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跳跃-扩散下利率不等的动态投资组合选择赵宁宁;刘宣会【摘要】The mean-variance model of investment porfolio choices is given, under the condition of difference of deposit rates and loan rates in a jump-fiffusion process. The jumps of stock prices is described by poission process. A general optimal control of the verification theorem is recommended on diffusion process because of the jump factor. Based on the verification theorem ,and using dynamic programming,the optimal stategy of the original problem is obtained by solving HJB equation.%给出一个跳跃扩散过程在存款利率和贷款利率不等条件下的均值-方差投资组合选择的模型.用Poisson过程描述股票价格的跳跃.由于跳跃因素,引用了一个关于扩散过程的一般最优控制的验证性定理,在此验证性定理的基础上,应用动态规划原理,求解HJB方程得到原问题的最优策略.【期刊名称】《西安工程大学学报》【年(卷),期】2011(025)002【总页数】6页(P255-260)【关键词】跳跃扩散过程;最优投资组合;HJB方程;均值-方差;借款利率;随机PLQ 控制【作者】赵宁宁;刘宣会【作者单位】西安工程大学理学院,陕西西安,710048;西安工程大学理学院,陕西西安,710048【正文语种】中文【中图分类】O224自从马柯维次在单期投资模型中的开拓性工作之后,均值-方差投资组合问题一直是金融界争议的核心问题.这个工作总的来说有两点:一是多期投资组合选择模型 [1-5];二是连续时间的投资组合选择模型[6-8].效用函数通常被认为是连续的、递增的、严格的凸函数,如幂函数、对数函数、指数函数和二次函数.风险和收益在效用函数的方法里不能通过最优策略解决.投资组合优化和未定权益定价一直是数理金融学研究的主要问题.大多数的结论都是建立在风险证券价格服从扩散过程基础之上.然而,在现实的金融市场上,当有重大信息出现时,会对风险证券价格产生冲击,使它们呈现一种不连续的跳跃而采用跳跃-扩散过程去拟合风险证券价格变化规律能较好的体现上述情况,同时从理论角度出发,对风险证券价格最一般的假设为连续半软:而跳跃-扩散过程一般为不连续半软,可弥补理论上的不足.本文在存款利率与贷款利率不等的条件下,研究了跳跃扩散过程的关于投资组合的均值-方差模型,用 Poisson过程描述股票价格的跳跃.由于跳跃因素,证明关于扩散过程的一般最优控制的验证性定理.在此验证性定理的基础上,应用动态规划原理,求解 HJB方程得到原问题的最优策略.令其中‖·‖X为空间 X的范数.假设有一个金融市场,不确定性有 2个驱动因素:一个是概率空间(ΩN,FN,PN)上密度为λ(t)=(λ1(t),λ2(t)…λm(t))T的 m维 Po isson过程N(t)=(N1(t),N2(t)…Nm(t))T,补偿 Po isson过程 M =N(t)-(t)d s是 FN-PN 个鞅;另一个是概率空间(Ωω,FωPω)上 l维的 B row n运动ω(t)=(ω(t),1 ω2(t)…ωl(t))T.其中{FNt}是σ(N(s);0≤s≤ t)的扩张,{Fωt}是σ(ω(s);0≤s≤ t)的扩张.定义积空间(Ω,F,P)=(Ωω ×ΩN,Fω ×FN,Pω ×PN),ω(t)与 N(t)在积空间(Ω,F,P)相互独立.若市场上有 d+1个证券,一个无风险证券价格为p0(t),t∈[0,T]在存款利率与贷款利率不等的情况下满足微分方程其中 r(t)是无风险债券的利率,R(t)是贷款利率且R(t)≥r(t),d个风险债券满足微分方程其中pi(0)=pi,l+m =d,b(t)=(b1(t),b2(t) …bd(t))T,σ(t)=σij(t)d×l,φ(t)=(φik(t))d×m,i∈{1,2,…,d}.假设利率R(t),r(t)∈C([0,T];R),扩散率σ(t)∈C([0,T];R d×l),平均收益率b(t)∈C([0,T];R d),φ(t) ∈ C([0,T];R d×m),若 d 阶矩阵σ(t)σ(t)T 非奇异 ,则[σ(t),φ(t)]满足[σ(t),φ(t)][σ(t),φ(t)]T≥δI.其中 I为 d阶单位矩阵,δ为正常数,显然[σ(t),φ(t)]可逆.若一个投资者,它最初的财富为 x0,在 t时刻的财富为x(t),πi(t)表示它 t时刻在第 i 个风险证券上的投资份额,令π(t)=(π1(t),π2(t),…,πd(t))T,称π(t)为投资组合,即有定义 1 若 u(t)为 Ft-可料过程称 u(t)为允许的,所有允许投资组合的集合记为Λ.有 x(t)满足微分方程其中 x(0)=x0>0,1d表示分量全为 1的 d维列向量.为了方便期间,只考虑利率为 r(t)的情况,则式 (5)等价于d x(t)=[r(t)x(t)+uT(t)(b(t)-r(t)1d)]d t+uT(t)σ(t)dω (t)+uT(t)φ(t)dN(t). (6)投资者的目的是在有限时间段[0,T]内连续投资的过程中,使得财富最终的期望值最大和风险最小之间能实现一个的实现合理的均衡,故其中μ >0,α∈R.令为了处理问题简单期间引入单目标函数令Πμ,α ={u(·)|u(·)是满足式 (8)的最优控制)},下面的引理给出Πμ与Πμ,α的关系:引理 1 ∀μ>0,有Π ⊆∪ Π,若u(·) ∈Π,u＊(·) ∈Π,α＊=1+2μx＊ (T),x＊ (t), μ-∞<α<∞μ,α＊μμ,α＊u＊(·)为 (6)式所对应的财富过程.证明过程见文献[9].定理 1 ∀μ >0,α∈R,式 (5)所对应的最佳投资组合为∀t∈ [0,T],令β =α/(2μ),y= μ(x(t)-β),s(t)= μu(t),则式 (6)可转化为其中p0(t)≥0,y(0)=y0=μ(x0-β).令Λ ={s(·)|s(·)可测,关于 Ft可料并且满足式 (4)},则有Λ =Λ,又因为μx(T)-αx(T)=y(T)2-α2/(4μ),(x(·),u(·)满足式 (6))等价于(y(·),s(·))满足式 (10)),所以式 (8)等价于模型考虑如下一个关于跳跃 -扩散过程的一般最优控制问题,式(10)状态方程为d y(t)=[A(t)y(t)+B(t)s(t)+f(t)]d t+s(t)TD(t)dω(t)+s(t)T G(t)dN(t), (12)其中y(0)=y0,A(t)∈C([0,T];R),B(t)∈C([0,T];R d),D(t)∈C([0,T];Rd×l),f(t)∈L2([0,T];R),G(t) ∈ C([0,T];R d×m).设G(t)=(eik(t))d×m.则控制问题为其中 c,k为常数.令式中Et,y=E[·|y(t)=y,y(s),s≤t].定义变分算子则有下面引理成立:引理 2 设存在且连续并且存在常数 c,k,使得|v(t,y)|≤c(1+|yk|)满足微分方程若∃ s＊∈Λ,使得 s＊∈m in{Asw(t,y(t))+L(t,y(t);s(t))},则 w (t,y＊ )=V(t,y＊ ).y＊ (t)为 s=s＊时式 (12)的解,s＊是式 (12),(13)的最优控制.证明由推广的伊藤公式得,见文献[9].边界条件为 V(T,y(T))=(1/2)y(T)2.将式 (15)代入式 (14)整理得其中p0(t)≥0.解式 (16)得其中 Q(T)=0.式 (17),(18)是初始条件为一阶线性微分方程,都存在惟一的解.由式(17)可得,∀t∈又已知λ(t)≥0,故 HJB方程 (14)的最优解为下面方程组的解其中 1m为 m维分量全为 1的列向量,上式可改写为因[σ(t),φ(t)]可逆,从而[σ(t),φ(t)]T可逆,故由式 (18)可得最有策略为由引理 2可知,s(t)为式 (11)的最优控制.由式 (17),(18)可得其中x(t)≥0.式 (21)就为式 (8)利率为 r(t)的最优投资组合.将式 (20)代入式 (6)可得其中x(0)=x0,x(t)≥0,两边取期望得其中 E x(0)=x.解式 (22)可得解关于α的方程a=1+2μE x(T),当β=α＊/(2μ)考虑利率不同的情况.由引理 1可知式 (9)就为原问题 (6)最优解.证毕.