江西省新余市20172018学年高一数学下学期期末考试试题文

2017-2018学年度下学期期末考试高一数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，则下列不等式成立的是( )A. B. C. D.2. 有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是( )A. 至少有1件次品与至多有1件正品B. 恰有1件次品与恰有2件正品C. 至少有1件次品与至少有1件正品D. 至少有1件次品与都是正品3. 为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校购进了《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》和《西游记》若干套，如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍，那么该校高一(1)班本学期领到《三国演义》和《水浒传》的概率为( )A. B. C. D.4. 央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏，下面的茎叶图是两位选手在个人追逐赛中的比赛得分，则下列说法正确的是( )A. 甲的平均数大于乙的平均数B. 甲的中位数大于乙的中位数C. 甲的方差大于乙的方差D. 甲的平均数等于乙的中位数5. 阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )A. 7B. 9C. 10D. 116. 已知等差数列的前项和为.若，则一定有( )A. B. C. D.7. 已知等比数列的各项均为正数，公比，设,,则,,,的大小关系是( )A. B. C. D.8. 在中，若，,则一定是( )A. 锐角三角形B. 正三角形C. 等腰直角三角形D. 非等腰直角三角形9. 已知函数 (,且)的的图象恒过定点,若点在一次函数的图象上,其中,,则的最小值为( )A. 1B.C. 2D. 410. 设表示不超过的最大整数,则关于的不等式的解集是( )A. [-2，5]B. （-3,6）C. [-2,6）D. [-1,6）11. 已知函数满足，那么对于，使得在上恒成立的概率为（）A. B. C. D.12. 定义在上的函数，若对任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列”.现有定义在上的如下函数：①②③④，则其中是“保等比数列函数”的的序号为（）A. ①③B. ③④C. ①②D. ②④第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知与之间的一组数据为则与的回归直线方程必过定点__________.14. 如图所示，在边长为1正方形中，随机撒豆子，其中有1000粒豆子落在正方形中，180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为__________.15. 设是等比数列的前项和，若满足，则__________.16. 在中，为边上一点，，，.若，则，则__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 一个盒子中装有5张编号依次为1、2、3、4、5的卡片，这5 张卡片除号码外完全相同.现进行有放回的连续抽取2 次，每次任意地取出一张卡片.（1）求出所有可能结果数，并列出所有可能结果；（2）求事件“取出卡片号码之和不小于7 或小于5”的概率.18. 某中学从高三男生中随机抽取100名学生，将他们的身高数据进行整理，得到下侧的频率分布表（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5 组中用分层抽样的方法抽取6 名学生进行体能测试，求第3，4，5 组每组各应抽取多少名学生进行测试；（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6 名学生中随机抽取2 名学生进行引体向上测试，求第4 组中至少有一名学生被抽中的概率.19. 已知公差不为0的等差数列满足，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，并求使得成立的最小正整数.20. 在锐角中，.（1）求角.（2）若，且取得最大值时，求的面积.21. 某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：，且投入的肥料费用不超过5百元.此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元.已知这种水蜜桃的市场售价为16 元/千克（即16 百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为（单位：百元）.（1）求利润函数的函数关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？22. 已知函数的定义域为，且对任意的正实数，都有成立. ，且当时，.各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）若是数列的前项和，求.一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，则下列不等式成立的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由可设，代入选项验证可知成立考点：不等式性质2. 有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是( )A. 至少有1件次品与至多有1件正品B. 恰有1件次品与恰有2件正品C. 至少有1件次品与至少有1件正品D. 至少有1件次品与都是正品【答案】B【解析】有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，在A中，至少有1件次品与至多有1件正品能同时发生，不是互斥事件，故A错误；在B中，恰有1件次品与恰有2件正品不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故B正确；在C中，至少有1件次品与至少有1件正品能同时发生，不是互斥事件，故C错误；在D中，至少有1件次品与都是正品是对立事件，故D错误。

2017-2018学年练习卷新余市2016-2017学年度下学期期末质量检测高一数学参考答案（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1.C2.B3.A4.A5. D6.B7.D8.A9.C 10. C 11.B 12.D二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13. 4 14．15．16.三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．（本小题满分10分）【答案】解：,（1），得--------5分（2）由题知<0,解得：，又，时，此时两向量方向相反，且。

--------10分18．（本小题满分12分）【答案】：（Ⅰ）设“甲临时停车付费恰为元”为事件，则．甲临时停车付费恰为元的概率是．--------5分(Ⅱ)设甲停车付费元，乙停车付费元，其中．则甲、乙二人的停车费用共有16种等可能的结果：.--------7分其中，种情形符合题意．--------9分“甲、乙二人停车付费之和为元”的概率为．--------12分19.解：（1）．-------3分所以的最小正周期．--------4分（2）单调递减区间为．--------8分（3）当时，，所以当即时，取得最小值所以，所以--------12分20.解：（1）由散点图可以判断，适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型…2分（2）令，先建立关于的线性回归方程，由于，，所以关于的线性回归方程为，因此关于的回归方程为. …6分（3）①由（2）知，当时，年销售量的预报值，年利润的预报值…9分②根据（2）的结果知，年利润的预报值所以当，即时，取得最大值故年宣传费为千元时，年利润的预报值最大. …12分21.【答案】：：(1)…2分，.…4分(2) ，由，在上是增函数，.且，.…8分(3)由得，即，，当时，不等式恒成立.…10分在上，，m的范围为（1 ，4）…12分22.解：（1）。

