圆与圆的位置关系

圆与圆位置关系知识点
在几何学中，圆与圆之间的位置关系涉及到它们的相对位置和相交情况。

以下
是一些关于圆与圆位置关系的重要知识点。

1. 内切：当一个圆完全位于另一个圆内部，并且两个圆的边界相切于一个点时，我们称这两个圆为内切圆。

内切圆的半径小于外切圆的半径。

2. 外切：当一个圆完全位于另一个圆外部，并且两个圆的边界相切于一个点时，我们称这两个圆为外切圆。

外切圆的半径大于内切圆的半径。

3. 相离：当两个圆没有任何交点且没有相切点时，我们称这两个圆为相离圆。

4. 相交：当两个圆有交点时，我们称这两个圆为相交圆。

a. 两个圆相交于两个不同的点时，我们称这种相交为普通相交。

b. 当两个圆的圆心重合且半径相等时，这两个圆相交于一条直径线，我们称
这种相交为重合相交。

5. 同心圆：当两个圆的圆心重合但半径不相等时，我们称这两个圆为同心圆。

这些是圆与圆位置关系的基本知识点，它们帮助我们理解圆的排列方式并解决
与圆相关的几何问题。

了解这些知识点可以为我们进一步学习和应用几何学提供基础。

圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系：两圆(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)与(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)圆心距d ＝(a 1－a 2)2＋(b 1－b 2)2 d >r 1＋r 2⇔两圆__外离__；d ＝r 1＋r 2⇔两圆__外切__；|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆__相交__；d ＝|r 1－r 2|⇔两圆__内切__；0<d <|r 1－r 2|⇔两圆__内含__，d ＝0时为同心圆．2．两圆的公切线条数：当两圆内切时有__一条__公切线；当两圆外切时有__三条__公切线；相交时有__两条__公切线；相离时有__四条__公切线；内含时__无__公切线．随堂练习1．圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系是 ( C )A ．相切B ．外离C ．内含D ．相交[解析] 圆x 2＋y 2＝1的圆心O 1(0,0)，半径r 1＝1，圆x 2＋y 2＝2的圆心O 2(0,0)，半径r 2＝2则d ＝|O 1O 2|＝0，|r 2－r 1|＝2－1∴d <|r 2－r 1|，∴这两圆的位置关系是内含．2．圆x 2＋y 2＝4与圆(x －4)2＋(y －7)2＝1公切线的条数为 ( D )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 圆x 2＋y 2＝4的圆心O 1(0,0)，半径r 1＝2，圆(x －4)2＋(y －7)2＝1的圆心O 2(4,7)，半径r 2＝1，则d ＝|O 1O 2|＝(4－0)2＋(7－0)2＝65>r 1＋r 2＝3．∴这两圆的位置关系是外离．有4条公切线，故选D ．3．若圆x 2＋y 2＝m 与圆x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0内切，则m ＝__1或121__.[解析] 圆x 2＋y 2＝m 的半径r 1＝m 圆x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0的圆心坐标为(－3,4)，半径r 2＝6．∵两圆相内切，两圆心距离d ＝5∴6－m ＝5，或m －6＝5∴m ＝1或m ＝121．4．已知圆C 与圆x 2＋y 2－2x ＝0相外切，并且与直线x ＋3y ＝0相切于点Q (3，－3)，求圆C 的方程.[解析] 圆心C (a ，b )在过点Q (3，－3)与直线x ＋3y ＝0垂直的直线y ＝3x －43上，∴b ＝3a －43．圆心C 到C 1(1,0)和Q (3，－3)距离的差为1可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝0或⎩⎨⎧a ＝0b ＝－43．∴⊙C 的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36． 命题方向1 ⇨两圆位置关系的判断1 、判断圆x 2＋y 2＋6x －7＝0与圆x 2＋y 2＋6y －27＝0的位置关系.[解析] 解法一：圆x 2＋y 2＋6x －7＝0的圆心为C 1(－3,0)，半径r 1＝4，圆x 2＋y 2＋6y －27＝0的圆心为C 2(0，－3)，半径为r 2＝6，则两圆的圆心距d ＝|C 1C 2|＝[0－(－3)]2＋(－3－0)2＝32∴|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2，即两圆相交．解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋6x －7＝0x 2＋y 2＋6y －27＝0，得2x 2＋383x ＋379＝0 Δ＝⎝⎛⎭⎫3832－4×2×379＝1 4849－2969＝1 1889>0∴两圆相交． 2.两圆C 1：x 2＋y 2－2x －3＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0的位置关系是( C )A．相离B．相切C．相交D．内含[解析]把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x－1)2＋y2＝4(x－2)2＋(y＋1)2＝2，所以两圆圆心为C1(1,0)，C2(2，－1)，半径为r1＝2，r2＝2，则连心线的长|C1C2|＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－2，故r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，两圆相交．命题方向2⇨由圆与圆的位置关系求参数的值或取值范围1. 实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？[解析]将两圆的一般方程化为标准方程，得C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C1：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k．则圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k，k<50．∴|C1C2|＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5．当1＋50－k＝5，即k＝34时，两圆外切；当|50－k－1|＝5，即k＝14时，两圆内切；当14<k<34时，4<50－k<6则r2－r1<|C1C2|<r2＋r1，此时，两圆相交；当k<14时两圆内含，当34<k<50时，两圆相离．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时：(1)圆C1与圆C2相外切；(2)圆C1与圆C2内含．[解析]对于圆C1与圆C2的方程，经配方后C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9．圆心C1(m，－2)，半径r1＝3．C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4．圆心C2(－1，m)，半径r2＝2．(1)当两圆相外切时，|C1C2|＝r1＋r2∴(m＋1)2＋(－2－m)2＝5，∴m2＋3m－10＝0解得m＝－5或2．(2)当两圆相内含时，0<|C1C2|<|r1－r2|∴(m＋1)2＋(－2－m)2<1∴m2＋3m＋2<0，∴－2<m<－1．