直线上一动点到两定点距离之和最小问题

最短路径问题专题训练一、将军饮马问题特征：定直线上找一动点到两定点距离之和最小. 解法:做不动点对称点 如图，在直线上找一点P 使得P A +PB 最小？例1.（一动点两定点）如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________．例2.（一定点两动点）如图，点P 是△AOB 内任意一点，△AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．例3.（一定点两动点）已知P 为△AOB 内部一定点，在OA 、OB 上分别取M 、N 使得PM +MN 最小。

二、费马点问题若点P 满足∠PAB =∠BPC =∠CPA =120°，则PA +PB +PC 值最小，P 点称为该三角形的费马点． 在∠ABC 内找一点P ，使得PA +PB +PC 最小．PBAP OBAMNP'M NAPOOPBMABCDMN例1.如图，在△ABC 中，△BAC =90°，AB =AC =1，P 是△ABC 内一点，求P A +PB +PC 的最小值．例2.如图，已知矩形ABCD ，AB =4，BC =6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA +MD +ME 的最小值为______．三、胡不归问题从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）【模型建立】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V 的值最小．ABCPCABCDME2驿道2MM【问题分析】121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值．【问题解决】构造射线AD 使得sin △DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC ．将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH △AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．例1. 如图，△ABC 中，AB =AC =10，tanA =2，BE △AC 于点E ，D 是线段BE上的一个动点，则CD 的最小值是_______．例2. 如图，平行四边形ABCD 中，△DAB =60°，AB =6，BC =2，P 为边CD上的一动点，则PB 的最小值等于________．总结：在求形如“P A +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P A +kPB ”型问题转化为“P A +PC ”型．四、瓜豆原理引例：如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，Q 为AP 中点． 考虑：当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？考虑到Q 点始终为AP 中点，连接AO ，取AO 中点M ，则M 点即为Q 点轨迹圆圆心，半径MQ 是OP 一半，ABCDEABCDP任意时刻，均有△AMQ △△AOP ，QM :PO =AQ :AP =1:2． 【模型总结】为了便于区分动点P 、Q ，可称点P 为“主动点”，点Q 为“从动点”． 此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP :AQ 是定值）．【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角： ∠P AQ =∠OAM ；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP :AQ =AO :AM ，也等于两圆半径之比． 按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q 与P 的关系相当于旋转+伸缩．例1 如图，点P （3,4），圆P 半径为2，A （2.8,0），B （5.6,0），点M 是圆P 上的动点，点C 是MB 的中点，则AC 的最小值是_______．例2 如图，正方形ABCD 中，25AB ，O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．五、辅助圆（轨迹圆/隐圆） 定直线对定角/四点共圆例1 如图，已知圆C 的半径为3，圆外一定点O 满足OC =5，点P 为圆C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A 、B ，且OA =OB ，△APB =90°，l 不经过点C ，则AB 的最小值为________．例2 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，△A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A’MN ，连接A ’C ，则A ’C 长度的最小值是__________．O yxA BCM POABCDEF例3 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，BC =42 ，点D 是AC 边上一动点，连接BD ，以AD 为直径的圆交BD 于点E ，则线段CE 长度的最小值为__________．例4 如图，∠A O B =45°，边O A 、OB 上分别有两个动点C 、D ，连接C D ,以CD 为直角边作等腰Rt △CDE ，且CD =CE ，当CD 长保持不变且等于2cm 时，OE 最大值为__________．综合练习1. 如图，菱形ABCD 中，AB =2，△A =120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK +QK 的最小值为__________．2. 如图，在Rt △ABC 中，△C =90°，AB =17，AC =8，D 为AB 边上的一动点，E 、F 分别为AC 、BC 上两点，且DE △DF ，则EF 的最小值为__________．3. 如图，△MON =90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB =2，BC =1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为__________．4. 已知正方形ABCD 内一动点E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为 2 +6,则正方形的边长 .5. 如图，在四边形ABCD 中，AB =2，BC =5，若AC =AD 且△ACD =60°，则当对角线BD 取得最大值时，对角线AC 的长是_________．lPO CBA A'NMABCD6. 在等边△ABC 中，AB =4，点D 是BC 的中点，连接AD ，P 为AD 上一动点，则CP +12BP 最小值为____．7. 如图，在等腰直角△ABC 中，BC =8，D 为BC 中点，E 为DC 中点，P 为AD 上一动点，则2PE +2AP 的最小值________．8. 如图，在△ABC 中，AB =AC =10，tan △A =2，BE △AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +55BD 的最小值为________．9.如图，已知正方形ABCD 的边长为4.点M 和N 分别从B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CD 方向向终点C 和D 运动.连接AM 和BN ，交于点P ，则PC 长的最小值为________．10. 如图，AC 为边长为4的菱形ABCD 的对角线，∠ABC =60°，点M 和N 分别从点B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CA 运动.连接AM 和BN ，交于点P ，则PC 长的最小值为________．11. 如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE =DF .连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H .若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是________．。

