直线上一点与直线外两点距离之和最小问题(教案)

教学设计复习引入（5分钟）新课问题导入（3分钟）一．复习引入1.两点之间，什么最短？2.点到直线的距离？问题：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

（连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。

）二、探究如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？像这样我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”。

问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：看图：从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全最短？回答问题学生思考学生思考，并在草稿纸上画图，看是否可以确定最短路线。

学生在老师的引导下思考。

引入课题由浅入深，让学生先理解两点在直线两侧情况中的最短路径问题。

引出问题（3分钟）精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？（将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．）你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）．你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？师讲解做法：如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？学生在老师的引导下，尝试用轴对称来试试，看是否是最短距离。

13. 4课题学习最短路径问题通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短.重点应用所学知识解决最短路径问题.难点选择合理的方法解决问题.一、创设情境多媒体展示：如图，一个圆柱的底面周长为20 cm，高AB为4 cm，BC是底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路径.这是一个立体图形，要求蚂蚁爬行的最短路径，就是要把圆柱的侧面展开，利用“两点之间，线段最短”求出最短路径.那么怎样求平面图形中的最短路径问题呢？二、自主探究探究一：最短路径问题的概念1.多媒体出示图①和图②，提出问题：(1)图①中从点A走到点B哪条路最短？(2)图②中点C与直线AB上所有的连线中哪条线最短？2.教师总结：“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题，我们称之为最短路径问题.探究二：河边饮马问题多媒体出示问题1：牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人从河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？提出问题：如果点A和点B分别位于直线的两侧，如何在直线l上找到一点，使得这个点到点A和点B的距离的和最短？思考：如果点A和点B位于直线的同侧，如何在直线l上找到一点，使得这个点到点A 和点B的距离的和最短？教师引导学生讨论，明确找点的方法.让学生对刚才的方法通过逻辑推理的方法加以证明.教师巡视指导学生的做题情况，有针对性地进行点拨.探究三：造桥选址问题多媒体出示问题2.(教材第86页)提出问题：(1)根据问题1的探讨你对这道题有什么思路和想法？(2)这个问题有什么不同？(3)要保证路径AMNB最短，应该怎样选址？学生对这个三个问题展开讨论，得出结论：要保证AMNB最短，就是要保证AM＋MN ＋NB最小.尝试选址作出图形.多媒体展示教材图13.4－7，13.4－8，13.4－9，引导学生分析、观察，让学生根据刚才的分析，完成证明过程.根据问题1和问题2，你有什么启示？三、知识拓展已知长方体的长为2 cm、宽为1 cm、高为4 cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？[让学生讨论有几种爬行的方法，计算出每种方案中的路程，再进行比较]四、归纳总结1.本节课你学到了哪些知识？2.怎样解决最短路径问题？本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题学习，让学生经历将实际问题抽象为数学问题的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小的问题转化为“两点之间，线段最短”问题.。

示范教案错误!教学分析点到直线的距离的公式的推导方法很多，可探究的题材非常丰富．除了本节课探究方法外，还有应用三角函数、应用向量等方法．因此“课程标准"对本节教学内容的要求是：“探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离”．希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法,学会利用数形结合思想、化归思想和分类方法,由浅入深、由特殊到一般地研究数学问题,培养学生的发散思维．三维目标1．让学生掌握点到直线的距离公式,并会求两条平行线间的距离,培养转化的数学思想．2．引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新．重点难点教学重点：点到直线距离公式的推导和应用．教学难点：对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立．课时安排1课时错误!导入新课设计1。

点P（0，5）到x轴的距离是多少？更进一步，在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为（x0,y0），直线l的方程是Ax＋By＋C＝0，怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l 的距离呢？教师引出课题．设计2.我们知道点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点不在直线上,当点不在直线上时，怎样求出该点到直线的距离呢？教师引出课题．推进新课错误!错误!（1）设坐标平面上(如下图），有点P(x1,y1)和直线l：Ax＋By＋C ＝0(A2＋B2≠0)．作直线m通过点P（x1，y1）,并且与直线l垂直，设垂足为P0（x0，y0)．求证：①B(x0－x1）－A（y0－y1）＝0；②C＝－Ax0－By0。

