第7讲消去问题例题

奥数消去问题公式奥数中的消去问题可是很有趣的呢！咱们先来说说啥是消去问题。

比如说，小明去买苹果和香蕉，3 个苹果和 2 根香蕉一共花了 18 元，5 个苹果和 2 根香蕉一共花了 26 元。

那一个苹果多少钱？这就是一个典型的消去问题。

解决消去问题，咱们得靠一些公式和方法。

最常用的就是“加减消元法”。

就拿前面买水果的例子来说，咱们来看看怎么用加减消元法。

5 个苹果和 2 根香蕉花了 26 元，3 个苹果和 2 根香蕉花了 18 元。

那用 26元减去 18 元，得到的就是 2 个苹果的价钱，也就是 8 元，所以一个苹果就是 4 元。

再比如说，有这样一道题：甲买了 2 支铅笔和 3 个笔记本花了 15 元，乙买了 4 支铅笔和 5 个笔记本花了 27 元。

那一支铅笔和一个笔记本分别多少钱？这时候，咱们可以先把甲的情况乘以 2，得到 4 支铅笔和 6 个笔记本花了 30 元。

然后用这个和乙的情况相减，30 元减去 27 元，就是 1个笔记本的价钱，也就是 3 元。

知道了笔记本的价钱，再代入甲的情况，就能算出铅笔的价钱啦。

我之前教过一个小朋友做这类题，他一开始总是晕头转向的。

我就跟他说：“你就把这些数字当成你的小伙伴，它们在跟你玩捉迷藏，你得把它们找出来排好队。

”这孩子听了之后，好像突然来了劲，瞪着大眼睛认真思考起来。

后来经过几次练习，他终于掌握了诀窍，每次做题都特别积极，还跟我说：“老师，我觉得做奥数题就像破案一样，太有意思啦！”咱们再来说说“代入消元法”。

比如这道题：3x + 2y = 11 ，x + y = 5 。

咱们可以从第二个式子得出 x = 5 - y ，然后把这个式子代入第一个式子，就能求出 y 的值，再求出 x 的值。

还有“等式变形消元法”，比如 2x + 3y = 18 ，4x - 3y = 6 。

这时候可以把两个式子相加，消去 y 。

总之，消去问题的公式和方法就是帮助我们找到那些隐藏在数字背后的小秘密。

消去法解应用题有的应用题，未知的数量比较多，往往要通过对某些量的比较，先消去一个或几个未知量，从而求出问题的答案。

这类应用题的解答方法是：根据题目的条件，把相对应的数量列表，比较其关系，设法消去其中一个未知数，然后按化简后的数量关系解答。

例1. 甲买4个足球和5个篮球共花492元，乙买了同样的4个足球和2个篮球共花312元，每个足球、每个篮球各多少元？分析与解答：题目中有两个未知量，足球和篮球的单价，我们要想办法使两个未知量消去一个，只留一个未知量。

4个足球+5个篮球=492元 （1）4个足球+2个篮球=312元 （2）从（1）式中减去（2）式得：3个篮球=180元每个篮球=180÷3=60（元） 每个足球=（492-60×5）÷4=48(元)答：每个足球48元，每个篮球60元。

【模拟练习】1、买3个苹果和2个梨共重1600克，买5个苹果、2个梨共重2400克，问：每个苹果、每个梨各重多少克？例2.买4张桌子和2把椅子要付380元，而2张桌子和4把椅子要付280元，求一把椅子和一张桌子的价钱各是多少元？4张桌子+2把椅子=380元 (1)2张桌子+4把椅子=280元 (2)把（1）、（2）式相加起来得：( )张桌子+( )把椅子= ( )元即：（桌子+ 椅子）× =660元桌子+ 椅子=660÷6= 元椅子：桌子：答：一把椅子价钱是元，一张桌子的价钱是元。

【模拟练习】1、买3千克苹果和2千克梨共用15.5元，买2千克苹果和3千克梨共14.5元，每千克苹果多少元？例3. 桔子、香蕉各一筐共重115千克，苹果、桔子各一筐共重100千克，苹果、香蕉各一筐共重95千克。

桔子、香蕉每筐各重多少千克？一筐桔子+一筐香蕉=115千克（1）一筐苹果+一筐桔子=100千克（2）一筐苹果+一筐香蕉=95千克（3）把（1）、（2）、（3）式相加起来得：2筐桔子+2筐香蕉+2筐苹果=310千克（一筐桔子+一筐香蕉+一筐苹果）×2=310千克一筐桔子+一筐香蕉+一筐苹果=310÷2=155千克桔子=155－ = (千克)香蕉=155－ = (千克)答：1筐桔子 千克，1筐香蕉 千克。

