圆与圆的位置关系公开课
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24.2 与圆有关的位置关系教学内容1.设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,那么有:点P在圆外⇔d>r;点P在圆上⇔d=r;点P在圆内⇔d<r.2.不在同一直线上的三个点确定一个圆.3.三角形外接圆及三角形的外心的概念.4.反证法的证明思路.教学目标1.理解并掌握设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,那么有:点P在圆外⇔d>r;点P在圆上⇔d=r;点P在圆内⇔d<r及其运用.2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用.3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.4.了解反证法的证明思想.复习圆的两种定理和形成过程,并经历探究一个点、两个点、•三个点能作圆的结论及作图方法,给出不在同一直线上的三个点确定一个圆.接下去从这三点到圆心的距离逐渐引入点P•到圆心距离与点和圆位置关系的结论并运用它们解决一些实际问题.重难点、关键1.•重点:点和圆的位置关系的结论:不在同一直线上的三个点确定一个圆其它们的运用.2.难点:讲授反证法的证明思路.3.关键:由一点、二点、三点、•四点作圆开始导出不在同一直线上的三个点确定一个圆.教学过程一、复习引入〔学生活动〕请同学们口答下面的问题.1.圆的两种定义是什么?2.你能至少举例两个说明圆是如何形成的?3.圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何?4.如果在圆外有一点呢?圆内呢?请你画图想一想.老师点评:〔1〕在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,•另一个端点A所形成的图形叫做圆;圆心为O,半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形.〔2〕圆规:一个定点,一个定长画圆.〔3〕都等于半径.〔4〕经过画图可知,圆外的点到圆心的距离大于半径;•圆内的点到圆心的距离小于半径.二、探索新知由上面的画图以及所学知识,我们可知:设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d那么有:点P在圆外⇒d>r点P在圆上⇒d=r点P在圆内⇒d<r反过来,也十清楚显,如果d>r⇒点P在圆外;如果d=r⇒点P在圆上;如果d<r⇒点P在圆内.因此,我们可以得到:这个结论的出现,对于我们今后解题、判定点P是否在圆外、圆上、圆内提供了依据.下面,我们接下去研究确定圆的条件:〔学生活动〕经过一点可以作无数条直线,经过二点只能作一条直线,那么,经过一点能作几个圆?经过二点、三点呢?请同学们按下面要求作圆.〔1〕作圆,使该圆经过点A,你能作出几个这样的圆?〔2〕作圆,使该圆经过点A、B,你是如何做的?你能作出几个这样的圆?其圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系?为什么?〔3〕作圆,使该圆经过点A、B、C三点〔其中A、B、C三点不在同一直线上〕,•你是如何做的?你能作出几个这样的圆?老师在黑板上演示:〔1〕无数多个圆,如图1所示.〔2〕连结A、B,作AB的垂直平分线,那么垂直平分线上的点到A、B的距离都相等,都满足条件,作出无数个.其圆心分布在AB的中垂线上,与线段AB互相垂直,如图2所示.lBA(1) (2) (3)〔3〕作法:①连接AB、BC;②分别作线段AB、BC的中垂线DE和FG,DE与FG相交于点O;③以O为圆心,以OA为半径作圆,⊙O就是所要求作的圆,如图3所示.在上面的作图过程中,因为直线DE与FG只有一个交点O,并且点O到A、B、C•三个点的距离相等〔中垂线上的任一点到两边的距离相等〕,所以经过A、B、C三点可以作一个圆,并且只能作一个圆.也就是,经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心.下面我们来证明:经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆.证明:如图,假设过同一直线L上的A、B、C三点可以作一个圆,设这个圆的圆心为P,那么点P既在线段AB的垂直平分线L1,又在线段BC的垂直平分线L2,•即点P为L1与L2点,而L1⊥L,L2Alm BAC ED OF ⊥L ,这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与直线垂直〞矛盾. 