3.3可能性和概率

3.3 几何概型第2课时导入新课设计思路一：〔问题导入〕以下图是卧室与书房地砖示意图，图中每一块地砖除颜色外完全一样，小猫分别在卧室与书房中自由地走来走去.在哪个房间里，小猫停留在黑砖上概率大？卧室〔书房〕设计思路二：〔情境导入〕在概率论开展早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果随机试验是不够，还必须考虑有无限多个试验结果情况.例如一个人到单位时间可能是8：00 至9：00之间任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中任何一点……这些试验可能出现结果都是无限多个.推进新课新知探究对于导入思路一：由于地砖除颜色外完全一样，小猫自由地走来走去，因此，小猫可能会停留在任何一块地砖上，而且在任何一块地砖上停留可能性一样，对于这样一个随机事件概率，有如下结论：对于一个随机试验，如果我们将每个根本领件理解为从某特定几何区域内随机地抽取一点，而该区域内每一点被取到时机都一样，这样就可以把随机事件与几何区域联系在一起.如果每个事件发生概率只与构成该事件区域长度〔面积或体积〕成比例，那么称这样概率模型为几何概率模型，简称几何概型.几何概型与古典概型一样也是一种等可能事件概率模型，它特点是：〔1〕试验中所有可能出现结果，也就是根本领件有无限多个. 〔2〕根本领件出现可能性相等.实际上几何概型是将古典概型中有限性推广到无限性，而保存等可能性，这就是几何概型.几何概型概率计算方法如下：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内〞为事件A ，那么事件A 发生概率为P(A)= .这里要求D 测度不为0，其中“测度〞意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形与立体图形时，相应“测度〞分别是长度、面积与体积等.对于导入思路二：〔1〕几何概率模型：如果每个事件发生概率只与构成该事件区域长度〔面积或体积〕成比例，那么称这样概率模型为几何概率模型.〔2〕几何概型概率公式：P 〔A 〕=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A . 〔3〕几何概型特点：1°试验中所有可能出现结果〔根本领件〕有无限多个.2°每个根本领件出现可能性相等.应用例如思路1例1 取一个边长为2a 正方形及其内切圆〔如下图〕，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内概率.分析：由于是随机丢豆子，故可以认为豆子落入正方形内任意一点都是时机均等，这符合几何概型条件，可以看成几何概型.于是利用几何概型求概率公式，豆子落入圆中概率应该等于圆面积与正方形面积比.解：记“豆子落入圆内〞为事件A ，那么 P(A)=4422ππ==a a 正方形面积圆的面积. 答：豆子落入圆内概率为4π.点评：在解题时，首先要区分是古典概型还是几何概型，这两种随机事件概率类型虽然每一个事件发生都是等可能，但是几何概型是有无数个根本领件情形，古典概型是有有限个根本领件情形.此外，本例可以利用计算机模拟，过程如下：〔1〕在Excel 软件中，选定A1，键入“=〔rand 〔〕-0.5〕*2”. 〔2〕选定A1，按“ctrl+C〞.选定A2～A1 000，B1～B1 000，按“ctrl+V〞.此时，A1～A1 000，B1～B1 000均为［-1，1］区间上均匀随机数.〔3〕选定D1，键入“=power 〔A1，2〕+ power 〔B1，2〕〞；再选定D1，按“ctrl+C〞；选定D2～D1 000，按“ctrl+V〞，那么D列表示A2+B2.〔4〕选定F1，键入“=IF〔D1＞1，1，0〕〞；再选定F1，按“ctrl+C〞；选定F2～F1 000，按“ctrl+V〞，那么如果D列中A2+B2＞1，F列中值为1，否那么F列中值为0.〔5〕选定H1，键入“FREQUENCY〔F1：F10，0.5〕〞，表示F1～F10中小于或等于0.5个数，即前10次试验中落到圆内豆子数；类似，选定H2，键入“FREQUENCY〔F1：F20，0.5〕〞，表示前20次试验中落到圆内豆子数；选定H3，键入“FREQUENCY 〔F1：F50，0.5〕〞，表示前50次试验中落到圆内豆子数；选定H4，键入“FREQUENCY〔F1：F100，0.5〕〞，表示前100次试验中落到圆内豆子数；选定H5，键入“FREQUENCY〔F1：F500，0.5〕〞，表示前500次试验中落到圆内豆子数；选定H6，键入“FREQUENCY〔F1：F1 000，0.5〕〞，表示前1 000次试验中落到圆内豆子数.