第7讲消去问题（二）【专题解析】在有些应用题里，给出了两个或两个以上的未知数量间的关系，要求这些未知数量。

我们在解题时，可以通过比较条件，分析对应的未知数量变化的情况，想办法消去其中一个未知数量，从而把一道数量关系较复杂的题目，变成比较简单的题目，解答出来。

这样的解题方法，我们通常把它叫做“消去法”，也叫“代换法”。

例1、7袋大米和3袋面粉共重425千克，同样的3袋大米和7袋面粉共重325千克。

求每袋大米和每袋面粉的重量。

【分析与解答】7袋大米重+3袋面粉重=425千克. (1)3袋大米重+7袋面粉重=325千克. (2)(1)+(2)得: (7+3)袋大米重+(3+7)袋面粉重=(425+325)千克 (3)(3)÷10得: 1袋大米重+1袋面粉重=75千克 (4)(4)×3得: 3袋大米重+3袋面粉重=225千克 (5)(1)-(5)得:(7-3)袋大米重=(425-225)千克1袋大米重:(425-225)÷(7-3)=50千克 1袋面粉重:75-50=25千克检验:3×50+7×25=150+175=325千克.正确.答:(略)例2、三头牛和8只羊每天共吃青草93千克，5头牛和15只羊每天吃青草165千克。

一头牛和一只羊每天各吃青草多少千克？例3、甲买了8盒糖和5盒蛋糕共用去171元；乙买了5盒糖和2盒蛋糕共用去90元。

每盒糖和每盒蛋糕各多少元？【分析与解答】8盒糖的价钱+5盒蛋糕的价钱=171元 (1)5盒糖的价钱+2盒蛋糕的价钱=90元 (2)(1)-(3)得: 3盒糖的价钱+3盒蛋糕的价钱=81元 (3)(3)÷3得: 1盒糖的价钱+1盒蛋糕的价钱=27元 (4)(4)×2得: 2盒糖的价钱+2盒蛋糕的价钱=54元 (5)(2)-(5)得: 3盒糖的价钱=36元1盒糖的价钱:36÷3=12元. 1盒蛋糕的价钱:27-12=15元.检验:8×12+5×15=96+75=171元.正确.答:(略)例4、体育老师到商店买2个足球和3个篮球需要付154元;买3个足球和5个篮球需要付245元.那么买1个足球和1个篮球各要付多少元?【分析与解答】2个足球+3个篮球=154元 (1)3个足球+5个篮球=245元 (2)(2)-(1)得: 1个足球+2个篮球=91元 (3)(3)×2得: 2个足球+4个篮球=182元 (4)(4)-(1)得: 1个篮球:28元1个足球:91-28×2=35元检验:35×2+28×3=70+84=154元.正确.答:(略)例5、学校购买篮球、排球和足球，第一次各买2只共用去71.4元；第二次买4只篮球、3只排球、2只足球共用去113.7元；第三次买5只篮球、4只排球、2只足球共用去140.7元.问篮球、排球和足球每只各多少元？­【分析与解答】2篮球价+2排球价+2足球价=71.4元 (1)4篮球价+3排球价+2足球价=113.7元 (2)5篮球价+4排球价+2足球价=140.7元 (3)(2)-(1)得: 2篮球价+1排球价=42.3元 (4)(3)-(2)得: 1篮球价+1排球价=27元 (5)(4)-(5)得: 1只篮球价为:42.3-27=15.3(元)1只排球价为:27-15.3=11.7(元)1只足球价为:71.4÷2-15.3-11.7=8.7(元)检验:15.3×4+11.7×3+8.7×2=113.7(元).正确.答:(略)例6、李明用188元买了一件大衣、一条裤子和一双鞋。

七、消去法解题走进来小花买了3千克苹果和5千克鸭梨共花35元，小黑买了同样的5千克苹果共花25元，求每千克苹果、每千克鸭梨各多少元？这个问题相信聪明的你很快就能做出答案。

如果把题中的第二个条件“小黑买了同样的5千克苹果共花25元，”改为：“小黑买了同样的9千克苹果和4千克鸭梨共花61元，”你能求出每千克苹果、每千克鸭梨各多少元吗？一道题中若有两个或多个未知量时，要求出这些未知量，可以通过比较条件，分析对应的未知量的变化情况，消去其中的一个或两个未知量，只保留其中的一个未知量，把复杂的题目转化成简单的题目，这种解决问题的方法我们称之为“消去法”。