浅析动点到两个定点的距离之和（差）的最值一、直线上的动点到直线外两个定点的距离之和（差）的最值．例1（1）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P是x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为，此时点P的坐标为；（2）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P是x轴上任意一点，则PB-PA的最大值为，此时点P的坐标为．解析：（1）如图1，当点P在x轴上运动时，PA+PB AB(当且仅当A，P，B三点共线时等号成立)(PA+PB)min =AB=此时，点P的坐标为（2）如图2，当点P在x轴上运动时，PB- PA AB(当且仅当A，P，B三点共线时等号成立)(PB-PA)max =AB=此时，点P的坐标为变题：（1）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P是x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为，此时点P的坐标为；解析：（1）如图3，作点B关于x轴的对称点Bˊ（3，-2），则有PB=PBˊ当点P在x轴上运动时，PA+PB=PA+PBˊ=ABˊ(当且仅当A，P，Bˊ三点共线时等号成立)(PA+PB)min =AB=此时，点P的坐标为（2）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P是x轴上任意一点，则PB-PA的最大值为，此时点P的坐标为．解析：（2）如图4，作点B关于x轴的对称点Bˊ，则有PB=PBˊ当点P在x轴上运动时，PB- PA= PBˊ-PA ﹦ABˊ(当且仅当A，P，Bˊ三点共线时等号成立)(PB-PA)max =ABˊ=此时，点P的坐标为归纳：①当两定点位于直线的异侧时可求得动点到两定点的距离之和的最小值；②当两定点位于直线的同侧时可求得动点到两定点的距离之和的绝对值的最大值．若不满足①②时，可利用对称性将两定点变换到直线的同（异）侧，再进行求解．如变题的方法．例2函数的值域为．解析：将函数进行化简得：即为动点P（x，0）到两定点A(1，1)、B（3，-2）的距离之和．由例1可知：该值域为二、圆锥曲线上的动点到两个定点的距离之和（差）的最值．（一）直接求解或利用椭圆（或双曲线）的定义进行适当转化后求解．例3（1）已知A(4，0)和B(2，2)，M是椭圆上的动点，则MA-MB的范围是；解析：(1)如图5，在MAB中有MA-MB<AB，当M，A，B三点共线且MB>MA即点M位于M2处时，有MA-MB=AB，所以MA-MB AB；同理在MAB中有MB-MA AB，即MB-MA-AB(当点M位于M1处时等号成立)综上所述：-AB≦MA-MB≦AB。

到两个定点距离之和为定值的轨迹篇一：《神奇的轨迹之谜》嘿，同学们！你们想过没有，到两个定点距离之和为定值的轨迹到底是个啥样儿？这可真是个超级有趣又神秘的问题呢！就好像我们在操场上跑步，从起点跑到终点，再跑回来，这一段路程是不是固定的？那如果有两个固定的点，我们到这两个点的距离加起来总是不变的，那我们会走出什么样的路线呢？比如说，有两个大树，一个在东边，一个在西边。