【相关文献】[1] MOSSIN J.Op tim alm u lti-period portfo lio po licies[J].Journal ofBusiness,1968,41:215-229.[2] SAMUELSON PA.L ifetim e po rtfo lio selection by dynam ic stochastic p rogramming[J].Reviec of Econom ics and Statics,1969,51:236-246.[3] CHEN S,L IX,ZHOU X Y.Stochastic linear quad ratic regulato rsw ith indefinite con tro l weight costs[J].SIAM Journal on Contro l and Op tim ization,1998,36:1 685-1 702.[4] CHEN S,ZHOU X.Stochastic linear quadratic regulatorsw ith indefinite contro lweight cost(Ⅱ)[J].SIAM Journalon Contro l and Op tim ization,2000,39:1 065-1 081.[5] CAM PBELL J Y,LO A W,MACK INLAY A C.The econom etrics of financial markets[M].New Jersey:Princeton University Press,1997.[6] M ERTON R C.An analytical derivation of the efficient portfo lio frontier[J].Journal of Financial and Econom ics Analysis,1972,7:1 851-1 872.[7] KARATZASL,LEHOCZKY J P,SHREVE S E.Op tim al portfo lio and consump tion decisionsfo r a sm all investor on a finite ho rizon[J].SIAM Jou rnal on Con tro l and Op tim ization,1998,2:215-258.[8] COX JC,HUANGC F.Op tim al consump tion and portfo lio po licieswhen asset p rices fo llow a diffusion p rocess[J].Journal of Econom ic Theo ry,1989,44:33-83.[9] 郭文旌.跳跃扩散股价的最优投资组合选择[J].控制理论与应用,2005,22(2):171-176.。
Management经管空间 2012年7月089基于跳扩散的信用风险模型西南财经大学金融学院 蒋倩华摘 要：项目投资是以特定项目为对象，直接与新建项目或更新改造项目有关的长期投资行为。
项目投资、融资已经成为了银行贷款业务以及公司金融中非常重要的组成部分。
本文基于结构化信用风险模型，引入价值跳跃，着力于贴合当前市场的实际情况来分析项目投资的信用风险。
与一般打分评价体系相比，该模型更具有简单实用的特点，并且该模型能够提供直观的量化结果。
能够为项目融资提供有效的工具。
关键词：项目融资 项目投资 信用风险 价值跳跃中图分类号：F272 文献标识码：A 文章编号：1005-5800(2012)07(b)-089-031 文献综述及研究背景正确评价信用风险的目的在于正确地为投资风险定价，而正确评价信用风险的关键在于正确合理地估测违约风险。
1974年，莫顿利用布BS 期权定价理论推导出了通过以公司价值和资产负债结构为主要框架的违约风险评价结构化方法。
这也首创了违约风险量化技术。
Jones 在1984年对莫顿进行了一次实证研究，研究对27家资本结构较为单一的企业进行了分析，实证显示，莫顿模型低估了企业的信用价差，并且信用级别越多，其低估差越大。
Huang 、Eom 在2004年对多种结构化模型做了实证检验发现结构化模型导出的信用价差普遍低于真实值。
在国内的研究中，郑垂勇、李晓庆等于2006年研究发现上市公司短期债券融资的信用价差水平较低，但不同公司之间的价差差异明显。
同时，周孝坤在2006年对莫顿模型和Leland 模型的实证分析也证实了上述模型在国内市场定价中严重低估实际信用价差水平。
可见，在结构化方面的研究主要还是在莫顿的研究框架下进行的，并且实证研究都有相似的结论，即莫顿模型普遍会出现低估实际信用差价的情况，即该模型会出现低估违约概率的情况。
2 结构化模型框架2.1 违约定义首先，对于违约的定义，在布莱克的期权定价框架下，莫顿模型把企业资本分为了股东权益和零息债券，并且设定在债券到期日若企业资产价值低于债务价值，企业对债务违约，债权人获得企业所有资产。
基于跳跃-扩散过程的股票期权定价分析基于跳跃-扩散过程的股票期权定价分析摘要：股票期权定价一直是金融领域中的一个重要研究课题。
传统的股票期权定价模型，如布莱克-斯科尔斯期权定价模型，基于连续扩散过程进行建模，忽略了股票价格在短时期内可能出现的跳跃性波动。
为了更准确地描述股票价格的波动性，近年来，研究人员开始使用基于跳跃-扩散过程的模型进行股票期权定价分析。
本文将介绍基于跳跃-扩散过程的股票期权定价分析的基本原理，并通过实例展示该方法的应用和效果。
关键词：股票期权、布莱克-斯科尔斯模型、跳跃-扩散过程、定价分析第一章引言1.1 研究背景股票期权是一种金融衍生品，其价值来源于标的资产（股票）价格的变动。
股票期权定价是衍生品市场的重要环节，对投资者制定投资策略、对公司进行风险管理有着重要意义。
1.2 研究目的传统的股票期权定价模型使用连续扩散过程建模，但忽略了股票价格可能出现的跳跃性波动。
本文旨在通过分析基于跳跃-扩散过程的股票期权定价模型，提高股票期权定价的准确性。
第二章传统股票期权定价模型2.1 布莱克-斯科尔斯期权定价模型2.2 模型的假设及局限性第三章基于跳跃-扩散过程的股票期权定价模型3.1 跳跃-扩散过程简介3.2 跳跃-扩散股票期权定价模型的建立第四章基于跳跃-扩散过程的股票期权定价案例分析4.1 数据收集与处理4.2 模型参数设定4.3 模型结果分析第五章结果与讨论5.1 结果分析5.2 与传统模型的比较第六章结论6.1 研究总结6.2 研究不足与展望股票期权的应用和效果十分广泛。
股票期权在金融市场中作为一种金融衍生品，提供了一种灵活的投资和风险管理工具，具有如下的应用和效果。
首先，股票期权可以用于投资组合的多样化。
通过购买股票期权，投资者可以在不直接购买股票的情况下参与股票市场的涨跌。
股票期权的价值是基于标的资产（股票）价格的变动，投资者可以根据自己的预期和风险承受能力选择相应的期权合约，从而在不同的市场情况下实现资产的多样化配置。
帕累托—贝塔跳跃扩散模型的参数估计及其应用哪‘⑨一?硕士学位论文帕累托一贝塔跳跃扩散模型的参数估计及其应用论文作者:杨丽指导教师:何穗教授学科专业:应用数学研究方向:金融数学华中师范大学数学与统计学学院年月硕士学位论文’二黜煳⑨?.:: 讹舭.硕士学位论文’华中师范大学学位论文原创性声明乖使用授权说明原创性声明本人郑重声明:所呈交的学位论文,是本人在导师指导下,独立进行研究工作所取得的研究成果。
除文中已经标明引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。
对本文的研究做出贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明。
本声明的法律结果由本人承担。
作者签名:赖翮日期:冽许.月矽日学位论文版权使用授权书学位论文作者完全了解华中师范大学有关保留、使用学位论文的规定,即:研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属华中师范大学。
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保密的学位论文在解密后遵守此规定保密论文注释:本学位论文属于保密,在??年解密后适用本授权书。
非保密论文注释:本学位论文不属于保密范围,适用本授权书。
作者签名:扬砌日期:刎月沙日本人已经认真阅读“高校学位论文全文数据库发布章程”,同意将本人的学位论文提交“高校学位论文全文数据库中全文发布,并可按“章程中的规定日期:加月护日日期:劢博岁月砌硕士学住论文’⑨摘要金融衍生产品的定价模型中影响最大的是年,和提出的著名的?期权定价模型。
该模型是衍生金融工具的合理定价的里程碑式的成果,它为许多相关学科的发展开创了一个崭新的领域,但随着金融业的不断发展,特别是金融行业中的重大突发事件的发生和一些金融改革,人们发现模型不能完全适应金融市场,于是许多学者基于?模型进行推广和改进。