(2)试求出(x1－x0）2＋(y－y0)2.(3）写出点P到直线l的距离d的计算公式．（4）写出求点P（x1，y1）到直线Ax＋By＋C＝0的距离的计算步骤．讨论结果：（1）证明：①设直线m的方程为Bx－Ay＋D＝0，∵P（x1,y1）在m上，∴Bx1－Ay1＋D＝0，∴D＝Ay1－Bx1，∴直线m的方程为Bx－Ay＋（Ay1－Bx1)＝0，即B(x－x1)－A（y－y1）＝0。

13.4 课题学习最短路径问题【教学目标】教学知识点能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想.能力训练要求在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想. 情感与价值观要求通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学.【教学重难点】重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.突破难点的方法:利用轴对称性质,作任意已知点的对称点,连接对称点和已知点,得到一条线段,利用两点之间线段最短来解决.【教学过程】一、创设情景引入课题师:前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”.(板书)课题学生思考教师展示问题,并观察图片,获得感性认识.二、自主探究合作交流建构新知追问1:观察思考,抽象为数学问题这是一个实际问题,你打算首先做什么?活动1:思考画图、得出数学问题将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直线.追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗?师生活动:学生尝试回答, 并互相补充,最后达成共识:(1)从A 地出发,到河边l 饮马,然后到B 地;(2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从A 地到饮马地点,再回到B 地的路程之和;(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C 为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小(如图).强调:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”活动2:尝试解决数学问题问题1 : 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小?追问1 你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点B'吗?问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB的和最小?师生活动:学生独立思考,画图分析,并尝试回答,互相补充如果学生有困难,教师可作如下提示作法:(1)作点B 关于直线l 的对称点B';(2)连接AB',与直线l 相交于点C,则点C 即为所求.如图所示:问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?教师展示:证明:如图,在直线l 上任取一点C'(与点C 不重合),连接AC',BC',B'C'.由轴对称的性质知,BC =B'C,BC'=B'C'.∴AC +BC= AC +B'C = AB',AC'+BC'= AC'+B'C'.在△AC'B'中,AC'+B'C'>AB',∴当只有在C点位置时,AC+BC最短.方法提炼:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.问题4练习如图,一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客,然后将游客送往河岸BC 上,再返回P 处,请画出旅游船的最短路径.基本思路:由于两点之间线段最短,所以首先可连接PQ,线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路.将河岸抽象为一条直线BC,这样问题就转化为“点P,Q 在直线BC 的同侧,如何在BC上找到一点R,使PR与QR 的和最小”.问题5 造桥选址问题如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)思维分析:1.如图假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到B的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢?2.利用线段公理解决问题:我们遇到了什么障碍呢?思维点拨:在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢?什么图形变换能帮助我们呢?(估计有以下方法)1.把A平移到岸边.2.把B平移到岸边.3.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.教师:上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢?请检验.1、2两种方法改变了.怎样调整呢?把A或B分别向下或上平移一个桥长,那么怎样确定桥的位置呢?问题解决:如图,平移A到A1,使AA1等于河宽,连接A1B交河岸于N.作桥MN,此时路径AM+MN+BN最短. 理由:另任作桥M1N1,连接AM1,BN1,A1N1. 由平移性质可知,AM=A1N,AA1=MN=M1N1,AM1=A1N1. AM+MN+BN转化为AA1+A1B,而AM1+M1N1+BN1转化为AA1+A1N1+BN1. 在△A1N1B中,由线段公理知A1N1+BN1>A1B.因此AM1+M1N1+BN1> AM+MN+BN,如图所示:三、巩固训练(一)基础训练1.最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要连接这两点,与直线的交点即为所求.如图所示,点A,B分别是直线l异侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时点C是直线l与AB的交点.(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要找到其中一个点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求.如图所示,点A,B分别是直线l同侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时先作点B关于直线l的对称点B',则点C是直线l与AB'的交点.2.如图,A和B两地之间有两条河,现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河岸垂直)如图,问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+QB.桥MN和PQ在中间,且方向不能改变,仍无法直接利用“两点之间,线段最短”解决问题,只有利用平移变换转移到两侧或同一侧.平移的方法有三种:两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处,PQ平移到B点处.(二)变式训练如图,小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自来水厂向A村与B村供水.(1)若要使厂部到A,B村的距离相等,则应选择在哪建厂?(2)若要使厂部到A,B两村的水管最短,应建在什么地方?(三)综合训练茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会,桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO,BO),AO桌面上摆满了橘子,OB桌面上摆满了糖果,站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果,然后到D处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短?图a 图b四、反思小结(1)本节课研究问题的基本过程是什么?(2)轴对称在所研究问题中起什么作用?解决问题中,我们应用了哪些数学思想方法?你还有哪些收获?五、作业布置课本93页第15题.。

