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立体几何中的向量方法教案向量方法是立体几何中的重要工具，通过引入向量的概念和定理，可以简化很多几何问题的求解过程，提高解题效率。
在立体几何中，向量方法可以用来解决线段、平面、立体体积等多个问题。
一、向量的基本概念1. 向量与点的关系：点A到点B的位移可以表示为向量AB，也可以表示为从原点O出发到点B的位移向量。
2. 向量的大小与方向：向量的大小表示为向量的模，一个向量可以有无数个方向，但是它们都具有相同的模。
3. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即两个向量之和的大小等于平行四边形的对角线的大小。
4. 向量的减法：向量的减法可以通过取其相反向量后进行加法运算来实现。
二、向量的表示法1. 坐标表示法：向量可以通过坐标表示法来表示，一个向量AB可以表示为(ABx, ABy, ABz)，其中ABx为x轴上的位移，ABy为y轴上的位移，ABz为z轴上的位移。
2. 特殊向量表示法：单位向量是模为1的向量，零向量的大小为0，方向可以是任意的。
与坐标轴平行的向量分别称为与x轴平行的单位向量i，与y轴平行的单位向量j，与z轴平行的单位向量k。
3. 共线向量与平行向量：如果两个非零向量的方向相同或相反，则它们是共线向量；如果两个非零向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
三、向量的运算1. 数乘：将一个向量与一个实数相乘，结果是一个与原向量方向相同（反向相反）的向量，且大小为原向量的大小乘以这个实数。
2. 内积：内积也叫点乘，两个向量的内积表示为A·B，结果是一个实数，大小等于两个向量的模的乘积乘以它们夹角的余弦值。
3. 外积：外积也叫叉乘，两个向量的外积表示为A×B，结果是一个向量，大小等于两个向量的模的乘积乘以它们夹角的正弦值，方向垂直于这两个向量所在平面，遵循右手法则。
四、运用向量方法求解几何问题1. 线段的中点：设直线L上有两个点A和B，求直线L上距离点A和点B的距离相等的点P。
立体几何中的向量方法教案第一章：向量基础知识回顾1.1 向量的定义介绍向量的概念，向量的表示方法（箭头表示法和平面向量表示法）。
通过实例讲解向量的长度和方向。
1.2 向量的运算向量的加法、减法和数乘运算规则。
利用图形和实例演示向量加法、减法和数乘的运算过程。
1.3 向量的坐标表示二维和三维空间中的向量坐标表示方法。
利用坐标轴上的点表示向量的起点和终点，推导向量的坐标表示。
第二章：向量在立体几何中的应用2.1 向量在空间解析几何中的应用利用向量表示空间中的点、直线和平面。
讲解如何利用向量求解空间中的距离、角度和夹角。
2.2 向量与空间几何图形的关系向量与线段、射线、直线的关系。
利用向量研究空间中点、线、面的位置关系和相互转化。
2.3 向量与空间角的计算利用向量计算空间中的角度和夹角。
讲解向量点积和向量叉积的概念，并应用于空间角的计算。
第三章：向量在立体几何中的线性方程组3.1 向量线性方程组的定义和性质介绍向量线性方程组的概念和基本性质。
讲解向量线性方程组的解的存在性和唯一性。
3.2 向量线性方程组的求解方法利用高斯消元法求解向量线性方程组。
利用矩阵和行列式的方法求解向量线性方程组。
3.3 向量线性方程组在立体几何中的应用利用向量线性方程组求解空间中的点、直线和平面的位置关系。
讲解向量线性方程组在立体几何问题中的应用实例。
第四章：向量在立体几何中的几何意义4.1 向量的模和长度向量的模和长度的定义及性质。
利用向量的模和长度研究立体几何图形的大小和形状。
4.2 向量的方向和角度向量的方向和角度的定义及性质。
利用向量的方向和角度研究立体几何图形的位置关系和角度大小。
4.3 向量的夹角和向量积向量的夹角的定义及性质。
利用向量积研究立体几何图形之间的相互关系和角度大小。
第五章：向量在立体几何中的综合应用5.1 向量在立体几何中的举例应用利用向量解决立体几何中的距离和角度问题。
利用向量求解空间中的点、直线和平面的位置关系。
要求层次重难点柱、锥、台、球及其简单组合体A⑴空间几何体①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．②能画出简单空间图形的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图．③会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．④会画某些建筑物的视图与直观图．⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）．⑵点、直线、平面之间的位置关系①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解以作为推理依三视图 B 斜二侧法画简单空间图形的直观图B 球、棱柱、棱锥的表面积和体积A 空间线、面的位置关系 B公理l、公理2、公理3、公理4、定理* A高考要求第九讲立体几何和空间向量知识精讲板块一：空间几何体（一）知识内容一、柱、锥、台、球1．棱柱：⑴棱柱的概念：由一个平面多边形沿某一确定方向平移形成的空间几何体．⑵棱柱的性质：棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等．⑶正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱．2．棱锥：⑴棱锥的概念：当棱柱的一个底面收缩为一个点时得到的几何体叫做棱锥．