年, 考虑在非连续变化场合下的股价期权定价问题,提出了跳跃扩散模型。
跳跃—扩散模型资产定价公式的数值计算方法作者：张鸿雁,李强,张志来源：《经济数学》2010年第02期摘要假定资产价格变化过程服从跳跃扩散过程,那么基于它的欧式期权就满足一个偏积分微分方程(PIDE),本文利用差分法来离散这个PIDE方程,用两种迭代方法得到方程的数值解:基于雅可比正则分裂法和预条件共轭梯度法.关键词跳跃扩散模型;差分法;FFT算法;欧式看涨期权中图分类号 O241.82文献标识码:A引言美国芝加哥大学教授Black和Scholes[1]在1973年发表了“The Pricing of Options and Corporate Liabilities”一文,提出了著名的期权定价公式,在公式中,假设股票的价格过程是连续的几何布朗运动,但是,在现实市场中,一些突发情况会引起股票价格发生跳跃.基于上述考虑,Merton在1976年首先提出了跳跃扩散模型,在Merton模型中,资产价格在没有受到外界重大影响时服从布朗运动,当资产价格受到突发事件的影响而发生跳跃时,就用跳跃过程来描述.本文首先介绍PIDE[2]的具体形式,在Merton模型下对其差分离散,得到一个Toeplitz矩阵方程,用两种方法解这个矩阵方程,一是基于雅可比正则分裂的迭代方法[3-4],二是预条件共轭梯度方法.考虑到Toeplitz[5]矩阵的特殊性,在迭代的过程中,将其植入到一个循环矩阵中,利用循环矩阵和向量的乘积来计算Toeplitz和向量的乘积,而循环矩阵向量乘积可以通过快速富里叶变换(FFT)快速计算,这样就加快了迭代速度.共轭梯度法是解决Toeplitz线性方程组的主要方法之一,在利用共轭梯度法的情况下,快速傅里叶变换的作用是加快共轭梯度法的迭代速度,但不改变其收敛速度,共轭梯度法的收敛速度取决于线性方程组系数矩阵的条件数,基于此考虑,本文采用预条件共轭梯度算法,选用R.Chan优化循环预条件器[6],预条件器的使用是为了改善系数矩阵的条件数,以便提高收敛速度.2 跳跃扩散模型假设市场是完备无套利的市场,在跳跃扩散模型下,资产的价格变化过程服从随机微分方程-其中,υ(t)是漂移率,σ(t)是波动率,ω(t)标准布朗运动是泊松过程的概率是1-的概率是是泊松到达强度,η-1是由S跳跃到Sη的跳跃幅度函数,是一个随机变量,用ζ表示平均跳跃幅度E(η-1),泊松过程与布朗运动ω(t)是相互独立的.由文献[7]可知,在上述假设下,基于资产价格S与时间τ的未定权益V(S,τ)满足--式中,t=T-τ是到期时间为T的时间,r是无风险利率,g(η)是跳跃幅度η的密度函数.对式(2)的积分部分进行指数变量变换,令则式(2)变为--再对其余部分进行变换,令函数f(y)是跳跃幅度的密度函数,则式(3)变为----(t,x)∈[0,T)×R,边界条件令u(τ,•)=υ(T-τ,•),则式(4)变为--(r----(τ,x)∈3 Merton模型下的有限差分离散在中,由于则通常限定x的取值范围是-称为截断点称为截断区域,式(5)中的积分部分可以分割为两部分\在计算欧式看涨期权的情况下,在R\上的积分u(τ,z)可以进行近似代替--当x→+时.(6)u(τ,x)→0, 当x→-时经济数学第 27 卷第2期张鸿雁等:跳跃扩散模型资产定价公式的数值计算方法对于式(5)中的积分部分,进行变量变换z=x+y,则-定义函数---在模型中--在的情况下,有表达式----其中是标准分布函数--考虑时间和空间节点,使---(---1),和-1)k,m=1,…,q,k=T/q.记-在[-上用复合梯形原则,有积分近似---对于时间变量与空间变量,作近似---------这里,对于时间的偏导,当m≥2时,用向后的二阶差分来近似对时间的微分,当m=1时,用向后的一阶差分近似;对于空间的偏导,用中心差分来近似.定义向量由初始条件,初始向量由式(13)~(16),则式(5)的有限差分离散能写成矩阵形式其中3/2,m≥2,I是单位矩阵,C和D定义为---λζ)/2h,如果i=j-1, 2≤i≤n-如果i=j, 2≤i≤n---k(r--λζ)/2h,如果i=j+1, 2≤i≤n-1,0,其他情形;-如果2≤i≤n-1,且-如果2≤i≤n-1,且2≤j≤n-其他情形且式(17)中,向量定义为---其中如果如果m≥2,(19)如果-1/2,如果由初始边界条件可知-- 4 基于雅可比正则分裂的迭代方法定义1 假设矩阵A可用分裂成形式A=Q-其中,Q是单调矩阵-且R≥0,则称A可以正则分裂.对于每一个形如式(21)的分裂,都存在相应的迭代方法--若A是单调矩阵,则迭代式(22)是收敛的-给出雅可比正则分裂的形式:-其中是A的对角矩阵.如果满足:--)-则分裂是正则的,且--证明过程见文献[9].在有限差分法中,若:---则可以得到一个精确稳定的解.若保持k/h固定不变而让h→0,则存在一个使得在时条件同时成立5 预条件共轭梯度算法本文中系数矩阵A是一个矩阵,现选择优化循环预条件器[10]加快迭代过程中的收敛速度.预条件器------其中--是矩阵A中的元素,j=0,…,n-1.在所有的n阶循环矩阵中,C极小化范数-在这个意义下,C被视为A的一个近似矩阵.在预条件共轭梯度法下,每一次迭代都要计算矩阵向量积Ax和-和y是n维向量),可以利用快速富里叶变换快速计算.C可以被n阶离散富里叶矩阵对角化,即∧∧-且---1)是C的特征值是虚数单位于是-∧-对于计算Ax,可以先将A嵌入到一个2n阶的循环矩阵,然后借助2n阶快速富里叶变换来计算,即其中-1------等价于--对于矩阵方程循环优化预条件器是式(24),共轭梯度法采用析因形式[11],不生成系数矩阵,迭代算法为--是初值;(29)----终止条件是6 数值实验在模型[12]下做数值实验,当时,欧式看涨期权有解ω(t,s)=∑-λ(其中,τ=T---表示欧式看涨期权的价格.用编程进行数值试验.在所有的实验中,式(22)的迭代停止时刻由前后两个迭代矩阵之间的差的-范数决定,即当-V在模型中用FD和BDF2对空间与时间进行差分,并用三对角分裂法处理矩阵,到期时刻T=1,截断点波动率σ=0.2,跳跃方差跳跃强度λ=0.1,协定价格结果为:由表1和表2,随着差分节点数的增加,计算的误差越来越小,从空间差分节点数129开始,差分节点数每增加一倍,雅克比正则分裂迭代算法的计算误差就下降一个数量级,对于预条件共轭梯度法,当差分节点数从65增加到129时,计算误差下降了两个数量级,而在节点数从129增加到1 025的过程中,误差都是在同一数量级内减少,这说明预条件共轭梯度法的收敛速度很快.从计算的精确度来说,雅克比正则分裂法和预条件共轭梯度法相差不大,但是从计算的速度来看,后者要比前者快.本文讨论了当市场有跳跃时欧式期权定价的数值计算方法,期权的价格是一个PIDE方程的解,本文用差分法对这个方程进行离散,得到一个Toeplitz矩阵系统,本文用两种方法来处理这个系统,由表1和表2可以看出,二者在计算精度上差别不大,预条件共轭梯度法比雅可比正则分裂法的迭代结果误差更小些,而且迭代过程中的迭代次数更少,分析这些差别的原因,是由于预条件共轭梯度法对系数矩阵进行了处理,使系数矩阵的条件数减小,因而加快了迭代的收敛速度.参考文献[1] BLACK F,SCHOLES M.The price of options and corporate liabilities[J].Journal of Political Economy,1973,81(3),637-654.[2] ANITA Mayo. Methods for the rapid solution of the pricing PIDE in exponential and merton models[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics:2008,22(34):128-143.[3] CONT R,VOLTCHKOVA E.A finite difference scheme for option pricing in-1626.[4] 杨向群,吴峦东.带跳的幂型支付欧式期权定价[J].广西师范大学学报:自然科学版,2007,25(34),56-58.[5] STANG G.A proposal for toeplitz calculations[J].Stud Appl Math,1986,74(39):171-176.[6] CHAN T.An optimal circulant preconditioner for Toeplitzsystems[J].SIAM,J,Sci,Stat,Comput,1988,9(13):766-771.2004,38(37):35-45.[8] YOUNG D M.Iterative solution of large systems[J].New York:Academic,1971,5(23):25-35.