所以,过同一直线上的三点不能作圆.上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同,它不是直接从命题的得出结论,而是假设命题的结论不成立〔即假设过同一直线上的三点可以作一个圆〕,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到命题成立.这种证明方法叫做反证法. 在某些情景下,反证法是很有效的证明方法.例1.某地出土一明代残破圆形瓷盘,如以下图.为复制该瓷盘确定其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心.分析:圆心是一个点,一个点可以由两条直线交点而成,因此,只要在残缺的圆盘上任取两条线段,作线段的中垂线,交点就是我们所求的圆心. 作法:〔1〕在残缺的圆盘上任取三点连结成两条线段; 〔2〕作两线段的中垂线,相交于一点. 那么O 就为所求的圆心. 三、稳固练习教材P100 练习1、2、3、4. 四、应用拓展例2.如图,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AD=BC ,AB=48cm ,CD=30cm ,高27cm ,求作一个圆经过A 、B 、C 、D 四点,写出作法并求出这圆的半径〔比例尺1:10〕分析:要求作一个圆经过A 、B 、C 、D 四个点,应该先选三个点确定一个圆,•然后证明第四点也在圆上即可.要求半径就是求OC 或OA 或OB ,因此,•要在直角三角形中进行,不妨设在Rt △EOC 中,设OF=x ,那么OE=27-x 由OC=OB 便可列出,•这种方法是几何代数解. 作法分别作DC 、AD 的中垂线L 、m ,那么交点O 为所求△ADC 的外接圆圆心. ∵ABCD 为等腰梯形,L 为其对称轴 ∵OB=OA ,∴点B 也在⊙O 上 ∴⊙O 为等腰梯形ABCD 的外接圆 设OE=x ,那么OF=27-x ,∵OC=OB222215(27)24x x +=-+ 解得:x=20∴221520+=25,即半径为25m .五、归纳总结〔学生总结,老师点评〕 本节课应掌握:点和圆的位置关系:设⊙O 的半径为r ,点P 到圆心的距离为d ,那么;;.P d r P d r P d r ⇔>⎧⎪⇔=⎨⎪⇔<⎩点在圆外点在圆上点在圆内 2.不在同一直线上的三个点确定一个圆. 3.三角形外接圆和三角形外心的概念.4.反证法的证明思想.5.以上内容的应用.六、布置作业1.教材P110 复习稳固 1、2、3. 2.选用课时作业设计.第一课时作业设计一、选择题.1.以下说法:①三点确定一个圆;②三角形有且只有一个外接圆;•③圆有且只有一个内接三角形;④三角形的外心是各边垂直平分线的交点;⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等;⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内,其中正确的个数有〔• 〕A.1 B.2 C.3 D.42.如图,Rt△ABC,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,那么它的外心与顶点C的距离为〔〕.A.2.5 B.2.5cm C.3cm D.4cmB ACBACDO3.如图,△ABC内接于⊙O,AB是直径,BC=4,AC=3,CD平分∠ACB,那么弦AD长为〔〕A.522 B.52C.2 D.3二、填空题.1.经过一点P可以作_______个圆;经过两点P、Q可以作________•个圆,•圆心在_________上;经过不在同一直线上的三个点可以作________个圆,•圆心是________的交点. 2.边长为a的等边三角形外接圆半径为_______,圆心到边的距离为________.3.直角三角形的外心是______的中点,锐角三角形外心在三角形______,钝角三角形外心在三角形_________.三、综合提高题.1.如图,⊙O是△ABC的外接圆,D是AB上一点,连结BD,并延长至E,连结AD,•假设AB=AC,∠ADE=65°,试求∠BOC的度数.B AC O2.如图,通过防治“非典〞,人们增强了卫生意识,大街随地乱扔生活垃圾的人少了,人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中,如图24-49所示,A、B、C•为市内的三个住宅小区,环保公司要建一垃圾回收站,为方便起见,•要使得回收站建在三个小区都相等的某处,请问如果你是工程师,你将如何选址.BAC3.