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3.1 函数与方程一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．3、函数零点的求法：○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、基本初等函数的零点：①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。
②反比例函数(0)ky k x=≠没有零点。
③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。
④二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．（1）△＞０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．⑤指数函数(0,1)xy a a a =>≠且没有零点。
⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1.⑦幂函数y x α=，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。
5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成()0fx =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。
学校 乐从中学 年级 高一 学科 数学 导学案主备宋丽玲 审核 张活富 授课人 授课时间 班级 姓名 小组 课题：3.1.1方程的根与函数的零点 课型：新授课 课时：1 【学习目标】（1）了解函数的零点与对应方程的根的关系，了解零点概念；（2）会根据二次函数的图像与x 轴的交点判断一元二次方程的根的个数与函数零的个数（3）掌握数型结合的数学思想方法。
【学习过程】 一、课题引入 1、 求下列方程的根（1）0322=--x x （2）0122=+-x x （3）0322=+-x x2、完成下列表格：方程 0322=--x x 0122=+-x x 0322=+-x x函数 322--=x x y122+-=x x y322+-=x x y函数图象方程的实数根 函数的图像与x 轴的交点思考：一元二次方程的根与对应的二次函数的图象与x 轴的交点有什么关系？（教师“复备”栏或学生笔记栏）若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 及其相应的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的交点关系，上述结论是否成立？：判别式△ = b2－4ac △＞0△=0△＜0方程)0(02≠=++a c bx ax 的根函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象函数的图象 与 x 轴的交点函数零点的定义：对于函数y=f(x),我们把使 ____________________ 的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。
等价关系:方程f(x)=0有实数根巩固练习：1、的零点是函数322--=x x y （ ）A ．（-1,0），（3,0） B.x=-1 C.x=3 D.-1和3 2、求下列函数的零点.思考：零点是一个点吗？20)1(2+--=x x y 12)2(-=x y )1(log )3(2-=x y小结求函数零点的方法：探究：1、观察二次函数32)(2--=x x x f 图象)(0_____)4()2(]4,2[)2()(0____)1()2(____,)1(_____,)2(]1,2[)1(><⋅><=⋅-==--或上有零点；在区间或上有零点；在区间f f f f f f2、 观察下面函数y=f(x)的图象)(0__)()()|___(],[3)(0__)()()|___(],[2)(0__)()()|___(],[)1(><⋅><⋅><⋅或零点，无有上）在区间（或零点，无有上）在区间（或零点，无有上在区间d f c f d c c f b f c b b f a f b a 由以上的探索你发现了什么?零点定理：如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是________的一条曲线，并且有____________那么，函数)(x f y =在区间),(b a 内________，即存在),(b a c ∈使得__________ ，这个c 也是______________的根。
专业文档 珍贵文档 3．1函数与方程 3．1.1 方程的根与函数的零点 [学习目标] 1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点)2.会求函数的零点．(重点)3.掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)
一、函数的零点 1．定义 对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 2．几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 二、函数零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 三、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 专业文档
珍贵文档 图象 与x轴的交点 (x1，0) (x2，0) (x1，0) 无交点 零点的个数 2 1 0
1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数都有零点．( ) (2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1，0)，(x2，0)．( ) (3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× 2．函数y＝4x－2的零点是( ) A．2 B．(－2，0)