我们从东边的大树出发，要走到一个地方，使得走到东边大树和西边大树的距离之和永远是一个固定的数字。

这难道不像是在玩一个超级有趣的寻宝游戏吗？我们得找到那个神奇的地方！我和小伙伴们就曾经一起研究过这个问题。

“哎呀，这到底是怎么回事呀？”小明抓耳挠腮地说。

“我觉得吧，可能是个圆！”小红眨着大眼睛猜测道。

“怎么可能是圆呢？圆不是到一个点的距离相等嘛！”小刚立刻反驳。

“那你说是什么？”小红不服气地问。

大家七嘴八舌地讨论着，谁也说服不了谁。

后来，老师给我们讲了，这其实是个椭圆！就像是一个被压扁的圆。

我们都惊讶得张大了嘴巴，“啊？原来是这样！”那椭圆到底有什么神奇的地方呢？它的形状有时候看起来长长的，有时候又扁扁的。

这不就像我们的心情，有时候开心得像个气球，有时候又低落得像个瘪了的皮球？而且呀，椭圆在生活中也有很多的用处呢！比如说，卫星绕着地球转的轨道就是个椭圆，还有一些桥的形状也是椭圆的一部分。

你们说，这是不是很神奇？所以呀，我觉得数学真的是太有趣啦！就这么一个小小的问题，居然能引出这么神奇的答案，还能在生活中有这么多的应用。

我们可不能小瞧了数学，说不定以后还能发现更多更有趣的奥秘呢！篇二：《探索神奇的轨迹》嘿！同学们，今天我要和你们聊聊一个超有趣的东西——到两个定点距离之和为定值的轨迹。

这听起来是不是有点神秘，有点让人摸不着头脑？想象一下，在一个大大的操场上，有两根高高的旗杆，这就是我们说的两个定点。

然后呢，有一个小朋友拿着一个超级长的跳绳，跳绳的一头绑在第一根旗杆上，另一头绑在第二根旗杆上。

“将军饮马”老歌新唱——例析直线上动点与两定点的距离和的最值问题王柏校古希腊有位将军要从A地出发到河边去饮马，然后再到B地军营视察，问怎样选择饮马地点，才能使路程最短？图1A地B地这是著名的“将军饮马”问题，在河边饮马的地点有很多处，怎样找出使两条线段之和最短的那个点来，我们只要设L为河（如图1），作AO⊥L交L于O点，延长AO至A'，使A'O=AO；连结A'B，交L于C，则C点就是所要求的饮马地点。

再连结AC，则路程（AC+CB）为最短的路程。

为什么饮马地点选在C点能使路程最短？因为A＇是A点关于L的对称点，AC与A'C 是相等的。

而A'B是一条线段，所以A'B是连结A＇、B这两点间的所有线中，最短的一条，所以AC+CB=A'C+CB=A'B也是最短的一条路了。

这就是运用轴对称变换，找到的一种最巧妙的解题方法。

这一流传近2000年的名题至今还被命题者所喜爱，近年来许多省市中考中出现了以此故事为背景的试题，它们所考查的深度和广度也在不断演变、拓展，而且又常与其他的数学知识相联系，数形结合，突出了数学的思维价值和应用能力，能够有效地体现学生的数学学习能力，现从2009年中考试题中撷取与此相关的试题来分类说明，供广大读者参考。

一、演变成与正方形有关的试题例1（2009年抚顺）如图2所示，正方形ABCD的面积为12，ABE△是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD PE+的和最小，则这个最小值为（）A．B．C．3 D分析与解：正方形ABCD 是轴对称图形，对角线AC 所在直线是它的一条对称轴，相对的两个顶点B 、D 关于对角线AC 对称,在这个问题中D 和E 是定点，P 是动点。

我们可以找到一个定点D 的轴对称点B ，连结BE ，与对角线AC 交点处P 就是使距离和最小的点（如图3），而使PD+PE 的和的最小值恰好等于BE ,因为正方形ABCD 的面积为12，所以它的边长为23，即PD +PE 的最小值为23。

浅析动点到两个定点的距离之和（差）的最值江苏省泰州市民兴实验中学马永华在高三复习过程中经常碰到有关求某曲线上的一个动点到两定点的距离之和（差）的最值．许多同学在面对此类问题时感到束手无策，无从下手。