⑵正棱锥：底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥．3．棱台：⑴棱台的概念：棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台．⑵棱台的性质：棱台的各侧棱延长后交于一点，即棱台的上下底面平行且对应边成比例；⑶正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．4．圆柱、圆锥和圆台：⑴概念：将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥和圆台．⑵性质：①平行于底面的截面都是圆；②过轴截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形．5．球与球面：⑴半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球（或球体），半圆旋转而成的曲面叫做球面．球面也可看做空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合，球体可以看成到空间中一个定点的距离小于等于定长的点的集合．⑵球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆；在球面上，两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的劣弧的长度，这个弧长叫做两点间．．．的球面距离．．．．．．二、直观图与三视图1．平行投影的概念；平行投影的特殊情形正投影；2．直观图：概念：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图．画法：斜二测画法和正等测画法（都是利用平行投影）：3．三视图：俯视图；主视图；左视图．三、表面积1．直棱柱与圆柱的侧面积等于它的底面周长和高（母线）的乘积．2．正棱锥（圆锥）的侧面积等于它的底面周长和斜高（母线）乘积的一半．3．正棱台（圆台）的侧面积等于它的上下底面周长之和与斜高（母线）乘积的一半．4．球面面积等于它的大圆面积的四倍，24πS R=球，R为球的半径．四、体积1．柱体体积公式：V Sh=柱体，其中S为底面积，h为高；2．棱体体积公式：13V Sh=棱体，其中S为底面积，h为高；3．台体体积公式：1()3V h S S'=台体，其中S S'，分别是台体上，下底面的面积，h为台体的高；4．球的体积：34π3V R=球，R为球的半径．（二）典例分析：【例1】（2004全国）下面关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的序号是______．【例2】（2002北京理10）设命题甲：“直四棱柱1111ABCD A B C D-中，平面1ACB与对角面11BB D D垂直”；命题乙：“直四棱柱1111ABCD A B C D-是正方体”．那么甲是乙的（）A．充分必要条件 B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件【例3】（2008山东文理6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π俯视图侧(左)视图正(主)视图【例4】⑴（2000全国）如图，E 、F 分别为正方体的面11ADD A 、面11BCC B 的中心，则四边形1BFD E 在该正方体的面上的射影可能是图①②③④中的（要求：把可能的图的序号都．填上）．D 1C 1B 1A 1F EDC BA ④③②①⑵若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（ ）A ．B ．C ．24+D ．24+左视图俯视图主视图232【例5】 如图，在正四面体A BCD -中，E 、F 、G 分别是三角形ADC 、ABD 、BCD 的中心，则EFG ∆在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是（ ）④③②①GFECBAA ．①③B ．②③④C ．③④D ．②④【例6】 ⑴在ABC ∆中，2AB =，32BC =，120ABC ∠=︒（如图所示），若将ABC ∆绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ）A ．9π2B ．7π2C ．5π2D ．3π2⑵（2006江西） 如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A BEFD -与三棱锥A EFC -的表面积分别是1S ，2S ，则必有（ ）A ．12S S <B ．12S S >C ．12S S = D ．12S S ，的大小关系不能确定D CB AB【例7】 （2008四川文12）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60︒的菱形，则该棱柱的体积等于（ ）A．． D ．【例8】（2008辽宁）在体积为的球的表面上有A B C ，，三点，1AB =，BC =A ，C ，则球心到平面ABC 的距离为 ．【例9】 （2007全国文15）正四棱锥S ABCD -S 、A 、B 、C 、D 都在同一球面上，则该球的体积为_______．【例10】 （2008海淀二模）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱AB 和1CC 的中点，则线段EF 被正方体的内切球球面截在球内的线段长为_______．