甘肃省武威市第六中学2014届高三第四次月考数学(理)试题(含答案)

甘肃武威市第六中学2014届高三第四次月考数学（理）试题（本试卷共3页，大题3个，小题22个。

答案要求写在答题卡上）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）1. 若复数a ＋3i1＋2i(a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－6B ．13 C.32 D.132．若函数f(x)＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π33．已知集合{1,2,3,4,5},{(,)|,,}A B x y x A y A x y A ==∈∈-∈则B 中所含元素的个数为( ) A ．3 B ．6 C ．8 D ．104．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.125．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( )A ．2n －1 B.n ＋1nC ．n 2D ．n6．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m )作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时F (x )作的功为( )A.3JB.233JC.433J D ．23J7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( )A ．1∶2B ．2∶3C ．3∶4D ．1∶38．函数f (x )＝log 2x 2的图象的大致形状是( )9．已知a ＝21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.2，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a10. P 是△ABC 所在平面上一点，若P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则P 是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心11．已知函数f (x )＝x e x －ax －1，则关于f (x )零点叙述正确的是( )A ．当a ＝0时，函数f (x )有两个零点B ．函数f (x )必有一个零点是正数C ．当a ＜0时，函数f (x )有两个零点D ．当a ＞0时，函数f (x )只有一个零点12．设f (x )是定义在R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1)是偶函数，当x ≥1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－1，则f ⎝⎛⎭⎫23，f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫13的大小关系是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫23>f ⎝⎛⎭⎫32>f ⎝⎛⎭⎫13B ．f ⎝⎛⎭⎫23>f ⎝⎛⎭⎫13>f ⎝⎛⎭⎫32C ．f ⎝⎛⎭⎫32>f ⎝⎛⎭⎫23>f ⎝⎛⎭⎫13D ．f ⎝⎛⎭⎫13>f ⎝⎛⎭⎫32>f ⎝⎛⎭⎫23 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）13．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．14．tan 15°＋tan 30°＋tan 15°·tan 30°的值是________．15．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________．16．在等差数列{a n }中，若a 1＜0，S 9＝S 12，则当n 等于________时，S n 取得最小值．武威六中第一轮高考复习阶段性过关测试卷（四）数 学（理）答题 卡一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）13． ． 14． ． 15． ． 16． ． 三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．18. 在数列}{n a 中，11=a ，并且对于任意n ∈N *，都有121+=+n nn a a a ．(1）证明数列}1{na 为等差数列，并求}{n a 的通项公式； (2)求数列}{1+n n a a 的前n 项和n T19.已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x 4. (1)若m ·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．20．已知a 是实数,函数2()()f x x x a =-.(Ⅰ)若(1)3f '=,求a 的值及曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)求()f x 在区间[]2,0上的最大值.21．已知等差数列{a n }的公差大于0，且a 3，a 5是方程x 2－14x ＋45＝0的两个根，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝1－b n2(n ∈N *)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)若c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .22. 设函数f(x)=21xe x ax ---.（Ⅰ)若a=0,求f(x)的单调区间;（Ⅱ）若当x ≥0时f(x)≥0，求a 的取值范围.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， - - - - - - - - - - - - -9分 ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0，- - - - - - - - - - - - -10分 当cos A ＝0时，∵0＜A ＜π，∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形． ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． - - - - - - - - - - - - -12分19. 【解】 (1)∵m ·n ＝1，即3sin x 4cos x 4＋cos 2x4＝1，即32sin x 2＋12 cos x 2＋12＝1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12.- - - - - - - - - - - - -- - 3分∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －2π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 - - - - - - - - - - - - -- - 4分 ＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 ＝2·⎝⎛⎭⎫122－1＝－12. - - - - - - - - - - - - -- - 6分20. 【答案】(Ⅰ)()232f x x ax '=-,由'(1)3f =易得a =0,从而可得曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为320.x y --= - - - - - - - - - - - - -- - 5分(Ⅱ令'()0f x =,得1220,3ax x ==.当20,3a≤即0a ≤时,()f x 在[0,2]上单调递增, max ()(2)84f x f a ==-； 当22,3a≥即3a ≥时,()f x 在[0,2]上单调递减, max ()(0)0f x f ==; - - -9分 当202,3a <<即03a <<时,()f x 在2[0,]3a 上单调递减,在2[,2]3a上单调递增,函数f (x )(0≤ x ≤2)的最大值只可能在x =0或x =2处取到,因为f (0) =0,f (2)=8-4a ,令f (2) ≥ f (0),得a ≤ 2,所以max84,02;()0,2 3.a a f x a -<≤⎧=⎨<<⎩- - - - - - - - - - - - -- - 11分 综上,max84,2;()0, 2.a a f x a -≤⎧=⎨>⎩- - - - - - - - - - - - -- - 12分 21.【解】 (1)∵a 3，a 5是方程x 2－14x ＋45＝0的两根，且数列{a n }的公差d >0，∴a 3＝5，a 5＝9，公差d ＝a 5－a 35－3＝2.∴a n ＝a 5＋(n －5)d ＝2n －1. - - - - - - - - - - - -- - 3分 又当n ＝1时，有b 1＝S 1＝1－b 12，∴b 1＝13，当n ≥2时，有b n ＝S n －S n －1＝12(b n －1－b n )，∴b n b n －1＝13(n ≥2)．∴数列{b n }是首项b 1＝13，公比q ＝13的等比数列，∴b n ＝b 1q n －1＝13n . - - - - - - - - - - - - -- - 6分(2)由(1)知c n ＝a n b n ＝2n －13n ，∴T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －13n ，①13T n ＝132＋333＋534＋…＋2n －33n ＋2n －13n ＋1，② - - - - - - - - - - - - -- - 9分 ①－②得23T n ＝13＋232＋233＋…＋23n －2n －13n ＋1＝13＋2132＋133＋…＋13n －2n －13n ＋1，整理得T n ＝1－n ＋13n . - - - - - - - - - - - - -- - 12分。

一、单选题二、多选题1. 已知角第二象限角，且，则角是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2. 若a +ln a =2b +ln b ，则（ ）A ．a <2bB ．a >2bC ．a >b 2D ．a <b 23.已知函数的部分图象如图所示，则（）A ．3B．C．D．4. 关于双曲线与，下列说法中错误的是（ ）A ．它们的焦距相等B ．它们的顶点相同C ．它们的离心率相等D ．它们的渐近线相同5. 已知直线交抛物线于轴异侧两点，过向作垂线，垂足为，若点在以为圆心，半径为3的圆上，则（ ）A ．48B ．24C ．12D ．366. 对于函数，以下四个结论：①最小正周期是； ②图象关于直线对称；③在上是减函数； ④一个对称中心为.其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47. 已知三棱锥中，，，E 是BC 的中点，点A 在平面BCD 上的射影恰好为DE 的中点，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A．B．C．D．8.在钝角三角形中，，，分别为角，，的对边，且其面积为，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．9.已知数列的前n 项和为，，，且，则（ ）A．，使得B ．，使得C．，使得D ．若，则10. 关于多项式的展开式，下列结论正确的是（ ）A ．各项系数之和为1B．二项式系数之和为C ．存在常数项D．的系数为12甘肃省武威市凉州区2023届高三下学期第四次诊断考试数学（理）试题 (2)甘肃省武威市凉州区2023届高三下学期第四次诊断考试数学（理）试题 (2)三、填空题四、解答题11.在正方体中，下列说法正确的是（ ）A．若，，分别为，，的中点，则与平面平行B．若平面，正方体的棱长为2，则截此正方体所得截面的面积最大值为C．点在线段上运动，则三棱锥的体积不变D．是的中点，直线交平面于点，则，，三点共线12. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，向量绕原点逆时针旋转得到，则有旋转变换公式.已知曲线：绕原点逆时针旋转得到曲线.，为曲线右支上任意两点，且直线过曲线的右焦点，点，延长分别与曲线交于两点设直线和的斜率都存在，分别为与，有恒成立.（ ）A ．曲线的一般形式为B ．曲线的离心率为C．D．13. 1955年10月29日新疆克拉玛依1号油井出油，标致着新中国第一个大油田的诞生，克拉玛依大油泡是一号油井广场上的标志性建筑，成为市民与游客的打卡网红地，形状为椭球型，中心截面为椭圆，已知动点在椭圆上，若点A 的坐标为，点满足，，则的最小值是___________.14.已知函数有2个零点，且过点，则常数t 的一个取值为______．15.在正方形中，是的中点，与交于点，若，则的值是______．16.已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，，的面积为.(1)求的方程；(2)是上位于第一象限的一点，其横坐标为1，直线过点且与交于，两点（均异于点），点在上，设直线，，的斜率分别为，，，若，问点的横坐标是否为定值？若为定值，求出点的横坐标；若不为定值，请说明理由.17. 已知函数，.(1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；(2)当时，求函数在区间上的最小值.18.是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．日均值在微克/立方米以下空气质量为一级；在微克/立方米微克/立方米之间空气质量为二级；在微克/立方米以上空气质量为超标．某地一景区年月日至日每天的监测数据如茎叶图所示．（Ⅰ）求这组数据的平均数，并求从这天中随机抽取一天，空气质量为超标的概率；（Ⅱ）环保部门计划从这天中随机选取天，作为该市空气质量的参考指标，记表示抽到“空气质量超标”的天数，求的分布列及数学期望．19. 已知函数,(1)当时，求函数的单调区间；(2)若不等式对任意的正实数都成立，求满足条件的实数的最大整数；(3)当时，若存在实数且，使得，求证：.20. 据某市地产数据研究显示，2019年该市新建住宅销售均价走势如图所示，3月至7月房价上涨过快，为抑制房价过快上涨，政府从8月开始采用宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的控制.（1）地产数据研究发现，3月至7月的各月均价（万元/平方米）与月份之间具有较强的线性相关关系，试建立关于的回归方程；（2）若政府不调控，依此相关关系预测12月份该市新建住宅销售均价.参考数据及公式：，，，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.21. 中，内角、、的对边分别为、、，且．(1)若，试判断的形状，并说明理由；(2)若为锐角三角形，其外接圆半径为，求周长的取值范围．。

