无锡市梁溪区2017-2018学年九年级上期末数学试题含答案

（第2题）（第5题）（第3题）AB CD·O第一学期期末学业质量抽测九年级数学试题卷（本卷考试时间为120分钟，满分130分．）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1．一元二次方程x2－6x＋5＝0配方后可化为…………………………………………………（▲）A．(x－3)2＝－14 B．(x＋3) 2＝－14 C．(x－3)2＝4 D．(x＋3)2＝42．如图，在△ABC中，点D、点E分别在边AB，AC上，DE∥BC．若BD＝2AD，则…（▲）A．ADAB＝12B．AEEC＝12C．ADEC＝12D．DEBC＝123．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论中正确的是…………………（▲）A．BC＝CD B．AB＝AD C．∠B＝∠D D．∠BCA＝∠DCA4．下列方程中，两根之和为2的是……………………………………………………………（▲）A．x2＋2x－3＝0 B．x2－2x－3＝0 C．x2－2x＋3＝0 D．4 x2－2x－3＝05．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，若△ADC的面积为0.8，则△BCD的面积为………………………………………………………………（▲）A．0.8 B．1.6 C．2.4 D．3.26．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则sin A的值为……………………………（▲）A．35B．45C．34D．437．某人沿着坡度为1∶2.4的斜坡向上前进了130m，那么他的高度上升了…………………（▲）A．50m B．100m C．120m D．130m8．如图，在⊙O中，直径AB与弦MN相交于点P，∠NPB＝45°，若AP＝2，BP＝6，则MN 的长为…………………………………………………………………………………………（▲）910A． 3 B．1 C． 2 D． 5 －1（第9题）（第10题）二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．）11．若a b ＝43，则a ＋b b＝ ▲ ． 12．关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋6x ＋k 2－1＝0的一个根是0，则k 的值是 ▲ ．13．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x ，根据题意可列方程为 ▲ ．14．将二次函数y ＝2x 2的图像先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的图像与一次函数y ＝x ＋m 的图像有公共点，则实数m 的取值范围为 ▲ ． 15．如图，点A 、B 、C 为⊙O 上的三个点，∠BOC ＝2∠AOB ，∠OBC ＝50°，则∠ACB ＝ ▲ °．16．如图为空旷场地上的一栋矩形小屋ABCD 的平面图，拴住小狗的绳子一端固定在屋外B 点处，小狗只能在屋外场地上活动．若AB ＝6m ，BC ＝4m ，拴小狗的绳长为10m ，则小狗可以活动的区域面积S ＝ ▲ m 2．17．对于实数p 、q ，我们用符号min{p ，q }表示p 、q 两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{(x －1)2，x 2}＝1，则x ＝ ▲ ．18．如图，在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝10，BD 、CD 分别平分∠ABC 、∠ACB ，∠BDC ＝135°，过点D 作DE ∥AC 交BC 于点E ，则DE ＝ ▲ ．三、解答题（本大题共10小题，共84分．）19．（本题8分）解下列方程：（1）x 2－2x －4＝0； （2）3x (x －1)＝2x －2．20．（本题8分）（1）计算：2cos30o －(1－tan60o )2＋(sin45o )2．（2）若3tan(α－30o )－1＝0，求cos α的值．21．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （－2，1），B （－1，4），C （－3，2）．（1）以原点O 为位似中心，位似比为1:2，在y 轴的左侧，画出△ABC 放大后的图形△A 1B 1C 1；（2）直接写出C 1点坐标 ▲ ；若线段AB 上点D 的坐标为(a ，b )，则对应的点D 1的坐标为 ▲ ；（3）求出∠C 1A 1B 1的正切值为 ▲ ．22．（本题8分）如图所示，当一热气球在点A 处时，其探测器显示，从热气球看高楼顶部点B 的仰角为45°，看高楼底部点C 的俯角为60°，已知这栋楼高120m ，求热气球与高楼之间的水平距离．A B C D E （第15题） （第16题） （第18题）A B E 23．（本题8分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在边BC 上移动（点E 不与点B ，C 重合），满足∠DEF ＝∠B ，且点D ，F 分别在边AB ，AC 上．（1）求证：△BDE ∽△CEF ；（2）当点E 移动到BC 中点时，求证：FE 平分∠DFC ．24．（本题8分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以BC 为直径的⊙O交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E ．（1）求证：∠A ＝∠ADE ；（2）若AD ＝16，DE ＝10，求BC 的长．25．（本题8分）某商户购进某种商品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每月可卖出160个，若销售单价每降低1元，则每月可多卖出10个．设销售价格每个降低x 元时，该商品每月的销售利润为W 元．（1）当销售单价定为多少元时，该商品的每月销售利润最大？（2）若计划下月该商品的销售利润不低于3600元，请确定该商品的销售单价的范围．26．（本题8于A 、B 两点（点A 在点B 左侧）．（1）若A 、B 的横坐标分别是方程x 2＋x －6＝0的两根，请在直线AB 下方的抛物线上求点P ，使△ABP 的面积等于5；（2）C 为抛物线上一点，且点C 到y 轴的距离为4，求点C 到直线AB 的最大距离．D D 27．（本题10分）【回顾】如图1，在△ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝3，BC ＝4，则S △ABC 等于 ▲ .【探究】图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有30°的角，较短的直角边长为a ；另一个含有45°的角，直角边长为b ，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD（如图3），他用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出sin75°＝6＋24．请你写出小明的具体说理过程.【应用】如图4，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，BC ＝4，求S △ABC ．28．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋次函数y ＝ax －a （a ≠0）的图像相交于A 、B 两点，与x 轴的负半轴交于点C ．AB 交y 轴于点D ，BD ∶AD ＝1∶2，点B 坐标为（1，0）．（1）求该二次函数的函数表达式；（2）M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为轴翻折，点C 的对称点为点N ，若△AMN 有一个顶点在y 轴上，求点N 的坐标；（3）设点E 在抛物线的对称轴上，点F 在直线AB 上，问是否存在这样的点E 、F ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E、F 的坐标；若不存在，请说明理由．图4 A B九年级数学参考答案及评分标准一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.)1．C 2．B 3．A 4．B 5．C 6．A 7．A 8．C 9．D 10．D 二、填空题(本大题共8小题，每小题2分，共16分.)11．73 12．－1 13．50(1－x )2＝32 14．15．20 16．88π 17．2或－1 18．52三、解答题 (本大题共10小题，共84分．)19．（1）解：(x －1)2＝5；…………………（2分） （2）解：(3x －2)(x －1)＝0；…………（2分）∴x 1＝1＋5，x 2＝1－5．…………（4分） ∴x 1＝23，x 2＝1．…………………（4分） 20．（1）解：原式＝2×32－3＋1＋12……（3分） （2）解：∵tan(α－30o )＝33；………（2分） ＝32．………………………（4分） ∴α＝60°．……………………（3分） ∴cos α＝12．……………………（4分） 21．解：（1）画图正确．……（2分）；（2）（－6，4）；（2a ，2b ）．…（6分）；（3）2．…（8分）22．解：作AD ⊥BC 于点D ． 设AD ＝x m ……………………………………………………（1分）∵∠BDA ＝∠CDA ＝90°，∠BAC ＝45°，∠CAD ＝60°，…………………………（2分） ∴BD ＝AD ·tan ∠BAC ＝x ·tan45°＝x ．………………………………………………（3分） CD ＝AD ·tan ∠CAD ＝x ·tan60°＝3x ．……………………………………………（4分） ∵BC ＝120，∴x ＋3x ＝120．………………………………………………………（6分）解之得x ＝…………………………………………………………………（7分） 答：热气球与高楼的水平距离为（60．…………………………………（8分）23．（1）证：∵∠DEF ＝∠B ，∠DEF ＋∠DEB ＋∠FEC ＝∠B ＋∠DEB ＋∠BDE ＝180°，∴∠FEC ＝∠BDE ．……………………………………………………………………（1分） ∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ．……………………………………………………………（2分）∴△BDE ∽△CEF ．……………………………………………………………………（3分）（2）证：∵△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DE EF．………………………………………………（4分） ∵E 是BC 中点，∴BE ＝CE ，∴CE CF ＝DE EF．………………………………………（5分） ∵∠DEF ＝∠B ，∠B ＝∠C ，∴∠DEF ＝∠C ．……………………………………（6分） ∴△EDF ∽△CEF ．……………………………………………………………………（7分） ∴∠DFE ＝∠CFE ，即FE 平分∠DFC ．……………………………………………（8分）24．（1）证：连OD ．∵DE 是⊙O 的切线，OD 为⊙O 的半径，∴OD ⊥DE ，………………（1分）∴∠ODE ＝90°，∴∠ADE ＋∠ODB ＝90°．∵∠C ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°．（2分） ∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠B ．…………………………………………………………（3分） ∴∠A ＝∠ADE ． ………………………………………………………………………（4分）（2）解：连CD ．∴AE ＝DE ＝10，∠CDB ＝90°．∵∠ACB ＝90°，BC 为⊙O 的直径，∴EC 是⊙O 的切线．……………………………（5分） ∴ED ＝EC ＝10，……………………………………………………………………………（6分） ∴Rt △ADC 中，CD ＝12．…………………………………………………………………（7分）易证∠A ＝∠DCB ，∴cos A ＝cos ∠DCB ，∴AD AC ＝CD BC，∴BC ＝15．…………………（8分） 25．解：（1）W ＝(80－x －50)(160＋10x )＝－10(x －7)2＋5290．………………………………（2分）∴x ＝7时，W 的最大值为5290，………………………………………………………（3分） 即销售单价定为73元时，可获得最大利润是5290元．……………………………（4分）（2）当W ＝3600时，得－10(x －7)2＋5290＝3600．………………………………………（5分） ∴解得x 1＝20，x 2＝－6（舍去）．………………………………………………………（6分） ∵ 0≤x ≤7时，4800≤W ≤5290，且W 随x 的增大而增大；x ＞7时，W ＜5290，且W 随着x 的增大而减小．∴当0≤x ≤20时，W ≥3600，即销售单价的范围在60～80元时，下月该商品的销售利润不低于3600元．…………………………………………………（8分）26．解： 把x 设P ∴（2设该点为D ，即直线AB 绕点D （－2，4）旋转．……………………………………（6分） 由题意可得：C （4，8）或（－4，8）．连CD ，则CD ＝213或25．过点C 作CE ⊥AB ，则CE ≤CD ，∴点C 到直线AB 的最大距离为28分）27．解：（1）3．……………………………………………………………………………………（2分）（2）四个三角板的总面积为3a 2＋b 2，中间的矩形空隙面积为(3a －b )(b －a )，所以该平行四边形面积为(3＋1)ab ．………………………………………………………………………（4分） 作AE ⊥BC 于点E ，则该平行四边形面积也可表示为2b ·AE ．…………………………（5分）∴AE ＝6＋22a ，∴sin ∠ABE ＝sin75°＝AE AB ＝6＋22a 2a ＝6＋24．……………………（7分） （3）作BD ⊥AC 于点D ，∵AB ＝AC ，∠A ＝30°，∴∠C ＝75°， …………………（8分） ∴BD ＝BC ·sin ∠C ＝4×sin75°＝4×6＋24＝6＋2．……………………………（9分） ∴AB ＝AC ＝2BD ＝2(6＋2)，∴S △ABC ＝12AC ·BD ＝8＋43．………………………（10分） 28．解：（1）∵BD ∶AD ＝1∶2，点B 坐标为（1，0）．∴点A 的横坐标为－2，…………（1分）把x ＝－2分别代入两个函数表达式得4a －2b ＋23＝－2a －a ，………………………（2分） 把x ＝1，y ＝0代入y ＝ax 2＋bx ＋23得a ＋b ＋23＝0，…………………………………（3分）解得a ＝－233，b ＝－433，∴二次函数的函数表达式为y ＝－233x 2－433x ＋23．…（4分） （2）由（1）可得A （－2，23），C （－3，0），…………………………………………（6分） 若点N 在y 轴上，设N （0，n ）．∵AC ＝AN ，∴12＋(23) 2＝(－2) 2＋(23－n ) 2，解得：n 1＝23＋3（舍去），n 2＝23－3，∴N （0，23－3）．…………………………（7分） 若点M 在y 轴上，则M （0，0）．∵A （－2，23），∴AM ＝4，∠AMC ＝60°，∴∠AMN ＝∠AMC ＝60°，∴∠NMB ＝60°，又∵MN ＝CM ＝3，∴N （32，332）． 综上，点N 坐标为（0，23－3）或（32，332）．………………………………………（8分） （3）E （－1，－433），F （0，233）或E （－1，－433），F （－4，1033）…………（10分）。

2017-2018学年第一学期期末测试九年级数学试卷（满分150 分，考试时间 120分钟）2018.1说明：1．本试卷共6页，包含选择题（第1题～第8题，共8题）、非选择题（第9题～第28题，共20题）两部分．本卷满分150分，考试时间为120分钟．2．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用2B 铅笔作答，非选择题在指定位置用0.5毫米的黑色笔作答．在试卷或草稿纸上答题无效． 3．如有作图需要，请用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上） 1．关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为 A ．1 B ．-1 C ．1或-1 D ．122．将方程2x 8x 90++=配方后，原方程可变形为A .2(x 4)7+=B . 2(x 4)25+=C . 2(x 4)9+=-D . 2(x 8)7+= 3．二次函数y ＝x 2－2x ＋3的图像的顶点坐标是 A ．(1，2)B ．(1，6)C ．(－1，6)D ．(－1，2)4．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知sin A ＝34，则cos B 的值为A ．74B ．34C ．35D ．455．已知⊙O 的半径为2，直线l 上有一点P 满足PO ＝2，则直线l 与⊙O 的位置关系是 A ．相切B ．相离C ．相离或相切D ．相切或相交6．如图，已知AB 是圆O 的直径，∠BAC =32°，D 为弧AC 的中点，那么∠DAC 的度数是 A ．25° B ．29° C ．30° D ．32°BC A（第4题）（第6题）在该函数的图象上有A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）两点，且-1＜x 1＜0，3＜x 2＜4，y 1与y 2的大小关系正确的是A ．y 1≥y 2B ．y 1＞y 2C ．y 1≤y 2D ．y 1＜y 28．如图1， 在ABC △ 中，AB AC =，120BAC ∠=︒.点O 是BC 的中点，点D 沿B →A →C 方向从B 运动到C .设点D 经过的路径长为x ，图1中某条线段的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的大致图象如图2所示，则这条线段可能是图1中的A ．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 9．如果cos 2A =那么锐角A 的度数为 ▲°． 10．一元二次方程x 2－2x +m =0总有实数根，则m 应满足的条件是 ▲ .11．某果园2014年水果产量为100吨，2016年水果产量为144吨，则该果园水果产量的年平均增长率为 ▲ ．12．将二次函数22y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 ▲ ．13．已知在ABC △中，AB= AC ＝5，BC ＝6，则tan B 的值为 ▲ ．14．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD =105°，则∠DCE的度数是 ▲ °．15．如图，已知矩形纸片ABCD 中，AB ＝1，剪去正方形ABEF ，得到的矩形ECDF 与矩形ABCD 相似，则AD 的长为 ▲ ．16．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，30CDB CD ∠== ，则阴影部分的面积为 ▲ ．（结果保留π）xB（第14题）(第16题)BE DCAOCDE（第15题）17．古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竿长为x 尺，则可列方程为 ▲ ．18．关于x 的方程0)(2=++b m x a 的解是1x =2，2x =1-（a 、b 、m 为常数，≠a 0），则方程0)2(2=+++b m x a 的解是 ▲ ．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题满分8分）计算：（1）22sin 60cos 60︒+︒； （2）24cos45tan60(1)︒+-．20．（本题满分8分）解方程：（1）0)3(4)3(=---x x x ； （2）248960x x +-=．21．（本题满分8分）化简并求值：2(1)(1)(1)m m m +++-，其中m 是方程210x x +-=的一个根．22．（本题满分8分）如图是一块矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为2米的正方形后，剩下的部分做成一个容积为90立方米的无盖长方体箱子，已知长方体箱子底面的长比宽多4米，求矩形铁皮的面积．23．（本题满分10分）某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF 最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB ⊥BC ， EF ∥BC ，∠AEF =143°，AB =AE =1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为多少米？（结果精确到0.1．参考数据：sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈ 0.75）图1图2图3FCBAE24．（本题满分10分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB =AC ，P 是⊙O 上一点． （1）操作：请你只用无刻度的直尺．．．．．．．．，分别画出图①和图②中∠P 的平分线； （2）说理：结合图②，说明你这样画的理由．25．（本题满分10分）某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每1元，件的销售价每提高其每天的销售量就减少20件.（1）当售价定为12元时，每天可售出 ▲ 件；（2）要使每天利润达到640元，则每件售价应定为多少元？（3）当每件售价定为多少元时，每天获得最大利润？并求出最大利润.26．（本题满分10分）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠B =60°，CD 是⊙O 的直径，点P 是CD 延长线上的一点，且AP =AC ． （1）求证：P A 是⊙O 的切线；（2）若4AB =BC =，求⊙O 的半径．