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函数及其表示1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域；了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．知识梳理1．函数的概念(1)给定两个非空的数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于A中任何一个数x，在B中都有唯一确定的数y与之对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，此时的x叫做自变量，集合A叫做函数的定义域，集合C ＝{f(x)|x∈A}叫做函数的值域且C B.(2)函数有三个要素：定义域、值域和对应关系.2．函数的表示列表法：用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法．图象法：用图象把两个变量间的函数关系表示出来的方法，称为图象法．解析法：一个函数的对应关系可以用自变量的解析式表示出来，这种方法称为解析法．3．分段函数分段函数的定义：在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数称为分段函数．4．映射的概念如果两个非空集合A与B之间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素，B 中总有唯一确定的元素y与之对应，就称这种对应是从集合A到集合B的映射．1．函数是一种特殊的映射，映射不一定是函数．从A到B的映射，A，B若不是数集，则这个映射便不是函数．2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.热身练习 1．考察下列图象：其中能够作为函数图象的是 A ，B ，C .抓住函数的定义进行判断．对每一个x ，都有唯一确定的y 与之对应才构成函数关系，表现在图象上为在定义域范围内与x 轴垂直的直线与图象有且只有1个交点，由此可知，A ，B ，C 都能作为函数图象，D 不能作为函数图象．2．(经典真题)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝ －2 .由f (x )＝ax 3－2x 可得f (－1)＝－a ＋2＝4，所以a ＝－2.3．下列函数中，f (x )与g (x )表示同一函数是(D) A ．f (x )＝(x －1)0，g (x )＝1 B ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2C ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2A 的定义域不同，B 的值域不同，C 的对应法则不同，只有D 的定义域、值域、对应法则都相同．4．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x，x <0，则f [f (－2)]＝(C)A ．－1 B.14C.12D.32因为－2＜0，所以f (－2)＝2－2＝14＞0，所以f (14)＝1－14＝1－12＝12. 5．已知函数满足f (x －1)＝x 2－3，则f (2)的值为(B) A ．－2 B ．6 C ．1 D ．0(方法一)令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，所以f (t )＝(t ＋1)2－3， 所以f (2)＝(2＋1)2－3＝6.(方法二)f (x －1)＝(x －1)2＋2(x －1)－2，所以f (x )＝x 2＋2x －2，所以f (2)＝22＋2×2－2＝6. (方法三)令x －1＝2，则x ＝3，所以f (2)＝32－3＝6.求函数的定义域(1)函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)(2)设函数f (x )＝ln 1＋x 1－x ，则函数g (x )＝f (x 2)＋f (1x)的定义域为____________．(1)要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠0，x ＋1>0，解得x >－1且x ≠1.故函数f (x )的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)． (2)要使f (x )＝ln 1＋x 1－x 有意义，则1＋x1－x >0，所以－1<x <1.则函数g (x )＝f (x 2)＋f (1x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧－1<x2<1，－1<1x <1，所以x ∈(－2，－1)∪(1,2)．(1)C (2)(－2，－1)∪(1,2)求定义域的基本方法：①若函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的，则它的定义域是各基本函数定义域的交集；②已知函数f (x )的定义域为D ，则f [g (x )]的定义域为满足g (x )∈D 的x 的取值范围．1．(1)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是(D) A ．[－3,1] B ．(－3,1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)(2)(2018·重庆模拟)已知函数f (x )的定义域为[－1,2]，则函数y ＝f (x )＋f (－x )的定义域是(A)A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－1,2]D ．(－2,1](1)要使函数有意义，只需x 2＋2x －3>0， 即(x ＋3)(x －1)>0，解得x <－3或x >1. 故函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)． (2)因为f (x )的定义域为[－1,2]，要使函数y ＝f (x )＋f (－x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，－1≤－x ≤2，解得－1≤x ≤1.所以y ＝f (x )＋f (－x )的定义域为[－1,1]．求函数的解析式(1)(2016·浙江卷)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x－a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________.(2)已知f (1x ＋1)＝x 2＋1x 2＋3x，则f (x )＝___________________________.(1)先利用函数解析式将f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2的左边表示出来，再化简右边，然后利用多项式相等的条件求解即可．因为f (x )＝x 3＋3x 2＋1，则f (a )＝a 3＋3a 2＋1， 所以f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2) ＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2. 由此可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝－3，a 2＋2ab ＝0，a 3＋3a 2＝a 2b .①②③因为a ≠0，所以由②得a ＝－2b ， 代入①式得b ＝1，a ＝－2.(2)令t ＝1x ＋1，则x ＝1t －1(t ≠1)，于是f (t )＝1t －12＋11t －12＋31t －1＝1＋(t －1)2＋3(t －1)＝t 2＋t －1(t ≠1)．所以f (x )＝x 2＋x －1(x ≠1)．(1)－2 1 (2)x 2＋x －1(x ≠1) 求函数解析式的常用方法：(1)待定系数法：若已知函数类型(如一次函数、二次函数、反比例函数及其他所有形式已知的函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f [g (x )]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．2．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x ＋1)＝ x 2＋2x (x ≥0) .(2)已知函数f (x )是一次函数，且f (8)＝15，f (14)，f (5)，f (2)成等比数列，则f (x )＝ 2x －1 .(1)设u ＝x ＋1≥1，则x ＝(u －1)2，所以f (u )＝(u －1)2＋2(u －1)＝u 2－1， 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1＝x 2＋2x (x ≥0)． (2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 由f (8)＝15，得8a ＋b ＝15，① 又f (14)，f (5)，f (2)成等比数列， 所以[f (5)]2＝f (2)·f (14)， 得(5a ＋b )2＝(14a ＋b )(2a ＋b a 2＋6ab ＝0.因为a ≠0，所以a ＝－2b ，②由①②得a ＝2，b ＝－1，所以f (x )＝2x －1.分段函数(2017·山东卷)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，x －，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f (1a)＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8先由f (a )＝f (a ＋1)求出a ，再求f (1a)．求f (a )和f (a ＋1)时，将a ，a ＋1代入分段函数的哪一个表达式中？这就必须依据分段函数的定义域对a 进行分类讨论．若0<a <1，a ＋1>1，由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2(a ＋1－1)，所以a ＝14，所以f (1a)＝f (4)＝2×(4－1)＝6.若a ≥1，a ＋1>1，由f (a )＝f (a ＋1)得 2(a －1)＝2(a ＋1－1)，此方程无解． 综上，f (1a)＝6.C(1)分段函数是一个函数，“分段求解”是解决分段函数的基本原则． (2)在求分段函数的值时，一定要注意自变量的值所在的区间，再代入相应的解析式，自变量的值不确定时，要分类讨论．3．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1， x ＞0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是(D)A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)(方法一：利用分段函数分段求解)①当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )，即为2－(x ＋1)＜2－2x，即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )，即1＜2－2x，解得x ＜0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0)． (方法二：借助函数图象求解)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1， x ＞0，所以函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数， 故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x .此时x ≤－1. 当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1， 满足f (x ＋1)＜f (2x )．此时－1＜x ＜0.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)．1．函数的定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，都必须在定义域上进行，求函数的定义域，主要掌握以下两种类型：(1)由解析式给出的函数，根据其定义域求出使函数有意义的自变量的取值范围．其主要依据是：①分式的分母不为0；②偶次方根的被开方数不小于0； ③对数的真数大于0；④指数函数和对数函数的底数大于0且不等于1.(2)复合函数f [g (x )]的定义域：若f (x )的定义域为D ，则满足g (x )∈D 的x 的集合是f [g (x )]的定义域．2．求函数的解析式主要掌握如下两种方法：(1)给出函数的特征，求函数的解析式，可用待定系数法，如函数是二次函数，可设函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可．(2)换元法求解析式，已知f[h(x)]＝g(x)，求f(x)的问题，往往可设h(x)＝t，从中解出x，代入g(x)进行换元求解．但用换元法时，要注意新元的范围．3．分段函数问题要分段求解．如求分段函数f(x0)时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后代入相应的关系，当不能确定时，要注意分类讨论．函数的值域与最值1．掌握求值域或最值的基本方法，会求一些简单函数的值域或最值．2．建立函数思想，能应用函数观点(如应用函数的值域、最值)解决数学问题．知识梳理1．函数的值域值域是函数值的取值范围，它是由定义域和对应法则所确定的，所以求值域时要注意定义域.2．函数的最值1．基本函数的值域(1)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为 R ； (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域： 当a ＞0时，值域为 [4ac －b24a ，＋∞) ；当a ＜0时，值域为 (－∞，4ac －b24a] ；(3)反比例函数y ＝k x(x ≠0)的值域为y ∈R ，且 y ≠0 ； (4)指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)的值域为 (0，＋∞) ； (5)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1，x ＞0)的值域为 R ； (6)正、余弦函数的值域为 [－1,1] ，正切函数的值域为 R .2．若f (x )>A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上，f (x )min >A ；若不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上，f (x )max <B .热身练习1．函数y ＝3x (－1≤x ≤3，且x ∈Z )的值域为(D) A ．[－1,3] B ．[－3,9]C ．{－1,0,1,2,3}D ．{－3,0,3,6,9}由－1≤x ≤3，且x ∈Z ，得x ∈{－1,0,1,2,3}，代入y ＝3x ，得值域为{－3,0,3,6,9}．2．已知函数f (x )的定义域为R ，M 为常数．若p ：对∀x ∈R ，都有f (x )≥M ；q ：M 是函数f (x )的最小值．则p 是q 的(B)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件对∀x ∈R ，都有f (x )≥M M 是函数f (x )的最小值；M 是函数f (x )的最小值⇒对∀x ∈R ，都有f (x )≥M .所以p 是q 的必要不充分条件．3．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是(D)A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x函数y ＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.4．函数y ＝2x －1x ＋1的值域是(C)A ．RB ．{y |y ≠－1，y ∈R }C ．{y |y ≠2，y ∈R }D ．{2}因为y ＝2x －1x ＋1＝x ＋－3x ＋1＝2－3x ＋1，又因为－3x ＋1≠0，所以2－3x ＋1≠2，即y ≠2. 5．(2018·南阳月考)已知f (x )＝x －1－x ，则(C) A ．f (x )max ＝2，f (x )无最小值 B ．f (x )min ＝1，f (x )无最大值 C ．f (x )max ＝1，f (x )min ＝－1 D ．f (x )max ＝1，f (x )min ＝0f (x )＝x －1－x 的定义域为[0,1]，易知y ＝x 与y ＝－1－x 在[0,1]上是增函数， 所以函数f (x )＝x －1－x 在[0,1]上是增函数， 所以f (x )max ＝f (1)＝1，f (x )min ＝f (0)＝－1，故选C.求函数的值域或最值求下列函数的值域： (1)y ＝－x 2＋2x ，x ∈[0,3]； (2)y ＝2x ＋1x －3；(3)f (x )＝2x＋log 3x ，x ∈[1,3]．(1)因为y ＝－(x －1)2＋1，x ∈[0,3]， 结合函数图象可知，所求函数的值域为[－3,1]． (2)因为y ＝x －＋7x －3＝2＋7x －3，而7x －3≠0，所以所求函数的值域为{y ∈R |y ≠2}．(3)由于f (x )为增函数，所以f (1)≤f (x )≤f (3)， 所以函数的值域为[2,9]．求函数值域的常用方法：(1)配方法——转化为二次函数在闭区间上的最值，与二次型函数有关的函数常用此法． (2)分离常数法——分式型函数注意用此法． (3)利用函数的单调性； (4)利用基本不等式等．1．求下列函数的值域： (1)y ＝1－x21＋x 2；(2)y ＝x －1－2x .(1)y ＝1－x 21＋x 2＝2－＋x21＋x2＝21＋x2－1， 因为1＋x 2≥1，所以0<21＋x 2≤2，所以－1<21＋x 2－1≤1，即y ∈(－1,1]．(2)设1－2x ＝t (t ≥0)，得x ＝1－t22，所以y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1≤12(t ≥0)，所以y ∈(－∞，12]．分段函数的值域或最值(经典真题)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是____________．因为当x ≤2时，y ＝－x ＋6≥4. f (x )的值域为[4，＋∞)，所以当x >2，a >1时，3＋log a x >3＋log a 2≥4， 所以log a 2≥1，所以1<a ≤2；当0<a <1时，3＋log a x <3＋log a 2，不合题意． 故a ∈(1,2]．(1,2](1)本题主要考查单调性的应用，分段函数的值域等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力及分类讨论能力．(2)分段函数的值域为函数f (x )在各个段上函数值域的并集．本题f (x )在x ≤2这段的值域为[4，＋∞)，要f (x )的值域为[4，＋∞)，只要f (x )在x >2这段的值域是[4，＋∞)的子集就行了．2．(经典真题)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤1，x ＋6x－6， x >1，则f [f (－2)]＝ －12，f (x )的最小值是 26－6 .f [f (－2)]＝f (4)＝4＋64－6＝－12.当x ≤1时，f (x )min ＝0；当x ＞1时，f (x )＝x ＋6x－6≥26－6，当且仅当x ＝6x，即x ＝6时，等号成立．所以f (x )min ＝26－6<0.综上，f (x )的最小值是26－6.恒成立问题(2018·泉州期末)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，12]成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3从题目条件的切入点不同可以有多种方法求解，主要有：配方法、分离变量法，下面用分离变量法进行求解．因为x ∈(0，12]，所以a ≥－x 2－1x ＝－x －1x，因为y ＝x ＋1x 在(0，12]上单调递减，在x ＝12处取得最小值52，所以－(x ＋1x )≤－52.故a 的最小值为－52.C(1)恒成立问题常转化为最值问题．一般地，若f (x )>A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上，f (x )min >A ；若不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上，f (x )max <B .(2)含参数问题的处理常采用分离变量法，分离变量后，转化为函数的最值问题．3．已知ax 2＋x ≤1对任意x ∈(0,1]恒成立，则实数a 的取值范围为 (－∞，0] .因为x >0，所以ax 2＋x ≤1可化为a ≤1x 2－1x.要使a ≤1x 2－1x对任意x ∈(0,1]恒成立，令f (x )＝1x 2－1x，x ∈(0,1]，则只需要a ≤[f (x )]min .设t ＝1x，因为x ∈(0,1]，所以t ≥1，则1x 2－1x ＝t 2－t ＝(t －12)2－14， 所以当t ＝1时，(t 2－t )min ＝0， 即x ＝1时，f (x )min ＝0.所以a ≤0，即实数a 的取值范围为(－∞，0]．1．函数值的集合叫做函数的值域，值域是由定义域和对应法则所确定的，因此，在研究函数的值域时，既要重视对应法则的作用，又要特别注意定义域对值域的制约作用．2．求值域的具体方法很多，如配方法、利用函数的单调性、不等式法等，但没有通用的方法和固定模式，要靠在学习过程中不断积累，抓住特点，掌握规律．要记住各种基本函数的值域，总结什么结构特点的函数用什么样的方法求值域，以及使用各种方法的注意事项，并在解决求值域问题时注意选择最优的解法．3．函数的值域常常化归为函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用．4．恒成立问题常转化为最值问题．一般地，若f(x)>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上，f(x)min>A；若不等式f(x)<B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上，f(x)max<B.函数的单调性1．理解函数的单调性及其几何意义．2．会运用函数图象理解和研究函数的性质．3．能够熟练地应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．知识梳理1．