武威六中2014～2015学年度第二学期高一数学（理）《必修4》模块学习终结性检测试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.sin1110°等于( ) A.21 B. 21－ C. 23D. 23－ 2．sin3π4cos 6π5tan ⎪⎭⎫⎝⎛3π4－＝( )． A ．－433 B ．433 C ．－43 D ．43 3. 已知∠α的终边与单位圆交于点⎪⎭⎫⎝⎛-53,54，则tan α等于( ) A.34-B. 54-C. 53-D. 43-4=2，=1， a b =1，则向量在方向上的投影是( ) A.21-B.1-C.21D.15．下列函数中，在区间(0，2π)上为增函数且以π为周期的函数是( )A ．2sinxy = B ．x y sin = C ．x y 2cos -= D ．x y tan -= 6.在四边形ABCD 中，＝＋2，BC ＝－4－，C ＝－5－3，其中， 不共线，则四边形ABCD 为( )． A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形7.函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如下图所示，此函数的解析式为( )A ． ）（32sinπ+=x y B ．）（322sin2π+=x y C ．）（32sinπ-=x y D ．）（654sin2π+=x y 8．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则＝( )． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1) B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22) C ．λ(－)，λ∈(0，1)D ．λ(－)，λ∈(0，22) 9．将函数x y sin =图象上所有的点向左平移3π个单位长度，再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为( )A ．）（62sinπ+=x y B ． ）（32sin π+=x yC ．）（32sinπ+=x y D ．）（32sinπ-=x y10．某程序框图如图，该程序运行后输出的k 值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 11. 已知 ,31sin sin ,21cos cos =+=+βαβα则 =-)cos(βα( )A ．61 B.65 C.5972- D.4972-12．设向量＝(m ，n )，＝(s ，t )，定义两个向量，之间的运算“⊗”为⊗ ＝(ms ，nt )．若向量p ＝(1，2)，p ⊗q ＝(－3，－4)，则向量q 等于( )．A ．(－3，2)B ．(3，－2)C ．(－2，－3)D ．(－3，－2)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设扇形周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形圆心角的弧度数是 .14．函数y sin(2x)3π=-的单调递增区间是 .15．若1||||||=-==b a b a ，则||b a+= .16. 已知锐角α、β满足sin α=55，cos β=10103，则α+β= .三、解答题(本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本题10分）已知tan(3)3πα+=，试求 sin(3)cos()sin()2cos()22sin()cos()ππαππααααπα-+-+--+--++的值．18．（本题12分）已知向量a ＝(2cos θ，2sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a +b |的最大值．19．（本题12分）在ΔABC 中，53cos ,135sinA ==B ，求C cos 的值。

武威六中2018-2019学年度高三一轮复习过关考试（四）数 学 试 卷（理）一、选择题（每小题5分，共60分）1．设全集Q ＝{x|2x 2－5x≤0，x ∈N}，且P ⊆Q ，则满足条件的集合P 的个数是( )A ．3B ．4C ．7D ．82.若复数z 满足，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A ． 12i +B ． 12i -C ． 12i -+D ． 12i --3.已知向量)()(,0,1,a b c k ==-=rr r,若()2a b c -⊥r r r ，则k 等于( )A ． 3-B ． 1-C ． 1D ． 24.已知等差数列{a n }的公差为5，前n 项和为S n ，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 6＝( )A ．80B ．85C ．90D ．955.已知直线1:sin 10l x y α+-=，直线2:3cos 10l x y α-+=，若12l l ⊥，则s i n 2α=（ ）A B C.6.函数()()3101a y log x a a =-+>≠且的图象恒过定点A ,若点A 在直线10mx ny +-=上，其中00m ,n >>，则mn 的最大值为（ ）A B C. D 7.已知点x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥0x －2≤0，则z ＝3x ＋y 的最大值与最小值之差为( )A ．5B ．6C ．7D ．88.已知函数a x x g x x f +==2)(,log )(2，若存在]2,21[,21∈x x ，使得)()(21x g x f =，则a 的取值范围是( )A.[5,0]-B.(,5][0,)-???C.(5,0)-D.(,5)(0,)-???9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．12B ．18C ．24D ．3010.已知平面向量a ＝(2cos 2x ，sin 2x)，b ＝(cos 2x ，－2sin 2x)，f(x)＝a ·b ，要得到y ＝sin2x ＋3cos2x 的图象，只需要将y ＝f(x)的图象( ) A ．向左平行移动π6个单位B ．向右平行移动π6个单位C ．向左平行移动π12个单位D ．向右平行移动π12个单位11.已知空间四边形ABCD ，∠BAC ＝23π，AB ＝AC ＝，BD ＝CD ＝6，且平面ABC ⊥平面BCD ，则空间四边形ABCD 的外接球的表面积为( )A ．60πB ．36πC ．24πD ．12π 12.已知函数()xkf x e =，曲线()y f x =在x =0处的切线与直线x y ++=40平行，若x 1、x 2是函数()()ln g x f x x =-的两个零点，则( )A.x x e e 1<<212 B.e x x e <<212 C.x x e e 1<<12 D. x x e1<<112 二、填空题（每小题5分，共20分）13.cos 70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为________.14.已知圆22:2410C x y x y +--+=与直线:10l x ay ++=相交所得弦AB 的长为4，则a .15.设偶函数()()fx xR ∈的导函数是函数()(),20f x f '=，当0x <时，()()0x f x f x ->'，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是 . 16.如图所示, E 是正方形ABCD 所在平面外一点, E 在面ABCD 上的正投影F 恰在AC 上, //,2,60FG BC AB AE EAB ==∠=,则以下结论中正确的有______. (1)CD ⊥面GEF ； (2)1AG =；(3)以,AC AE 作为邻边的平行四边形面积是8；(4)60EAD ∠=︒ ．三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17. (本小题12分)在数列{}n a 中，11a =，122nn n a a +=+.（1）设12nn n a b -=，证明：数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．18. (本小题12分) 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒,点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ． (1)求证：//AB EF ；(2)若2PA PD AD ===，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值．19．(本小题12分) 已知,,a b c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且cos sin 0a C C b c +--=.(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cos B ＝17，AD ＝1292，求△ABC 的面积．20. (本小题12分)已知e 是自然对数的底数，实数a 是常数，函数()1xf x e ax =--的定义域为(0,)+∞．(1)设a e =，求函数()f x 的图象在点()1,(1)f 处的切线方程； (2)判断函数()f x 的单调性．21. (本小题12分)设函数()ln (0)f x x x x =>．（1）若，)R ()()(F 2∈'+=a x f ax x )(F x 是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（2）当0x >时，证明：1)(+'>x f e x．22．(本小题10分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3,4x y a ⎧=⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），圆C 的标准方程为()()22334x y -+-=.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 和圆C 的极坐标方程； （2）若射线()03πθρ=>与l 的交点为M ，与圆C 的交点为A ，B ，且点M 恰好为线段AB 的中点，求a 的值．一轮复习过关考试（四）数学（理））答案一、选择题1.D2.B3.A4.C5.A6.D7.C8.A9.C 10.D 11.A 12.D 二、填空题 13.214. 1- 15.()(),22,-∞-⋃+∞ 16.①②④ 三、解答题17. 解：（1）证明：，，，，即，故数列是首项为1，公差为1的等差数列. ……………………6分（2）由（1）知，， 则，……………………12分18. 解：(1)∵底面ABCD 是菱形，∴//AB CD ，又∵AB ⊄面PCD ，CD ⊂面PCD ， ∴//AB 面PCD又∵A ，B ，E ，F 四点共面，且平面ABEF ⋂平面PCD EF =， ∴//AB EF ……………………5分(2)取AD 中点G ，连接PG ，GB ，∵PA PD =，∴PG AD ⊥，又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =， ∴PG ⊥平面ABCD ，∴PG GB ⊥，在菱形ABCD 中，∵AB AD =，60DAB ∠=︒，G 是AD 中点， ∴AD GB ⊥……………………7分如图，建立空间直角坐标系G xyz -，设2PA PD AD ===，则(0,0,0)G ，(1,0,0)A ，B (C -，(1,0,0)D -，P ， 又∵//AB EF ，点E是棱PC 中点， ∴点F 是棱PD 中点，……………………9分∴(E-，1(,0,22F -，3(,0,22AF =-uuu r ,1(,22EF =-uu u r 设平面AFE 的法向量为(,,)n x y z =r ，则有00n AF nEF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uu u r ，∴z y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，不妨令3x =，则平面AFE的一个法向量为n =r∵BG ⊥平面PAD，∴GB =uu u r是平面PAF 的一个法向量，∵cos ,13n GB <n GB >n GB⋅===⋅r uu u rr uu u r r uu u r ， ∴平面PAF 与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为13．……………………12分 19. 解析：解：(1) acos C ＋3asin C －b －c ＝0，由正弦定理得 sin Acos C ＋3sin Asin C ＝sin B ＋sin C ，即sin Acos C ＋3sin Asin C ＝sin(A ＋C)＋sin C ，……………………3分 又sin C ≠0，所以化简得3sin A －cos A ＝1，所以sin(A －30°)＝12.在△ABC 中，0°＜A ＜180°，所以A －30°＝30°，得A ＝60°.…………………6分(2)在△ABC 中，因为cos B ＝17，所以sin B ＝437.所以sin C ＝sin(A ＋B)＝32×17＋12×437＝5314. 由正弦定理得，a c ＝sin A sin C ＝75.……………………9分设a ＝7x ，c ＝5x(x ＞0)，则在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BDcos B ，即1294＝25x2＋14×49x2－2×5x ×12×7x ×17，解得x ＝1，所以a ＝7，c ＝5，故S △ABC ＝12acsin B ＝10 3.……………………12分20. 解：(1)∵a ＝e ，∴f(x)＝e x－ex －1，f′(x)＝e x－e ，f(1)＝－1，f′(1)＝0.∴当a ＝e 时，函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y ＝－1.…………………5分(2)∵f(x)＝e x－ax －1，∴f ′(x)＝e x－a.易知f ′(x)＝e x－a 在(0，＋∞)上单调递增．∴当a ≤1时，f ′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；……………………8分 当a ＞1时，由f ′(x)＝e x－a ＝0，得x ＝ln a ，∴当0＜x ＜ln a 时，f ′(x)＜0，当x ＞ln a 时，f ′(x)＞0，∴f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．……………………12分21. 解：（1）)0(1ln )(F 2>++=x x ax x ，当0≥a 时，恒有0)(F >'x ∴)(F x 在),0(+∞上为增函数，故)(F x 在),0(+∞∈x 上无极值；当0<a 时，令0)(F ='x ，得3分 ，)(F x 无极小值；综上所述：0≥a 时，)(F x 无极值0<a 时，)(F x 有极大,无极小值．……………………5分（2）证明：设，)0(ln )(>-=x x e x g x则即证2)(>x g ，只要证2)(min >x g ．，01)1(>-='e g在),0(+∞上单调递增∴方程0)(='x g 有唯一的实根t x =，且)1,5.0(∈t ．……………………8分∵当),0(t x ∈时，0(t)g )(='<'x g ．当),(+∞∈t x 时，0(t)g )(='>'x g∴当t x =时，t e x g tln )(min -=∵0)(='t g 即，则te t -= ……………………10分∴原命题得证．……………………12分22．解：（1）在直线l 的参数方程中消去t ，可得，304x y a --+=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入以上方程中， 所以，直线l 的极坐标方程为3cos sin 04a ρθρθ--+=. 同理，圆C 的极坐标方程为26cos 6sin 140ρρθρθ--+=.在极坐标系中，由已知可设1,3M πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,3A πρ⎛⎫⎪⎝⎭，3,3B πρ⎛⎫⎪⎝⎭.……………………5分 联立2,36cos 6sin 140,πθρρθρθ⎧=⎪⎨⎪--+=⎩可得(23140ρρ-++=，所以233ρρ+=+因为点M 恰好为AB 的中点，所以1ρ=3M π⎫⎪⎪⎝⎭.把323M π⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭代入3cos sin 04a ρθρθ--+=，得(313024a +-+=，所以94a =. ……………………10分。