中学代数中称为“消元法”，实际上是把二元一次方程组转化成一元一次方程来求解。

一起做【例1】刘华买了4副球拍和10个羽毛球共花了108元，张明买了同样的2副球拍和10个羽毛球共花了64元，问一副球拍和一个羽毛球各多少元？提示：把两组已知条件用等式表示出来，比一比，看一看，差在哪？【例2】小花买了3千克苹果和5千克鸭梨共花35元，小黑买了同样的9千克苹果和4千克鸭梨共花61元，请问1千克苹果和1千克鸭梨各多少元？提示：利用等式的性质想办法让小花买的苹果也变成9千克，然后再比比看。

【例3】王爷爷买了2千克鲤鱼和6千克黄瓜共花了30元钱，李奶奶买了同样的3千克鲤鱼和5千克黄瓜共花了37元，问每千克鲤鱼和每千克黄瓜各多少元？提示：把两组已知条件用等式表示出来，对应比较一下，你能否利用等式的性质通过变换使王爷爷和李奶奶买的鲤鱼或黄瓜数相同？【例4】已知小红买了5袋大米和6袋面粉共重540千克，小花买了同样的6袋大米和5袋面粉共重560千克，请问一袋大米和一袋面粉共重多少千克？提示：把小红和小花买的大米和面粉都加在一起，你就会找到答案。

【例5】明明去超市买了5瓶可乐、3瓶矿泉水，共花了18元。

已知4瓶可乐的钱数比6瓶矿泉水的钱数多6元，求一瓶可乐和一瓶矿泉水一共多少元？提示：把两组已知条件用等式表示出来，对应比较一下，设法消去其中的一个量。

小学四年级数学奥数,消去问题
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这一类的问题中，常常会同时出现两个或两个以上的未知的数量，并给出不同情形下数量间的关系。

解决这一类问题，通常采用“消去法”，即通过分析比较去同求异类，设法消去一个未知数量，从而将问题简化变成一个未知量的题目，进而求出结果。

第一组：
1、妈妈买了3个茶杯和3个水瓶一共用去66元，照这样计算，妈妈第二次买了同样价格的7个茶杯和7个水瓶共用去多少元？
2、妈妈买了20个茶杯和3个水瓶共用去134元，照这样计算，妈妈第二次买了同样价格的16个茶杯和3个水瓶共用去118元。

水瓶和茶杯的单价各是多少元？
3、王老师买15张桌子和25把椅子一共用了3050元，买同样的5张桌子和20把椅子共用了1600元。

问，桌子和椅子的单价各是多少元？
4、奶奶家3头牛和6只羊一天共吃草108千克，6头牛和5只羊一天共吃草160千克。

问，每头牛和每只羊每天各吃草多少千克？
第二组
1、3头牛和6只羊一天共吃草108千克，4头牛比6只羊每天多吃草32千克。

问每头牛和每只羊每天吃草多少千克？
2、已知8个足球和12个篮球一共用去984元，买同样的20个足球比12个篮球共用去276元。

求足球和篮球的单价各是多少元？
3、妈妈去水果店买水果，原计划买4千克梨和5千克苹果，要付出50元，结果买了3千克梨和6千克苹果，一共需要51元，问，梨和苹果的单价各是多少元？
4、7袋水泥和3袋黄沙共重425千克，同样的3袋水泥和7袋黄沙共重325千克。

求，每袋水泥和每袋黄沙的重量。

1 / 1。

消去问题解决这类问题的方法和数学家高斯有紧密的关系。

这个方法的全名是高斯消去法，又称高斯消元法，我们学的只是这个方法的一些简单应用，一般叫做消去法。

☆典型例题一☆小红家买2千克梨和6千克苹果，共付了26元，小斌家买同样单价的梨2千克和苹果15千克，共付了53元，梨每千克多少元？苹果每千克多少元？例题解析：从题中的信息可知，小红和小斌家买的水果是同样价钱的苹果和梨，而苹果和梨的价钱都是未知的。

我们把信息进行整理如下：梨苹果总价小红家： 2千克6千克26元小斌家：2千克15千克53元我们可以发现两家人买的水果中，都买了2千克的梨，也就是说买梨用的钱是相同的，那么他们所付的钱不同，就是买苹果所花的钱不同造成的。