板块二：点、线、面的位置关系 （一） 知识内容一、平面的基本性质与推论1．立体几何中的集合的语言：A l ∈；A l ∉；A α∈；A α∉；l α⊂；l α⊄；l m A = ；a αβ= ．2．平面的三个公理：⑴公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．⑵公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，或说成不共线的三点确定一个平面． ⑶公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线． 3．平面基本性质的推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 二、平行1．公理4（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行；等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等． 2．直线与平面的位置关系有三种：l α⊂；l A α= ；l α∥．3．线面平行：⑴直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．⑵直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行．4．两个平面的位置关系有两种：αβ∥；l αβ= ．5．面面平行：⑴两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行． ⑵两个平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 三、垂直1．线线垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直． 2．线面垂直：⑴概念：如果一条直线和一个平面相交于点O ，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直．⑵线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． 推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． ⑶线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行． 3．面面垂直：⑴两个平面互相垂直的定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直． ⑵面面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直． ⑶面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面．（二）典例分析：【例11】 ⑴已知直线m n ，与平面αβ，，下面三个命题中正确的有______． ①m n m n αα⇒∥，∥∥；②m n n m αα⊥⇒⊥∥，；③m m αβαβ⊥⇒⊥，∥． ⑵（2008浙江）对两条不相交的空间直线a 和b ，必定存在平面α，使得（ ） A ．a α∈，b α∈ B ．a α⊂，b α∥ C ．a α⊥，b α⊥ D ．a α⊂，b α⊥【例12】 （2007浙江）若P 是两条异面直线l m ，外的任意一点，则（ ） A ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都平行 B ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直 C ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都相交 D ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都异面【例13】 如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为1AA 、11C D 的中点，⑴过D 、M 、N 三点的平面与直线11A B 交于点P ， 则线段1PB 的长为________．⑵求过D 、M 、N 三点的正方体的截面的形状；⑶求过D 、M 、N 三点的截面将正方体分成的两部分的体积之比．【例14】 在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BCC B 内一动点．①若P 到直线11C D 与它到直线BC 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是_______；（2004年北京高考）②若P 到直线11C D 的距离是它到直线BC 的距离的12，则动点P 的轨迹所在的曲线是______；③若P 到直线11C D 的距离是它到直线BC 的距离的2倍，则动点P 的轨迹所在的曲线是_____．【例15】 （2009江苏高三调研）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AB BC BC BC AB BC ⊥⊥=，，，E F G ，，分别为线段1111AC AC BB ，，的中点， 求证：⑴平面ABC ⊥平面1ABC ；⑵EF ∥面11BCC B ；⑶GF ⊥平面11AB C ．NMD 1C 1B 1A 1D CBA1A C 1B 1A 1GFE CB A【例16】（2003京皖春）如图所示，正四棱柱1111ABCD A B C D-中，底面边长为侧棱长为4．