PC27．（本题满分12分）【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sin α=13，求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：构造如图1所示的图形，在⊙O 中，AB 是直径，点C 在⊙O 上，所以∠ACB =90°，作CD ⊥AB 于D .设∠BAC =α，则sin α=BCAB=13，可设BC =x ，则AB =3x ，……． 【问题解决】（1）请按照小娟的思路，利用图1求出sin2α的值；（写出完整的解答过程） （2）如图2，已知点M ，N ，P 为⊙O 上的三点，且∠P =β，sin β=35，求sin2β的值．28．（本题满分12分）如图，抛物线322++-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，对称轴与抛物线相交于点M ，与x 轴相交于点N .点P 是线段MN 上的一动点，过点P 作CP PE ⊥交x 轴于点E .（1）直接写出抛物线的顶点M 的坐标是 ▲ ； （2）当点E 与点O （原点）重合时，求点P 的坐标； （3）点P 从M 运动到N 的过程中，求动点E 运动的路径长.A2016-2017学年第一学期期末考试初三数学试题参考答案及评分建议说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神酌情给分．一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）9．3010．1m ≤11．20%12．22(1)2y x =-+13．4314．105 15．12+16．23π17．222(4)(2)x x x -+-=18．120,3x x ==-三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）解：原式=2212+（）……………………………2分 =1.……………………………4分（2）解：原式=4´2--1……………………………4分 -1.（结果错误扣1分） ……………………………4分 20．（1）解：4)0x +=…………………………………………2分123,4x x ∴==-…………………………………4分（2）解：2(2)900x +=…………………………………………2分1228,32x x ∴==-…………………………………4分21.解：解：∵m 是方程210x x +-=的一个根，∴21m m +=． ……………2分∴22211m m m =+++-原式222m m =+……………6分2=． …………………………………………8分22．解：设长方体箱子的底面宽为x 米． ……………………………1分 根据题意，可得2x (x ＋4)＝90， ……………………………………………………………4分 解得x 1＝5，x 2＝－9（舍去）． …………………………………………………………6分 矩形铁皮的面积为（5＋4）×（9＋4）＝117． …………………………………………7分 答：矩形铁皮的面积为117平方米． …………………………………………8分23．解：过点E 作EG ⊥BC 于点G ，AH ⊥EG 于点H ． ……………………………… 2分 ∵EF ∥BC ，∴∠GEF =∠BGE =90° ∵∠AEF =143°，∴∠AEH =53°．∴∠EAH =37°． ……………………………………4分 在△EAH 中，AE =1.2，∠AHE =90°∴sin ∠EAH = sin 37° ∴0.6EHAE≈ ∴EH =1.2×0.6=0.72． …………………………………………6分 ∵AB ⊥BC ，∴四边形ABGH 为矩形．∵GH=AB =1.2…………………………………………8分N图2∴EG=EH+HG =1.2+0.72=1.92≈1.9答：适合该地下车库的车辆限高标志牌为1.9米 …………………………………10分 24．（1）每个图形3分（图略） …………………………………6分 （2）证得弧等 …………………………………8分证得角等 …………………………………10分25．（1） 160 …………………………………………2分 （2） 设每件售价定为x 元,则640)]10(20200)[8(=---x x …………………………………………4分 解之，x=16 或 x=12答：要使每天利润达到640元，则每件售价应定为16或12元…………………6分 （3）设售价为x 元，每天的利润为y 元，则=y 720)14(20)]10(20200)[8(2+--=---x x x …………………8分当x=14时，y 有最大值，为720答：当每件售价定为14元时，每天获得最大利润，为720元 …………………10分 26．（1）证明：连接OA ． …………………………………1分∵∠B =60°，∴∠AOC =2∠B =120°． 又∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA =30°． 又∵AP =AC ，∴∠P =∠ACP =30°．∴∠OAP =∠AOC ﹣∠P =90°．∴OA ⊥P A ．4分又∵点A 在⊙O 上，∴P A 是⊙O 的切线． …………………………5分 （2）解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ．…………………………………6分在Rt △BCE 中，∠B =60°，BC =，∴12BE BC ==CE =3．………………………………7分∵4AB =+4AE AB BE =-=．∴在Rt △ACE 中，5AC ==．………………………………9分∴AP =AC =5．∴在Rt △P AO 中，3OA =∴⊙O 的半径为3．………………………………………………………10分27．解：（1）求出3CD =． ………………………………………………………2分 求出sin2α=CD OC=9． ………………………………………………………5分（2）如图，连接NO ，并延长交⊙O 于点Q ，连接MQ ，MO ，过点M 作MR NO ⊥于点R ．……………………………6分在⊙O 中，∠NMQ =90°．∵ ∠Q =∠P =β，∴∠MON =2∠Q =2β．……………………7分在Rt △QMN 中，∵ sin β=35MN NQ =， ∴设MN =3k ，则NQ =5k ，易得OM=21NQ=52k ．………9分 ∴MQ 4k =．PC∵Δ1122NMQ S MN MQ NQ MR =⋅=⋅，∴345k k k MR ⋅=⋅．∴MR =125k ． ………………………………………………………………………11分 在Rt △MRO 中，sin2β=sin ∠MON =122455252kMRk OM ==．…………………………12分 28．（1）（1，4） ………………………………………………………………2分 （2）过点C 作CF ⊥MN ，垂足为F先证△ENP ∽△PFC ， ……………………………………………4分∴CFPFPN EN = 当点E 与O 重合时，EN=1, 设PF=m 则131m m -=………………………………………………………………6分解之，32m ±=∴点P的坐标为或…………………………………………7分 （3）当点P 与M 重合时，如图。

无锡市九年级上学期期末数学试卷（解析版）一、选择题1．如图，△ABC的顶点在网格的格点上，则tanA的值为（）A．12B．105C．33D．10102．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＜0＜b）的图像与x轴只有一个交点，下列结论：①x ＜0时，y随x增大而增大；②a＋b＋c＜0；③关于x的方程ax2＋bx＋c＋2＝0有两个不相等的实数根．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③3．如图，点I是△ABC的内心，∠BIC＝130°，则∠BAC＝（）A．60°B．65°C．70°D．80°4．在九年级体育中考中，某班参加仰卧起坐测试的一组女生（每组8人）测试成绩如下（单位：次/分）：46,44,45,42,48,46,47,46.则这组数据的中位数为（）A．42 B．45 C．46 D．485．在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，则这个三角形的内切圆的半径是( )A．5 B．2 C．5或2 D．2或7－16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠A＝80°，则∠C的度数是（）A．40°B．80°C．100°D．120°7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，-3）．则经画图操作可知：△ABC 的外心坐标应是（ ）A ．()0,0B ．()1,0C ．()2,1--D ．()2,0 8．关于x 的一元二次方程x 2+bx-6=0的一个根为2，则b 的值为( ) A ．-2B ．2C ．-1D ．1 9．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．2321x x =+B ．3230x x --C ．221x y -=D ．20x y +=10．如图，已知等边△ABC 的边长为4，以AB 为直径的圆交BC 于点F ，CF 为半径作圆，D 是⊙C 上一动点，E 是BD 的中点，当AE 最大时，BD 的长为（ ）A ．23B ．25C ．4D ．611．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( ) A ．()249x +=- B ．()247x +=- C ．()2425x += D ．()247x += 12．一组数据0、－1、3、2、1的极差是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．113．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．14．如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且∠D ＝40°，则∠PCA 等于（ ）A．50°B．60°C．65°D．75°15．下表是二次函数y＝ax2+bx+c的部分x，y的对应值：x…﹣1﹣12121322523…y…2m﹣1﹣74﹣2﹣74﹣1142…可以推断m的值为（）A．﹣2 B．0 C．14D．2二、填空题16．已知∠A＝60°，则tan A＝_____．17．如图，△ABC周长为20cm，BC=6cm,圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为________cm.18．如图，已知正六边形内接于O，若正六边形的边长为2，则图中涂色部分的面积为______.19．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，且a≠0）的图像上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表x…－10123…y … －3 －3 －1 3 9 …关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0一个负数解x 1满足k ＜x 1＜k +1（k 为整数），则k ＝________．20．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，当y ＜3时，x 的取值范围是____．21．抛物线y=（x ﹣2）2﹣3的顶点坐标是____．22．某一时刻，一棵树高15m ，影长为18m ．此时，高为50m 的旗杆的影长为_____m ． 23．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD=140°，则∠BCD=_____．24．方程290x 的解为________.25．如图，O 的直径AB 与弦CD 相交于点53E AB AC ==，，，则tan ADC ∠=______．26．抛物线()2322y x =+-的顶点坐标是______.27．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO ＝8米，母线AB ＝10米，则该圆锥的侧面积是_____平方米（结果保留π）．28．如图，边长为2的正方形ABCD ，以AB 为直径作O ，CF 与O 相切于点E ，与AD 交于点F ，则CDF ∆的面积为__________．29．设二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴的交点为A ，B ，其顶点坐标为C ，则△ABC 的面积为_____．30．如图，已知矩形ABCD 的顶点A 、D 分别落在x 轴、y 轴，OD ＝2OA ＝6，AD ：AB ＝3：1．则点B 的坐标是_____．三、解答题31．在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，求： （1）cosA ；（2）当AB ＝4时，求BC 的长. 32．解方程（1）x 2－6x －7＝0； （2） (2x －1)2＝9．33．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，60BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，过点D 作DEAC 交AB 于点E ，点M 是线段AD 上的动点，连结BM 并延长分别交DE ，AC 于点F 、G .（1）求CD的长.（2）若点M是线段AD的中点，求EFDF的值.（3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得60CPG∠=︒?34．已知：如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于点A、B，其中点A在点B的左边，交y 轴于点C，点P为抛物线上位于x轴上方的一点．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若△PAB的面积为4，求点P的坐标．35．如图，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且AB BD ADA B B D A D==''''''．判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由．四、压轴题36．如图，在平面直角坐标系中，直线1l：162y x=-+分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线2l：12y x=交于点A.（1）分别求出点A 、B 、C 的坐标；（2）若D 是线段OA 上的点，且COD △的面积为12，求直线CD 的函数表达式； （3）在（2）的条件下，设P 是射线CD 上的点，在平面内里否存在点Q ，使以O 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.37．如图，等边ABC 内接于O ，P 是AB 上任一点（点P 不与点A 、B 重合），连接AP 、BP ，过点C 作CMBP 交PA 的延长线于点M ．（1）求APC ∠和BPC ∠的度数； （2）求证：ACM BCP △≌△；（3）若1PA =，2PB =，求四边形PBCM 的面积； （4）在（3）的条件下，求AB 的长度． 38．已知：如图1，在O 中，弦2AB =，1CD =，AD BD ⊥．直线,AD BC 相交于点E ．（1）求E ∠的度数；（2）如果点,C D 在O 上运动，且保持弦CD 的长度不变，那么，直线,AD BC 相交所成锐角的大小是否改变？试就以下三种情况进行探究，并说明理由（图形未画完整，请你根据需要补全）．①如图2，弦AB 与弦CD 交于点F ； ②如图3，弦AB 与弦CD 不相交： ③如图4，点B 与点C 重合．39．如图，在平面直角坐标系中，直线l 分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，∠BAO = 30°．抛物线y = ax 2 + bx + 1（a < 0）经过点A ，B ，过抛物线上一点C （点C 在直线l 上方）作CD ∥BO 交直线l 于点D ，四边形OBCD 是菱形．动点M 在x 轴上从点E （ -3，0）向终点A 匀速运动，同时，动点N 在直线l 上从某一点G 向终点D 匀速运动，它们同时到达终点．（1）求点D 的坐标和抛物线的函数表达式． （2）当点M 运动到点O 时，点N 恰好与点B 重合．①过点E 作x 轴的垂线交直线l 于点F ，当点N 在线段FD 上时，设EM = m ，FN = n ，求n 关于m 的函数表达式．②求△NEM 面积S 关于m 的函数表达式以及S 的最大值．40．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴的两个交点分别为(1,0)A ，(30)B ，．抛物线的对称轴和x 轴交于点M ．（1）求这条抛物线对应函数的表达式；（2）若P 点在该抛物线上，求当PAB △的面积为8时，求点P 的坐标．（3）点G 是抛物线上一个动点，点E 从点B 出发，沿x 轴的负半轴运动，速度为每秒1个单位，同时点F 由点M 出发，沿对称轴向下运动，速度为每秒2个单位，设运动的时间为t ．①若点G 到AE 和MF 距离相等，直接写出点G 的坐标．②点C 是抛物线的对称轴上的一个动点，以FG 和FC 为边做矩形FGDC ，直接写出点E恰好为矩形FGDC的对角线交点时t的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】根据勾股定理，可得BD、AD的长，根据正切为对边比邻边，可得答案．【详解】解：如图作CD⊥AB于D,CD=2,AD=22,tanA=21222CDAD==,故选A.【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．2．C解析：C【解析】【分析】①根据对称轴及增减性进行判断；②根据函数在x=1处的函数值判断；③利用抛物线与直线y=-2有两个交点进行判断．【详解】解：∵a ＜0＜b ，∴二次函数的对称轴为x=2ba->0，在y 轴右边，且开口向下， ∴x ＜0时，y 随x 增大而增大； 故①正确；根据二次函数的系数，可得图像大致如下， 由于对称轴x=2ba-的值未知， ∴当x=1时，y=a+b+c 的值无法判断， 故②不正确；由图像可知，y=＝ax 2＋bx ＋c ≤0，∴二次函数与直线y=-2有两个不同的交点， ∴方程ax 2＋bx ＋c =-2有两个不相等的实数根. 故③正确. 故选C. 【点睛】本题考查了二次函数的图像的性质，二次函数的图像与系数的关系，二次函数与方程的关系，借助图像解决问题是关键.3．D解析：D 【解析】 【分析】根据三角形的内接圆得到∠ABC=2∠IBC ，∠ACB=2∠ICB ，根据三角形的内角和定理求出∠IBC+∠ICB ，求出∠ACB+∠ABC 的度数即可； 【详解】解：∵点I 是△ABC 的内心， ∴∠ABC ＝2∠IBC ，∠ACB ＝2∠ICB ， ∵∠BIC ＝130°，∴∠IBC +∠ICB ＝180°﹣∠CIB ＝50°， ∴∠ABC +∠ACB ＝2×50°＝100°，∴∠BAC ＝180°﹣（∠ACB +∠ABC ）＝80°． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了三角形的内心，掌握三角形的内心的性质是解题的关键.4．C解析：C【解析】【分析】根据中位数的定义，把8个数据从小到大的顺序依次排列后，求第4，第5位两数的平均数即为本组数据的中位数.【详解】解：把数据由小到大排列为：42,44,45,46,46,46,47,48∴中位数为4646462+=.故答案为：46.【点睛】找中位数的时候一定要先排好大小顺序，再根据奇数个数和偶数个数来确定中位数.如果是奇数个，则正中间的数字即为中位数；如果是偶数个，则找中间两个数的平均数为中位数.先将数据按从小到大顺序排列是求中位数的关键.5．D解析：D【解析】【分析】分AC为斜边和BC为斜边两种情况讨论.根据切线定理得过切点的半径垂直于三角形各边，利用面积法列式求半径长.【详解】第一情况：当AC为斜边时，如图，设⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F,连接OC,OA,OB,∴OD⊥AC, OE⊥BC,OF⊥AB,且OD=OE=OF=r,在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，由勾股定理得，10AC== ,∵=++ABC AOC BOC AOBS S S S ,∴11112222AB BC AB OF BC OE AC OD ,∴1111686810 2222r r r ,∴r=2.第二情况：当BC为斜边时，如图，设⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F,连接OC,OA,OB,∴OD⊥BC, OE⊥AC,OF⊥AB,且OD=OE=OF=r,在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，由勾股定理得，2227AC BC AB ,∵=++ABC AOC BOC AOBS S S S ,∴11112222AB AC AB OF BC OD AC OE ,∴11116276827 2222r r r ,∴r=71.故选：D.【点睛】本题考查了三角形内切圆半径的求法及勾股定理，依据圆的切线性质是解答此题的关键.等面积法是求高度等线段长的常用手段.6．C解析：C【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠C+∠A=180°，代入求出即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠C+∠A=180°，∵∠A=80°，∴∠C=100°，故选：C．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质的应用.熟记圆内接四边形对角互补是解决此题的关键.7．C解析：C【解析】外心在BC 的垂直平分线上，则外心纵坐标为-1.故选C.8．D解析：D【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程得到关于b 的一次方程，然后解一次方程即可．