〔6〕选定I1，键入“H1*4/10〞，表示根据前10次试验得到圆周率π估计值；选定I2，键入“H2*4/10〞，那么I2为根据前20次试验得到圆周率π估计值；类似操作，可得I3为根据前50次试验得到圆周率π估计值，I4为根据前100次试验得到圆周率π估计值，I5为根据前500次试验得到圆周率π估计值，I6为根据前1 000次试验得到圆周率π估计值.如图：例2 如图，在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC概率.分析：在线段AB上取一点C′，使得线段AC′长度等于线段AC长度.那么原问题就转化为求AM小于AC′概率.所以，当点M 位于以下图中线段AC′上时，AM＜AC，故线段AC′即为区域d.区域d测度就是线段AC′长度，区域D测度就是线段AB长度.解：在AB上截取AC′=AC.于是P(AM<AC)=P(AM<AC′)=.2.答：AM小于AC′概率为2变式训练：假设将例2改为：如以下图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM小于AC概率.解：此时，应该看作射线CM落在∠ACB内部是等可能.公式中区域D是∠ACB〔内部〕，而区域d求法应该与原题是一样，即在线段AB上取一点C′，使得线段AC′长度等于线段AC长度〔如图〕，那么区域d就是∠ACC′〔内部〕.从而区域d测度就是∠ACC′度数，区域D测度就是∠ACB度数.∠ACC′==67.5°，所以所求事件概率为.点评：由此可见，背景相似问题，当等可能角度不同时，其概率是不一样.此题可参考习题3.3第6题.例3 (会面问题)甲、乙二人约定在12 点到下午5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去.设二人在这段时间内各时刻到达是等可能，且二人互不影响.求二人能会面概率.分析：两人相约时间都是5小时，设X ,Y 分别表示甲、乙二人到达时刻，因此，0≤X≤5,0≤Y≤5，这样两人到达时刻就构成一个正方形，而两人能会面必须满足|X －Y|≤1，而这个不等式所表示是一个带状，位于正方形内图形，由于两人到达时刻是随机，而且，在每一个时刻到达可能性是一样，因此，符合几何概型所具有特点，可以运用几何概型概率计算方法来计算.解：记A={二人能会面}.以 X ,Y 分别表示甲、乙二人到达时刻，于是0≤X≤5,0≤Y≤5,即点M 落在图中阴影局部.所有点构成一个正方形，即有无穷多个结果.由于每人在任一时刻到达都是等可能，所以落在正方形内各点是等可能，符合几何概型条件.二人会面条件是：|X －Y|≤1,故正方形面积为5×5=25，阴影局部面积为5-2×21×42259. 点评： 建立适当数学模型，是解决几何概型问题关键.对于“碰面问题〞可以模仿此题建立数学模型.例4 如图，随机投掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖既不扎在黑色靶心，也不扎在两个区域之间，更不会脱靶，求飞镖扎在以下区域概率：(1)编号为25区域；(2)编号在6到9之间区域；(3)编号为奇数区域.〔每一个小区域面积一样〕分析：由于飞镖是随机投掷到靶子上，并且落在靶子每一个位置可能性一样，因此，符合几何概型特点.解： 假设靶子每一个区域面积为1个单位，那么靶子所在圆面积为28个单位.〔1〕记事件A 为“飞镖扎在编号为25区域〞，那么P(A)= 281. 〔2〕记事件B 为“飞镖扎在编号为6到9之间区域〞，那么P(B)= .〔3〕记事件C 为“飞镖扎在编号为奇数区域〞，那么P(C)=.答：〔1〕飞镖扎在编号为25区域概率为281；(2)飞镖扎在编号在6到9之间区域概率为71；(3)飞镖扎在编号为奇数区域概率为21. 点评：仔细研读题目，从题目提供信息进展分析，寻找适当解题方法，是解决此题要害所在.思路2例1 在1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病种子，从中随机取出10 mL ，含有麦诱病种子概率是多少分析：病种子在这1 L 种子中分布可以看作是随机，取得10 mL 种子可视为区域d ，所有种子可视为区域D.解：取出10 mL 麦种，其中“含有病种子〞这一事件记为A ，那么 P(A)=1001100010==所有种子的体积取出种子的体积. 答：含有麦诱病种子概率为1001. 点评：由于病种子是随机地处在容器中，它可以位于容器任何一个位置，而且在每一个位置可能性一样，符合几何概型特点，所以运用几何概型概率计算方法来解决此题.