2017-2018高一数学放学期期末试题江西省高安中学 2017-2018 学年放学期期末考试高一年级数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1.已知会合 , 则会合中元素个数为（）2.设，，那么的取值范围是（）3.设角的终边过点则的值是（）4.设等差数列的前项和为，若，则等于（）5.在的角，，所对的边分别为，，，若，则角为（）6.已知等比数列知足，，则（）7.已知向量与知足，，且，则（）8.如图，在中，，，与交于点 ,设，，，则为（）9.已知函数的部分图像如下图, 若将其纵坐标不变，横坐标变成本来的两倍，获得的新函数的分析式为()10.已知数列是等差数列，其前项和为，知足，给出以下结论 (1) ；（ 2）； (3) 最小； (4). 此中正确结论的个数是（）11.在对于的不等式的解集中恰有两个整数，则的取值范围是()....12.在中，，若，则的最大值为 ()二、填空题 :( 本大题共 4 小题 , 每题 5 分, 共 20 分 , 把答案填在答卷纸的相应地点上)13.已知，，则 _________．14.已知数列知足，且，，则 __________.15.给出以下命题：（1）存在实数，使；（2）若、都是第一象限角，且，则；（3）函数是偶函数；（4）函数的图像向左平移个单位，获得函数的图像；（5）若，则 .此中全部正确命题的序号是__________.16.已知是坐标原点，动点在圆：上，对该坐标平面的点和，若，则的取值范围是 ____________.三、解答题 :( 本大题共 6 小题 , 共 70 分 , 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17 （ 10 分）已知，与的夹角为，若.(1)求；（ 2）求 .18（ 12 分）已知函数；(1)求在上的最大值及最小值；(2)若，，求的值 .19 （ 12 分）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．(1)求数列的通项；(2)若，求数列的前项和 .20（ 12 分）已知的角，，所对的边分别为，，，设向量， ,.(1)若，求的值；(2)若，边长，，求的面积．21（ 12 分）如图，中，，，点在边上，且， .(1)求；(2)求、的长22（ 12 分）已知数列、的前项和分别为、，，且，各项均为正数的数列知足， .(1)求数列和的通项公式；(2)令，数列的前项和为，若对随意正整数，都有，求的最小值．江西省高安中学2017-2018 学年放学期期末考试高一年级数学（理科）试卷答案一．选择题（本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分）.题号答案 BBAADcAAccDA二、填空题（本大题共4小题,每题 5分,共 20分）.13.14.15.(3)(5)16.三、解答题 :( 本大题共 6 小题 , 共 70 分 ).18.解：（ 1）由；（2）19.解：（ 1）当时，最大值为；当时，最小值为.（2）由已知，且.20.解：（ 1）由题设知公差 d， d≠ 0，由，且，，成等比数列，则，解得： d=2 或 d=0（舍去），，故 {an} 的通项；(2)，20.证明∵，,故(2)解由⊥得 ?＝ 0，即 a(b －2) ＋ b(a － 2) ＝ 0，∴a＋b＝ ab.又 c＝ 2，∠ c＝π 3，∴ 4＝ a2＋ b2－ 2abcos π 3，即有4＝ (a ＋ b)2 － 3ab.∴(ab)2 － 3ab－4＝ 0，∴ ab＝ 4(ab ＝－ 1 舍去 ) ．所以 S△ ABc＝ 12absinc ＝ 12×4× 32＝3.21.解(1) 在△ ADc 中，由于cos ∠ADc＝ 17，所以 sin ∠ADc＝ 437.所以 sin ∠BAD＝ sin( ∠ ADc－∠ B)＝ sin ∠ADccos∠ B－ cos ∠ ADcsin ∠ B＝437× 12－ 17× 32 ＝3314.(2)在△ ABD中，由正弦定理得 BD＝ AB?sin ∠ BADsin∠ ADB ＝8× 3314437＝ 3.在△ ABc 中，由余弦定理得Ac2 ＝ AB2＋ Bc2－ 2AB?Bc?cos∠ B＝ 82＋52－ 2× 8× 5× 12 ＝49.所以 Ac＝ 7.22.（1）由 2nSn＋ 1－2（ n＋ 1）Sn＝ n（ n＋ 1），得 Sn＋1n＋ 1－Snn＝ 12，所以数列 Snn 是首项为1，公差为 12 的等差数列，所以 Snn＝S1＋（ n－ 1）× 12＝ 12n＋ 12，即 Sn＝ n（ n＋ 1）2.于是 an＋ 1＝ Sn＋ 1－Sn＝（ n＋1）（n＋ 2）2－ n（ n＋ 1）2 ＝n＋ 1，所以 an＝ n.由于 ,，是各项均为正数的数列所以数列 {bn} 为等差数列且公差＝ 1，则 bn＝ b1＋（ n－ 1）× 1＝ n＋2.（ 2）由（ 1）知 cn ＝ bnan＋anbn＝ n＋2n＋ nn＋2＝ 2＋ 2 （1n－ 1n＋ 2），所以 Qn＝ c1＋ c2＋＋ cn ＝2n＋ 2（ 1－ 13＋ 12－ 14＋ 13－ 15＋＋ 1n－ 1－1n＋ 1＋ 1n－ 1n＋ 2）＝ 2n＋ 2（1＋ 12－1n＋ 1－1n＋ 2）＝ 3－ 2（ 1n＋ 1＋ 1n＋2）＋ 2n，则 Qn－ 2n＝3－ 2（ 1n＋ 1＋ 1n＋ 2） .设 An＝ Qn－2n＝ 3－2（ 1n＋ 1＋ 1n＋ 2）.由于 An＋ 1－An＝ 3－ 2（ 1n＋ 2＋ 1n＋ 3）－ [3 － 2（ 1n＋ 1＋1n＋ 2） ] ＝ 2（1n＋ 1－ 1n＋ 3）＝ 4（ n＋ 1）（n＋ 3） >0，所以数列 {An} 为递加数列，则（ An） in ＝ A1＝ 43.又由于 An＝3－ 21n＋1＋ 1n＋2由于对随意正整数n，Qn－2n∈ [a ， b] ，所以 a≤ 43，b≥ 3，则（ b－ a） in ＝ 3－ 43＝53.。

新余市2017—2018学年度下学期期末质量检测高一数学试题卷（文科）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

) 1. 下列各个角中与2018︒终边相同的是( )A ．148-︒B ．668︒C ．218︒D ．318︒ 2。

sin17sin 223cos17cos(43)︒︒+︒-︒等于（ )A ．12B ．12- C ． D 3。

下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）A ．(0,0)a =，(2,3)b =B ．(1,0)a =-，(2,0)b =-C ．(3,6)a =，(2,3)b =D ．(1,2)a =-，(2,4)b =-4.已知随机变量x ，y 的值如下表所示,如果x 与y 线性相关，且回归直线方程为9y bx =+，则实数b 的值为（ )2- B ．26- D ．165。

某校现有高一学生210人，高二学生270人,高三学生300人,用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查,如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．106。

已知向量a 与b 的夹角为120︒，()1,0a =，2b =,则2a b +=（ ）AB ．2C ．D ．4 7。

为了得到函数y x =的图象，可以将函数sin 3cos3y x x =+的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向右平移4π个单位8。

已知O 、A 、B 三点不共线，P 为该平面内一点,且AB OP OA AB=+，则( ）A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段AB 的反向延长线上D ．点P 在射线AB 上9。

