2020届高考数学(文科)总复习课时跟踪练：(三十七)二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 Word版含解析

课时跟踪检测（六） 二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D.34解析：选C 平面区域如图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4.得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43， |BC |＝4－43＝83.所以S △ABC ＝12×83×1＝43.2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出图形可知选C.3．(2019·杭州高三质检)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －9≥0，x －2y －1≤0，设z ＝x ＋2y ，则( )A ．z ≤0B ．0≤z ≤5C ．3≤z ≤5D ．z ≥5解析：选D 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．作出直线x ＋2y ＝0，平移该直线，易知当直线过点A (3,1)时，z 取得最小值，z min ＝3＋2×1＝5，即z ≥5.4．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 5．(2019·温州四校联考)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤2，2x －y ≤2，则可行域的面积为________，z ＝2x ＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝23，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23，易得|BC |＝4，所以可行域的面积S ＝12×4×43＝83.由图可知，当目标函数z ＝2x ＋y 所表示的直线过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23时，z 取得最大值，且z max＝2×43＋23＝103.答案：83 1031．(2018·金华四校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m .如果目标函数z ＝x －y的最小值为－1，则实数m 等于( )A ．7B ．5C ．4D ．3解析：选B 画出x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，可得直线y ＝2x －1与直线x ＋y ＝m 的交点使目标函数z ＝x －y 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x ＋y ＝m ，解得x ＝m ＋13，y ＝2m －13，代入x －y ＝－1，得m ＋13－2m －13＝－1，∴m ＝5.选B.2．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3解析：选D 因为ax －y ＋1＝0的直线恒过点(0,1)，故看作直线绕点(0,1)旋转，不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分△ABC .由题意可求得A (0,1)，B (1,0)，C (1，a ＋1)， ∵S △ABC ＝2，BC ＝|a ＋1|，BC 边上的高为AD ＝1， ∴S △ABC ＝12×|a ＋1|×1＝2，解得a ＝－5或3，∵当a ＝－5时，可行域不是一个封闭区域， 当a ＝3时，满足题意，选D.3．(2017·浙江新高考研究联盟)过点P (－1,1)的光线经x 轴上点A 反射后，经过不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0，3x ＋y －9≤0所表示的平面区域内某点(记为B )，则|PA |＋|AB |的取值范围是( )A ．(22，5)B ．[22，5]C ．[2,5]D ．[22，5)解析：选B 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0，3x ＋y －9≤0所表示的平面区域如图中阴影部分所示，点P 关于x 轴的对称点为P 1(－1，－1)，|PA |＋|AB |＝|P 1B |，过点P 1作直线x ＋y －2＝0的垂线，则|P 1B |的最小值为|－1－1－2|2＝2 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x ＋y －9＝0得B 0(2,3)，则|P 1B |的最大值为|P 1B 0|＝2＋12＋3＋12＝5.故22≤|PA |＋|AB |≤5.4．(2018·浙江名校联考)设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －2≤0，ax －y －a ≤0，若z ＝2x ＋y 的最大值为72，则a 的值为( )A ．－72B ．0C ．1D ．－72或1解析：选C 法一：由z ＝2x ＋y 存在最大值，可知a ＞－1，显然a ＝0不符合题意．作出不等式组所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分所示，作直线2x ＋y ＝0，平移该直线，易知，当平移到过直线x ＋y －2＝0与ax －y －a ＝0的交点时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，ax －y －a ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2a ＋1，y ＝aa ＋1，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2a ＋1，y ＝aa ＋1代入2x ＋y ＝72，得a ＝1.法二：由z ＝2x ＋y 存在最大值，可知a ＞－1，显然a ＝0不符合题意．作出不等式组所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分所示，作直线2x ＋y ＝0，平移该直线，易知，当平移到过直线x ＋y －2＝0与ax －y －a ＝0的交点时，z 取得最大值72，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，2x ＋y ＝72，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝12，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝12代入ax －y －a ＝0，得a ＝1.5．(2018·余杭地区部分学校测试)若函数y ＝f (x )的图象上的任意一点P 的坐标为(x ，y )，且满足条件|x |≥|y |，则称函数f (x )具有性质S ，那么下列函数中具有性质S 的是( )A ．f (x )＝e x－1 B ．f (x )＝ln(x ＋1) C ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝|x 2－1|解析：选C 作出不等式|x |≥|y |所表示的平面区域如图中阴影部分所示，若函数f (x )具有性质S ，则函数f (x )的图象必须完全分布在阴影区域①和②部分，易知f (x )＝e x－1的图象分布在区域①和③部分，f (x )＝ln(x ＋1)的图象分布在区域②和④部分，f (x )＝sin x 的图象分布在区域①和②部分，f (x )＝|x 2－1|的图象分布在①、②和③部分，故选C.6．当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由1≤ax ＋y ≤4恒成立，结合图可知，a ≥0且在A (1,0)处取得最小值，在B (2,1)处取得最大值，所以a ≥1，且2a ＋1≤4，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 7．(2018·金丽衢十二校联考)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≤0，3x －y －9≥0，y ≤3，则y ＋1x ＋1的取值范围为________． 解析：作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，y ＋1x ＋1的几何意义为可行域内一点(x ，y )与点(－1，－1)连线的斜率，故由图可知，⎝⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1min ＝0＋13＋1＝14，⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1max ＝3＋14＋1＝45，故y ＋1x ＋1的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，45.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，458．(2018·金华十校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －3y ＋6≥0，mx －y －3≤0⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＞13，当m ＝2时，z ＝|x ＋5y －6|的最大值为________；当m ＝________时，x ，y 满足的不等式组所表示的平面区域的面积为30.解析：作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －3y ＋6≥0，2x －y －3≤0所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得A (3,3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，13，C (0,2)，令a ＝x ＋5y －6，即y ＝－15x ＋65＋15a ，显然当直线过A (3,3)时，a 取得最大值，此时a ＝12， 当直线过B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，13时，a 取得最小值，此时a ＝－83， 又z ＝|a |，所以z 的最大值为12.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6＝0，mx －y －3＝0，得A ′⎝⎛⎭⎪⎫153m －1，6m ＋33m －1，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，mx －y －3＝0，得B ′⎝⎛⎭⎪⎫5m ＋1，2m －3m ＋1，如图，易得D (0，－3)，所以S △A ′B ′C ＝S △A ′CD －S △B ′CD ＝12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫153m －1－5m ＋1＝30，即9m 2＋6m －8＝0，所以m ＝23或m ＝－43(舍去)．答案：12 239．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组．(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]＜0， 即(14－a )(－18－a )＜0， 解得－18＜a ＜14.