高中数学人教a版选修4-5学案：第3讲 2 一般形式的柯西不等式 含解析

高二数学人教A版选修4-5教案：3.2一般形式的柯西不等式Word版含3.2 一般形式的柯西不等式一、教学目标1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式． 2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．二、课时安排 1课时三、教学重点1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式． 2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．四、教学难点1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．[来源学科网]2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．五、教学过程（一）导入新课已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求t＝x2＋4y2＋z2的最小值．【解】由柯西不等式得(x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2. ∵x＋2y＋z＝1，1∴3(x2＋4y2＋z2)≥1，即x2＋4y2＋z2≥.311111当且仅当x＝2y＝z＝，即x＝，y＝，z＝时等号成立．故x2＋4y2＋z2的最小值为. 33633（二）讲授新课教材整理1 三维形式的柯西不等式2222设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a2(b21＋a2＋a3)・1＋b2＋b3)≥.当且仅当或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．教材整理2 一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则22222(a21＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥ .当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝ (i＝1,2，…，n)时，等号成立．（三）重难点精讲题型一、利用柯西不等式求最值123例1 已知a，b，c∈(0，＋∞)，＋＋＝2，求a＋2b＋3c的最小值及取得最小值时a， abcb，c的值．[来源学。

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K]123【精彩点拨】由于＋＋＝2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不abc等式求解．【自主解答】∵a，b，c∈(0，＋∞)，2123??＋＋・∴?(a＋2b＋3c)＝[?abc??≥?1・a＋a2・2b＋b1??＋a??222??＋b??23?][(a)2＋(2b)2＋(3c)2] c??3?・3c c?＝(1＋2＋3)2＝36. 123又＋＋＝2，abc∴a＋2b＋3c≥18，当且仅当a＝b＝c＝3时等号成立，综上，当a＝b＝c＝3时， a＋2b＋3c取得最小值18.规律总结：利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．[再练一题]1．已知x＋4y＋9z＝1，求x2＋y2＋z2的最小值．【解】由柯西不等式，知 (x＋4y＋9z)2≤(12＋42＋92)(x2＋y2＋z2) ＝98(x2＋y2＋z2)．又x＋4y＋9z＝1， 1∴x2＋y2＋z2≥，(*)98yz当且仅当x＝＝时，等号成立，49129∴x＝，y＝，z＝时，(*)取等号．9849981因此，x2＋y2＋z2的最小值为.98题型二、运用柯西不等式求参数的取值范围例2已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式111＋＋≤λ恒成立，求λx＋yy＋zz＋x的取值范围．111【精彩点拨】“恒成立”问题需求＋＋的最大值，设法应用柯西不等式求x＋yy＋zz＋x最值．【自主解答】∵x>0，y>0，z>0. 且x＋y＋z＝xyz. 111∴＋＋＝1. yzxzxy又111＋＋ x＋yy＋zz＋x11?11＋＋≤? 2?xyyzzx?11?1?11・＋1・＋1・＝2?xyyzzx?≤错误!错误!＝错误!，当且仅当x＝y＝z，即x＝y＝z＝3时等号成立．∴故1113＋＋的最大值为.2x＋yy＋zz＋x111＋＋≤λ恒成立时， x＋yy＋zz＋x3. 23?，＋∞. ?2?12应有λ≥因此λ的取值范围是?规律总结：应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理．[再练一题]2．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的取值范围.【解】由a＋b＋c＋d＝3，得b＋c＋d＝3－a，由a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，得2b2＋3c2＋6d2＝5－a2， 111?＋＋≥(b＋c＋d)2， (2b2＋3c2＋6d2)??236?