已知1cos 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则()sin 32πα-+=( ） A ．79B ．79- C ．35D ．35-10。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为正确的选项序号填入相应题号的表格内）1.1.设，，，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，选项A错误；当时，选项B错误；当时，选项C错误；∵函数在上单调递增，∴当时，．本题选择D选项.点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便．2. 如下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色的（）A. 白色B. 黑色C. 白色可能性大D. 黑色可能性大【答案】A【解析】由图可知，珠子出现的规律是3白2黑、3白2黑依次进行下去的特点，据此可知白、黑珠子的出现以5为周期，又……1，故第36颗珠子应该是白色的，故选A．3.3.奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是( )A. 对立事件B. 不可能事件C. 互斥但不对立事件D. 不是互斥事件【答案】C【解析】甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．选C.4.4.在中，，，，则解的情况（）A. 无解B. 有唯一解C. 有两解D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理，结合题中数据解出，再由，得出，从而，由此可得满足条件的有且只有一个.【详解】中，，根据正弦定理，得，，得，由，得，从而得到，因此，满足条件的有且只有一个，故选B.【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.5.5.一组数据的茎叶图如图所示，则数据落在区间内的概率为A. 0.2B. 0.4C. 0.5D. 0.6【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图个原始数据落在区间内的个数，由古典概型的概率公式可得结论.【详解】由茎叶图个原始数据，数出落在区间内的共有6个，包括2个个个，2个30，所以数据落在区间内的概率为，故选D.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于简单题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.6.6.设，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用“作差法”，只需证明即可得结果.【详解】，，，，恒成立，，即，故选C.【点睛】本题主要考查“作差法”比较两个数的大小，属于简单题. 比较两个数的大小主要有三种方法：（1）作差法；（2）作商法；（3）函数单调性法；（4）基本不等式法.7.7.已知，，是一个等比数列的前三项，则的值为（）A. -4或-1B. -4C. -1D. 4或1【答案】B【解析】【分析】由是一个等比数列的连续三项，利用等比中项的性质列方程即可求出的值. 【详解】是一个等比数列的连续三项，，整理，得，解得或，当时，分别为，构不成一个等比数列，，当时，分别为，能构成一个等比数列，，故选B.【点睛】本题主要考查等比数列的定义、等比中项的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度以及函数与方程思想的应用，属于简单题.8.8.某班有49位同学玩“数字接龙”游戏，具体规则按如图所示的程序框图执行(其中为座位号)，并以输出的值作为下一轮输入的值.若第一次输入的值为8，则第三次输出的值为（）A. 8B. 15C. 20D. 36【答案】A【解析】【分析】由已知的程序框图，可知该程序的功能是利用条件结构，计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，可得结论.【详解】输入后，满足进条件，则输出；输入，满足条件，则输出；输入，不满足条件，,输出，故第三次输出的值为，故选A.【点睛】本题主要考查程序框图应用，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9.9.用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1-160编号.按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第15组中抽出的号码为118，则第一组中按此抽签方法确定的号码是（）A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】B【解析】【分析】设第一组抽出的号码为，则第组抽出的号码应为，由第15组中抽出的号码为118，列方程可得结果.【详解】因为从160名学生中抽取容量为20的样本所以系统抽样的组数为，间隔为，设第一组抽出的号码为，则由系统抽样的法则，可知第组抽出的号码应为，第组应抽出号码为，得，故选B.【点睛】本题主要考查系统抽样的方法，属于简单题. 系统抽样适合抽取样本较多且个体之间没有明显差异的总体，系统抽样最主要的特征是，所抽取的样本相邻编号等距离，可以利用等差数列的性质解答.10.10.具有线性相关关系的变量，满足一组数据如表所示，若与的回归直线方程为，则的值是（）A. 4B.C. 5D. 6【答案】A【解析】由表中数据得：，根据最小二乘法，将代入回归方程，得，故选A.11.11.若关于、的不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是( )A. B. C. D. 或【答案】C【解析】分析：先画出不等式组表示的平面区域，再根据条件确定的取值范围．详解：画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．由解得，∴点A的坐标为（2,7）．结合图形可得，若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则实数需满足．故选C．点睛：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集，由不等式组表示的平面图形的形状求参数的取值范围时，可先画出不含参数的不等式组表示的平面区域，再根据题意及原不等式组表示的区域的形状确定参数的取值范围．12.12.公比不为1的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（）A. -5B. 0C. 5D. 7【答案】A【解析】【分析】设公比为，运用等差数列中项的性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比，再由等比数列的求和公式即可得结果.【详解】设的公比为，由成等差数列，可得，若，可得，解得舍去），则，故选A.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式、等比数列的求和公式以及等差中项的应用，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在题中的横线上）13.13.二次函数的部分对应值如下表：则不等式的解集为；【答案】【解析】试题分析：两个根为2，－3，由函数值变化可知a>0∴ax2+bx+c>0的解集是(－∞，－2)∪（3，＋∞）。