故a 的取值范围是(－18,14)．10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1. 所以z 的最大值为1， 最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a2＜2，解得－4＜a＜2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．1．(2018·浙江名校联考)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥0，y ≤－2x ＋6，则x ＋3y 的最大值为________；若x 2＋4y 2≤a 恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥0，y ≤－2x ＋6所表示的平面区域如图1中阴影部分所示，由图1可知，当u ＝x ＋3y 过点 A (2，2)时，u ＝x ＋3y 取得最大值u max ＝2＋3×2＝8.令x ＝x ′，2y ＝y ′，则原不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧12y ′≤x ′，12y ′≥0，12y ′≤－2x ′＋6，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ′－y ′≥0，y ′≥0，4x ′＋y ′－12≤0，作出可行域如图2中阴影部分所示，由图2可知，x ′2＋y ′2的最大值为原点到点B (2,4)的距离的平方，易得|OB |2＝22＋42＝20，所以a 的最小值为20.答案：8 202．某工厂投资生产A 产品时，每生产一百吨需要资金200万元，需场地200 m 2，可获利润300万元；投资生产B 产品时，每生产一百吨需要资金300万元，需场地100 m 2，可获利润200万元．现某单位可使用资金1 400万元，场地900 m 2，问：应做怎样的组合投资，可使获利最大？解：先将题中的数据整理成下表，然后根据此表设未知数，列出约束条件和目标函数.设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 百吨，利润为S 百万元， 则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤14，2x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0，目标函数S ＝3x ＋2y .作出可行域如图阴影部分所示，将目标函数S ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋S 2，这是斜率为－32，随S 变化而变化的一组平行直线．S2是直线在y 轴上的截距．由图知，使3x ＋2y 取得最大值的(x ，y )是直线2x ＋y ＝9与2x ＋3y ＝14的交点(3.25,2.50)，此时S ＝3×3.25＋2×2.50＝14.75.∴生产A 产品325吨，生产B 产品250吨时，获利最大，且最大利润为1 475万元．。

课时作业37二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、选择题1．(2021·山西临汾一中月考)不等式y (x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影局部表示)是( C )解析：由y (x ＋y －2)≥0 ,得⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0 x ＋y －2≥0或⎩⎨⎧y ≤0x ＋y －2≤0所以不等式y (x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C 项．2．点(－3 ,－1)和(4 ,－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧 ,那么实数a 的取值范围为( A )A ．(－7,24)B ．(－∞ ,－7)∪(24 ,＋∞)C ．(－24,7)D ．(－∞ ,－24)∪(7 ,＋∞)解析：由题意可知(－9＋2－a )(12＋12－a )<0 ,所以(a ＋7)·(a －24)<0 ,所以－7<a <24.3．(2021·天津卷)设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5 2x －y ≤4－x ＋y ≤1 y ≥0 那么目标函数z ＝3x ＋5y 的最||大值为( C )A ．6B ．19C ．21D ．45解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影局部所示 ,作出直线y ＝－35x ,平移该直线 ,当经过点C 时 ,z 取得最||大值 ,由⎩⎨⎧ －x ＋y ＝1 x ＋y ＝5得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2 y ＝3即C (2,3) ,所以z max ＝3×2＋5×3＝21 ,应选C.4．(2021·山东泰安检测)在平面直角坐标系xOy 中 ,M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0x －y ＋2≥0x ≥0 y ≥0所表示的区域上一动点 ,点A (－1 ,2) ,那么直线AM 斜率的最||小值为( B )A ．－23 B ．－2 C ．0 D.45解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0 x －y ＋2≥0x ≥0 y ≥0对应的平面区域如图四边形OBCD 及其内部 ,其中B (2,0) ,C (4,6) ,D (0,2)．点A (－1,2) ,当M 位于O 时 ,AM 的斜率最||小 ,此时AM 的斜率k ＝2－0－1－0＝－2 ,应选B. 5．(2021·洛阳市高三统考)在区间(0,2)内随机取一个实数a ,那么满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0 y ≥0x －a ≤0的点(x ,y )构成区域的面积大于1的概率是( C )A.18B.14C.12D.34解析：作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0 y ≥0x －a ≤0表示的平面区域如图中阴影局部所示 ,那么阴影局部的面积S ＝12×a ×2a ＝a 2>1 ,∴1<a <2 ,根据几何概型的概率计算公式得所求概率为2－12－0＝12 ,应选C.6．(2021·福州市测试)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥1x ＋2y ≤2的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(x ,y )∈D ,x －2y ≥2； p 2：∃(x ,y )∈D ,x －2y ≥3； p 3：∀(x ,y )∈D ,x －2y ≥23； p 4：∃(x ,y )∈D ,x －2y ≤－2. 其中的真命题是( A ) A ．p 2 ,p 3 B ．p 1 ,p 4 C ．p 1 ,p 2D ．p 1 ,p 3解析：不等式组表示的可行域为如下列图的阴影局部 ,由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1 x ＋2y ＝2解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43y ＝13所以M (43 ,13)．由图可知 ,当直线z ＝x －2y 过点M (43 ,13)处时 ,z 取得最||小值 ,且z min ＝43－2×13＝23 ,所以真命题是p 2 ,p 3 ,应选A.7．假设实数x ,y 满足⎩⎨⎧2x －y ≥0y ≥xy ≥－x ＋b且z ＝2x ＋y 的最||小值为4 ,那么实数b 的值为( D )A ．1B ．2C ．52D ．3解析：作出不等式组表示的平面区域如图阴影所示 ,由图可知z＝2x ＋y 在点A处取得最||小值 ,且由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝42x －y ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2∴A (1,2)．又由题意可知A 在直线y ＝－x ＋b 上 ,∴2＝－1＋b ,解得b ＝3 ,应选D.二、填空题8．(2021·全国卷Ⅲ)假设变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋y ＋3≥0x －2y ＋4≥0x －2≤0那么z ＝x ＋13y 的最||大值是3.解析：解法1：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影局部所示 ,画出直线y ＝－3x ,平移该直线 ,由图可知当平移后的直线经过直线x ＝2与直线x －2y ＋4＝0的交点(2,3)时 ,z ＝x ＋13y 取得最||大值 ,即z max ＝2＋13×3＝3.解法2：易知z ＝x ＋13y 在可行域的顶点处取得最||大值 ,由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋3＝0 x －2y ＋4＝0 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2 y ＝1 代入z ＝x ＋13y,可得z ＝－53；由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋3＝0 x －2＝0 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2 y ＝－7代入z ＝x ＋13y ,可得z ＝－13；由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0 x －2＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3代入z ＝x ＋13y ,可得z ＝3.比较可知 ,z 的最||大值为3.9．O 是坐标原点 ,点A (－1,1) ,假设点M (x ,y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2 x ≤1 y ≤2上的一个动点 ,那么OA →·OM→的取值范围是[0,2]． 解析：由题中的线性约束条件作出可行域 ,如图．其中C (0,2) ,B (1,1) ,D (1,2)．由z ＝OA →·OM →＝－x ＋y ,得y ＝x ＋z .由图可知 ,当直线y ＝x ＋z 分别过点C 和B 时 ,z 分别取得最||大值2和最||小值0 ,所以OA →·OM→的取值范围为[0,2]．10．(2021·山西八校联考)假设实数x ,y 满足不等式组⎩⎨⎧x －y ＋2≥0x ＋2y －4≥0 2x ＋y －5≤0且3(x －a )＋2(y ＋1)的最||大值为5 ,那么a＝2.解析：设z ＝3(x －a )＋2(y ＋1) ,作出不等式组表示的平面区域如图中阴影局部所示 ,由z ＝3(x －a )＋2(y ＋1)得y ＝－32x ＋3a －2＋z 2 ,作出直线y ＝－32x ,平移该直线 ,易知当直线过点A (1,3)时 ,z 取得最||大值 ,又目标函数的最||大值为5 ,所以3(1－a )＋2(3＋1)＝5 ,解得a ＝2.11．约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0 3x －2y －3≤0x ＋y －1≥0表示的平面区域为D ,假设存在点P (x ,y )∈D ,使x 2＋y 2≥m 成立 ,那么实数m 的最||大值为( A )A.18116 B．