也就是说，总价中小斌家多出的钱53－26＝27（元），是由于多买了苹果：15－6＝9（千克），即：9千克苹果的价钱是27元，苹果的单价为：27÷9＝3（元）。

接下来求梨的单价，可以用这两家人任意一家人数据来求，以小红家为例：梨的单价：（26－3×6）÷2＝4（元）故苹果每千克3元，梨每千克4元。

在解题的过程中，我们先消去了梨这个未知量，求出苹果的单价，再来求梨的单价。

☆典型例题二☆3头牛和8只羊一天共吃93千克。

5头牛和15只羊一天共吃青草165千克。

问1头牛、1只羊一天各吃多少千克？可以将题目简写成下面的形式等式1：3头牛+8只羊=93千克等式2：5头牛+15只羊=165千克方法：消去牛等式1左右两边同时乘以5：15头牛+40只羊=465千克等式2左右两边同时乘以3：15头牛+45只羊=495千克（实际上就是找3和5的最小公倍数）两个新等式相减：5只羊=30千克1只羊吃30÷5=6（千克）1头牛吃（93-6×8）÷3=15（千克）☆试一试吧☆1. 妈妈买水果，原计划买4千克草莓和5千克苹果，要付47元。

结果买了2千克草莓和5千克苹果，共用了31元，1千克草莓和1千克苹果各多少元？2. 小明买了4枝铅笔和3枝钢笔，共付了19元，小华买了同样的4枝铅笔和5枝钢笔，共付29元，铅笔和钢笔的单价各是多少元？☆挑战一下☆1、如果买3盒水彩笔和1枝毛笔共需要40元，而买同样的4盒水彩笔和2枝毛笔共需58元，请问水彩笔多少钱一盒？毛笔多少钱一枝？2、王老师买2枝钢笔和5枝圆珠笔共22元，后来又买4枝这样的钢笔和8枝这样的圆珠笔共40元，钢笔和圆珠笔的单价各是多少元？☆大显身手☆1、7袋大米和3袋面粉共重425千克，同样的3袋大米和7袋面粉共重325千克。

消去法练习题三年级一、题目解析消去法是一种常用的解题方法，通过逐步缩小问题的范围，从而找到问题的解决办法。

在三年级的数学学习中，消去法是培养学生逻辑思维和解决问题能力的重要方法之一。

本文将介绍一些三年级适用的消去法练习题，帮助学生更好地理解和掌握这一方法。

二、例题一问题描述：在一群小鸟中，有3只黄色鸟和5只蓝色鸟，如果从中选出一只鸟，那么它是黄色鸟的概率是多少？解题思路：根据概率的计算公式，可以得出黄色鸟的概率等于黄色鸟的数目除以总的鸟的数目。

即P(黄色鸟) = 3 / (3 + 5) = 3/8。

三、例题二问题描述：小明的夹克衫、裤子和鞋子颜色分别有3种选择：红、蓝、绿。

如果他选择一套衣服，那么他有多少种可能的组合？解题思路：根据乘法原理，每个选择都有3种可能，所以总的组合数等于各个选择的可能数相乘。

即总的组合数 = 3 * 3 * 3 = 27。

四、例题三问题描述：某商店有8块苹果和4块橘子，小明从中选择一种水果，他选择苹果的概率是多少？解题思路：根据概率的计算公式，可以得出选择苹果的概率等于苹果的数目除以总的水果数目。