函数的单调性的定义给定区间D上的函数f(x)，若对于任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1) ＜f(x2)，则f(x)为区间D上的增函数．对于任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1) ＞f(x2)，则f(x)为区间D上的减函数．2．函数的单调区间的定义如果函数y＝f(x)在某个区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.如果函数是增函数，则称区间D 为 增区间 ，如果函数是减函数，则称区间D 为 减区间 .3．单调函数的图象特征增函数的图象是 上升 的(如图1)，减函数的图象是 下降 的(如图2)．图1图21．单调性定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1≠x 2，那么 (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2f x 1－f x 2x 1－x 2f (x )在[a ，b ]上是 增函数 ； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2f x 1－f x 2x 1－x 2f (x )在[a ，b ]上是 减函数 .2．判断单调性的常用结论(1)若f (x )，g (x )均为增(减)函数，则f (x )＋g (x )为 增(减) 函数． (2)若f (x )为增(减)函数，则－f (x )为 减(增) 函数．(3)y ＝f [g (x )]是定义在M 上的函数，若f (x )与g (x )的单调性相同，则其复合函数f [g (x )]为 增函数 ；若f (x )，g (x )的单调性相反，则其复合函数f [g (x )]为 减函数 .(4)已知函数y ＝f (x )，给定区间D ，若对D 内任意的x ，f ′(x )>0，则函数在区间D 上单调 递增 ；若对D 内任意的x ，f ′(x )<0，则函数在区间D 上单调 递减 .热身练习1．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)”的是(D)A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝－e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)根据单调性的定义，满足条件的函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，分别作出选项A ，B ，C ，D 的图象(如下图)，根据图象特征进行判断．由图象可知，应选D.2．(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是(D) A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x选项A 中，y ＝11－x 在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y ＝11－x在(－1,1)上为增函数；选项B 中，y ＝cos x 在(－1,1)上先增后减；选项C 中，y ＝ln(x ＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y ＝ln(x ＋1)在(－1,1)上为增函数；选项D 中，y ＝2－x＝(12)x 在R 上为减函数，故y ＝2－x在(－1，1)上为减函数．3．已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为(D) A ．[1,2] B ．(1,2)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，1]∪[2，＋∞)因为二次函数的单调性以对称轴为分界线，故顶点的横坐标不能落在区间(1,2)内，所以a ≥2或a ≤1.4．函数f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为(B) A.14 B.12 C ．2 D ．4因为y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)的单调性相同，所以f (x )＝a x＋log a (x ＋1)是单调函数，其最大值和最小值分别在端点处取得， 所以最值之和为f (0)＋f (1)＝a 0＋log a 1＋a ＋log a 2＝a .所以log a 2＋1＝0，所以a ＝12.5．(2018·杭州期中)函数f (x )＝log 12(4－x 2)的单调递增区间为 [0,2) .函数的定义域是(－2,2)．u ＝4－x 2的递减区间为[0,2)，又因为12<1，根据复合函数的单调性可知，函数f (x )的递增区间为[0,2)．单调性的判定与证明证明函数f (x )＝x ＋a x(a >0)在(0，a )上是减函数．因为没有要求一定要用定义进行证明，因此，除定义证明外，还可考虑用导数进行证明．(方法一)设0<x 1<x 2<a ，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋a x 1)－(x 2＋ax 2)＝(x 1－x 2)＋(a x 1－a x 2) ＝(x 1－x 2)(x 1x 2－ax 1x 2)． 因为0<x 1<x 2<a ，所以x 1－x 2<0,0<x 1x 2<a ， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )＝x ＋a x在(0，a )上是减函数．(方法二)因为0<x <a ，所以f ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2<0，所以f (x )在(0，a )上是减函数．(1)单调性的判定与证明的常用方法：①定义法：基本步骤为：一设，二作差，三比较，四下结论．②导数法：若f (x )在某个区间内可导，当f ′(x )＞0时，f (x )为增函数；当f ′(x )＜0时，f (x )为减函数．(2)函数y ＝x ＋ax(a >0)是一种常用函数，俗称“双勾函数”，其图象如下图所示．由图象，你能写出它的单调区间吗？能得出它的哪些性质？1． 证明函数f (x )＝x ＋a x(a >0)在(a ，＋∞)上是增函数．(方法一)设a <x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋a x 1)－(x 2＋ax 2)＝(x 1－x 2)＋(a x 1－a x 2) ＝(x 1－x 2)(x 1x 2－ax 1x 2)． 因为a <x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>a ， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )＝x ＋a x在(a ，＋∞)上是增函数．(方法二)因为x >a ，所以f ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2>0，所以f (x )在(a ，＋∞)上是增函数．复合函数的单调性(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8) 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D．(4，＋∞)由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2. 设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数．要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8在定义域内的单调递增区间． 因为函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)， 所以函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)．D复合函数y ＝f [g (x )]的单调性可按下列步骤判断： ①将复合函数分解成两个简单的函数，y ＝f (u )与u ＝g (x )； ②确定函数的定义域；③分别确定分解成的两个函数的单调性； ④其单调性规律：复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”．2．(2018·马山县期中)函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递增区间为 (－∞，1) ，单调递减区间为 (2，＋∞) .令u ＝x 2－3x ＋2＝(x －32)2－14在[32，＋∞)上递增，在(－∞，32)上递减，又因为x 2－3x ＋2>0，所以x >2或x <1.故u ＝x 2－3x ＋2在(2，＋∞)上递增，在(－∞，1)上递减． 又因为y ＝log 12u 为减函数，所以函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)在(2，＋∞)上递减，在(－∞，1)上递增．函数单调性的应用(1)已知f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c(2)(2018·昭通月考)已知函数f (x )是定义域(－3,3)上的增函数，如果f (3－m )<f (m 2－3)，则实数m 的取值范围是( )A ．(2，6)B ．(－6，6)C ．(－6，－2)D ．(－6，－2)∪(2，6)(1)由条件知f (x )的图象关于x ＝1对称，且f (x )在(1，＋∞)上是减函数， 因为a ＝f (－12)＝f (52)，且2<52<3，所以b >a >c .(2)依题意⎩⎪⎨⎪⎧－3<3－m <3，－3<m 2－3<3，3－m <m 2－3，解得2<m < 6.(1)D (2)A(1)单调性是函数的重要性质，它的应用非常广泛，主要表现在两个方面： ①根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系，如比较大小、求函数的最值等； ②根据函数值的大小关系得到自变量的大小关系，如解有关函数不等式等． (2)解函数不等式的一般步骤：第一步，(定性)确定函数f (x )在给定区间上的单调性； 第二步，(转化)将函数不等式转化为f (M )<f (N )的形式；第三步，(去f )运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号，转化为一般的不等式或不等式组；第四步，(求解)解不等式或不等式组确定解集．3．(1)已知f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则(B)A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，x ＋，x >0.若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是(D)A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)(1)因为函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0.(2)因为当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0， 所以函数图象是一条连续不断的曲线．因为当x ≤0时，f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数， 且当x 1<0，x 2>0时，f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )是定义在R 上的增函数．因此不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ， 即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1，故选D.1．对于单调性的定义的理解，要注意以下四点：(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念．一个函数在不同的区间上可以有不同的单调区间．(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质．因此，定义中的x 1，x 2具有任意性，不能用特殊值代替．(3)由于定义都是充要性命题，因此由f (x )是增(减)函数，且f (x 1)＜f (x 2x 1＜x 2(或x 1＞x 2)，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“互逆互推”，即有x 1＜x 2f (x 1)＜f (x 2)(或f (x 1)＞f (x 2))．(4)若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，而不能写成并集．如f (x )＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)都是减函数，单调区间不能写成(－∞，0)∪(0，＋∞)，事实上，f (x )＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是减函数．2．证明函数的单调性，一般从定义入手，也可以从导数入手；判断函数的单调性或者求函数的单调区间一般可以：①从定义入手；②从导数入手；③从图象入手；④从熟悉的函数入手；⑤从复合函数的单调性规律入手．函数的奇偶性与周期性1．了解奇偶性及周期性的定义．2．掌握判定一些简单函数的奇偶性的方法．3．会解决涉及奇偶性、周期性、单调性的简单综合问题．知识梳理 1．函数的奇偶性函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在函数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义的．(1)函数的奇偶性的定义①如果对定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x) 成立，那么函数f(x)为奇函数．②如果对定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x) 成立，则函数f(x)为偶函数．显然，函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．(2)奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．周期函数(1)周期函数：对于函数f(x)的定义域内的每一个x，都存在一个非零常数T，使得f(x ＋T)＝f(x) 恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．1．函数奇偶性的常用结论(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；偶×偶＝偶；奇×偶＝奇．2．函数周期性的常用结论对f(x)定义域内的任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝|a－b|.(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a(a>0)．(4)若f(x＋a)＝－1f x，则T＝2a(a>0)．热身练习1．下列函数为奇函数的是(D) A ．y ＝x B ．y ＝|sin x | C ．y ＝cos x D ．y ＝e x－e －xy ＝x 的定义域为{x |x ≥0}，不具有对称性，故y ＝x 为非奇非偶函数，y ＝|sinx |和y ＝cos x 为偶函数．对于D ，f (x )＝e x－e －x的定义域为R ，f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，故y ＝e x －e －x 为奇函数．2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是(B) A ．－13 B.13C.12 D ．－12因为f (x )＝ax 2＋bx 为偶函数，所以b ＝0，又偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＋2a ＝0， 所以a ＝13，故a ＋b ＝13.3．下列命题中：①若f (x )是奇函数，且在x ＝0处有定义，则f (0)＝0； ②偶函数必不是单调函数；③奇函数f (x )与偶函数g (x )的定义域的交集为非空集合，则函数f (x )·g (x )一定是奇函数；④若函数f (x )的图象关于y 轴对称，则f (x )一定是偶函数． 正确命题的个数有(D) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个①正确，由f (x )是奇函数，有f (0)＝－f (0)，所以f (0)＝0；②正确；③正确；④正确．4．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝ 12 .(方法一)令x >0，则－x <0.所以f (－x )＝－2x 3＋x 2.因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )＝2x 3－x 2(x >0)． 所以f (2)＝2×23－22＝12.(方法二)f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.5．(2018·红河州二模改编)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝log 2x ，则f (－94)＋f (2)＝ 2 .因为f (x )是周期为2的奇函数，所以f (－94)＝f (－94＋2)＝f (－14)＝－f (14)＝－log 214＝2，f (2)＝f (2＋0)＝f (0)＝0，所以f (－94)＋f (2)＝2＋0＝2.授课提示：见听课手册P 16判断函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x －1)1＋x1－x； (2)f (x )＝lg 1－x1＋x.(1)由1＋x 1－x ≥0，可知定义域为[－1,1)．定义域不关于原点对称，故f (x )是非奇非偶函数． (2)由1－x 1＋x>0，得－1<x <1.定义域(－1,1)关于原点对称，且f (－x )＋f (x )＝lg 1＝0， 所以f (－x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(1)利用定义判断奇偶性的步骤：(2)在运用定义判断奇偶性时，①若表达式较复杂可适当进行化简后判断(不得改变定义域)；②判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．(3)判断函数的奇偶性除定义法外，还要注意如下方法：①图象法：f (x )的图象若关于原点对称，则f (x )为奇函数；若关于y 轴对称，则f (x )为偶函数．②性质法：如“奇±奇”是奇；“偶±偶”是偶；“奇·奇”是偶，“偶·偶”是偶，“奇·偶”是奇等．1．(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x <0，－x 2＋x ， x >0的奇偶性是(A)A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数也是偶函数(2)(经典真题)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝ 1 .(1)(方法一：利用奇偶性的定义判断) 当x <0时，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋(－x )＝－(x 2＋x )＝－f (x )；当x >0时，－x <0，f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x ＝－f (x )．所以对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f (－x )＝－f (x )，故f (x )是奇函数． (方法二：用奇偶函数的图象特征判断) 画出y ＝f (x )的图象，如图：其图象关于原点对称，所以f (x )为奇函数． (2)利用奇偶函数的运算性质转化． 因为y ＝x 是奇函数，又f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数， 所以y ＝ln(x ＋a ＋x 2)是奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0， 即ln(a ＋x 2－x 2)＝ln a ＝0，解得a ＝1.奇偶性与单调性的综合应用(经典真题)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A ．(13，1)B ．(－∞，13)∪(1，＋∞)C ．(－13，13)D ．(－∞，－13)∪(13，＋∞)本题主要是考查函数奇偶性、单调性的综合应用，求解的关键是发现函数的奇偶性和单调性．由f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2可知f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (2x －1) ⇔f (|x |)>f (|2x －1|) ⇔|x |>|2x －1|⇔13<x <1.A(1)本题的求解过程中，既要利用函数的奇偶性，又要利用函数的单调性．求解此类问题要注意利用偶函数的性质f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．(2)掌握如下结论，会给解题带来方便： ①f (x )为偶函数f (x )＝f (|x |)．②若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0.③奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．2．(2017·江苏卷)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a－1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是 [－1，12] .因为f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x－1e －x＝－x 3＋2x －e x＋1e x＝－f (x )，所以f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x 是奇函数．因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (2a 2)≤－f (a －1)，即f (2a 2)≤f (1－a )．