点到直线的距离教案全套教学目标1、结合具体情境，理解"两点间所有连线中线段最短"，知道两点间距离和点到直线的距离。

2、在对两点间的距离和点到直线的距离知识的探究过程中，培养观察、想象、动手操作的能力，发展初步的空间观念。

3、在解决实际的问题过程中，体验数学与日常生活的密切联系，提高学习兴趣，学会与他人合作共同解决问题。

4、激发学生探究学习的积极性和主动性。

教学重点与难点理解"两点间所有连线中线段最短"，知道两点间距离和点到直线的距离。

教具三角尺、直尺教学过程一、专项训练1画一条长3cm的线段。

2、过A点画已知直线的平行线和垂线。

二、交流展示同学们，修路时遇河要怎样？架桥时如果遇到大山怎么办？（出示课件）学生观察情境图，说一说自己的意见。

得出结论，可以修隧道。

1、画一画：教师出示课件师：我们先确定两个点代表大山两侧的甲乙两地，怎样从甲地到达乙地？有没有更近的路线？自己动手画一画，看能发现什么？（组织学生进行小组讨论，给学生充足的要论的时间）2、让学生展开交流，使他们各抒己见，充分发表自己的意见和见解。

师：通过观察思考，你能得出什么结论？学生独立思考后画出几条不同的线，通过观察、测量得出结论。

教师出示课件，让学生检验自己的结论是否正确。

3、学生通过操作感知：两点之间线段最短。

（板书）4、小游戏：（投影出示课件）教师让四个同学站在同一水平线上（两个同学之间要间隔一段距离），抢板凳，板凳与其中的一个同学正对着，根据他们站的位置，谁最有可能抢到板凳？（先让学生们猜一猜，教师统计一下结果，然后让四个学生去做，其它同学认真观察，看结果究竟如何）师：这样公平吗？为什么？（教师请同学们说明原因）再让四个同学按照开始时的情形站好，让两个同学分别测量四个同学所站的位置到板凳的长度，教师把学生测量的数据记在黑板上。