1 C.913D.12解析：如图 ,作出可行域D ,要存在点P (x ,y )∈D ,使x 2＋y 2≥m 成立 ,只需m ≤(x 2＋y 2)max .而x 2＋y 2表示可行域D 中的点与原点间距离的平方 ,由图可知 ,点A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52 94与原点间距离的平方最||大 ,所以(x 2＋y 2)max ＝18116 ,即m ≤18116 ,所以m 的最||大值为18116 ,应选A.12．(2021·福州四校联考)设x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋y －3≤02x －2y －1≤0x －a ≥0其中a >0 ,假设x －yx ＋y的最||大值为2 ,那么a 的值为( C )A.12B.14C.38D.59解析：设z ＝x －y x ＋y ,那么y ＝1－z 1＋z x ,当z ＝2时 ,y ＝－13x ,作出x ,y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3≤0 2x －2y －1≤0x －a ≥0表示的平面区域如图中阴影局部所示 ,作出直线y ＝－13x ,易知此直线与区域的边界线2x －2y －1＝0的交点为(38 ,－18) ,当直线x ＝a 过点(38 ,－18)时a ＝38 ,又此时直线y ＝1－z 1＋z x的斜率1－z 1＋z 的最||小值为－13 ,即－1＋2z ＋1的最||小值为－13 ,即z 的最||大值为2 ,符合题意 ,所以a 的值为38 ,应选C.13．(2021·山西太原五中高三第|一次模拟)假设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0 x －5y ＋10≤0 x ＋y －8≤0所表示的平面区域内存在点(x 0 ,y 0) ,使x 0＋ay 0＋2≤0成立 ,那么实数a 的取值范围是(－∞ ,－1]．解析：由不等式组所表示的平面区域(图中阴影局部)可得y >0 ,由题意得a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－x ＋2y max ,y x ＋2表示(－2,0)与平面区域内(x ,y )两点连线的斜率 ,可得37≤y x ＋2≤1 ,所以－73≤－x ＋2y ≤－1 ,所以a ≤－1.尖子生小题库 - -供重点班学生使用普通班学生慎用14．实数x ,y 满足⎩⎨⎧y ≥x ＋2x ＋y ≤6x ≥1那么z ＝2|x －2|＋|y |的最||小值是( C )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ＋2 x ＋y ≤6x ≥1表示的可行域 ,如图阴影局部 ,其中A (2,4) ,B (1,5) ,C (1,3) ,∴x ∈[1,2] ,y ∈[3,5]．∴z ＝2|x －2|＋|y |＝－2x ＋y ＋4 ,当直线y ＝2x －4＋z 过点A (2,4)时 ,直线在y 轴上的截距最||小 ,此时z 有最||小值 ,最||小值为4－2×2＋4＝4 ,应选C.15．(2021·洛阳市联考)x ,y满足条件⎩⎨⎧x ≥0y ≥x3x ＋4y ≤12那么x ＋2y ＋3x＋1的取值范围是[3,9]． 解析：画出不等式组表示的可行域 ,如图中阴影局部所示 ,x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1 ,y ＋1x ＋1表示可行域中的点(x ,y )与点P (－1 ,－1)连线的斜率．由图可知 ,当x ＝0 ,y ＝3时 ,x ＋2y ＋3x ＋1取得最||大值 ,且(x ＋2y ＋3x ＋1)max ＝9.因为点P (－1 ,－1)在直线y ＝x 上 ,所以当点(x ,y )在线段AO 上时,x＋2y＋3x＋1取得最||小值,且(x＋2y＋3x＋1)minx＋2y＋3x＋1的取值范围是[3,9]．。

课时跟踪检测(三十七) 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7) B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析：选B 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0. 即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A ．32 B ．23 C ．43D ．34解析：选C 平面区域如图中阴影部分所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，|BC |＝4－43＝83.∴S △ABC ＝12×83×1＝43.3．(2015·广东高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )A ．4B ．235C ．6D ．315解析：选B 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2表示的平面区域为如图所示的阴影部分，作直线l 0：3x ＋2y ＝0，平移直线l 0，当经过点A 时，z 取得最小值．此时⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，4x ＋5y ＝8，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，45，∴z min ＝3×1＋2×45＝235.4．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 5．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为________．解析：根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，∵z＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4.答案：4二保高考，全练题型做到高考达标1．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.结合图形可知选C.2．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，y ≥0，则z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最小值为( )A ．1B ．324C ．116D ．132解析：选D 根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，而z ＝8－x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＝2－3x －y ，欲使z 最小，只需使－3x －y 最小即可．由图知当x ＝1，y ＝2时，－3x －y 的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x －y最小，最小值为132.3．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解析：选D 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB 为直径的圆的面积为最大值S ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4π.4．(2016·郑州第一次质量预测)已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x －1，x ＋3y －5≤0，那么点P 到直线3x －4y －13＝0的距离的最小值为( )A ．115B ．2C ．95D ．1解析：选B 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线3x －4y －13＝0，结合图形可知，在该平面区域内所有的点中，到直线3x －4y －13＝0的距离最近的点是(1,0)．又点(1,0)到直线3x－4y －13＝0的距离等于|3×1－4×0－13|5＝2，即点P 到直线3x －4y －13＝0的距离的最小值为2.5．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3，－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1}解析：选B 作出不等式组所表示的平面区域，如图所示． 易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a ＝1或－a ＝－3，∴a ＝－1或a ＝3.6．(2014·安徽高考)不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝12×2×(2＋2)＝4.答案：47．(2016·山西质检)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤1，xy ≥0，则2x ＋y 的取值范围为________．解析：作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，经过点(1,0)时，2x ＋y 取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1,0)时，2x ＋y 取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x ＋y 的取值范围为[－2,2]．答案：[－2,2]8．(2016·郑州第二次质量预测)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最大值为________．解析：画出可行域，如图阴影部分所示．由b ＝x －2y 得，y ＝12x －b2.易知在点(a ，a )处b 取最小值，故a －2a ＝－2，可得a ＝2.在点(2，－4)处b 取最大值，于是b 的最大值为2＋8＝10.答案：109．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组．(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为：⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]＜0，即(14－a )(－18－a )＜0.解得－18＜a ＜14.故a 的取值范围是(－18,14)．10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)． 平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1. 所以z 的最大值为1， 最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a2＜2，解得－4＜a ＜2.故所求a 的取值范围为(－4,2)． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得B 点坐标为(7,9)，显然点B 到直线x＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.答案：212．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润w (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋－x －y ，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N.整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N.目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300. 作出可行域．如图所示：初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，w 有最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以w max ＝550元．所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．。