本文就此类最值问题常见题型作初步探索。

一、直线上的动点到直线外两个定点的距离之和（差）的最值．例1（1）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P是x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为，此时点P的坐标为；（2）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P是x轴上任意一点，则PB-PA的最大值为，此时点P的坐标为．解析：（1）如图1，当点P在x轴上运动时，PA+PB?AB(当且仅当A，P，B三点共线时等号成立)∴(PA+PB)min =AB=此时，点P的坐标为（2）如图2，当点P在x轴上运动时，PB- PA ?AB(当且仅当A，P，B三点共线时等号成立)∴(PB-PA)max =AB=此时，点P的坐标为变题：（1）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P是x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为，此时点P的坐标为；解析：（1）如图3，作点B关于x轴的对称点B?（3，-2），则有PB=PB?当点P在x轴上运动时，PA+PB=PA+PB??AB?(当且仅当A，P，B?三点共线时等号成立)∴(PA+PB)min =AB?=此时，点P的坐标为（2）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P是x轴上任意一点，则PB-PA的最大值为，此时点P的坐标为．解析：（2）如图4，作点B关于x轴的对称点B?，则有PB=PB?当点P在x轴上运动时，PB- PA= PB?- PA ?AB?(当且仅当A，P，B?三点共线时等号成立)∴(PB-PA)max =AB?=此时，点P的坐标为归纳：①当两定点位于直线的异侧时可求得动点到两定点的距离之和的最小值；②当两定点位于直线的同侧时可求得动点到两定点的距离之和的绝对值的最大值．若不满足①②时，可利用对称性将两定点变换到直线的同（异）侧，再进行求解．如变题的方法．例2函数的值域为．解析：将函数进行化简得：即为动点P（x，0）到两定点A(1，1)、B（3，-2）的距离之和．由例1可知：该值域为二、圆锥曲线上的动点到两个定点的距离之和（差）的最值．（一）直接求解或利用椭圆（或双曲线）的定义进行适当转化后求解．例3（1）已知A(4，0)和B(2，2)，M是椭圆上的动点，则MA-MB的范围是；解析：(1)如图5，在∆MAB中有MA-MB<AB，当M，A，B三点共线且MB>MA即点M位于M2处时，有MA-MB=AB，所以MA-MB?AB；同理在∆MAB中有MB-MA?AB，即MB-MA?-AB(当点M位于M1处时等号成立)综上所述：-AB?MA-MB?AB（2）已知A(4，0)和B(2，2)，M是椭圆上的动点，则MA+MB的最大值是．解析：(2) 如图6，因为点A恰为椭圆的右焦点，所以由椭圆的定义可得MA+MB=10-MF+MB（F为椭圆的左焦点），同（1）可得MB-MF?BF(当且仅当点M位于点M4处时，等号成立)所以(MA+MB)max =(10-MF+MB)max=10+BF=10+点评：因为点A，B都在椭圆的内部（即两定点都在曲线的同侧），故可直接求出动点M到两定点A，B的距离之差的最值；若要求动点M到两定点A，B的距离之和的最值（其中A恰为焦点），需要利用椭圆的定义转化为动点M到两定点F，B的距离之差的最值（点F为另一焦点）．例4(1)已知F是双曲线的左焦点，A(4，1)，P是双曲线右支上的动点，则PA+PF的最小值为；解析：(1)如图7，在∆PAB中有PA+PF>AB，当P，A，F三点共线即点P位于P1处时，有PA+PF=AF，所以(PA+PF)min=AF=．(2)已知F是双曲线的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则PA+PF 的最小值为．解析：(2)如图8，设F2是双曲线的右焦点，由双曲线的定义可得PA+PF=PA+2a+PF2=8+ PA+PF2?8+AF2(当P，A，F2三点共线即点P位于P2处时等号成立)，所以(PA+PF)min=8+AF2=13．点评：本题需要特别关注点与双曲线的位置关系，两定点一定要在动点的轨迹（曲线）的异侧．（二）利用圆锥曲线的统一定义将圆锥曲线上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离进行互化后进行求解．例5（1）已知点A(2，2)，F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，则PF+PA的最小值是，此时，点的坐标为；解析：如图9，设点P到右准线的距离为PP?，由圆锥曲线的统一定义可知，即(当且仅当A，P，P?三点共线，即点P位于点P1处时取等号)此时点P的坐标为P(，2).（2）已知点A(5，2)，F是双曲线的右焦点，P是双曲线上的动点，则PF+PA 的最小值是，此时点的坐标为．解析：如图10，设点P到右准线的距离为PP?，由圆锥曲线的统一定义可知，即(当且仅当A，P，P?三点共线，即点P位于点P1处时取等号)此时点P的坐标为P(，2)点评：此类最显著的特征是动点与焦点距离前有系数，可以利用圆锥曲线的统一定义将动点到焦点的距离转化为到相应准线的距离．例6（1）抛物线的焦点为F，A(4，-2)为一定点，在抛物线上找一点M，当MA+MF为最小值时，点M的坐标为；解析：如图11，为抛物线的准线，MM?为点M到准线的距离．利用抛物线的定义：MF=MM?，可得MA+MF= MA+MM??AM?（当且仅当A，M，M?三点共线时等号成立，即当点M在M?处时等号成立）此时点M的坐标为M(，-2)（2）P为抛物线上任一点，A(3，4)为一定点，过P作PP?垂直y轴于点P?，则AP+ PP?的最小值为．解析：如图12，延长PP?交抛物线的准线于点P??，由抛物线的定义：PP?=PF，所以AP+ PP?= AP+ PP??-1= AP+PF-1?AF-1(当且仅当A，P，F三点共线时等号成立，即当点P位于P1处时等号成立)点评：本题需要注意两点：①定点所在位置是抛物线的内部还是外部；②利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化．。