[9] ARIEL Almendral,CORNELIS W.Oosterlee. Numercial valuation of options with jumps in the underlying[J]. Applied Numercial Mathematics,2005,53(29):1-18.iterations[J]. SIAM J Matrix Appl,1994,15(8):80-97.markets[D].Universi ta Degli Studi Di Roma “La Sapienza”Dottor to Di Ricerca in Miatematica Per Le Applicazioni Economiche e Finanziarie,2003.numerical methods for option pricing[J].Rew.Derivatives Res,2000,4(17):231-262.(School of Mathematical and Calculating Technology,Central South University,ChangSha,Hunan 410083,China)assumption.The equation was discretized by difference formula.The result was obtainedby two iterative methods:Jacobi regular splitting method and preconditioned conjugate gradient method.option。
毕业论文（设计）欧阳家百（2021.03.07）题目学院学院专业学生姓名学号年级级指导教师毕业教务处制表毕业二〇一五毕业年三月毕业二十日金融数学毕业论文题目一、论文说明本团队长期从事论文写作与论文发表服务，擅长案例分析、编程仿真、图表绘制、理论分析等，专科本科论文300起，具体信息联系二、论文参考题目浅析反证法思想在金融数学教学中的应用金融类“应用型”人才培养中经济数学的教学与改革关于金融数学教学的思考将经济数学与金融专业课程有效结合以培养金融类“应用型”人才本科生“金融数学”课程案例教学模式探讨金融数学专业人才培养模式的改革与探索金融数学方向建设的几点建议金融数学研究最新进展综述数学专业拓办金融数学方向教学改革的探索新建地方院校金融数学专业本科人才培养探讨金融经济分析应用经济数学的探讨复制资产策略在金融数学教学中的应用金融数学介绍金融数学概述数学与应用数学专业方向建设教学改革探索——浅谈在高校数学系开设金融数学本科专业金融数学教学初探经济数学在金融经济分析中的应用浅析金融理论发展对数学化的依赖应用型本科高校金融数学专业建设的思考浅谈数学在金融中的应用高校金融数学专业建设新探金融数学在西部高校的融合式教学发展研究金融数学专业“概率论”课程教学例题选题研究金融数学专业课程设置与人才培养质量分析金融类“应用型”人才培养中经济数学的教学与改革金融数学模型浅谈金融专业数学教学的改革金融类院校开设数学建模课程应解决的几个问题案例教学法在金融数学教学中的应用金融数学研究综述及其前景展望“金融数学”探究式教学的探索与实践金融数学金融工程和金融电子化浅析金融经济分析中经济数学的应用金融数学中的若干前沿问题金融数学与金融工程专业介绍及其发展前景浅析数学建模教育在金融人才培养中的作用及对策针对金融数学专业进行金融工程学课程教学改革的探索金融危机中企业受波及的数学模型金融数学财经院校金融数学高层次人才培养模式研究当前行为金融研究中数学建模应用的价值分析地方院校金融数学专业(方向)的课程设置高校金融数学专业实验课程的设置以辩证的观点浅析数学金融研究金融数学概述及其展望金融数学研究综述与展望金融数学概述浅谈金融与数学金融数学的教学与研究浅析数学方法在金融领域的应用金融数学:历史与现状金融数学教学方法改革的探讨与实践以就业为导向的金融数学课程设置与教学改革研究对“金融数学”专业人才培养的探索与实践金融数学研究前景展望金融危机与金融数学高校数学系金融数学实验教学模式的探讨金融类院校经济数学与现代信息技术深度融合探究浅谈数学建模教学与金融人才的培养金融中数学模型对实践的影响:过去、现在和未来金融数学方向《随机过程》课程建设的研究与实践论数学模型在金融领域中的应用浅谈数学模型在金融市场中的应用论金融经济学的数学化比较教学法在金融数学教学中的应用金融数学的发展及其在证券投资组合中的应用金融数学本科专业教学现状及对策分析刍议金融工程与金融数学专业的培养方案一类金融数学方程解的适定性研究金融数学课程设置与专业建设的一些体会数学在金融领域中的适用性和局限性金融数学的起源和发展及金融工程简介金融数学研究进展与展望我国金融数学的发展及前景谈如何运用金融数学技巧进行期权定价20世纪金融数学的若干进展及前瞻金融数学介绍结合学科特色的高等数学课程教学改革研究——以金融院校为例基于数学模型的金融系统分析研究数学金融中的经验与洞察我国金融数学教学工作改进分析计算机技术在金融数学课程教学中的运用数学建模教育与金融人才培养金融数学专业会计课程设置及实验教学思考金融专科生提高数学素养的思考金融数学的研究与进展金融数学及金融工程学──公司理财和金融风险防范的高新技术金融数学模型概述谈谈成人学校金融专业数学教学内容改革金融数学引论研究性教学探讨向应用型高校转型形势下的本科金融数学专业课程设置初探新建地方本科院校应用型金融数学人才培养的思考金融数学中两个基于高等数学的证明金融数学专业数学分析课程教学探索与实践地方高师院校金融数学教学模式初探金融数学教学方法的探索与实践关于金融数学深入认识的几点思考中职学校金融类专业数学选择性教学的实践研究应用型本科院校金融数学专业学生培养研究地方高师院校金融数学专业实验课程体系建设探索对金融数学专业教学改革问题的思考金融市场收益率离散数学模型及其定性分析对金融数学专业会计教学改革的思考成人金融院校数学教学改革初探金融对数学方法运用的探讨金融数学教育与实用型金融人才的培养“第六届全国金融数学与金融工程学科建设与学术研讨会”综述金融工程学的数学模型与方法非线性数学期望在金融风险中的应用论现代金融风险监管体系的数学模型数学与现代金融投资理论非线性数学期望金融数学介绍金融定量分析中的数学方法金融数学关于新升本金融类院校高等数学课程教学方法的研究提高数学教学质量适应现代金融事业发展西部新建地方本科院校金融数学教学模式初探浅谈数学在金融中的应用金融类院校经济数学教学现状及对策数学建模在现代行为金融研究领域的应用论金融风险监管中的数学模型方法金融工程学视角下的数学模型与应用金融数学发展综述应重视金融数学在外汇收支统计分析中的应用金融类院校数学建模课程设置的实践研究彭实戈:中国金融数学奠基人十年来我国金融数学的回顾和前景数学金融的分数次Black-Scholes模型及应用数学专业拓办统计与金融数学方向的教学改革一种借贷关系分析的数学方法和金融风险防范数学方法的金融应用初探数学建模思想在高职金融数学课程上的应用实践——以房贷按揭问题为例金融数学专业课程体系分析市场经济体制下金融机制及其数学建模机理的可拓性分析金融数学的发展及其在证券投资组合中的应用高校教学模式改革的有益探索——兼论金融数学专业实验教学的改革与完善数学建模教育与金融学科人才培养金融理论研究中的数学方法数学方法在金融投资风险分析中的应用21世纪应用型人才培养模式研究探索——湖南人文科技学院《应用数学(数理金融)本科专业人才培养计划》解读金融数学专业实变函数教学方法探析金融风暴下的数学专业金融数学本科专业人才培养模式的研究——以新疆财经大学为例“3+1”培养模式下《金融数学》课程实践教学改革的研究与实践《金融数学》课程对大学人才培养的作用金融数学培养方向实验项目资源建设的几点建议在《金融数学》教学中培养大学生的学习兴趣金融数学课程案例教学的探讨"金融数学专业设计性实验的教学安排数学在经济学研究中的角色:基于金融危机视角的思考概率论和金融学的结合——金融数学的现代发展综述金融数学的研究与进展金融衍生品和信用风险定价的数学模型山东大学“金融数学与金融工程基地班”人才培养模式探索独立学院数学与应用数学专业(金融证券方向)人才培养研究金融危机内在成因的数学建模研究案例教学法在金融数学专业数学分析教学中的应用地方院校金融数学专业“三模块”课程体系改革的探讨基于ADDIE模型的金融工程和金融数学专业实践性教学环节教学模式研究第九届全国微分方程暨金融数学学术会议在延边大学召开北京师范大学数学科学学院(统计与金融数学系)承办“3+X统计学及其应用Workshop 2011”提高金融院校大学生的数学素养是数学教学的根本任务<ahref=""/yxdetail.aspx?filename=PPTT20150 6020AQ&dbname=CAPJ2015"" target=""_blank"">向应用型高校转型形势下的本科金融数学专业课程设置初探"金融危机发生时资金运作的数学模型研究多媒体技术在金融数学课堂教学中的应用研究改革金融数学基础课程解析几何考试模式培养实践能力经济类院校经济数学分层次教学改革探讨——以山东轻工业学院财政与金融学院为例浅谈金融类院校高等数学分层教学的评价策略金融机构社会责任评价的数学模型浅谈金融数学试论数学分析在金融研究中的作用金融投资收益与风险的数学模型及其应用金融数学专业高等代数与解析几何教学探讨泛系资源泛通论:交通·通信·金融·数学——计算机·网络·智能·科技史新论识2007年全国金融数学学术研讨会会议纪要基于神经网络的金融相关比率(FIR)数学模型的建立期权如何定价?