因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋e －x ≥3x 2－2＋2e x ·e －x ＝3x 2≥0，所以f (x )在R 上单调递增，所以2a 2≤1－a ，即2a 2＋a －1≤0，所以－1≤a ≤12.奇偶性与周期性的综合应用已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－1f x，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝__________.因为f(x＋2)＝－1f x，所以f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－1f x ＋＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，所以f(105.5)＝f(4×26＋1.5)＝f(1.5)＝f(1.5－4)＝f(－2.5)＝f(2.5)，因为2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5.所以f(105.5)＝2.5.2.5(1)本题考查了奇偶性与周期性的综合应用，考查了化归与转化的思想．求解的关键是利用周期性和奇偶性将所求函数值转化为已知区间上的函数值．(2)若对于函数f(x)的定义域内的任一自变量的值x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝1f x或f(x＋a)＝－1f x(a是常数且a≠0)，则f(x)是一个周期为2|a|的周期函数．3．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(C) A．－50 B．0C．2 D．50因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(1－x)＝－f(x－1)．由f(1－x)＝f(1＋x)，所以－f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数及其定义域得f(0)＝0.又因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)＝0，所以f(－2)＝0.又f(1)＝2，所以f(－1)＝－2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.1．函数的奇偶性是在整个定义域内讨论的整体性质，要正确理解奇函数与偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)具备奇偶性的必要不充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．2．f(x)为奇函数f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数f(x)的图象关于y轴对称．因此可以利用函数的图象的对称性去判断函数的奇偶性．3．判断函数的奇偶性的最基本的方法是利用定义法：首先判断定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，立即可以判定这个函数既不是奇函数也不是偶函数．若定义域关于原点对称，再判断f(－x)是否等于f(x)或－f(x)．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数式进行化简，或应用定义的等价形式f(－x)＝±f(x f(x)±f(－x)＝f－xf x＝±1 (f(x)≠0)．4．奇偶性常常和单调性、周期性结合进行考查，具体求解时，要紧扣奇偶性、周期性的概念，充分利用化归与转化的思想方法．二次函数1．熟练掌握二次函数的定义、图象与性质．2．会求二次函数在闭区间上的最值．知识梳理1．二次函数的三种表达式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).(2)顶点式：若二次函数f(x)的顶点坐标为(k，h)，则其解析式为f(x)＝a(x－k)2。
第二篇函数、导数及其应用第1讲函数的概念及其表示[最新考纲]1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单地应用.知识梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．(4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法．(5)分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．2．函数定义域的求法2nf x，n∈N*1与[f(x)]0f x3．函数值域的求法1．对函数概念的理解．(1)(教材习题改编)如图：以x 为自变量的函数的图象为②④.(√) (2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一函数．(×) 2．函数的定义域、值域的求法(3)(2013·江西卷改编)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为(0,1)．(×) (4)(2014·杭州月考改编)函数f (x )＝11＋x 2的值域为(0,1]．(√)3．分段函数求值(5)(2013·济南模拟改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x ＞1，则f (f (3))＝139.(√)学生用书第10页(6)(2014·浙江部分重点中学调研改编)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋34，x ≥0，2x ＋1，x ＜0若f (a )＝12，则实数a 的值为12或－2.(√)4．函数解析式的求法(7)已知f (x )＝2x 2＋x －1，则f (x ＋1)＝2x 2＋5x ＋2.(√) (8)已知f (x －1)＝x ，则f (x )＝(x ＋1)2.(×) [感悟·提升]1．一个方法 判断两个函数是否为相同函数．一是定义域是否相同，二是对应关系即解析式是否相同(注意解析式可以等价化简)，如(2)．2．三个防范 一是求函数的定义域要使给出解析式的各个部分都有意义，如(3)；二是分段函数求值时，一定要分段讨论，注意验证结果是否在自变量的取值范围内，如(6)； 三是用换元法求函数解析式时，一定要注意换元后的范围，如(8).考点一 求函数的定义域与值域【例1】 (1)(2013·山东卷)函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )．A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1] (2)函数y ＝x －3x ＋1的值域为________． 解析 (1)由题意⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3＞0，解得－3＜x ≤0.(2)y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1，因为4x ＋1≠0， 所以1－4x ＋1≠1.即函数的值域是{y |y ≠1}． 答案 (1)A (2){y |y ≠1}规律方法 (1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．(2)求函数的值域：①当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；②若与二次函数有关，可用配方法；③当函数的图象易画出时，可以借助于图象求解．【训练1】 (1)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x ＜1的值域为________．解析(1)根据题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x＞0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x ＞0，－1≤x ≤1⇒0＜x ≤1，故定义域为(0,1]．(2)当x ≥1时，log 12x ≤0；当x ＜1时，0＜2x＜2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．答案 (1)(0,1] (2)(－∞，2)考点二 分段函数及其应用【例2】 (1)(2014·东北三校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 24－x ，x ≤0f x －1－f x －2，x ＞0，则f (3)的值为( )．A ．－1B ．－2C ．1D ．2(2)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析 (1)依题意，3＞0，得f (3)＝f (3－1)－f (3－2)＝f (2)－f (1)，又2＞0，所以f (2)＝f (2－1)－f (2－2)＝f (1)－f (0)；所以f (3)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)，又f (0)＝log 2(4－0)＝2，所以f (3)＝－f (0)＝－2. (2)当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1. 此时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )，得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32.不合题意，舍去．当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1， 此时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a .由f (1－a )＝f (1＋a )，得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34.综上可知，a 的值为－34.答案 (1)B (2)－34规律方法 (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．【训练2】 (2014·烟台诊断)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos πx 3，x ≤2 000，2x －2 008，x ＞2 000，则f [f (2 013)]＝( )．A. 3 B ．－ 3 C ．1 D ．－1 解析 f (2 013)＝22 013－2 008＝25＝32，所以f [f (2 013)]＝f (32)＝2cos 32π3＝2cos 2π3＝－1. 答案 D学生用书第11页 【例3】 (1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试求出f (x )的解析式．(3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式． 解 (1)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝c ＝3.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3，∴f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋3.(3)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 以－x 代替x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．规律方法 求函数解析式常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)方程法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．【训练3】 (1)若f (x ＋1)＝2x 2＋1，则f (x )＝________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________. 解析 (1)令t ＝x ＋1，则x ＝t －1， 所以f (t )＝2(t －1)2＋1＝2t 2－4t ＋3. 所以f (x )＝2x 2－4x ＋3.(2)当－1≤x ≤0时，有0≤x ＋1≤1，所以f (1＋x )＝(1＋x )[1－(1＋x )]＝－x (1＋x )，又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12f (1＋x )＝－x x ＋12.答案 (1)2x 2－4x ＋3 (2)－x x ＋121．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．2．函数有三种表示方法——列表法、图象法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式比较常见的方法有凑配法、换元法、待定系数法和方程法等，特别要注意将实际问题转化为函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域．教你审题1——分段函数中求参数范围问题【典例】 (2013·新课标全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x ＞0.❶若|f (x )|≥ax ❷，则a 的取值范围是( )． A ．(－∞，0] B ．(－∞，1] C ．[－2,1] D ．[－2,0](1)[审题]一审条件❶：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x ＞0，转化为一元二次函数与对数函数的图象问题．如图(1)．二审条件❷：|f (x )|≥ax ，由f (x )的图象得到|f (x )|的图象如图(2)．(2)三审图形：观察y ＝ax 的图象总在y ＝|f (x )|的下方，则当a ＞0时，不合题意；当a ＝0时，符合题意；当a ＜0时，若x ≤0，f (x )＝－x 2＋2x ≤0， 所以|f (x )|≥ax 化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2. 综上－2≤a ≤0. 答案 D[反思感悟] (1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑； (2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求． 【自主体验】(2014·德州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋3，x ≤0，则f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )．A ．－3B ．－1或3C ．1D ．－3或1解析 因为f (1)＝lg 1＝0，所以由f (a )＋f (1)＝0得f (a )＝0.当a ＞0时，f (a )＝lg a ＝0，所以a ＝1.当a ≤0时，f (a )＝a ＋3＝0，解得a ＝－3.所以实数a 的值为a ＝1或a ＝－3，选D. 答案 D对应学生用书P227基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列各组函数表示相同函数的是( )． A ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝1，g (x )＝x 2C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，g (t )＝|t |D ．f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1x －1解析 A 选项中的两个函数的定义域分别是R 和[0，＋∞)，不相同； B 选项中的两个函数的对应法则不一致；D 选项中的两个函数的定义域分别是R 和{x |x ≠1}，不相同，尽管它们的对应法则一致，但也不是相同函数；C 选项中的两个函数的定义域都是R ，对应法则都是g (x )＝|x |，尽管表示自变量的字母不同，但它们依然是相同函数． 答案 C2．(2013·临沂一模)函数f (x )＝ln xx －1＋x21的定义域为( )．A ．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C ．(0,1) D ．(0,1)∪(1，＋∞)解析 要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，xx －1＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x x －1＞0，解得x ＞1.答案 B3．(2013·昆明调研)设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图象可以是( )．解析 A 项定义域为[－2,0]，D 项值域不是[0,2]，C 项对定义域中除2以外的任一x 都有两个y 与之对应，都不符合条件，故选B. 答案 B4．(2014·江西师大附中、鹰潭一中联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜1，f x －1，x ≥1，则f (log 27)＝( )．A.716B.78C.74D.72解析 因为log 27＞1，log 272＞1,0＜log 274＜1，所以f (log 27)＝f (log 27－1)＝f (log 272)＝f (log 272－1)＝f (log 274)＝2log 274＝74.答案 C 5．函数f (x )＝cx 2x ＋3(x ≠－32)满足f (f (x ))＝x ，则常数c 等于( )． A ．3 B ．－3 C ．3或－3 D ．5或－3解析 f (f (x ))＝c ⎝⎛⎭⎪⎫cx 2x ＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫cx 2x ＋3＋3＝c 2x 2cx ＋6x ＋9＝x ，即x [(2c ＋6)x ＋9－c 2]＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2c ＋6＝0，9－c 2＝0，解得c ＝－3.答案 B 二、填空题6．(2014·杭州质检)函数f (x )＝ln x －2x ＋1的定义域是________． 解析 由题意知x －2x ＋1＞0，即(x －2)(x ＋1)＞0，解得x ＞2或x ＜－1. 答案 {x |x ＞2，或x ＜－1}7．(2014·石家庄模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.解析 f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，解得a ＝2. 答案 28．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式为________．解析 令t ＝1－x 1＋x ，由此得x ＝1－t1＋t(t ≠－1)，所以f (t )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 2＝2t 1＋t 2，从而f (x )的解析式为f (x )＝2x1＋x2(x ≠－1)． 答案 f (x )＝2x1＋x 2(x ≠－1)三、解答题9．设二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )＝0的两个实根的平方和为10，f (x )的图象过点(0,3)，求f (x )的解析式． 解 ∵f (2＋x )＝f (2－x )， ∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称． 于是，设f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)， 则由f (0)＝3，可得k ＝3－4a ，∴f (x )＝a (x －2)2＋3－4a ＝ax 2－4ax ＋3. ∵ax 2－4ax ＋3＝0的两实根的平方和为10， ∴10＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16－16a，∴a ＝1.∴f (x )＝x 2－4x ＋3.10．某人开汽车沿一条直线以60 km/h 的速度从A 地到150 km 远处的B 地．在B 地停留1 h 后，再以50 km/h 的速度返回A 地，把汽车与A 地的距离s (km)表示为时间t (h)(从A 地出发开始)的函数，并画出函数的图象．解 由题意知：s ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤52，150，52<t ≤72，150－50⎝ ⎛⎭⎪⎫t －72，72<t ≤132.其图象如图所示．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．设f (x )＝lg 2＋x 2－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 的定义域为( )． A ．(－4,0)∪(0,4) B ．(－4，－1)∪(1,4) C ．(－2，－1)∪(1,2) D ．(－4，－2)∪(2,4)解析 ∵2＋x 2－x ＞0，∴－2＜x ＜2，∴－2＜x 2＜2且－2＜2x ＜2，取x ＝1，则2x ＝2不合题意(舍去)，故排除A ，取x ＝2，满足题意，排除C 、D ，故选B. 答案 B2．已知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，且当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )＝1x，则当x ∈(－∞，－2)时，f (x ) 的解析式为( )．A ．f (x )＝－1xB ．f (x )＝－1x －2C ．f (x )＝1x ＋2 D ．f (x )＝－1x ＋2解析 当x ∈(－∞，－2)时，则－2－x ∈(0，＋∞)， ∴f (x )＝－1x ＋2. 答案 D 二、填空题3．(2013·潍坊模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ∈－∞，1]，log 81x ，x ∈1，＋∞，则满足f (x )＝14的x 值为________．解析 当x ∈(－∞，1]时，2－x ＝14＝2－2，∴x ＝2(舍去)；当x ∈(1，＋∞)时，log 81x ＝14，即x ＝8141＝1443⨯＝3.答案 3 三、解答题4．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，求a ，b 的值．解 ∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12，∴其对称轴为x ＝1，即函数f (x )在[1，b ]上单调递增． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1，①f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b ，②又b >1，由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3，∴a ，b 的值分别为32，3.学生用书第12页第2讲 函数的单调性与最值[最新考纲]1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性.知 识 梳 理1．函数的单调性 (1)单调函数的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值1．函数单调性定义的理解(1)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在D上是增函数．(√)(2)函数f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．(√)(3)(教材改编)函数f(x)＝1x在其定义域上是减函数．(×)(4)已知f(x)＝x，g(x)＝－2x，则y＝f(x)－g(x)在定义域上是增函数．(√) 2．函数的单调区间与最值(5)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(6)(教材改编)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(7)(2013·汕头模拟)函数y ＝lg|x |的单调递减区间为(0，＋∞)．(×) (8)函数f (x )＝log 2(3x＋1)的最小值为0.(×) [感悟·提升]1．一个区别 “函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”的区别：前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集，如(5)．2．两个防范 一是注意函数的定义域不连续的两个单调性相同的区间，要分别说明单调区间，不可说成“在其定义域上”单调，如(3)；二是若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集，如(6).学生用书第13页考点一 确定函数的单调性或单调区间【例1】 (1)判断函数f (x )＝x ＋kx(k ＞0)在(0，＋∞)上的单调性． (2)(2013·沙市中学月考)求函数y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的单调区间．解 (1)法一 任意取x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋k x 1－⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k x 1－k x2＝(x 1－x 2)＋k x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k x 1x 2.当k ≥x 1＞x 2＞0时，x 1－x 2＞0,1－kx 1x 2＜0， 有f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)在(0，k ]上为减函数； 当x 1＞x 2≥k 时，x 1－x 2＞0,1－kx 1x 2＞0， 有f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)在[k ，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)在(0，k ]上为减函数；在[k ，＋∞)上为增函数． 法二 f ′(x )＝1－k x 2，令f ′(x )＞0，则1－k x2＞0， 解得x ＞k 或x ＜－k (舍)．令f ′(x )＜0，则1－k x2＜0， 解得－k ＜x ＜k .∵x ＞0，∴0＜x ＜k .∴f (x )在(0，k )上为减函数；在(k ，＋∞)上为增函数， 也称为f (x )在(0，k ]上为减函数；在[k ，＋∞)上为增函数．(2)令u ＝x 2－4x ＋3，原函数可以看作y ＝log 13u 与u ＝x 2－4x ＋3的复合函数．令u ＝x 2－4x ＋3＞0.则x ＜1或x ＞3. ∴函数y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u ＝x 2－4x ＋3的图象的对称轴为x ＝2，且开口向上，∴u ＝x 2－4x ＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y ＝log 13u 在(0，＋∞)上是减函数，∴y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．规律方法 (1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．(2)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函数．【训练1】 试讨论函数f (x )＝axx 2－1，x ∈(－1,1)的单调性(其中a ≠0)．解 法一 (定义法)任取－1＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝a x 2－x 1x 1x 2＋1x 21－1x 22－1，∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴|x 1|＜1，|x 2|＜1，x 2－x 1＞0，x 21－1＜0，x 22－1＜0，|x 1x 2|＜1，即－1＜x 1x 2＜1， ∴x 1x 2＋1＞0， ∴x 2－x 1x 1x 2＋1x 21－1x 22－1＞0，因此，当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，此时函数在(－1,1)为减函数； 当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，此时函数在(－1,1)为增函数． 法二 (导数法)f ′(x )＝a x 2－1－2ax 2x 2－12＝－a x 2＋1x 2－12当a ＞0时，f ′(x )＜0； 当a ＜0时，f ′(x )＞0.∴当a ＞0时，f (x )在(－1,1)上为减函数； 当a ＜0时，f (x )在(－1,1)上为增函数．考点二 利用单调性求参数【例2】 已知函数f (x )＝ax －1x ＋1. (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递减．(2)函数f (x )在(－∞，－1)上单调递减，求实数a 的取值范围． (1)证明 任设x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1－1x 1＋1－－2x 2－1x 2＋1＝－x 1－x 2x 1＋1x 2＋1.∵(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0， ∴f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递减．(2)解 法一 f (x )＝ax －1x ＋1＝a －a ＋1x ＋1，设x 1<x 2<－1， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫a －a ＋1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a ＋1x 2＋1 ＝a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝a ＋1x 1－x 2x 1＋1x 2＋1，又函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数， 所以f (x 1)－f (x 2)>0. 由于x 1<x 2<－1，∴x 1－x 2<0，x 1＋1<0，x 2＋1<0， ∴a ＋1<0，即a <－1.故a 的取值范围是(－∞，－1)． 法二 由f (x )＝ax －1x ＋1，得f ′(x )＝a ＋1x ＋12，又因为f (x )＝ax －1x ＋1在(－∞，－1)上是减函数，所以f ′(x )＝a ＋1x ＋12≤0在x ∈(－∞，－1)上恒成立，解得a ≤－1，而a ＝－1时，f (x )＝－1，在(－∞，－1)上不具有单调性，故实数a 的取值范围是(－∞，－1)．规律方法 利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题． 【训练2】 (1)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )．A ．{－3}B ．(－∞，3)C ．(－∞，－3]D ．[－3，＋∞)(2)(2014·日照模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )．A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1] 解析 (1)y ＝x －5x －a －2＝1＋a －3x －a ＋2，由函数在(－1，＋∞)上单调递增，有⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，a ＋2≤－1，解得a ≤－3.(2)f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0<a ≤1. 答案 (1)C (2)D学生用书第14页考点三 利用函数的单调性求最值【例3】 已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．审题路线 (1)当a ＝12时，f (x )为具体函数→求出f (x )的单调性，利用单调性求最值．(2)当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＞0恒成立→转化为x 2＋2x ＋a ＞0恒成立．解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，联想到g (x )＝x ＋1x 的单调性，猜想到求f (x )的最值可先证明f (x )的单调性．任取1≤x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎪⎫12x 1－12x 2＝x 1－x 22x 1x 2－12x 1x 2， ∵1≤x 1＜x 2，∴x 1x 2＞1，∴2x 1x 2－1＞0. 又x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋ax＞0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ＞0，x ≥1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－x 2＋2x ，x ≥1，等价于a 大于函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．只需求函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．φ(x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上递减，∴当x ＝1时，φ(x )最大值为φ(1)＝－3. ∴a ＞－3，故实数a 的取值范围是(－3，＋∞)． 规律方法 求函数最值的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．【训练3】 对任意两个实数x 1，x 2，定义max(x 1，x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 1，x 1≥x 2，x 2，x 1＜x 2，若f (x )＝x 2－2，g (x )＝－x ，则max(f (x )，g (x ))的最小值为________．解析 f (x )－g (x )＝x 2－2－(－x )＝x 2＋x －2，当x 2－2－(－x )＝x 2＋x －2≥0时，x ≥1或x ≤－2；当－2＜x ＜1时，x 2＋x －2＜0，即f (x )＜g (x )，所以max(f (x )，g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，－2＜x ＜1，x 2－2，x ≥1或x ≤－2，作出图象如图所示，由图象可知函数的最小值在A 处取得，所以最小值为f (1)＝－1. 答案 －11．求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质及利用导数的性质．2．复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．3．函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数的单调性在确定函数最值过程中的应用．易错辨析1——分段函数单调性的判定【典例】 (2013·金华模拟)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1，是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是( )．A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)[错解] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a2＞0，解得1＜a ＜8.[答案] D[错因] 忽视函数在定义域两段区间分界点上的函数值的大小．[正解] f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a 2＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2＋2≤a ，解得：4≤a ＜8. [答案] B[防范措施] 对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．研究函数问题离不开函数图象，函数图象反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法． 【自主体验】(2013·日照模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1，是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )．A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1 解析 当x ＝1时，log a 1＝0，若f (x )为R 上的减函数，则(3a －1)x ＋4a ≥0在x ＜1时恒成立．令g (x )＝(3a －1)x ＋4a ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，0＜a ＜1，g 1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，0＜a ＜1，3a －1＋4a ≥0⇒17≤a ＜13. 答案 C对应学生用书P229基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )． A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析 函数y ＝ln(x ＋2)在(－2，＋∞)上是增函数；函数y ＝－x ＋1在[－1，＋∞)上是减函数；函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(0，＋∞)上是减函数；函数y ＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．综上可得在(0，＋∞)上是增函数的是y ＝ln(x ＋2)，故选A. 答案 A2．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5在(－∞，3)上是减函数；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－4a －34a ≥3，得0＜a ≤34.综上，a 的取值范围是0≤a ≤34.答案 D3．(2013·泉州月考)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1)的实数x 的取值范围是( )．A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 由f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0.∴－1<x <0或0<x <1. 答案 C4．(2014·广州模拟)已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析 ∵函数图象关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (3)，即b ＜a ＜c . 答案 B5．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7解析 由f (x )＝min{2x，x ＋2，10－x }(x ≥0)画出图象，最大值在A 处取到，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝10－x ，得y ＝6.答案 C 二、填空题6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间为________．解析 y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x ≥0，x 2－3x ，x ＜0，由图可知其递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 7．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.解析 由a >1知函数f (x )在[a,2a ]上为单调增函数，则log a (2a )－log a a ＝12，解得a ＝4.答案 48．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x ＜1，2x，x ≥1的最小值为2，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意知，当x ＝1时，f (x )min ＝2，故－1＋a ≥2， ∴a ≥3. 答案 [3，＋∞) 三、解答题9．试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．解 设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝ax 2－x 1x 1－1x 2－1，由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增．10．已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)．(1)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． 解 (1)任取x 1＞x 2＞0，则x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0，∵f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2＞0， ∴f (x 1)＞f (x 2)，因此，函数f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．(2)∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2， 又由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2， 即1a －2＝12，1a －12＝2. 解得a ＝25.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f xx在区间(1，＋∞)上一定( )． A ．有最小值 B ．有最大值 C ．是减函数 D ．是增函数解析 由题意知a ＜1，又函数g (x )＝x ＋a x－2a 在[|a |，＋∞)上为增函数，故选D. 答案 D2．(2014·厦门外国语学校质检)已知函数f (x )＝|e x＋ae x |(a ∈R ，e 是自然对数的底数)，在区间[0,1]上单调递增，则a 的取值范围是( )． A ．[0,1] B ．[－1,0]C ．[－1,1]D ．(－∞，－e 2]∪[e 2，＋∞)解析 取a ＝1，则f (x )＝e x＋1e x ，当x ∈[0,1]时，f ′(x )＝e x－1e x ＝e 2x－1ex ≥0，所以f (x )在区间[0,1]上单调递增，排除B ，D ；取a ＝－1，则f (x )＝|e x －1e x |＝e x－1e x ，当x ∈[0,1]时，f ′(x )＝e x＋1e x ＞0，所以f (x )在区间[0,1]上单调递增，排除A.故选C.答案 C 二、填空题3．已知函数f (x )＝x 2＋ax (a ＞0)在(2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是________．解析 法一 任取2＜x 1＜x 2，由已知条件f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22＋ax 2＝(x 1－x 2)＋a x 2－x 1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2－ax 1x 2＜0恒成立，即当2＜x 1＜x 2时，x 1x 2＞a 恒成立，又x 1x 2＞4，则0＜a ≤4.法二 f (x )＝x ＋ax ，f ′(x )＝1－a x2＞0得f (x )的递增区间是(－∞，－a )，(a ，＋∞)，由已知条件得a ≤2，解得0＜a ≤4. 答案 (0,4] 三、解答题4．已知二次函数f (x )＝ax2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，x >0，－fx ，x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立．(1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围． 解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1， ∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1.