江西省2017—2018学年高一数学下学期期末考试试卷（三）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在△ABC中，已知a=8，B=60°，A=45°，则b等于（）A．B．C．D．2．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．14 B．20 C．30 D．553．已知随机变量x，y的值如表所示，如果x与y线性相关且回归直线方程为=bx+，则实数b的值为（）A．B．C．D．4．经过点（﹣3，2），倾斜角为60°的直线方程是（）A．B．C．D．5．设a＞b，则下列不等式成立的是（）A．a2+b2＞ab B．＜0 C．a2＞b2D．2a＜2b6．已知不等式mx2+nx﹣＜0的解集为{x|x＜﹣或x＞2}，则m﹣n=（）A．B．﹣C．D．﹣7．省农科站要检测某品牌种子的发芽率，计划采用随机数表法从该品牌800粒种子中抽取60粒进行检测，现将这800粒种子编号如下001，002，…，800，若从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，则所抽取的第4粒种子的编号是（）（如表是随机数表第7行至第9行）A．105 B．507 C．071 D．7178．下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②某校高三一级部和二级部的人数分别是m、n，本次期末考试两级部数学平均分分别是a、b，则这两个级部的数学平均分为+；③某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，现将800名学生从001到800进行编号，已知从497﹣﹣512这16个数中取得的学生编号是503，则初始在第1小组00l～016中随机抽到的学生编号是007．其中命题正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．若直线过点（1，1）且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条10．设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A．2 B．C．1 D．11．任取一个3位正整数n，则对数log2n是一个正整数的概率为（）A ．B ．C ．D ．以上全不对12．设a n =sin，S n =a 1+a 2+…+a n ，在S 1，S 2，…S 100中，正数的个数是（ ）A ．25B ．50C ．75D ．100二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在正方形内有一扇形（见阴影部分），点P 随意等可能落在正方形内，则这点落在扇形外且在正方形内的概率为 ．14．在锐角△ABC 中，BC=3，AB=，∠C=，则∠A= ．15．已知正数x ，y 满足+=1，则+的最小值为 ．16．数列{a n }中，a n +1a n =a n +1﹣1，且a 2011=2，则前2011项的和等于 ．三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．甲、乙两人玩一种游戏；在装有质地、大小完全相同，编号分别为1，2，3，4，5，6六个球的口袋中，甲先模出一个球，记下编号，放回后乙再模一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢． （1）求甲赢且编号和为8的事件发生的概率； （2）这种游戏规则公平吗？试说明理由．18．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4=4S 2，2a 1+1=a 2．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列b n =，求{b n }的前n 项和T n ．19．某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的平均分、众数、中位数；（小数点后保留一位有效数字）（Ⅲ）用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则各分数段抽取的人数分别是多少？20．在△ABC中，（5a﹣4c）cosB﹣4bcosC=0．（1）求cosB的值；（2）若c=5，b=，求△ABC的面积S．21．设数列{a n}的前项和为S n，且S n=，{b n}为等差数列，且a1=b1，a2（b2﹣b1）=a1．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和T n．22．已知△ABC的三边a，b，c和面积S满足S=a2﹣（b﹣c）2，且b+c=8．（1）求cosA；（2）求S的最大值．参考答案一、单项选择题1．C2．C．3．D．4．C 5．A．6．B．7．B 8．C9．C．10．C11．B．12．D二.填空题13．答案为：．14．答案为：．15．答案为：25．16．答案为：1007．三、解答题17．解：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的甲、乙两人取出的数字共有6×6=36（个）等可能的结果，设“两个编号和为8”为事件A，则事件A包含的基本事件为（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）共5个，根据古典概型概率公式得到（2）这种游戏规则是公平的．设甲胜为事件B，乙胜为事件C，则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有18个：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6），（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）∴甲胜的概率，乙胜的概率=P（B）∴这种游戏规则是公平的．18．解：（1）∵S4=4S2，2a1+1=a2，∴4a1+6d=4（2a1+1），2a1+1=a1+d，解得：a1=1，d=2，∴a n=2n﹣1；（2）由（1）可知，并项相加，得．19．解：（1）设分数在[70，80）内的频率为x，根据频率分布直方图，有：（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，可得x=0.3；（2）估计该校高二年级学生政治成绩的平均分为：（45×0.01+55×0.015+65×0.015+75×0.03+85×0.025+95×0.005）×10=71，根据频率分布直方图，估计这40名学生期中政治成绩的众数为75，因为在频率分布直方图中第一、二、三组的频率之和为（0.010+0.015×2）×10=0.4，所以中位数=70+≈70.3；（3）[40，50）内抽取的人数是：20×0.010×10=2人；[50，60）内抽取的人数是：20×0.015×10=3人；[60，70）内抽取的人数是：20×0.015×10=3人；[70，80）内抽取的人数是：20×0.03×10=6人；[80，90）内抽取的人数是：20×0.025×10=5人；[9，100]取的人数是：20×0.00×10=1人，各分数段抽取的人数分别是2人，3人，3人，6人，5人，1人．20．解：（1）∵（5a ﹣4c ）cosB ﹣4bcosC=0． ∴5sinAcosB=4sinCcosB +4sinBcosC=4sin （B +C ）=4sinA ，∴cosB=．（2）由余弦定理得cosB==，即=，解得a=3或a=5．∵cosB=，∴sinB=．∴当a=3时，S △ABC =acsinB==，当a=5时，S △ABC =acsinB==．21．解：（Ⅰ）当n=1时，a 1=S 1=1，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=（）﹣（）=，经验证当n=1时，此式也成立，所以，从而b 1=a 1=1，，又因为{b n }为等差数列，所以公差d=2，∴b n =1+（n ﹣1）2=2n ﹣1，故数列{a n }和{b n }通项公式分别为：，b n =2n ﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以+（2n ﹣1）2n ﹣1①①×2得+（2n ﹣3）2n ﹣1+（2n ﹣1）2n ②①﹣②得：﹣（2n ﹣1）2n==1+2n +1﹣4﹣（2n ﹣1）2n =﹣3﹣（2n ﹣3）2n ．∴数列{c n}的前n项和．22．解：（1）由题意得：根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA⇒a2﹣b2﹣c2=﹣2bccosA代入上式得：即sinA=4﹣4cosA代入sin2A+cos2A=1得：（2）由（1）得∵b+c=8∴c=8﹣b∴=所以，面积S的最大值为。