──金融数学拾零浅析金融数学模型金融类院校中经济数学对学生职业能力培养的研究金融数学模型及其非参数估计问题风险与回报:银行业中的数学(上)中国金融数学的先行者——金融数学领域彭实戈侧记金融系统数学模型的机理分析与控制金融数学中的欧式期权定价方法非线性数学期望，模糊下的最优停时原理及其在金融中的应用开展金融数学研究为金融事业决策服务关于地方院校新办金融数学专业课程体系构建的思考——以乐山师范学院为例金融工程:久期模型及其数学分析基于金融数学模型方法的电力衍生产品的定价研究国际金融法研究的切入点与数学方法期权类衍生金融工具的多期二项式定价数学模型非线性数学期望及其在金融中的应用谈金融专业学校数学教学的改革金融数学拓荒人——记著名金融数学家、山东大学数学研究所所长彭实戈教授非线性数学期望的性质及其在金融风险中的应用大数据时代金融专业数学的发展趋势浅议金融工作者数学素养的培育企业受金融危机影响的数学模型破产理论研究及其在金融数学中的应用数学在21世纪的金融中必将发挥更大的作用开展金融数学金融工程和金融管理研究金融经济学中的组合数学问题在金融危机中企业受波击的数学模型转变点在经济、金融、计量经济学中的数学建模卓越金融本科人才指标体系构建与评估——运用模糊数学的方法金融危机中企业受波及的数学模型的定性分析金融数学的崛起金融数学本科生多元统计分析课程教学的改革与实践Brown运动首达时在金融数学中的应用经济与金融中的“数学显微镜”基于数学规划模型的金融资源配置测算分析浅谈影响新建本科人才培养与有效教学的主要因素——以哈尔滨金融学院数学教学为例评《金融衍生产品定价的数学模型与案例分析》浅谈数学在金融领域的发展及应用基于正规金融信贷选择的一个数学博弈分析金融投资类线性规划及其数学模型的MATLAB求解马克思主义认识论的数学描述及其在金融经济学中的一个应用模糊数学在金融管理中的应用金融数学专业概率统计研究性教学的探索期权定价—数学在金融行业中的应用浅议金融和金融数学研究新兴的交叉学科——金融数学数学工具处理金融问题在金融写作中要注意正确运用数学概念最优控制的若干问题及其在金融数学中的应用浅谈数学金融学的变革与发展浅论数学金融学中关于期权定价的问题美国的金融风暴,源自美国失败的数学教育?金融控股集团资本金重复计算问题的数学分析一个有关咨信公司在金融市场中作用的数学分析数学模型在商业银行管理领域中的应用Knight不确定金融投资决策与风险度量研究“金融大厦”离不开数学支撑浅议数学在金融事务专业课程教学的影响与作用金融投资中的数学方法倒向随机微分方程和金融数学芝加哥大学数学系的金融数学学位"多维球面模型及其在股市分析中的应用——金融数学的新思考在金融院校高数教学中运用网络资源的研究金融数学第一人——访山东省科学技术最高奖获得者彭实戈民族地区金融数学专业常微分方程教学改革与实践有趣的金融数学金融数学的现在和未来金融数学帮您钱生钱经济数学与信息技术深度融合探究地方高校金融专业教学中数理分析能力的强化与培养重视金融数学研究的现实意义结合模糊数学与信息扩散法的Logit模型在信用评级中的应用金融中的数学——读《数学与金融》地方高校金融人才数理分析能力的强化与培养连续时间证券投资组合<ahref=""/yxdetail.aspx?filename=ZXDB2015 060902Q&dbname=CAPJ2015"" target=""_blank"">金融数学专业概率统计研究性教学的探索"彭实戈:中国金融数学第一推动人随机理论在连续时间金融市场模型中的应用信用风险分类评级数学模型的研究非线性数学期望的性质等比数列在金融领域中的一个应用研究突发事件:数学金融学的重要课题当代金融技术发展的趋势不相关金融投资收益与风险优化模型探讨我国金融危机预警模型的构建与实证研究中国“入世”对金融服务业影响的模糊数学模型分析有限离散时间金融市场模型金融数学中的若干极限定理容度极限理论和非线性数学期望在金融中的应用港鲁两校在数学领域的合作企业金融资产管理数学模型金融,也是科学和数学的事业──由1997年诺贝尔经济学奖引发的思考投资选择及资产定价数学模型研究陕西财经学院1981年硕士研究生入学数学试题(金融专业用)陕西财经学院1982年攻读硕士研究生入学数学试题(金融专业用)碳排放权交易的实物期权定价方法与数学模型开放教育金融专科“经济数学基础”教与学模式基于模糊层次分析法的互联网金融风险评估研究经济全球化背景下中国银行业税收问题研究非线性数字期望基于模糊数学中S型隶属函数的风险度量VaR股票投资风险管理的数学模型研究关于数学系列课程的教学建议论经济危机、金融危机的形成原因与遏制数学金融学与微分对策(英文)关于柱形H-半鞅的算子值随机积分及其在金融上的应用数学在经济学研究中的角色:基于金融危机视角的思考金融市场预测中数学的使用、误用和滥用威尔士斯旺西大学基于仓单质押的物流金融风险管理与控制研究山西票号金融稽核创新与研究金融模拟实验课程的建设与实践金融市场风险测量模型—VaR及基于VaR的证券组合选择探索数理之美构建艺术化金融教学模式基于过度自信的金融市场委托-代理模型研究资本监管标准与金融安全机理探讨基于经济增长偏好的地方政府金融行为研究在经济数学课程中实施参与型教学法的研究正倒向随机微分方程的数值方法及其在金融与双曲型方程柯西问题中的应用“中国商业经济学会经济数学研究分会第七次年会”综述随机利率情况下期权定价问题研究及应用分层目标教学法在经济数学教学中的应用“摧毁”华尔街的数学公式我国农村金融体系协调性及其测度PPR数学模型在通胀成因定量分析中的应用现代金融理论的进展综述浅析数学方法在金融学中的应用中国工业化进程中的金融先导战略研究复杂适应系统软件平台SWARM在金融体系中的博弈仿真研究高师院校数学类各本科专业应用型人才培养的思考从股票期权看数学科学金融衍生证券定价数值估计的理论分析金融专科学校高等数学课内容设置的构想基于分形的期权定价及风险价值计算静态利率期限结构的数学模型与算法的研究基于跳跃——扩散过程的最优消费投资组合问题研究金融统计教学的创新与实践20世纪经济数学的若干进展经济学向何处去——金融危机以来的经济学反思数学概率统计在实际生活重要领域的应用吉林大学金融学院上市金融企业内部控制有效性的研究金融经济学的现代进展银行业数学化探讨一种基于高阶矩的金融危机预测方法物流金融业务风险评价方法研究采用自学教学法是金融教育必由之路数学模型在商业银行管理领域中的应用欧式看涨期权定价微分方程的有限差分求解方法金融机构专利权质押贷款风险评估研究金融工程教学改革的研究与实践风险的测度研究──对偶方法数理统计与现代金融关系评论数字是经济管理的支柱用模糊数学评判信用社经营效益的初步研究组合投资数学模型发展的研究封闭方程组约束下的国际金融琼斯模型地方本科大学数学专业人才培养模式的探索经济数学教学提高职业能力培养创新人才模式的探究中国利率市场化若干问题研究金融计划简易概率网络模型金融工程学教学方法新探伊藤过程理论及其在金融中的应用外汇期权定价的数学模型分析试用数学方法研究储蓄在非线性情形下的一些大偏差结果以及在金融中的应用运用模糊数学方法统筹构建货币流通的模型试建一个金融资金流向流量优化模型金融分析师之路分数布朗运动环境下的欧式与美式期权定价研究股票价格的期权定价模型三中全会后金融改革趋势展望一类扩散过程的最优停止金融企业内部控制评价体系的思考与实践一类基于MATLAB程序的线性规划及数学模型的求解浅谈金融学中的数学委托-代理关系的数学描述及应用分析市场易变性与期权理论定价数学模型的比较金融市场化测度与中国金融市场化过程研究数学金融学中的期权定价问题跳跃点统计检测的小波方法及其在金融汇率中的应用进化金融及中国股市实证研究信用风险管理应避免滥用数学公式具脉冲影响的商品定价决策与金融调控问题的动力学模型研究泊松过程理论在地震灾害金融风险管理中的应用投资者有限理性与证券价格行为研究商业银行小微企业金融服务研究期权的定价与应用基于JSP技术平台下银行金融信息系统开发风险管理研究金融复杂性与中国金融效率期权定价理论的起源：巴夏里埃股票价格为跳跃扩散过程的期权定价的研究与应用证券选择的多元化问题研究基于指数方差伽玛模型的金融衍生品定价中国金融结构制度变迁及动因分析非线性跟踪—微分器在VaR中的应用研究中国农村金融供给创新的路径选择基于随机微分方程模型的金融时间序列预测的研究湖南省农村金融产品持续创新