课时跟踪检测（三十七） 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题[A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2019·宝鸡期中)在3x ＋2y <6表示的平面区域内的一个点是( ) A ．(3,0) B ．(1,3) C ．(0,3)D ．(0,0)解析：选D 分别把四个选项的坐标代入3x ＋2y <6，经验证坐标(0,0)符合要求，故选D. 2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.结合图形可知选C.3．(2019·陕西部分学校摸底检测)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则2x ＋y 的最小值为( )A ．－12B ．0C ．1D ．32解析：选A 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z ＝2x ＋y ，作出直线y ＝－2x ，平移该直线，当直线经过点A ⎝⎛⎭⎫－12，12时，z ＝2x ＋y取得最小值，最小值为－12，故选A.4．(2019·合肥一中等六校联考)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥|x |，x －2y ＋4≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A.43 B ．－43C ．12D ．0解析：选C 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，易得当该直线经过点A (4,4)时，2x ＋y 取得最大值，为12，故选C.5．(2019·西宁检测)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若目标函数z ＝x ＋y 的最大值为6，则z 的最小值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选A 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线z＝x ＋y 经过点A 时，z 取得最大值，此时A (k ，k )，所以2k ＝6，即k ＝3，所以B (－6,3)，当直线z ＝x ＋y 经过点B 时，z 取得最小值，所以z 的最小值为－6＋3＝－3.[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2018·南昌调研)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0，2x －y －2≤0，则z ＝3x －2y 的最大值为( )A ．－2B ．2C ．3D ．4解析：选C 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝32x ，平移该直线，当直线经过C (1,0)时，在y 轴上的截距最小，z 最大，此时z ＝3×1－0＝3，故选C.2．(2019·赤峰期末)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y －1≤0，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝2x ·4y 的最大值为( )A ．8B ．16C ．32D ．6412x ＋12m ，解析：选C 由z ＝2x ·4y 得z ＝2x＋2y，设m ＝x ＋2y ，得y ＝－平移直线y ＝－12x ＋12m ，由图象可知当直线y ＝－12x ＋12m 经过点A 时，直线y ＝－12x ＋12m 的截距最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝0，x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即A (3,1)，此时m 最大，为m ＝3＋2＝5，此时z 也最大，为z ＝2x＋2y＝25＝32，故选C.3．(2019·西安模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4，则z ＝y －2x ＋3的最小值为( )A ．－2B ．－23C ．－125D ．2－47解析：选C 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝y －2x ＋3表示区域内的点与点P (－3,2)连线的斜率．由图知当区域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝－125，故选C. 4．(2019·嘉兴期末)已知点A (2，－1)，点P (x ，y )满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，y －1≤0，x －2y ≤4，O 为坐标原点，那么OA ―→·OP ―→的最小值是( )A ．11B ．0C ．－1D ．－5解析：选D 画出满足约束条件的平面区域，如图所示．又由OA ―→·OP―→＝(2，－1)·(x ，y )＝2x －y .令目标函数z ＝2x －y .联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，y －1＝0，解得B (－2,1)，z ＝2x －y 在点B 处取得最小值z min ＝2×(－2)－1＝－5，故选D.5．(2019·嘉兴第一中学模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，3x ＋y <3，x ＋y >a 表示的平面区域是一个三角形区域(不包括边界)，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，34 B ．⎝⎛⎭⎫34，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，32 D ．⎝⎛⎭⎫32，＋∞解析：选C 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，要使可行域为三角形区域(不包括边界)，则需点A 在直线x ＋y ＝a 的右上方．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，3x ＋y ＝3可得A ⎝⎛⎭⎫34，34，所以34＋34>a ，即a <32.故选C.6．(2019·郑州模拟)已知直线y ＝k (x ＋1)与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，3x －y ≥0，x >0，y >0表示的平面区域有公共点，则k 的取值范围为( )A ．[0，＋∞)B ．⎣⎡⎦⎤0，32 C.⎝⎛⎦⎤0，32 D ．⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 解析：选C 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示(不包括直线y ＝0)，直线y ＝k (x ＋1)过定点(－1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，3x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，过点(－1,0)与(1,3)的直线的斜率是32，根据题意可知0<k ≤32，故选C.7．(2019·太原模拟)已知点M ，N 是平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －4≤0，x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0内的两个动点，a ＝(1,2)，则MN ―→·a的最大值为( )A ．2 5B ．10C ．12D ．14解析：选B ⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －4≤0，x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则MN ―→·a ＝(ON ―→－OM ―→)·a ＝ON ―→·a －OM ―→·a ＝x 2＋2y 2－(x 1＋2y 1)，设z ＝x ＋2y ，平移直线x ＋2y ＝0，易知当直线经过点A (4,4)时，z取得最大值，最大值是12，当直线经过点B (2,0)时，z 取得最小值，最小值为2，所以MN ―→·a 的最大值为10，故选B.8．(2019·石家庄模拟)实数x ，y 满足|x ＋1|≤y ≤－12x ＋1时，目标函数z ＝mx ＋y 的最大值等于5，则实数m 的值为( )A ．－1B ．－12C ．2D ．5解析：选B 实数x ，y 满足|x ＋1|≤y ≤－12x ＋1时，表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得A (－1,0)，B (0,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －1，y ＝－12x ＋1，得错误!∴C (－4,3)．目标函数z ＝mx ＋y ，∴y ＝－mx ＋z ，当m >12时，直线过点B 时，z 取得最大值5，不成立，舍去；当0<m <12时，直线过点C 时，z 取得最大值5，∴－4m ＋3＝5，∴m ＝－12不成立，舍去；当m ＝0或12时，易验证z 的最大值不可能等于5；当m <0时，直线过点C 时，z 取得最大值5，∴－4m ＋3＝5，∴m ＝－12成立．故选B.9．(2018·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤6，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋3y 的最小值是________，最大值是________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝6，x ＋y ＝2，解得A (4，－2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x ＋y ＝6，解得B (2,2)． 将函数y ＝－13x 的图象平移可知，当目标函数的图象经过A (4，－2)时，z min ＝4＋3×(－2)＝－2； 当目标函数的图象经过B (2,2)时，z max ＝2＋3×2＝8. 答案：－2 810．(2019·林州一中调研)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ＋2，x 4＋y 4≤1，y ≥2－x 2，则z ＝⎝⎛⎭⎫122x －y的最小值为________．