甘肃省武威第六中学2024届高三下学期高考模拟（二）（4月）数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集U =R ，集合．2{|0},{|}M x x x N x x a =−>=<，若()U M N ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),0∞− B ．(],0−∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞2．若i zz=，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ） A ．直线y x =上 B ．直线y x =−上 C ．直线2y x =上D ．直线2y x =−上3．已知随机变量,X Y 满足()()22,,2,X N Y N μσμσ~~−，若()()()15,020.6P X P X P Y ≤=≥≤≤=，则()4P X ≥=（ ）A ．0.15B ．0.2C ．0.25D ．0.34．设0.40.8,a −=0.5log 0.8,b =0.4log 0.9c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．b c a >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c >>5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的右焦点为,F A 是C 的一条渐近线上位于第一象限内的一点，延长线段AF 与C 的另一条渐近线交于点B ．若O 为坐标原点，,3AB OA OB OA ==，则C 的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．y x =C ．y =D ．y = 6．某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人．现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三（1）班的概率是（ ） A ．940B ．18C ．59D ．147．在ABC 中，()5sin ,tan 4tan 06A C A C −=+=，则B =（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．已知函数()4ln 12f x ax a x ⎛⎫=−−+ ⎪⎝⎭有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．()2,+∞C ．(),1−∞−D ．(),2−∞−二、多选题9．某公司2023年的销售额为1000万元，2023年四个季度的销售额情况统计如图所示．其中第二季度销售额是第一季度销售额的2倍．则下列说法正确的是（ ） A ．该公司四个季度的销售额先增长再下降B ．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额都大于250万的概率为16C ．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额的和大于500万的概率为12D ．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额差的绝对值小于250万的概率为1610．已知,,,O A B C 是同一平面内的四点，且1,5,3,4,OA OB OC OA OC OB OC t ===⋅=⋅=∈R ，则（ ）A ．当点,AB 在直线OC 的两侧时，0OA OB ⋅= B ．当点,A B 在直线OC 的同侧时，2125OA OB ⋅=C ．当点,A B 在直线OC 的两侧时，OC tOA OB −−的最小值为3D ．当点,A B 在直线OC 的同侧时，100757OB OA OC =+11．函数()log 11(0,1)a y x a a =−+>≠的图象恒过定点P ，若点P 在直线10(0,0)mx ny m n +−=>>上，则（ ）A ．18mm ≥B ．22142m n +≥C ．214m n +>D ．12813m n +>+三、填空题12．若12nx y ⎛⎫−⎪⎝⎭的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则该展开式中37n n x y −−项的系数为 ．（用数字作答）13．记各项均为正数的数列{}n a 的前n 项积为29e n n −，则当1ln ln k k a a +的值最小时，对应k的一个值是 ．14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 且斜率为34−的直线与C 交于,A B 两点．若112AF F F ⊥，则C 的离心率为 ；线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，则22BF DF = ．四、解答题15．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知90A C −=︒，且()sin 45B C =+︒． (1)求cos C ；(2)设b =ABC 的面积．16．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，平面11BCC B ⊥平面1,,,2ABC AC AB AC AB BC CC ⊥===，160BCC ∠=︒，过1AA 的平面与11,BC B C 分别交于点1,D D .(1)证明：四边形11ADD A 为平行四边形；(2)若CD DB λ=，则当λ为何值时，直线1BC 与平面11ADD A 所成角的正弦值最大？ 17．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为,l P 是C 上在第一象限内的点，且直线PF 的倾斜角为60︒，点P 到l 的距离为1． (1)求C 的方程；(2)设直线7x =与C 交于,A B 两点，D 是线段AB 上一点（异于,A B 两点），H 是C上一点，且//DH x 轴．若平行四边形DEMN 的三个顶点,,E M N 均在C 上，DH 与EN 交于点G ，证明：GHDH为定值． 18．某校高三年级进行班级数学文化知识竞赛，每班选三人组成代表队，其中1班和2班进入最终的决赛．决赛第一轮要求两个班级的代表队队员每人回答一道必答题，答对则为本班得1分，答错或不答都得0分．已知1班的三名队员答对的概率分别为34、23、12，2班的三名队员答对的概率都是23，每名队员回答正确与否相互之间没有影响．用ξ、η分别表示1班和2班的总得分．(1)求随机变量ξ、η的数学期望()(),E E ξη； (2)若2ξη+=，求2班比1班得分高的概率．19．已知函数()2e 3e x xf x a =−．(1)讨论()f x 的单调性；(2)当2x ≥时，()20f x a x +≥，求实数a 的取值范围．参考答案：1．C【分析】根据不等式的解法求得{|0M x x =<或1}x >，得到U M ,结合()U M N ⊆，即可求解.【详解】由20x x −>，解得0x <或1x >，所以{|0M x x =<或1}x >，可得{|01}U M x x =≤≤, 因为()U M N ⊆，且{|}N x x a =<，所以1a >， 即实数a 的取值范围为()1,+∞. 故选；C. 2．A【分析】设()i ,R z a b a b =+∈，根据题意，得到i i a b b a +=+，求得a b =，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】设()i ,R z a b a b =+∈，则i z a b =−， 因为i zz=，可得i z z =，则i i a b b a +=+， 根据复数相等的定义，可得a b =，所以在复平面内，复数z 对应的点位于直线y x =上． 故选：A. 3．B【分析】先根据正态分布的性质求得3μ=，再利用正态分布的性质求解概率即可. 【详解】由()()15P X P X ≤=≥，得1532μ+==，则()21,Y N σ~， 由()020.6P Y ≤≤=，得()20.2P Y ≥=，因为()()223,,1,X N Y N σσ~~，所以随机变量,X Y 对应的正态密度曲线的形状相同，其对称轴分别为直线3,1x x ==， 从而()()420.2P X P Y ≥=≥=. 故选：B 4．D【分析】利用中间值“1”与,,a b c 比较得出1,0,1a b c ><<，再由作差比较法比较,b c ，利用换底公式和对数函数的单调性即得. 【详解】因为0.400.50.50.80.81,log 0.8log 0.51a b −=>==<=，所以a b >．同理.a c >又因0.5log y x =在定义域内为减函数，故0.50.5log 0.8log 0.9b =>， 而0.50.40.90.911log 0.9log 0.9log 0.5log 0.4−=−0.90.90.90.9log 0.4log 0.5log 0.5log 0.4−=⋅，因0.9log 0.50>，0.9log 0.40>，且0.90.9log 0.4log 0.50−>，故0.50.4log 0.9log 0.9>，即b c >，所以a b c >>． 故选：D. 5．D【分析】由题意，可求得,tan OA AB AOB ⊥∠=tan AOF ∠=，即可求得结果.【详解】由,3AB OA OB OA ==，得222OA AB OB +=，所以,tan OA AB AOB ⊥∠= 由2AOB AOF ∠=∠，得22tan 1tan AOF AOF ∠=−∠，解得tan 2AOF ∠=或tan AOF ∠=去），所以2b a =，从而C的渐近线方程为2y x =．故选：D6．C【分析】方法一：根据条件概率及全概率公式可得结果；方法二：缩小样本空间根据古典概型概率公式可得结果.【详解】法一：因为抽到的参加数学兴趣社团的学生可能来自于高三（1）班和（2）班， 设A =“抽到的学生来自高三（1）班”，B =“抽到的学生来自高三（2）班”、C =“抽到的是参加数学兴趣社团的学生”、则()()()()1110181,,,22404405P A P B P C A P C B ======， 由全概率公式得()()()()()11119242540P C P A P C A P B P C B =+=⨯+⨯=，所以()()()()()()115249940P A P C A P AC P A C P C P C ⨯====. 法二：由题得参加数学兴趣社团的学生共有10818+=人，由古典概型的概率公式， 则他来自高三（1）班的概率为105189=． 故选：C. 7．A【分析】根据两角和差的正弦公式，结合同角三角函数商关系进行求解即可. 【详解】由已知，得A 为钝角，B 和C 均为锐角． 设sin cos ,cos sin A C x A C y ==， 由()55sin sin cos cos sin 66A C A C A C −=⇒−=⇒56x y −=； 由sin 4sin tan 4tan 00sin cos 4sin cos 0cos cos A CA C A C C A A C+=⇒+=⇒+=⇒04=+y x ， 解得21,36x y ==−，所以()()211sin sin π=sin 362B AC A C x y =−−+=+=−=，所以，π6B =．故选：A 8．C【分析】先将()y f x =的图象向左平移2个单位长度，可得函数()g x 图像，即把问题转化为直线y ax =与函数()2ln2xh x x−=+图象交点的个数问题；再证明()h x 为奇函数，然后求导后得到()h x 在区间()2,2−上为减函数；再求出曲线()y h x =在点()0,0处的切线方程为y x =−，求出0x =，02x <<，20x −<<时()h x 的范围；最后作出()h x 的图象和y ax =的图像，数形结合得到结果.【详解】将()y f x =的图象向左平移2个单位长度，可得函数()()22ln 2xg x f x ax x−=+=−+的图象，所以原题转化为“函数()2ln2xg x ax x−=−+有3个零点”， 即研究直线y ax =与函数()2ln2xh x x−=+图象交点的个数问题． 因为()h x 的定义域为()2,2−，且()()22ln ln ln1022x xh x h x x x+−−+=+==−+， 所以()h x 为奇函数．因为()22222440222(2)4x x x h x x x x x x '+−+−⎛⎫=⋅=⨯=< ⎪−+−+−⎝⎭'， 所以()h x 在区间()2,2−上为减函数，且曲线()y h x =在点()0,0处的切线方程为y x =−． 当0x =时，2112xx x−+⨯=−+； 当02x <<时，2ln2xx x −<−+； 当20x −<<的，2ln2xx x−>−+， 作出()h x 的图象．如图：由图知：当1a <−时，直线y ax =与函数()2ln 2xh x x−=+的图象有3个交点． 故实数a 的取值范围是(),1∞−−． 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键是将()y f x =的图象向左平移2个单位长度，可得函数()g x 图像，即把问题转化为直线y ax =与函数()2ln2xh x x−=+图象交点的个数问题；再根据函数的奇偶性和单调性作出函数图像. 9．AB【分析】根据题意和饼状图，可求出第一、二、三、四季度销售额，按照试验“任选两个季度的销售额”列举出所有的基本事件，分别就各选项中的事件，利用古典概型概率公式求解即得.【详解】对于A 项，由题意可得第一、二、三、四季度销售额分别为100万、200万、400万、300万元，故A 正确；对于B 项，任选的两个季度的销售额，可以为()100,200，()100,300，()100,400，()200,300，()200,400，()300,400，其6种情况，这两个季度的销售额均大于250万的只有()300,400一种情况，则概率为16，故B 正确；对于C 项，这两个季度销售额的和大于500万的有()()200,400,300,400，共2种情况，故概率为2163=，即C 错误； 对于D 项，这两个季度销售额差的绝对值小于250万的有()()100,200,100,300,()()()200,300,200,400,300,400共5种情况，故概率为56，即D 错误．故选：AB. 10．ACD【分析】依据,A B 在直线OC 的同侧或两侧分类研究，在两侧时由数量积和模的运算计算结果，可判断A 、C ；在同侧时利用数量积的三角形式求解可判断B ，结合平面向量基本定理，判断答案D. 【详解】设,AOC BOC αβ∠=∠=，由3OA OC ⋅=，1,5OA OC ==， 得34cos ,sin 55αα==；由4,1,5OB OC OB OC ⋅===，得4cos 5β=，3sin 5β=，当点,A B 在直线OC 的两侧时，如图①，cos sin αβ=， 所以π2αβ+=，即0OA OB ⋅=，故A 正确； 因为(OC tOA OB t −−=所以当3t =时，OC tOA OB −−的最小值为3，故C 正确； 当点,A B 在直线OC 的同侧时，如图②， ()24cos cos cos sin sin 25αβαβαβ−=+=， 所以2425OA OB ⋅=，故B 错误； 设OB OA OC λμ=+，则22OB OC OA OC OCOB OA OA OA OCλμλμ⎧⋅=⋅+⎪⎨⎪⋅=+⋅⎩， 即432524325λμλμ=+⎧⎪⎨=+⎪⎩解得347100λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以374100OB OA OC =+，即100757OB OA OC =+，故D 正确． 故选：ACD. 11．BCD【分析】根据对数函数的性质可得定点，得出21m n +=，利用均值不等式判断A ，重要不等式判断B ，转化为二次函数判断C ，根据“1”的变形技巧及均值不等式判断D.【详解】由题得点()2,1P ，即121,0,012m n m n+=<<<<，所以21m n +=≥18mn ≤，当且仅当122m n ==时取等号，故A 错误；222(2)1422m n m n ++≥=，当且仅当122m n ==时取等号，故B 正确；22221121(1)124m n m m m ⎛⎫+=−+=−>−= ⎪⎝⎭，故C 正确；由21m n +=，2(1)3m n ++=，()()()41121118212244133133m n m n m n m n +⎡⎤⎛⎫+++⨯=⨯+++≥⨯+=⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦++⎝⎭⎣⎦，且取不到等号，故12813m n +>+，故D 正确． 故选：BCD12．