动力评价研究中国金融制度的风险机理研究基于多Agent模型的连续双向拍卖金融市场仿真实验研究经济心理与金融行为规范场理论和金融市场模型从学科交叉看金融工程学的发展首次穿过边界概率及其在金融中的应用(英文)分数布朗运动环境下可换债券定价模型“金融和保险领域中非线性复杂系统的研究”青年科研创新团队介绍群体模型下的金融市场和资产定价研究金融衍生产品中美式与亚式期权定价的数值方法研究几类奇异期权的风险VaR度量Rijndael算法硬件实现的优化设计及应用金融发展对城乡居民收入差距的影响金融保险中的大偏差问题随机控制理论在金融和保险中的应用后金融危机时代资源枯竭型城市产业结构与主导产业选择研究价差期权定价方法的研究电力系统商业化运营优化模式的分析与研究分形维数的数学基础及对上海股票市场混沌、分形特性的实证分析实际利率法应用中关键数据逻辑关系分析——以应付债券后续计量为例经济与金融:最“人文”的经济随机微分方程在金融中的若干应用金融时间序列隐含模式挖掘方法及其应用研究区域金融结构和金融发展理论与实证研究非正常金融环境下金融机构的VaR对比研究南京港物流发展研究我国农村微型金融服务及风险防范研究金融泡沫运行与控制研究金融混业经营及其风险管理研究金融企业应用管理信息系统的绩效评价研究甘肃省金融发展规模、结构、效率的协调性测度研究我国农村金融供求失衡深层机理研究中国政策性金融促进自主创新的有效性研究。
2008年10月系统工程理论与实践第10期 文章编号:100026788(2008)1020024207跳跃2扩散模型框架下基于鞍点近似的信用组合一致性风险度量詹原瑞,刘久彪(天津大学管理学院,天津300072)摘要: 在债务人资产价值的跳跃2扩散模型框架下,应用鞍点近似方法计算了信用组合损失的概率分布,并以算例具体说明了计算过程,得出了信用组合风险的VaR量度和一致性量度ES.然后,将鞍点近似方法得出的损失分布与蒙特卡罗模拟得出的结果相比较,得出了对于要求精度较高、资产数目较多的信用组合,基于鞍点近似方法计算一致性风险量度是信用风险管理的合适方法的结论.关键词: 信用组合;一致性风险量度;鞍点近似;期望短缺(ES)中图分类号: F830 文献标志码: A C oherent measures of credit portfolio risk under jum p2diffusionframew ork based on saddlepoint approximationsZHAN Y uan2rui,LI U Jiu2biao(School of Management,T ianjin University,T ianjin300072,China)Abstract: Based on the oblig ors assets’jum p2diffusion m odel,this paper calculates credit portfolio loss distributionby applying saddlepoint approximations,and gives an exam ple to show the process,then gets credit portfolio riskmeasure VaR and coherent risk measure ES.Through com paring the results from saddlepoint approximations and M onteCarlo simulation,we draw the conclusion that it is a proper method to calculates the coherent risk measure bysaddlepoint approximations for highly accurate credit portfolio risk management.K ey w ords: credit portfolio;coherent risk measures;saddlepoint approximations;expected shortfall(ES)0 引言VaR是目前风险管理中使用最为广泛的风险度量方法,然而,根据Artzner et al.(1999)、Embrechts (2000)、Acerbi et al.(2002),VaR具有下面几个概念上的问题:1)VaR只度量收益或者损失分布的分位数,不考虑超过VaR水平的损失程度(我们称为尾部风险),而在风险管理中,度量损失的严重程度是更为重要的,因为一个大的极端损失就可能冲垮一个运行良好的公司.由于信用损失分布的“偏峰厚尾”性,VaR 忽视尾部风险的缺陷在信用风险管理中尤为明显;2)VaR通常不满足次可加性,因而不是一个一致性风险量度.也就是说,组合VaR可能大于各组成成分VaR之和,这意味着使用VaR管理风险不会鼓励分散化.Acerbi et al.(2002)建议,期望短缺(ES)是一个可以替代VaR的、一致性的风险量度.对于给定组合,ES 是一定持有期限内超过VaR的组合损失的条件期望.可见,ES不仅是一个满足次可加性的一致性风险量度,而且提供了超过VaR的极端损失的信息.而且,与另一个一致性风险量度C VaR相比,ES对于损失分布没有特殊的要求,在分布函数连续和不连续的情况下都能保证一致性风险量度这一性质,而C VaR只适用于分布函数连续的情况.因而,ES具有更为广泛的适用性,不仅可以应用到任何金融工具的风险度量和控制,也可以处理具有任何分布形式的风险源.另外,传统的结构模型建模公司资产价值为一个扩散过程.当公司资产价值等于或低于其负债时,违收稿日期:2007203221资助项目:国家自然科学基金(70573076);高校博士学科点专项科研基金(20050056057) 作者简介:詹原瑞(1944-),女,江西婺源人,教授,博士生导师,研究方向:金融工程与管理,信用风险管理;刘久彪(1979-),男,辽宁锦州人,博士研究生,研究方向:信用风险管理.约发生.由于扩散过程是连续的,在结构模型中,公司不会突然违约.但事实上,公司既可能因为连续的不良发展逐渐违约,也可能因为无法预料的意外振荡突然违约.因此,本文考虑到两种违约方式,在扩散过程中加入一个跳跃过程,假设公司资产价值服从一个跳跃2扩散过程,使模型更符合实际.因此,本文以一致性量度ES 作为信用组合的风险量度,在公司资产价值的跳跃-扩散模型框架下建模组合的损失分布,对于重点关心的损失尾部分布,采用统计学中常用的鞍点方法近似求解,以得到一种方便、有效的计算信用组合一致性风险量度ES 的方法.1 信用组合损失建模111 一致性风险量度在概率空间(Ω,F ,P )上,考虑一个由n 个债务人组成的信用组合,银行面临的任意债务人i 的信用风险由下面三个参数评估:违约暴露E AD i 、违约损失LG D i 、违约概率PD i .一个固定的期限(称之为年期T )后,如果公司价值V i 等于或者低于该公司的违约阈值H i ,发生违约,否则,不发生违约.因此,可以把违约表示为一个伯努利随机变量D i :D i =1以概率PD i 发生0以概率1-PD i 发生定义债务人i ωi =E AD i ×LG D i ,那么,由债务人i 引起的损失L i 是:L i =E AD i ×L GD i ×D i =ωi D i因此,信用组合的损失可以记为:L =∑ni =1L i=∑ni =1ωiD i 设α为给定的置信水平,信用组合的VaR 就是损失分布L 的α分位点,即:VaR α=min{x :P (L ≤x )≥α}(1) VaR 在组合损失服从正态分布,组合中的资产数量不发生变化时,可以比较有效的控制组合的风险.但是,VaR 只度量损失分布的分位数,而不关心超过VaR 的损失分布情况,且在处理损失服从非正态分布时不具有次可加性,而信用组合损失分布正是非正态的厚尾分布,因此,VaR 不是合适的信用风险量度.下面,我们考虑期望短缺ES ,它是一个一致性风险量度,且在处理分布函数不连续时仍能保持一致性风险度量这一性质.ES 被定义为,在给定期限内,超过VaR α的尾部极端损失的条件期望:ES α=11-α{E [L ・1{L ≥VaR α}]-VaR α(P [L ≥VaR α]-(1-α))}(2) 上式表明,ES 不仅考虑了超过VaR α的极端损失的严重程度,并具有次可加性,而且,ES 可以应用于损失分布不连续情况的风险度量,而信用组合损失的分布通常是不连续的,因而,我们这里选用ES 作为信用组合风险的量度.112 公司资产价值的跳跃2扩散模型跳跃2扩散模型最初被Merton (1976)引入建模股票的价格过程,求解期权价格.在这种模型中,公司价值由两个随机过程驱动———一个连续的扩散成分和一个不连续的泊松过程的跳跃成分.