例2 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30～7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作时间在早上7:00～8:00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)概率是多少？分析：由于两人到达与离开时刻是随机，而且，在每一个时刻到达或离开可能性是一样，因此，符合几何概型所具有特点，可以运用几何概型概率计算方法来计算.解：如图，以横坐标x表示报纸送到时间，纵坐标y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系，假设随机试验落在方形区域内任何一点是等可能，所以符合几何概型条件.根据题意，只要点落到阴影局部，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A发生，所以P(A)==87.5%.点评：建立适当数学模型，该模型符合几何概型特点，这是解答此题关键所在.另外我们还可以运用计算机产生随机数来模拟该试验.设X是0到1之间均匀随机数，Y也是0到1之间均匀随机数.如果Y+7＞X+6.5，即Y＞X-0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸.计算机模拟方法：〔1〕选定A1，键入函数“=rand〔〕〞；〔2〕选定A1，按“ctrl+C〞，选定A2～A50，B1～B50，按“ctrl+V〞.此时，A1～A50，B1～B50均为［0，1］区间上均匀随机数.用A列数加7表示父亲离开家时间，B列数加6.5表示送报人送到报纸时间.如果A+7＞B+6.5，即A-B＞-0.5，那么表示父亲在离开家前能得到报纸.〔3〕选定D1，键入“=A1-B1”；再选定D1，按“ctrl+C〞，选定D2D50，按“ctrl+V〞.〔4〕选定E1，键入函数“=FREQUENCY〔D1：D50，-0.5〕〞，E1表示统计D列中小于或等于-0.5数个数，即父亲在离开家前不能得到报纸频数.〔5〕选定F1，键入“=〔50-E1〕/50.F1表示统计50次试验中，父亲在离开家前能得到报纸频率.下面是我们在计算机上做50次试验，得到结果是P(A)=0.88，如图：例3 假设一个直角三角形两直角边长都是0到1之间随机数，试求斜边长小于34事件概率.分析：由于直角边长是0到1之间随机数，因此设两直角边长分别为x,y，而x,y满足0≤x≤1,0≤y≤1，斜边长=，x,y可以落在0≤x≤1,0≤y≤1所表示图形任何一个位置，而且在每个位置可能性一样，满足几何概型特点.解：设两直角边长分别为x,y，那么0≤x≤1,0≤y≤1，斜边长=，如右图，样本空间为边长是1正方形区域，而满足条件事件所在区域面积为.因此，所求事件概率为P=.点评：根据条件，构造满足题目条件数学模型，再运用几何概型概率计算方法来计算某个事件发生概率，是一种常用求解概率问题方法.例4 甲、乙两人相约于中午12点到13点之间在某一个地方碰面，并约定先到者等候20分钟后可以离开，试设计模拟方法估计两人能碰面概率.分析：当两人到达碰面地点时间相差在20分钟之内时，两人能碰面.我们可以用两个转盘来模拟两人到达碰面地点时间.解： 运用转盘模拟方法.具体步骤如下：〔1〕做两个带指针〔分针〕转盘，标上刻度在0到60来表示时间，如右图；〔2〕每个转盘各转m 次，并记录转动得到结果，以第一个转盘结果x 表示甲到达碰面地点时间，以第二个转盘结果y 表示乙到达碰面地点时间；〔3〕统计两人能碰面〔满足|x －y|<20〕次数n ；〔4〕计算m n 值，即为两人能碰面概率近似值〔理论值为95〕. 点评：实施模拟方法除了转盘模拟方法外，还可以运用现代信息技术即计算机来模拟，具体操作如下：〔1〕新建一个电子表格文件，在A1位置输入：=RAND( )60，产生一个0到60随机数x ；〔2〕将A1位置处表达式复制到B1处，这样又产生一个0到60随机数y ；〔3〕在C1位置处输入：=IF 〔A1-B1<=-20，0，IF 〔A1-B1<20，1，0〕，判断两人能否碰面〔即是否满足|x －y|<20〕，如果是，就返回数值1，否那么返回数值0；〔4〕将第一行三个表达式复制100行，产生100组这样数据，也就是模拟了100次这样试验，并统计每次结果；〔5〕在C101处输入：=SUM(C1:C100)/100统计这100次重复试验中正好两人能碰面频率，即事件“两人能碰面〞发生概率近似值.知能训练课本本节练习4、5.解答:4.设A={射线OA落在∠xOT内}.因为射线OA落在∠xOT内是随机，也就是射线OA可以落在∠xOT内任意一个位置，这符合几何概型条件，区域d测度是60，区域D测度是360，根据几何概型概率计算公式，得P(A)=.5.运用计算机模拟结果大约为2.7左右.