2017-2018学年江西省新余市高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．cos330°=（）A．B． C．D．2．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgB．回归直线过样本的中心（，）C．y与x具有正的线性相关关系D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg3．向量、的夹角为60°，且，，则等于（）A．1 B．C．D．24．已知函数f（x）=，则f（﹣10）的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．15．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n=（）A．60 B．70 C．80 D．906．茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．7．在△ABC中，若tanAtanB=tanA+tanB+1，则cosC=（）A．B．C． D．8．如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6，8，0，则输出a和i的值分别为（）A．0，3 B．0，4 C．2，3 D．2，49．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（）A．B．C． D．010．一位同学家里订了一份报纸，送报人每天都在在早上5：20～6：40之间将报纸送达，该同学的爸爸需要早上6：00～7：00之间出发去上班，则这位同学的爸爸在离开家前能拿到报纸的概率是（）A．B．C．D．11．在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ﹣cos2θ的值等于（）A．1 B．﹣C．D．﹣12．如图，在△ABC中，AD=2DB，AE=3EC，CD与BE交于F，设=，=，=x+y，则（x，y）为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．设向量=（1，2），=（2，3），若向量λ+与向量=（﹣4，﹣7）共线，则λ=．14．将函数f（x）=sinx﹣cosx的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是．15．已知f（x）=+ax+cos2x若f（）=2，则f（﹣）=．16．已知下列：①函数y=sin（﹣2x+）的单调增区间是[﹣kπ﹣，﹣kπ+]（k∈Z）．②要得到函数y=cos（x﹣）的图象，需把函数y=sinx的图象上所有点向左平行移动个单位长度．③已知函数f（x）=2cos2x﹣2acosx+3，当a≤﹣2时，函数f（x）的最小值为g（a）=5+2a．④已知角A、B、C是锐角△ABC的三个内角，则点P（sinA﹣cosB，cosA﹣sinC）在第四象限．其中正确的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共7分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．已知sinθ、cosθ是方程x2﹣（﹣1）x+m=0的两根．（1）求m的值；（2）求+的值．18．已知=（1，1），=（3，4），（1）若k+与k﹣垂直，求k的值；（2）若|k+2|=10，求k的值．19．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出（Ⅱ）预测售出8箱水的收益是多少元？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=﹣，参考数据：7×165+6×142+6×148+5×125+6×150=4420．20．某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求成绩落在[70，80）上的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（Ⅲ）为调查某项指标，从成绩在60～80分这两分数段组学生中按分层抽样的方法抽6人，再从这6人中选2人进行对比，求选出的这2名学生来自同一分数段组的概率．21．已知向量=（cos x，sin x），=（cos，﹣sin），且x∈[0，]，（1）求•及|+|；（2）若f（x）=•﹣2λ|+|的最小值是﹣，求实数λ的值．22．已知A，B分别是直线y=x和y=﹣x上的两个动点，线段AB的长为2，D是AB的中点．（1）求动点D的轨迹C的方程；（2）若过点（1，0）的直线l与曲线C交于不同两点P、Q，①当|PQ|=3时，求直线l的方程；②试问在x轴上是否存在点E（m，0），使•恒为定值？若存在，求出E点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年江西省新余市高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．cos330°=（）A．B． C．D．【分析】由cos（α+2kπ）=cosα、cos（﹣α）=cosα解之即可．【解答】解：cos330°=cos=cos（﹣30°）=cos30°=，故选C．2．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgB．回归直线过样本的中心（，）C．y与x具有正的线性相关关系D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【分析】根据回归直线方程的性质分别进行判断即可．【解答】解：A．由回归直线方程得若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故A正确，B，任何一个回归方程，回归直线过样本的中心（，），故B正确，C．回归直线的性质为0.85＞0，则y与x具有正的线性相关关系，故C正确，D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重可能为58.79kg，故D错误，故选：D．3．向量、的夹角为60°，且，，则等于（）A．1 B．C．D．2【分析】欲求，只需自身平方再开方即可，这样就可出现两向量的模与数量积，最后根据数量积公式解之即可．．【解答】解：∵向量、的夹角为60°，且，，∴•=1×2×cos60°=1∴|2﹣|===2故选D．4．已知函数f（x）=，则f（﹣10）的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【分析】由题意，代入分段函数求函数的值．【解答】解：f（﹣10）=f（﹣10+3）=f（﹣7）=f（﹣7+3）=f（﹣4）=f（﹣4+3）=f（﹣1）=f（﹣1+3）=f（2）=log22=1．故选D．5．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n=（）A．60 B．70 C．80 D．90【分析】先求出总体中中A种型号产品所占的比例，是样本中A种型号产品所占的比例，再由条件求出样本容量．【解答】解：由题意知，总体中中A种型号产品所占的比例是=，因样本中A种型号产品有16件，则×n=16，解得n=80．故选C．6．茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．【分析】由已知的茎叶图，我们可以求出甲乙两人的平均成绩，然后求出乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率，得到答案．【解答】解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩=（88+89+90+91+92）=90设污损数字为X，则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩=（83+83+87+99+90+X）=88.4+，当X=9时，＜，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，故选A．7．在△ABC中，若tanAtanB=tanA+tanB+1，则cosC=（）A．B．C． D．【分析】利用两角和与差的正切函数公式化简tan（A+B），将已知等式变形后代入求出tan （A+B）的值，进而确定出tanC的值，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，即可确定出cosC的值．【解答】解：∵tanAtanB=tanA+tanB+1，即tanA+tanB=tanAtanB﹣1，∴tan（A+B）==﹣1，即tan（A+B）=﹣tanC=﹣1，∴tanC=1，即C=，则cosC=cos=．故选B8．如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6，8，0，则输出a和i的值分别为（）A．0，3 B．0，4 C．2，3 D．2，4【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b，i的值，即可得到结论．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：a=6，b=8，i=0，i=1，不满足a＞b，不满足a=b，b=8﹣6=2，i=2满足a＞b，a=6﹣2=4，i=3满足a＞b，a=4﹣2=2，i=4不满足a＞b，满足a=b，输出a的值为2，i的值为4．故选：D．9．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（）A．B．C． D．0【分析】以DA，DC，DD1所在直线方向x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可得和的坐标，进而可得cos＜，＞，可得答案．【解答】解：以DA，DC，DD1所在直线方向x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则可得A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0）∴=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1）设异面直线A1E与GF所成角的为θ，则cosθ=|cos＜，＞|=0，故选：D10．一位同学家里订了一份报纸，送报人每天都在在早上5：20～6：40之间将报纸送达，该同学的爸爸需要早上6：00～7：00之间出发去上班，则这位同学的爸爸在离开家前能拿到报纸的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，设送报人到达的时间为x，这位同学的爸爸在离开家；则（x，y）可以看成平面中的点，分析可得由试验的全部结果所构成的区域并求出其面积，同理可得事件A 所构成的区域及其面积，由几何概型公式，计算可得答案．【解答】解：如图，设送报人到达的时间为x，这位同学的爸爸在离开家为y；则（x，y）可以看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y）|5≤x≤6，6≤y≤7}，一个矩形区域，面积为SΩ=1×=，事件A所构成的区域为A={（x，y）|5≤x≤6，6≤y≤7，x＜y}即图中的阴影部分，其中A（6，6），C（6，6）．B（6，6），△ABC面积为=×=，则阴影部分的面积S A=﹣=．则对应的概率P==．故选：B．11．在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ﹣cos2θ的值等于（）A．1 B．﹣C．D．