∵对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a ＋12－4a ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a －12≤0.∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2或k ≥6.故k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞).学生用书第15页 [最新考纲]1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．知识梳理1．函数的奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．辨析感悟1．对奇偶函数的认识及应用(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(×)(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(3)(教材习题改编)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．(√)(4)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√)(5)(2013·山东卷改编)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝－2.(√)(6)(2014·菏泽模拟改编)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是[－2,2]．(×) 2．对函数周期性的理解(7)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．(√) (8)(2014·枣庄一模改编)若y ＝f (x )既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y ＝f ′(x )既是周期函数又是奇函数．(×) [感悟·提升]1．两个防范 一是判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，如(1)；二是若函数f (x )是奇函数，则f (0)不一定存在；若函数f (x )的定义域包含0，则必有f (0)＝0，如(2)．2．三个结论 一是若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称；若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称，如(4)；二是若对任意x ∈D 都有f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是以2a 为周期的函数；若对任意x ∈D 都有f (x ＋a )＝±1f x(f (x )≠0)，则f (x )也是以2a 为周期的函数，如(7)；三是若函数f (x )既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y ＝f ′(x )既是周期函数又是偶函数，如(8)中因为y ＝f (x )是周期函数，设其周期为T ，则有f (x ＋T )＝f (x )，两边求导，得f ′(x ＋T )(x ＋T )′＝f ′(x )，即f ′(x ＋T )＝f ′(x )，所以导函数是周期函数，又因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，两边求导，得f ′(－x )(－x )′＝－f ′(－x )＝－f ′(x )，即－f ′(－x )＝－f ′(x )，所以f ′(－x )＝f ′(x )，所以导函数是偶函数.学生用书第16页考点一 函数奇偶性的判断及应用【例1】 (1)判断下列函数的奇偶性： ①f (x )＝x 2－1＋1－x 2；②f (x )＝ln 1－x 1＋x.(2)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f (lg 12)＝( )．A ．－1B ．0C ．1D ．2(1)解 ①由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0得x ＝±1.∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0， 即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数．②由1－x 1＋x ＞0，得－1＜x ＜1，即f (x )＝ln 1－x1＋x 的定义域为(－1,1)，又f (－x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－ln 1－x 1＋x ＝－f (x )，则f (x )为奇函数． (2)解析 设g (x )＝ln(1＋9x 2－3x )， 则g (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＝ln 11＋9x 2－3x＝－ln(1＋9x 2－3x )＝－g (x )． ∴g (x )为奇函数．∴f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝f (lg 2)＋f (－lg 2) ＝g (lg 2)＋1＋g (－lg 2)＋1＝g (lg 2)－g (lg 2)＋2＝2. 答案 D规律方法 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立． 【训练1】 (1)(2014·武汉一模)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0且a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝( )．A ．2 B.154C.174D ．a 2(2)设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 (1)∵g (x )为偶函数，f (x )为奇函数， ∴g (2)＝g (－2)＝a ，f (－2)＝－f (2)， ∴f (2)＋g (2)＝a 2－a －2＋2，①f (－2)＋g (－2)＝－f (2)＋g (2)＝a －2－a 2＋2，②联立①②解得g (2)＝2＝a ，f (2)＝a 2－a －2＝22－2－2＝154.(2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数， 所以f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1. 所以当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x －1，所以f (－1)＝－f (1)＝－(21＋2×1－1)＝－3. 答案 (1)B (2)A考点二 函数的单调性与奇偶性【例2】 (1)(2014·山东实验中学诊断)下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是( )．A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝－xC ．f (x )＝2－x －2xD ．f (x )＝－tan x(2)(2013·辽宁五校联考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (log 18x )＞0的解集为( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(2，＋∞) 解析 (1)f (x )＝1x在定义域上是奇函数，但不单调；f (x )＝－x 为非奇非偶函数；f (x )＝－tan x 在定义域上是奇函数，但不单调．(2)由已知f (x )在R 上为偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0， ∴f (log 18x )＞0等价于f (|log 18x |)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，又f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴|log 18x |＞13，即log 18x ＞13或log 18x ＜－13，解得0＜x ＜12或x ＞2，故选C.答案 (1)C (2)C规律方法 对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．【训练2】 (2014·北京101中学模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝e x＋a ，若f (x )在R 上是单调函数，则实数a 的最小值是( )． A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2解析 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0.又f (x )＝e x＋a 在(0，＋∞)上是增函数，所以f (x )在R 上是增函数，则e 0＋a ＝1＋a ≥0，解得a ≥－1，所以a 的最小值是－1，故选B. 答案 B考点三 函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用【例3】 (经典题)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )． A ．f (－25)＜f (11)＜f (80) B ．f (80)＜f (11)＜f (－25) C ．f (11)＜f (80)＜f (－25) D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)审题路线 f (x －4)＝－f (x )――――→令x ＝x －4f (x －8)＝f (x )→结合f (x )奇偶性、周期性把－25,11,80化到区间[－2,2]上→利用[－2,2]上的单调性可得出结论．解析∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数，∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．答案 D学生用书第17页规律方法区间上的问题转化为已知区间上的问题．【训练3】(2014·黄冈中学适应性考试)定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(4)＝f(0)．其中判断正确的序号是________．解析f(x＋1)＝－f(x)⇒f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期函数．又f(x)＝f(－x)，所以f(x ＋2)＝f(－x)，故f(x)的图象关于直线x＝1对称．同理，f(x＋4)＝f(x)＝f(－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称．由f(x)在[－1,0]上是增函数，得f(x)在[0,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数．因此可得①②⑤正确．答案①②⑤1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )±f (x )＝0⇔f －xf x＝±1(f (x )≠0)．3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．方法优化1——根据函数的奇偶性求参数值【典例】 (2011·辽宁卷)若函数f (x )＝x2x ＋1x －a为奇函数，则a ＝( )．。
2．9 函数模型及其应用[知识梳理]1．七类常见函数模型2．指数、对数、幂函数模型的性质3．解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：特别提醒：(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．(3)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．[诊断自测]1．概念思辨(1)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．( )(2)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．( )(3)当a>1时，不存在实数x0，使.( )(4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律．( )答案(1)√(2)√(3)√(4)√2．教材衍化(1)(必修A1P59T6)如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是(lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771，lg 109＝2.0374，lg 0.09＝－2.9543)( )A．2015年 B．2011年 C．2010年 D．2008年答案 B解析设1995年总值为a，经过x年翻两番，则a·(1＋9%)x＝4a.∴x＝2lg 2lg 1.09≈16.故选B.(2)(必修A1P107T1)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A ．y ＝2x －2B ．y ＝12(x 2－1)C ．y ＝log 2xD ．y ＝log 12x答案 B解析 由题意得，表中数据y 随x 的变化趋势，函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大越来越快．∵A 中函数是线性增加的函数，C 中函数是比线性增加还缓慢的函数，D 中函数是减函数，∴排除A ，C ，D ，∴B 中函数y ＝12(x 2－1)符合题意．故选B.3．小题热身(1) (2018·湖北八校联考)某人根据经验绘制了2018年春节前后，从1月25日至2月11日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象，如图所示，则此人在1月30日大约卖出了西红柿 ________千克．答案1909解析 前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1，10)和点(10,30)代入函数解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.(2)(2017·朝阳区模拟)某商场2017年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：①f (x )＝p ·q x(q >0，q ≠1)； ②f (x )＝log p x ＋q (p >0，p ≠1)； ③f (x )＝x 2＋px ＋q .能较准确反映商场月销售额f (x )与月份x 关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f (1)＝10，f (3)＝2，则f (x )＝________.答案 ③ x 2－8x ＋17解析 (ⅰ)因为f (x )＝p ·q x，f (x )＝log q x ＋q 是单调函数，f (x )＝x 2＋px ＋q 中，f ′(x )＝2x ＋p ，令f ′(x )＝0，得x ＝－p2，f (x )出现一个递增区间和一个递减区间，所以模拟函数应选f (x )＝x 2＋px ＋q .(ⅱ)∵f (1)＝10，f (3)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋p ＋q ＝10，9＋3p ＋q ＝2，解得p ＝－8，q ＝17，∴f (x )＝x 2－8x ＋17，故答案为③；x 2－8x ＋17.题型1 二次函数及分段函数模型典例为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 3－80x 2＋5040x ，x ∈[120，144)，12x 2－200x ＋80000，x ∈[144，500]，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿．(1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？本题用函数法，再由均值定理解之．解 (1)当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S ，则S ＝200x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80000＝－12x 2＋400x －80000＝－12(x －400)2，所以当x ∈[200,300]时，S <0，因此该单位不会获利． 当x ＝300时，S 取得最大值－5000，当x ＝200时，S 取最小值－20000，所以国家每月补偿数额的范围是[5000,20000]． (2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为 y x ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 2－80x ＋5040，x ∈[120，144)，12x ＋80000x －200，x ∈[144，500].①当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5040＝13(x －120)2＋240，所以当x ＝120时，y x取得最小值240. ②当x ∈[144,500]时，y x ＝12x ＋80000x －200≥2 12x ×80000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80000x ，即x ＝400时，yx取得最小值200.因为200<240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低． 方法技巧一次函数、二次函数及分段函数模型的选取与应用策略1．在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．2．实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．见典例．3．实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解，但应关注以下两点：(1)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏； (2)分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值． 提醒：(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．(2)对构建的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解．冲关针对训练(2017·广州模拟)某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A ，B 两种产品的生产． ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？解 (1)设A ，B 两种产品分别投资x 万元(x ≥0)，所得利润分别为f (x )，g (x )万元． 由题意可设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x (x ≥0)，所以根据图象可解得f (x )＝0.25x (x ≥0)，g (x )＝2x (x ≥0)．(2)①由(1)得f (9)＝2.25，g (9)＝29＝6，所以总利润y ＝8.25万元． ②设B 产品投入x 万元，A 产品投入(18－x )万元，该企业可获总利润为y 万元． 则y ＝14(18－x )＋2x ，0≤x ≤18.令x ＝t ，t ∈[0,3 2 ]，则y ＝14(－t 2＋8t ＋18)＝－14(t －4)2＋172.所以当t ＝4时，y max ＝172＝8.5，此时x ＝16,18－x ＝2，所以当A ，B 两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元．题型2 指数函数模型典例(2017·西安模拟)我国加入WTO 后，根据达成的协议，若干年内某产品的关税与市场供应量P 的关系近似满足：y ＝P (x )＝2(1－kt )(x －b )2(其中t 为关税的税率，且t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，x 为市场价格，b ，k 为正常数)，当t ＝18时的市场供应量曲线如图：(1)根据图象求b ，k 的值；(2)若市场需求量为Q ，它近似满足Q (x )＝211－x2.当P ＝Q 时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t 的最小值．本题用函数思想，采用换元法．解方法技巧构建指数函数模型的关注点1．指数函数模型常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．2．应用指数函数模型时关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．3．y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．冲关针对训练某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数y(单位：万人)与年份x(单位：年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)．(1.01210≈1.127,1.01215≈1.196,1.01216≈1.210，解(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2，3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3，……x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x.所以该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式是y＝100×(1＋1.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)．所以10年后该城市人口总数约为112.7万人．(3)设x 年后该城市人口将达到120万人，即100(1＋1.2%)x ≥120，于是1.012x≥120100，所以x ≥log 1.012120100＝，即大约15年后该城市人口总数将达到120万人． 