点评：根据实际问题背景，判断是否符合几何概型特点，如是那么选择符合题意“测度〞，运用求几何概型概率方法来解决问题，此外我们还可以设计符合问题模拟方法来模拟得到问题近似解.课堂小结在这节课上我们主要是运用几何概型求解一些问题概率，以及运用模拟方法求某一个事件概率近似值.结合上节课内容可以知道，几何概型概率问题仍然是随机事件概率，与古典概型区别是古典概型所含根本领件个数是有限个，而几何概型所包含根本领件个数是无限.对于几何概型我们着重研究如下几种类型：〔1〕与长度有关几何概型；〔2〕与面积有关几何概型；〔3〕与体积有关几何概型；(4)与角度有关几何概型.其中我们对与面积有关几何概型与与体积有关几何概型要求重点掌握.作业课本习题3.3 4、5、6.设计感想几何概型是区别于古典概型又一随机事件概率模型，在解决实际问题时首先根据问题背景，判断该事件是属于古典概型还是几何概型，这两者区别在于构成该事件根本领件个数是有限个还是无限个.在使用几何概型概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生概率只与构成该事件区域长度成比例.随机数在日常生活中，有着广泛应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣量〔如概率值、常数〕有关，然后设计适当试验，并通过这个试验结果来确定这些量.这种方法也是我们研究问题常用方法.习题详解1.记A={灯与两端距离都大于2 m}.因为把一盏灯挂在绳子上位置是随机，也就是说灯挂在绳子上位置可以是绳子上任意一点，这符合几何概型条件，根据P=，得P(A)= .答：灯与两端距离都大于2 m概率为13.2.记A={所投点落入小正方形内}.由于是随机投点，故可以认为所投点落入大正方形内任意一点都是时机均等，这符合几何概型条件，可以看成几何概型.于是利用几何概型求概率公式，所投点落入小正方形内概率应该等于小正方形内面积与大正方形面积比，即 P(A)=943222==大正方形面积小正方形面积. 答：所投点落入小正方形内概率为94.3.记A={所投点落在梯形内部}.由于是随机投点，故可以认为所投点落入矩形内任意一点都是时机均等，这符合几何概型条件，可以看成几何概型.于是利用几何概型求概率公式，所投点落入梯形内部概率应该等于梯形面积与矩形面积比，即 P(A)=125)2131(21=⨯⨯+⨯=b a b a a 矩形面积梯形面积. 答：所投点落在梯形内部概率为125. 4.设A={该点落在正方形内}.因为该点落在正方形内是随机，也就是该点可以落在正方形内任意一个位置，这符合几何概型条件，根据几何概型求概率计算公式，得P(A)=. 答：乘客到达站台立即乘上车概率为π21. 5.分析：直接求“硬币落下后与格线有公共点〞概率比拟困难，可以考虑先求“硬币落下后与格线无公共点〞概率，再求“硬币落下后与格线有公共点概率〞.解：因为直径等于2 cm 硬币投掷到正方形网格上是随机，也就是硬币可以落在正方形网格上任意一个位置，这符合几何概型条件.要求“硬币落下后与格线无公共点〞概率，根据几何概型求概率计算公式：P(A)=，因为每个小正方形边长都等于6 cm ，硬币直径为2 cm ，设有n 个小正方形，那么区域d 测度为n·π·12，区域D 测度n·62，故“硬币落下后与格线无公共点〞概率为，而事件“硬币落下后与格线有公共点〞是“硬币落下后与格线无公共点〞对立面，所以事件“硬币落下后与格线有公共点〞概率为1－36π.答：硬币落下后与格线有公共点概率为1－36π.6.贝特朗算出了三种不同答案，三种解法似乎又都有道理.人们把这种悖论称为概率悖论，或贝特朗奇怪论.贝特朗解法如下：解法一：任取一弦AB ，过点A 作圆内接等边三角形〔如图1〕.因为三角形内角A 所对弧，占整个圆周31.显然，只有点B 落在这段弧上时，AB 弦长度才能超过正三角形边长a ，故所求概率是31.解法二：任取一弦AB ，作垂直于AB 直径PQ.过点P 作圆内接等边三角形，交直径于N ，并取OP 中点M 〔如图2〕.容易证明QN=NO=OM=MP.我们知道，弦长与弦心距有关.一切与PQ 垂直弦，如果通过MN 线段，其弦心距均小于QN ，那么该弦长度就大于等边三角形边长，故所求概率是21.解法三：任取一弦AB.作圆内接等边三角形内切圆〔如图3〕，这个圆是大圆同心圆，而且它半径是大圆21，它面积是大圆4141. 图1 图2 图3细细推敲一下，三种解法前提条件各不一样：第一种假设了弦端点在四周上均匀分布；第二种假设弦中点在直径上均匀分布；第三种假设弦中点在小圆内均匀分布.由于前提条件不同，就导致三种不同答案.这是因为在那时候概率论一些根本概念〔如事件、概率及可能性等〕还没有明确定义，作为一个数学分支来说，它还缺乏严格理论根底，这样，对同一问题可以有不同看法，以致产生一些奇谈怪论.。