即P(苹果) = 8 / (8 + 4) = 8/12 = 2/3。

五、例题四问题描述：有12只鸟，其中有3只是鹅。

从中选择一只鸟，不是鹅的概率是多少？解题思路：根据概率的计算公式，可以得出不是鹅的概率等于不是鹅的数目除以总的鸟的数目。

即P(不是鹅) = (12 - 3) / 12 = 9/12 = 3/4。

六、例题五问题描述：小明参加了一次早操比赛，根据他的表现，裁判会给他评分。

评分标准是5分制，共有5位裁判，他们评的分数分别是4、3、5、4、4。

小明最终得到的平均分数是多少？解题思路：根据平均分的计算公式，可以得出小明的平均分等于所有分数的总和除以评分的次数。

即平均分 = (4 + 3 + 5 + 4 + 4) / 5 = 20 /5 = 4。

七、总结通过以上例题的讲解，我们可以看到消去法在解决概率、组合、平均分等问题时非常有用。

消去法解题1、说一说：爸爸和叔叔去买水果，爸爸买了一箱苹果和一箱梨，共付25元；叔叔买了2箱苹果和一箱梨，共付40元。

一箱苹果和一箱梨各多少元？苹果（箱）梨（箱）总价（元）爸爸 1 1 25叔叔 2 1叔叔比爸爸多付（）元，因为叔叔比爸爸多买了（）箱苹果。

所以，一箱苹果（）元，一箱梨（）元。

2、想一想：小明买了3本练习本和4支铅笔，共用去10元钱；小刚买了同样的3本练习本和6支铅笔，共用去12元钱。

一本练习本多少元？一支铅笔多少元？练习本（本）铅笔（支）总价（元）小明 3 4 10小刚 3 6 12小明和小刚比，小刚比小明多买了（）支铅笔，多用了（）元钱。

所以，一支铅笔（）元。

知道了铅笔的价钱，怎样求每本练习本多少钱呢？在一些较复杂的应用题中，有的是由两个或多个量的某种关系构成的，解题时我们可以先把每组的数量用等式表示，然后进行比较，将其中的一个量先消去，这样的思考方法怠做消去法。

消去法是初中学习方程的基础，其实质就是根据等式的两边加上、减去、乘以或除以相同的数等式仍然成立的道理来求未知量。

怎样用消去法解应用题？1、如果同类事物的数量相同，可以直接用加、减法将数量相同的同类事物消去。

2、如果同类事物的数量不相同，必须先分别用扩大几倍的方法，使其中一种同类事物的数量相同，然后消去它。

例1学校第一次买了3个水瓶和20个茶杯，共用去134元；第二次又买了同样的3个水瓶和16个茶杯，共用去118元。

水瓶和茶杯的单价各是多少元？分析与解答我们用数量关系式来比较对应的未知量的情况。

第一次：3个水瓶的价钱＋20个茶杯的价钱＝134元第二次：3个水瓶的价钱＋16个茶杯的价钱＝118元比较这两个等式可以知道：134与118元的差正好是4个茶杯的价钱。

因为我们两次买水瓶的个数相等，可以把3个水瓶的价钱消去，先求出茶杯的价钱，再求出水瓶的价钱。

（134－118）÷（20－16）＝4（元）（2）每个水瓶多少钱？（134－4×20）÷3＝18（元）答：每个水瓶18元，每个茶杯4元。

消去法解决问题超越培训学校2018年六年级暑期班数学专题用消去法解决问题校班：姓名：评价：一、基础知识。

有的应用题里，给出了两个或两个以上未知数量间的关系，要求这些未知量。

思考时可以通过比较条件，分析对应的未知数量的变化情况，应设法先消去一个要求的数量，从而求出另一个数量，将数量关系复杂的题目变成较简单的题目解出来，这种方法叫消去法。

二、典型例题。

例1、学校第一次买了4个热水瓶和20个茶杯，共用去172元；第二次又买了同样的4个热水瓶和16个茶杯，共用去152元。

热水瓶和茶杯的单价各是多少元？例2、8只玻璃杯和3只热水瓶共值32元，4只玻璃杯和9只热水瓶共值76元，每只玻璃杯和每只热水瓶各值多少元？例3、买一支铅笔和一支钢笔共17元，买同样的3支铅笔和4支钢笔要用66元。

一支铅笔多少元？一支钢笔多少元？例4、学校第一次买5张课桌和4把椅子共付185元，第二次买7张课桌和7把椅子共付280元。

1张课桌和1把椅子各多少元？例5、乐乐买3支笔和5本书共花18元，如果买同样的5支笔和3本书需要花14元，每本书和每支笔各多少元？例6、买9张桌子和3把椅子共780元，5张桌子的价格比3张椅子的价格多340元。

每张桌子多少元？每把椅子多少元？三、拓展练习。

1、买3箱苹果和5箱梨共用去270元，买同样的3箱苹果和2箱梨共用去180元。

每箱苹果和每箱梨各多少元？2、买3千克茶叶和5千克果冻，一共用去420元。

买同样的3千克茶叶和3千克果冻一共用去384元。

每千克茶叶和每千克果冻各多少元？3、3袋苹果和5袋梨一共是86个，6袋苹果和4袋梨一共是112个。

每袋苹果和每袋梨各有多少个？4、光明小学买2张桌子和5把椅子共付110元；育才小学买同样的6张桌子和6把椅子共付240元。

每张桌子和每把椅子各多少元？5、买一本故事书和一本科技书要用20元，买同样的5本故事书和6本科技书要用112元。

一本故事书多少元？一本科技书多少元？6、买一个篮球和一个足球共用118元，买3个篮球和5个足球共用480元。