E F，分别为棱AB BC，的中点，EF BD G=．⑴求证：平面1B EF⊥平面11BDD B；⑵求点1D到平面1B EF的距离d；⑶求三棱锥11B EFD-的体积V．板块三：空间向量与立体几何（一）知识内容空间向量及其运算的相关内容与平面向量非常类似，略去；1．给定一个定点A和一个向量a，O为空间中任一确定的点，B为直线l上的点，则P在过点A且平行于向量a的直线l上⇔AP ta=⇔OP OA ta=+⇔(1)OP t OA tOB=-+这三个式子都称为直线l的向量参数方程．向量a称为该直线的方向向量．2．设直线1l和2l的方向向量分别为1v和2v，1l∥2l（或1l与2l重合）1v⇔∥2v；12l l^12v v⇔^．若向量1v和2v是两个不共线的向量，且都平行于平面α（即向量的基线与平面平行或在平面内），直线l的一个方向向量为v，则l∥α或l在α内⇔存在两个实数,x y，使12v xv yv=+．3．如果向量n的基线与平面α垂直，则向量n就称为平面α的法向量．设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，则满足0AM n⋅=的点M表示过点A且与向量n垂直的平面，0AM n⋅=称为该平面的向量表示式．4．设12n n，分别是平面αβ，的法向量，则α∥β或α与β重合⇔1n∥2n；1212n n n nαβ⇔⇔⋅=^^5．线面角：斜线和它在平面内的正射影的夹角叫做斜线和平面所成的角，是斜线与这个平面内所有直线所成角中最小的角．D1C1B1A1G FED CBA6．二面角：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；这条直线叫做二面角的棱．每个半平面叫做二面角的面．棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角，记作l αβ--． 在二面角l αβ--的棱上任取一点O ，在两个半平面内分别作射线OA l ^，OB l ^，则AOB Ð叫做二面角l αβ--的平面角．二面角的平面角的大小就称为二面角的大小．我们约定二面角的范围为[0180]︒︒，． 设1m α^，2m β^，则角12m m 〈〉，与二面角l αβ--相等或互补．（二）典例分析：【例17】 ⑴已知向量(110)a = ，，，(223)b =- ，，，若12b b b =+ ，且1b a ∥，2b a ⊥ ，则1213b b -=________．⑵下列各组向量共面的是（ ）A ．(111)a = ，，，(110)b = ，，，(101)c =，， B ．(100)a = ，，，(010)b = ，，，(001)c =，， C ．(110)a = ，，，(101)b = ，，，(011)c =，， D ．(123)a = ，，，(302)b = ，，，(425)c =，，【例18】 （2008新课标江苏）如图，设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，⑴记11D PD B λ=．当APC ∠为钝角时，求λ的取值范围．⑵若60PDA ∠=︒，求DP 与1CC 所成角的大小．【例19】 （2007东城二模）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足PM MC =． 则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（ ）B 1C 1D 1A BC D A 1PDC B AMM A B C DDCBAMCPABD【例20】 （2007东城二模）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，且2P D A B ==，E 是PB 的中点，F 是AD 的中点．⑴求异面直线PD 与AE 所成角的余弦值；⑵求证：EF ⊥平面PBC ．【例21】 如图所示，四棱锥P ABCD -中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，PA ⊥底面ABCD ，22PA AD CD AB ====，M 为PC 的中点． ⑴求证：BM ∥平面PAD ；⑵在侧面PAD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD ．⑶求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦．N P MDC BA P FED C BA习题1. 设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体． 以上四个命题中，真命题有_______．习题2. （2009扬州中学高三期末）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的体积为 ．习题3. （2003京春）一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则Rr= ．习题4. （2008湖南）设有直线m 、n 和平面α、β．下列四个命题中，正确的是（ ） A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥B ．若m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥，则αβ∥C ．若α⊥β，m α⊂，则m β⊥D ．若α⊥β，m ⊥β，m α⊄，则m α∥习题5. 