概率论的基础1 预备知识在开始介绍概率论之前，我们需要先了解一些预备知识。

1.1 集合运算概率论中经常会涉及到集合运算，因此我们需要先了解集合运算的基本概念。

集合是由一些确定的对象组成的整体。

我们用大写字母表示集合，用小写字母表示集合中的元素。

常见的集合运算有：- 并集：将两个集合的元素合起来，得到包含这两个集合所有元素的新集合。

记作A∪B。

- 交集：只将两个集合中都有的元素取出来，得到一个新的集合。

记作A∩B。

- 补集：集合A的补集是指集合U中所有不在A中的元素的集合。

记作A'或者A^c。

- 差集：从集合A中减去集合B中的元素，得到一个新的集合。

记作A-B。

1.2 条件概率在概率论中，条件概率是指在已知一种事件发生的前提下，另一种事件发生的概率。

记作P(B|A)，表示在事件A发生的情况下，事件B发生的概率。

条件概率的计算公式为：$$P(B|A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

1.3 独立性在概率论中，独立性是指两个事件的发生不会互相影响。

也就是说，当事件A发生与否对事件B发生的概率没有任何影响时，我们称事件A和事件B是独立的。

如果事件A和事件B是独立的，那么有以下公式成立：$$P(A\cap B) = P(A) \cdot P(B)$$反之，如果有以上公式成立，那么我们可以认为事件A和事件B是独立的。

2 概率的定义概率是描述随机事件发生可能性的数值。

在概率论中，我们用P(E)表示事件E发生的概率。

2.1 古典概型如果所有的结果都是等可能的，那么我们可以使用古典概型来计算概率。

例如，掷硬币和掷骰子都是古典概型，因为每一个结果都是等可能的。

在古典概型中，如果一个事件E可以由n个元素构成，且所有的元素等可能，那么事件E发生的概率就是：$$P(E) = \frac{\text{符合事件E的结果个数}}{\text{总结果个数}} = \frac{n_E}{n}$$2.2 条件概率法则如果我们已知事件B发生，在B的基础上怎么计算事件A发生的概率呢？根据条件概率公式，我们有：$$P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$这个公式被称为条件概率法则。