15−【分析】由二项式系数相等即可得n 值，由二项展开的通项公式即可得37n n x y −−项的系数.【详解】12nx y ⎛⎫−⎪⎝⎭的展开式中第3项、第9项的二项式系数分别为28C ,C n n ，根据题意， 得28C C n n =，则2810n =+=，从而3773n n x y x y −−=，由通项公式知101101C ()2r rr r r T xy −+=−，所以3r =， 故所求项的系数为33101C 152⎛⎫⨯−=− ⎪⎝⎭.故答案为：15−.13．4（或5，答案不唯一）【分析】由积与项之间的关系求出102e nn a −=，再利用对数运算性质解不等式即可求解.【详解】由291231e n n n n a a a a a −−⋅=，得()()291(1)1231e 2n n n a a a a n −−−−=≥，则()102e2nn a n −=≥．又当1n =时，81e a =适合102e n n a −=， 所以102e nn a −=，则ln 102n a n =−．当4k ≤时，ln 0k a >；当5k =时，ln 0k a =；当6k ≥时，ln 0k a <， 所以当3k ≤或6k ≥时，1ln ln 0k k a a +>；当4k =或5k =时，1ln ln 0k k a a +=．综上，4k =或5k =． 故答案为：4（或5，答案不唯一）. 14．12/0.5 65/1.2【分析】根据已知条件结合直线斜率公式可得离心率；根据椭圆定义结合余弦定理可得第二空结果.【详解】设122F F c =，由112AF F F ⊥，得()22,,,0b A c F c a ⎛⎫− ⎪⎝⎭．由直线AB 的斜率为34−，得2324AB b k a c =−=−⋅，即()2223a c ac −=， 两边同除以2a ，得22320e e +−=，解得12e =或2e =−（舍去），所以2a c =，22223b a c c =−=， 设AB 的中点为21,E AF F θ∠=，在12Rt AF F 中，2132b AFc a ==，所以254,cos 25c AF θ==，连接1BF ，在12BF F △中，设2BF n =， 由椭圆的定义，得124BF a n c n =−=−．由余弦定理，得()222(4)(2)22cos πc n n c n c θ−=+−⨯⨯−，解得1514cn =， 所以2215151552222147c c c c EF AF AB ⎛⎫=−=−+= ⎪⎝⎭， 从而225525cos 7428EF c cDF θ==⨯=，故221528614255BF c DF c =⨯=． 故答案为：12，65..【点睛】方法点睛：椭圆求离心率或者范围关键是找到关于,,a b c 的一个等量关系或不等关系，转化为关于,a c 的齐次式求得. 15．(1)cos C =(2)4【分析】（1）先求出902B C =︒−，()sin 45B C =+︒，可得2cos2sin cos C C C =+，再利用二倍角的余弦公式结合平方关系即可得解；（2）由90A C =+︒，得sin cos A C =，结合2sin sin cos B C C =+，得2sin sin sin B C A =+，再利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求出各边，再根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】（1）由90A C =+︒，得180902B A C C =︒−−=︒−，则sin cos2B C =，()sin 45B C =+︒，所以2sin sin cos B C C =+， 即2cos2sin cos C C C =+，即()221cos sin sin cos 2C C C C −=+． 由sin cos 0C C +>，解得1cos sin 2C C −=． 又22cos sin 1C C +=，解得sin C =sin C =（舍去），从而cos C =（2）由90A C =+︒，得sin cos A C =，结合2sin sin cos B C C =+，得2sin sin sin B C A =+， 由正弦定理，得2b a c =+．又b c a =−，由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+−，即22)7a a =+−，解得1a =，所以ABC 的面积为)11sin 122ab C =⨯=． 16．(1)证明见解析 (2)1λ=【分析】（1）利用线面平行的判定定理和性质定理证明线线平行，即可得证；（2）取BC 的中点O ，利用面面垂直的性质定理证明OA BC ⊥，然后建立空间直角坐标系，求出平面11ADD A 的法向量，然后代入线面角的向量公式，利用二次函数性质求解最值即可. 【详解】（1）因为111//,AA BB BB ⊂平面11BCC B ，1AA ⊄平面11BCC B ， 所以1//AA 平面31BCC B ，又1AA ⊂平面11ADD A ，平面11ADD A ⋂平面111BCC B DD =，所以11//AA DD . 因为平面//ABC 平面111A B C ，平面11ADD A ⋂平面11111A B C A D =，平面11ADD A ⋂平面ABC AD =，所以11//A D AD ，所以四边形11ADD A 为平行四边形. （2）取BC 的中点O ，连接1,OC OA ，由12BC CC ==及160BCC ∠=︒，得1BCC 为等边三角形，所以1OC BC ⊥. 又平面11BCC B ⊥平面ABC ，平面11BCC B 平面1,ABC BC OC =⊂平面11BCC B ，所以1OC ⊥平面ABC .又OA ⊂平面ABC ，所以1OC OA ⊥，由AC AB ⊥及AC AB =， 得ABC 为等腰直角三角形，所以OA BC ⊥.以O 为坐标原点，1,,OA OB OC 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向， 建立如图的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,1,0O A B C −，(1C ，所以()(1110,1,3,BC AA CC =−==， 设()()0,,011D t t −≤≤，则()1,,0AD t =−， 设平面11ADD A 的法向量为(),,m x y z =，则100m AA m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y x ty ⎧=⎪⎨−+=⎪⎩，令y =,1x z ==−，所以平面11ADD A 的一个法向量为()3,1m t =−.设直线1BC 与平面11ADD A 所成的角为θ，则111sin cos ,2m BCm BC m BC θ−⋅===所以当0=t ，即D 为BC 的中点时，max (sin)θ， 故当1λ=时，直线1BC 与平面11ADD A 所成角的正弦值最大. 17．(1)2y x = (2)证明见解析【分析】（1）根据抛物线定义得到1PF =，再根据条件得到1222p P ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，代入抛物线方程得到方程24430p p +−=，即可求出结果；（2）设直线EN 的方程为()11,,x my n E x y =+，()22,N x y ，根据条件得到272t n mt +=−，从而有直线EN 的方程为()272t x m y t +=−+，得到直线EN 过点27,2t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又由题设知DH的中点坐标为27,2t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得到G 为DH 的中点，即可解决问题. 【详解】（1）根据抛物线的定义，得1PF =，过点P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，则1,2FQ PQ ==又,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以122p P ⎛+ ⎝⎭，代入22y px =，得21222p p ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得24430p p +−=，解得32p =−（舍去）或12p =，故C 的方程为2y x =．（2）设()7,D t ，显然，EN 与x 轴不平行，设直线EN 的方程为()11,,x my n E x y =+，()22,N x y ，联立2,,y x x my n ⎧=⎨=+⎩得20y my n −−=，则2Δ40m n =+>，且12y y m +=，因为四边形DEMN 为平行四边形，所以ME ND =，即()()1122,7,M M x x y y x t y −−=−−，所以12127,M M x x x y y t y −=−−=−，得到12M y y y t m t =+−=−，又()2121211772727M x x x my n my n m y y n m n =+−=+++−=++−=+−，即()227,M m n m t +−−，由点M 在C 上，得22()27m t m n −=+−，解得272t n mt +=−，所以直线EN 的方程为272t x my mt +=+−，即()272t x m y t +=−+， 所以直线EN 过点27,2t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 又将y t =代入2y x =，得()2,H t t ，所以DH 的中点坐标为27,2t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即G 为DH 的中点， 所以12GH DH =，故GHDH 为定值．18．(1)()2312E ξ=，()2E η= (2)1259【分析】（1）依题意可得ξ的可能取值为0、1、2、3，求出所对应的概率，即可求出数学期望，又23,3B η⎛⎫~ ⎪⎝⎭，根据二项分布的期望公式计算可得；（2）结合（1）中结论，利用条件概率的概率公式计算可得. 【详解】（1）依题意可得ξ的可能取值为0、1、2、3，所以()3211011143224P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==−−−= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()321321321111111114324324324P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==−−+−⨯⨯−+−−⨯= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()32132132111211143243243224P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯−+⨯−⨯+−⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()321134324P ξ==⨯⨯=，所以随机变量ξ的分布列为所以()1111123012324424412E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 又2班的总得分η满足23,3B η⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()2323E η=⨯=．（2）设“2ξη+=”为事件A ，“2班比1班得分高”为事件B ，则()223213333122122112C 1C 1C 12433433243P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯−+⨯⨯⨯−+⨯⨯− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭592427=⨯，()2231221C 1243354P AB ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()()()1242712545959P AB P B A P A ⨯==⨯=， 所以2班比1班得分高的概率为1259． 19．(1)答案见解析(2))22e ,e ,2⎛⎤⎡−∞+∞ ⎥⎣⎝⎦【分析】（1）根据题意，求得()32e e 2x xa f x ⎛⎫=− ⎝'⎪⎭，分0a ≤和0a >，两种情况讨论，进而求得函数()f x 的单调区间；（2）设()22e 3e x x g x a a x =−+，根据题意，转化为不等式()0g x ≥在[2,)+∞上恒成立，求得()()2e e 2xx a g x a ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭'，分0a ≤，0a >，两种情况讨论，结合函数()g x 的单调性与最值，即可求解.【详解】（1）解：由函数()2e 3e x x f x a =−，可得()232e 3e 2e e 2x x x xa f x a ⎛⎫=−='− ⎪⎝⎭，当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在区间(),∞∞−+上为增函数；当0a >时，()3ln 22e e e a xx f x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭'，当3ln2a x <时，()0f x '<；当3ln 2ax >时，()0f x '>， 所以()f x 在区间3,ln 2a ∞⎛⎫− ⎪⎝⎭上单调递减，在区间3ln ,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增．（2）解：设()22e 3e x x g x a a x =−+，当2x ≥时，()20f x a x +≥，即()0g x ≥在[2,)+∞上恒成立，由()()222e 3e 2e e 2x x xx a g x a a a ⎛⎫=−+=−− ⎝'⎪⎭，①若0a ≤，则()0g x '>，从而()g x 在区间[2,)+∞上单调递增，所以()()4222e 3e 20g x g a a ≥=−+>，即()0g x ≥恒成立，此时符合题意．②若0a >，则()()ln ln 22e ee e a xax g x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭'， 当ln2ax <或ln x a >时，()0g x '>；当ln ln 2a x a <<时，()0g x '<，所以()g x 在区间,ln 2a ∞⎛⎫− ⎪⎝⎭和()ln ,a ∞+上单调递增，在区间ln ,ln 2a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．（ⅰ）若ln 2a <，即20e a <<，当2x ≥时，()0g x '>，从而()g x 在区间[2,)+∞上单调递增，所以()()()()422222e 3e 2e 2e 0g x g a a a a ≥=−+=−⋅−≥，解得202e a <≤， 即当202e a <≤时，符合题意；（ⅱ）若ln 2ln 2aa ≤≤，即22e 2e a ≤≤，当2ln x a <<时，()0g x '<；当ln x a >时，()0g x '>，所以()g x 在区间()2,ln a 上单调递减，在区间()ln ,a ∞+上单调递增，所以ln x a =是()g x 的极小值点，也即最小值点，即()()2min ()ln ln 20g x g a a a ==−≥，此时()0g x ≥恒成立，符合题意；（ⅲ）若2ln 2a<，即22e a >，当2ln2a x <<或ln x a >时，()0g x '>；当ln ln 2ax a <<时，()0g x '<， 所以()g x 在区间2,ln 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()ln ,a ∞+上单调递增，在区间ln ,ln 2a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以ln 2ax =是()g x 的极大值点，ln x a =是()g x 的极小值点，要使()0g x ≥恒成立，只需()()()()()2222e 2e 0ln ln 20g a a g a a a ⎧=−−≥⎪⎨=−≥⎪⎩，解得2e a ≥． 又因为22e a >，所以当22e a >时符合题意．综上可得，实数a 的取值范围为)22e ,e ,2∞∞⎛⎤⎡−⋃+ ⎥⎣⎝⎦． 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。