即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2.由条件可得，5－a2≥(3－a)2，解得1≤a≤2，所以实数a的取值范围是[1,2]．题型三、利用柯西不等式证明不等式abc?bca例3 已知a，b，c∈R＋，求证：??b＋c＋a?a＋b＋c≥9. 【精彩点拨】对应三维形式的柯西不等式，a1＝b2＝c，b3＝ba，a＝b2b，a＝c3c，b＝a1b，aa，而a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而得证． c【自主解答】∵a，b，c∈R＋，由柯西不等式，知22b??＋c??2≥?a? c?2c?]×[?a??2b?＋?a??2c??＋b??2a?] c??a＋b＋c??b＋c＋a?＝[??bca??abc??a×bb＋ab×cc＋ba??＋b??c×a?＝(1＋1＋1)2＝9，abc??bca?∴??b＋c＋a??a＋b＋c?≥9. 规律总结：1．当ai，bi是正数时，柯西不等式变形为(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.2．本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件．在运用柯西不等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组．[再练一题]3．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m的值；111＋(2)若a，b，c∈R，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.a2b3c【解】 (1)因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m. 由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.111(2)证明：由(1)知＋＋＝1.又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2ba2b3c2111111??＋＋≥a・＋2b・＋3c・?＝9. ＋3c)??a2b3c??a2b3c?（四）归纳小结?一般形式的柯西不等式―?―一般形式?―一般形式的应用―三维形式（五）随堂检测1．设a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则a・b的最小值为( ) A．18 B．6 C．－18 D.12 【解析】 |a・b|≤|a||b|，∴|a・b|≤18.∴－18≤a・b≤18，当a，b反向时，a・b最小，最小值为－18. 【答案】 C222222．若a21＋a2＋…＋an＝1，b1＋b2＋…＋bn＝4，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn的取值范围是( )A．(－∞，2) B．[－2,2] C．(－∞，2] D.[－1,1]222222【解析】∵(a21＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)，∴(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤4，∴|a1b1＋a2b2＋…＋anbn|≤2，即－2≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤2，1当且仅当ai＝bi(i＝1,2，…，n)时，右边等号成立；21当且仅当ai＝－bi(i＝1,2，…，n)时，左边等号成立，故选B.2【答案】 B3．设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则m2＋n2的最小值为________．【解析】根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，m2＋n2的最小值为5. 【答案】5[来源学+科+网][来源:]六、板书设计3.2 一般形式的柯西不等式教材整理1 三维形式的柯西不等式教材整理2 一般形式的柯西不等式例3：例1：例2： [来源:Z#xx#] 学生板演练习七、作业布置同步练习：3.2 一般形式的柯西不等式八、教学反思感谢您的阅读，祝您生活愉快。

［课时作业］ ［A 组基础巩固］1.已知x 2 + y 2 + z 2= 1,则x + 2y + 2z 的最大值为( )A . 1B . 2C . 3D . 4解析：由柯西不等式得(x + 2y + 2Z )2W (12+ 22 + 22)(x 2 + y 2 + z 2) = 9, 所以—3w x + 2y + 2z W 3.当且仅当x =2时，等号成立. 所以x + 2y + 2z 的最大值为3. 答案：CC . n 22. n 个正数的和与这 n 个正数的倒数和的乘积的最小值是（）解析：设n 个正数为 X 1, X 2,…，x n , 由柯西不等式，得n(X 1 + X 2+…+ X n ) ++•••iV x i x — + J X 2 x -^ + …+ 晶 X I X 1 7x 2 当且仅当X 1= X n 时取等号.答案：C3.设 a 、b 、c 为正数，则（a + b + c ） （：+ £ 4 9 36 i 9+ ；）的最小值为（） c A . 11 C . 49答案：B=(1 + 1+…+ 1)2= n 2.B . 