解析：作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ＋2，x 4＋y 4≤1，y ≥2－x 2表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，y ＝x ＋2得点B (1,3)．作出直线2x －y ＝0，对该直线进行平移，可以发现当该直线经过点B 时，(2x －y )max ＝2×1－3＝－1，此时z min ＝2.答案：211．(2019·淮北十校联考)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0，x ＋2y －14≤0，2x ＋y －10≤0，则x 2＋y 2的最小值为________．解析：x 2＋y 2表示可行域内的点P (x ，y )到原点的距离的平方，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点O 作OA 垂直直线x ＋y －6＝0，垂足为A ，易知点A 在可行域内，所以原点到直线x ＋y －6＝0的距离d ，就是点P (x ，y )到原点距离的最小值，由点到直线的距离公式可得d ＝612＋12＝32，所以x 2＋y 2的最小值为d 2＝18. 答案：1812．(2019·湖南五市联考)某工厂制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工来完成两道工序，已知木工平均4个小时做一把椅子，8个小时做一张书桌，该工厂每星期木工最多有8 000 个工作时；漆工平均2个小时漆一把椅子，1个小时漆一张书桌，该工厂每星期漆工最多有1 300个工作时．若做一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，生产一个星期该工厂能获得的最大利润为________元．解析：设一个星期能生产椅子x 把，书桌y 张，利润为z 元，可得约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤8 000，2x ＋y ≤1 300，x ∈N ，y ∈N ，利润z ＝15x ＋20y ，画出不等式组所表示的平面区域(图略)，可知在点(200,900)处z 取得最大值，此时z max ＝21 000元．答案：21 00013．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，还要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划的投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问：投资人对甲、乙两个项目分别投资多少万元，才能使可能的盈利最大？最大盈利额是多少？解：设投资人对甲、乙两个项目分别投资x 万元、y 万元，盈利为z 万元，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，3x ＋y ≤18，z ＝x ＋0.5y .x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，当直线y ＝－2x ＋2z 过点M 时，在y 轴上的截距最大，这时z 也取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝10，3x ＋y ＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6，即M (4,6)，z max ＝1×4＋0.5×6＝7.故投资人投资甲项目4万元，投资乙项目6万元，才能使可能的盈利最大，最大盈利额为7万元． 14．某人有一套房子，室内面积共计180 m 2，拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18 m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为15 m 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费50元．装修大房间每间需要1 000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8 000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，每天才能获得最大的房租收益？解：设隔出大房间x 间，小房间y 间，获得的收益为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧18x ＋15y ≤180，1 000x ＋600y ≤8 000，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ≤60，5x ＋3y ≤40，x ，y ∈N ，目标函数为z ＝200x ＋150y ，作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点所示．由图可知，当直线z ＝200x ＋150y 过点A ⎝⎛⎭⎫207，607时，z 取得最大值， ∵A 点的坐标不是整数，而x ，y ∈N ，∴点A 不是最优解．由图可知，使目标函数取得最大值的整数点一定分布在可行域的右上侧，这些整数点有(0,12)，(1,10)，(2,9)，(3,8)，(4,6)，(5,5)，(6,3)，(7,1)，(8,0)，分别代入z ＝200x ＋150y ，逐一验证，可得取整数点(0,12)和(3,8)时，z max ＝1 800，∴应隔出小房间12间或大房间3间、小房间8间，才能获得最大收益．。

课时跟踪练(三十七)A 组 基础巩固1．不等式2x 2－x －3＞0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜32B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞32或x ＜－1 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－32＜x ＜1 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞1或x ＜－32 解析：由2x 2－x －3＞0，得(x ＋1)(2x －3)＞0， 解得x ＞32或x ＜－1.所以不等式2x 2－x －3＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞32或x ＜－1.故选B. 答案：B2．(2019·北京东城区综合练习(二))已知x ，y ∈R ，那么“x >y ”的充要条件是( ) A ．2x >2y B ．lg x >lg y C.1x >1yD ．x 2>y 2解析：因为2x >2y ⇔x >y ，所以“2x >2y ”是“x >y ”的充要条件，A 正确；lg x >lg y ⇔x >y >0，则“lg x >lg y ”是“x >y ”的充分不必要条件，B 错误；1x >1y 和x 2>y 2都是“x >y ”的既不充分也不必要条件，故选A.答案：A3．(2019·商丘联考)若a <b <0，则下列不等式关系中，不成立的是( ) A.1a >1b B.1a －b >1a C ．a 13<b 13D ．a 2>b 2解析：对于A ，a <b <0，两边同除以ab 可得1a >1b，故A 成立；对于B ，a <b <0，则a <a －b <0，两边同除以a (a －b )可得1a －b <1a ，故B 不成立；对于C ，根据幂函数的单调性可知C 成立；对于D ，a <b <0，则a 2>b 2，故D 成立，故选B.答案：B4．(2019·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1，2)D ．(－2，1)解析：易知f (x )在R 上是增函数，因为f (2－x 2)>f (x )，所以2－x 2>x ，解得－2<x <1，则实数x 的取值范围是(－2，1)．故选D.答案：D5．[一题多解](2019·南昌二中月考)若a >1，0<c <b <1，则下列不等式不正确的是( )A ．log a 2 018>log b 2 018B ．log b a <log c aC ．(c －b )c a >(c －b )b aD ．(a －c )a c >(a －c )a b解析：法一 因为a >1，0<c <b <1，所以log a 2 018>0>log b 2 018，log b a <log c a ，0<c a <b a ，c －b <0，0<a c <a b ，a －c >0， 所以(c －b )c a >(c －b )b a ，(a －c )a c <(a －c )a b ，所以A ，B ，C 正确，D 不正确．故选D.法二 取a ＝2，c ＝14，b ＝12，代入四个选项逐一检验，可知D 不正确，故选D.答案：D6．(2019·中山模拟)已知实数a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <a <c解析：因为b －a ＝ln 33－ln 22＝2ln 3－3ln 26＝ln 9－ln 86>0，所以b >a ；又a －c ＝ln 22－ln 55＝5ln 2－2ln 510＝ln 32－ln 2510>0，所以a >c ，所以b >a >c ，即c <a <b .故选B. 答案：B7．已知0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中正确的是( ) A ．log 2a ＞0B ．2a －b ＜12C ．log 2a ＋log 2b ＜－2D ．2a b ＋b a ＜12解析：由题意知0＜a ＜1，此时log 2a ＜0，A 错误；由已知得0＜a ＜1，0＜b ＜1，所以－1＜－b ＜0，又a ＜b ，所以－1＜a －b ＜0，所以12＜2a －b ＜1，B 错误；因为0＜a ＜b ，所以a b ＋ba＞2a b ·b a ＝2，所以2a b ＋ba＞22＝4，D 错误；由a ＋b ＝1＞2ab ，得ab ＜14，因此log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )＜log 214＝－2，C 正确．答案：C8．(2019·武邑调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，0)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：因为f (x )在R 上为奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，所以f (x )在R 上是增函数，结合题意得－4t >2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立⇒mt 2＋4t ＋2m <0对任意实数t恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝16－8m 2<0⇒m ∈(－∞，－2)， 故选A. 答案：A9．(2019·淮南一模)若A ＝{x |ax 2－ax ＋1≤0，x ∈R}＝∅，则a 的取值范围是________．解析：当a <0时，显然不符合题意； 当a ＝0时，显然符合题意；当a >0时，根据题意有Δ＝a 2－4a <0， 解得0<a <4.综上，a 的取值范围是[0，4)． 答案：[0，4)10．(2019·河南天一大联考阶段性测试)已知实数a ∈(1，3)，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14，则a b 的取值范围是________．