【详解】解：把x=2代入程x 2+bx-6=0得4+2b-6=0，解得b=1．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.9．A解析：A【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可．【详解】解：A ． 2321x x =+是一元二次方程，故本选项符合题意；B ． 3230x x --是一元三次方程，故本选项不符合题意；C ． 221x y -=是二元二次方程，故本选项不符合题意；D ． 20x y +=是二元一次方程，故本选项不符合题意；故选A ．【点睛】此题考查的是一元二次方程的判断，掌握一元二次方程的定义是解决此题的关键．10．B解析：B【解析】【分析】点E 在以F 为圆心的圆上运到，要使AE 最大，则AE 过F ，根据等腰三角形的性质和圆周角定理证得F 是BC 的中点，从而得到EF 为△BCD 的中位线，根据平行线的性质证得CD ⊥BC ，根据勾股定理即可求得结论．【详解】解：点D在⊙C上运动时，点E在以F为圆心的圆上运到，要使AE最大，则AE过F，连接CD，∵△ABC是等边三角形，AB是直径，∴EF⊥BC，∴F是BC的中点，∵E为BD的中点，∴EF为△BCD的中位线，∴CD∥EF，∴CD⊥BC，BC=4，CD=2，故2216425+=+=BC CD故选：B．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，圆周角定理，三角形中位线的性质以及勾股定理，熟练并正确的作出辅助圆是解题的关键．11．D解析：D【解析】【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.【详解】2890++=，x x289+=-，x x222++=-+，x x8494x+=，所以()247故选D.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.12．A解析：A【解析】根据极差的概念最大值减去最小值即可求解．【详解】解：这组数据：0、－1、3、2、1的极差是：3-（-1）=4．故选A．【点睛】本题考查了极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．13．B解析：B【解析】试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．故选B．点睛：掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．14．C解析：C【解析】【分析】根据切线的性质，由PD切⊙O于点C得到∠OCD＝90°，再利互余计算出∠DOC＝50°，由∠A＝∠ACO，∠COD＝∠A+∠ACO，所以1252A COD∠=∠=︒，然后根据三角形外角性质计算∠PCA的度数．【详解】解：∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∵∠D＝40°，∴∠DOC＝90°﹣40°＝50°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠COD＝∠A+∠ACO，∴1252A COD∠=∠=︒，∴∠PCA＝∠A+∠D＝25°+40°＝65°．【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角性质等知识；熟练掌握切线的性质与三角形外角性质是解题的关键．15．C解析：C【解析】【分析】首先根据表中的x、y的值确定抛物线的对称轴，然后根据对称性确定m的值即可．【详解】解：观察表格发现该二次函数的图象经过点（12，﹣74）和（32，﹣74），所以对称轴为x＝13222+＝1，∵511122⎛⎫-=--⎪⎝⎭，∴点（﹣12，m）和（52，14）关于对称轴对称，∴m＝14，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是通过表格信息确定抛物线的对称轴．二、填空题16．【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【详解】tanA=tan60°=．故答案为：．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【详解】tan A=tan60°=3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．17．8【解析】【分析】先作出辅助线,连接切点,利用内切圆的性质得到BE=BF,CE=CG,ME=MH,NG=NH,再利用等量代换即可解题.【详解】解：∵圆O是△ABC的内切圆，MN是圆O的切线解析：8【解析】【分析】先作出辅助线,连接切点,利用内切圆的性质得到BE=BF,CE=CG,ME=MH,NG=NH,再利用等量代换即可解题.【详解】解：∵圆O是△ABC的内切圆，MN是圆O的切线,如下图,连接各切点,有切线长定理易得,BE=BF,CE=CG,ME=MH,NG=NH,∵△ABC周长为20cm, BC=6cm,∴BC=CE+BE=CG+BF=6cm,∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+FM+GN=AF+AG,又∵AF+AG=AB+AC-(BF+CG)=20-6-6=8cm故答案是8【点睛】本题考查了三角形内接圆的性质,切线长定理的应用,中等难度,熟练掌握等量代换的方法是解题关键.18．【解析】【分析】根据圆的性质和正六边形的性质证明△CDA≌△BDO，得出涂色部分即为扇形AOB的面积，根据扇形面积公式求解.【详解】解：连接OA,OB,OC,AB,OA与BC交于D点∵正解析：2 3π【解析】【分析】根据圆的性质和正六边形的性质证明△CDA≌△BDO，得出涂色部分即为扇形AOB的面积，根据扇形面积公式求解.【详解】解：连接OA,OB,OC,AB,OA与BC交于D点∵正六边形内接于O,∴∠BOA=∠AOC=60°,OA=OB=OC=4,∴∠BOC=120°，OD⊥BC,BD=CD∴∠OCB=∠OBC=30°,∴OD=1122OB OA DA ,∵∠CDA=∠BDO,∴△CDA≌△BDO,∴S△CDA=S△BDO,∴图中涂色部分的面积等于扇形AOB的面积为：26022 3603ππ⨯=.故答案为：23π.【点睛】本题考查圆的内接正多边形的性质，根据圆的性质结合正六边形的性质将涂色部分转化成扇形面积是解答此题的关键.19．－3【解析】【分析】首先利用表中的数据求出二次函数，再利用求根公式解得x1，再利用夹逼法可确定x1 的取值范围，可得k．【详解】解:把x=0,y=-3,x=1,y=-1,x=-1,y=-3解析：－3【解析】【分析】首先利用表中的数据求出二次函数，再利用求根公式解得x1，再利用夹逼法可确定x1的取值范围，可得k．【详解】解:把x=0,y=-3,x=1,y=-1,x=-1,y=-3代入y＝ax2＋bx＋c得3 1 3ca b c a b c-=⎧⎪-=++⎨⎪-=-+⎩，解得113abc=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴y=x²+x-3,∵△=b2-4ac=12-4×1×（-3）=13，∴=，∵1x<0,∴1x=−1＜0，∵-4≤-3，∴322 -≤≤-，∴-≤ 2.5 -，∵整数k满足k＜x1＜k+1，∴k=-3，故答案为:-3．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是求出二次函数的解析式. 20．－1＜x＜3【解析】【分析】根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x的取值范围即可．【详解】解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x＜3时，y＜3，故答案为：－1＜x＜3.【点睛解析：－1＜x＜3【解析】【分析】根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x的取值范围即可．【详解】解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x＜3时，y＜3，故答案为：－1＜x＜3.【点睛】本题考查了二次函数与不等式和二次函数的对称性，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．21．（2，﹣3）【解析】【分析】根据：对于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是(h,k).【详解】抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（2，﹣3）.故答案为（2，﹣3）【点睛】本题解析：（2，﹣3）【解析】【分析】根据：对于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是(h,k).【详解】抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（2，﹣3）.故答案为（2，﹣3）【点睛】本题考核知识点：抛物线的顶点. 解题关键点：熟记求抛物线顶点坐标的公式.22．60【解析】【分析】设旗杆的影长为xm，然后利用同一时刻物高与影长成正比例列方程求解即可．【详解】解：设旗杆的影长BE为xm，如图：∵AB∥CD∴△ABE∽△DCE∴，由题意知AB解析：60【解析】【分析】设旗杆的影长为xm，然后利用同一时刻物高与影长成正比例列方程求解即可．【详解】解：设旗杆的影长BE为xm，如图：∵AB∥CD∴△ABE∽△DCE∴AB DCBE CE=，由题意知AB=50,CD=15,CE=18,即，501518x=，解得x＝60，经检验，x=60是原方程的解，即高为50m的旗杆的影长为60m．故答案为：60．【点睛】此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知同一时刻物高与影长成正比例. 23．110°.【解析】【分析】由圆周角定理,同弧所对的圆心角是圆周角的2倍.可求∠A=∠BOD=70°,再根据圆内接四边形对角互补,可得∠C=180-∠A=110°【详解】∵∠BOD=140°解析：110°.【解析】【分析】由圆周角定理,同弧所对的圆心角是圆周角的2倍.可求∠A=12∠BOD=70°,再根据圆内接四边形对角互补,可得∠C=180-∠A=110°【详解】∵∠BOD=140°∴∠A=12∠BOD=70°∴∠C=180°-∠A=110°，故答案为：110°.【点睛】此题考查圆周角定理，解题的关键在于利用圆内接四边形的性质求角度.24．【解析】【分析】这个式子先移项，变成x2=9，从而把问题转化为求9的平方根．【详解】解：移项得x2=9，解得x=±3．故答案为．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，解这解析：3x=±【解析】【分析】这个式子先移项，变成x2=9，从而把问题转化为求9的平方根．【详解】解：移项得x2=9，解得x=±3．故答案为3x=±．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．注意：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．25．【解析】分析：由已知条件易得△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，由此可得BC=4，结合∠ADC=∠ABC，即可由tan∠ADC=tan∠ABC=求得所求的值了.详解：∵AB 是 解析：34【解析】分析：由已知条件易得△ACB 中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，由此可得BC=4，结合∠ADC=∠ABC ，即可由tan ∠ADC=tan ∠ABC=AC BC 求得所求的值了. 详解：∵AB 是O 的直径，∴∠ACB=90°，又∵AC=3，AB=5，∴4=，∴tan ∠ABC=34AC BC =， 又∵∠ADC=∠ABC ， ∴tan ∠ADC=34. 故答案为：34. 点睛：熟记“圆的相关性质和正切函数的定义”解得本题的关键.26．【解析】【分析】根据题意已知抛物线的顶点式，可据此直接写出顶点坐标．【详解】解：由，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的顶点坐标公式，将解析式化解析：()2,2--【解析】【分析】根据题意已知抛物线的顶点式，可据此直接写出顶点坐标．【详解】解：由()2322y x =+-，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为()2,2--．故答案为：()2,2--．【点睛】本题考查抛物线的顶点坐标公式，将解析式化为顶点式y=a （x-h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ），对称轴是x=h ．27．【解析】【分析】根据勾股定理求得OB ，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法S ＝lr ，求得答案即可．【详解】解：∵AO＝8米，AB ＝10米，∴OB＝6米，∴圆锥的解析：60π【解析】【分析】根据勾股定理求得OB ，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法S ＝12lr ，求得答案即可． 【详解】解：∵AO ＝8米，AB ＝10米，∴OB ＝6米，∴圆锥的底面周长＝2×π×6＝12π米，∴S 扇形＝12lr ＝12×12π×10＝60π米2， 故答案为60π．【点睛】本题考查圆锥的侧面积，掌握扇形面积的计算方法S ＝12lr 是解题的关键． 28．【解析】【分析】运用切线长定理和勾股定理求出DF ，进而完成解答．【详解】解：∵与相切于点，与交于点∴EF=AF,EC=BC=2设EF=AF=x,则CF=2+x,DF=2-x在Rt△C解析：32【解析】【分析】运用切线长定理和勾股定理求出DF ，进而完成解答．【详解】解：∵CF 与O 相切于点E ，与AD 交于点F∴EF=AF,EC=BC=2设EF=AF=x,则CF=2+x,DF=2-x在Rt △CDF 中,由勾股定理得:DF 2=CF 2-CD 2,即(2-x)2=(2+x)2-22解得:x=12,则DF=32∴CDF ∆的面积为13222⨯⨯=32 故答案为32． 【点睛】 本题考查了切线长定理和勾股定理等知识点，根据切线长定理得到相等的线段是解答本题的关键．29．8【解析】【分析】首先求出A 、B 的坐标，然后根据坐标求出AB 、CD 的长，再根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：∵y＝x2﹣2x ﹣3，设y ＝0，∴0＝x2﹣2x ﹣3，解得：x1＝3，解析：8【解析】【分析】首先求出A 、B 的坐标，然后根据坐标求出AB 、CD 的长，再根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：∵y ＝x 2﹣2x ﹣3，设y ＝0，∴0＝x 2﹣2x ﹣3，解得：x 1＝3，x 2＝﹣1，即A点的坐标是（﹣1，0），B点的坐标是（3，0），∵y＝x2﹣2x﹣3，＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点C的坐标是（1，﹣4），∴△ABC的面积＝12×4×4＝8，故答案为8．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，难度适中．30．(5，1)【解析】【分析】过B作BE⊥x轴于E，根据矩形的性质得到∠DAB=90°，根据余角的性质得到∠ADO=∠BAE，根据相似三角形的性质得到AE=OD=2，DE=OA=1，于是得到结论．解析：(5，1)【解析】【分析】过B作BE⊥x轴于E，根据矩形的性质得到∠DAB=90°，根据余角的性质得到∠ADO=∠BAE，根据相似三角形的性质得到AE=13OD=2，DE=13OA=1，于是得到结论．【详解】解：过B作BE⊥x轴于E，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴∠ADO+∠OAD=∠OAD+∠BAE=90°，∴∠ADO=∠BAE，∴△OAD∽△EBA，∴OD：AE=OA：BE=AD：AB∵OD=2OA=6，∴OA=3∵AD：AB=3：1，∴AE=13OD=2，BE=13OA=1，∴OE=3+2=5，∴B（5，1）故答案为：（5，1）【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线并证明△OAD∽△EBA是解题的关键．三、解答题31．（1）22；（2）2【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的判定得到△ABC为等腰直角三角形，则∠A=45°，然后利用特殊角的三角函数值求解即可；（2）根据∠A的正弦求解即可.【详解】∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠A=∠B=45°，2，∴BC=AB sin A2，【点睛】本题考查解直角三角形及等腰直角三角形的判定，熟练掌握特殊角三角函数值是解题关键. 32．（1）x1＝7，x2＝－1；（2）x1＝2，x2＝－1【解析】【分析】（1）根据配方法法即可求出答案．（2）根据直接开方法即可求出答案；【详解】解：（1）x2－6x＋9－9－7＝0(x－3) 2＝16x－3＝±4x1＝7，x2＝－1（2）2x－1＝±32x＝1±3x1＝2，x2＝－1【点睛】本题考查了解一元二次方程，观察所给方程的形式，分别使用配方法和直接开方法求解.33．（1）DC =；（2）23EF DF =；（3）当DM =DM <<时，满足条件的点P 只有一个.【解析】【分析】（1）由角平分线定义得30DAC ∠=︒，在Rt ADC ∆中，根据锐角三角函数正切定义即可求得DC 长.（2）由题意易求得BC =BD =ASA 得DFM AGM ∆≅∆，根据全等三角形性质得DF AG =，根据相似三角形判定得~BFE BGA ∆∆，由相似三角形性质得EF BE BD AG AB BC==，将DF AG =代入即可求得答案.（3）由圆周角定理可得CQG ∆是顶角为120°的等腰三角形，再分情况讨论：①当Q 与DE 相切时，结合题意画出图形，过点Q 作QH AC ⊥，并延长HQ 与DE 交于点P ，连结QC ，QG ，设Q 半径为r ，由相似三角形的判定和性质即可求得DM 长；②当Q 经过点E 时，结合题意画出图形，过点C 作CK AB ⊥，设Q 半径为r ，在Rt EQK ∆中，根据勾股定理求得r ，再由相似三角形的判定和性质即可求得DM 长；③当Q 经过点D 时，结合题意画出图形，此时点M 与点G 重合，且恰好在点A 处，由此可得DM 长.【详解】（1）解：∵AD 平分BAC ∠，60BAC ∠=︒， ∴1302DAC BAC ∠=∠=︒．在Rt ADC ∆中，tan 30DC AC =⋅︒=（2）解：易得，BC =，BD =由DE AC ，得EDA DAC ∠=∠，DFM AGM ∠=∠．∵AM DM =，∴DFM AGM ∆≅∆，∴AG DF =．由DE AC ，得~BFE BGA ∆∆， ∴EF BE BD AG AB BC==∴23EF EF BD DF AG BC ==== （3）解：∵60CPG ∠=︒，过C ，P ，G 作外接圆，圆心为Q ，∴CQG ∆是顶角为120°的等腰三角形. ①当Q 与DE 相切时，如图1，过Q 点作QH AC ⊥，并延长HQ 与DE 交于点P ，连结QC ，QG设Q 的半径QP r =则12QH r =，1232r r +=， 解得433r =． ∴43343CG =⨯=，2AG =． 易知DFMAGM ∆∆，可得43DM DF AM AG ==，则47DM AD = ∴1637DM =． ②当Q 经过点E 时，如图2，过C 点作CK AB ⊥，垂足为K ．设Q 的半径QC QE r ==，则33QK r =．在Rt EQK ∆中，()221332r r +=，解得1439r =， ∴14143393CG ==易知DFMAGM ∆∆，可得1435DM = ③当Q 经过点D 时，如图3，此时点M 与点G 重合，且恰好在点A 处，可得43DM =综上所述，当1637DM =143435DM <P 只有一个. 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．34．（1）A （﹣1，0），B （3，0），C （0，3）；（2）P 点坐标为（12，2），（2，2）【解析】【分析】（1）当0y =时，可求点A ，点B 坐标，当0x =，可求点C 坐标；（2）设点P 的纵坐标为y ，利用三角形面积公式可求得2y ＝，代入y =﹣x 2+2x +3即可求得点P 的横坐标，从而求得答案.【详解】（1）对于抛物线y =﹣x 2+2x +3，令y=0，得到﹣x 2+2x +3=0，解得：x 1=﹣1，x 2=3，则A （﹣1，0），B （3，0），令0x =，得到y =﹣x 2+2x +3=3，则C 点坐标为（0，3）；故答案为：A （﹣1，0），B （3，0），（0，3）；（2）设点P 的纵坐标为y ，∵点P 为抛物线上位于x 轴上方，∴0y >，∵△PAB 的面积为4， ∴()13142y ⨯+⨯=， 解得：2y =， ∵点P 为抛物线上的点，将2y =代入y =﹣x 2+2x +3得：﹣x 2+2x +3=2，整理得x 2﹣2x ﹣1=0，解得：x 1=1，x 2=∴P 点坐标为：（1，2），（，2）．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的运用，利用二次函数的性质求解是关键．35．△ABC ∽△A 'B 'C '，理由见解析【解析】【分析】由题意知，根据相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似，可证得△ABD ∽△A 'B 'D '，进而可得∠B ＝∠B '，再根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，即可得△ABC ∽△A 'B 'C '．【详解】△ABC ∽△A 'B 'C '， 理由：∵==''''''AB BD AD A B B D A D ∴△ABD ∽△A 'B 'D '，∴∠B ＝∠B '， ∵AD 、A 'D '分别是△ABC 和△A 'B 'C '的中线 ∴12BD BC =，1''''2B D BC =， ∴12==1''''''2BC AB BC A B B C B C ， 在△ABC 和△A 'B 'C '中 ∵=''''AB BC A B B C ，且∠B ＝∠B ' ∴△ABC ∽△A 'B 'C '．【点睛】 本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似．四、压轴题36．(1)A(6，3)，B(12，0)，C(0，6)；(2)y=-x+6；(3)满足条件的Q点坐标为：(-3，3)或)或(6，6).【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特点，可求出B,C两点坐标.两个函数解析式联立形成二元一次方程组，可以确定A点坐标.（2）根据坐标特点和已知条件，采用待定系数法，即可作答.（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内存在点Q，使以O、C、P、2为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况考虑：①当四边形OP1Q1C为菱形时，由∠COP1=90°，得到四边形OP1Q1C为正方形；②当四边形OP2CQ2为菱形时；③当四边形OQ3P3C为菱形时；分别求出Q坐标即可.【详解】解：(1)由题意得16212y xy x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得63 xy=⎧⎨=⎩∴A(6，3)在y=-162x+中，当y=0时，x=12，∴B(12，0)当x=0时，y=6，∴C(0，6).(2)∵点D在线段OA上，∴设D(x，12x) (0≤x≤6)∵S△COD=12∴12×6x=12x=4∴D(4，2)，设直线CD的表达式为y=kx+b，把(10，6)与D(4，2)代入得624bk b=⎧⎨=+⎩解得16 kb=-⎧⎨=⎩直线CD的表达式为y=-x+6(3) 存在点2，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，。