武威六中2020届高三一轮复习过关考试（四）数 学（文）一、选择题：共12题 每题5分 共60分1．已知集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ,则()R C S T ⋃=A.]1,∞-（ B.]4,-∞-（C.]1,2-（ D.),1[+∞2．复数z 满足i z i +=-7)21(，则复数=zA.i 31+B.i 31-C.i +3D.i -33．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且63=S ,3a =0，则公差d 等于A.－1B. 1C.2D.－24．已知),0(,2cos sin πααα∈=-,则=α2sinA.-1B . 22-C.22D.15．已知,19||,3||,2||=+==b a b a ρρρρ则=-||b a ρρA.7B.13C.15D.176．已知:p 函数122++=ax x y 在),1(+∞上是增函数， 0:>a q ,则q p 是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7．将函数)32sin(3π+=x y 的图象向右平移2π个单位长度,所得图象对应的函数A.在区间]127,12[ππ 上单调递减 B.在区间]127,12[ππ上单调递增C.在区间]3,6[ππ-上单调递减 D.在区间]3,6[ππ-上单调递增 8．设数列}{n a 的前n 项和2n S n =,则8a 的值为A.15B.16C.49D.64 9．已知数列}{n a 是等差数列,n S 为其前n 项和,如果平面上的三点A 、B 、C 共线, 且,974OC a OB a OA +=则100S = A.100B.101C.50D.5110．函数)1ln(sin )(2+⋅=x x x f 的部分图象可能是A. B.C. D.11．若函数)(cos 3sin )(R x x x x f ∈+=ωω,又||,0)(,2)(βαβα-=-=且f f 的最小值为43π,则正数ω的值是 A.31B. 23C.34 D.32 12．已知函数)(x f 对定义域R 内的任意x 都有)4()(x f x f -=，且当2≠x 时其导函数满足)('2)('x f x xf >若42<<a ，则A.)(log )3()2(2a f f f a <<B.)2()(log )3(2af a f f << C. )2()3()(log 2a f f a f << D.)3()2()(log 2f f a f a<<二、填空题：共4题 每题5分 共20分13．已知等比数列}{n a 满足===1221,12a a a 则， .14．已知:)23,2(,31)23cos(ππααπ∈=+其中,则=αtan . 15．在△ABC 内,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对的边,sin A ,sin B ,sin C 成等差数列,且a =2c ,则cos A =16．下列命题:①x,y 均大于0,若y x y x >>则,lg lg ;②若0|,|||||≥+=+ab b a b a 则;③在△ABC 中,若AB CA CA BC BC AB •=•=•,则△ABC 是等边三角形;④若1=a ,则函数2)()(a x x f -=在（1,+∞）上为增函数.其中否命题与逆否命题均为真命题的是 三、解答题：共6题 共70分17．（本小题12分）已知函数22()3sin 23cos cos ()f x x x x x x R =++∈.（1）求函数)(x f 的最小正周期及单调减区间; （2）若000],2,0[,2)(x x x f 求π∈=的值.18．（本小题12分）设等比数列}{n a 的前n 项和为n S .已知306,6312=+=a a a ,求n a 和n S .19．（本小题12分）在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是,,,c b a 已知3,cos 2sin tan =-=c CCA（1）求ab ; （2）若△ABC 的面积为3,求C cos .20．（本小题12分）已知n S 是正项数列}{n a 的前n 项和, )(2,2*1212N n a a S a n n n ∈-==++. （1）证明:数列}{n a 是等差数列; （2）设)(2*N n a b n nn ∈=,求数列}{n b 的前n 项和n T .21．（本小题12分）已知函数f （x ）=e x-ax 2. （1）若a =1,证明:当x ≥0时,f （x ）≥1;（2）若f （x ）在（0,+∞）只有一个零点,求a .22．（本小题10分）在直角坐标系xoy 中,曲线B 是过点)1,1(-P ,倾斜角为4π的直线,以直角坐标系xoy 的原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线A 的极坐标方程是θρ22sin 312+=．（1）求曲线A 的普通方程和曲线B 的一个参数方程;（2）曲线A 与曲线B 相交于N M ,两点,求||||NP MP +的值．武威六中2020届高三一轮复习过关考试（四）数学文答案1---5 ABDAA 6---10 BBACB 11--12 DC13. 10 14.１５-16. ①②③17.(1)=====所以,由,化简得所以函数的单调递减区间为.(2)因为,所以,即.又因为,所以则18. .设{a n}的公比为q,由题设得解得或当a1=3,q=2时,a n=3×2n-1,S n=3×(2n-1);当a1=2,q=3时,a n=2×3n-1,S n=3n-1.19． (1)由题tan A==,即有2sin A=sin Acos C+sin Ccos A=sin B,由正弦定理得,=2.(2)由题意,可得,解得cos C=.20．(1)当时,有∴,∴又∵,∴当时,有∴,∴∴数列是以为首项,为公差的等差数列(2)由(1)及,得,∴,则∴21．(1)当a=1时,f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0.设函数g(x)=(x2+1)e-x-1,则g'(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x.当x≠1时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)单调递减.而g(0)= 0,故当x≥0时,g(x)≤0,即f(x)≥1.(2)设函数h(x)=1-ax2e-x.f(x)在(0,+∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)只有一个零点.(i)当a≤0时,h(x)>0,h(x)没有零点;(ii)当a>0时,h'(x)=ax(x-2)e-x.当x∈(0,2)时,h'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,h'(x)>0.所以h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.故h(2)=1-是h(x)在[0,+∞)的最小值.①若h(2)>0,即a<,h(x)在(0,+∞)没有零点;②若h(2)=0,即a=,h(x)在(0,+∞)只有一个零点;③若h(2)<0,即a>,由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)有一个零点.由(1)知,当x>0时,e x>x2,所以h(4a)=1-=1->1-=1->0.故h(x)在(2,4a)有一个零点.因此h(x)在(0,+∞)有两个零点.综上,f(x)在(0,+∞)只有一个零点时,a=.22． (1)因为,,即曲线的普通方程为,由题得,曲线的一个参数方程为为参数)．(2)设,把代入中,得,整理得,,。

