（1）中的取值）时，直接写出∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系．23．（2022•碑林区校级开学）如图，有一直角三角形纸片，两直角边AB＝6cm，AC＝8cm，现将直角边AB 沿直线BD进行对折，使点A刚好落在斜边BC上，且与A′B重合，求BD的长．24．（2021秋•江源区期末）如图，把直角三角形放置在4×4方格纸上，三角形的顶点都在格点上．在方格纸上用三种不同的方法画出与已知三角形成轴对称的三角形．（要求：画出的三角形的顶点都在格点上，不涂黑）25．（2020秋•德惠市期末）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材111页的部分内容．如图①，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长为6cm，求AC的长．（1）请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程．（2）拓展：如图②，在图①的△ABC的边AB上取一点D，连接CD，将△ABC沿CD翻折，使点B的对称点E落在边AC上．①求AE的长．②DE的长为．26．（2021秋•亭湖区校级月考）如图的三角形纸板中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB 边的点E处，折痕为BD．（1）若AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm，求△AED的周长；（2）若∠C＝100°，∠A＝70°，求∠BDE的度数．题组B 能力提升练一．选择题（共5小题）1．（2020秋•仪征市期末）如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．等边三角形2．（2021秋•讷河市期末）如图，∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，点C，D分别是点P关于OA、OB 的对称点，连接CD交OA、OB分别于点E，F；若△PEF的周长的为10，则线段OP＝（）A．8B．9C．10D．113．（2021秋•上杭县期末）如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，连接BE交AD于点F，再将三角形DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB，那么∠BDC的度数为（）A．60°B．54°C．40°D．36°4．（2021秋•高邮市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点D、E分别在AC、BC 边上．现将△DCE沿DE翻折，使点C落在点H处．连接AH，则AH长度的最小值为（）A．0B．2C．4D．65．（2021秋•西城区校级期中）如图，在5×6的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中△ABC是一个格点三角形，在格纸范围内，与△ABC成轴对称的格点三角形的个数为（）个．A．8B．9C．10D．11二．填空题（共7小题）6．（2021秋•广陵区期中）等边三角形是一个轴对称图形，它有条对称轴．7．（2020春•兰考县期末）如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角为60°，那么这个三角形是，它有条对称轴．8．（2017秋•邹城市期末）如图，∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为．9．（2016秋•玄武区期末）如图，一束光线从点O射出，照在经过A（1，0）、B（0，1）的镜面上的点D，经AB反射后，反射光线又照到竖立在y轴位置的镜面，经y轴再反射的光线恰好通过点A，则点D的坐标为．10．（2021秋•西青区期末）如图，在一个三角形纸片ABC中，∠B＝90°，AB＝3，点D在边BC上，将△ABD沿直线AD折叠，点B恰好落在AC边上的点E处．若AD＝CD，则AC的长是．11．（2022•大渡口区模拟）如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD＝2CD，且∠ADC＝45°，将△ABC 沿AD折叠，点C落在点C'处，连接BC'，若BC'＝10，则BC的长为．12．（2021秋•双流区期末）如图，在长方形纸片ABCD的边AD上有一个动点E，连接BE，将△ABE沿BE边对折，使点A落在点F处，连接AF，DF．若AB＝3，ED＝2，∠AFD＝90°，则线段BE的长为．三．解答题（共6小题）13．（2016春•桐柏县校级月考）如图，直线a⊥b，请你设计两个不同的轴对称图形，使a、b都是它的对称轴．14．（2021秋•东阳市期末）综合实践课上，小聪用一张长方形纸片ABCD对不同折法下的夹角大小进行了探究，先将纸片的一角对折，使角的顶点A落在A′处，EF为折痕，如图①所示．（1）若∠AEF＝30°，①求∠A′EB的度数；②又将它的另一个角也折过去，并使点B落在EA′上的B′处，折痕为EG，如图②所示，求∠FEG的度数；（2）若改变∠AEF的大小，则EA′的位置也随之改变，则∠FEG的大小是否改变？请说明理由．15．（2021秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意图形G及直线l1，l2，给出如下定义：将图形G先沿直线l1翻折得到图形G1，再将图形G1沿直线l2翻折得到图形G2，则称图形G2是图形G的＜l1，l2＞伴随图形．