题型3 对数函数模型典例某企业根据分析和预测，能获得10万～1000万元的投资收益，企业拟制定方案对科研进行奖励，方案：奖金y (万元)随投资收益x (万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金也不超过投资收益的20%，并用函数y ＝f (x )模拟此方案．(1)写出模拟函数y ＝f (x )所满足的条件；(2)试分析函数模型y ＝4lg x －3是否符合此方案要求，并说明理由．用函数思想，采用导数法．解 (1)由题意，y ＝f (x )所满足的条件是： ①f (x )在[10,1000]上为增函数， ②f (x )≤9， ③f (x )≤15x .(2)对于y ＝4lg x －3，显然在[10,1000]上是增函数，满足条件①.当10≤x ≤1000时，4lg 10－3≤y ≤4lg 1000－3，即1≤y ≤9，满足条件②. 证明如下：f (x )≤15x ，即4lg x －3≤15x ，对于x ∈[10,1000]恒成立．令g (x )＝4lg x －3－15x ，x ∈[10,1000]，g ′(x )＝20 lg e －x 5x ，∵e<10，∴lg e<lg 10＝12，∴20lg e<10，又∵x ≥10，∴20lg e －x <0，∴g ′(x )<0对于x ∈[10,1000]恒成立，∴g (x )在[10,1000]上是减函数． ∴g (x )≤g (10)＝4lg 10－3－15×10＝－1<0，即4lg x －3－15x ≤0，即4lg x －3≤15x ，对x ∈[10,1000]恒成立，从而满足条件③.方法技巧本例属奖金分配问题，奖金的收益属对数增长，随着投资收益的增加，奖金的增加会趋向于“饱和”状态，实际中很多经济现象都是这种规律，并注意掌握直接法、列式比较法、描点观察法．冲关针对训练候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位， 故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ， 故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2， 所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．1．(2015·北京高考)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间 加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日 12 35000 2015年5月15日 4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( ) A ．6升 B ．8升 C ．10升 D ．12升答案 B解析 因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶35600－35000＝600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升，故选B.2．(2014·湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q2B.(p ＋1)(q ＋1)－12C.pqD.(p ＋1)(q ＋1)－1答案 D解析 设两年前的年底该市的生产总值为a ，则第二年年底的生产总值为a (1＋p )(1＋q )．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则a (1＋x )2＝a (1＋p )(1＋q )，由于连续两年持续增加，所以x >0，因此x ＝(1＋p )(1＋q )－1，故选D.3．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃ 的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．答案 24解析 依题意有192＝e b,48＝e22k ＋b＝e 22k ·e b ，所以e 22k ＝48e b ＝48192＝14，所以e 11k＝12或－12(舍去)，于是该食品在33 ℃的保鲜时间是e33k ＋b＝(e 11k )3·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24(小时)．4．(2017·江西九江七校联考)某店销售进价为2元/件的产品A ，该店产品A 每日的销售量y (单位：千件)与销售价格x (单位：元/件)满足关系式y ＝10x －2＋4(x －6)2，其中2<x <6. (1)若产品A 销售价格为4元/件，求该店每日销售产品A 所获得的利润；(2)试确定产品A 的销售价格x 的值，其使该店每日销售产品A 所获得的利润最大．(保留1位小数)解 (1)当x ＝4时，y ＝102＋4×(4－6)2＝21千件，此时该店每日销售产品A 所获得的利润为(4－2)×21＝42千元．(2)该店每日销售产品A 所获得的利润f (x )＝(x －2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤10x －2＋4(x －6)2＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f ′(x )＝0，得x ＝103，易知在⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫103，6上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．所以x ＝103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值．故当销售价格为3.3元/件时，利润最大．[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·福州模拟)在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：x －2.0 －1.0 0 1.0 2.03.0y0.240.5112.023.988.02则y 关于x 的函数关系与下列函数最接近的(其中a ，b 为待定系数)是( ) A ．y ＝a ＋bx B ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋b D ．y ＝a ＋b x答案 B解析 由x ＝0时，y ＝1，排除D ；由f (－1.0)≠f (1.0)，排除C ；由函数值增长速度不同，排除A.故选B.2．(2017·云南联考)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系可用图象表示的是( )答案 A解析 由于开始的三年产量的增长速度越来越快，故总产量迅速增长，图中符合这个规律的只有选项A ；后三年产量保持不变，总产量直线上升，故选A.3．某杂志每本原定价2元，可发行5万本，若每本提价0.20元，则发行量减少4000本，为使销售总收入不低于9万元，需要确定杂志的最高定价是( )A ．2.4元B ．3元C ．2.8元D ．3.2元 答案 B解析 设每本定价x 元(x ≥2)，销售总收入是y 元，则y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×104－x －20.2×4×103·x＝104·x (9－2x )≥9×104.∴2x 2－9x ＋9≤0⇒32≤x ≤3，故选B.4．(2017·南昌期末)某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处 答案 A解析 设仓库与车站距离为x ，土地费用为y 1，运输费用为y 2，于是y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝k 110，8＝10k 2，解得k 1＝20，k 2＝45.设总费用为y ，则y ＝20x ＋4x5≥220x ·4x5＝8. 当且仅当20x ＝4x5，即x ＝5时取等号．故选A.5．(2015·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更省油 答案 D解析 对于A 选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h 时的燃油效率大于5 km/L ，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A 错误；对于B 选项，由图可知甲车消耗汽油最少；对于C 选项，甲车以80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L ，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L 汽油，所以C 错误；对于D 选项，当最高限速为80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D 正确．故选D.6．(2017·北京朝阳测试)将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a en t ．假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a8，则m 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 D解析 根据题意知12＝e 5n ，令18a ＝a e n t ，即18＝e n t，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.故选D.7．(2016·天津模拟)国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( )A ．560万元B ．420万元C ．350万元D ．320万元 答案 D解析 设该公司的年收入为x 万元，纳税额为y 万元，则由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ×p %，x ≤280，280×p %＋(x －280)×(p ＋2)%，x >280，依题有280×p %＋(x －280)×(p ＋2)%x＝(p ＋0.25)%，解得x ＝320.故选D.8．(2017·北京朝阳区模拟)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是( )A ．投资3天以内(含3天)，采用方案一B ．投资4天，不采用方案三C ．投资6天，采用方案一D ．投资12天，采用方案二答案 D解析 由图可知，投资3天以内(含3天)，方案一的回报最高，A 正确；投资4天，方案一的回报约为40×4＝160(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＝100(元)，都高于方案三的回报，B 正确；投资6天，方案一的回报约为40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，都高于方案三的回报，C 正确；投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D 错误．故选D.9．(2017·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11 答案 C解析 设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <11000得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.10．(2017·北京朝阳区模拟)某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( )A ．3000元B ．3300元C ．3500元D ．4000元 答案 B解析 由题意，设利润为y 元，租金定为3000＋50x 元(0≤x ≤70，x ∈N )．则y ＝(3000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2900＋50x )·(70－x )＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝⎛⎭⎪⎫58＋x ＋70－x 22，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每月租金定为3000＋300＝3300(元)时，公司获得最大利润，故选B.二、填空题11．(2017·金版创新)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)答案 14a 2解析 令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2，∴D ＝at －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋14a 2.∴当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值．12．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，若经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案 16解析 当t ＝0时，y ＝a ；当t ＝8时，y ＝a e －8b＝12a ， ∴e －8b＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt＝18a . e－bt＝18＝(e －8b )3＝e －24b，则t ＝24，所以再经过16 min. 13．(2014·北京高考改编)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，右图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________．答案 3.75分钟解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0.7，16a ＋4b ＋c ＝0.8，25a ＋5b ＋c ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2，∴p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316，∴当t ＝154＝3.75时p 最大，即最佳加工时间为3.75分钟．14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量不大于0.25毫克时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．答案 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1，t >0.1 (2)0.6解析 (1)设y ＝kt ，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)， 则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)．由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a 过点(0.1,1)，得1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1160.1－a ，解得a ＝0.1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1(t >0.1)．(2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6. 故至少需经过0.6小时学生才能回到教室． 三、解答题15．(2017·济宁期末)已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量增加收益．据估算，若今年的实际销售单价为x 元/件(1≤x ≤2)，则新增的年销量P ＝4(2－x )2(万件)．(1)写出今年商户甲的收益f (x )(单位：万元)与x 的函数关系式；(2)商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？请说明理由．解 (1)由题意可得：f (x )＝[1＋4(2－x )2](x －1)，1≤x ≤2.(2)甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，可得收益为1万元．f ′(x )＝8(x －2)(x －1)＋1＋4(2－x )2＝12x 2－40x ＋33＝(2x －3)(6x －11)，可得当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32时，函数f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，116时，函数f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤116，2时，函数f (x )单调递增．∴x ＝32时，函数f (x )取得极大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1；又f (2)＝1.∴当x ＝32或x ＝2时，函数f (x )取得最大值1(万元)．因此商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，不能获得比往年更大的收益． 16．(2017·北京模拟)已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x 之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f (x )＝a 1x 2－4x ＋6，g (x )＝a 2·3x＋b 2(a 1，a 2，b 2∈R )．(1)求函数f (x )与g (x )的解析式； (2)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；(3)在同一直角坐标系下画出函数f (x )与g (x )的草图，并根据草图比较今年1～10月份甲、乙两个工厂的利润的大小情况．解 (1)依题意：由f (1)＝6，解得a 1＝4， 所以f (x )＝4x 2－4x ＋6. 由⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝6，g (2)＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋b 2＝6，9a 2＋b 2＝8，解得a 2＝13，b 2＝5，所以g (x )＝13×3x ＋5＝3x －1＋5.(2)由(1)知甲厂在今年5月份的利润为f (5)＝86万元，乙厂在今年5月份的利润为g (5)＝86万元，故有f (5)＝g (5)，即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等．(3)作函数图象如下：从图中可以看出今年1～10月份甲、乙两个工厂的利润： 当x ＝1或x ＝5时，有f (x )＝g (x )； 当x ＝2,3,4时，有f (x )>g (x )； 当x ＝6,7,8,9,10时，有f (x )<g (x )．。
2．7 函数的图象[知识梳理]1．利用描点法作函数图象的流程2．变换法作图(1)平移变换提醒：对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减． (2)对称变换①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )；②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )；③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x(a >0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)．(3)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|； ②y ＝f (x )――――――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．(4)伸缩变换3．有关对称性的常用结论 (1)函数图象自身的轴对称①f (－x )＝f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；②函数y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )；③若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且有f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．(2)函数图象自身的中心对称①f (－x )＝－f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于原点对称；②函数y ＝f (x )的图象关于(a,0)对称⇔f (a ＋x )＝－f (a －x )⇔f (x )＝－f (2a －x )⇔f (－x )＝－f (2a ＋x )；③函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )成中心对称⇔f (a ＋x )＝2b －f (a －x )⇔f (x )＝2b －f (2a －x )；④若函数y ＝f (x )定义域为R ，且满足条件f (a ＋x )＋f (b －x )＝c (a ，b ，c 为常数)，则函数y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，c 2对称．(3)两个函数图象之间的对称关系①函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称；函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称；②函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (x )的图象关于直线y ＝b 对称； ③函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )对称． [诊断自测] 1．概念思辨(1)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( ) (2)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．( )(3)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( )(4)将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位得到函数y ＝f (－x －1)的图象．