121解析：(a + b + c) •： + =121.4 9 164.设a ,b ,c 均为正数且a + b + c = 9,则b +1■的最小值为（）A . 81 D . 49解析：考虑以下两组向量:，"b^c ，V — ( a ， b ，c). 由(u v)2< |u|2 |v|2 得2 2 2当且仅当—9 — *，即a — 2，b — 3, c — 4时取等号, 可得 4+ b + ¥ 9> (2 + 3 + 4)2— 81,答案：Bn2n + 1n + 1 C.2n — 1解析：为了利用柯西不等式，注意到(2— a ) + (2 — a ) + …+ (2 — a n ) — 2n — ( a + a+ …+ a ) — 2n — 1,—[(2 — a )+ (2 — a ) + …+ (2 — a )]•—1 — + 2—a ・—1 — +••• +.2— a ■5.设非负实数 oi , C 2, , a 满足 a + a+…+ a — 1,则 y —2—a +2—a +…+2— 2 _— n on的最小值为（）C .7所以4+!+嚳819.2n 2 2n — 1所以(2n - 1)1 1+2—a +…+ "2—f —『，\ 2—+ 2^~ + …+ 2— a 2— a>2 22n 2n n所以 y + n 》 ,y > — n = .2n — 1 2n — 1 2n — 1 等号当且仅当 a =1时成立，从而 y 有最小值 门 们n 2n — 1答案：A6•同时满足 2x + 3y + z = 13,4X 2+ 9y 2 + z 2— 2x + 15y + 3z = 82 的实数 x 、y 、z 的值 分别为 ___ , ______ , ________ . 解析：可令 X 1 = 2x , X 2= 3y + 3,刈=z + 2,2 2 2则 X 1 + X 2 + X 3= 18 且 X 1 + X 2 + X 3= 108,由此及柯西不等式得 182= (X 1 + X 2 + X 3)2< (X 1 + X 2 + X 3)(12 + 12+ 12)= 108X 3, 上式等号成立的充要条件是 ¥ = X p = ¥? X 1 = X 2= X 3 = 6? x = 3, y = 1, z = 4. 所以3,1,4是所求实数X , y , z 的值. 答案：31 47. 已知实数 a , b , c , d , e 满足 a + b + c + d + e = 8, a 2 + b 2+ c 2+ d 2+ e 2 = 16, 则e 的取值范围为 ________ .解析：4(a 2+ b 2 + c 2 + d 2)= (1+ 1+ 1+ 1)(a 2+ b 2 + c 2+ d 2) >(a + b + c + d)2, 即 4(16— e 2)>(8 — e)2, 即卩 64 — 4e 2>64 — 16e + e 2. 2 16••• 5e — 16e > 0,故 0w e < . 5答案:0,168. 设 a , b , c , X , y , z 都是正数，且 a 2+ b 2 + c 2= 25, X 2 + y 2 + z 2 = 36, a + b + cax + by + cz = 30,则—..—=.X + y + z解析：由柯西不等式知：25x 36= (a 2 + b 2 + c 2) (-X 2 + y 2 + z 2) >(ax + by + cz)2 = 302=25 x 36,当且仅当a =k 时取等号.X y z由k2(x2+ y2+ z2)2= 25x 36,解得k= 5.所以a+b+c_X+ y+ zk_ 5.5答案：52 2 29. 已知 x , y , z € R ,且 x — 2y — 3z = 4,求 x + y + z 的最小值. 解析：由柯西不等式，得2 2 2 2 2 2 2[x + ( — 2)y + (— 3)z] <[1 + (— 2) + (— 3) ](x + y + z), 即(x — 2y — 3z)2< 14(x 2 + y 2 + z 2),2 2 2即 16< 14(x + y + z).所以x 2 + y 2 +孕，当且仅当 x =—^二—3，即当x =7, y =_4, z =—學时,x 2 + y 2 + z 的最小值为8.10. 在△ ABC 中，设其各边长分别为a , b , c ,外接圆半径为R , 求证：@2+b 2 + c 2)sn^+snH +》36R .证明：由正弦定理知 聶=爲=SinC = 2R ,1 1 1 sin2 A + sin 2 B + sin 2 C> 光 + 光+ f 36R 2.sin A sin B sin C[B 组能力提升]1 .已知 x , y , z € R +,且 x + y + z = 1,贝U x2 + y 2 + z 2的最小值是( 1 A . 1B . 3解析：根据柯西不等式，x 2 + y 2 + z 2=*12+ 12+ 12) (x 2 + y 2 + z 2)> 1 2 1 2 1 3(1 X x + 1 X y + 1 X z) = 3(x + y + z) = 3. 答案：B42.若2a>b>0,则a + 的最小值为()(2a — b ) bA . 1B . 32 2 2••• (a + b + c)D. 12 C. 8解析：T 2a>b>0,「. 2a — b>0. 4 1 82a — b b = 2[(2a — b)+ b + 2a — b b ] 4 •••当a = b = 2时，a + 有最小值3.