一个通常的跳跃—扩散模型假设,在概率空间(Ω,F ,P )上,公司i 的资产价值V i 服从下面过程:d V i =(μi -λi v i )V i d t +σi V i d W i +(J i -1)V i d N i(3)其中,λi 、v i 和σi 是正的常数,d W i 是一个标准布朗运动,J i >0是一个随机变量,表示跳跃幅度,d N i 是一个强度为λi 的泊松过程,d W i 、d N i 和J i 是相互独立的,v =E (J i -1)表示跳跃幅度的期望,E 是随机变量J i 的期望算子,μi 表示公司资产的期望回报.通过建模跳跃项为一个泊松过程,公司价值的每次跳跃被假设是独立同分布的,在δt 时间内,发生一次跳跃的概率为λi δt .对跳跃2扩散过程应用伊藤公式,上式可被写成:52第10期跳跃2扩散模型框架下基于鞍点近似的信用组合一致性风险度量d ln V i =μi -12σ2i-λi v i d t +σi d W i +ln J i d N i对其进行积分,可以得到:V i (t )=V i (0)・expμi -12σ2i-λi v i t +σi W i (t )J i ,n (t )(4)这里,W i (t )～N (0,t ),V i (0)是已知的公司期初价值,J i ,n (t )=∏n j =1Ji ,j,其中,J i ,j 是独立同分布的随机变量,n ≥0,J i ,0=1,n 是参数为λt 的泊松分布.换句话说,J i ,n (t )代表[0,t ]时间内的跳跃次数为n 时,跳跃成分引起的公司价值的改变.在一般的跳跃分布情况下,需要借助数值方法求解上式.这里,我们假设J i ,j 服从对数正态分布:ln J i ,j ～N (μi ,J ,σ2i ,J )在这个假设下,我们可以求出公司i 的违约概率的解析解.113 单因素模型框架下的信用组合损失模型为了方便计算,这里我们假设违约只在债务的到期日发生,就是说,在债务的到期日T ,如果公司i 的资产价值V i (T )等于或者低于该公司的违约阈值H i (T ),违约发生,否则,公司不违约,于是,我们可以计算公司i 的违约概率为:PD i ≈P {V i (T )≤H i (T )}(5) 在单因素模型框架下,我们假设宏观经济因素Y 由一个布朗运动d W Y 驱动,d W Y 和d W i 具有瞬时相关性,d W i d W Y =ρi d t ,ρi 为常数,于是,我们可以把d W i 分解为ρi d W Y +1-ρ2i d W ′i ,d W ′i 也是一个布朗运动,代表公司特质因素的连续变化.于是,我们重写(4)式为:V i (t )=V i (0)・expμi -12σ2i-λi v i t +σi (ρi W Y (t )+1-ρ2i W ′i (t ))+∑ni =1ln J i(6) 假设组合中各个公司间没有违约传染,公司资产价值只通过系统因素相关,在驱动宏观经济因素Y的布朗运动W Y (T )确定了一个实现y ～N (0,T )后,各个公司资产价值是条件独立的,那么,每个公司的条件违约概率也是独立的.根据(5)、(6)式,计算公司i 在宏观经济因素W Y (T )=y 条件下的违约概率为:P (y )=P (L i =1|W Y (T )=y )=P [V i (T )≤H i (T )|W Y (T )=y ]=P ln V i (0)+μi -12σ2i-λi v i T +σi (ρi y +1-ρ2i W ′i (T ))+∑N (T )i =1ln J i≤ln H i (T )|W Y (T )=y=P σi 1-ρ2i W ′i (T )+∑N (T )i =1ln J i ≤ln H i (T )-ln V i (0)-μi -12σ2i-λi v i T +σi ρi y |W Y (T )=y(7) 为表达方便,我们设C i (T )=ln H i (T )-ln V i (0)-μi -12σ2i-λi v i T .同时,我们注意到,在[0,T ]时间内的跳跃次数N (T )=k 的条件下,有下面关系存在:σi 1-ρ2i W ′i (t )+∑N (T )i =1ln J i ～N (k μi ,J ,σ2i (1-ρ2i )T +k σ2i ,J )于是,我们得到公司i 在宏观经济因素W Y (T )=y 、[0,T ]时间内的跳跃次数N (T )=k 的条件下的违约概率为:P (y |N (T )=k )=P [V i (T )≤H i (T )|W Y (T )=y ,N (T )=k ]=ΦC i (T )+σi ρi y -k μi ,Jσ2i (1-ρ2i )T +k σ2i ,J(8)考虑到[0,T ]时间内的跳跃次数N (T )为强度λT 的泊松过程,因此,得到跳跃次数N (T )=k 的概率为:P (T ,k )=P [N (T )=k ]=e-λT (λT )k k !(9)62系统工程理论与实践2008年10月对于k =1,2,…,N 的情况,使用相同的方法,并应用全概率公式,可以得到公司i 在宏观经济因素W Y (T )=y 条件下的违约概率P (y ):P (y )=∑∞k =1P i(T ,k )ΦC i (T )+σi ρi y -kμi ,J σ2i (1-ρ2i )T +k σ2i ,J(10)2 鞍点近似独立随机变量之和的计算在理论和实践中都是一个非常重要的问题,正态分布近似、Edgew orth 展开和鞍点近似是三个最为常用的方法.正态近似非常简单,但经常不够准确,特别是对于小样本.Edgew orth 展开稍复杂,但它只是正态近似基础上的改进,其数值精度也令人怀疑.而鞍点近似却能提供比较精准的近似,尤其是对独立随机变量之和尾部分布的估计.因此,下面我们采取鞍点近似的方法,在跳跃-扩散模型框架下估计信用组合损失的尾部分布.211 鞍点近似基础鞍点近似方法首先求助于矩母函数(MG F )的计算,设随机变量X 的分布函数为F (x ),则称M X (t )=E (e tX)=∫+∞-∞e tXd F (x )(11)为X 的矩母函数.对于一个有限序列的独立随机变量X i ,i =1,2,…,n ,它们之和X =∑ni =1Xi的矩母函数是X i 的矩母函数M X i (t )的乘积:M X (t )=∏ni =1MXi(t )(12)设K X (t )=ln M X (t )是X 的累积矩母函数(CG F ),鞍点就是使得K X (t )-tx 稳定的点 t ,就是说,在鞍点t = t ,使得累积矩母函数(CG F )的一阶导数具有下式成立:K ′X (t )=x (13)随机变量X 的尾部概率P {X >x }能通过K X ( t )及其在t = t 点的一阶、二阶导数近似得到.根据Lugannani 和Rice (1980),随机变量X 的尾部概率分布函数P {X >x }的鞍点近似给出是:P (X >x )=1-F X (x )≈1-Φ(r )+φ(r )1u-1r(14)这里,Φ和φ分别是标准正态的累积分布函数和密度函数.由于上面式子在计算方面的复杂性,根据Barndorff 2Nielsen (1991),一个可替换的式子给出是:P (X >x )=1-F X (x )≈1-Φr -1rln1u(15)其中,两种情况下的参数r 、u 均为:u = tK ″(t ), r =sgn ( t )2[x t -K ( t )]sgn 表示r 符号的选择根据鞍点 t 的符号,使两者的符号相同.即使对于随机变量X i 服从正态分布、伽马分布和逆高斯分布等情况,对于X 的尾部分布的鞍点近似仍是十分准确的.如果需要得到更高的精确度,还可以求助于鞍点近似的三阶以上的近似结构(关于鞍点近似的细节,推荐看Jensen (1995)).212 信用组合损失的鞍点近似根据113节的分析,在单因素模型框架下,驱动宏观经济因素Y 的布朗运动W Y (T )确定了一个实现y 后,各个债务人的资产价值是条件独立的,因此,各个债务人的违约概率P i (y )和其引起的条件损失L i (・|y )也是条件独立的.因此,我们可以直接对给定y 的条件下的组合损失L 的矩母函数应用鞍点近似,使每个债务人引起的条件损失是相互独立的,鞍点近似能够得到比较好的结果.根据(11)、(12)式,我们可以得到y 条件下的损失的条件矩母函数为:72第10期跳跃2扩散模型框架下基于鞍点近似的信用组合一致性风险度量M (t ,y )=∏ni =1[1-P i (y )+P i (y )eωit](16)计算M (t ,y )的条件累积矩母函数及其一阶、二阶导数为:K (t ,y )=∑ni =1ln[1-P i (y )+P i (y )eωit](17)K ′(t ,y )=∑ni =1ωi P i (y )e ωi t1-P i (y )+P i (y )e ωi t(18)K ″(t ,y )=∑ni =1[1-P i (y )]ω2i P i (y )e ωit[1-P i (y )+P i (y )e ωi t ]2(19) 由(18)式可以看出,K ′(t ,y )是关于t 的单调增函数,在[0,Σωi ]上是有界的,对于每一个x ∈[0,Σωi ],等式(13)存在唯一解 t ,即鞍点,然后带入(17)、(19)式,结合(15)式,即可得出鞍点近似的信用组合的条件损失密度和条件尾部概率,将条件损失密度函数,对正态分布的宏观经济因素Y 进行积分,可求出非条件信用组合损失密度和尾部概率分布,进而求出一定置信水平的组合的VaR 和一致性风险量度ES.3 算例下面我们举出算例来详细说明上面的计算方法.