命题方向3⇨两圆的公共弦问题1. 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度．[解析](1)将两圆方程配方化为标准方程C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10．则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝52；圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝10．又|C1C2|＝25，r1＋r2＝52＋10，r1－r2＝52－10．∴r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0．(3两方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0两式相减得x －2y ＋4＝0，即两圆相交弦所在直线的方程； 由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50其圆心为C 1(1，－5)，半径r 1＝52．圆心C 1到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝35 ∴两圆的公共弦长为2r 2－d 2＝250－45＝2 5.2.圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦所在的直线方程是__4x ＋3y －2＝0__，公共弦长为__10__．[解析] 已知圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，①圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0，② ①－②得24x ＋18y －12＝0即4x ＋3y －2＝0．把圆C 1，圆C 2化成标准方程分别为圆C 1：(x －6)2＋(y －1)2＝50，圆心为(6,1)r 1＝52圆C 2：(x ＋6)2＋(y ＋8)2＝125，圆心为(－6，－8)，r 2＝55则连心线的长|C 1C 2|＝(6＋6)2＋(1＋8)2＝15从而r 2－r 1＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2．故两圆相交．所以两圆公共弦所在的直线方程是4x ＋3y －2＝0．圆C 1的圆心到直线的距离d ＝|4×6＋3×1－2|42＋32＝5故公共弦长为2r 21－d 2＝250－25＝10． 基础测试1．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －3)2＝25，圆C 2与圆C 1关于点(2,1)对称，则圆C 2的方程是 ( B )A ．(x －3)2＋(y －5)2＝25B ．(x －5)2＋(y ＋1)2＝25C ．(x －1)2＋(y －4)2＝25D ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝25[解析] 设⊙C 2上任一点P (x ，y )，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y )在⊙C 1上，∴(x －5)2＋(y ＋1)2＝25．2．圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为 ( A )A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0[解析] 解法一：线段AB 的中垂线即两圆的连心线所在直线l ，由圆心C 1(1,0)，C 2(－1,2)，得l 方程为x ＋y －1＝0． 解法二：直线AB 的方程为：4x －4y ＋1＝0，因此线段AB 的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y ＝－(x －1)，故选A ．3．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a 、b 应满足的关系式是 ( B )A ．a 2－2a －2b －3＝0B ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0C ．a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0D ．3a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0[解析] 利用公共弦始终经过圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a ＋2)x ＋(2b ＋2)y －a 2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a 2＋2a ＋2b ＋5＝0．4．设r >0，两圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝r 2与x 2＋y 2＝16可能 ( C )A ．相离B ．相交C ．内切或内含或相交D ．外切或外离[解析] ∵两圆圆心坐标为(1，－3)，(0,0)，∴两圆的圆心的距离为(0－1)2＋(0＋3)2＝10<4，半径分别为4，r ，∴当|4－r |<10<4＋r 时，两圆相交，当4－r ＝10时，两圆相切，当4－r <10时，两圆内含，故选C ．5．两圆x 2＋y 2＝16与(x －4)2＋(y ＋3)2＝r 2(r >0)在交点处的切线互相垂直，则r ＝ ( C )A ．5B ．4C ．3D ．22[解析] 设一个交点P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝16，(x 0－4)2＋(y 0＋3)2＝r 2，∴r 2＝41－8x 0＋6y 0∵两切线互相垂直∴y 0x 0·y 0＋3x 0－4＝－1，∴3y 0－4x 0＝－16．∴r 2＝41＋2(3y 0－4x 0)＝9，∴r ＝3． 6．半径长为6的圆与y 轴相切，且与圆(x －3)2＋y 2＝1内切，则此圆的方程为 ( D )A ．(x －6)2＋(y －4)2＝6B ．(x －6)2＋(y ±4)2＝6C ．(x －6)2＋(y －4)2＝36D ．(x －6)2＋(y ±4)2＝36[解析] 半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则a ＝6，再由b 2＋32＝5可以解得b ＝±4，故所求圆的方程为(x －6)2＋(y ±4)2＝36．7．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程.[解析] 解法一：联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－12x －2y －13＝0x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0 相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0．再由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －2＝0x 2＋y 2－12x －2y －13＝0 联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为 12(5＋1)2＋(－6－2)2＝5． ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25．。