2016-2017学年江苏省无锡市梁溪区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列方程中的一元二次方程是（）A．x2+x﹣=0 B．x2﹣2x=x2C．x2+y﹣1=0 D．x2﹣x﹣6=02．方程x2=9的解是（）A．x=9 B．x=±9 C．x=3 D．x=±33．图象的对称轴是y轴的函数是（）A．y=x2+2x B．y=（x﹣2）2 C．y=x2﹣3 D．y=（x﹣1）（x+3）4．下列各点位于函数y=x2﹣x+2的图象上的是（）A．（1，2） B．（﹣1，2）C．（0，1） D．（1，0）5．如图，点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC=40°，则∠AOC的大小是（）A．90°B．80°C．70°D．50°6．已知⊙O的半径为6cm，点O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O（）A．相交B．相离C．相切D．相切或相交7．若一对相似三角形的相似比为1：3，则这对三角形的面积比为（）A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．1：8．已知tanA=1，则锐角A的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°9．如图，水平地面上有一面积为30πcm2的灰色扇形OAB，其中OA=6cm，且OA垂直于地面，将这个扇形向右滚动（无滑动）至点B刚好接触地面为止，则在这个滚动过程中，点O移动的距离是（）A．10πcm B．20πcm C．24πcm D．30πcm10．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=6，以斜边AB的中点D为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′，则旋转后两个直角三角形重叠部分的面积为（）A．6 B．9 C．6 D．9二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）11．如果x=1是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣6=0的一根，则m=．12．二次函数y=2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是13．将函数y=﹣2x2的图象沿着y轴向上平移3个单位后所得到的图象的函数表达式为．14．如图，⊙O直径AB垂直于弦CD，垂足E是OB的中点，若AB=6，则CD=．15．用一个半径为4cm，面积为12πcm2的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为．16．如图，△ABC中，∠AED=∠B，AD=2，DB=4，AE=3，则EC=．17．如图，过x轴上一点A作平行于y轴的直线分别与抛物线y=x2及y=x2交于B、C两点，若正方形BCDE的一边DE与y轴重合，则此正方形BCDE的面积为．18．如图，△ABC中AB=AC=13，BC=10，点D在边AB上，以D为圆心作⊙D，当⊙D恰好同时与边AC、BC相切时，此时⊙D的半径长为．三、解答题（本题共10小题，共84分））19．解方程：（1）x2+2x=0；（2）x2﹣4x﹣1=0．20．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（2，0）和（﹣3，0），求b、c的值．21．某污染水域经过两次治理，污染水面面积由100公顷降为64公顷，已知每次治理后污染水面面积降低的百分率相同，求每次降低的百分率．22．如图，在坐标系的第一象限建立网格，网格中的每个小正方形边长都为1，格点△ABC的顶点坐标分别为A（2，4）、B（0，2）、C（4，4）．（1）若△ABC外接圆的圆心为P，则点P的坐标为．（2）以点D为顶点，在网格中画一个格点△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比为1：2．（画出符合要求的一个三角形即可）23．如图，已知△ABC中，已知△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=54°，AC=10．（1）请你用直尺和圆规在图中作出线段AD，使得AD将△ABC分割成面积相等的两部分．（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）求点A到BC边的最短距离（精确到0.1）．（参考数据：sin54°≈0.809，cos54°≈0.588，tan54°≈1.376）24．如图，△ABC中，∠BAC=45°，过A、B两点的⊙O交AC于点D，且OD∥BC，OD交AB于点E．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠OEB=60°，求AD：CD的值．25．某网店销售一种成本价为每件60元的商品，规定销售期间销售单价不低于成本价，且每件获利不得高于成本价的45%．经测算，每天的销售量y（件）与销售单价x（元）的关系符合一次函数y=﹣x+120，设该网店每天销售该商品所获利润为W（元）．（1）试写出利润W与销售单价x之间的函数关系式；（2）销售单价定为多少元时，该网店每天销售该商品可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该网店每天销售该商品所获利润不低于500元，请直接写出销售单价x 的范围．26．如图，Rt△ABC中，AB=10，AC：BC=3：4，以斜边AB为直径作⊙O，动点P在直径下方的半圆AB上运动（不与A、B重合），过点C作CQ⊥CP，与PB的延长线交于点Q．（1）当CP⊥AB时，求CQ的长；（2）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．27．如图，已知一次函数y=x+2的图象交y轴于点A，交x轴于点B，点E在x 轴正半轴上，点F在射线BA上，且OE=OF=10．FH垂直x轴于点H．（1）点E坐标为，点F坐标为．（2）操作：将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P．问是否存在这样的点Q，使以点P，Q，E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．28．如图，二次函数y=x2+m的图象经过点A（1，﹣），直线l经过抛物线的顶点B且与y轴垂直，设抛物线上有一动点P（a，b）从点A处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标b随时间t（s）的变化关系为b=2t﹣，以线段OP为直径作⊙C．（1）求该二次函数的表达式；（2）当点P在起始位置点A处时，试判断直线l与⊙C的位置关系，并说明理由：在点P移动的过程中，直线l与⊙C是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由．（3）若在点P开始运动的同时，直线l也向上平行移动，移动速度为每秒3个单位长度，则当t在什么范围内变化时，直线l与⊙C相交？此时，若直线l被⊙C所截得的弦长为a，试求a2的最大值．2016-2017学年江苏省无锡市梁溪区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列方程中的一元二次方程是（）A．x2+x﹣=0 B．x2﹣2x=x2C．x2+y﹣1=0 D．x2﹣x﹣6=0【考点】一元二次方程的定义．【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、不是整式方程，故错误．B、方程含有一个未知数，整理后未知数最高次数为1，故错误；C、方程含两个未知数，故错误；D、符合一元二次方程的定义，正确；故选D．2．方程x2=9的解是（）A．x=9 B．x=±9 C．x=3 D．x=±3【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．【分析】直接开平方法即可得．【解答】解：∵x2=9，∴x=±3，故选：D．3．图象的对称轴是y轴的函数是（）A．y=x2+2x B．y=（x﹣2）2 C．y=x2﹣3 D．y=（x﹣1）（x+3）【考点】二次函数的性质．【分析】直接利用顶点式的特点和对称轴方程求解即可．【解答】解：∵函数y=x2+2x的对称轴为x=﹣=﹣1，函数y=（x﹣2）2对称轴是x=2；函数y=x2﹣3的对称轴为x=0；函数y=（x﹣1）（x+3）的对称轴为x==﹣1．故选C．4．下列各点位于函数y=x2﹣x+2的图象上的是（）A．（1，2） B．（﹣1，2）C．（0，1） D．（1，0）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】将点的坐标代入解析式进行计算即可．【解答】解：把x=1代入y=x2﹣x+2，得y=1﹣1+2=2，故点（1，2）在二次函数图象上，故选A．5．如图，点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC=40°，则∠AOC的大小是（）A．90°B．80°C．70°D．50°【考点】圆周角定理．【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵∠ABC与AOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∠ABC=40°，∴∠AOC=2∠ABC=80°．故答案为：80°．6．已知⊙O的半径为6cm，点O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O（）A．相交B．相离C．相切D．相切或相交【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线与圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，从而得出答案．【解答】解：设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，∵d=5cm，r=6cm，∴d＜r，∴直线l与圆相交．故选A．7．若一对相似三角形的相似比为1：3，则这对三角形的面积比为（）A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．1：【考点】相似三角形的性质．【分析】由两个相似三角形的相似比为1：3，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得这两个三角形的面积比．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为1：3，∴这两个三角形的面积比为1：9．故选C．8．已知tanA=1，则锐角A的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据tan45°=1解答即可．【解答】解：∵tanA=1，A为锐角，tan45°=1，∴∠A=45°．故选B．9．如图，水平地面上有一面积为30πcm2的灰色扇形OAB，其中OA=6cm，且OA垂直于地面，将这个扇形向右滚动（无滑动）至点B刚好接触地面为止，则在这个滚动过程中，点O移动的距离是（）A．10πcm B．20πcm C．24πcm D．30πcm【考点】轨迹；弧长的计算．【分析】根据题意可知点O移动的距离正好是灰色扇形的弧长，所以先根据扇形的面积求得扇形的圆心角的度数，再根据弧长公式求得弧长，即点O移动的距离．【解答】解：设扇形的圆心角为n度，则=30π∴n=300．∵扇形的弧长为=10π（cm），∴点O移动的距离10πcm．故选A．10．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=6，以斜边AB的中点D为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′，则旋转后两个直角三角形重叠部分的面积为（）A．6 B．9 C．6 D．9【考点】旋转的性质．【分析】如图，先计算出AB=2AC=12，则BD=6，再根据旋转的性质得B′D′=BD=6，则在Rt△BDM中可计算出DM=2，BM=2MD=4，所以B′M=B′D﹣DM=6﹣2，接着在Rt△B′MN中计算出MN=B′M=3﹣，所以BN=3+3，在Rt△BNG中计算NG=BN=3+，然后利用S阴影部分=S△BNG﹣S△BDM进行计算即可．【解答】解：如图，∵∠C=90°，∠A=60°，AC=6，∴AB=2AC=12，∵点D为AB的中点，∴BD=6，∵△ABC绕点D逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′，∴B′D′=BD=6，在Rt△BDM中，∵∠B=30°，∴DM=BD=2，BM=2MD=4，∴B′M=B′D﹣DM=6﹣2，在Rt△B′MN中，MN=B′M=3﹣，∴BN=3﹣+4=3+3，在Rt△BNG中，NG=BN=3+，∴S阴影部分=S△BNG﹣S△BDM=•（3+）•（3+3）﹣•2•6=9．故选B．二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）11．如果x=1是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣6=0的一根，则m=﹣5．【考点】一元二次方程的解．【分析】根据一元二次方程的定义，把x=1代入方程x2﹣mx﹣6=0得到关于m 的一次方程，然后解一次方程求出m即可．【解答】解：把x=1代入x2﹣mx﹣6=0得1﹣m﹣6=0，解得m=﹣5．故答案为﹣5．12．二次函数y=2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（1，3）【考点】二次函数的性质．【分析】首先知二次函数的顶点坐标根据顶点式y=a+，知顶点坐标是（﹣，），把已知代入就可求出顶点坐标．【解答】解：y=ax2+bx+c，配方得y=a+，顶点坐标是（﹣，），∵y=2（x﹣1）2+3，∴二次函数y=2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（1，3）．13．将函数y=﹣2x2的图象沿着y轴向上平移3个单位后所得到的图象的函数表达式为y=﹣2x2+3．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】利用抛物线的平移规律求解．【解答】解：函数y=﹣2x2的图象沿着y轴向上平移3个单位后所得到的图象的函数表达式为y=﹣2x2+3．故答案为y=﹣2x2+3．14．如图，⊙O直径AB垂直于弦CD，垂足E是OB的中点，若AB=6，则CD= 3．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】连接OC，首先求得OM与OC，在直角△OCM中，利用勾股定理即可求得CM的长，则利用垂径定理求得CD的长．【解答】解：连接OC．∵AB⊥CD，且AB是⊙O的直径，∴CM=DM=CD，OB=OC=AB=3，∵M是OB的中点，∴OM=3，∴CM==，∴CD=2CM=3．故答案是：3．15．用一个半径为4cm，面积为12πcm2的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为3cm．【考点】圆锥的计算；扇形面积的计算．【分析】先根据扇形的面积公式：S=•l•R（l为弧长，R为扇形的半径）计算出扇形的弧长，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，利用圆的周长公式计算出圆锥的底面半径．【解答】解：∵S=•l•R，∴•l•4=12π，解得l=6π，设圆锥的底面半径为r，∴2π•r=6π，∴r=3（cm）．故答案为：3cm．16．如图，△ABC中，∠AED=∠B，AD=2，DB=4，AE=3，则EC=1．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据相似三角形的判定首先证出△ADE∽△ACB，然后根据相似三角形的性质得出AE：AB=AD：AC，从而求出AE的长度．【解答】解：∵∠A=∠A，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∴AE：AB=AD：AC，又∵AD=2，DB=4，AE=3，∴AB=AD+BD=6，∴AC=2×6÷3=4．∴CE=AC﹣AE=1．故答案为：1．17．如图，过x轴上一点A作平行于y轴的直线分别与抛物线y=x2及y=x2交于B、C两点，若正方形BCDE的一边DE与y轴重合，则此正方形BCDE的面积为．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．【分析】根据题意可以求得点B和点C的坐标，从而可以得到点B到y轴的距离等于线段BC的长，从而可以求得正方形的边长，进而求得正方形的面积．【解答】解：设点A的坐标为（a，0），由题意可得，点B的坐标为（a，a2），点C的坐标为（a，a2），∴a=a2﹣，解得，a1=0（舍去），a2=，∴正方形BCDE的面积是：，故答案为：．18．如图，△ABC中AB=AC=13，BC=10，点D在边AB上，以D为圆心作⊙D，当⊙D恰好同时与边AC、BC相切时，此时⊙D的半径长为．【考点】切线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理．【分析】作AH⊥BC于H，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，连接CD，如图，设⊙D 的半径为r，先利用等腰三角形的性质得BH=CH=BC=5，则利用勾股定理可计算出AH=12，再根据切线的性质得DE=DF=r，然后根据三角形面积公式得到•AH•BC=DE•BC+•DF•AC，即×10•r+×13×r=×10×12，再解关于r的方程即可．【解答】解：作AH⊥BC于H，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，连接CD，如图，设⊙D的半径为r，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=BC=5，在Rt△ABH中，AH==12，∵⊙D同时与边AC、BC相切，∴DE=DF=r，=S△ADC+S△DBC，∵S△ABC∴•AH•BC=DE•BC+•DF•AC，即×10•r+×13×r=×10×12，∴r=，即当⊙D恰好同时与边AC、BC相切时，此时⊙D的半径长为．故答案为．三、解答题（本题共10小题，共84分））19．解方程：（1）x2+2x=0；（2）x2﹣4x﹣1=0．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法．【分析】（1）因式分解法求解可得；（2）配方法求解可得．【解答】解：（1）∵x（x+2）=0，∴x=0或x+2=0，解得：x=0或x=﹣2；（2）∵x2﹣4x=1，∴x2﹣4x+4=5，即（x﹣2）2=5，∴x﹣2=±，则x=2．20．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（2，0）和（﹣3，0），求b、c的值．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】把已知两点代入二次函数解析式求出b与c的值即可．【解答】解：把（2，0）与（﹣3，0）代入得：，解得：b=1，c=﹣6．21．某污染水域经过两次治理，污染水面面积由100公顷降为64公顷，已知每次治理后污染水面面积降低的百分率相同，求每次降低的百分率．【考点】一元二次方程的应用．【分析】此题可设每次降低的百分率为x，那么第一次治理后污染水面面积是原来的（1﹣x），那么第二次治理后污染水面面积是原来的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可．【解答】解：设每次降低的百分率为x，根据题意列方程得100×（1﹣x）2=64，解得x1=0.2=20%，x2=1.8（不符合题意，舍去）．答：每次降低的百分率是20%．22．如图，在坐标系的第一象限建立网格，网格中的每个小正方形边长都为1，格点△ABC的顶点坐标分别为A（2，4）、B（0，2）、C（4，4）．（1）若△ABC外接圆的圆心为P，则点P的坐标为（3，1）．