认识概率可能性和不可能性概率是数学中一个重要的概念，广泛应用于各个领域，包括统计学、经济学、物理学等。

而在我们日常生活中，概率也扮演着一个重要的角色。

我们经常会遇到各种可能性和不可能性，而概率正是帮助我们理解和计算这些可能性和不可能性的工具。

一、认识概率1.1 概率的定义概率是描述一个事件发生可能性的数值，它的取值范围在0到1之间。

其中，0表示不可能事件，1表示必然事件。

例如，投掷一个均匀的骰子，每个面上的数字出现的可能性相等，所以每个数字的概率为1/6。

1.2 概率的计算计算概率的方法根据具体情况而定，常见的方法有频率法、古典概型和条件概率等。

例如，频率法是通过实验的次数和事件发生的次数之比来计算概率；而古典概型是指在每次试验中所有可能结果的个数相等的情况下，计算事件发生的概率。

二、可能性和不可能性2.1 可能性可能性指的是一个事件发生的可能性大小。

当一个事件发生的概率较大时，我们会认为这个事件具有较高的可能性。

例如，明天下雨的可能性较大，我们可以带上雨伞以备不时之需。

2.2 不可能性不可能性指的是一个事件发生的可能性非常小，几乎可以忽略不计。

当一个事件发生的概率接近于0时，我们会认为这个事件几乎不可能发生。

例如，一个人投掷100次硬币都得到正面的可能性非常小，几乎可以视为不可能。

三、概率可能性和不可能性的应用3.1 统计学概率在统计学中起着重要的作用。

通过概率统计，我们可以预测和分析一系列事件的可能性，从而做出合理的决策。

例如，在市场调查中，通过样本调查可以根据概率推断出整个人群的特征。

3.2 经济学概率也广泛应用于经济学领域。

在投资决策中，通过对不同事件发生概率的评估，可以为投资者提供决策依据。

例如，根据某公司的财务状况和市场前景，评估其成功上市的可能性。

3.3 物理学概率在物理学中也有重要的应用。

量子力学是一门基于概率的物理学理论，可以用来描述微观粒子的行为。

例如，根据波函数的概率分布，可以预测微观粒子的位置和速度。

概率与统计的基本概念和计算方法概率与统计是数学中的两个重要分支，它们在各个领域中都有广泛的应用。

概率是研究随机事件发生的可能性的数学理论，而统计是通过对数据进行收集、整理、分析，从中得出结果并作出推断的数学方法。

本文将介绍概率与统计的基本概念和常用的计算方法。

一、概率的基本概念：概率是研究随机事件发生的可能性的数学理论。

在概率论中，我们使用概率来描述事件发生的可能性大小。

概率的取值范围是0到1，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。

在概率的计算中，我们使用了一些基本概念，如样本空间、随机事件、事件的概率等。

1.1 样本空间：样本空间是指试验中所有可能的结果构成的集合。

以抛硬币为例，其样本空间为{正面，反面}。

1.2 随机事件：随机事件是指在试验中某个特定结果的出现。

以抛硬币为例，正面朝上是一个随机事件。

1.3 事件的概率：事件的概率是指该事件发生的可能性大小。

概率的计算通常使用频率的概念，即事件发生的次数与试验总次数之比。

以抛硬币为例，正面朝上的概率为事件发生的次数除以总次数。

二、统计的基本概念：统计是通过对数据进行收集、整理、分析，从中得出结果并作出推断的数学方法。

在统计学中，我们使用统计量来总结和描述数据的特征。

统计学的基本概念包括总体和样本、参数和统计量等。

2.1 总体和样本：总体是指我们希望研究的全部对象或现象的集合。

样本是从总体中选取的一部分，用于对总体进行推断。

例如，我们希望了解全国人口的平均年龄，可以通过抽取一部分人口作为样本进行研究。

2.2 参数和统计量：参数是总体的特征数值，如总体均值、总体标准差等。

统计量是样本的特征数值，如样本均值、样本标准差等。

通过对样本进行统计分析，可以估计总体的参数。

三、概率的计算方法：在概率的计算中，我们主要使用了加法法则、乘法法则和条件概率等方法。

3.1 加法法则：加法法则用于计算多个事件同时发生的概率。

当事件A和事件B互斥（即不能同时发生）时，事件A或事件B发生的概率等于事件A和事件B分别发生的概率之和。

概率与概率分布概率是数学中的一个重要概念，它描述了事件发生的可能性。

在现实生活和各个学科领域中，概率都有着广泛的应用。

而概率分布则是概率理论的基础，用于描述不同事件发生的概率分布情况。

本文将介绍概率的定义，概率的性质以及概率分布的类型和应用。

一、概率的定义与性质1.1 概率的定义概率是指某个事件在特定条件下发生的可能性。

它通常用一个介于0和1之间的数值来表示，其中0代表不可能发生的事件，而1代表必然发生的事件。

概率的计算方法可以通过实验观察、理论推导或者数据统计等方式得到。

1.2 概率的性质概率具有以下几个重要的性质：1) 非负性：概率的值始终是非负的，即概率不会为负数。

2) 正则性：所有可能事件的概率之和等于1，即P(Ω) = 1，其中Ω代表样本空间。

3) 可列可加性：对于任意一组互不相容的事件Ai（i = 1,2,...,n），它们的概率之和等于各个事件概率的和，即P(A1∪A2∪...∪An) =P(A1)+ P(A2)+ ...+ P(An)。

二、概率分布的概念与类型2.1 概率分布的概念概率分布是用于描述随机变量可能取值的概率情况的函数或表格。

随机变量是实验结果的函数，它的取值是根据概率分布来确定的。

2.2 常见的概率分布类型2.2.1 离散概率分布离散概率分布是指随机变量的取值只能是离散的、有限或可数个的情况。

常见的离散概率分布有：1) 伯努利分布：描述了只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的结果。