圆和圆的位置关系两个圆有几种位置关系？在平面上，两圆的位置有：外离，外切，相交，内切、内含共五种位置关系．在平面内，两圆相对运动，可以得到下面不同的位置关系，如下图所示．(1)两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆外部时，叫做这两个圆外离．(2)两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切．这个唯一公共点叫做切点．(3)两个圆有两个公共点时，叫做这两个圆相交．两个公共点都叫做交点．(4)两个圆有唯一公共点，并且除去这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切．这个唯一公共点叫做切点(要分清两圆外切、内切定义的区别)．(5)两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含．(6)两个圆同心是两圆内含的一种特例．观察上图，可以发现，当两圆的半径一定时，两圆的位置关系与两圆圆心的距离(圆心距)大小有关．设两圆半径分别为R和r，圆心距为d，那么有：(1)两圆外离d＞R+r；(2)两圆外切d=R+r；(3)两圆相交R-r＜d＜R+r(R≥r)；(4)两圆内切d=R-r(R＞r)；(5)两圆内含d＜R-r(R＞r)．由以上讨论可以知道平面上两圆位置关系的确定有两种方法．第一种方法利用两圆外离、外切、相交、内切、内含的定义确定．记忆每个定义要结合图形记忆，要根据每种位置关系的特点记忆，要按照两圆的公共点个数记忆．第二种方法根据两圆位置关系，圆心距、半径的数量关系的定理记忆．要把两圆的位置关系的图形和两圆位置关系的定理有机的结合起来，能够看到两圆位置关系的图形就想起相应的两圆位置关系的定理；看到两圆位置关系的定理就想到相应的两圆位置关系的图形练习：1．两圆半径是R和r(R＞r)，圆心距是d，且R2＋d2-r2=2dR，则两圆的位置关系为 ( )(A)相交 (B)内切 (C)外切 (D)内切或外切∵ R2＋d2-r2=2dR ∴ R2-2dR＋d2=r2即(R-d)2=r2，±(R-d)=r∴ d=R-r或d=R＋r，故选(D)．2．如图⊙O1与⊙O2相交于A、B，直线AO1交⊙O1于C，交⊙O2于D，CB的延长线交⊙O2于E，连结DE．若CD=10．DE=6，求O1O2的长．解：连结AB、AE．3．如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，CD是过A点的割线交⊙O1于C，交⊙O2于D，BE是⊙O2的弦，延长EB交⊙O1于F．求证：DE∥CF4．如图，已知⊙O1与⊙O2交于A、B两点，P是⊙O1上一点，PA、PB的延长线分别交⊙O2于C、D，⊙O1的直径PE的延长线交CD于F．求证：PF⊥CD证明：连接AB、BE ∵ PE是⊙O1的直径∴∠PBE=90°∵ ABDC是⊙O2的内接四边形∴∠PBA=∠C ∵∠APF=∠ABE ∠PBA+∠ABE=∠PBE=90°∴∠C+∠APF=90°即 PF⊥CD5．如图1，已知⊙O与⊙A相交于B、C两点，过A作一直线交BC于F，交⊙A于D，交⊙O 于E．