（2）以点D为顶点，在网格中画一个格点△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比为1：2．（画出符合要求的一个三角形即可）【考点】作图—相似变换；三角形的外接圆与外心．【分析】（1）分别作AC、AB的中垂线，两直线的交点即为所求点P；（2）根据相似比为1：2可得DE=，DF=1，EF=，据此可得．【解答】解：（1）如图，点P即为所求，其坐标为（3，1），故答案为：（3，1）；（2）如图，△DEF即为所求三角形．23．如图，已知△ABC中，已知△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=54°，AC=10．（1）请你用直尺和圆规在图中作出线段AD，使得AD将△ABC分割成面积相等的两部分．（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）求点A到BC边的最短距离（精确到0.1）．（参考数据：sin54°≈0.809，cos54°≈0.588，tan54°≈1.376）【考点】作图—复杂作图；解直角三角形．【分析】（1）作出线段BC的垂直平分线，即可找到BC中点D，连接AD，则AD 将△ABC分割成面积相等的两部分；（2）作AE⊥BC于E，解直角三角形AEC，求出AE的长即可．【解答】解：（1）如图1所示：（2）作AE⊥BC于E，如图2，∵∠BAC=90°，∠ABC=54°，∴∠CAE=54°，∴AE=AC•cos∠CAE=10×cos54°≈5.9，即点A到BC边的最短距离为5.9．24．如图，△ABC中，∠BAC=45°，过A、B两点的⊙O交AC于点D，且OD∥BC，OD交AB于点E．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠OEB=60°，求AD：CD的值．【考点】切线的判定．【分析】（1）连接OB，根据已知条件得到∠BOD=90°，根据平行线的性质得到∠OBC=90°，根据切线的判定定理即刻得到结论；（2）连接OA，根据直角三角形的性质得到∠OBA=30°，OE=BE，根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA=30°，于是得到AE=OE=BE，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OB，∵∠BAC=45°，∴∠BOD=90°，∵OD∥BC，∴∠OBC=90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：连接OA，∵∠OEB=60°，∴∠OBA=30°，OE=BE，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠AOE=30°，∴AE=OE=BE，∵DO∥BC，∴==．25．某网店销售一种成本价为每件60元的商品，规定销售期间销售单价不低于成本价，且每件获利不得高于成本价的45%．经测算，每天的销售量y（件）与销售单价x（元）的关系符合一次函数y=﹣x+120，设该网店每天销售该商品所获利润为W（元）．（1）试写出利润W与销售单价x之间的函数关系式；（2）销售单价定为多少元时，该网店每天销售该商品可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该网店每天销售该商品所获利润不低于500元，请直接写出销售单价x 的范围．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据总利润等于每一件的利润乘以销售总量得到W=（x﹣60）•y，把y=﹣x+120代入得到W=（x﹣60）（﹣x+120）=﹣x2+180x﹣7200（60≤x≤87）；（2）将（1）中函数解析式配成顶点式为W=﹣（x﹣90）2+900，根据二次函数的性质得到当x＜90时，W随x的增大而增大，则x=87时，W有最大值，其最大值=﹣（87﹣90）2+900=891．（3）由“每天销售该商品所获利润不低于500元”列出关于x的不等式，解之得出x的范围，结合60≤x≤87可得答案．【解答】解：（1）W=（x﹣60）•y=（x﹣60）（﹣x+120）=﹣x2+180x﹣7200（60≤x≤87），∵成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，即不高于60（1+45%），∴60≤x≤87；（2）W=﹣（x﹣90）2+900，∵a=﹣1＜0，∴当x＜90时，W随x的增大而增大，∴x=87时，W有最大值，其最大值=﹣（87﹣90）2+900=891；（3）根据题意得﹣x2+180x﹣7200≥500，解得：70≤x≤110，又∵60≤x≤87，∴70≤x≤87．26．如图，Rt△ABC中，AB=10，AC：BC=3：4，以斜边AB为直径作⊙O，动点P在直径下方的半圆AB上运动（不与A、B重合），过点C作CQ⊥CP，与PB的延长线交于点Q．（1）当CP⊥AB时，求CQ的长；（2）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理．【分析】（1）根据Rt△ABC中，AB=10，AC：BC=3：4，求得AC=6，BC=8，再根据CP⊥AB，得到CP=2CM，据此求得CP的长，再根据△CAB∽△CPQ，得到=，进而得出CQ==；（2）由（1）可知，CQ==CP，根据当CP取最大值是CQ有最大值，得到当CP为直径时，即点P运动到CP经过圆心O时，CQ取到最大值为．【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，AB=10，AC：BC=3：4，∴AC=6，BC=8，设CP交AB于M，∵CP⊥AB，∴CP=2CM=2×=，∵∠A=∠P，∠ACB=∠PCQ=90°，∴△CAB∽△CPQ，∴=，∴CQ==；（2）由（1）可知，CQ==CP，∴当CP取最大值是CQ有最大值，∴当CP为直径时，即点P运动到CP经过圆心O时，CQ取到最大值为×10=．27．如图，已知一次函数y=x+2的图象交y轴于点A，交x轴于点B，点E在x 轴正半轴上，点F在射线BA上，且OE=OF=10．FH垂直x轴于点H．（1）点E坐标为（10，0），点F坐标为（6，8）．（2）操作：将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P．问是否存在这样的点Q，使以点P，Q，E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】一次函数综合题；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据点E在x轴正半轴上，OE=OF=10，即可得出E（10，0），再根据点F在射线BA上，可设F（x，x+2），则OH﹣x，FH=x+2，最后根据勾股定理求得x即可；（2）当点Q在射线HF上时，分两种情况：①QE=OE=10，②QP=OE=10；当点Q 在射线AF上时，分两种情况：①QE=OE=10，②QP=OE=10，分别作辅助线构造直角三角形或相似三角形，求得QH的长，即可得出点Q的坐标．【解答】解：（1）∵点E在x轴正半轴上，OE=OF=10，∴E（10，0），∵点F在射线BA上，∴可设F（x，x+2），则OH﹣x，FH=x+2，如图，连接OF，则Rt△OHF中，x2+（x+2）2=102，解得x=6，∴x+2=8，∴F（6，8），故答案为：（10，0），（6，8）；（2）存在这样的点Q，使以点P，Q，E为顶点的三角形与△POE全等．当点Q在射线HF上时，分两种情况：①如图所示，若QE=OE=10，而HE=10﹣6=4，∴在Rt△QHE中，QH===2，∴Q（6，2）；②如图所示，若QP=OE=10，作PK⊥FH于K，则∠PKQ=∠QHE=90°，QK= =8，∵∠PQK+∠EQH=∠QEH+∠EQH=90°，∴∠PQK=∠QEH，∴△PQK∽△QEH，∴=，即=，解得QH=3，∴Q（6，3）；当点Q在射线AF上时，分两种情况：①如图所示，若QE=OE=10，设Q（x，x+2），作QR⊥x轴于R，则RE=10﹣x，QR=x+2，∴Rt△QRE中，（10﹣x）2+（x+2）2=102，解得x=4±，∴Q（4+，6+）或（4﹣，6﹣）；②如图所示，若QP=OE=10，则QE=OP，设Q（x，x+2），∵∠POE=90°，∴四边形OPQE是矩形，∴x=OE=10，∵Q在射线AF上，∴x+2=QE=12，∴Q（10，12）．28．如图，二次函数y=x2+m的图象经过点A（1，﹣），直线l经过抛物线的顶点B且与y轴垂直，设抛物线上有一动点P（a，b）从点A处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标b随时间t（s）的变化关系为b=2t﹣，以线段OP为直径作⊙C．（1）求该二次函数的表达式；（2）当点P在起始位置点A处时，试判断直线l与⊙C的位置关系，并说明理由：在点P移动的过程中，直线l与⊙C是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由．（3）若在点P开始运动的同时，直线l也向上平行移动，移动速度为每秒3个单位长度，则当t在什么范围内变化时，直线l与⊙C相交？此时，若直线l被⊙C所截得的弦长为a，试求a2的最大值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）只要证明圆心C到直线l的距离等于圆的半径即可．（3））①由（2）可知，若直线l与⊙C相切，则：2t﹣=t+，t=；由此即可判断当0＜t＜时，直线l与⊙C相交；②因为0＜t＜时，圆心C到直线l的距离为d=|2t﹣|，又半径为r=t+，所以a2=4（r2﹣d2）=4[（t+）2﹣|2t﹣|2]=﹣12t2+15t，根据二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：（1）将点A（1，﹣）代入y=x2+m中，得：m=﹣1，∴抛物线的解析式：y=x2﹣1；（2）结论：直线l与⊙C始终保持相切．理由：将P点纵坐标代入（1）的解析式，得：a2﹣1=﹣+2t，a=，∴P（，﹣+2t），∴圆心C（，﹣+t），∴点C到直线l的距离：﹣+t﹣（﹣1）=t+；而OP2=8t+1+（﹣+2t）2，得OP=2t+，半径OC=t+；∴直线l与⊙C始终保持相切．（3）①由（1）可知，若直线l与⊙C相切，则：2t﹣=t+，t=；∴当0＜t＜时，直线l与⊙C相交；②∵0＜t＜时，圆心C到直线l的距离为d=|2t﹣|，又半径为r=t+，∴a2=4（r2﹣d2）=4[（t+）2﹣|2t﹣|2]=﹣12t2+15t，∴t=时，a的平方取得最大值为．2017年5月8日。

无锡市九年级上学期期末数学试卷 （解析版）一、选择题1．sin 30°的值为（ ） A ．3B ．32C ．12D ．222．如图，已知点D 在ABC ∆的BC 边上，若CAD B ∠=∠，且:1:2CD AC =，则:CD BD =（ ）A ．1:2B ．2:3C ．1:4D ．1:33．如图，已知一组平行线a ∥b ∥c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，且AB ＝1.5，BC ＝2，DE ＝1.8，则EF ＝（ ）A ．4.4B ．4C ．3.4D ．2.44．方程 x 2＝4的解是（ ）A ．x 1＝x 2＝2B ．x 1＝x 2＝－2C ．x 1＝2，x 2＝－2D ．x 1＝4，x 2＝－45．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点M 是AB 上的一点，点N 是CB 上的一点，43=BM CN ，当∠CAN 与△CMB 中的一个角相等时，则BM 的值为（ ）A ．3或4B ．83或4C ．83或6D ．4或66．如图1，S 是矩形ABCD 的AD 边上一点，点E 以每秒k cm 的速度沿折线BS －SD －DC 匀速运动，同时点F 从点C 出发点，以每秒1cm 的速度沿边CB 匀速运动．已知点F 运动到点B 时，点E 也恰好运动到点C ，此时动点E ，F 同时停止运动．设点E ，F 出发t 秒时，△EBF 的面积为2ycm ．已知y 与t 的函数图像如图2所示．其中曲线OM ，NP 为两段抛物线，MN 为线段．则下列说法：①点E 运动到点S 时，用了2.5秒，运动到点D 时共用了4秒； ②矩形ABCD 的两邻边长为BC ＝6cm ，CD ＝4cm ； ③sin ∠ABS ＝3； ④点E 的运动速度为每秒2cm ．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④7．如图，⊙O 的直径BA 的延长线与弦DC 的延长线交于点E ，且CE ＝OB ，已知∠DOB ＝72°，则∠E 等于（ ）A ．18°B ．24°C ．30°D ．26°8．已知OA ，OB 是圆O 的半径，点C ，D 在圆O 上，且//OA BC ，若26ADC ∠=︒，则B 的度数为（ ）A ．30B ．42︒C ．46︒D ．52︒ 9．已知二次函数y ＝（a ﹣1）x 2﹣x+a 2﹣1图象经过原点，则a 的取值为（ ）A ．a ＝±1B ．a ＝1C ．a ＝﹣1D ．无法确定10．将函数的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A （1，4）的方法是（ ）A ．向左平移1个单位B ．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移1个单位11．如图，在Rt ABC ∆中，90C CD AB ∠=︒⊥，，垂足为点D ，一直角三角板的直角顶点与点D 重合，这块三角板饶点D 旋转，两条直角边始终与AC BC 、边分别相交于G H 、，则在运动过程中，ADG ∆与CDH ∆的关系是（ ）A ．一定相似B ．一定全等C ．不一定相似D ．无法判断 12．二次函数2(1)3y x =-+图象的顶点坐标是（ ） A ．(1,3)B ．(1,3)-C ．(1,3)-D ．(1,3)--13．已知反比例函数ky x=的图象经过点（m ，3m ），则此反比例函数的图象在（ ） A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限14．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，CM 是它的中线，以C 为圆心，5cm 为半径作⊙C ，则点M 与⊙C 的位置关系为( ) A ．点M 在⊙C 上B ．点M 在⊙C 内C ．点M 在⊙C 外D ．点M 不在⊙C 内15．已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），AB=4，那么AP 的长是（ ） A ．252-B ．25-C ．251-D ．52-二、填空题16．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点P ，若∠P ＝40°，则∠ADC ＝____°．17．数据2，3，5，5，4的众数是____．18．如图，AB 、CD 、EF 所在的圆的半径分别为r 1、r 2、r 3，则r 1、r 2、r 3的大小关系是____．（用“＜”连接）19．抛物线y ＝3（x+2）2+5的顶点坐标是_____．20．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，若BC=6，AB=10，OD ⊥BC 于点D ，则OD 的长为______．21．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点O ，则tan ∠AOD=________.22．抛物线21(5)33y x =--+的顶点坐标是_______． 23．如图，O 的直径AB 与弦CD 相交于点53E AB AC ==，，，则tan ADC ∠=______．24．如图（1），在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD 上，这时折痕与边AD 和BC 分别交于点E 、点F ．然后再展开铺平，以B 、E 、F 为顶点的△BEF 称为矩形ABCD 的“折痕三角形”．如图（2），在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，当“折痕△BEF”面积最大时，点E 的坐标为_________________________．25．二次函数2y ax bx c =++的图像开口方向向上，则a ______0.(用“=、>、<”填空)26．如图，抛物线2143115y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，⊙B 的圆心为B ，半径是1，点P 是直线AC 上的动点，过点P 作⊙B 的切线，切点是Q ，则切线长PQ 的最小值是__．27．当21x -≤≤时，二次函数22()1y x m m =--++有最大值4，则实数m 的值为________．28．将抛物线 y ＝（x+2）2-5向右平移2个单位所得抛物线解析式为_____． 29．已知：二次函数y=ax 2+bx+c 图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表格所示，那么它的图象与x 轴的另一个交点坐标是_____． x … ﹣1 0 1 2 … y…343…30．已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +5a ＝0有两个正的相等的实数根，则这两个相等实数根的和为_____．三、解答题31．如图，已知抛物线214y x bx c =++经过ABC 的三个顶点，其中点(0,3)A ，点(12,15)-B ，//AC x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点. （1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交与点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.32．一只不透明的袋子中装有标号分别为1、2、3、4、5的5个小球，这些球除标号外都相同．（1）从袋中任意摸出一个球，摸到标号为偶数的概率是 ；（2）先从袋中任意摸出一个球后不放回，将球上的标号作为十位上的数字，再从袋中任意摸出一个球，将球上的标号作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数是奇数的概率．33．解方程（1）（x+1）2﹣25＝0（2）x2﹣4x﹣2＝034．如图，⊙O的直径为AB，点C在⊙O上，点D，E分别在AB，AC的延长线上，DE⊥AE，垂足为E，∠A＝∠CDE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝4，BD＝3，求CD的长．35．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x、月销售量y、月销售利润w（元）的部分对应值如下表：售价x（元/件）4045月销售量y（件）300250月销售利润w（元）30003750注：月销售利润＝月销售量×（售价－进价）（1）①求y关于x的函数表达式；②当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过40元/件，该商店在今后的销售中，月销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若月销售最大利润是2400元，则m的值为．四、压轴题36．如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC＝3，BC＝4．（1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边BC相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）P 是这个Rt △ABC 上和其内部的动点，以P 为圆心的⊙P 与Rt △ABC 的两条边相切．设⊙P 的面积为S ，你认为能否确定S 的最大值？若能，请你求出S 的最大值；若不能，请你说明不能确定S 的最大值的理由．37．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD 内接于O ，对角线AC BD =，且AC BD ⊥．（1）求证：AB CD =； （2）若O 的半径为8，弧BD 的度数为120︒，求四边形ABCD 的面积；（3）如图2，作OM BC ⊥于M ，请猜测OM 与AD 的数量关系，并证明你的结论． 38．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，连结CD .（1）若28A ∠=︒，求ACD ∠的度数； （2）设BC a =，AC b =；①线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根吗？说明理由. ②若线段AD EC =，求ab的值. 39．如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 交x 轴于A 、B 两点，其中点A 坐标为（1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接AC ，点Q 为x 轴下方抛物线上任意一点，点D 是抛物线对称轴与x 轴的交点，直线AQ 、BQ 分别交抛物线的对称轴于点M 、N ．请问DM +DN 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（3）如图2，点P 为抛物线上一动点，且满足∠PAB ＝2∠ACO ．求点P 的坐标． 40．如图，已知抛物线234y x bx c =++与坐标轴交于A 、B 、C 三点，A 点的坐标为(1,0)-，过点C 的直线334y x t=-与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH OB ⊥于点H ．若5PB t =，且01t <<．（1）点C 的坐标是________，b =________； （2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与COQ 相似？若存在，直接写出所有t 的值；若不存在，说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案． 【详解】 解：sin 30°＝12故选C 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关特殊角的三角函数值是解题关键．