武威市第六中学2014届高三第一次月考数 学（理）一．选择题 （ 本大题共12小题， 每小题5分，共60分．）1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞4}．那么集合A ∩(∁U B )等于( )．A ．{x |－2≤x ＜4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |－2≤x ＜－1}D ．{x |－1≤x ≤3}2.命题“2,240x x x ∀∈-+≤R ”的否定为（ ） A.2,240x x x ∀∈-+≥RB.2,240x x x ∃∈-+>RC.2,240x x x ∀∉-+≤RD. 2,240x x x ∃∉-+>R 3.函数()xx x f 2log 12-=的定义域为（ ）A.()+∞,0B.()+∞,1C.()1,0D.()()+∞,11,04．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是 （ ） A ．1y x=-B ．2lg(4)y x =-C ． ||e x y =D ．cos y x = 5.设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ， b ，c 的大小关系是 （ ）A.a ＞c ＞bB.a ＞b ＞cC.c ＞a ＞bD.b ＞c ＞a6.设x ∈R ，则“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.下列命题中，真命题的是 （ ） A ．0x R ∃∈，0xe ＜0 B ．x R ∀∈，22xx > C ．“a ＋b ＝0”的充要条件是“ab＝－1” D ．“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1“的充分条件8.函数()()()⎩⎨⎧≥<+-=1log 13822x x x ax x x f a 在R x ∈内单调递减，则a 的范围是 （ ）A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 B. )1,21[ C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡85,21 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,859.对任意的实数x ，不等式210mx mx --<恒成立，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．(4,0)-B ．(4,0]-C ．[4,0]-D ．[4,0)-10．若函数)22(],1,0[)1(-+x f x f 则的定义域为的定义域为 （ ）A ．[0，1]B ．]2,3[log 2C ． ]3log ,1[2D ．[1，2]11．已知函数)(x f 是以2为周期的偶函数，且当)10(log ,12)(,)1,0(2f x f x x 则时-=∈的值为 （ ）A ．53B ．58C ．83-D ．3512.已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如图1所示，则函数()x g x a b =+的图象是图2中的 （ ）二．填空题 （ 本大题共4小题; 每小题5分，共20分）13.定义在R 上的函数()x f 是增函数，则满足()()23f x f x <-的x 的取值范围是 .14．若f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f (－3)＝0，则()0x f x < 的解集是________． 15．已知幂函数f (x )＝mm x42-的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上递减，则整数m的值是 ．16．若不等式112<++<-c bx ax 的解集为()3,1-，则实数a 的取值范围是 .武威六中第一轮高考复习阶段性过关测试卷数学（理）答题卡一．选择题 （ 本大题共12小题， 每小题5分，共60分．）二．填空题 （ 本大题共4小题; 每小题5分，共20分） 13． ． 14. . 15． ． 16． . 三．解答题 （ 本大题共6小题， 共70分．按题目要求写出解答过程．）17. (本小题满分10分) 已知一次函数()()23122+-+-=m m x m x f ，若()x f 是减函数，且()01=f .（1）求m 的值； （2）若()21x x f ≥+，求x 的取值范围．18.(本小题满分12分)已知{}73|<≤=x x A ,{}102|<<=x xB ,{}a x a xC <<-=5|. （1）求B A ,()A B R ð; （2）若()B A C ⊆,求a 的取值范围.19.(本小题满分12分)已知命题:p 对]1,1[-∈∀m ，不等式83522+≥--m a a 恒成立；命题:q x ∃R ∈,使不等式022<++ax x 成立;若p 是真命题，q 是假命题，求a 的取值范围.20.(本小题满分12分) 解关于x 的不等式()0112<++-x a ax ．21. (本小题满分12分)已知定义在()()+∞-∞-,11,U 上的奇函数满足： ①()13=f ； ②对任意的2>x 均有()0f x >；③对任意的0,0>>y x ，均有()()()111f x f y f xy +++=+． （1）求()2f 的值； （2）证明()x f 在()+∞,1上为增函数22. (本小题满分12分)(1) 已知函数()x f 的周期为4，且等式)2()2(x f x f -=+对一切R x ∈均成立，求证：()x f 是偶函数(2) 设奇函数()x f 的定义域为R ，且()()x f x f =+4，当[]6,4∈x 时，()12+=x x f ，求()x f 在区间［－2，0］上的表达式．9．(20分) 解关于x 的不等式x 2-（a+a 2）x+a 3＞0（a ∈R ）.9.解：原不等式可变形为（x-a ）（x-a 2）＞0， 方程（x-a ）（x-a 2）=0的两个根为x 1=a ，x 2=a 2. 当a ＜0时，有a ＜a 2，∴ x ＜a 或x ＞a 2， 此时原不等式的解集为{x |x ＜a 或x ＞a 2}； 当0＜a ＜1时，有a ＞a 2，∴ x ＜a 2或x ＞a ， 此时原不等式的解集为{x |x ＜a 2或x ＞a }；当a ＞1时，有a 2＞a ，∴ x ＜a 或x ＞a 2，此时原不等式的解集为{x |x ＜a 或x ＞a 2}； 当a =0时，有x ≠0，此时原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a =1时，有x ≠1，此时原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠1}. 综上可知：当a ＜0或a ＞1时， 原不等式的解集为{x |x ＜a 或x ＞a 2}；当0＜a ＜1时，原不等式的解集为{x |x ＜a 2或x ＞a }； 当a =0时，原不等式的解集为{x |x ≠0}； 当a =1时，原不等式的解集为{x |x ≠1}.10．若函数y ＝f (x )为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，又f (3)＝0，则f (x )＋f (－x )2x <0的解集为( )． A ．(－3,3)B ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C ．(－3,0)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)13．函数y =的定义域为 __________． 14．不等式x －1x 2－x －30>0的解集是______________．16．已知函数)(log 221a ax x y +-=在区间]2,(-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 。