为了计算简单,我们假设组合中的债务人及其贷款金额是完全相同的,对于异质组合的情况,除计算稍繁琐,其它均与同质组合是相同的,因此,我们的算例具有很好的示范性.算例 假设某完全由公司贷款组成的信用组合,各个债务人的信用特征和贷款金额是相同的,公司资产价值V 服从跳跃2扩散过程,其期初公司价值为V 0=2815亿元,违约阈值为H T =1419亿元,公司的年期望收益为μ=5%,表示公司风险的价值波动性为常数σ2=0125,跳跃过程的强度为λ=0110,跳跃幅度服从对数正态分布ln J ～(0,010054),公司资产价值V 与宏观经济因素Y 之间的相关性为ρ=0115,组合中包含100笔贷款,各债务人的有效风险暴露均为1亿元,债务人之间没有违约传染.我们考察组合在1年内的损失分布情况,首先应用我们上面的鞍点近似方法,求出鞍点近似的组合损失分布,列出累积概率大于95%的组合损失分布如表1.表1 鞍点近似的累积概率大于95%的组合损失分布损失(亿元)累积概率损失(亿元)累积概率损失(亿元)累积概率损失(亿元)累积概率3.30.9435 5.00.9952 6.70.999748.40.9999883.40.9504 5.10.9959 6.80.999788.50.9999893.50.9565 5.20.9965 6.90.999828.60.9999913.60.9620 5.30.99717.00.999858.70.9999923.70.9668 5.40.99757.10.999888.80.99999293.80.9711 5.50.99797.20.999908.90.99999373.90.9749 5.60.99827.30.999929.00.99999434.00.97825.70.99857.40.9999299.10.99999484.10.9811 5.80.99877.50.9999429.20.99999524.20.9837 5.90.998947.60.9999519.30.99999554.30.98596.00.999117.70.9999599.40.99999584.40.9878 6.10.999387.80.9999669.50.99999604.50.9896 6.20.999697.90.9999729.60.99999624.60.9911 6.30.999478.00.9999769.70.99999634.70.9923 6.40.999568.10.9999819.80.99999644.80.9934 6.50.999638.20.9999839.90.99999654.90.99446.60.999698.30.99998610.00.9999966从表中可以看出,基于鞍点近似的方法求解信用组合损失分布可以得到很高的精确度,对于要求置信82系统工程理论与实践2008年10月度很高的信用风险管理(AA 级以上的银行要求置信水平达到99%),鞍点近似是一种理想的工具.同时,根据我们基于鞍点得到的损失频率结果(损失频率表在此不再列出),结合(1)、(2)式,可以求出对于不同置信水平的VaR α和ES α,将α=95%、99%、9919%和99199%分别计算出的VaR α和ES α列表如表2.表2 鞍点近似得出不同置信水平的VaR α和ES α置信水平95%99%99.9%99.99%VaR α3.354.555.957.25ES α 4.09 5.14 6.467.45以上,我们在跳跃—扩散模型的框架下,应用鞍点近似的方法,得到了信用组合损失的概率分布,并计算出了对于不同置信水平的VaR α和ES α.为了更进一步直观的说明鞍点近似方法的优势,我们对上面算例中的组合在跳跃2扩散模型框架下进行30000次的蒙特卡罗模拟,得出基于模拟的组合损失分布,将两者比较,显示如图1.可以看出,两者的形状极为相似,均具有信用组合损失分布的“偏峰厚尾”特征,这意味着组合内存在发生概率很大的数额很小的损失,和发生概率很大的巨额损失.在损失的尾部,和正态分布相比,具有明显的厚尾性,这使得度量市场风险十分有效的VaR量度在这里不再适用,因为这会忽视VaR 之后的尾部损失.但在图1中,我们很难看清鞍点近似和模拟两种方法得出的组合损失分布的尾部的区别,为此,我们截取VaR 99%之后的损失尾部分布放大如图2,对两者进行比较.图1 鞍点近似和模拟的组合损失概率分布比较 图2 鞍点近似和模拟的大于99%VaR 的组合损失尾部概率分布比较从图2可以看出,基于鞍点近似得出的组合损失尾部分布仍然十分稳定,但由于采样误差的影响,模拟得出的结果已经不再稳定,这一点在图3显示的VaR 9919%后面的组合损失尾部概率分布中显得更为明显.图3中,基于模拟方法得出的损失分布的采样误差已经十分明显,不断出现跳跃,本文采用的模拟次数已经达到了30000次,这样的模拟次数已经十分费时,但对于实际情况,9919%的置信水平要求是十分平常的,特别是对于计算尾部期望的一致性风险量度ES ,还需求得损失尾部分布,这对于模拟的方法几乎是不可能实现的,即使我们成倍数的增加模拟次数,得出的一致性风险量度ES 结果的可信度仍然是值得怀疑的.特别的,我们还选取了99199%VaR 之后的损失尾部,如图4所示.从图4中,我们可以看出,基于鞍点近似得出的尾部分布仍然保持着很好的稳定性,但是模拟得出的结果已经完全不可相信,甚至在大于8之后的损失中不在出现,但事实上,这样的损失的概率并不为0,对于计算一致性风险量度ES ,这仍是需要考虑的部分.92第10期跳跃2扩散模型框架下基于鞍点近似的信用组合一致性风险度量图3 鞍点近似和模拟的大于99.9VaR 的组合损失尾部概率分布比较图4 鞍点近似和模拟的大于99.99%VaR 的组合损失尾部概率分布比较4 结论从以上分析和算例,我们可以得出结论:1)信用组合的损失分布呈现明显的“偏峰厚尾”性,使用VaR 模型会忽视度量尾部损失的严重程度,进而在实践中造成严重的后果;而一致性风险量度ES 考虑了尾部损失严重程度的度量,因而是合适的信用风险量度.2)在跳跃-扩散模型的框架下,基于鞍点近似的方法可以得出十分准确、稳定的信用组合损失概率分布,尤其是对于损失尾部分布的度量,鞍点近似具有明显的优势,因而是基于一致性风险量度ES 的信用风险管理中,估计损失尾部分布的一个理想方法.3)鞍点近似的方法对于因素模型具有很好的适用性,即使是对于比较复杂的跳跃2扩散过程、甚至多因素模型,应用鞍点近似都可以求解.4)模拟并不是求解信用组合风险量度的合适方法,尤其是对于求解尾部期望的一致性风险量度ES ,或者是对于要求精度较高的金融机构.这时,我们可以求助于鞍点近似方法.参考文献:[1] Dembo A ,Deuschel J ,Du ffie rge portfolio losses[J ].Finance and S tochastics ,2004(8).[2] Leif Andersen.P ortfolio losses in factor m odels :T erm structures and intertem poral loss dependence [E B ΠO L ].w w w.defaultrisk.com ,2006.[3] Daniels H E.T ail probability approximations[J ].International S tatistical Review ,1987,55(1).[4] R obert L ,S tephen R.Saddle point approximation for the distribution of the sum of independent random variables[J ].Advances inApplied Probability ,1980,12(2).[5] Paul G lasserman.T ail approximations for portfolio credit risk[E B ΠO L ].http :ΠΠ ,2004.[6] G ordy M B.Calculation of higher m oments in creditrisk +with applications[E B ΠO L ].w w ,2001.[7] Huang X ,O 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