△ABC 中,AB=1,AC 、BC 是关于x 的一元二次方程〔m+5〕x 2-〔2m-5〕x+12=0两个根,外接圆O 的面积为4π,求m 的值.答案:一、1.B 2.B 3.A二、1.无数,无数,线段PQ 的垂直平分线,一个,三边中垂线 2.33 a 36a 3.斜边 内 外 三、1.100°2.连结AB 、BC ,作线段AB 、BC 的中垂线,两条中垂线的交点即为垃圾回收站所在的位置. 3.∵πR 2=4π,∴R=12,∵AB=1,∴AB 为⊙O 直径,∴AC 2+BC 2=1,即〔AC+BC 〕2-2AC ·BC=1, ∴〔255m m -+〕2-•2·125m +=1,m 2-18m-40=0,∴m=20或m=-2, 当m=-2时,△<0〔舍去〕, ∴m=20.[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解,但仍不能把平面与立体很好的结合;在遇到问题时,多数学生不愿意自己探索,都要寻求帮助。
小学六年级数学《圆的认识》公开课教学教案教学目标:1.通过画一画、折一折、量一量等活动,观察、体会圆的特征,认识圆的各部分名称,理解在同圆或等圆中直径与半径之间的关系。
2.了解、掌握多种画圆的方法,并初步学会用圆规画圆。
3.在活动中,感受圆与其它图形的区别,沟通它们的联系,获得对数学美的丰富体验,提升学生对数学文化的认同。
教学重点:探索圆的各部分名称、特征和关系。
教学难点:通过实际的动手操作体会圆的特征。
教学过程:一、整体感知圆1.出示幻灯:生活中的圆摄影作品,在这些美丽的图片中你们发现了什么图形?生活中你在哪见过圆?2.揭示课题:圆无处不在,这节课我们就来认识它。
板书:圆的认识3.同学们喜欢玩套圈的游戏吗?现在就来试试?我这有一个玩具,要求你只能站在距离它三米远的地方扔圈,你可以站在哪里?我们用三厘米代表三米,你能在本上标出你所在的位置吗?2.实投学生成果(由画几个点到多点,直到圆)问:站在这几点都可以吗,为什么?只能站在这几点上吗?出现圆后问,还有地方站吗?3.课件演示师:那么到底可以站在哪?(圆上任意一点)圆上这样的点有多少个?二、操作中认识圆1.屏幕上有一个圆,同学们能利用现有的工具制造一个圆吗?2.学生画圆,师巡视3.汇报不同画圆的方法(先找用圆形工具画的汇报)拿线绳画的黑板演示谈话:这位同学拿这么长的绳子在黑板上画了这么大的一个圆,如果我想在操场上画个大圆怎么办呢?圆规画的实投展示4.总结圆规画圆方法5.学生练习圆规画几个圆既然我们可以借助圆形工具来画圆,人们为什么还会发明圆规呢?6.观察自己所画的圆,除了一条封闭的曲线还有什么?(点儿)给它取个名字圆心(如果学生能说就让学生说)用字母O表示7.拿出手中的圆纸片,你们有办法确定这个圆的圆心吗?学生动手折问:除了圆心你们还发现了什么?(折痕)你发现的折痕是什么样子的。
师:谁愿意到前面介绍自己的发现?揭示直径半径定义你能在圆上画出直径和半径吗?在自己所画的圆上标出圆心、画出半径和直径三、交流探究圆圆心和半径到底有什么作用呢?画一画就知道了1、用圆规在本上画出几个不同的圆,看谁画得漂亮。
《圆的认识》公开课课件一、教学内容本节课选自小学数学六年级教材,涉及《圆的认识》章节。
详细内容包括圆的基本概念、圆的半径和直径、圆周率的认识、圆的周长和面积计算以及圆在实际生活中的应用。
二、教学目标1. 知识与技能:使学生掌握圆的基本概念,理解圆的半径、直径和圆周率,并能运用这些知识解决实际问题。
2. 过程与方法:培养学生动手操作、观察、思考和合作交流的能力,提高解决问题的策略。
3. 情感态度价值观:激发学生对圆的兴趣,增强对数学美的感悟,培养创新意识和实践能力。
三、教学难点与重点教学难点:圆的周长和面积的计算方法。
教学重点:圆的基本概念、半径和直径的关系、圆周率的理解。
四、教具与学具准备教具:圆规、直尺、圆模型、多媒体课件。
学具:练习本、铅笔、圆规、直尺。
五、教学过程1. 实践情景引入展示生活中的圆形物体,如车轮、圆桌等,引导学生发现圆的特点。
2. 基本概念学习(1)教师讲解圆的基本概念,学生跟随教师一起认识圆的各个部分。
(2)学生动手操作,用圆规画圆,体会圆的特点。
3. 例题讲解(1)圆的半径和直径的关系:教师演示如何测量圆的半径和直径,引导学生发现半径和直径的关系。
(2)圆周率的理解:教师介绍圆周率的概念,学生通过计算圆的周长与直径的比值,感受圆周率的含义。
4. 随堂练习(1)让学生计算给定圆的半径和直径。
(2)计算圆的周长和面积。