让学生观察数据，分析游戏的结果，得出结论。

师：请同学们把刚才游戏的模拟图画出来，并测量每个同学到板凳的距离，分别记下来。

直线上一点到直线外两点的最小值-概述说明以及解释1.引言1.1 概述引言部分概述了本篇长文的主要内容和结构。

本文将研究直线上一点到直线外两点的最小值的概念和计算方法，并总结其实际应用和意义。

在几何学中，直线是最基本的图形之一，而直线上的点到直线外的两点的最小值问题，是几何学中的一个经典问题。

它涉及到直线上的一个点到直线外两个点的最短距离，具有一定的研究价值和实际意义。

本文将首先详细阐述直线上一点到直线外两点的最小值的概念和定义，深入探讨其几何特征和性质。

其次，将介绍计算直线上一点到直线外两点的最小值的方法，包括相关公式和算法。

通过具体的数学推导和实例分析，将详细解释计算过程和步骤。

在最后的结论部分，将对直线上一点到直线外两点的最小值进行总结和概括。

通过对所研究问题的整体回顾，总结其特点和规律。

同时，本文还将探讨直线上一点到直线外两点的最小值的实际应用和意义，如在几何测量、路径规划等领域的具体应用。

通过本篇长文的详细介绍和分析，读者将能够更加深入地了解直线上一点到直线外两点的最小值问题，并掌握相关的计算方法。

同时，通过对实际应用和意义的讨论，读者将能够进一步认识到这一问题在实际中的重要性和实用价值。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行讨论直线上一点到直线外两点的最小值的概念、计算方法、结论以及实际应用和意义。

首先，我们将在引言中概述本文的主题和问题，并介绍文章的结构。

接着，我们将在正文部分详细阐述直线上一点到直线外两点的最小值的概念。

这将包括对直线上一点到直线外两点距离最小值的定义和解释，以及相关的数学原理和特性。

我们将通过具体的示例和图表来理解这个概念。

然后，我们将介绍计算直线上一点到直线外两点的最小值的方法。

我们将涵盖基本的计算公式和算法，并讨论它们的优劣。

我们还将介绍可能出现的特殊情况和处理方法。

接下来，我们将在结论部分总结直线上一点到直线外两点的最小值的重要性和应用。

我们将讨论这个概念在实际生活和科学研究中的应用，并探讨其带来的意义和影响。

13.4课题学习最短路径问题)课程设计修改和反思实际问题转化为数学问题来解决。

今天我们就通过几个实际问题学习如何设计最短路径。

（设计意图：在学习本节课之前让学生们清楚学习这节课的知识在解决生活实际问题中有什么作用，同时让学生意识到数学知识应用的广泛性。

） 导：相传，古希腊亚历山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。

有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题:如图，从点A 地出发，到一条笔直的河边L 饮马，然后到B 地，到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”。

（设计意图：利用问题故事的形式导入，既激发学生的学习兴趣，又明确的出示了这节课的学习内容。

） 知识回顾：1.如图，连接A 、B 两点的所有连线中，哪条最短？ABl课程设计修改和反思为什么？2.如图，点P 是直线l 外一点，点P 与该直线l 上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？4.如图，如何做点A 关于直线l 的对称点●┐（设计意图：在学习本节课之前先让学生预习几个知识点，便于这节课学生们能熟练的运用所学的知识解决本节课的内容。

） 师：让我们回到刚才出示的问题中，引导学生将实际问题转化为数学问题，并明确作图要求。

A B ① ②③P l A B C D lAA B l抽象成ABl数学问题课程设计修改和反思作图：在直线l 上求作一点C,使AC+BC 最短问题.（设计意图：运用转化的思想，将实际问题抽象成数学问题，用数学思想和方法进行解决。

）思：现在假设点A,B 分别是直线l 异侧的两个点，如何在l 上找到一个点，使得这个点到点A ，点B 的距离的和最短？根据是“两点之间，线段最短” “两边之和大于第三边”。

（设计意图：让学生们思考假设点A,B 分别是直线l 异侧的两个点，如何在l 上找到一个点，使得这个点到点A ，点B 的距离的和最短的问题，并用数学知识进行验证和推理。

初中数学最小的距离教案教学目标：1. 让学生理解两点之间线段最短的性质，并能运用到实际问题中。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。