解析：依题意可得4<1b <8，又1<a <3，所以4<ab <24，故答案为(4，24)．答案：(4，24)11．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________．解析：原不等式可化为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，所以a <x <1a .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |a <x <1a12．在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析：原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1， 则问题转化为x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32.则实数a 的最大值为32.答案：32B 组 素养提升13．已知a >0，且a ≠1，m ＝aa 2＋1，n ＝a a ＋1，则( ) A ．m ≥n B ．m >n C ．m <nD ．m ≤n解析：由题易知m >0，n >0，两式作商，得mn ＝a (a 2＋1)－(a ＋1)＝a a (a －1)，当a >1时，a (a －1)>0，所以a a (a －1)>a 0＝1，即m >n ；当0<a <1时，a (a －1)<0，所以a a (a －1)>a 0＝1，即m >n .综上， 对任意的a >0，且a ≠1，都有m >n .故选B.答案：B14．(2019·岳阳模拟)若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－1)解析：若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间[1，5]上有解，则a >2x－x 在x ∈[1，5]上有解，故a >⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x min ， 函数f (x )＝2x －x 在[1，5]上是减函数，故a >25－5＝－235，即a >－235.故选A.答案：A15．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________．解析：因为ab 2>a >ab ，所以a ≠0，当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2<1，b >1，此式无解． 综上可得实数b 的取值范围是(－∞，－1)． 答案：(－∞，－1)16．不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．解析：因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0， 所以(λ＋8)(λ－4)≤0， 解得－8≤λ≤4. 答案：[－8，4]。

课时跟踪练(一)A组　基础巩固1．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝( )A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}解析：因为A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，所以A∩B＝{1，2}．故选C.答案：C2．(2019·天门三地联考)设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( )A．3 B．4 C．5 D．6解析：因为A＝{1，2，3}，b＝{4，5}，又M＝{x|a＋b，a∈A，b∈B}，所以M＝{5，6，7，8}，即M中有4个元素．答案：B3．(2018·天津卷)设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{－1，0，2，3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则(A∪B)∩C＝( )A．{－1，1} B．{0，1}C．{－1，0，1} D．{2，3，4}解析：因为A＝{1，2，3，4}，B＝{－1，0，2，3}，所以A∪B＝{－1，0，1，2，3，4}．又C＝{x∈R|－1≤x<2}，所以(A∪B)∩C＝{－1，0，1}．故选C.答案：C4．设集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝( )A．[2，3] B．(－2，3]C．[1，2) D．(－∞，－2)∪[1，＋∞)解析：易知Q＝{x|x≥2或x≤－2}．所以∁R Q＝{x|－2<x<2}，又P＝{x|1≤x≤3}，故P∪(∁R Q)＝{x|－2<x≤3}．答案：B5.(2019·延安模拟)若全集U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，2}，B＝{x|x2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A．{－1，0，1} B．{－1，0}C．{－1，1} D．{0}解析：B＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，阴影部分表示的集合为∁U(A∪B)．A∪B＝{－2，－1，1，2}，全集U＝{－2，－1，0，1，2}，所以∁U(A∪B)＝{0}．答案：D6．(2019·百校联盟TOP20联考)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－8≤0}，B＝{x|2x≥8}，则集合A∩B的子集个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：因为A＝{x∈N|x2－2x－8≤0}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x≥3}，所以A∩B＝{3，4}，所以集合A∩B的子集个数为22＝4.答案：D7．(2019·德州二模)设集合A＝{x|x(4－x)>3}，B＝{x|x≥a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是( )A．a≤1 B．a<1 C．a≤3 D．a<3解析：由x(4－x)>3解得1<x<3，即集合A＝{x|1<x<3}．因A∩B＝A，则A⊆B，而B＝{x|x≥a}，所以a≤1.答案：A8．(2019·豫北名校联考)已知集合M＝{x|y＝}，N＝{x|y＝x－1log2(2－x)}，则∁R(M∩N)＝( )A．[1，2) B．(－∞，1)∪[2，＋∞)C．[0，1] D．(－∞，0)∪[2，＋∞)解析：由题意可得M＝{x|x≥1}，N＝{x|x<2}，所以M∩N＝{x|1≤x<2}，所以∁R(M∩N)＝{x|x<1或x≥2}．答案：B9．(2017·江苏卷)已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．解析：因为A∩B＝{1}，A＝{1，2}，所以1∈B且2∉B.若a＝1，则a2＋3＝4，符合题意．又a2＋3≥3≠1，故a＝1.答案：110．集合A＝{x|x＜0}，B＝{x|y＝lg[x(x＋1)]}，若A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，则A－B＝________．解析：由x(x＋1)＞0，得x＜－1或x＞0，所以B＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，所以A－B＝[－1，0)．答案：[－1，0)11．(2019·上海黄浦模拟)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{1，m }，若3－m ∈A ，则非零实数m 的值是________．解析：若3－m ＝1，则m ＝2，符合题意；若3－m ＝2，则m ＝1，此时集合B 中的元素不满足互异性，故m ≠1；若3－m ＝3，则m ＝0，不符合题意．故答案为2.答案：212．(2019·安徽皖南八校联考)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＝4y }，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 的真子集个数是________．解析：由得或即A ∩B ＝{(0，0)，(4，{x 2＝4y ，y ＝x ，){x ＝0，y ＝0，){x ＝4，y ＝4，)4)}，所以A ∩B 的真子集个数为22－1＝3.答案：3B 组　素养提升13．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A ．A ∩B ＝ B ．A ∩B ＝∅{x |x ＜32)}C ．A ∪B ＝ D ．A ∪B ＝R{x |x ＜32)}解析：因为B ＝{x |3－2x ＞0}＝，A ＝{x |x ＜2}，所以A ∩B {x |x ＜32)}＝，A ∪B ＝{x |x ＜2}．{x |x ＜32)}故选A.答案：A14．(2019·南昌二中月考)已知集合A ＝{x |y ＝}，B ＝{x |a ≤x4－x 2≤a ＋1}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)B ．[－1，2]C ．[－2，1]D ．[2，＋∞)解析：集合A ＝{x |y ＝}＝{x |－2≤x ≤2}，因A ∪B ＝A ，4－x 2则B ⊆A ，所以有所以－2≤a ≤1.{a ≥－2，a ＋1≤2，)答案：C15.集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分所表示的集合是________．解析：易知A ＝(－1，2)，B ＝(－∞，1)，所以∁U B ＝[1，＋∞)，A ∩(∁U B )＝[1，2)．因此阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}．答案：[1，2)16．(2019·中原名校联考)已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________．解析：由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝{x |0<x <1}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝{x |0<x <c }．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.答案：[1，＋∞)。