命题人：王清刚审题人：陈菊芳第Ⅰ卷一．选择题（本题包括24小题，每题2分，共48分。

每小题只有一个选项最符合题意。

）1.下列说法正确的是（）A.带“菌”字的生物均为原核生物B.带“藻”字的生物均无叶绿体C.含细胞核的生物均为真核生物D.含“DNA”的生物均能独立生存2.下列有关组成细胞的元素和化合物的分析中，错误的是（）A.甲可能是麦芽糖溶液B.①是斐林试剂，使用时需水浴加热C.乙液可能是一种酶溶液D.②是紫色，③是核苷酸3.下列有关物质通过生物膜的说法正确的是( )A．分泌蛋白的分泌需要能量但不需要细胞膜上的载体蛋白B．葡萄糖进入红细胞需要载体，消耗ATPC．大分子物质只能通过主动运输进入细胞D．质壁分离过程中，大分子外流导致细胞内渗透压降低4.2013年5月15日美国麻省理工学院工程师们设计出能够进行计算的大肠杆菌细胞计算器。

下一步他们将进行在酵母菌中设计电路，从而能够显著性地改善细胞的基因表达、细胞增殖等过程的调控机制。

下列关于大肠杆菌和酵母菌的相关叙述中正确的是（）A．K﹢和Ca2+进出两种细胞均需要核糖体和线粒体B．大肠杆菌与酵母菌细胞相比，在结构上的主要区别是没有染色体C.大肠杆菌将没有消化的食物通过胞吐的方式排出体外，体现了细胞膜的选择透过性D．从生命系统的结构层次来看，大肠杆菌和酵母菌既是细胞层次也是个体层次5.下列有关实验设计的叙述中不正确的是( )A．实验材料的数量、温度和时间都可能是实验的变量B．各种实验中都必须设置空白对照组，确保单一变量C ．数据测量应力求精确，因而需要多次测量求平均值 D. 探究实验设计中，实验结果不一定与提出的假设一致 6.下列关于ATP 的叙述，错误的是（ ）A ．3个ATP 含有6个高能磷酸键，3个普通磷酸键，9个磷酸基团 B.ATP 的化学元素组成包括C 、H 、O 、N 、PC.细胞呼吸过程产生的ATP 是供应细胞生命活动的直接能源物质D.ATP 中的A 与构成RNA 的碱基A 代表的含义相同 7.下列有关细胞结构和功能的叙述正确的是( )①心肌细胞比骨骼肌细胞含线粒体多 ②胃腺细胞分泌胃蛋白酶，合成它的场所是内质网上的核糖体 ③肝细胞不能合成胃蛋白酶，说明其细胞中没有核糖体 ④汗腺细胞和唾液腺细胞都有较多的核糖体和高尔基体 ⑤叶肉细胞含叶绿体，能进行光合作用，无线粒体 ⑥有高尔基体的细胞不一定具有分泌功能A ．①②③B ．④⑤⑥C ．①②⑥D ．③⑤⑥ 8.下列有关光合作用和细胞呼吸的叙述中，正确的是（ ） A ．光合作用和细胞呼吸过程中产生的[H]都能与氧气结合生成水 B ．适宜的光照条件下叶绿体和线粒体合成ATP 都需要氧气C ．CO 2的固定发生在叶绿体中，葡萄糖分解成CO 2的过程发生在线粒体中D ．动物细胞的无氧呼吸产生的是乳酸，没有CO 29.下面是科学家探究基因本质的研究过程中所运用的研究方法及结论，正确的是( ) A ．孟德尔通过豌豆杂交实验，运用类比推理，提出遗传因子的传递规律B ．萨顿根据基因和染色体行为的平行关系运用假说一演绎法，推测基因在染色体上C ．沃森和克里克运用模型方法，发现DNA 分子的双螺旋结构D ．摩尔根通过果蝇杂交实验，运用同位素标记法，提出基因在染色体上 10.下列不可用2n 表示的是( )A ．含有n 对独立遗传的等位基因的个体产生的配子的种类B ．一个DNA 分子复制n 次后所产生的DNA 分子数C ．含有n 对基因的个体产生的配子的数量D ．孟德尔遗传实验中，含有n 对独立遗传的等位基因的个体产生的F2表现型种类 11．一个mRNA 分子有m 个碱基，其中G ＋C 有n 个；由该mRNA 合成的蛋白质有两条肽链。