2) 二项分布：用于描述重复n次、每次试验只有两个可能结果的情况。

3) 泊松分布：适用于描述单位时间或单位面积内随机事件发生次数的概率分布。

2.2.2 连续概率分布连续概率分布是指随机变量的取值可以是连续的、无限多个的情况。

常见的连续概率分布有：1) 均匀分布：描述在一个区间内每个取值出现的可能性相等的概率分布。

2) 正态分布：也称为高斯分布，是最常见的连续概率分布之一，广泛应用于各个领域。

五年级数学上册全教案一、第一章：小数乘法1. 教学目标1.1 理解小数乘法的意义1.2 掌握小数乘法运算的法则1.3 能够熟练进行小数乘法运算2. 教学内容2.1 小数乘法的意义2.2 小数乘法运算的法则2.3 练习小数乘法运算3. 教学步骤3.1 引入小数乘法的概念，解释其意义3.2 讲解小数乘法运算的法则，示例演示3.3 学生练习小数乘法运算，教师辅导4. 教学评价4.1 课堂练习4.2 课后作业二、第二章：分数除法1. 教学目标1.1 理解分数除法的意义1.2 掌握分数除法运算的法则1.3 能够熟练进行分数除法运算2. 教学内容2.1 分数除法的意义2.2 分数除法运算的法则2.3 练习分数除法运算3. 教学步骤3.1 引入分数除法的概念，解释其意义3.2 讲解分数除法运算的法则，示例演示3.3 学生练习分数除法运算，教师辅导4. 教学评价4.1 课堂练习4.2 课后作业三、第三章：角的初步认识1. 教学目标1.1 理解角的概念1.2 能够识别和比较不同类型的角1.3 能够使用量角器测量角的大小2. 教学内容2.1 角的概念2.2 不同类型的角2.3 量角器的使用3. 教学步骤3.1 引入角的概念，解释其定义3.2 讲解不同类型的角，示例演示3.3 学生练习使用量角器测量角的大小，教师辅导4. 教学评价4.1 课堂练习4.2 课后作业四、第四章：简易方程1. 教学目标1.1 理解简易方程的概念1.2 掌握解简易方程的方法1.3 能够熟练解简易方程2. 教学内容2.1 简易方程的概念2.2 解简易方程的方法2.3 练习解简易方程3. 教学步骤3.1 引入简易方程的概念，解释其意义3.2 讲解解简易方程的方法，示例演示3.3 学生练习解简易方程，教师辅导4. 教学评价4.1 课堂练习4.2 课后作业五、第五章：平面图形的面积1. 教学目标1.1 理解平面图形面积的概念1.2 掌握计算平面图形面积的方法1.3 能够熟练计算不同平面图形的面积2. 教学内容2.1 平面图形面积的概念2.2 计算平面图形面积的方法2.3 练习计算不同平面图形的面积3. 教学步骤3.1 引入平面图形面积的概念，解释其意义3.2 讲解计算平面图形面积的方法，示例演示3.3 学生练习计算不同平面图形的面积，教师辅导4. 教学评价4.1 课堂练习4.2 课后作业六、第六章：数据的收集与处理1. 教学目标1.1 理解数据收集与处理的意义1.2 掌握数据收集与处理的基本方法1.3 能够运用数据收集与处理解决实际问题2. 教学内容2.1 数据收集与处理的意义2.2 数据收集与处理的基本方法2.3 数据的整理与分析3. 教学步骤3.1 引入数据收集与处理的概念，解释其意义3.2 讲解数据收集与处理的基本方法，示例演示3.3 学生运用数据收集与处理解决实际问题，教师辅导4. 教学评价4.1 课堂练习4.2 课后作业七、第七章：可能性与概率1. 教学目标1.1 理解可能性与概率的概念1.2 掌握可能性与概率的计算方法1.3 能够运用可能性与概率解决实际问题2. 教学内容2.1 可能性与概率的概念2.2 可能性与概率的计算方法2.3 实际问题的可能性与概率分析3. 教学步骤3.1 引入可能性与概率的概念，解释其意义3.2 讲解可能性与概率的计算方法，示例演示3.3 学生运用可能性与概率解决实际问题，教师辅导4. 教学评价4.1 课堂练习4.2 课后作业八、第八章：多边形的面积1. 教学目标1.1 理解多边形面积的概念1.2 掌握计算多边形面积的方法1.3 能够熟练计算不同多边形的面积2. 教学内容2.1 多边形面积的概念2.2 计算多边形面积的方法2.3 练习计算不同多边形的面积3. 教学步骤3.1 引入多边形面积的概念，解释其意义3.2 讲解计算多边形面积的方法，示例演示3.3 学生练习计算不同多边形的面积，教师辅导4. 