5. 合作交流学生分组讨论,分享解题思路和技巧。
六、板书设计1. 圆的基本概念、半径和直径、圆周率。
2. 圆的周长和面积的计算公式。
七、作业设计1. 作业题目圆1:半径=4cm圆2:直径=10cm(2)思考:为什么圆的周长和面积与半径和直径有关?2. 答案(1)圆1:半径=4cm,直径=8cm,周长=25.12cm,面积=50.24cm²圆2:半径=5cm,周长=31.4cm,面积=78.5cm²(2)因为圆的周长和面积是由半径和直径决定的,圆周率是一个恒定的比值。
公开课《圆与圆的位置关系》教学反思在本次公开课中,我担任了《圆与圆的位置关系》这一课程的教师。
通过对本节课的反思,我认为教学上有以下几个方面需要改进和加强。
首先,在教学准备方面,我可能没有充分考虑到学生的理解能力和学习进度。
在讲解圆与圆的位置关系时,我没有事先对学生进行必要的预热,没有提前了解他们对该主题的基本掌握程度。
因此,在课堂上,我发现有些学生对于所讲内容比较困惑,导致理解不深刻,这也影响了后续的学习效果。
下次在备课时,我会对学生的知识储备情况进行评估,并根据评估结果灵活调整课程的设计。
其次,在教学内容呈现方面,我可能没有充分利用多媒体技术和教学资源。
在课堂上,我只是简单地通过黑板和演示文稿介绍和演示了一些关键概念和例题,没有运用视频、图片等多媒体资源来增加学生的视觉和听觉体验。
这种单一的教学方式容易导致学生的学习兴趣下降,也制约了他们对于圆与圆的位置关系的深入理解。
下次在备课时,我会积极探索和利用更多的多媒体资源,以提高教学效果。
第三,在课堂组织和学生互动方面,我可能没有充分调动学生的积极性和参与度。
在本次公开课的教学过程中,我主要采用了讲述式的教学方法,学生的参与度比较低,他们只是被动地接受我所传授的知识。
这种教学方式既无法激发学生的学习兴趣,也无法培养他们的主动学习能力。
下次在教学中,我将尝试采用更多的互动式教学方法,如小组讨论、问题导向式学习等,以激发学生的思考和参与。
最后,在课后的作业布置和复习指导方面,我可能没有充分关注学生的学习情况和思考能力的培养。
在本次公开课中,我仅仅布置了简单的练习题作为课后作业,没有考虑到不同层次的学生的学习需求。
下次在作业布置时,我会根据学生的实际情况,设计一些针对性强、具有挑战性的练习题,并提供详细的解题思路和方法,以引导学生进行复习和思考。
通过对本次公开课的反思,我意识到自己在教学中还存在不足之处,但同时也明确了今后的改进方向。
我将继续加强自己的教学准备能力,积极运用多媒体技术和教学资源,注重课堂组织和学生互动,并关注学生的学习情况和思考能力的培养。
公开课之《圆的认识》教案一、教学内容二、教学目标1. 让学生掌握圆的基本概念,了解圆的直径与半径的定义及它们之间的关系。
2. 培养学生运用圆的周长和面积公式解决实际问题的能力。
3. 培养学生的观察、思考、交流和合作能力,提高学生的数学素养。
三、教学难点与重点重点:圆的定义、直径与半径的概念、周长和面积公式的运用。
难点:圆的周长和面积公式的推导及灵活运用。
四、教具与学具准备教具:黑板、粉笔、圆规、直尺、剪刀、彩纸。
学具:每人一份圆的模型、练习题。
五、教学过程1. 实践情景引入:让学生观察周围生活中存在的圆形物体,如硬币、圆桌、地球等,引导学生发现圆形的特点。
2. 圆的定义:通过圆规画圆的过程,引导学生理解圆的定义,即到一个固定点距离相等的所有点的集合。
3. 直径与半径:介绍直径和半径的概念,让学生通过实际操作,理解直径是穿过圆心,两端都在圆上的线段;半径是连接圆心和圆上任意一点的线段。
4. 圆的周长:引导学生通过实际测量和计算,探究圆的周长与直径的关系,得出周长公式C=πd。
5. 圆的面积:让学生通过实际操作,切割圆形的纸片,观察和计算面积,引导学生发现圆的面积公式A=πr²。
6. 例题讲解:运用圆的周长和面积公式解决实际问题,如计算一个直径为10厘米的圆的周长和面积。
7. 随堂练习:让学生运用圆的周长和面积公式,计算不同直径和半径的圆的周长和面积。
六、板书设计圆的定义:到一个固定点距离相等的所有点的集合。
直径:穿过圆心,两端都在圆上的线段。
半径:连接圆心和圆上任意一点的线段。
周长公式:C=πd面积公式:A=πr²七、作业设计1. 请用圆规画一个直径为10厘米的圆,并测量其周长和面积。
答案:周长约为31.4厘米,面积约为78.5平方厘米。
2. 计算一个半径为5厘米的圆的周长和面积。
答案:周长约为31.4厘米,面积约为78.5平方厘米。
八、课后反思及拓展延伸本节课通过观察生活实物,引入圆的概念,让学生在实际操作中掌握圆的定义、直径与半径的概念,以及圆的周长和面积公式。