2．D解析：D 【解析】 【分析】根据两角对应相等证明△CAD ∽△CBA ，由对应边成比例得出线段之间的倍数关系即可求解.解：∵∠CAD=∠B，∠C=∠C,∴△CAD∽△CBA,∴12 CD CACA CB,∴CA=2CD,CB=2CA,∴CB=4CD,∴BD=3CD,∴13 CDBD.故选：D.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，得出线段之间的关系是解答此题的关键. 3．D解析：D【解析】【分析】直接利用平行线分线段成比例定理对各选项进行判断即可．【详解】解：∵a∥b∥c，∴AB DE BC EF=,∵AB＝1.5，BC＝2，DE＝1.8,∴1.5 1.82EF= , ∴EF=2.4故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例,掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是关键．4．C解析：C【解析】【分析】两边开方得到x=±2．【详解】解：∵x2=4，∴x=±2，∴x1=2，x2=-2．故选：C．本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如ax 2+c=0（a≠0）的方程可变形为2=cx a-，当a 、c 异号时，可利用直接开平方法求解． 5．D解析：D 【解析】 【分析】分两种情形：当CAN B ∠=∠时，CAN CBA ∆∆∽，设3CN k =，4BM k =，可得CN ACAC CB=，解出k 值即可；当CAN MCB ∠=∠时，过点M 作MH CB ⊥，可得CAN BAC ∆∆∽，得出125MH k =，165BH k =，则1685CH k =-，证明ACN CHM ∆∆∽，得出方程求解即可． 【详解】解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8， ∴CMB CAB CAN ∠>∠>∠，AB=10， CAN CAB ∴∠≠∠，设3CN k =，4BM k =，①当CAN B ∠=∠时，可得CAN CBA ∆∆∽， ∴CN ACAC CB =， ∴3668k =， 32k ∴=， 6BM ∴=．②当CAN MCB ∠=∠时，如图2中，过点M 作MH CB ⊥，可得BMH BAC ∆∆∽，∴BM MH BHBA AC BC==， ∴41068k MH BH ==， 125MH k ∴=，165BH k =，1685CH k ∴=-， MCB CAN ∠=∠，90CHM ACN ∠=∠=︒，ACN CHM ∴∆∆∽， ∴CN MH AC CH=， ∴123516685k k k =-， 1k ∴=，4BM ∴=．综上所述，4BM =或6．故选：D ．【点睛】本题考相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．6．C解析：C【解析】【分析】①根据函数图像的拐点是运动规律的变化点由图象即可判断．②设AB CD acm ==，BC AD bcm ==，由函数图像利用△EBF 面积列出方程组即可解决问题．③由 2.5BS k =，1.5SD k =，得53BS SD =，设3SD x =，5BS x =，在RT ABS ∆中，由222AB AS BS +=列出方程求出x ，即可判断．④求出BS 即可解决问题．【详解】解：函数图像的拐点时点运动的变化点根据由图象可知点E 运动到点S 时用了2.5秒，运动到点D 时共用了4秒．故①正确．设AB CD acm ==，BC AD bcm ==， 由题意，1··( 2.5)721·(4)42a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得46a b =⎧⎨=⎩， 所以4AB CD cm ==，6BC AD cm ==，故②正确，2.5BS k =， 1.5SD k =， ∴53BS SD =，设3SD x =，5BS x =，在Rt ABS ∆中，222AB AS BS +=，2224(63)(5)x x ∴+-=，解得1x =或134-（舍)， 5BS ∴=，3SD =，3AS =，3sin 5AS ABS BS ∴∠==故③错误， 5BS =，5 2.5k ∴=， 2/k cm s ∴=，故④正确，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、勾股定理、三角形面积、函数图象问题等知识，读懂图象信息是解决问题的关键，学会设未知数列方程组解决问题，把问题转化为方程去思考，是数形结合的好题目，属于中考选择题中的压轴题．7．B解析：B【解析】【分析】根据圆的半径相等可得等腰三角形，根据三角形的外角的性质和等腰三角形等边对等角可得关于∠E 的方程，解方程即可求得答案．【详解】解：如图，连接CO,∵CE ＝OB ＝CO=OD ，∴∠E ＝∠1，∠2＝∠D∴∠D=∠2＝∠E +∠1＝2∠E ．∴∠3＝∠E +∠D ＝∠E +2∠E ＝3∠E ．由∠3＝72°，得3∠E ＝72°．解得∠E ＝24°．故选：B ．【点睛】本题考查了圆的认识，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质.能利用圆的半径相等得出等腰三角形是解题关键．8．D【解析】【分析】连接OC ，根据圆周角定理求出∠AOC ，再根据平行得到∠OCB ，利用圆内等腰三角形即可求解.【详解】连接CO ，∵26ADC ∠=︒∴∠AOC=252ADC ∠=︒∵//OA BC∴∠OCB=∠AOC=52︒∵OC=BO ，∴B =∠OCB=52︒故选D.【点睛】此题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟知圆的基本性质及圆周角定理的内容.9．C解析：C【解析】【分析】将（0，0）代入y ＝（a ﹣1）x 2﹣x+a 2﹣1 即可得出a 的值．【详解】解：∵二次函数y ＝（a ﹣1）x 2﹣x+a 2﹣1 的图象经过原点，∴a 2﹣1＝0，∴a ＝±1，∵a ﹣1≠0，∴a≠1，∴a 的值为﹣1．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数，二次函数图像上的点满足二次函数解析式，熟练掌握这一点是解题的关键，同时解题过程中要注意二次项系数不为0.10．D【解析】A.平移后，得y=(x+1)2，图象经过A 点，故A 不符合题意；B.平移后，得y=(x−3)2，图象经过A 点，故B 不符合题意；C.平移后，得y=x 2+3，图象经过A 点，故C 不符合题意；D.平移后，得y=x 2−1图象不经过A 点，故D 符合题意；故选D.11．A解析：A【解析】【分析】根据已知条件可得出A DCB ∠∠=，ADG CDH ∠∠=，再结合三角形的内角和定理可得出AGD CHD ∠∠=，从而可判定两三角形一定相似．【详解】解：由已知条件可得，ADC EDF CDB C 90∠∠∠∠====︒，∵A ACD ACD DCH 90∠∠∠∠+=+=︒，∴A DCH ∠∠=，∵ADG EDC EDC CDH 90∠∠∠∠+=+=︒，∴ADG CDH ∠∠=，继而可得出AGD CHD ∠∠=，∴ADG ~CDH ．故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，灵活利用三角形内角和定理以及余角定理是解此题的关键．12．A解析：A【解析】【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.【详解】∵2(1)3y x =-+，∴二次函数图像顶点坐标为：(1,3).故答案为A.【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，对称轴为x=h ，顶点坐标为（h ，k ）． 13．B【解析】【分析】【详解】解：将点（m ，3m ）代入反比例函数k y x=得， k=m•3m=3m 2＞0；故函数在第一、三象限，故选B ． 14．A解析：A【解析】【分析】根据题意可求得CM 的长，再根据点和圆的位置关系判断即可．【详解】如图，∵由勾股定理得2268+，∵CM 是AB 的中线，∴CM=5cm ， ∴d=r ，所以点M 在⊙C 上，故选A ．【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，解决的根据是点在圆上⇔圆心到点的距离=圆的半径．15．A解析：A【解析】根据黄金比的定义得：512AP AB = ，得5142522AP =⨯= .故选A. 二、填空题16．115°【解析】根据过C点的切线与AB的延长线交于P点，∠P=40°，可以求得∠OCP和∠OBC的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D的度数，本题得以解决．【详解】解：连解析：115°【解析】【分析】根据过C点的切线与AB的延长线交于P点，∠P=40°，可以求得∠OCP和∠OBC的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D的度数，本题得以解决．【详解】解：连接OC，如右图所示，由题意可得，∠OCP=90°，∠P=40°，∴∠COB=50°，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=65°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠D+∠ABC=180°，∴∠D=115°，故答案为：115°．【点睛】本题考查切线的性质、圆内接四边形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．17．5【解析】【分析】由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．【详解】解：∵5是这组数据中出现次数最多的数据，∴这组数据的众数为5．故答案解析：5【分析】由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．【详解】解：∵5是这组数据中出现次数最多的数据，∴这组数据的众数为5．故答案为：5．【点睛】本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力，解题关键是要明确定义，读懂题意．18．r3 ＜r2 ＜r1【解析】【分析】利用尺规作图分别做出、、所在的圆心及半径，从而进行比较即可.【详解】解：利用尺规作图分别做出、、所在的圆心及半径∴r3 ＜r2 ＜r1故答案为：r解析：r3＜r2＜r1【解析】【分析】利用尺规作图分别做出AB、CD、EF所在的圆心及半径，从而进行比较即可.【详解】解：利用尺规作图分别做出AB、CD、EF所在的圆心及半径∴r3＜r2＜r1故答案为：r3＜r2＜r1【点睛】本题考查利用圆弧确定圆心及半径，掌握尺规作图的基本方法，准确确定圆心及半径是本题的解题关键.19．（﹣2，5）【解析】【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．【详解】解：由y＝3（x+2）2+5，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣2，5）．故答案为：（﹣2，5）．【点解析：（﹣2，5）【解析】【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．【详解】解：由y＝3（x+2）2+5，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣2，5）．故答案为：（﹣2，5）．【点睛】本题考查二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．20．4【解析】【分析】根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．【详解】解：∵OD⊥BC，∴BD=CD=BC=3，∵OB=AB=5，∴在Rt△OBD中，OD==4．故答案为4．解析：4【解析】【分析】根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．【详解】解：∵OD⊥BC，∴BD=CD=12BC=3，∵OB=12AB=5，∴在Rt△OBD中，OD=22OB BD=4．故答案为4．【点睛】本题考查垂径定理及其勾股定理，熟记定理并灵活应用是本题的解题关键．21．2【解析】【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求解析：2【解析】【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．【详解】如图，连接BE，∵四边形BCEK是正方形，∴KF=CF=12CK，BF=12BE，CK=BE，BE⊥CK，∴BF=CF，根据题意得：AC∥BK，∴△ACO∽△BKO，∴KO：CO=BK：AC=1：3，∴KO：KF=1：2，∴KO=OF=12CF=12BF ， 在Rt △PBF 中，tan ∠BOF=BF OF =2， ∵∠AOD=∠BOF ，∴tan ∠AOD=2．故答案为2【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．22．(5,3)【解析】【分析】根据二次函数顶点式的性质直接求解．【详解】解：抛物线的顶点坐标是（5，3）故答案为：（5，3）．【点睛】本题考查二次函数性质其顶点坐标为（h ，k ），题目比较解析：(5,3)【解析】【分析】根据二次函数顶点式2()y a x h k =-+的性质直接求解．【详解】 解：抛物线21(5)33y x =--+的顶点坐标是（5，3）故答案为：（5，3）．【点睛】本题考查二次函数性质2()y a x h k =-+其顶点坐标为（h ，k ），题目比较简单． 23．【解析】分析：由已知条件易得△ACB 中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，由此可得BC=4，结合∠ADC=∠ABC，即可由tan∠ADC=tan∠ABC=求得所求的值了.详解：∵AB 是 解析：34【解析】 分析： 由已知条件易得△ACB 中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，由此可得BC=4，结合∠ADC=∠ABC ，即可由tan ∠ADC=tan ∠ABC=AC BC 求得所求的值了. 详解：∵AB 是O 的直径，∴∠ACB=90°，又∵AC=3，AB=5，∴BC=22534-=，∴tan ∠ABC=34AC BC =， 又∵∠ADC=∠ABC ， ∴tan ∠ADC=34. 故答案为：34. 点睛：熟记“圆的相关性质和正切函数的定义”解得本题的关键.24．（，2）．【解析】【分析】【详解】解：如图，当点B 与点D 重合时，△BEF 面积最大，设BE=DE=x ，则AE=4-x ，在RT △ABE 中，∵EA2+AB2=BE2，∴（4-x ）2+22=解析：（32，2）． 【解析】【分析】【详解】解：如图，当点B 与点D 重合时，△BEF 面积最大，设BE=DE=x ，则AE=4-x ，在RT △ABE 中，∵EA 2+AB 2=BE 2，∴（4-x ）2+22=x 2，∴x=52， ∴BE=ED=52，AE=AD-ED=32， ∴点E 坐标（32，2）． 故答案为：（32，2）． 【点睛】 本题考查翻折变换（折叠问题），利用数形结合思想解题是关键．25．>【解析】【分析】根据题意直接利用二次函数的图象与a 的关系即可得出答案．【详解】解：因为二次函数的图像开口方向向上，所以有>0.故填>.【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次解析：>【解析】【分析】根据题意直接利用二次函数的图象与a 的关系即可得出答案．【详解】解：因为二次函数2y ax bx c =++的图像开口方向向上，所以有a >0.故填>.【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次项系数a 与抛物线的关系是解题的关键，图像开口方向向上，a >0；图像开口方向向下，a <0． 26．【解析】【分析】先根据解析式求出点A 、B 、C 的坐标，求出直线AC 的解析式，设点P 的坐标，根据过点P 作⊙B 的切线，切点是Q 得到PQ 的函数关系式，求出最小值即可.【详解】令中y=0，得x1=【解析】【分析】先根据解析式求出点A 、B 、C 的坐标，求出直线AC 的解析式，设点P 的坐标，根据过点P 作⊙B 的切线，切点是Q 得到PQ 的函数关系式，求出最小值即可.【详解】令21115y x =-中y=0，得x 1x 2∴直线AC的解析式为1y =-， 设P （x ，31x ）， ∵过点P 作⊙B 的切线，切点是Q ，BQ=1∴PQ 2=PB 2-BQ 2，2+（31x ）2-1， =242837533x x ， ∵43a =0<， ∴PQ 2有最小值24283475()3326443，∴PQ【点睛】此题考查二次函数最小值的实际应用，求动线段的最小值，需构建关于此线段的函数解析式，利用二次函数顶点坐标公式求最值，此题找到线段PQ 、BQ 、PB 之间的关系式是解题的关键.27．2或【解析】【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m ，再分m ＜-2，-2≤m≤1，m ＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．【详解】解：二次函数的对称轴为直线x=m ，且开口向下，解析：2或【解析】【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m ，再分m ＜-2，-2≤m≤1，m ＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．【详解】解：二次函数22()1y x m m =--++的对称轴为直线x=m ，且开口向下，①m ＜-2时，x=-2取得最大值，-（-2-m ）2+m 2+1=4， 解得74m =-， 724->-， ∴不符合题意，②-2≤m≤1时，x=m 取得最大值，m 2+1=4，解得m =所以m =，③m ＞1时，x=1取得最大值，-（1-m ）2+m 2+1=4，解得m=2，综上所述，m=2或时，二次函数有最大值．故答案为：2或【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象能分类讨论是解题的关键．28．y ＝x2−5【解析】【分析】根据平移规律“左加右减”解答．【详解】按照“左加右减，上加下减”的规律可知：y ＝（x ＋2）2−5向右平移2个单位，得：y ＝（x ＋2−2）2−5，即y ＝x2−5解析：y ＝x 2−5【解析】【分析】根据平移规律“左加右减”解答．【详解】按照“左加右减，上加下减”的规律可知：y ＝（x ＋2）2−5向右平移2个单位， 得：y ＝（x ＋2−2）2−5，即y ＝x 2−5．故答案是：y ＝x 2−5．【点睛】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．29．（3，0）．【解析】分析：根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可． 详解：∵抛物线y=ax2+bx+c 经过（0，3）、（2，3）两点，∴对称轴x==1；点（﹣1，0）解析：（3，0）．【解析】分析：根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．详解：∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过（0，3）、（2，3）两点，∴对称轴x=0+22=1； 点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），因此它的图象与x 轴的另一个交点坐标是（3，0）．故答案为（3，0）．点睛：本题考查了抛物线与x 轴的交点，关键是熟练掌握二次函数的对称性．30．2【解析】【分析】根据根的判别式，令，可得，解方程求出b ＝﹣2a ，再把b 代入原方程，根据韦达定理：即可．【详解】当关于x 的一元二次方程ax2+bx+5a ＝0有两个正的相等的实数根时， ，即解析：【解析】【分析】根据根的判别式，令=0∆，可得2220=0b a -，解方程求出b ＝﹣，再把b 代入原方程，根据韦达定理：12b x x a+=-即可． 【详解】 当关于x 的一元二次方程ax 2+bx +5a ＝0有两个正的相等的实数根时，=0∆，即2220=0b a -，解得b ＝﹣a 或b ＝（舍去），原方程可化为ax 2﹣+5a ＝0，则这两个相等实数根的和为故答案为：【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和韦达定理，解题的关键是熟练掌握根的判别式和韦达定理。