求证：AD2=AE²AF证明：方法一，如图1所示，连接AB、AC、EC∵ AB=AC ∴∠E=∠BCA ∵∠FAC=∠CAE ∴△ACF∽△AECAC2=AE²AF ∵ AD=AC ∴ AD2=AE²AF方法二，如图2所示，延长EA交⊙A于M，则AF²EF=BF²CF又∵ BF²CF=DF²MF∴ AF²EF=DF²MF ∴ AF²(AE-AF)=(AD-AF)(AF＋AM)=(AD-AF)(AF＋AD)∴ AE²AF-AF2=AD2-AF2∴ AD2=AE²AF6．如图，已知⊙O与⊙A交于B、C两点，A在⊙O上，AD是⊙O直径，AD交BC于M，AE是⊙O的弦，AE交BC于N，若AO=18cm，AN=6cm，AM=4cm，求AE的长．解：连接DE∵ AD是⊙O的直径∴∠E=90°，AD=2OA 又∵OA为两圆的连心线，BC是两圆的公共弦∴ AD⊥BC于M 即∠AMN=90°又∵∠NAM=∠DAE ∴△ANM∽△ADE7．如图1，PAC、PBD是圆的两条割线，⊙O经过点P、A、B 求证：OP⊥CD证法一：过P作切线MN，连结AB 则∠APM=∠ABP∵∠ABP=∠C，∴∠APM=∠C，∴ MN∥CD．∵ OP⊥MN，∴ OP⊥CD证法二：如图2延长PO交AB，CD于F、E，连结AB∵ PF是⊙O的直径，∴∠PAF=90°，∴∠APF＋∠AFP=90°∵∠AFP=∠ABP，∠ABP=∠C∴∠AFP=∠C ∴∠APF+∠C=90°∴ PE⊥CD8．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B，CE切⊙O1于点C，交⊙O2于D、E．求证：∠CAD＋∠CBE=180°．证明：连结AB．说明：如果⊙O1的切线CE与⊙O2也相切于E(D、E重合)，则∠CAE+∠CBE=180°吗？两圆相切的基本规律两圆相切有它的特殊性．如果知道或掌握这些特殊的性质，对解决关于两圆相切一类的问题是有很大帮助的．1．两圆相切，过切点的任意一条直线与这两圆相交，则两圆中过交点的直径互相平行．例如，如图1，⊙O1和⊙O2相切于点P，过P点的直线交⊙O1于A，交⊙O2于C，则直径AB 平行于直径CD．2．两圆相切，过切点的任一条直线被两圆截得的线段(弦)的比等于两圆半径(或直径)的比．3．两圆相切，过切点的任意二条直线与这两圆分别有两个交点，那么这两个交点的连线互相平行．例如，如图3，有AB∥CD．4．两圆相切，过切点的任意三条直线与两圆各有三个交点，那么这两圆中三个点连成的两个三角形相似，且相似比等于这两圆直线(或半径)的比．5．两圆相切，过切点的任意n条直线与两圆有n个交点，那么两圆中顺次连结n个交点所成的n边形相似，且相似比等于直径(或半径)的比．6．两圆相切，过切点的任意一直线与两圆相交，那么两圆中过交点的圆的切线互相平行．例如，如图6，过A点的切线l1和过B点的切线l2平行．7．两圆外切于一点，一条外公切线与这两圆各有一个切点，那么这三个切点连成的三角形是直角三角形．例如，如图7，ΔAPB是直角三角形．8．两圆外切，如果两条直径(每圆各一条)平行，那么连结两点的直线(每圆一点，且这两点在连心线的异侧)必过切点，例如，如图8，如果直径AB和CD平行，则AC(或BD)必过切点P．