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．教材衍化(1)(必修A1P 75T 10)函数y ＝lg |x －1|的图象大致为( )答案 B解析y＝lg |x－1|关于直线x＝1对称，排除A，D；因函数值可以为负值，故选B.(2)(必修A1P113B组T2)如图，不规则图形ABCD中：AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分面积为y，则y关于x的大致图象为( )答案 D解析当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选D.3．小题热身(1)若函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝( )A．e x＋1 B．e x－1 C．e－x＋1 D．e－x－1答案 D解析与曲线y＝e x关于y轴对称的曲线为y＝e－x，函数y＝e－x的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f(x)的图象，即f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.故选D.(2)(2017·茂名模拟)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是( )答案 C解析 由函数的图象可知，－1<b <0，a >1，则g (x )＝a x＋b 为增函数，当x ＝0时，y ＝1＋b >0，且过定点(0,1＋b )．故选C.题型1 函数图象的画法典例1作出下列函数的图象： (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1.用图象变换作图．解 (1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图a 实线部分．(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图b.(3)∵y ＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得，如图c.(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图d.典例2 (2017·建邺区校级期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 4x |，0<x ≤4，－12x ＋3，x >4.(1)画出函数f (x )的图象；(2)若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，求abc 的取值范围．用数形结合法．解 (1)作函数f (x )的图象如下：(2)根据a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，令a <b <c ，由f (x )的解析式可知|log 4a |＝|log 4b |，可得log 4a ＋log 4b ＝0，即为ab ＝1，所以abc ＝c ，由图象可得c 的范围是(4,6)．故abc 的范围是(4,6)． 方法技巧作函数图象的一般方法1．直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．见冲关针对训练(1)．2．图象变换法．变换包括：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换．见典例1. 3．描点法．当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质作出．冲关针对训练 作出下列函数的图象： (1)y ＝10|lg x |；(2)y ＝|x －2|·(x ＋1)．解 (1)当x ≥1时，lg x ≥0，y ＝10|lg x |＝10lg x＝x ； 当0<x <1时，lg x <0，y ＝10|lg x |＝10－lg x ＝10lg 1x＝1x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0<x <1.这是分段函数，每段函数的图象可根据正比例函数或反比例函数图象作出(如图)．(2)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94；当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，x ≥2，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94，x <2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图).题型2 识图与辨图角度1 已知图象确定函数解析式典例 (2018·贵州联考)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln |x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x根据图象奇偶性及变化趋势用排除法．答案 A解析 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C ；若函数为f (x )＝x －1x，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D.故选A.角度2 已知解析式确定函数的图象典例(2016·全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]上的图象大致为( )用特殊值法，排除法，导数法．答案 D解析 令f (x )＝y ＝2x 2－e |x |，则f (2)＝8－e 2>0，A 错误；f (2)＝8－e 2<1，B 错误；当x >0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，14时，f ′(x )<14×4－e 0＝0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上递减，C 错误．故选D. 角度3 由实际问题中的变化过程探究函数图象典例(2014·全国卷Ⅰ)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图象大致为( )用特殊值法，排除法．答案 C解析 如图所示，过点M 作OP 的垂线，垂足为D .当x ＝π2时，MD ＝0，排除A ，D ；当x ＝π4或x ＝3π4时，MD 取得最大值为12，排除B.故选C.方法技巧辨识函数图象的常见类型及求解策略1．由图象确定解析式或解析式中参数满足的数量关系．求解关键是将从图象中得到的以下信息点转化为其参数满足的数量关系．①图象与x 轴、y 轴的交点位置；②某一区间内函数值的正负；③定义域；④函数的单调性；⑤函数的极值、最值；⑥函数图象的变化趋势．见角度1典例．2．由解析式确定函数图象的判断技巧：(1)由函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)由函数的周期性，判断图象的循环往复．3．由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．冲关针对训练1．(2014·江西高考)在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a∈R )的图象不可能的是( )答案 B解析 当a ＝0时，y ＝－x 与y ＝x 图象为D.当a >0时，y ＝ax 2－x ＋a2为开口向上抛物线，而对y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a ，求导得y ′＝3a 2x 2－4ax ＋1，令y ′＝0，得x ＝13a 或x ＝1a ，即y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a 有2个极值点且为正，A ，C 都有可能．当a <0时，抛物线开口向下，第二个函数的极值点为负，对称轴x ＝12a 在两极值点中间，B 不符合，故选B.2．(2017·安徽黄山一模)如图所示的图象可能是下列哪个函数的图象( )A ．y ＝2x －x 2－1 B ．y ＝2xsin x 4x ＋1C ．y ＝(x 2－2x )e xD ．y ＝xln x答案 C解析 A 中，∵y ＝2x－x 2－1＝2x －(x 2＋1)，当x 趋向于－∞时，2x 的值趋向于0，x2＋1的值趋向于＋∞，∴当x 趋向于－∞时，函数y ＝2x－x 2－1的值趋向于－∞，∴A 中的函数不符合；B 中，当x >0时，y ＝2xsin x 4x ＋1有无数个零点，与图象不符合；D 中，y ＝xln x 的定义域是(0,1)∪(1，＋∞)，∴D 中函数不符合．故选C.题型3 函数图象的应用角度1 利用函数图象求解不等式(多维探究)典例(2015·北京高考)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1<x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1<x ≤1}D ．{x |－1<x ≤2}用数形结合法．答案 C解析 作出函数y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图所示：其中函数f (x )与y ＝log 2(x ＋1)的图象的交点为D (1,1)，结合图象可知f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}，故选C.[条件探究] 若本例中条件变为：关于x 的不等式f (x )≥log 2(x ＋a )在x ∈(－1,2]时恒成立，试求实数a 的取值范围．解 在同一坐标系中分别作出f (x )和y ＝log 2(x ＋a )的图象，若要使f (x )≥log 2(x ＋a )在(－1,2]上恒成立，只需y ＝f (x )的图象在x ∈(－1,2]时恒在y ＝log 2(x ＋a )的图象上方即可．则需－a ≥1，即a ≤－1.所以实数a 的取值范围为(－∞，－1]． 角度2 利用函数图象研究方程根的个数典例(2017·安阳月考)设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数，当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．8根据函数周期性用数形结合．答案 B解析 ∵f (x )是最小正周期为2π的偶函数，∴f (x ＋2π)＝f (x )＝f (－x )，∴y ＝f (x )的图象关于y 轴和直线x ＝π对称，又∵0<x <π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，∴0<x <π2时，f ′(x )<0.同理，π2<x <π时，f ′(x )>0.又∵0≤x ≤π时，0<f (x )<1，∴y ＝f (x )的大致图象如图所示．又函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数⇔函数y ＝f (x )与y ＝sin x 图象的交点个数，由图可知共有四个交点，故选B.方法技巧函数图象应用的常见题型及求解策略1．利用函数图象研究参数的取值范围时，将构造的函数图象在同一坐标系内作出，利用数形结合思想，动态地思考问题，求解参数的取值范围．2．利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．见角度1典例．3．利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标．见冲关针对训练1.冲关针对训练1．(2018·长春检测)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 答案 B解析 在同一直角坐标系下画出函数f (x )＝2ln x 与函数g (x )＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1的图象，如图所示．∵f (2)＝2ln 2>g (2)＝1，∴f (x )与g (x )的图象的交点个数为2，故选B.2．已知直线y ＝kx (k ∈R )与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x(x ≤0)，12x 2＋2(x >0)的图象恰有三个不同的公共点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(2，＋∞)答案 D解析 由图可知，当y ＝kx 在第一象限与f (x )相切时，有两个交点，即当x >0时，y ＝kx 与y ＝12x 2＋2有一个交点，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝12x 2＋2⇒12x 2－kx ＋2＝0，x >0时，Δ＝0，∴k ＝2.要使y ＝kx 与函数f (x )的图象有三个交点，所以k 的取值范围为(2，＋∞)，故选D.1.(2017·浙江高考)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 D解析 观察导函数f ′(x )的图象可知，f ′(x )的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f (x )的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察选项可知，排除A ，C. 如图所示，f ′(x )有3个零点，从左到右依次设为x 1，x 2，x 3，且x 1，x 3是极小值点，x 2是极大值点，且x 2>0，故选项D 正确．故选D.2．(2017·湖北百所重点学校联考)函数y ＝x 2ln |x ||x |的图象大致是( )答案 D解析 从题设提供的解析式中可以看出x ≠0，且当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝1＋ln x ，可知函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增．故选D. 3．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 B解析 当点P 与C 、D 重合时，易求得PA ＋PB ＝1＋5；当点P 为DC 的中点时，有OP⊥AB ，则x ＝π2，易求得PA ＋PB ＝2PA ＝2 2.显然1＋5>22，故当x ＝π2时，f (x )没有取到最大值，则C ，D 两项错误；又当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，不是一次函数，排除A ，故选B.4．(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．答案 (3，＋∞)解析 f (x )的大致图象如图所示，要满足存在b ∈R ，使得方程f (x )＝b 有三个不同的根，只需4m －m 2<m ，又m >0，所以m >3.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．为了得到函数y ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象，可以把函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象( )A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度答案 D解析 y ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1，故它的图象是把函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象向右平移1个单位长度得到的．故选D.2．(2017·山西太原二模)函数f (x )＝ln |x －1||1－x |的图象大致为( )答案 D解析 函数f (x )＝ln |x －1||1－x |的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且图象关于x ＝1对称，排除B 、C ；取特殊值，当x ＝12时，f (x )＝2ln 12<0，故选D.3．函数f (x )＝ln (x 2＋1)的图象大致是( )答案 A解析 依题意，得f (－x )＝ln (x 2＋1)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，即函数f (x )的图象关于y 轴对称，故排除C ；因为函数f (x )过定点(0,0)，排除B ，D ，故选A.4．(2017·乐山模拟)函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (π)＝( )A ．4B ．2 3C ．2 D. 3 答案 A解析 由函数的图象可得A ＝2，根据半个周期T 2＝12·2πω＝5π12＋π12，解得ω＝2.由图象可得当x ＝－π12时，函数无意义，即函数的分母等于零，即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝0.再由|φ|<π2，可得φ＝π6，故函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴f (π)＝4，故选A.5．(2017·北京模拟)已知函数若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(0,1]答案 D解析 作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示： 由图可知k ∈(0,1]，故选D.6．(2018·山东日照一模)现有四个函数①y ＝x sin x ，②y ＝x cos x ，③y ＝x |cos x |，④y ＝x 2x的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是( )A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②① 答案 A解析 ①y ＝x sin x 在定义域上是偶函数，其图象关于y 轴对称；②y ＝x cos x 在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称；③y ＝x |cos x |在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称，且当x >0时，其函数值y ≥0；④y ＝x 2x在定义域上为非奇非偶函数，且当x >0时，其函数值y >0，且当x <0时，其函数值y <0.故选A.7．(2015·浙江高考)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )答案 D解析 解法一：(性质＋特值排除法)该函数的定义域为[－π，0)∪(0，π]，显然定义域关于原点对称．函数y ＝x －1x是奇函数，y ＝cos x 为偶函数，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x 为奇函数，所以排除A 、B ；取x ＝π，则f (π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1πcosπ＝－⎝⎛⎭⎪⎫π－1π<0，故排除C.故选D.解法二：(特值排除法)f (π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1πcosπ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1π<0，故可排除A 、C ；而f (－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－1－π·cos(－π)＝⎝⎛⎭⎪⎫π－1π>0，故排除B.故选D. 8．(2017·达州期末)已知函数f (x )＝x cos x ，f ′(x )是f (x )的导数，同一坐标系中，f (x )和f ′(x )的大致图象是( )答案 C解析 由于f (x )＝x cos x ， ∴f ′(x )＝cos x －x sin x ，当x ＝0时，f (0)＝0，f ′(0)＝1，排除B 、D ；当f ′(x )>0时，f (x )是增函数，曲线是上升的，f ′(x )<0时，f (x )是减函数，曲线是下降的，判断出C 是正确的，排除A.故选C.9．(2018·郑州模拟)函数y ＝11－x 的图象与函数y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案 D解析 图象法求解．在同一坐标系中，分别作出函数y ＝11－x与y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的图象，y ＝－1x －1的对称中心是(1,0)，也是y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的中心，当－2≤x ≤4它们的图象在x ＝1的左侧有4个交点，则x ＝1右侧必有4个交点．不妨把它们的横坐标由小到大设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8，则x 1＋x 8＝x 2＋x 7＝x 3＋x 6＝x 4＋x 5＝2，所以选D.10．(2017·杭州五校联盟诊断)若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1，x >0，－ln (－x )，x <0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D ．(0，＋∞)答案 B解析 依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y ＝f (x )的图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y ＝－ln (－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象， 使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可．当直线y ＝kx －1与y ＝ln x 的图象相切时，设切点为(m ，ln m )， 又y ＝ln x 的导数为y ′＝1x，则km －1＝ln m ，k ＝1m，解得m ＝1，k ＝1，可得函数y ＝ln x (x >0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1，结合图象可知k ∈(0,1)时两函数图象有两个交点．故选B.二、填空题11．(2018·咸阳模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．