（第2题）（第5题）（第3题）AB CD·O第一学期期末学业质量抽测九年级数学试题卷（本卷考试时间为120分钟，满分130分．）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1．一元二次方程x2－6x＋5＝0配方后可化为…………………………………………………（▲）A．(x－3)2＝－14 B．(x＋3) 2＝－14 C．(x－3)2＝4 D．(x＋3)2＝42．如图，在△ABC中，点D、点E分别在边AB，AC上，DE∥BC．若BD＝2AD，则…（▲）A．ADAB＝12B．AEEC＝12C．ADEC＝12D．DEBC＝123．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论中正确的是…………………（▲）A．BC＝CD B．AB＝AD C．∠B＝∠D D．∠BCA＝∠DCA4．下列方程中，两根之和为2的是……………………………………………………………（▲）A．x2＋2x－3＝0 B．x2－2x－3＝0 C．x2－2x＋3＝0 D．4 x2－2x－3＝05．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，若△ADC的面积为0.8，则△BCD的面积为………………………………………………………………（▲）A．0.8 B．1.6 C．2.4 D．3.26．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则sin A的值为……………………………（▲）A．35B．45C．34D．437．某人沿着坡度为1∶2.4的斜坡向上前进了130m，那么他的高度上升了…………………（▲）A．50m B．100m C．120m D．130m8．如图，在⊙O中，直径AB与弦MN相交于点P，∠NPB＝45°，若AP＝2，BP＝6，则MN 的长为…………………………………………………………………………………………（▲）910A． 3 B．1 C． 2 D． 5 －1（第9题）（第10题）二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．）11．若a b ＝43，则a ＋b b＝ ▲ ． 12．关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋6x ＋k 2－1＝0的一个根是0，则k 的值是 ▲ ．13．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x ，根据题意可列方程为 ▲ ．14．将二次函数y ＝2x 2的图像先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的图像与一次函数y ＝x ＋m 的图像有公共点，则实数m 的取值范围为 ▲ ． 15．如图，点A 、B 、C 为⊙O 上的三个点，∠BOC ＝2∠AOB ，∠OBC ＝50°，则∠ACB ＝ ▲ °．16．如图为空旷场地上的一栋矩形小屋ABCD 的平面图，拴住小狗的绳子一端固定在屋外B 点处，小狗只能在屋外场地上活动．若AB ＝6m ，BC ＝4m ，拴小狗的绳长为10m ，则小狗可以活动的区域面积S ＝ ▲ m 2．17．对于实数p 、q ，我们用符号min{p ，q }表示p 、q 两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{(x －1)2，x 2}＝1，则x ＝ ▲ ．18．如图，在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝10，BD 、CD 分别平分∠ABC 、∠ACB ，∠BDC ＝135°，过点D 作DE ∥AC 交BC 于点E ，则DE ＝ ▲ ．三、解答题（本大题共10小题，共84分．）19．（本题8分）解下列方程：（1）x 2－2x －4＝0； （2）3x (x －1)＝2x －2．20．（本题8分）（1）计算：2cos30o －(1－tan60o )2＋(sin45o )2．（2）若3tan(α－30o )－1＝0，求cos α的值．21．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （－2，1），B （－1，4），C （－3，2）．（1）以原点O 为位似中心，位似比为1:2，在y 轴的左侧，画出△ABC 放大后的图形△A 1B 1C 1；（2）直接写出C 1点坐标 ▲ ；若线段AB 上点D 的坐标为(a ，b )，则对应的点D 1的坐标为 ▲ ；（3）求出∠C 1A 1B 1的正切值为 ▲ ．22．（本题8分）如图所示，当一热气球在点A 处时，其探测器显示，从热气球看高楼顶部点B 的仰角为45°，看高楼底部点C 的俯角为60°，已知这栋楼高120m ，求热气球与高楼之间的水平距离．A B C D E （第15题） （第16题） （第18题）A B E 23．（本题8分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在边BC 上移动（点E 不与点B ，C 重合），满足∠DEF ＝∠B ，且点D ，F 分别在边AB ，AC 上．（1）求证：△BDE ∽△CEF ；（2）当点E 移动到BC 中点时，求证：FE 平分∠DFC ．24．（本题8分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以BC 为直径的⊙O交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E ．（1）求证：∠A ＝∠ADE ；（2）若AD ＝16，DE ＝10，求BC 的长．25．（本题8分）某商户购进某种商品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每月可卖出160个，若销售单价每降低1元，则每月可多卖出10个．设销售价格每个降低x 元时，该商品每月的销售利润为W 元．（1）当销售单价定为多少元时，该商品的每月销售利润最大？（2）若计划下月该商品的销售利润不低于3600元，请确定该商品的销售单价的范围．26．（本题8于A 、B 两点（点A 在点B 左侧）．（1）若A 、B 的横坐标分别是方程x 2＋x －6＝0的两根，请在直线AB 下方的抛物线上求点P ，使△ABP 的面积等于5；（2）C 为抛物线上一点，且点C 到y 轴的距离为4，求点C 到直线AB 的最大距离．D D 27．（本题10分）【回顾】如图1，在△ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝3，BC ＝4，则S △ABC 等于 ▲ .【探究】图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有30°的角，较短的直角边长为a ；另一个含有45°的角，直角边长为b ，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD（如图3），他用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出sin75°＝6＋24．请你写出小明的具体说理过程.【应用】如图4，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，BC ＝4，求S △ABC ．28．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋次函数y ＝ax －a （a ≠0）的图像相交于A 、B 两点，与x 轴的负半轴交于点C ．AB 交y 轴于点D ，BD ∶AD ＝1∶2，点B 坐标为（1，0）．（1）求该二次函数的函数表达式；（2）M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为轴翻折，点C 的对称点为点N ，若△AMN 有一个顶点在y 轴上，求点N 的坐标；（3）设点E 在抛物线的对称轴上，点F 在直线AB 上，问是否存在这样的点E 、F ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E、F 的坐标；若不存在，请说明理由．图4 A B九年级数学参考答案及评分标准一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.)1．C 2．B 3．A 4．B 5．C 6．A 7．A 8．C 9．D 10．D 二、填空题(本大题共8小题，每小题2分，共16分.)11．73 12．－1 13．50(1－x )2＝32 14．15．20 16．88π 17．2或－1 18．52三、解答题 (本大题共10小题，共84分．)19．（1）解：(x －1)2＝5；…………………（2分） （2）解：(3x －2)(x －1)＝0；…………（2分）∴x 1＝1＋5，x 2＝1－5．…………（4分） ∴x 1＝23，x 2＝1．…………………（4分） 20．（1）解：原式＝2×32－3＋1＋12……（3分） （2）解：∵tan(α－30o )＝33；………（2分） ＝32．………………………（4分） ∴α＝60°．……………………（3分） ∴cos α＝12．……………………（4分） 21．解：（1）画图正确．……（2分）；（2）（－6，4）；（2a ，2b ）．…（6分）；（3）2．…（8分）22．解：作AD ⊥BC 于点D ． 设AD ＝x m ……………………………………………………（1分）∵∠BDA ＝∠CDA ＝90°，∠BAC ＝45°，∠CAD ＝60°，…………………………（2分） ∴BD ＝AD ·tan ∠BAC ＝x ·tan45°＝x ．………………………………………………（3分） CD ＝AD ·tan ∠CAD ＝x ·tan60°＝3x ．……………………………………………（4分） ∵BC ＝120，∴x ＋3x ＝120．………………………………………………………（6分）解之得x ＝…………………………………………………………………（7分） 答：热气球与高楼的水平距离为（60．…………………………………（8分）23．（1）证：∵∠DEF ＝∠B ，∠DEF ＋∠DEB ＋∠FEC ＝∠B ＋∠DEB ＋∠BDE ＝180°，∴∠FEC ＝∠BDE ．……………………………………………………………………（1分） ∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ．……………………………………………………………（2分）∴△BDE ∽△CEF ．……………………………………………………………………（3分）（2）证：∵△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DE EF．………………………………………………（4分） ∵E 是BC 中点，∴BE ＝CE ，∴CE CF ＝DE EF．………………………………………（5分） ∵∠DEF ＝∠B ，∠B ＝∠C ，∴∠DEF ＝∠C ．……………………………………（6分） ∴△EDF ∽△CEF ．……………………………………………………………………（7分） ∴∠DFE ＝∠CFE ，即FE 平分∠DFC ．……………………………………………（8分）24．（1）证：连OD ．∵DE 是⊙O 的切线，OD 为⊙O 的半径，∴OD ⊥DE ，………………（1分）∴∠ODE ＝90°，∴∠ADE ＋∠ODB ＝90°．∵∠C ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°．（2分） ∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠B ．…………………………………………………………（3分） ∴∠A ＝∠ADE ． ………………………………………………………………………（4分）（2）解：连CD ．∴AE ＝DE ＝10，∠CDB ＝90°．∵∠ACB ＝90°，BC 为⊙O 的直径，∴EC 是⊙O 的切线．……………………………（5分） ∴ED ＝EC ＝10，……………………………………………………………………………（6分） ∴Rt △ADC 中，CD ＝12．…………………………………………………………………（7分）易证∠A ＝∠DCB ，∴cos A ＝cos ∠DCB ，∴AD AC ＝CD BC，∴BC ＝15．…………………（8分） 25．解：（1）W ＝(80－x －50)(160＋10x )＝－10(x －7)2＋5290．………………………………（2分）∴x ＝7时，W 的最大值为5290，………………………………………………………（3分） 即销售单价定为73元时，可获得最大利润是5290元．……………………………（4分）（2）当W ＝3600时，得－10(x －7)2＋5290＝3600．………………………………………（5分） ∴解得x 1＝20，x 2＝－6（舍去）．………………………………………………………（6分） ∵ 0≤x ≤7时，4800≤W ≤5290，且W 随x 的增大而增大；x ＞7时，W ＜5290，且W 随着x 的增大而减小．∴当0≤x ≤20时，W ≥3600，即销售单价的范围在60～80元时，下月该商品的销售利润不低于3600元．…………………………………………………（8分）26．解： 把x 设P ∴（2设该点为D ，即直线AB 绕点D （－2，4）旋转．……………………………………（6分） 由题意可得：C （4，8）或（－4，8）．连CD ，则CD ＝213或25．过点C 作CE ⊥AB ，则CE ≤CD ，∴点C 到直线AB 的最大距离为28分）27．解：（1）3．……………………………………………………………………………………（2分）（2）四个三角板的总面积为3a 2＋b 2，中间的矩形空隙面积为(3a －b )(b －a )，所以该平行四边形面积为(3＋1)ab ．………………………………………………………………………（4分） 作AE ⊥BC 于点E ，则该平行四边形面积也可表示为2b ·AE ．…………………………（5分）∴AE ＝6＋22a ，∴sin ∠ABE ＝sin75°＝AE AB ＝6＋22a 2a ＝6＋24．……………………（7分） （3）作BD ⊥AC 于点D ，∵AB ＝AC ，∠A ＝30°，∴∠C ＝75°， …………………（8分） ∴BD ＝BC ·sin ∠C ＝4×sin75°＝4×6＋24＝6＋2．……………………………（9分） ∴AB ＝AC ＝2BD ＝2(6＋2)，∴S △ABC ＝12AC ·BD ＝8＋43．………………………（10分） 28．解：（1）∵BD ∶AD ＝1∶2，点B 坐标为（1，0）．∴点A 的横坐标为－2，…………（1分）把x ＝－2分别代入两个函数表达式得4a －2b ＋23＝－2a －a ，………………………（2分） 把x ＝1，y ＝0代入y ＝ax 2＋bx ＋23得a ＋b ＋23＝0，…………………………………（3分）解得a ＝－233，b ＝－433，∴二次函数的函数表达式为y ＝－233x 2－433x ＋23．…（4分） （2）由（1）可得A （－2，23），C （－3，0），…………………………………………（6分） 若点N 在y 轴上，设N （0，n ）．∵AC ＝AN ，∴12＋(23) 2＝(－2) 2＋(23－n ) 2，解得：n 1＝23＋3（舍去），n 2＝23－3，∴N （0，23－3）．…………………………（7分） 若点M 在y 轴上，则M （0，0）．∵A （－2，23），∴AM ＝4，∠AMC ＝60°，∴∠AMN ＝∠AMC ＝60°，∴∠NMB ＝60°，又∵MN ＝CM ＝3，∴N （32，332）． 综上，点N 坐标为（0，23－3）或（32，332）．………………………………………（8分） （3）E （－1，－433），F （0，233）或E （－1，－433），F （－4，1033）…………（10分）。

无锡市初三数学九年级上册期末试题及答案 一、选择题 1．如图，等边三角形ABC 的边长为5，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，将△ADE 沿DE 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点F 处，若BF ＝2，则BD 的长是（ ）A ．2B ．3C ．218D ．2472．关于x 的一元一次方程122a x m -+=的解为1x =，则a m -的值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．23．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若DE ＝2，BC ＝6，则ADE ABC 的面积的面积＝（ ）A ．13B ．14C ．16D ．194．两个相似三角形的面积比是9:16，则这两个三角形的相似比是（ ）A ．9︰16B ．3︰4C ．9︰4D ．3︰165．如图，等腰直角三角形ABC 的腰长为4cm ，动点P 、Q 同时从点A 出发，以1cm/s 的速度分别沿A →B 和A →C 的路径向点B 、C 运动，设运动时间为x (单位：s)，四边形PBC Q 的面积为y(单位：cm 2)，则y 与x(0≤x≤4)之间的函数关系可用图象表示为（ ）A ．B ．C ．D ．6．方程(1)(2)0x x --=的解是（ ）A ．1x =B ．2x =C ．1x =或2x =D ．1x =-或2x =-7．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，=1BC ，则sin A 的值为（ ）A ．1010B 310C ．13D ．1038．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列说法中不正确．．．的是( )A ．12DE BC =B ．AD AE AB AC = C ．△ADE ∽△ABCD ．:1:2ADE ABC S S =9．分别写有数字﹣4，0，﹣1，6，9，2的六张卡片，除数字外其它均相同，从中任抽一张，则抽到偶数的概率是（ ）A ．16B ．13C ．12D ．2310．已知一组数据共有20个数，前面14个数的平均数是10，后面6个数的平均数是15，则这20个数的平均数是（ ）A ．23B ．1.15C ．11.5D ．12.511．已知反比例函数k y x =的图象经过点（m ，3m ），则此反比例函数的图象在（ ） A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、四象限 D ．第三、四象限12．若关于x 的一元二次方程240kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．16k ≤ B ．116k ≤ C ．1,16k ≤且0k ≠ D ．16,k ≤ 且0k ≠ 13．设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线2(1)y x k =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．231y y y >>D ．312y y y >>14．如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标（2，5），底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B ，点A 的对应点A′在x 轴上，则点O′的坐标为（ ）A ．（203，103）B ．（16345）C ．（20345）D ．（163，3 15．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，CM 是它的中线，以C 为圆心，5cm 为半径作⊙C ，则点M 与⊙C 的位置关系为( )A ．点M 在⊙C 上B ．点M 在⊙C 内 C ．点M 在⊙C 外D ．点M 不在⊙C 内二、填空题16．将二次函数y=x 2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是_____．17．抛物线y ＝3（x+2）2+5的顶点坐标是_____．18．抛物线y=（x ﹣2）2﹣3的顶点坐标是____．19．一元二次方程x 2﹣4=0的解是．_________20．一组数据：2,5,3,1,6，则这组数据的中位数是________.21．如图，曲线AB 是顶点为B ，与y 轴交于点A 的抛物线y ＝﹣x 2+4x +2的一部分，曲线BC 是双曲线k y x=的一部分，由点C 开始不断重复“A ﹣B ﹣C ”的过程，形成一组波浪线，点P （2018，m ）与Q （2025，n ）均在该波浪线上，则mn ＝_____．22．已知圆锥的侧面积为20πcm 2，母线长为5cm ，则圆锥底面半径为______cm ．23．某小区2019年的绿化面积为3000m 2，计划2021年的绿化面积为4320m 2，如果每年绿化面积的增长率相同，设增长率为x ，则可列方程为______．24．已知圆锥的底面半径是3cm ，母线长是5cm ，则圆锥的侧面积为_____cm 2．（结果保留π）25．用配方法解一元二次方程2430x x +-=，配方后的方程为2(2)x n +=，则n 的值为______.26．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠C=140°，则∠BOD=____°．27．若圆弧所在圆的半径为12，所对的圆心角为60°，则这条弧的长为_____．28．若把一根长200cm 的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，则这两个正方形的面积的和最小值为_____．29．若二次函数24y x x =-的图像在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图像的其余部分保持不变，翻折后的图像与原图像x 轴上方的部分组成一个形如“W ”的新图像，若直线y =-2x +b 与该新图像有两个交点，则实数b 的取值范围是__________30．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AB +AD ＝8cm ．当BD 取得最小值时，AC 的最大值为_____cm ．三、解答题31．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点，取EF中点G，连接DG并延长交AB于点M，延长EF交AC于点N。