﹣【分析】求出每个直角三角形的长直角边，短直角边的长，推出小正方形的边长，先利用小正方形的面积求得（cosθ﹣sinθ）2的值，判断出cosθ＞sinθ求得cosθ﹣sinθ的值，然后求得2cosθsinθ利用配方法求得（cosθ+sinθ）2的进而求得cosθ+sinθ，利用平方差公式把sin2θ﹣cos2θ展开后，把cosθ+sinθ和cosθ﹣sinθ的值代入即可求得答案．【解答】解：依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为cosθ，短直角边为sinθ，小正方形的边长为cosθ﹣sinθ，∵小正方形的面积是，∴（cosθ﹣sinθ）2=又θ为直角三角形中较小的锐角，∴cosθ＞sinθ∴cosθ﹣sinθ=又∵（cosθ﹣sinθ）2=1﹣2sinθcosθ=∴2cosθsinθ=∴1+2sinθcosθ=即（cosθ+sinθ）2=∴cosθ+sinθ=∴sin2θ﹣cos2θ=（cosθ+sinθ）（sinθ﹣cosθ）=﹣=﹣故选：B．12．如图，在△ABC中，AD=2DB，AE=3EC，CD与BE交于F，设=，=，=x+y，则（x，y）为（）A．B．C．D．【分析】根据AD=2DB，AE=3EC，利用B、F、E三点共线和C、F、D三点共线分别表示出向量，根据平面向量基本定理可求出x、y的值．【解答】解：∵AD=2DB，AE=3EC∴，同理向量还可以表示为，根据平面向量基本定理可知向量用不共线的两个向量线性表示是唯一的则对应系数相等可得解得，所以，故选A．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．设向量=（1，2），=（2，3），若向量λ+与向量=（﹣4，﹣7）共线，则λ=2．【分析】由已知条件，求出λ+，利用共线向量的充要条件列出方程，求出λ的值．【解答】解：∵向量=（1，2），=（2，3），若向量λ+=（λ+2，2λ+3），又向量λ+与向量=（﹣4，﹣7）共线，∴（λ+2）×（﹣7）﹣（2λ+3）×（﹣4）=0，∴λ=2．故答案为：2．14．将函数f（x）=sinx﹣cosx的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得m的最小值．【解答】解：将函数f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣）的图象向左平移m个单位（m＞0），可得y=2sin（x+m﹣）的图象，若所得图象对应的函数为偶函数，则m﹣=kπ+，k∈Z，即m=kπ+，故m的最小值为，故答案为：．15．已知f（x）=+ax+cos2x若f（）=2，则f（﹣）=﹣2．【分析】由f（x）可令g（x）=+ax，则f（x）=g（x）+cos2x+，判断g（x）为奇函数，由f（﹣）+f（）=0，即可得到所求值．【解答】解：f（x）=+ax+cos2x=﹣+ax+cos2x+=+ax+cos2x+，可令g（x）=+ax，则f（x）=g（x）+cos2x+，g（﹣x）=﹣ax=﹣ax=﹣g（x），即有g（x）为奇函数，可得f（﹣）=g（﹣）+cos（﹣）+又f（）=g（）+cos+，两式相加可得，f（﹣）+f（）=0，由f（）=2，可得f（﹣）=﹣2．故答案为：﹣2．16．已知下列：①函数y=sin（﹣2x+）的单调增区间是[﹣kπ﹣，﹣kπ+]（k∈Z）．②要得到函数y=cos（x﹣）的图象，需把函数y=sinx的图象上所有点向左平行移动个单位长度．③已知函数f（x）=2cos2x﹣2acosx+3，当a≤﹣2时，函数f（x）的最小值为g（a）=5+2a．④已知角A、B、C是锐角△ABC的三个内角，则点P（sinA﹣cosB，cosA﹣sinC）在第四象限．其中正确的序号是②③④．【分析】①先用诱导公式，再由正弦函数的减区间，即可判断；②运用图象平移和诱导公式，即可判断；③配方转化为二次函数的值域问题，注意运用余弦函数的有界性，即可判断；④根据锐角三角形的定义，再由正弦函数和余弦函数的单调性，即可判断．【解答】解：①函数y=sin（﹣2x+）=﹣sin（2x﹣），令2k≤2x﹣≤2k，k∈Z，解得，k≤x≤k，故函数的单调增区间是[k，k]，k∈Z，故①错；②将函数y=sinx的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y=sin（x），即y=sin（x+）=cos（x﹣），故②正确；③函数f（x）=2cos2x﹣2acosx+3=2（cosx﹣）2+3﹣，当a≤﹣2时，即，而cosx∈[﹣1，1]，故函数f（x）的最小值为g（a）=2（﹣1）2﹣2a•（﹣1）+3=5+2a，故③正确；④由角A、B、C是锐角△ABC的三个内角，则A+B＞90°，A+C＞90°，即有A＞90°﹣B，A＞90°﹣C，故sinA＞sin（90°﹣B）即sinA＞cosB，cosA＜sinC，故点P在第四象限内，故④正确．故答案为：②③④．三、解答题（本大题共6小题，共7分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．已知sinθ、cosθ是方程x2﹣（﹣1）x+m=0的两根．（1）求m的值；（2）求+的值．【分析】（1）由条件利用韦达定理可得，化简求得m的值．（2）利用同角三角函数的基本关系化简+为cosθ+sinθ，再由（1）求得结果．【解答】解：（1）由条件利用韦达定理可得，化简可得m=﹣．（2）+=+==cosθ+sinθ=﹣1．18．已知=（1，1），=（3，4），（1）若k+与k﹣垂直，求k的值；（2）若|k+2|=10，求k的值．【分析】（1）利用向量的坐标运算、向量垂直与数量积的关系即可得出；（2）利用数量积的运算性质即可得出．【解答】解：，；（1）由，得：，解得：．（2）由，得，解得：k=0或k=﹣14．19．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出（Ⅱ）预测售出8箱水的收益是多少元？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=﹣，参考数据：7×165+6×142+6×148+5×125+6×150=4420．【分析】（Ⅰ）首先求出x，y的平均数，得到样本中心点，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，即可写出线性回归方程．（Ⅱ）当自变量取8时，把8代入线性回归方程，求出销售额的预报值，这是一个估计数字．【解答】解：（Ⅰ）由所给数据计算得=（7+6+6+5+6）=6，==146，=72+62+62+52+62=182，===20，=﹣=146﹣20×6=26，所求回归直线方程为=20x+26；（Ⅱ）将x=8代入回归方程可预测售出8箱水的收益为=20×8+26=186（元）．20．某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求成绩落在[70，80）上的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（Ⅲ）为调查某项指标，从成绩在60～80分这两分数段组学生中按分层抽样的方法抽6人，再从这6人中选2人进行对比，求选出的这2名学生来自同一分数段组的概率．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，用1减去成绩落在其它区间上的频率，即得成绩落在[70，80）上的频率，从而补全频率分步直方图．（Ⅱ）先根据频率分布直方图，用1减去成绩落在[40，50），[50，60）上的频率，即可得到这次考试的及格率，并求出平均分．（Ⅲ）分别求得成绩落在区间[60，70）、[70，80）上的人数，即可求得他们在同一分数段的概率．【解答】解（Ⅰ）成绩落在[70，80）上的频率是0.3，频率分布直方图如下图．（Ⅱ）估计这次考试的及格率（60）分及以上为及格为1﹣0.01×10﹣0.015×10=75%平均分：45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71，（Ⅲ）成绩是60～70分A组有0.015×10×60=9人，成绩在70～80分B组有0.03×10×60=18人，按分层抽样A组抽2人记为a，b，B组抽4人记为1，2，3，4．从这6人中抽2人有a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4，12，13，14，23，24，34，ab共15种选法．两人来自同一组有12，13，14，23，24，34，ab有7种选法．所以两人来自同一组的概率为21．已知向量=（cos x，sin x），=（cos，﹣sin），且x∈[0，]，（1）求•及|+|；（2）若f（x）=•﹣2λ|+|的最小值是﹣，求实数λ的值．【分析】（1）由题意利用两个向量的数量积公式求得•，再根据的坐标，求得|+|的值．（2）由（Ⅰ）得f（x）=2（cosx﹣λ）2﹣1﹣2λ2，再结合1≥cosx≥0可得，分类讨论，利用二次函数的性质，根据f（x）的最小值是﹣，分别求得实数λ的值，综合可得结论．【解答】解：（1）由题意可得•=cos xcos﹣sin xsin=cos2x，=（cos x+cos，sin x﹣sin），∴|+|===2|cosx|．∵x∈[0，]，∴1≥cosx≥0，∴|+|=2cosx．（2）由（Ⅰ）得f（x）=•﹣2λ|+|=cos2x﹣4λcosx=2（cosx﹣λ）2﹣1﹣2λ2，再结合1≥cosx≥0可得，当λ＜0时，则cosx=0时，f（x）取得最小值为﹣1，这与已知矛盾．当0≤λ≤1时，则cosx=λ时，f（x）取得最小值为﹣1﹣2λ2．当λ＞1时，则cosx=1时，f（x）取得最小值为1﹣4λ．由已知得1﹣4λ=﹣，λ=，这与λ＞1相矛盾．综上所述，λ=为所求．22．已知A，B分别是直线y=x和y=﹣x上的两个动点，线段AB的长为2，D是AB的中点．（1）求动点D的轨迹C的方程；（2）若过点（1，0）的直线l与曲线C交于不同两点P、Q，①当|PQ|=3时，求直线l的方程；②试问在x轴上是否存在点E（m，0），使•恒为定值？若存在，求出E点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设D（x，y），A（a，a），B（b，﹣b），然后根据线段AB的长为2，D是AB的中点消去a与b，得到x与y的等量关系，即为动点D的轨迹C的方程；（2）①讨论直线l与x轴是否垂直，然后利用点到直线的距离公式建立等式关系，从而求出直线方程；②讨论直线l的斜率是否存在，不存在时直接求•，存在时，将直线与圆联立方程组，消去y，然后设P（x1，y1），Q（x2，y2），将•表示出来，使其与k无关即可求出m的值．【解答】解：（1）设D（x，y），A（a，a），B（b，﹣b），∵D是AB的中点，∴x=，y=，∵|AB|=2，∴（a﹣b）2+（a+b）2=12，∴（2y）2+（2x）2=12，∴点D的轨迹C的方程为x2+y2=3．（2）①当直线l与x轴垂直时，P（1，），Q（1，﹣），此时|PQ|=2，不符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），由于|PQ|=3，所以圆心C到直线l的距离为，由=，解得k=±．故直线l的方程为y=±（x﹣1）．②当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=k（x﹣1），由消去y得（k2+1）x2﹣2k2x+k2﹣3=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2）则由韦达定理得x1+x2=，x1x2=，则=（m﹣x1，﹣y1），=（m﹣x2，﹣y2），∴•=（m﹣x1）（m﹣x2）+y1y2=m2﹣m（x1+x2）+x1x2+y1y2=m2﹣m（x1+x2）+x1x2+k2（x1﹣1）（x2﹣1）=m2﹣++k2（﹣+1）=要使上式为定值须=1，解得m=1，∴•为定值﹣2，当直线l的斜率不存在时P（1，），Q（1，﹣），由E（1，0）可得=（0，﹣），=（0，），∴•=﹣2，综上所述当E（1，0）时，•为定值﹣2．2016年8月18日。