教学评价4.1 课堂练习4.2 课后作业九、第九章：小数、分数的四则混合运算1. 教学目标1.1 理解小数、分数四则混合运算的规则1.2 掌握小数、分数四则混合运算的计算方法1.3 能够熟练进行小数、分数四则混合运算2. 教学内容2.1 小数、分数四则混合运算的规则2.2 小数、分数四则混合运算的计算方法2.3 练习小数、分数四则混合运算3. 教学步骤3.1 引入小数、分数四则混合运算的概念，解释其规则3.2 讲解小数、分数四则混合运算的计算方法，示例演示3.3 学生练习小数、分数四则混合运算，教师辅导4. 教学评价4.1 课堂练习4.2 课后作业十、第十章：数学广角——鸡兔同笼1. 教学目标1.1 理解鸡兔同笼问题的意义1.2 掌握解决鸡兔同笼问题的方法1.3 能够运用解决鸡兔同笼问题解决实际问题2. 教学内容2.1 鸡兔同笼问题的意义2.2 解决鸡兔同笼问题的方法2.3 实际问题的鸡兔同笼分析3. 教学步骤3.1 引入鸡兔同笼问题的概念，解释其意义3.2 讲解解决鸡兔同笼问题的方法，示例演示3.3 学生运用解决鸡兔同笼问题解决实际问题，教师辅导4. 教学评价4.1 课堂练习4.2 课后作业十一、第十一章：总复习1. 教学目标1.1 巩固本册所学知识1.2 提高学生的综合运用能力1.3 培养学生自主学习和思考的能力2. 教学内容2.1 复习本册所学的主要知识点2.2 进行综合练习，提高学生对知识的运用能力2.3 总结学习方法，培养学生的自主学习能力3. 教学步骤3.1 引导学生回顾本册所学的主要知识点，巩固基础知识3.2 提供综合练习题，让学生运用所学知识解决问题3.3 组织学生进行总结交流，分享学习方法和经验4. 教学评价4.1 课堂练习4.2 课后作业十二、第十二章：探索与发现1. 教学目标1.1 培养学生的探索精神1.2 提高学生的创新能力1.3 培养学生的问题解决能力2. 教学内容2.1 引导学生进行数学探索活动2.2 鼓励学生发现数学规律和问题解决方法2.3 分享探索成果，提高学生的创新能力3. 教学步骤3.1 提出探索问题，引导学生进行自主探索3.2 鼓励学生尝试不同的解决方法，发现规律3.3 组织学生分享探索成果，交流经验4. 教学评价4.1 课堂练习4.2 课后作业十三、第十三章：生活中的数学1. 教学目标1.1 培养学生应用数学解决实际问题的能力1.2 提高学生的数学素养1.3 培养学生对数学的兴趣2. 教学内容2.1 引导学生关注生活中的数学问题2.2 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力2.3 分享生活中的数学故事，提高学生的数学素养3. 教学步骤3.1 提出生活中的数学问题，引导学生思考3.2 指导学生运用数学知识解决问题，培养应用能力3.3 分享生活中的数学故事，激发学生对数学的兴趣4. 教学评价4.1 课堂练习4.2 课后作业十四、第十四章：数学乐园1. 教学目标1.1 培养学生对数学的兴趣1.2 提高学生的数学素养1.3 培养学生的合作精神2. 教学内容2.1 进行数学游戏活动，让学生在游戏中学习数学2.2 设计有趣的数学题目，提高学生的数学思维能力2.3 组织学生合作完成数学任务，培养团队协作能力3. 教学步骤3.1 引入数学游戏，让学生在游戏中体验数学的乐趣3.2 设计数学题目，引导学生进行思考和解答3.3 组织学生合作完成数学任务，培养团队协作能力4. 教学评价4.1 课堂练习4.2 课后作业十五、第十五章：期末复习与考试1. 教学目标1.1 巩固全册所学知识1.2 提高学生的应试能力1.3 培养学生的自主学习和复习能力2. 教学内容2.1 复习全册所学的主要知识点2.2 进行模拟考试，提高学生的应试能力2.3 总结复习方法，培养学生的自主复习能力3. 教学步骤3.1 引导学生回顾全册所学的主要知识点，巩固基础知识3.2 提供模拟考试题目，让学生适应考试环境和节奏3.3 组织学生进行总结交流，分享复习方法和经验4. 教学评价4.1 课堂练习4.2 课后作业重点和难点解析本文为五年级数学上册的全教案，涵盖了小数乘法、分数除法、角的初步认识、简易方程、平面图形的面积、数据的收集与处理、可能性与概率、多边形的面积、小数、分数的四则混合运算、数学广角——鸡兔同笼、总复习、探索与发现、生活中的数学、数学乐园以及期末复习与考试等多个章节。