C.12，0 D.12 【解析】 令y＝4x－2＝0得x＝12，故函数y＝4x－2的零点是12. 【答案】 D 3．若函数f(x)在区间(2，5)上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)＜0，则函数f(x)在区间(2，5)上零点的个数是________． 【解析】 由函数零点存在性定理和函数的单调性知，f(x)在区间(2，5)上有且只有一个零点． 【答案】 1 4．已知函数y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，若计算得f(1)＜0，f(2)＜0，f(3)＞0，则可以确定零点所在区间为________． 【解析】 ∵y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，且f(2)·f(3)＜0，∴函数零点所在区间为(2，3)． 专业文档 珍贵文档 【答案】 (2，3)
函数与方程考点同步解读1.函数与方程是中学数学的重要内容。
在现实生活注重理论与实践相结合的今天，函数与方程都有着十分重要的应用，函数与方程还是中学数学四大数学思想之一，因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。
2.本节通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．3.本节之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中应用，通过建立函数模型及模型的求解来体现函数与方程的关系，渗透“方程与函数”的思想。
核心素养聚焦1.通过函数与方程的关系，理解函数零点的概念,提高数学抽象的核心素养。
2.根据图像领会函数零点与相应方程要的关系,掌握零点存在的判定条件，培养学生直观想象的素养3.在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，提升数学建模的核心素养。
教学目标知识与技能1．结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；2．结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；3．结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法．过程与方法1．通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯；2．通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；3．通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；4．通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力．情感、态度与价值观1．让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；2．培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；3．使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感．教学重点与难点教学重点：零点的概念及零点存在性的判定．教学难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法．教学的方法与手段教学过程【环节一：揭示意义，明确目标】揭示本章意义，指明课节目标教师活动：用屏幕显示教师活动：这节课我们来学习第三章函数的应用．通过第二章的学习，我们已经认识了指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数的图象和性质，而这一章我们就要运用函数思想，建立函数模型，去解决现实生活中的一些简单问题．为此，我们还要做一些基本的知识储备．方程的根，我们在初中已经学习过了，而我们在初中研究的“方程的根”只是侧重“数”的一面来研究，那么，我们这节课就主要从“形”的角度去研究“方程的根与函数零点的关系”．教师活动：板书标题(方程的根与函数的零点)．【环节二：巧设疑云，轻松渗透】设置问题情境，渗透数学思想教师活动：请同学们思考这个问题．用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？(1)x2－2x－3＝0；(2)ln x＋2x－6＝0.学生活动：回答，思考解法．教师活动：第二个方程我们不会解怎么办？你是如何思考的？有什么想法？我们可以考虑将复杂问题简单化，将未知问题已知化，通过对第一个问题的研究，进而来解决第二个问题．对于第一个问题大家都习惯性地用代数的方法去解决，我们应该打破思维定势，假如第一个方程你不会解，也不会应用判别式，你要怎样判断其实根个数呢？学生活动：思考作答．教师活动：用屏幕显示函数y＝x2－2x－3的图象．学生活动：观察图象，思考作答．教师活动：我们来认真地对比一下．用屏幕显示表格，让学生填写x2－2x－3＝0的实数根和函数图象与x轴的交点．学生活动：得到方程的实数根应该是函数图象与x轴交点的横坐标的结论．教师活动：我们就把使方程成立的实数x称为函数的零点．【环节三：形成概念，升华认知】引入零点定义，确认等价关系教师活动：这是我们本节课的第一个知识点．板书(一、函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，使方程f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点)．教师活动：我们可不可以这样认为，零点就是使函数值为0的点？学生活动：对比定义，思考作答．教师活动：结合函数零点的定义和我们刚才的探究过程，你认为方程的根与函数的零点究竟是什么关系？学生活动：思考作答．教师活动：这是我们本节课的第二个知识点．板书(二、方程的根与函数零点的等价关系)．教师活动：检验一下看大家是否真正理解了这种关系．如果已知函数y＝f(x)有零点，你怎样理解它？学生活动：思考作答．