2018年江西省新余市高一下学期期末考试数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．当输入x=﹣时，如图的程序运行的结果是（）A．﹣B．﹣C．D．2．设角θ的终边经过点P（﹣3，4），那么sinθ+2cosθ=（）A．B． C． D．3．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为（）A．300 B．200 C．150 D．1004．过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A．x﹣2y+7=0 B．2x+y﹣1=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．2x+y﹣5=05．某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组抽出的号码为28，则第8组抽出的号码应是a；若用分层抽样方法，则50岁以下年龄段应抽取b人，那么a+b等于（）A ．46B ．45C ．70D ．696．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）A ．7B ．9C ．10D ．118．在△ABC 中，∠ABC=120°，BA=2，BC=3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则•的值为（ ）A ．B ．C ．D ．﹣9．已知函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），且函数的图象如图所示，则点（ω，φ）的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知O 为△ABC 内一点，且，，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．11．定义在R 上的偶函数f （x ），满足f （x+1）=f （x ﹣1），且f （x ）在[﹣3，﹣2]上是增函数，又α、β是锐角三角形的两个内角，则（ ）A ．f （sin α）＞f （cos β）B ．f （cos α）＜f （cos β）C ．f （sin α）＜f （cos β）D ．f （sin α）＜f （sin β）12．已知向量满足，若M 为AB的中点，并且，则λ+μ的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知tan α=3，则= ．14．已知扇形的周长是4cm ，面积是1cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是 ． 15．已知||=4，为单位向量，当、的夹角为时， +在﹣上的投影为 ．16．对于函数f （x ）=，有下列5个结论：①任取x 1，x 2∈[0，+∞），都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤2； ②函数y=f （x ）在区间[4，5]上单调递增；③f （x ）=2kf （x+2k ）（k ∈N +），对一切x ∈[0，+∞）恒成立； ④函数y=f （x ）﹣ln （x ﹣1）有3个零点；⑤若关于x 的方程f （x ）=m （m ＜0）有且只有两个不同实根x 1，x 2，则x 1+x 2=3． 则其中所有正确结论的序号是 ．（请写出全部正确结论的序号）三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知向量、满足||=1，||=2，与的夹角为60°． （1）若（k ﹣）⊥（+），求k 的值； （2）若|k ﹣|＜2，求k 的取值范围．18．大学生赵敏利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至11月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x 元和销售量y 件之间的一组数据如表所示：（1）根据7至11月份的数据，求出y 关于x 的回归直线方程；（2）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？参考公式：回归直线方程=b +a ，其中b=．参考数据： =392， =502.5．19．设向量=（sinx ， cosx ），=（﹣1，1），=（1，1），其中x ∈（0，π]．（1）若（+）∥，求实数x 的值； （2）若•=，求函数sinx 的值．20．设关于x 的一元二次方程x 2+ax ﹣+1=0．（1）若a是从1，2，3这三个数中任取的一个数，b是从0，1，2这三个数中任取的一个数，求上述方程中有实根的概率；（2）若a是从区间[0，3]中任取的一个数，b是从区间[0，2]中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．21．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+，（x∈R）．（1）若对任意x∈[﹣，]，都有f（x）≥a，求a的取值范围；（2）若先将y=f（x）的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）﹣在区间[﹣2π，4π]内的所有零点之和．22．已知=（sinx，cosx），=（sinx，k），=（﹣2cosx，sinx﹣k）．（1）当x∈[0，]时，求|+|的取值范围；（2）若g（x）=（+）•，求当k为何值时，g（x）的最小值为﹣．2018年江西省新余市高一下学期期末考试数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．当输入x=﹣时，如图的程序运行的结果是（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】EA：伪代码．【分析】由题意知，该程序运行后输出分段函数，计算x=﹣时y的值即可．【解答】解：分析程序的功能是，输出函数y=，当x=﹣时，y=sin（﹣）=﹣．故选：B．2．设角θ的终边经过点P（﹣3，4），那么sinθ+2cosθ=（）A．B． C． D．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】根据任意角的三角函数的定义求得sinθ=和cosθ=的值，从而求得sinθ+2cos θ的值．【解答】解：由于角θ的终边经过点P（﹣3，4），那么x=﹣3，y=4，r=|OP|=5，∴sinθ==，cosθ==﹣，∴sinθ+2cosθ=﹣，故选C．3．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为（）A．300 B．200 C．150 D．100【考点】B8：频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图得支出在[50，60）元的同学所占频率，再由支出在[50，60）元的同学有30人，能求出n的值．【解答】解：由频率分布直方图得支出在[50，60）元的同学所占频率为：1﹣（0.01+0.024+0.036）×10=0.3，支出在[50，60）元的同学有30人，∴n==100．故选：D．4．过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A．x﹣2y+7=0 B．2x+y﹣1=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．2x+y﹣5=0【考点】IG：直线的一般式方程；I7：两条直线平行的判定．【分析】由题意可先设所求的直线方程为x﹣2y+c=0再由直线过点（﹣1，3），代入可求c的值，进而可求直线的方程【解答】解：由题意可设所求的直线方程为x﹣2y+c=0∵过点（﹣1，3）代入可得﹣1﹣6+c=0 则c=7∴x﹣2y+7=0故选A．5．某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组抽出的号码为28，则第8组抽出的号码应是a；若用分层抽样方法，则50岁以下年龄段应抽取b人，那么a+b等于（）A．46 B．45 C．70 D．69【考点】B3：分层抽样方法．【分析】分别根据系统抽样和分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：若用系统抽样，则样本间隔为200÷40=5，出的号码为28，则28=5×5+3，则第一组抽出的号码为3，则第第8组抽出的号码应是a=5×7=38，若用分层抽样方法，则50岁以下年龄段应抽取b人，则50岁以上的人数为20%×40=8，则b=40﹣8=32，则a+b=38+32=70，故选：C．6．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（）A．B．C．D．【考点】C7：等可能事件的概率．2种方法，列举出取出的小球标注的数字之和为3或6的有【分析】从5个小球中选两个有C5{1，2}，{1，5}，{2，4}共3种，根据古典概型公式，代入数据，求出结果．本题也可以不用组合数而只通过列举得到事件总数和满足条件的事件数．2=种【解答】解：随机取出2个小球得到的结果数有C5取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为{1，2}，{1，5}，{2，4}共3种，∴P=，故选A7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【考点】EF：程序框图．【分析】算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，根据条件确定跳出循环的i值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg=lg＜﹣1，∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9．故选：B8．在△ABC中，∠ABC=120°，BA=2，BC=3，D，E是线段AC的三等分点，则•的值为（）A．B．C．D．﹣【考点】9R：平面向量数量积的运算；9V：向量在几何中的应用．【分析】根据向量加法、减法的几何意义，可用，分别表示，，从而进行数量积的运算即可．【解答】解：如图，根据已知条件：=+=+=+（﹣）=（2+）；同理=（+2）；∴•=（22+5•+22）=（8﹣15+18）=．故选：B．9．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），且函数的图象如图所示，则点（ω，φ）的坐标是（）A．B．C．D．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图象可知函数半个周期为求得ω；再根据函数过点，把此点代入函数即可求得φ，进而可知点（ω，φ）的坐标．【解答】解：，∴ω=4，它的图象经过点，得，∴，∴，取k=0，得．∴点（ω，φ）的坐标是故选B10．已知O为△ABC内一点，且，，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．【考点】I6：三点共线．【分析】以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与 BC相交于点E，E为BC的中点．由，可得=2=2，点O是直线AE的中点．根据，B，O，D三点共线，可得点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点．即可得出．【解答】解：以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与 BC相交于点E，E为BC的中点．∵，∴ =2=2，∴点O是直线AE的中点．∵，B，O，D三点共线，∴点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点．则OM=EC=BC， =，∴DM=MC，∴AD=AM=AC，∴t=．故选：B．11．定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+1）=f（x﹣1），且f（x）在[﹣3，﹣2]上是增函数，又α、β是锐角三角形的两个内角，则（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C．f（sinα）＜f（cosβ）D．f（sinα）＜f（sinβ）【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】由条件得到f（x）是周期为2的周期函数，由f（x）是定义在R上的偶函数，在[﹣3，﹣2]上是减函数，根据偶函数的对称性可知f（x）在[2，3]上单调递增，进而得到函数f（x）在[0，1]上单调增，再由α，β是锐角三角形的两个内角，得＞α＞﹣β＞0，且sinα、cosβ都在区间[0，1]上，从而可求．