9．已知，如图9，⊙O1和⊙O2外切于点P，直线AB和CD分别是它们的外公切线，切点分别为A、B、C、D．过P点的内公切线交AB于M交CD于N，那么就有(1)AB=CD=MN．(2)AM=BM=PM=PN=CN=DN．10．两圆外切，一条外公切线的长是两个圆的直径(或半径)的比例中项．例如，如图10，设⊙O1的直径为d1，⊙O2的直径为d2，则AB是d1和d2的比例中项．11．两圆外切，以外公切线为直径的圆必与连心线相切于切点．例如，如图11，⊙O3是以AB为直径的圆，则⊙O3与O1O2相切于P．12．两圆相切，经过切点任作一条直线被两圆所截得的线段之比等于对应两圆半径之比．相交两圆中的不变量和不变关系为节省篇幅，题设中的“已知⊙O1和⊙O2相交于P、Q两点”均予省略．当其中一圆经过另一圆的圆心时，认为是相交的特殊情况．一、不变关系1．如图1，过P，Q引两圆的割线，交⊙O1于A，C，交⊙O2于B，D．则AC∥BD．提示∠APQ=∠C=∠D．本题存在很多的变式图形，结论均成立．2．如图2，过⊙O1上任一点M作MP，MQ，并延长交⊙O2于A，B两点，则MO1⊥AB．提示过M点作⊙O1的切线MT．则MT⊥MO1．又∠TMB=∠MPQ=∠B．∴AB∥MT．3．如图3，过点P引两圆的直径PA，PB．则A，Q，B三点共线．提示∠PQA=∠PQB=90°．4．如图4，过P点任作一直线交两圆于A，B．过A，B各作所在圆的切线，设它们交于点C．则A，C，B，Q四点共圆．提示∠CAB=∠AQP，∠CBA=∠PQB．所以∠C＋∠AQB=180°．5．如图5，设⊙O1过⊙O2的圆心O2，作⊙O2的弦O1C交⊙O1于D点，则点D为ΔPQC的内心．提示∠QPC=∠QO1C=2∠QPD．所以DP平分∠QPC．同理DQ平分∠PQC．二、不变量6．如图6，半径相等的两圆⊙O1和⊙O2交于P，Q，且其中一圆过另一圆的圆心，过Q点的任一直线交两圆于A，B．则ΔPAB为正三角形．提示ΔPO1O2为正三角形，∠PAQ=∠PBQ=60°．7．如图7，过P任作一直线交两圆于A，B．连QA，QB．则QA∶QB为定值．提示分别作⊙O1和⊙O2的直径QA',QB',连A'B',则ΔQAB∽ΔQA'B'．所以QA∶QB=QA'∶QB'为两圆直径比．8．如图8，M为半径是R的⊙O1上任一点，以M为圆心r为半径作圆．如果⊙M的切线交⊙O1于A，B两点．则不论A，B位置如何，MB²MA为定值．提示作⊙O1直径MN．设AB切⊙M于T点．连AN，AM，MT，MB．则ΔAMN∽ΔTMB．所以AM²BM=MN²MT=2Rr为定值．9．如图9,任作两圆的割线(不过P，Q)，交⊙O1于B，C，交⊙O2于A，D．则∠APB＋∠CQD=180°．提示∠B=∠PQC，∠A=∠PQD．10．如图10，过P任作两直线交⊙O1于A，B．交⊙O2于C，D．则BA，CD交角不变．提示设直线BA，CD交于E．∠PBQ=∠PAQ=α，∠PDQ=∠PCQ=β．故α，β为定角．∠E=180°-(∠EAC＋∠ECA)=180°-(∠BQP＋∠DQP)=180°-∠BQD=∠PBQ＋∠PDQ=α＋β为定值．。