江苏省无锡市2017-2018学年第一学期期末九年级数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填在相应的括号内）1．已知tanA ＝1，则锐角A 的度数是（ ）A 、30°B 、45°C 、60°D 、75°2．关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋k ＝0有两个相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A 、k ＝−1B 、k ＞−1C 、k ＝1D 、k ＞13．有一组数据：3，3，5，6，7．这组数据的众数为（ ）A 、3B 、5C 、6D 、74．抛物线y ＝（x −2）2＋3的顶点坐标是（ ）A 、（2，3）B 、（−2，3）C 、（2，−3）D 、（−2，−3）5．以2和4为根的一元二次方程是（ ）A 、x 2＋6x ＋8＝0B 、x 2−6x ＋8＝0C 、x 2＋6x −8＝0D 、x 2−6x −8＝06．⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为6，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）A 、相交B 、相切C 、相离D 、无法确定7．下列命题：①长度相等的弧是等弧 ②任意三点确定一个圆 ③相等的圆心角所对的弦相等 ④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题有（ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个8．如图所示的扇形纸片半径为5cm ，用它围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是4cm ，则该圆锥的底面周长是（ ）（第8题图） （第9题图）A 、3πcmB 、4πcmC 、5πcmD 、6πcm9．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则 S △CDF ：S 四边形ABFE 等于（ ）A 、1：3B 、2：5C 、3：5D 、4：910．如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是（ ）A 、9B 、10C 、213＋1D 、332 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，本大题共16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在相应的横线上）11．若y x ＝23，则yy x 的值为_______．12．一个不透明的口袋中有5个完全相同的小球，分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号是偶数的概率为_________．13．方程2x −4＝0的解也是关于x 的方程x 2＋mx ＋2＝0的一个解，则m 的值为________．14．若点A （−2，y 1），点B （4，y 2）在二次函数y ＝x 2−2x ＋c 的图象上，则y 1，y 2的大小关系为_________．15．甲、乙两名同学参加“古诗词大赛”活动，五次比赛成绩的平均分都是85分，如果甲比赛成绩的方差为S 甲2＝16.7，乙比赛成绩的方差为S 乙2＝28.3，那么成绩比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）16．如图，△ABC 的外接圆O 的半径为2，∠C ＝30°，则扇形AOB 的面积是________．（第16题图）（第17题图）17．如图，在扇形铁皮AOB 中，OA ＝10，∠AOB ＝36°，OB 在直线l 上．将此扇形沿l 按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA 第5次落在l 上时，停止旋转．则点O 所经过的路线长为________．18．如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 的中点，把△PAB 沿着PA 翻折得到△PAE ，过C 作CF ⊥DE 于F ，若CF ＝2，则DF ＝__________．（第18题图）三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在试卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算或求值：（1）12−2cos60°＋(2018−π)0；（2）已知y x y x +-243＝21，求yx 的值．20．解方程：（1）x2−4x−4＝0；（2）x（x−2）＝15．21．如今通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数已成为一种时尚．“健身达人”小张为了了解他的微信朋友圈里大家的运动情况，随机抽取了部分好友进行调查，把他们1月29日那天每人行走的步数情况分为五个类别：A（0～4000步）（说明：0～4000表示大于或等于0，小于或等于4000，下同）、B（4001～8000步）、C（8001～12000步）、D（12001～16000步）、E（16000步以上），并将统计结果绘制了如图1和2两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）小张随机抽取了________名微信朋友圈好友；（2）将图1的条形统计图补充完整；（3）已知小张的微信朋友圈里共300人，请根据本次抽查的结果，估计在它的微信朋友圈里1月29日那天行走不超过8000步的人数．22．在一个不透明的布袋中装有形状大小都相同的三个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是1，2，3．现规定从布袋中任取一个小球，对应的数字作为一个两位数的十位数字；然后把小球放回袋中并搅匀，接着从袋中再任取一个小球，对应的数字作为这个两位数的个位数字．（1）请你用画树状图或列表法分析并写出按上述规定得到所有可能的两位数；（2）从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于4且小于5的概率．23．如图所示，在平面直角坐标系中有一格点三角形，该三角形的三个顶点为：A（1，1），B（−3，1），C（−3，−1）．（1）若△ABC的外接圆的圆心为P，则点P的坐标为_______，⊙P的半径为_________；（2）如图所示，在11×8的网格图内，以坐标原点O点为位似中心，将△ABC按相似比2：1放大，A、B、C的对应点分别为A'、B'、C'．①画出△A'B'C'；②将△A'B'C'沿x轴方向平移，需平移______个单位长度，能使得B'C'所在的直线与⊙P相切．24．图①为一种平板电脑保护套的支架效果图，AM固定于平板电脑背面，与可活动的MB、CB部分组成支架．平板电脑的下端N保持在保护套CB上．不考虑拐角处的弧度及平板电脑和保护套的厚度，绘制成图②．其中AN表示平板电脑，M为AN上的定点，AN＝CB＝20cm，AM＝8cm，MB＝MN．我们把∠ANB叫做倾斜角．（1）当倾斜角为45°时，求CN的长；（2）按设计要求，倾斜角能小于30°吗？请说明理由．25．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若∠F＝30°，EB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）26．近期江苏省各地均发布“雾霾”黄色预警，我市某口罩厂商生产一种新型口罩产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的关（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数三个模型中确定哪种函数能比较恰当地表示y 与x 的变化规律，并直接写出y 与x 之间的函数关系式为；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润为440万元？（3）如果厂商每月的制造成本不超过540万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？27．如图，已知△ABC 中，∠C ＝90°，点M 从点C 出发沿CB 方向以1cm/s 的速度匀速运动，到达点B 停止运动，在点M 的运动过程中，过点M 作直线MN 交AC 于点N ，且保持∠NMC ＝45°．再过点N 作AC 的垂线交AB 于点F ，连接MF ，将△MNF 关于直线NF 对称后得到△ENF ．已知AC ＝8cm ，BC ＝4cm ，设点M 运动时间为t （s ），△ENF 与△ANF 重叠部分的面积为y （cm 2）．（1）用含t 的代数式表示出NC 与NF ；（2）在点M 的运动过程中，能否使得四边形MNEF 为正方形？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由；（3）求y 与t 的函数关系式及相应t 的取值范围．28．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2−2ax −3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD ＝4AC ．（1）求出点A 的坐标和点D 的横坐标；（2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为45，求a 的值； （3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，直接写出点P 的坐标；若不能，请说明理由．。

无锡梁溪区2017-2018九年级数学上学期期末试卷（附答案苏科版）2017年秋学期期末学业质量抽测九年级数学试题卷2018.1（本卷考试时间为120分钟，满分130分．）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1．一元二次方程x2－6x＋5＝0配方后可化为…………………………………………………（▲）A．(x－3)2＝－14B．(x＋3)2＝－14C．(x－3)2＝4D．(x＋3)2＝42．如图，在△ABC中，点D、点E分别在边AB，AC上，DE∥BC．若BD＝2AD，则…（▲）A．B．C．D．3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论中正确的是…………………（▲）A．BC＝CDB．AB＝ADC．∠B＝∠DD．∠BCA＝∠DCA4．下列方程中，两根之和为2的是……………………………………………………………（▲）A．x2＋2x－3＝0B．x2－2x－3＝0C．x2－2x＋3＝0D．4x2－2x－3＝05．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，若△ADC的面积为0.8，则△BCD的面积为………………………………………………………………（▲）A．0.8B．1.6C．2.4D．3.2ADO（第2题）BC（第3题）（第5题）6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则sinA 的值为……………………………（▲）A．B．C．D．7．某人沿着坡度为1∶2.4的斜坡向上前进了130m，那么他的高度上升了…………………（▲）A．50mB．100mC．120mD．130m8．如图，在⊙O中，直径AB与弦MN相交于点P，∠NPB ＝45°，若AP＝2，BP＝6，则MN的长为…………………………………………………………………………………………（▲）A．14B．25C．2D．89．如图，二次函数y＝x2－2x的图像与x轴交于点O、A1，把O~A1之间的图像记为图像C1，将图像C1绕点A1旋转180°得图像C2，交x轴于点A2；将图像C2绕点A2旋转180°得图像C3，交x轴于点A3；…，如此进行下去，若P（2017，a）在某一段图像上，则a的值为…（▲）A．0B．1C．2D．－110．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为……………………（▲）A．3B．1C．2D．5－1（第8题）（第9题）（第10题）二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．）11.若，则▲12．关于x的一元二次方程(k－1)x2＋6x＋k2－1＝0的一个根是0，则k的值是▲．13．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为▲．14．将二次函数y＝2x2的图像先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的图像与一次函数y＝x＋m的图像有公共点，则实数m的取值范围为▲．15．如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC＝2∠AOB，∠OBC＝50°，则∠ACB＝▲°．16．如图为空旷场地上的一栋矩形小屋ABCD的平面图，拴住小狗的绳子一端固定在屋外B点处，小狗只能在屋外场地上活动．若AB＝6m，BC＝4m，拴小狗的绳长为10m，则小狗可以活动的区域面积S＝▲m2．17．对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p、q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{(x－1)2，x2}＝1，则x＝▲．18．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠BDC＝135°，过点D作DE∥AC交BC 于点E，则DE＝▲．ADCEB（第15题）（第16题）（第18题）三、解答题（本大题共10小题，共84分．）19．（本题8分）解下列方程：（1）x2－2x－4＝0；（2）3x(x－1)＝2x－2．20．（本题8分）（1）计算：2cos30o－(1－tan60o)2＋(sin45o)2．（2）若3tan(α－30o)－1＝0，求cosα的值．21．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（－2，1），B（－1，4），C（－3，2）．（1）以原点O为位似中心，位似比为1:2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A1B1C1；（2）直接写出C1点坐标▲；若线段AB上点D的坐标为(a，b)，则对应的点D1的坐标为▲；（3）求出∠C1A1B1的正切值为▲．22．（本题8分）如图所示，当一热气球在点A处时，其探测器显示，从热气球看高楼顶部点B的仰角为45°，看高楼底部点C的俯角为60°，已知这栋楼高120m，求热气球与高楼之间的水平距离．23．（本题8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF＝∠B，且点D，F 分别在边AB，AC上．（1）求证：△BDE∽△CEF；（2）当点E移动到BC中点时，求证：FE平分∠DFC．A24．（本题8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝16，DE＝10，求BC的长．EDC&#9642;O25．（本题8分）某商户购进某种商品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每月可卖出160个，若销售单价每降低1元，则每月可多卖出10个．设销售价格每个降低x元时，该商品每月的销售利润为W元．（1）当销售单价定为多少元时，该商品的每月销售利润最大？（2）若计划下月该商品的销售利润不低于3600元，请确定该商品的销售单价的范围．26．（本题8分）如图，已知一次函数y＝kx＋2k＋4（k≠0）的图像与二次函数y＝12的图像交2于A、B两点（点A在点B左侧）．（1）若A、B的横坐标分别是方程x2＋x－6＝0的两根，请在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；（2）C为抛物线上一点，且点C到y轴的距离为4，求点C到直线AB的最大距离．27．（本题10分）【回顾】如图1，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝3，BC＝4，则S△ABC等于▲.【探究】图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有30°的角，较短的直角边长为a；另一个含有45°的角，直角边长为b，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD（如图3），他用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出sin75°＝．请你写出小明的具体说理过程.【应用】如图4，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，BC＝4，求S△ABC．ABC图428．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋（a≠0）的图像与一次函数y＝ax－a（a≠0）的图像相交于A、B两点，与x轴的负半轴交于点C．AB交y轴于点D，BD∶AD＝1∶2，点B坐标为（1，0）．（1）求该二次函数的函数表达式；（2）M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为轴翻折，点C的对称点为点N，若△AMN有一个顶点在y轴上，求点N的坐标；（3）设点E在抛物线的对称轴上，点F在直线AB上，问是否存在这样的点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．DD2017年秋学期期末学业质量抽测九年级数学参考答案及评分标准2018.1一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.) 1．C2．B3．A4．B5．C6．A7．A8．C9．D10．D二、填空题(本大题共8小题，每小题2分，共16分.)。

2017—2018学年第一学期期末学业水平检测九年级数学试题参考答案各位老师：提前祝假期快乐，阅卷时请注意：评分标准仅做参考，只要学生作答正确，均可得分。

对于解答题目，答案错误原则上得分不超过分值的一半，有些题目有多种方法，只要做对，13. -3 14.-2 15. 516.2:3 17.24 18.（2，1） 19.解：（1）将x=1代入方程得：9-3a+a-1=0， 解得：a=4……………………………………………………………1分所以方程为：03x 4x 2=++，解得：3-x 1-x 21==，，所以方程的另一根为x=-3。

……………………………………3分（用根与系数的关系来解也可以）（2）证明：⊿＝a 2－4×(a －1)= (a －2)2，∵(a －2)2≥0，⊿≥0. ∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.………………8分20.解∶（1）21；………………………………………………2分 （2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子所有可能出现得结果有（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），一共有4种结果，它们出现得可能性相同，所有结果种，满足“至少有一个是女孩”的结果有三种，所以至少有一个孩子是女孩的概率是43．………………7分 21．由题意得， 在直角ADC ∆中，∠APQ=45°，CD=60米，∴tan45°=ADCD ,即 ………2分 在直角BDC ∆中, ∠BPQ=60°，∴tan60°=CD BD ，即60BD =3， ∴BD=360………4分∴AB=BD-AD=60360-(米)。

答：海丰塔AB 的高为60360-米． ………8分22．（1）证明：连结OD ．∵EF AC ⊥∴90DFA ∠=︒，∵AB AC =，∴1C ∠=∠……………………2分∵OB OD =，∴12∠=∠，∴2C ∠=∠ ，∴OD ∥AC …………3分∴90EDO DFA ∠=∠=︒，即OD EF ⊥．∴EF 是⊙O 的切线．…………………………5分（其他方法参照本题标准）（2）解： 连结AD ．∵AB 是直径，∴AD BC ⊥.又AB AC =，∴CD=BD=5，在Rt CFD ∆中，DF=4， ∴CF=3…………………………………………6分在Rt CFD ∆中，DF AC ⊥∴CFD ∆∽ADC △ ………………………7分 ∴DC CF DA DF =，即534=DA ，∴320=DA ………………………9 根据勾股定理得：∴2222)320(5+=+=BD AD AB =325……………………10分 23. （1）∵ 四边形AMPN 是矩形，∴PN ∥AB ，PN =AM ，∴△DNP ∽△DAB . ∴ABNP DA DN =. ……………………………………………………2分 ∵AB =160，AD =100，AN =x ，AM =y ，∴160100100y x =-. ∴16058+-=x y . ………………………………………………4分 （2）设花坛AMPN 的面积为S ，则()40005058)16058(2+--=+-==x x x xy S …6分 ∵058<-，∴当50=x 时，S 有最大值, 4000=最大值S . ∴当AM =80，AN =50时，花坛AMPN 的最大面积为4000m 2 ………………8分24. 解：(1)∵直线y ＝ax ＋1与x 轴交于点A(－2，0)，∴－2a ＋1＝0，解得a ＝12，∴直线的解析式为y ＝12x ＋1，……2分 由PC ⊥x 轴，且PC ＝2，∴y ＝2＝12x ＋1，解得x ＝2， ∴点P 的坐标为(2，2)，………………………………3分∵点P 在反比例函数y ＝k x的图象上，∴k ＝2×2＝4， ∴反比例函数解析式为y ＝4x.…………………………4分 (2)∵直线y ＝12x ＋1与y 轴交于点B ，∴点B 的坐标为(0，1)，∴AO ＝2，OB ＝ 1. ) 12如解图，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，连接CQ ，则∠QHC ＝∠AOB ＝90°.∵点Q 在反比例函数y ＝4x 的图象上，∴设点Q 的坐标为(t ，4t)，t ＞2， 则QH ＝4t，CH ＝t －2，……………………6分 若以点Q 、C 、H 为顶点的三角形S △AOB 相似时，则有两种可能，(ⅰ)当△QCH ∽△BAO 时，AO CH ＝OB QH ，即QH CH ＝OB AO ＝12，∴2×4t＝t －2，解得t 1＝4，t 2＝－2(舍去)， 则点Q 的坐标为(4，1)；……………………………………7分(ⅱ)当△QCH ∽△ABO 时，AO QH ＝OB CH ，即QH CH ＝AO OB ＝2，∴4t＝2(t －2)，解得t 1＝3＋1，t 2＝1－3(舍去)，则点Q 的坐标为(3＋1，23－2)．……………………………………8分 综上所述，Q 点的坐标为(4，1)或(1＋3，23－2)．………………9分25.解：（1）设抛物线解析式为y=a （x+4）（x ﹣2），将B （0，﹣4）代入得：﹣4=﹣8a ，即a=，则抛物线解析式为y=（x+4）（x ﹣2）=x 2+x ﹣4；……………………4分（2）过M 作MN ⊥x 轴，将x=m 代入抛物线得：y=m 2+m ﹣4，即M （m ， m 2+m ﹣4），∴MN=|m 2+m ﹣4|=﹣m 2﹣m+4，ON=﹣m ，………………………………6分∵A （﹣4，0），B （0，﹣4），∴OA=OB=4，∴△AMB 的面积为S=S △AMN +S 梯形MNOB ﹣S △AOB=×（4+m ）×（﹣m 2﹣m+4）+×（﹣m ）×（﹣m 2﹣m+4+4）﹣×4×4=2（﹣m 2﹣m+4）﹣2m ﹣8=﹣m 2﹣4m=﹣（m+2）2+4，当m=﹣2时，S 取得最大值，最大值为4．…………………………10分。