答案 5解析 由2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1，作出函数y ＝f (x )的图象．由图象知y ＝12与y ＝f (x )的图象有2个交点，y ＝1与y ＝f (x )的图象有3个交点．因此函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点有5个．12．设函数f (x )，g (x )的定义域分别为F ，G ，且F G .若对任意的x ∈F ，都有g (x )＝f (x )，则称g (x )为f (x )在G 上的一个“延拓函数”．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x (x ≤0)，若g (x )为f (x )在R 上的一个延拓函数，且g (x )是偶函数，则函数g (x )的解析式为________．答案 g (x )＝2|x |解析 画出函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ≤0)的图象关于y 轴对称的这部分图象，即可得到偶函数g (x )的图象，由图可知：函数g (x )的解析式为g (x )＝2|x |.13．(2018·南昌大联考)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析 先画出y ＝x 2－2x ＋12在区间[0,3)上的图象，再将x 轴下方的图象对称到x 轴上方，利用周期为3，将图象平移至区间[－3,4]内，即得f (x )在区间[－3,4]上的图象如图所示，其中f (－3)＝f (0)＝f (3)＝0.5，f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0.5.函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)等价于y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有10个不同的交点，由图象可得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.14．(2017·湖北百所重点学校联考)设函数f (x )对任意实数x 满足f (x )＝－f (x ＋1)，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，若关于x 的方程f (x )＝kx 有3个不同的实数根，则k 的取值范围是________．答案 (5－26，1)∪{－3＋22}解析 因f (x )＝－f (x ＋1)，故f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )是周期为2的周期函数，画出函数y ＝f (x )，x ∈[0,1]的图象，再借助函数满足的条件f (x )＝－f (x ＋1)及周期性，画出函数y ＝f (x )的图象如图，易知仅当直线y ＝kx 位于l 1与l 2之间(不包括l 1，l 2)或与l 3重合时满足题意，对y ＝x (1－x )求导得y ′＝1－2x ，y ′|x ＝0＝1，∴l 2的斜率为1.以下求l 3的斜率：当1≤x ≤2时，易得f (x )＝－f (x －1)＝－(x －1)[1－(x －1)]＝x 2－3x ＋2，令x 2－3x ＋2－kx ＝0，得x 2－(3＋k )x ＋2＝0，令Δ＝(3＋k )2－8＝0，解得k ＝－3±22，由此易知l 3的斜率为－3＋2 2.同理，由2≤x ≤3时，f (x )＝－x 2＋5x －6，可得l 1的斜率为5－2 6.综上，5－26<k <1或k ＝－3＋22，故应填(5－26，1)∪{－3＋22}．三、解答题15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象； (2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值． 解 (1)函数f (x )的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，0]，[2,5]． (3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.16．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}． 解 (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1<x <3，∴f (x )的图象如图所示．(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3)，(1,2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3)是减区间；(1,2]，[3，＋∞)是增区间．(3)由f (x )的图象知，当0<m <1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0<m <1}．。
姓名，年级：时间：第11讲导数在研究函数中的应用第1课时利用导数研究函数的单调性函数的单调性与导数的关系1．概念辨析（1)若函数f(x)在（a，b)内单调递增，那么一定有f′（x)〉0.（)(2）如果函数f（x)在某个区间内恒有f′（x）＝0，则f(x）在此区间内没有单调性．( )（3)可导函数f(x)在（a，b)上是增（减）函数的充要条件是：对∀x∈(a，b),都有f′（x）≥0(f′(x)≤0)且f′（x)在（a,b）上的任何子区间内都不恒为零．( )答案（1）×(2）√（3)√2．小题热身(1）如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′（x）的图象，则下面判断正确的是（)A．在区间(－2，1）上f（x)是增函数B．在区间（1,3)上f(x）是减函数C．在区间（4,5)上f(x）是增函数D．当x＝2时,f（x）取到极小值答案C解析观察y＝f′(x)的图象可知,f（x)在区间（－2，1）上先减后增，在区间（1,3)上先增后减,在区间（4，5）上是增函数，当x＝2时，f(x)取到极大值，故只有C正确．（2）f(x）＝x3－6x2的单调递减区间为（）A．(0,4) B．（0，2）C．（4，＋∞）D．(－∞，0）答案A解析f′(x）＝3x2－12x＝3x(x－4),由f′（x）<0得0<x<4，所以f（x）的单调递减区间为(0，4）．（3)函数f(x)＝(x－3）e x的单调递增区间是（）A．(－∞，2) B．（0,3）C．(1，4) D．（2，＋∞）答案D解析函数f(x）＝(x－3)e x的导数为f′（x）＝［（x－3)e x]′＝e x＋(x－3)e x＝（x－2)e x。
由函数导数与函数单调性的关系，得当f′（x）〉0时，函数f（x）单调递增,此时由不等式f′（x)＝（x－2)e x>0，解得x〉2.(4)已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞）上是增函数，则a的最大值是________．答案3解析由题意得,f′（x)＝3x2－a≥0对x∈［1，＋∞）恒成立，即a≤3x2对x∈［1，＋∞）恒成立，所以a≤3.经检验a＝3也满足题意，所以a的最大值是3.题型错误!不含参数的函数的单调性错误!1．已知函数f（x)＝x ln x，则f（x)( ）A．在(0，＋∞）上单调递增B．在(0，＋∞）上单调递减C．在错误!上单调递增D．在错误!上单调递减答案D解析f′(x)＝x′ln x＋x（ln x）′＝ln x＋1。
第一节函数及其表示[考纲传真] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用．1．函数与映射的概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．[常用结论]简单函数定义域的类型(1)f(x)为分式型函数时，分式分母不为零；(2)f(x)为偶次根式型函数时，被开方式非负；(3)f(x)为对数型函数时，真数为正数、底数为正且不为1；(4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}； (5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)正切函数y ＝tan x 的定义域为xx ≠k π＋π2，k ∈Z.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射．( )(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( ) (3)对于函数f ：A →B ，其值域就是集合B .( ) (4)f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× 2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.]3．(教材改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )B [∵M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}， ∴y ＝f (x )图象只可能是B.]4．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝3x 3与g (x )＝x 2B ．f (x )＝|x |与g (x )＝(x )2C ．f (x )＝x 2－1x －1与g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x 0与g (x )＝1xD [在选项A 中，由f (x )＝3x 3＝x 与g (x )＝x 2＝|x |的对应法则不同；对于选项B ，f (x )＝|x |的定义域为R ，g (x )＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}，故定义域不同；在选项C 中，f (x )＝x 2－1x －1的定义域为{x ∈R|x ≠1}，而g (x )＝x ＋1的定义域为R ，故两函数的定义域不同；对于选项D ，f (x )＝x 0＝1(x ≠0)，g (x )＝1x0＝1(x ≠0)，定义域和对应法则都相同，故选D.]5．(教材改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧xx ＋4，x ≥0，xx －，x ＜0，则f (1)＝________；若f (a )＝5，则a＝________.5 ±1 [f (1)＝5.当a ≥0时，由f (a )＝a 2＋4a ＝5可知a ＝1； 当a ＜0时，由f (a )＝a 2－4a ＝5得a ＝－1. 综上可知a ＝±1.]函数的定义域【例1】 (1)在下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2xD ．y ＝1x(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 018]，则函数g (x )＝f x ＋x －1的定义域是( )A ．[－1,2 017]B ．[－1,1)∪(1,2 017]C ．[0,2 018]D ．[－1,1)∪(1,2 018](1)D (2)B [(1)y ＝10lg x＝x ，定义域与值域均为(0，＋∞)．y ＝x 的定义域和值域均为R ；y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ； y ＝2x 的定义域为R ，值域为(0，＋∞)； y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.(2)令t ＝x ＋1，则由已知函数y ＝f (x )的定义域为[0，2 018]可知f (t )中0≤t ≤2 018，故要使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 018，解得－1≤x ≤2 017，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1,2 017]．所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 017，x －1≠0，解得－1≤x ＜1或1＜x ≤2 017.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 017]．]求给定函数的定义域往往转化为解不等式组的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍.求抽象函数的定义域：①若x 的定义域为a ，b ，则解不等式x ＜b即可求出g x 的定义域；②若y ＝f g x的定义域为a ，，则求出g x在a ，b 上的值域即得fx 的定义域.已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解 (1)函数f (x )＝1－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13(2)已知函数f (2x)的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________．(1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 [(1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，x ＞－13，∴－13＜x ＜1，故选A.(2)∵f (2x)的定义域为[－1,1]， ∴12≤2x ≤2，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.]求函数的解析式【例2】 (1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式； (3)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式；(4)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式． [解] (1)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，令t ＝x ＋1x，当x ＞0时，t ≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号；当x ＜0时，t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ≤－2，当且仅当x ＝－1时取等号，∴f (t )＝t 2－2，t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．综上所述，f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(2)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1)． (3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32，∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(4)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋2f (x )＝1x.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x ，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法配凑法：由已知条件g x＝x ，可将x 改写成关于x 的表达式，然后以x x ，便得f x 的解析式.换元法：已知复合函数f g x 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.消元法：f x 与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f －x 的表达式，个等式，通过解方程组求出f x(1))是一次函数，且f [f (x )]＝A ．x ＋1 B ．2x －1 C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －1(2)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )＝________. (1)A (2)23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)[(1)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，又f [f (x )]＝x ＋2， 得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2. ∴k 2＝1，且kb ＋b ＝2，解得k ＝b ＝1，则f (x )＝x ＋1. (2)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 将x 换成－x ，则－x 换成x ， 得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．]分段函数►考法1 求分段函数的函数值【例3】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ≤0，log 12x ，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 216＝________. 8 [由题可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 12 14＝2，因为log 216＜0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 16＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 216＝2log 26＝6，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 216＝8.]►考法2 已知分段函数的函数值求参数 【例4】 (2017·山东高考)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，x －，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8C [∵f (a )＝f (a ＋1)，∴⎩⎨⎧0＜a ＜1，a ＝a ＋－1]，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a －＝a ＋－1]，即⎩⎨⎧0＜a ＜1，a ＝2a ，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，2a －2＝2a ，∴a ＝14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝6.] ►考法3 解与分段函数有关的方程或不等式【例5】 (2019·福州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜2，2xx ＋3，x ≥2，若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是________．(0,2)∪(3，＋∞) [∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜2，2xx ＋3，x ≥2且f (x 0)＞1，此不等式转化为⎩⎪⎨⎪⎧x 0＜2，2x 0＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0≥2，2x 0x 0＋3＞1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＜2，2x 0＞20，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0≥2，x 0－3x 0＋3＞0，解之得0＜x 0＜2或x 0＞3.∴x 0的取值范围是(0,2)∪(3，＋∞)．] 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现f a的形式时，应从内到外依次求值已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围易错警示：当分段函数自变量的范围不确定时，应分类讨论(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，f x ＋，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________；(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －1，x ≥0，1x ，x ＜0，若f (a )≤a ，则实数a 的取值范围是________．(1)log 3 2 (2)[－1，＋∞) [(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝f (－2＋2)＝f (0)＝f (0＋2)＝f (2)，∴f (2)＝log 3 2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝log 3 2. (2)当a ≥0时，由f (a )＝12a －1≤a ，解得a ≥－2，即a ≥0；当a ＜0时，由f (a )＝1a ≤a ，解得－1≤a ≤1，即－1≤a ＜0.综上所述，实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．]1．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2－x ，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A ．3 B ．6 C ．9D ．12C [∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log212－1＝122＝6. ∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.]2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＞1的x 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ [当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14， ∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.]。