圆与圆的位置关系(解析版)圆与圆的位置关系（解析版）圆与圆的位置关系是几何学中常见的问题。

在解析几何中，我们可以通过方程和图形的分析来确定两个圆之间的位置关系。

本文将详细介绍圆与圆的位置关系及其解析方法。

I. 两个圆的位置关系当给定两个圆的方程时，我们可以通过以下几种情况来判断它们的位置关系：1. 相离(disjoint)如果两个圆不相交，它们互相分离，也就是说没有公共点。

我们可以通过计算它们的半径之和和两个圆心之间的距离来判断。

如果半径之和小于圆心之间的距离，即 r1 + r2 < d，那么两个圆相离。

2. 外切（tangent exterior）如果两个圆的外部只有一个公共点，我们称它们相切于外部。

这意味着两个圆心之间的距离等于它们的半径之和，并且没有其他公共点。

我们可以通过计算两个圆心之间的距离和两个圆的半径之和来判断。

如果半径之和等于圆心之间的距离，即 r1 + r2 = d，那么两个圆相切于外部。

3. 内切（tangent interior）如果两个圆的内部只有一个公共点，我们称它们相切于内部。

这意味着两个圆的半径之差等于它们的圆心之间的距离，并且没有其他公共点。

我们可以通过计算两个圆的半径之差和两个圆心之间的距离来判断。

如果圆心之间的距离等于半径之差，即 d = |r1 - r2|，那么两个圆相切于内部。

4. 相交（intersect）如果两个圆有两个公共点，我们称它们相交。

这意味着两个圆心之间的距离小于半径之和，并且有两个公共点。

我们可以通过计算两个圆心之间的距离和两个圆的半径之和来判断。

如果半径之和大于圆心之间的距离，即 r1 + r2 > d，那么两个圆相交。

II. 解析方法在解析几何中，我们可以利用两个圆的方程来求解它们的位置关系。

假设第一个圆的方程为(x - h1)^2 + (y - k1)^2 = r1^2，第二个圆的方程为(x - h2)^2 + (y - k2)^2 = r2^2，其中(h1, k1)和(h2, k2)分别代表两个圆的圆心坐标，r1和r2分别代表两个圆的半径。

图1扇形、圆与圆的位置关系一、圆和圆的位置关系.1、外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.(4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例. 2、相切两圆的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. 3、 相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 二、弧长及扇形的面积1、圆周长公式: 圆周长C=2πR (R 表示圆的半径)2. 弧长公式: 弧长180R n l π= (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)3、扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4、弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. 5、圆的面积公式.2R S π= (R 表示圆的半径) 6、扇形的面积公式:扇形的面积3602R n S π=扇形 (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)※弓形的面积公式:(如图5) (1)当弓形所含的弧是劣弧时, 三角形扇形弓形S S S -= (2)当弓形所含的弧是优弧时, 三角形扇形弓形S S S += (3)当弓形所含的弧是半圆时, 扇形弓形S R S ==221π提高试题1、如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为（ ）A. (4+cm B. 9 cmC. D.cm第1题 第2题2、如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN =30°，B 为AN 弧的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则PA+PB 的最小值为（ ）A ．22B ．2C ．1D ．23、已知两圆的半径为Ｒ，r 分别是方程X 2-5X+6=0两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是（ ） A.外离 B.外切 C.内切 D.相交4、已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于 （ ）A ．8πB ．9πC ．10πD ．11π 5、一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是 （ ）．A ．1B ．34C ．12D ．136、 现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）.该圆锥底面圆的半径为（ ）A ．B ．C ．D ．7、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连接DP ，DP 交AC 于点Q ．若QO=PQ ，则QA QC的值为（ ） （A ）132-（B ）32（C ）23+（D ）23+8、已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75°9、如图，已知平行四边形ABCD ，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切。