关于平面内动点到两定点距离之和、差的最值问题摘要：本文通过几道例题，探求了直线或圆锥曲线上一动点到平面内两定点(或一定点一定线)的距离和、差的最值问题，揭示了这一难点问题的本质及其共同解法。

关键词：动点；距离；最值在高三复习过程中经常碰到有关求某曲线上的一个动点到两定点的距离之和(差)的最值。

许多学生在面对此类问题时常常感到束手无策。

本文就此类最值问题及其常见题型作一初步探索。

一、动点在直线上时：即为动点P(x，0)到两定点A(1，1)、B(3，-2)的距离之和。

可知：该值域为总结反思：一般地，求距离之和的最小值应让两点处于直线的异侧，如在同侧则作其中一点关于直线的对称点，异侧两点的距离即为所求的最小值，两点连线与直线的交点即为取最小值时的动点，其依据是：三角形两边之和大于第三边；求距离之差的最大值应让两点处于直线的同侧，如在异侧则作其中一点关于直线的对称点，同侧两点的距离即为所求的最大值，两点连线的延长线与直线的交点即为取最大值时的动点，其依据是：三角形两边之差小于第三边二、动点在圆锥曲线上时1.动点在抛物线上时2.动点在双曲线上时反思感悟：一般地，动点在圆锥曲线上求这两种距离时，定点给的要相对特殊一些。

求距离之和的最小值仍然应让两点处于圆锥曲线的异侧，如在同侧则利用圆锥曲线的定义转化为异侧，异侧两点的距离即为所求的最小值，两点连线与圆锥曲线的交点即为取最小值时的动点，其依据是：三角形两边之和大于第三边；求距离之差的最大值应让两点处于圆锥曲线的同侧，如在异侧则利用圆锥曲线的定义转化为同侧，同侧两点的距离即为所求的最大值，两点连线的延长线与圆锥曲线的交点即为取最大值时的动点，其依据是：三角形两边之差小于第三边。

由此进一步体会圆锥曲线的定义在解题中的重要应用。

参考文献：[1]王朝银.创新设计[Ｍ].西安:陕西人民出版社,2009.作者单位：陕西省延安中学邮政编码：716000。

直线上一动点到两定点距离之和最小问题．如何求直线上一动点p到（同侧）两定点距离之和的最小值所在直线的对称点与另一定p二、其中一定点关于动点点连结成的线段长即所求。

例题讲解）两点，3（3，），、平面直角坐标系内有A（2，-1B1 轴上一动点，求：是yP点B 距离之和最小时的坐标；P）到A、（1 距离之和的最小值；、BA2（）P到的周长的最小值。