教学重点：1. 两点之间线段最短的性质。

2. 如何运用数学知识解决实际问题。

教学难点：1. 如何理解两点之间线段最短的性质。

2. 如何将实际问题转化为数学问题。

教学准备：1. 教师准备PPT或者黑板，展示相关例子和问题。

2. 准备一些实际问题，让学生思考和解决。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过PPT或者黑板，展示两个点A和B，询问学生如何连接这两个点。

2. 让学生思考并回答，引导他们意识到连接两点的方式有很多种，但有些方式会比其他方式更长。

二、新课（20分钟）1. 教师介绍两点之间线段最短的性质，即连接两点的所有线中，线段是最短的。

2. 通过PPT或者黑板，展示一些例子，让学生理解并验证这个性质。

3. 教师讲解如何将实际问题转化为数学问题，例如找出一系列点中距离最短的点对。

4. 学生分组讨论，每组解决一个实际问题，并展示解题过程和答案。

三、练习（15分钟）1. 教师给出一些练习题，让学生独立解决。

2. 学生完成后，教师进行讲解和解析。

四、总结（5分钟）1. 教师引导学生总结今天学到的知识点，即两点之间线段最短的性质和如何运用到实际问题中。

2. 教师强调这个知识点的重要性和应用广泛性，鼓励学生在日常生活中多观察和思考。

教学反思：本节课通过导入、新课、练习和总结等环节，让学生理解了两点之间线段最短的性质，并学会了如何运用到实际问题中。

在教学过程中，教师通过展示例子和讲解，帮助学生理解和掌握知识点。

同时，学生通过分组讨论和独立练习，提高了团队合作能力和解决问题的能力。

但是，对于一些学生来说，将实际问题转化为数学问题可能还存在一定的困难，教师可以在今后的教学中加强这方面的引导和训练。

13.4最短路径问题一、教学内容：本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。

本节课以数学史中的一个经典故事----“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。

二、教学目标1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题2、再谈岁最短路径的过程中，体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。

三、教学重难点重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。

难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。

四、教学问题诊断最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。

解答“当点A\B在直线l的同侧时，如何在l上找到点C，使AC与BC的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，与直线l上的点的线段的和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难。

在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求做的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到。

教学时，教师可以让学生首先思考“直线l异侧的两点，与直线l上的点的和最小”为学生搭建“脚手架”，在证明最短时，教师要适时点拨学生，让学生体会任意的作用。

五、教学过程教师引语：现实生活中经常会有这样的生活经历，比如学校虽然为我们铺设了一些石板甬路，方便同学们的行走，但是很多时候我们却并不在这些小路上行走，这样做的目的是什么呢？（学生一起回答）如果用数学知识来解释这种行为，那就是我们曾经学习的“两点之间、线段最短”或“垂线段最短”，我们称这样的问题为最短路径问题（板书课题）现实生活中经常涉及到最短路径问题，这节课我们学习的主要任务就是最短路径问题，并用所学知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。

课题学习最短路径问题【教学目标】1．了解最短路径问题。

掌握解决最短路径问题的方法。

2．通过解决最短路径问题的过程培养学生分析问题的能力。

3．通过对最短路径问题的学习，增强应用数学知识解决实际问题的信心。

【教学重难点】最短路径的选择。

【课时安排】2课时。

【第一课时】【教学过程】一、情景导入。

前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题。

同学们通过讨论下面两个问题，可以体会如何运用所学知识选择最短路径。

二、思考探究，获取新知。

问题：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。

牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线。

设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小。

联想：如图所示，点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短两点之间，线段最短。

连接AB，与直线l相交于一点，这个交点即为所求。

如果我们能把点B移到l的另一侧B′处，同时对直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等，就可以把问题转化为上面的情况。

作出点B关于l的对称点B′，利用轴对称的性质可以得到CB′=CB。

连接AB′，与直线l相交于点C。

则点C即为所求。

学生小组合作交流。

三、巩固练习。

1．如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）。

【第二课时】【教学过程】一、造桥选址问题。

问题：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。

桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。

）（1）C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小。