圆与圆的位置关系知识要点：1．圆与圆的位置关系设两圆半径为R和r，圆心距为d，则两圆的位置关系如下：2．分切线定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线。

当两圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线；当两圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线。

公切线长：公切线上的两个切点间的距离叫做公切线的长。

定理：两圆的两条外分切线长相等，两圆的两条内公切线长也相等。

外公切线的长为；内公切线的长为。

3．相交两圆的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

4．相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点。

1．圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为R和r，同心距为d）（1）两圆外离d＞R+r；（2）两圆外切d=R+r；（3）两圆相交R－r＜d＜R+r；（4）两圆内切d=R－r；（5）两圆内含d＜R－r。

（同心圆（6）是一种内含的特例）2．有关性质：（1）连心线：通过两圆圆心的直线。

如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。

（2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

（3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。

两个圆在公切线同旁两个圆在公切线两旁3．已知两圆半径分别为R、r，同心距为d，填定下表：名称公共点数圆心距半径关系公切线条数内外外离d=R+r相交d=R－r内含一星级题：1．如果两圆有且只有两条公切线，那么这两圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内含2．如果两圆半径分别为3㎝和5㎝，圆心距为2㎝，则两个圆的位置关系为（）。

A．外离 B．外切 C．相交 D．内切3．已知⊙O1和⊙O2内切，它们的半径分别为2㎝和3㎝，则两圆圆心距O1O2= ㎝。

4．半径分别为3㎝和4㎝的两圆外切，那么这两圆的圆心距为㎝。

5．已知半径为R的两个等圆的圆心距为d，那么当两圆外切时，d与R满足的关系式是。

6．已知两圆半径分别为5㎝和2㎝，它们的圆心距为7㎝，则两圆位置关系为。

7．已知：两圆⊙O1与⊙O2的圆心距O1O2=5㎝，两圆的半径分别为㎝和㎝，则这两圆的位置关系是。

圆与圆的位置关系圆与圆之间的位置关系在几何学中占据着重要的地位。

研究圆与圆的位置关系，可以帮助我们解决许多实际问题，比如在建筑设计中确定柱子的位置，或者在交通规划中确定车辆行驶的路线等等。

下面我将介绍几种常见的圆与圆的位置关系。

1. 相离当两个圆没有任何部分重叠时，它们被称为相离。

这意味着两个圆之间没有共同的点。

在平面几何中，我们可以用一个圆心到另一个圆心的距离来判断两个圆是否相离。

如果这个距离大于两个圆的半径之和，那么它们是相离的。

2. 外切如果两个圆之间有且仅有一个公共切点，并且两个圆的切点直接与它们的圆心连线垂直，那么它们被称为外切。

在外切的情况下，两个圆的半径之和等于它们的切点到圆心的距离。

3. 相交当两个圆有部分重叠时，它们被称为相交。

在相交的情况下，两个圆有两个公共切点。

这样的位置关系在很多实际问题中都有应用，比如在某个半径固定的圆内部找到与之相切的另一个半径未知的圆。

在判断两个圆是否相交时，我们需要比较它们的圆心到圆心的距离与两个圆的半径之和。

4. 内切当两个圆的半径不同，但是其中一个圆完全位于另一个圆的内部，并且切点处的切线与两个圆的半径垂直时，它们被称为内切。

在内切的情况下，两个圆的半径之差等于它们的切点到圆心的距离。

5. 同心圆如果两个圆的圆心重合，那么它们被称为同心圆。

同心圆的半径可以不同，但是它们不会相交或相切。

在实际问题中，我们可以利用这些位置关系来解决一些几何难题。

通过观察两个圆的位置关系，我们可以计算圆心的坐标、切点的位置以及两个圆的半径之比等等。

这些计算有助于我们更好地理解圆与圆之间的关系，为我们解决其他几何问题提供了一种思路。

总结起来，圆与圆之间有五种常见的位置关系：相离、外切、相交、内切和同心圆。

通过对这些位置关系的研究，我们可以解决许多实际问题，同时也能够加深对几何学的理解。

无论是在建筑设计中确定位置，还是在日常生活中解决其他难题，几何学的知识都能够帮助我们找到最佳的解决方案。