教师活动：对于函数y＝f(x)有零点，从“数”的角度理解，就是方程f(x)＝0有实根，从“形”的角度理解，就是图象与x轴有交点．从我们刚才的探究过程中，我们知道，方程f(x)＝0有实根和图象与x轴有交点也是等价的关系．所以函数零点实际上是方程f(x)＝0有实根和图象与x轴有交点的一个统一体．在屏幕上显示：教师活动：下面就检验一下大家的实际应用能力．【环节四：应用思想，小试牛刀】数学思想应用，基础知识强化教师活动：用屏幕显示求下列函数的零点．(1)y ＝3x ；(2)y ＝log 2x ；(3)y ＝1x；(4)y ＝(4)(1),4,(4)(6), 4.x x x x x x -+<⎧⎨---≥⎩ 学生活动：由四位同学分别回答他们确定零点的方法．画图象时要求用语言描述4个图象的画法．教师活动：根据学生的描述，在黑板上作出图象(在接下来探究零点存在性定理时，图象会成为同学们思考问题的很好的参考)．教师活动：我们已经学习了函数零点的定义，还学习了方程的根与函数零点的等价关系，在这些知识的探究发现中，我们也有了一些收获，那我们回过头来看看能不能解决ln x ＋2x －6＝0的根的存在性问题？学生活动：可受到化归思想的启发应用数形结合进行求解．教师活动：用屏幕显示学生所论述的解题过程．这种解法充分运用了我们前面的解题思想，将未知问题转化成已知问题，将一个图象不会画的函数转化成了两个图象都会画的函数，利用两个函数图象的交点解决实根存在性问题．看来我们的探究过程是非常有价值的．教师活动：如果不转化，这个问题就真的解决不了吗？现在最棘手的问题是y＝ln x ＋2x－6的图象不会画，那我们能不能不画图象就判断出零点的存在呢？【环节五：探究新知，思形想数】探究图象本质，数形转化解疑教师活动：我们看到，当函数图象穿过x轴时，图象就与x轴产生了交点，图象穿过x轴这是一种几何现象，那么如何用代数形式来描述呢？用屏幕显示y＝x2－2x－3的函数图象，多次播放抛物线穿过x轴的画面．学生活动：通过观察图象，得出函数零点的左右两侧函数值异号的结论．教师活动：好！我们明确一下这个结论，函数y＝f(x)具备什么条件时，能在区间(a，b)上存在零点？学生活动：得出f(a)·f(b)＜0的结论．教师活动：若f(a)·f(b)＜0，函数y＝f(x)在区间(a，b)上就存在零点吗？学生活动：可从黑板上的图象中受到启发，得出只有在[a，b]上连续不断的函数，在满足f(a)·f(b)＜0的条件时，才会存在零点的结论．【环节六：归纳定理，深刻理解】初识定理表象，深入理解实质教师活动：其实同学们无形之中已经说出了我们数学中的一个重要定理，那就是零点存在性定理．这是我们本节课的第三个知识点．板书(三、零点存在性定理)．教师活动：用屏幕显示(函数零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．)教师活动：这个定理比较长，找个同学给大家读一下，让大家更好地体会定理的内容．学生活动：读出定理．教师活动：大家注意到了吗，定理中，开始时是在闭区间[a，b]上连续，结果推出时却是在开区间(a，b)上存在零点．你怎样理解这种差异？学生活动：思考作答．教师活动：虽然我们已经得到了零点存在性定理，但同学们真的那么坦然吗？结合黑板上的图象，再结合定理的叙述形式，你对定理的内容可有疑问？学生活动：通过观察黑板上的板书图象，大致说出以下问题：1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)在区间(a，b)内会是只有一个零点吗？2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在区间(a，b)内就一定没有零点吗？3．在什么条件下，函数y＝f(x)在区间(a，b)上可存在唯一零点？教师活动：那我们就来解决一下这些问题．学生活动：通过黑板上的图象举出反例，得出结论．1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0，则只能确定f(x)在区间(a，b)内有零点，有几个不一定．2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在区间(a，b)内也可能有零点．3．在零点存在性定理的条件下，如果函数再具有单调性，函数y＝f(x)在区间(a，b)上可存在唯一零点．【环节七：应用所学，答疑解惑】把握理论实质，解决初始问题教师活动：现在我们不用画出图象也能判断函数零点是否存在，存在几个了．那解决ln x＋2x－6＝0的根的存在性问题应该是游刃有余了．用屏幕显示学生活动：通过对零点存在性的探究和理解，表述该问题的解法.【环节八：归纳总结，梳理提升】总结基础知识，提升解题意识教师活动：本节课的知识点已经在黑板上呈现出来了，但最重要的，也是贯穿本节课始终，起到灵魂作用的却是三大数学思想，即化归与转化的数学思想，数形结合的数学思想，函数与方程的数学思想．数学思想才是数学的灵魂所在，也是数学的魅力所在，对我们解决问题起着绝对的指导作用．愿我们每个同学在今后的学习中体味、感悟、应用、升华！【环节九：理论内化，巩固升华】整理思想方法，灵活应用解题设置四个练习题，检验学生对本节课内容的掌握情况，增强学生对所学新知的应用意识．1．函数f(x)＝x(x2－16)的零点为( )A．(0,0)，(4,0) B．0,4C．(－4,0)，(0,0)，(4,0) D．－4,0,42．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，则f(x)的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．不确定3．已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下对应值表：那么函数在区间[1,6]上的零点至少有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个4．函数f (x )＝－x3－3x ＋5的零点所在的大致区间为( )A ．(－2,0)B ．(1,2)C ．(0,1)D ．(0,0.5)【环节十：布置作业，举一反三】延伸课堂思维，增强应用意识 已知f (x )＝|x 2－2x －3|－a ，求a 取何值时能分别满足下列条件．(1)有2个零点；(2)有3个零点；(3)有4个零点．板书设计。