【解答】解：在R上的偶函数f（x），满足f（x+1）=f（x﹣1），故f（x+2）=f（x），故函数f（x）的周期为2．∵f（﹣x）=f（x），f（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数，根据偶函数的对称性可知函数f（x）在[2，3]上是增函数，根据函数的周期可知，函数f（x）在[0，1]上是增函数，∵α，β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞，＞α＞﹣β＞0，∴1≥sinα＞sin（﹣β）=cosβ≥0，∴f（sinα）＞f（cosβ），故选：A．12．已知向量满足，若M为AB 的中点，并且，则λ+μ的最大值是（）A．B．C．D．【考点】93：向量的模．【分析】向量满足=1，，不妨取A（1，0），B（0，1）．利用中点坐标公式可得M．由=（λ，μ）．及其，可得=1，换元，μ=+sinθ，θ∈[0，2π）．即可得出．【解答】解：如图所示，∵向量满足=1，，不妨取A（1，0），B（0，1）．∵M为AB的中点，∴M．∵=λ（1，0）+μ（0，1）=（λ，μ）．∵，∴=1，设，μ=+sinθ，θ∈[0，2π）．则λ+μ=1+sinθ+cosθ=1+，当=1时取等号．∴λ+μ的最大值是1+．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知tanα=3，则= ．【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．【解答】解：∵tanα=3，∴===．故答案为：．14．已知扇形的周长是4cm，面积是1cm2，则扇形的圆心角的弧度数是 2 ．【考点】G6：弧度制的应用．【分析】根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据公式α=，求出扇形圆心角的弧度数．【解答】解：设扇形的弧长为：l，半径为r，所以2r+l=4，S 面积=lr=1所以解得：r=1，l=2所以扇形的圆心角的弧度数是α==2 故答案为：2．15．已知||=4，为单位向量，当、的夹角为时， +在﹣上的投影为．【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】利用数量积运算、投影的意义即可得出． 【解答】解：（ +）（﹣）=||2﹣||2=16﹣1=15， （﹣）2=||2+||2﹣2||•||•cos =16+1﹣2×4×1×（﹣）=21，∴|﹣|=，∴+在﹣上的投影为==，故答案为：16．对于函数f （x ）=，有下列5个结论：①任取x 1，x 2∈[0，+∞），都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤2； ②函数y=f （x ）在区间[4，5]上单调递增；③f （x ）=2kf （x+2k ）（k ∈N +），对一切x ∈[0，+∞）恒成立； ④函数y=f （x ）﹣ln （x ﹣1）有3个零点；⑤若关于x 的方程f （x ）=m （m ＜0）有且只有两个不同实根x 1，x 2，则x 1+x 2=3． 则其中所有正确结论的序号是 ①④⑤ ．（请写出全部正确结论的序号） 【考点】2K ：命题的真假判断与应用；5B ：分段函数的应用．【分析】作出f （x ）=的图象，分别利用函数的性质进行判断即可．【解答】解：f （x ）=的图象如图所示：①∵f （x ）的最大值为1，最小值为﹣1，∴任取x 1、x 2∈[0，+∞），都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤2恒成立，故①正确；②函数在区间[4，5]上的单调性和[0，1]上的单调性相同，则函数y=f （x ）在区间[4，5]上不单调；故②错误；③f （）=2f （+2）=4f （+4）=6f （+6）≠8f （+8），故不正确；故③错误， ④如图所示，函数y=f （x ）﹣ln （x ﹣1）有3个零点；故④正确，⑤当1≤x ≤2时，函数f （x ）关于x=对称，若关于x 的方程f （x ）=m （m ＜0）有且只有两个不同实根x 1，x 2， 则=，则x 1+x 2=3成立，故⑤正确，故答案为：①④⑤．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知向量、满足||=1，||=2，与的夹角为60°． （1）若（k ﹣）⊥（+），求k 的值； （2）若|k ﹣|＜2，求k 的取值范围．【考点】9T ：数量积判断两个平面向量的垂直关系；93：向量的模． 【分析】（1）（k ﹣）•（+）=0，从而得到2k ﹣5=0，由此能求出k ． （2）|k ﹣|==＜2，由此能求出结果．【解答】解：（1）∵（k ﹣）⊥（+）， ∴（k ﹣）•（+）=0，…∴+（k ﹣1）﹣=0， ||=1，||=2，＜＞=60°，∴2k ﹣5=0，∴k=．… （2）|k ﹣|===＜2，∴k 2﹣2k ＜0，∴0＜k ＜2．…18．大学生赵敏利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至11月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x 元和销售量y 件之间的一组数据如表所示：（1）根据7至11月份的数据，求出y 关于x 的回归直线方程；（2）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？参考公式：回归直线方程=b +a ，其中b=．参考数据： =392， =502.5．【考点】BK ：线性回归方程．【分析】（1）计算、，求出回归系数，写出回归方程；（2）根据回归方程，写出销售利润函数W ，求出函数W 的最大值即可． 【解答】解：（1）因为=×（9+9.5+10+10.5+11）=10， =×（11+10+8+6+5）=8，所以回归系数b===﹣3.2，则a=﹣b=8﹣（﹣3.2）×10=40，于是y关于x的回归直线方程为=﹣3.2+40；…（2）令销售利润为W，则：W=（x﹣2.5）（﹣3.2x+40）=﹣3.2x2+48x﹣100，其中（2.5＜x＜12.5）；…（x没范围扣1分）当x=7.5时，W取得最大值为80；所以该产品的销售单价定为7.5元/件时，获得的利润最大．…19．设向量=（sinx， cosx），=（﹣1，1），=（1，1），其中x∈（0，π]．（1）若（+）∥，求实数x的值；（2）若•=，求函数sinx的值．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据平面向量的坐标运算与共线定理，列出方程求出sinx的值，再根据x的取值范围求出x的值；（2）根据平面向量数量积的定义和三角恒等变换，利用特殊角的三角函数值，即可求出sinx 的值．【解答】解：（1）向量=（sinx， cosx），=（﹣1，1），∴+=（sinx﹣1， cosx+1）；又=（1，1），且（+）∥，∴（sinx﹣1）﹣（cosx+1）=0，化简得sinx﹣cosx=2，即2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣）=2，∴sin（x﹣）=1；又x∈[0，π]，∴x﹣∈[﹣，]，∴x﹣=，∴x=；（2）•=﹣sinx+cosx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+）=，∴cos（x+）=；又x∈[0，π]，则x+∈[，]，∴x+∈[，]，∴sin（x+）==；∴sinx=sin（x+﹣）=sin（x+﹣）=sin（x+）cos﹣cos（x+）sin=×﹣×=．20．设关于x的一元二次方程x2+ax﹣+1=0．（1）若a是从1，2，3这三个数中任取的一个数，b是从0，1，2这三个数中任取的一个数，求上述方程中有实根的概率；（2）若a是从区间[0，3]中任取的一个数，b是从区间[0，2]中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【考点】CF：几何概型；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）利用有序实数对表示基本事件，由古典概型公式解答；（2）表示a，b满足的区域，求出面积，利用几何概型解答．【解答】解：（1）由题意，知基本事件共有9个，可用有序实数对表示为（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），其中第一个表示a的取值，第二个表示b的取值．由方程的，可得，a2+b2≥4，所以方程有实根包含7个基本事件，即（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．所以，此时方程有实根的概率为．（2）a，b的取值所构成的区域如图所示，其中0≤a≤3，0≤b≤2，∴构成“方程有实根”这一事件的区域为{（a，b）|a2+b2≥4，0≤a≤3，0≤b ≤2}（图中阴影部分）∴此时所求概率为．21．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+，（x∈R）．（1）若对任意x∈[﹣，]，都有f（x）≥a，求a的取值范围；（2）若先将y=f（x）的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）﹣在区间[﹣2π，4π]内的所有零点之和．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，根据题意，x∈[﹣，]时，f（x）≥a．再利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最小值，可得a的范围．min（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，根据正弦函数的图象的对称性，求得函数y=g（x）﹣在区间[﹣2π，4π]内的所有零点之和．【解答】解：（1）函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），若对任意x∈[﹣，]，都有f（x）≥a，则只需 f（x）min≥a即可．∵2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=﹣时，f（x）min=﹣，故 a≤﹣．（2）若先将y=f（x）的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y=sin（x﹣）的图象；然后再向左平移个单位得到函数y=g（x）=sinx的图象．令g（x）﹣=0，求得sinx=，求函数y=g（x）﹣在区间[﹣2π，4π]内的所有零点之和．由图可知，sinx=在区间[﹣2π，4π]内有6个零点：x1，x2，x3，x4，x5，x6，根据对称性有=﹣， =， =，从而所有零点和为：x1+x2+x3+x4+x5+x6=3π．22．已知=（sinx，cosx），=（sinx，k），=（﹣2cosx，sinx﹣k）．（1）当x∈[0，]时，求|+|的取值范围；（2）若g（x）=（+）•，求当k为何值时，g（x）的最小值为﹣．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；9J：平面向量的坐标运算；9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）由已知利用平面向量的坐标运算可得=（sinx﹣2cosx，sinx），利用三角函数恒等变换的应用可得||2=cos（2x+φ）+3，其中，tanφ=2，又x∈[0，]，可求，利用余弦函数的单调性即可得解|+|的取值范围；（2）利用平面向量数量积的运算可得g（x）=﹣3sinxcosx+k（sinx﹣cosx）﹣k2，令t=sinx﹣cosx=sin（x﹣），则g（x）可化为，对称轴．利用二次函数的图象和性质分类讨论即可得解．【解答】解：（1）=（sinx﹣2cosx，sinx），||2=（sinx﹣2cosx，sinx）2=2sin2x﹣4sinxcosx+4cos2x=2cos2x﹣4sinxcosx+2=cos2x﹣2sin2x+3=cos（2x+φ）+3，其中，tanφ=2，又∵x∈[0，]，∴，∴在上单调递减，∴|cos（2x+φ）|2∈[1，4]，∴|+|∈[1，2]．（2）=（2sinx，cosx+k），g（x）=（）=﹣4sinxcosx+（cosx+k）（sinx﹣k）=﹣3sinxcosx+k（sinx﹣cosx）﹣k2令t=sinx﹣cosx=sin（x﹣），则t∈[﹣，]，且t2=sin2x+cos2x﹣2sinxcosx=1﹣2sinxcosx，所以．所以g（x）可化为，对称轴．①当，即时，，由，得，所以．因为，所以此时无解．②当，即时，．由﹣﹣=﹣，得k=0∈[﹣3，3]．③当﹣，即k＜﹣3时，=h（）=﹣k2+k+，g（x）min由﹣k2+k+=﹣，得k2﹣k﹣3=0，所以k=．因为k，所以此时无解．综上所述，当k=0时，g（x）的最小值为﹣．。