课时跟踪练（二）A 组基础巩固1. 设m € R，命题“若m>0,则方程x2+ x—m= 0有实根”的逆否命题是（）A .若方程x2+ x—m= 0有实根，则m>0B.若方程x2+ x—m= 0有实根，则m<0C .若方程x2+ x—m= 0没有实根，则m>0D .若方程x2+ x—m= 0没有实根，则m< 0解析：根据逆否命题的定义，命题“若m>0,则方程x2+ x —m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+ x—m = 0没有实根，则m< 0”.答案：D2. （2018 天津卷）设x€ R 则x3>8”是“|>2 的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由x3>8? x>2? |x|>2,反之不成立，故“X3>8”是仪|>2”的充分不必要条件.故选 A.答案：A3. （20佃济南外国语中学月考）设a>b, a, b, c€ R，则下列命题为真命题的是（）2 2 aA. ac2>bc B・b>12 2C. a—c>b—cD. a >b解析：对于选项A, a>b,若c= 0,则ac2= bc?,故A错；对于a选项B，a>b，若a>0，b<0，则b<1，故B错；对于选项C，a>b，则a—c>b—c，故C正确；对于选项D，a>b，若a，b均小于0，则a2<b，故D错.答案：C4. （2019 张家界二模）设集合A= {x|x> —1}，B = {x|x> 1}，则“x€ A且x?B”成立的充要条件是（）A. —1<x< 1B. x< 1C. x> —1D. —1<x<1解析：因为集合A= {x|x>—1}，B = {x|x> 1}，又因为“x€ A且x?B”，所以—1<x<1;又当—1<x<1时，满足x€ A且x?B，所以“x € A且x?B”成立的充要条件是“—1vxv1 ”.答案：D-J25. （2019焦作模拟）设0€ R，贝厂cos皓专”是“tan 0= 1”的（）A .充分不必要条件B. 必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析：由COS B=¥，得0= ± + k n, k€ Z,由tan 0= 1，得0= 4 + k n, k € Z,所以“ COS0=¥”是“tan 0= 1”的既不充分也不必要条件.答案：D6. 原命题：设a、b、C€ R，若“ a>b”，贝卩“ ac2>be2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个解析：原命题：若e= 0,则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题为设a, b, e€ R，若“ae2>be2”，贝S “a >b”.由ac >be2知e2>0,所以由不等式的基本性质得a>b,所以逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，所以真命题共有2个，故选C.答案：C7. 已知条件p：x>1或x< —3,条件q：5x —6>x2,贝卩？p 是？q的（）A .充分不必要条件B. 必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由5x—6>x2，得2<x<3,即q： 2<x<3.所以q? p, p ' q,所以？p? ?q, ?q * ?p,所以?p是?q的充分不必要条件.答案：A8. 下列结论错误的是（）A. 命题“若x2-3x —4= 0,则x= 4”的逆否命题为“若X M4, 则x2-3x-4M0”B. “x= 4”是“ x2—3x—4= 0”的充分条件C .命题“若m>0,则方程x2+ x—m = 0有实根”的逆命题为真命题D .命题“若m2+ n2= 0,则m = 0且n= 0”的否命题是“若m2 + n2M0,贝卩m M0或n M0”解析：C项命题的逆命题为“若方程x2+ x—m= 0有实根，则1m>0”.若方程有实根，则△= 1+ 4m>0,即m> —4,所以不是真命题.答案：C9. （2019广东省际名校联考）王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的__________ 件.解析：“不破楼兰终不还”的逆否命题为“若返回家乡，则攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.答案：必要10. 直线x—y—k= 0与圆（x—1）2+ y2= 2有两个不同交点的充要条件是________ .解析：直线x —y- k= 0与圆(x —1)2+ y2= 2有两个不同交点等价于n—；k|< 2,解得—i<k<3.答案：—1<kv311.有下列几个命题：①“若a>b,则a2>b2”的否命题；②“若x+ y= 0,则x, y互为相反数”的逆命题;③“若x2v4,则—2v x v 2”的逆否命题.其中真命题的序号是________ .解析：①原命题的否命题为“若a<b,则a2<b2”，错误.②原命题的逆命题为“若x, y互为相反数，则x + y= 0”正确.③原命题的逆否命题为“若x>2或x< —2,则x2>4”，正确. 答案：②③12. (2019 湖南师大附中月考)设p：ln(2x—1)< 0, q：(x —a)[x —(a + 1)]< 0,若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是■A .充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析：法一因为数列｛a n｝是公差为d的等差数列，所以S4= 4a1+ 6d, S5= 5a1+ 10d, S6 = 6a1+ 15d,所以S4+ S6= 10a i + 21d, 2S5= 10a i + 20d・若d>0,贝S 21d>20d, 10a1 + 21d>10a1 + 20d,即S4+ S6>2S5・若S4 + S6>2S5，则10a1 + 21d>10a1 + 20d,即21d>20d,所以d>0•所以d>0”是“S4 + S6>2S5”的充分必要条件.故选C・法二因为S4+ S6>2S5? S4+ S4+ a5+ a6>2（S4+ a5）? a6>a5? a5 + d>a5?d>0,所以d>0”是“S4 + S6>2S5”的充分必要条件.故选C・答案：C14. （2019河南高考适应性考试）下列说法中，正确的是（）A .命题“若am2<bm2，则avb”的逆命题是真命题B. 命题“ ？x°€ R, x0 —X o>0” 的否定是“ ？x€ R, x2—x< 0”C. 命题“ p或q”为真命题，则命题p”和命题q”均为真命题D. 已知x€ R，贝S x>1”是x>2”的充分不必要条件解析：选项A的逆命题为“若avb,则am2vbm2”,当m = 0时,不成立，所以是假命题；易知选项B正确；对于选项C,命题“p或q”为真命题，则命题p”和命题q”至少有一个是真命题，所以是假命题；对于选项D，X>1”是X>2”的必要不充分条件，所以是假命题.答案：BM a15. (2019天津六校联考)“a= 1”是函数f(x)=——e x是奇函数a e的_______ 件.解析：当[a= 1 时，f( —x) = —f(x)(x€ R)，则f(x)是奇函数，充分性成立.若f(x)为奇函数，恒有f( —x)= —f(x)，得(1 —a2)(e2x+1)= 0,则a =±，必要性不成立.e x a故“a= 1”是“函数f(x) = - —e是奇函数”的充分不必要条件.a e答案：充分不必要16. (2019江西新课程教学质量监测)已知命题p：x2+ 2x—3>0;x——a命题q： -------- >0,且？q的一个必要不充分条件是？p,则a的取值x—a —1范围是________ .解析：由x2+ 2x —3>0 得x< —3 或x>1.则？p：—3< x< 1.命题q：x>a+ 1 或x<a，贝U ?q：a< x< a+1.依题意?q是?p的充分不必要条件.a》一3,则解得—3w a w 0.l a+1 w 1.答案：[—3, 0]1解析：由p得：2<x w 1,由q得：a<x<a+1,因为q是p的必1 1要不充分条件，所以a< 2且a+ 1> 1,所以0w a<2・答案：0, * 1B组素养提升13. [一题多解](2017浙江卷)已知等差数列｛a n｝的公差为d,前n 项和为S n,则d>0” 是“S4+ S6>2S5”的（）。

课时跟踪检测(三十七)不等关系与一元二次不等式一、题点全面练1．已知a∈(0,1)，a∈(0,1)，记M＝aa，N＝a＋a－1，则M与N的大小关系是() 222111A．M＜N B．M ＞ND．不确定C．M＝N解析：选B M－N＝aa－(a＋a－1) 2112＝aa－a－a＋1＝(a－1)(a－1)，211122又∵a∈(0,1)，a∈(0,1)，21∴a－1＜0，a－1＜0.21∴(a－1)(a－1)＞0，即M－N＞0，21∴M ＞N.2．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是()A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m＜nD．mm＜n ＜－n＜n＜－m C．m＜－n＜－解析：选D m＋n＜0?m＜－n?n＜－m，又由于m ＜0＜n，故m＜－n＜n＜－m成立．1111112＞lnln a－＞b－；④；②|a|＋b＞0；③a3．若＜＜0，给出下列不等式：①＜babbaab＋a2.其中正确的不等式的序号是(b)A．①④B．②③D．②④．①③C11解析：选C因为＜＜0，故可取a＝－1，b＝－2.显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②ab2222＝ln 4＞0，所以④错误，综上所述，可排除bA＝ln(－ln 错误；因为a2)＝ln(－1)、＝0，lnB、D，故选C.22－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1．已知函数4f(x)＝－x＋ax＋b＋x)成立，若当x∈[－1,1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是()A．(－1,0) B．(2，＋∞)D．不能确定(－∞，－1)∪(2，＋∞) C．a解析：选C由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即＝1，解得a＝2.2又因为f(x)的图象开口向下，所以当x∈[－1,1]时，f(x)为增函数，22－b－b＝2，＋＝－f)＝(－1)1－2bb－＋1xf所以(min2－b－2＞0恒成立，恒成立，即＞xf()0b2. ＞b或1＜－b解得．2－6x＋a≤0，关于x的一元二次不等式x的解集中有且仅有3个整数，则5．已知a∈Z所有符合条件的a的值之和是()A．13 B．18D ．26C．212－6x＋a，其图象为开口向上，对称轴是)＝xx＝3的抛物线，如图所解析：选C设f(x示．2－6x＋a≤x0的解集中有且仅有3个整数，若关于x的一元二次不等式2，a≤02－6×2＋?f2?≤0，????则即??2，a＞0－6×1＋1f?1?＞0，????解得5＜a≤8，又a∈Z，故a＝6,7,8.则所有符合条件的a的值之和是6＋7＋8＝21.32＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k6．若不等式2kx的取值范围为________．8解析：当k＝0时，显然成立；32＋kx－＜0对一切实数x都成立，则等当k≠0时，即一元二次不式2kx8，＜0k??32?对一切实数＜0kx＋kx－＜k＜0.综上，满足不等式2解得－33??82－kΔ＝×2＜0，k－4×? ???8 3,0]．的取值范围是(－x都成立的k3,0]－答案：(2．a的取值范围是________2＞0在区间[1,5]7．若不等式x上有解，则＋ax－22恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，02x＝＋ax－解析：由Δ＝a0＋8＞，知方程2(5)f[1,5]上有解的充要条件是0必有一正根、一负根．于是不等式在区间所以方程x－＋ax2＝2323??∞，＋－的取值范围为a，解得a＞－，故. ＞0??5523??，＋∞－：答案??52*]x－4[x]36[的不等式[)时，x]＝n，则关于x N＋≤x8．对于实数，当且仅当nx＜n1(n∈________．45＜0的解集为＋153*2＝x[]1(＋n∈N)时，nxn＜x＜045]36[x由解析：4[]－x＋＜，得[]，又当且仅当≤＜22 ．[2,8)，所以所求不等式的解集为2,3,4,5,6,7＝]x[，所以n答案：[2,8)1???22＜x＜x的解集是2＞ax0＋5x－. 9．若不等式???2??