已知向量(24)a x = ，，，(22)b y = ，，，若6a = ，a b ⊥，则x y +的值是（ ） A ．3-或1 B ．3或1- C ．3- D ．1家庭作业243习题6. 如图所示的几何体ABCDE 中，DA ⊥平面EAB ，CB DA ∥，2EA DA AB CB ===，EA AB ⊥，M是EC 的中点．⑴求证：DM EB ⊥；⑵求二面角M BD A --的余弦值．习题1. 下列命题正确的是（ ）A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c共线B ．向量a b c ，，共面就是它们所在的直线共面 C ．零向量没有确定的方向D ．若a b ∥，则存在唯一的实数λ使得a b λ=习题2.则球的表面积和体积的比为______．习题3. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为11A B 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN所成的角的余弦值为_______．月测备选M EDCB A。
几何---解析几何导学一、基础知识点假设Q 为椭圆上一点，x 轴正方向到射线2F Q 的到角为θ，x 轴正方向到射线1F Q 的到角为ϕ，那么22cos b F Q a c θ=+，21cos b FQ a c ϕ=−，过焦点2F 且倾斜角为α的焦点弦长为2222cos ab a c α−。
注意，这里的焦半径或者焦点弦都对应于不同的焦点，左焦点和右焦点的结果是不一样的。
这个根据倒角（由直线倾斜角直接得到）求焦半径的方法也可以适用于双曲线和抛物线，大家不妨自己推导出类似的结论。
10.圆锥曲线在其上一点的切线方程：椭圆与抛物线22221x y a b ±=在其轨迹上面一点00(,)P x y 处的切线方程为00221x x y ya b±=；抛物线22y px =在其轨迹上面一点00(,)P x y 处的切线方程为00()y y p x x =+14.直线方程问题：（1）直线系方程：假设两条相交直线1l ：111110,(0)A x B y C A B ++=⋅≠与2l ：222220,(0)A x B y C A B ++=⋅≠交于点P ，那么过P 点的直线系方程（不包括）为111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=。
（2）直线的到角公式假设直线R 的斜率存在，分别为12,k k ，且不相互垂直，那么1l 到2l 的到角θ满足2112tan 1k k k k θ−=+，1l 与2l 的夹角ϕ满足2112tan ||1k kk k ϕ−=+。
（3）点到直线的距离，平行直线间的距离 点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离为d =15.圆的问题（1）圆的切线方程过圆222()()x a y b r −+−=上一点00(,)P x y 作圆的切线，则切线的方程为200()()()()x a x a y b y b r −−+−−=，事实上，对于任意的二次方程220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=，过其上面一点00(,)P x y 作二次曲线的切线，切线方程为0000000222x x y y x x y yAx x By y CD E F ++++++++=。
立体几何中的向量方法【教学目标】1．在学习了方向向量的基础上理解平面的法向量的概念，为进一步运用打好基础；2．学会由直线的方向向量和平面的法向量的关系及向量的运算来判断或证明直线、平面的位置关系；3．学会运用直线的方向向量、平面的法向量及向量的运算来解决关于直线、平面的夹角及距离的问题（主要是关于角的问题）；4．能初步利用向量知识解决相关的实际问题及综合问题。
【教学重点】向量运算在立体几何证明与计算中的应用．【教学难点】在运用向量知识解决立体几何问题时的向量问题的转化与恰当的运算方式．【教学过程】一、双基回眸前面我们已经学习了空间向量的基本知识，并利用空间向量初步解决了一些立体几何问题，已初步感受到空间向量在解决立体几何问题中的重要作用，并从中体会到了向量运算的强大作用。
这一节，我们将全面地探究向量在立体几何中的运用，较系统地总结出立体几何的向量方法。
为此，首先简单回顾一下相关的基本知识和方法：1．直线l的方向向量的含义：.2．向量的特殊关系及夹角（最后的填空是用坐标表示）（1）a//b⇔⇔；（2）a⊥b⇔⇔；（3）a·a＝= ；（4）cos＜a,b＞＝= 。
二、创设情景前面，我们主要是利用向量的运算解决了立体几何中关于直线的问题，如：两直线垂直问题；两直线的夹角问题；特殊线段的长的问题等等……若再加入平面，会出现更多的的问题，如：线面、面面的位置关系问题；线面的夹角问题；二面角的问题等等……而且都是立体几何中的重要问题，这些问题用向量的知识怎样来解决呢？直线可由其方向向量确定并由其来解决相关的问题，平面又由怎样的向量来确定呢？——这些问题就是我们将要探究或解决的主要问题……三、合作探究同学们都知道：垂直于同一条直线的两个平面。
由此我们应该会想象出怎样的向量可确定平面的方向了……下面请同学们合作探究一下这方面的知识和方法：（一）．平面的法向量：。
（二）．直线、平面的几种重要的位置关系的充要条件：请同学们根据直线的方向向量和平面的法向量的几何意义直观地得出直线、平面的几种特殊的位置关系的充要条件（用直线的方向向量或平面的法向量来表达）设直线l , m的方向向量分别为，，平面α，β的法向量分别为，，则：l∥m⇔⇔；l⊥m⇔⇔；l∥α⇔⇔；l⊥α⇔⇔；α∥β⇔ ⇔ ；α⊥β⇔ ⇔ 。