例如：点P（2，1）的＜x轴，y轴＞伴随图形是点P′（﹣2，﹣1）．（1）点Q（﹣3，﹣2）的＜x轴，y轴＞伴随图形点Q′的坐标为；（2）已知A（t，1），B（t﹣3，1），C（t，3），直线m经过点（1，1）．①当t＝﹣1，且直线m与y轴平行时，点A的＜x轴，m＞伴随图形点A′的坐标为；②当直线m经过原点时，若△ABC的＜x轴，m＞伴随图形上只存在两个与x轴的距离为1的点，直接写出t的取值范围．16．（2021•河南模拟）贾芳芳同学在研究矩形面积与矩形的边长x，y之间的关系时，得如表数据：x…123456…y…9 4.53m 1.8 1.5…请依据表格解答下列问题：（1）表格中的数据m＝，y与x之间的函数关系式为；（2）依据表格中的数据描绘出函数图象，并写出一条函数图象的性质；（3）若函数图象上有一点P，过点P分别向x，y轴作垂线段，垂足分别为M、N，若点P的横坐标为a，请问当a为何值时四边形PMON周长有最小值？（提示：a2+b2≥2ab）17．（2021秋•富县期中）如图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，∠D＝130°，∠A+∠B＝155°，AD＝4cm，EF＝5cm．（1）求出AB，EH的长度以及∠G的度数；（2）连接AE，DH，AE与DH平行吗？为什么？18．（2021秋•汉阳区期中）如图，三角形纸片△ABC，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿过点B的直线折叠这个三角形，折痕为BD（点D在线段AC上且不与A，C重合）．（1）如图①，若点C落在AB边上的点E处，求△ADE的周长；（2）如图②，若点C落在AB边下方的点E处，记△ADE的周长为L，直接写出L的取值范围．题组C 培优拔尖练一．选择题（共6小题）1．（2021秋•梁溪区校级期末）如图，点A，B在直线MN的同侧，A到MN的距离AC＝8，B到MN的距离BD＝5，已知CD＝4，P是直线MN上的一个动点，记P A+PB的最小值为a，|P A﹣PB|的最大值为b，则a2﹣b2的值为（）A．160B．150C．140D．1302．（2021秋•柯桥区期末）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连结AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点F．若点F是DE的中点，AD＝9，EF＝2.5，△AEF的面积为9，则点F到BC的距离为（）A．1.4B．2.4C．3.6D．4.83．（2021秋•连云港期末）将一张长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝8°，则∠EAF的度数为（）A．40°B．40.5°C．41°D．42°4．（2020秋•九龙坡区校级月考）如图在四边形ABEC中，∠BEC和∠BAC都是直角，且AB＝AC．现将△BEC沿BC翻折，点E的对应点为E'，BE′与AC边相交于D点，恰好BE′是∠ABC的角平分线，若CE＝1，则BD的长为（）A．1.5B．C．2D．5．（2018春•江岸区校级月考）△ABC中，∠ABC＝97.5°，P、Q两点在AC边上，PB＝2，BQ＝3，PQ＝，若点M、N分别在边AB、BC上，当四边形PQNM的周长最小时，（MP+MN+NQ）2的值为（）A．18+8B．24+8C．22+6D．31+6．（2018•乐清市模拟）如图，一张三角形纸片ABC，其中∠BAC＝60°，BC＝6，点D是BC边上一动点，将BD，CD翻折使得B′，C′分别落在AB，AC边上，（B与B′，C与C′分别对应），点D从点B 运动运动至点C，△B′C′D面积的大小变化情况是（）A．一直减小B．一直不变C．先减小后增大D．先增大后减小二．填空题（共3小题）7．（2021秋•弋江区期末）利用折纸可以作出角平分线，如图1则OC为∠AOB的平分线．如图2、图3，折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A′，点B落在点B′，连接OA′．①如图2，若点B′恰好落在OA′上，且∠AOC＝32°，则∠BOD＝；②如图3，当点B′在∠COA′的内部时，连接OB′，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，求∠A′OB′的度数为．8．（2021秋•硚口区期末）在△ABC中，∠A＝α（α＜60°），点E、F分别为AC和AB上的动点，BE与CF相交于G点，且BE+EF+CF的值最小．①如图1，若AB＝AC，α＝40°，则∠ABE＝°；②如图2，∠BGC＝．（用含α的式子表示）9．（2017•肥城市二模）如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1，还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…，经过第2017次操作后得到的折痕D2016E2016，到BC的距离记为h2017；若h1＝1，则h2017的值为．三．解答题（共8小题）10．指出图中各有多少条对称轴．11．（2009秋•五华区校级期中）（1）请找出下图中每个正多边形对称轴的条数，并填入下表．34568…正多边形的边数345…对称轴的条数（2）请写出正多边形的对称轴的条数y随正多边形的边数n（n≥3）变化的关系式．12．（2021•百色模拟）在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M．（1）判断四边形AEMF的形状，并给予证明；（2）若BD＝2，CD＝3，试求四边形AEMF的面积．。