(1)求实数a的值；22－1＞0的解集．－5x＋a(2)求不等式ax12＋5x－2＝0的两个根为，2，代入解得解：(1)由题意知a＜0，且方程axa＝－2.22－5x＋3x＞0，(2)由(1)知不等式为－212＋5x－3＜0，解得－32即x＜x＜，21??22，－3的解集为01x＋a＞. 即不等式ax－－5??22－2ax－1＋a，f(x)＝xa∈R. 10．已知函数f?x?(1)若a＝2，试求函数y＝(x＞0)的最小值；x(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求实数a的取值范围．2x－4x＋1?f?x1解：(1)依题意得y＝＝＝x＋－4.xxx11因为x＞0，所以x＋≥2，当且仅当x＝时，即x＝1时，等号成立．所以y≥－2. xxf?x?的最小值为－y＝1时，＝2. 所以当x x2－2ax－x1，－(2)因为f(x)a＝所以要使“?x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”，2－2ax－1≤0“x在[0,2]上恒成立”．只要2－2ax－1x()＝x，不妨设g则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．，0?≤g?0??所以?，≤0g?2???，1≤000－－??即?，0≤－4a－14??3解得a≥. 43??∞，＋的取值范围为则实数a. ??4二、专项培优练不丢怨枉分——易错专练．x1．不等式＞1的解集为()1－2x1??，1 B．(A.－∞，1) ??211????，2－∞，) C.D.∪(1，＋∞????22x－1＞0，解析：选A原不等式等价于1x－2x－?2x－1?x－1＞0，整理得＜0，即1x－122x－1不等式等价于(2x－1)(x－1)＜0，解得＜x＜1.2112．若＜＜0，则下列结论不正确的是()ab222 b．ab＜＜b BA．aD．|a|0 ＋|b|＞|a＋b|C．a＋b＜解析：选D由题可知b＜a＜0，所以A、B、C正确，而|a|＋|b|＝－a－b＝|a＋b|，故D错误．3．已知x＞y＞z，且x＋y＋z＝0，下列不等式中成立的是()A．xy＞yz B．xz＞yzD．x |y|＞z|y|C．xy＞xz解析：选C因为x＞y＞，z 0，y＋z＝xy＋z＝0,3z＜＋＋所以3x＞x 0，z＜，所以x＞0，0x＞??C. 故选xz.由得xy＞?zy＞??，1≤α＋β≤1－?? ________．3β的取值范围是则4．若α，β满足α＋?，β2≤31≤α＋??解析：设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.，11，x＝－x＋y＝????解得则??2.y3，＝x＋2y＝????因为－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，两式相加，得1≤α＋3β≤7.所以α＋3β的取值范围为[1,7]．答案：[1,7]2＋(a－6)x＋9－3a＞0，|a|≤1恒成立的x．求使不等式5x的取值范围．20.＞9＋x6－x＋a3)－x(的不等式a将原不等式整理为形式上是关于解：2－6x＋9，则－13)a＋x≤a≤1. (令fa)＝(x－因为f(a)＞0在|a|≤1时恒成立，所以①若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，应舍去．②若x≠3，由一次函数的单调性，2，0＋12＞71－?＞0，x－xf?????4.x＞或即可得解得x＜2??2，6＞0x，1??＞0x－5＋f????．)∞，＋(4∪2)，∞－(的取值范围为x则实数．。

课时跟踪练(七)A组基础巩固1.(2019湖北鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟联考)若幕函数y= x—1, y= x m与y= X1在第一象限内的图象如图所示，则m与n 的取值情况为()A1<mv0vnvlB. —1<n<0vmC. —1<m<0vnD. —1vnv0vmv1解析：幕函数y= x：当a>0时，y= x¥(0,+x)上为增函数，且0v a v1时，图象上凸，所以0vmv1 ;当a vO时，y=灭“在(0,+鸡)上为减函数，不妨令x= 2,根据图象可得2- 1v2n,所以—1vnv0,综上所述，一1vnv0vmv1.答案：D2.若函数f(x) = x2+ ax+ b的图象与x轴的交点为(1, 0)和(3,0),则函数f(x)( )A .在(一乂，2］上递减，在［2,+乂)上递增B.在(―乂，3)上递增C .在［1, 3］上递增D .单调性不能确定解析：由已知可得该函数图象的对称轴为x= 2,又二次项系数为1> 0.所以f(x)在(一乂，2］上是递减的，在［2,+乂)上是递增的.答案：A3. (2019 安阳模拟)已知函数f(x)=-X2+4X+ a, x€ ［0, 1］,若f(x)有最小值一2,贝S f(x)的最大值为()A. 1B. 0C. - 1D. 2解析：f(x) = —x2+ 4x + a= —(x- 2)2+ a + 4,所以函数f(x)=- X2+4X + a在［0, 1］上单调递增，所以当x= 0时，f(x)取得最小值，当x= 1时，f(x)取得最大值，所以f(0) = a= —2, f(1) = 3+ a = 3 —2= 1.答案：A4. 已知幕函数的图象经过点(9, 3),若f(m) = 2,则m =( )A. 8B. 4C. 2 D・ 21解析：设f(x) = x"，则9"= 3,所以a= 2,因此f(x)= x,则f(m) = m= 2,所以m= 4.答案：B5. 已知函数y= ax2+ bx—1在( — ^, 0］上是单调函数，则y=D2ax + b的图象不可能是()解析：选项A中，a= 0时，符合题意.当a^O时，对称轴x=-石》0且y= 2ax + b与x轴的交点为(b 1-石，0应位于x轴非负半轴，B不符合题意.选项C,D符合题意.答案：B\ 11 ] _6. (2018 上海卷)已知a€ * —2,—1，—2, 2，1，2, 3?.若幂函数f(x)= x a%奇函数，且在(0,+乂)上递减，则a= ___________ .解析：因为幕函数y= 乂“是奇函数，知a可取—1,1, 3・又y= 乂“在(0,—x)上是减函数，所以oc<0,即a=—1.答案：—17. 二次函数f(x)的图象经过两点(0, 3), (2, 3),且函数的最大值是5,贝間数f(x)的解析式是__________ .解析：由于点(0, 3), (2, 3)在y=f(x)图象上，所以f(x)的图象关于直线x= 1对称，又f(x)的最大值为5,设f(x) = a(x—1)2+ 5(a<0).由f(0) = f(2)= 3,得3= a+5,所以a= — 2.因此f(x)= —2(x—1)2+ 5= —2x2+ 4x + 3.答案：—2x2+ 4x+ 38. (20佃潍坊调研)若二次函数f(x)= ax2—x+ b(a z0)的最小值为0则a+ 4b的取值范围是__________ .解析：依题意，知a>0,且△= 1 —4ab= 0,所以4ab= 1,且b>0.故a+ 4b>2 4ab= 2,1当且仅当a= 4b, 即卩a= 1, b= 4时等号成立.所以a+4b的取值范围是［2,+乂).答案：［2,+乂)9.已知幕函数f(x)= x(m2+ m)—1(m€ N*)的图象经过点(2, 2), 试确定m的值，并求满足条件f(2 —a)>f(a—1)的实数a的取值范围.解：因为幕函数f(x)的图象经过点(2, 2),1所以2= 2(m2+ m)-1，即22= 2(m2+ m)—1,所以m2+ m= 2•解得m = 1或m= — 2.1又因为m€ N ,所以m= 1•所以f(x) = x2,则函数的定义域为［0, +乂)，并且在定义域上为增函数.a—1 > 0,由f(2—a)>f(a—1)得2—a>0,D2—a>a—1,3 ；3!解得1<a v2,所以a的取值范围为1, 2・10.已知函数f(x) = ax2+ bx+ c(a>0, b€ R, c€ R).(1) 若函数f(x)的最小值是f( —1)= 0,且c= 1,f (X), x>0,F(x)= 求F(2)+ F(—2)的值；| — f (x), x v 0,(2) 若a= 1, c= 0,且|f(x)|< 1在区间(0, 1］上恒成立，试求b的取值范围.解：(1)由已知c= 1, a—b+c= 0,且—2a=-1,解得a= 1, b= 2,所以f(x) = (x + 1)2.(x+ 1) 2, x>0,所以F(x) =21—(x+1) 2, x v0.所以F(2) + F( —2)= (2 + 1)2+ ［—(—2+1)2］= 8.(2)由a= 1, c= 0,得f(x) = x2+ bx,从而|f(x)|< 1在区间(0, 1］上恒成立等价于—Kx2+ bx< 1在区间(0, 1］上恒成立，1 1 一即b< x—x且b> —x—x在(0, 1］上恒成立.1 1又x—x的最小值为0,—x—x的最大值为一2.所以一2< b< 0•故b的取值范围是［—2, 0］.B组素养提升11. (20佃济宁调研)下列命题正确的是()A. y= x0的图象是一条直线B. 幕函数的图象都经过点(0, 0), (1, 1)C .若幕函数y= x n是奇函数，则y=x n是增函数D .幕函数的图象不可能出现在第四象限解析：A中点(0,1)不在直线上，A错.B中，y= x n，当n<0时，图象不过原点，B不正确.C中，当n<0, y=x n在(一乂，0), (0,+乂)上为减函数，C错误.幂函数图象一定过第一象限,一定不过第四象限. D 正确.答案：D12. (2017浙江卷)若函数f(x) = x2+ax+ b在区间［0,1］上的最大值是M，最小值是m,则M —m( )A .与a有关，且与b有关B.与a有关，但与b无关C .与a无关，且与b无关D .与a无关，但与b有关解析：设X1, X2分别是函数f(x)在［0,1］上的最小值点与最大值点，贝U m= x1+ax1 + b, M =x2 + ax2 + b.所以M —m = x2 —x1+ a(X2—xd，显然此值与a有关，与b无关.答案：B13. 已知二次函数f(x)满足f(2 + x) = f(2 —x)，且f(x)在［0, 2］上是增函数，若f(a)> f(0),贝卩实数a的取值范围是__________ .解析：由题意可知函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x= 2(如图）,若f(a) >f(0)，从图象观察可知0W a< 4.答案：［0, 4］14. (2019菏泽市联考)已知二次函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且f(1) = 4, f(3) = 0.(1) 求f(x)的解析式.(2) 是否存在实数m,使得在［1, 4)上f(x)的图象恒在曲线y= 2x+ m的上方？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.解：⑴设f(x) = ax2+ bx+ c.因为二次函数f(x)满足f(x) = f(2-x),所以f(x)的图象关于直线x =1对称，即-2；= 1•①因为f(1) = 4, f(3)= 0,所以f(1) = a+b+ c= 4,②f(3) = 9a + 3b+ c= 0,③联立①②③，解得a= —1, b= 2, c= 3.故f(x) = —x2+ 2x+ 3.(2)设g(x) = —x2+ 2x + 3 —2x—m・f(x)的图象恒在曲线y= 2x+ m的上方等价于g(x)>0恒成立.所以m< —X2+2X+ 3—艺恒成立.因为y= —x2+2x + 3在［1, 4）上单调递减，y= 2x在［1, 4）上单调递增，所以h(x)= —X2+2X+ 3—2x在[1, 4)上单调递减, 所以h(x)>h(4)= —16+8 + 3—16= —21.即m< —21.故实数m的取值范围是(— = ,—21].。