PAB（3）三角形2，DM=2在CD上且MABCD例2、正方形的边长为8，点DN+MN的最小值是多少？在对角线动点NAC上，则3的A2009，深圳）如图，在直角坐标系中，点3例．（顺OOA绕原点0），连结OA，将线段，坐标为（－2 OB.时针旋转120°，得到线段B的坐标；（1）求点、、O三点的抛物线的解析式；A（2）求经过B，使△C2）中抛物线的对称轴上是否存在点3（）在（C的周长最小？若存在，求出点的坐标和BOC.的最小周长；若不存在，请说明理由△BOCyBOA x4巩固提高边的BC中，点Q为、在边长为12㎝的正方形ABCD PQAC上一动点，连接PB、，中点，点P为对角线周长的最小值为____________㎝。

则△PBQ是等边三12，2、如图所示，正方形的面积为ABCDABE △AD内，在对角线角形，点在正方形P ACABCDE E 的和最小，则这个最小值为，使上有一点PE PDP CB（）．B．AD．C 3 ．662325，⊥BCABCD中，AD∥BC，AB3、已知直角梯形PD取P=2，BC=DC=5，点在BC上移动，则当PA+AD）APD最小值时，△中边AP上的高为（3D A、BC、、、482171717171717的两条对角线分别，荆门）如图，菱形ABCD4、（2008 分别P是对角线AC上的一个动点，点M、N8长6和，点值，则PM+PN的最小BC 是边AB、的中点是。

O在，点AMN=25、（2009，南通）如图，MN是O的直径，0上的一BAMN=30，为弧AN的中点，P是直径MN上，∠个动点，则PA+PB的最小值是。

初中几何求最小值的方法嘿，咱今天就来讲讲初中几何求最小值的那些事儿哈！你想想看，在几何的世界里，有时候我们就像是在迷宫里找最短的路一样，要找到那个最小值，可不容易呢，但一旦找到了，哇塞，那成就感，杠杠的！先来说说常见的一种方法，就是利用两点之间线段最短。

这就好比你要从 A 点到 B 点，那肯定是直接走直线最短呀，对不对？比如说在一个三角形里，要让一个动点到另外两个定点的距离之和最小，那咱就得找到那个关键的点，让它和那两个定点连成的线段最短。

还有啊，轴对称也能帮大忙呢！有时候把图形进行轴对称变换一下，就能发现新的奇妙之处。

就好像你给图形变了个魔法，一下子就找到最小值的线索啦。

比如说有一条河，河两边有两个村子，要在河上建一座桥，让两个村子的距离最短，这时候轴对称不就派上用场啦！再说说利用三角形三边关系求最小值。

三角形两边之和大于第三边，这可是个铁律呀！那咱就可以根据这个来想办法找到最小值。

好比是给几何图形戴上了一个“紧箍咒”，让它乖乖地露出最小值的真面目。

另外，还有一些特殊的几何模型，比如将军饮马问题，那可真是经典得不能再经典啦！就好像一个将军要去河边给马喝水，然后再回到营地，怎么个走法路程最短呢？这里面可藏着大学问呢！你可别小看这些方法，它们就像是几何世界里的秘密武器，能帮你在各种难题面前披荆斩棘。

就像你有了一把钥匙，能打开那扇通往最小值的神秘大门。

咱举个例子哈，在一个直角三角形里，有一个动点在斜边上移动，要让它到两直角边的距离之和最小。

这时候你就得好好琢磨琢磨，怎么利用前面说的那些方法来找到这个最小值。

你得在脑子里构想出那个图形，就像在脑子里放电影一样，把各种可能的情况都过一遍。

哎呀呀，初中几何求最小值的方法真的很有趣呢！它们让几何变得不再是那么冷冰冰的公式和图形，而是充满了挑战和乐趣。

只要你用心去钻研，就一定能掌握这些方法，在几何的海洋里畅游。

所以呀，同学们，别害怕几何里的最小值问题，大胆去尝试，去探索，你会发现其中的无穷魅力！相信自己，你一定能行！。