(推荐时间：50分钟)1． 已知函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，2π3 上单调递减；如图，四边形OACB 中，a ，b ，c 为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且满足sin B ＋sin C sin A ＝4ω3－cos B －cos C cos A. (1)证明：b ＋c ＝2a ；(2)若b ＝c ，设∠AOB ＝θ(0<θ<π)，OA ＝2OB ＝2，求四边形OACB 面积的最大值．(1)证明 由题意知：2πω＝4π3，解得：ω＝32， ∵sin B ＋sin C sin A ＝2－cos B －cos C cos A， ∴sin B cos A ＋sin C cos A＝2sin A －cos B sin A －cos C sin A ，∴sin B cos A ＋cos B sin A ＋sin C cos A ＋cos C sin A＝2sin A ，∴sin(A ＋B )＋sin(A ＋C )＝2sin A ，∴sin C ＋sin B ＝2sin A ⇒b ＋c ＝2a .(2)解 因为b ＋c ＝2a ，b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，所以△ABC 为等边三角形，S OACB ＝S △OAB ＋S △ABC ＝12OA ·OB sin θ＋34AB 2 ＝sin θ＋34(OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos θ) ＝sin θ－3cos θ＋534＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋534， ∵θ∈(0，π)，∴θ－π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，2π3， 当且仅当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时取最大值， S OACB 的最大值为2＋534. 2． 张师傅驾车从公司开往火车站，途经4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟．假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是13.(1)求张师傅此行程时间不少于16分钟的概率；(2)记张师傅此行程所需时间为Y 分钟，求Y 的分布列和均值．解 (1)如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟． 所以张师傅此行程时间不少于16分钟的概率P ＝1－⎝⎛⎭⎫1－134＝6581. (2)设张师傅此行程遇到红灯的次数为X ，则X ～B ⎝⎛⎭⎫4，13， P (X ＝k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫234－k ，k ＝0,1,2,3,4.依题意，Y ＝15＋X ，则Y 的分布列为 Y 的均值E (Y )＝E (X ＋15)＝E (X )＋15＝4×13＋15＝493.3． 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．(1)点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面P AC 的位置关系，并说 明理由；(2)求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF ；(3)当BE 为何值时，P A 与平面PDE 所成角的大小为45°. (1)解 当点E 为BC 的中点时，EF 与平面P AC 平行．∵在△PBC 中，E 、F 分别为BC 、PB 的中点，∴EF ∥PC .又∵EF ⊄平面P AC ，而PC ⊂平面P AC ，∴EF ∥平面P AC .(2)证明 以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,1)，B (0,1,0)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，12，D (3，0,0)． 设BE ＝x ，则E (x,1,0)，PE →·AF →＝(x,1，－1)·⎝⎛⎭⎫0，12，12＝0， 所以PE ⊥AF .(3)解 设平面PDE 的法向量为m ＝(p ，q,1)．由(2)知PD →＝(3，0，－1)，PE →＝(x,1，－1)，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·PD →＝0，m ·PE →＝0，得m ＝⎝⎛⎭⎫13，1－x 3，1. 而AP →＝(0,0,1)，依题意P A 与平面PDE 所成角为45°，所以sin 45°＝22＝|m ·AP →||m ||AP →|， 即113＋⎝⎛⎭⎫1－x 32＋1＝22， 得BE ＝x ＝3－2或BE ＝x ＝3＋2>3(舍去)． 故BE ＝3－2时，P A 与平面PDE 所成角为45°.4． 设f (x )＝x 3，等差数列{a n }中a 3＝7，a 1＋a 2＋a 3＝12，记S n ＝f (3a n ＋1)，令b n ＝a n S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为T n . (1)求{a n }的通项公式和S n ；(2)求证：T n <13； (3)是否存在正整数m ，n ，且1<m <n ，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出m ，n 的值，若不存在，说明理由．(1)解 设数列{a n }的公差为d ，由a 3＝a 1＋2d ＝7，a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝12， 解得a 1＝1，d ＝3，所以a n ＝3n －2.又因为f (x )＝x 3，所以S n ＝f (3a n ＋1)＝a n ＋1＝3n ＋1.(2)证明 因为b n ＝a n S n ＝(3n －2)(3n ＋1)， 所以1b n ＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝⎛⎭⎫13n －2－13n ＋1， 所以T n ＝13⎝⎛⎭⎫1－13n ＋1<13. (3)解 由(2)知T n ＝n 3n ＋1， 所以T 1＝14，T m ＝m 3m ＋1，T n ＝n 3n ＋1，若T 1，T m ，T n 成等比数列，则⎝⎛⎭⎫m 3m ＋12＝14·n 3n ＋1，即6m ＋1m 2＝3n ＋4n . 当m ＝2时，134＝3n ＋4n，n ＝16，符合题意； 当m ＝3时，199＝3n ＋4n，n 无正整数解； 当m ＝4时，2516＝3n ＋4n，n 无正整数解； 当m ＝5时，3125＝3n ＋4n，n 无正整数解； 当m ＝6时，3736＝3n ＋4n，n 无正整数解； 当m ≥7时，m 2－6m －1＝(m －3)2－10>0， 则6m ＋1m 2<1，而3n ＋4n ＝3＋4n>3， 所以，此时不存在正整数m ，n ，且1<m <n ， 使得T 1，T m ，T n 成等比数列．综上，存在正整数m ＝2，n ＝16，且1<m <n ， 使得T 1，T m ，T n 成等比数列．。

高一下学期期末考试数学〔理〕试题一、选择题〔本小题共12小题，每一小题5分，共计60分〕 1．如下命题中正确的答案是( )A ．d b c a d c b a ->-⇒>>,B ．c b c a b a >⇒>C ．b a bc ac <⇒<D ．b a bc ac >⇒>222．M ={}2|4x x>，N ＝{}032|2<--x x x ，如此集合M N ＝ 〔 〕A.{2|-<x x }B.{3|>x x }C.{21|<<-x x }D.{32|<<x x } 3．等比数列{an}满足123a a +=，236a a +=，如此7a 等于 ( )A ．64B ．81C ．128D ．2434．不等式组所表示的平面区域的面积等于 ( )A.32B. 23C. 43D. 345．ABC ∆中，假设2,3,4===c b a ，如此ABC ∆的外接圆半径为 〔 〕A ．151516B ．15158C ．13136D ．1313126．在数列{}n a 中，21=a ，111+-=+n n a a ，如此2014a 等于〔 〕A ．2B ．31-C ．23-D ．17．在ABC ∆中,30,4,34=∠==B AC AB ,如此ABC ∆的面积是 〔 〕A.34B.38C.34或38D.3 8．数列}{n a 中，12,111+==+n n a a a ，如此}{n a 的通项公式为 〔 〕A.n2 B.12-nC. 12+nD.12+n9．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形〔如图〕．试问三角形数的一般表达式为 〔 〕A ．n B.1(1)2n n - C.21n - D. 1(1)2n n + 10．设变量y x ,满足约束条件，如此1yx +的最大值为 〔 〕 A ． 2 B ．14 C ．12 D ．411．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，如此n a = 〔 〕 A ．2ln n + B ．2(1)ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++12．假设不等式ax ax x 则成立对于一切,21,0012⎥⎦⎤⎝⎛∈≥++的取值范围是 〔 〕A ．0≤aB ．3a ≤-C ．52a ≥-D ．2a ≥-二、填空题〔本小题共4小题，每一小题5分，共计16分〕13．假设不等式02<--b ax x 的解集为{}32<<x x ,如此=+b a ___________；14．在ABC ∆中,2,AB B =∠=60°,C ∠=45°,如此AC =____________；15．正实数a 、b 满足1a b +=,且12ma b +≥恒成立,如此实数的最大值是_________；16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设4510,15S S ≥≤，如此4a 的最大值为___________．三、解答题〔本大题共70分〕17．〔本小题10分〕1)1()(2++-=x a a x x f ．〔1〕当21=a 时，解不等式0)(≤x f ；〔2〕假设0>a ，解关于x 的不等式()0.f x ≤18．〔本小题12分〕 ABC ∆中，45B ∠=，AC =，cos C =〔1〕求BC 边的长；〔2〕记AB 的中点为D ，求中线CD 的长．19．〔本小题12分〕递增的等比数列{}n a 满足28432=++a a a ,且23+a 是42,a a 的等差中项. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)假设12log +=n n a b ,求数列{}n b 的前n 项和n S .20．(本小题12分)在锐角△ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,.3tan )(222bc A a c b =-+(1)求角A ；(2)假设2a =,求△ABC 面积S 的最大值．21．〔本小题12分〕关于二次函数()()211f x x m x =+-+〔1〕假设任意恒成立，求实数的取值范围 〔2〕假设方程()0f x =在区间[]0,2上有解，求实数的取值范围．22．〔本小题12分〕设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且111,21n n a a S +==+，数列{}n b 满足11a b =，点1(,)n n P b b +在直线20x y -+=上，n *∈N .〔1〕求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；〔2〕设nn n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T .所以。