(2a — b) b答案：B3•若a , b , c 为正数，则岸+ b + ： - a + b +1的最小值为 解析：由柯西不等式可知，14 94.已知x ，y ，z € R +，且x + y + z = 1，则-+ - + -的最小值为 ___________入 y 厶 解析：利用柯西不等式. 由于(x + y + z )1+ 4+ 9 >14 9所以 一 + 4 + 9> 36.x y z 当且仅当X 2二4y 2二9z 2， 1 1 1即 x =6，y = 3 z = 2■时，14 9等号成立.••• - + 4 + 9的最小值为36.x y z--a +82a— b b3.当且仅当 2a — b = b =82a — bb ，即a = b = 2时等号成立. 》2 3答案：9答案：361 1 15. 已知正数x , y , z 满足x +y +z 二xyz,且不等式不+不+入恒成立,求入的取值范围.1 +_1_ +12 xy 2 : yz 2 ' zx1 2 2 2 — -- .三 1[(1 +1+ 1)(x+^++x ++)]故入的取值范围是［于，+*).6. 已知函数 f(x) = m —|x — 2|, m € R ,且 f(x + 2)>0 的解集为[-1,1]. (1)求m 的值；1 1 1⑵若 a , b , c € R +,且^+ 2b + 觅=m ,求证：a + 2b + 309. 解析：(1)因为 f(x + 2)= m — |x|, 所以f(x + 2)>0等价于|x|< m ,由|x|< m 有解，得m 》0,且其解集为{x|— m < x < m}. 又 f(x + 2)>0 的解集为[—1,1],故 m = 1.1 1 1⑵由(1)知a + 2b + 3C = 1,又 a , b , c € R +,111 1 ________________a + 2b + 3c = (a + 2b + 3c)(^ + 2b + 3C)》(V a •- + 寸2b解析：不+不+z +卢=2(1xx +y +z+1X——X + 1X x + y + zx +y +z )2詔,1由柯西不等式得。

单元整合知识网络专题探究专题一 柯西不等式的应用利用柯西不等式证明其他不等式或求最值，关键是构造两组数，并向着柯西不等式的形式进行转化．应用1已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝8，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝16，求e 的取值范围．提示：由a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2联想到应用柯西不等式．解：∵4(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)＝(1＋1＋1＋1)(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)≥(a ＋b ＋c ＋d )2， 即4(16－e 2)≥(8－e )2,64－4e 2≥64－16e ＋e 2， 即5e 2－16e ≤0，∴e (5e －16)≤0，∴0≤e ≤165.即e 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，165. 应用2若n 是不小于2的正整数，试证： 47＜1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＜22. 提示：注意中间的一列数的代数和，其奇数项为正，偶数项为负，可进行恒等变形予以化简．证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n＝⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋12n －2⎝⎛⎭⎫12＋14＋…＋12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，所以求证式等价于47＜1n ＋1＋2n ＋2＋…＋12n ＜22.由柯西不等式，有⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n [(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋2n ]＞n 2，于是，1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n＞n 2(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋2n ＝2n 3n ＋1＝23＋1n≥23＋12＝47， 又由柯西不等式，有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜(12＋12＋…＋12)⎣⎡⎦⎤1(n ＋1)2＋1(n ＋2)2＋…＋1(2n )2≤n ⎝⎛⎭⎫1n －12n ＝22. 综上，原不等式成立． 专题二 排序不等式的应用应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式，其证明的关键是找出两组有序数组，通常可以从函数单调性去寻找．应用在△ABC 中，试证：π3≤aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c＜π2.提示：可构造△ABC 的边和角的序列，应用排序不等式来证明． 证明：不妨设a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C ，由排序不等式，得： aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC ， aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC .相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )(A ＋B ＋C )＝π(a ＋b ＋c )，得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3，①又由0＜b ＋c －a,0＜a ＋b －c,0＜a ＋c －b ， 有0＜A (b ＋c －a )＋C (a ＋b －c )＋B (a ＋c －b ) ＝a (B ＋C －A )＋b (A ＋C －B )＋c (A ＋B －C ) ＝a (π－2A )＋b (π－2B )＋c (π－2C ) ＝(a ＋b ＋c )π－2(aA ＋bB ＋cC )， 得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c＜π2.② 由①②得原不等式成立． 专题三 利用不等式解决最值问题利用不等式解决最值问题，尤其是含多个变量的问题，是一种常用方法．特别是条件最值问题，通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意取等号的条件能否满足．应用设a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ＋3c ＝13，求3a ＋2b ＋c 的最大值． 解：根据柯西不等式，知 (a ＋2b ＋3c )⎣⎡⎦⎤(3)2＋12＋⎝⎛⎭⎫132 ≥⎝⎛⎭⎫3·a ＋1·2b ＋13·3c 2＝(3a ＋2b ＋c )2， ∴(3a ＋2b ＋c )2≤1323，则3a ＋2b ＋c ≤1333，当且仅当a 3＝2b 1＝3c 13时取等号．又a ＋2b ＋3c ＝13，∴a ＝9，b ＝32，c ＝13时，3a ＋2b ＋c 有最大值1333.专题四 利用柯西不等式解决实际问题数学知识服务于生活实践始终是数学教学的中心问题，利用柯西不等式解决实际问题，关键是从实际情景中构造出这类不等式的模型．应用如图，等腰直角三角形AOB 的直角边长为1.在此三角形中任取点P ，过P 分别引三边的平行线，与各边围成以P 为顶点的三个三角形(图中阴影部分)，求这三个三角形的面积和的最小值，以及达到最小值时P 的位置．解：分别取OA ，OB 为x 轴、y 轴，则AB 的方程为x ＋y ＝1，记P 点坐标P (x P ，y P )，则以P 为公共顶点的三个三角形的面积和S 为S ＝12x 2P ＋12y 2P ＋12(1－x P －y P )2，则2S ＝x 2P ＋y 2P ＋(1－x P －y P )2.由柯西不等式，得[x 2P ＋y 2P ＋(1－x P －y P )2](12＋12＋12)≥[x P ＋y P ＋(1－x P －y P )]2， 即2S ×3＝6S ≥1，所以S ≥16.当且仅当x P 1＝y P 1＝1－x P －y P1时，等号成立，即x P ＝y P ＝13时，面积S 最小，且最小值为16.。

第三讲 第2课时A ．基础巩固1．n 个正数的和与这n 个正数的倒数和的乘积的最小值是( ) A ．1 B ．n C ．n 2D ．1n【答案】C 【解析】设a 1，a 2，…，a n 为正数，则由柯西不等式得 (a 1＋a 2＋…＋a n )⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a2＋…＋1a n≥⎝⎛⎭⎫a 1·1a 1＋a 2·1a 2＋…＋a n ·1a n 2＝(1＋1＋…＋1)2＝n 2.2.(2018年西安校级月考)已知a ，b ，c ∈R ，若a 4＋b 4＋c 4＝1，则a 2＋b 2＋c 2的最大值为( )A.1B. 3C.2D.3【答案】B 【解析】因为a 4＋b 4＋c 4＝1，由柯西不等式可知(a 2＋b 2＋c 2)2≤(12＋12＋12)[(a 2)2＋(b 2)2＋(c 2)2]，所以(a 2＋b 2＋c 2)2≤3，即a 2＋b 2＋c 2≤3，当且仅当a 2＝b 2＝c 2＝33时取等号，最大值为 3.3．已知x ，y ，z ，a ∈R 且x 2＋4y 2＋z 2＝6，则使不等式x ＋2y ＋3z ≤a 恒成立的a 的最小值为( )A ．6B ．66C ．8D ．88【答案】B 【解析】∵(x 2＋4y 2＋z 2)(12＋12＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2，∴x ＋2y ＋3z ≤66，又x ＋2y ＋3z ≤a 恒成立，∴a ≥66，即a 的最小值为66.4．对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，1a ＋2b ＋4c 的最小值是______．【答案】－1 【解析】∵4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0，∴c 4＝⎝⎛⎭⎫a －b 42＋316b 2.由柯西不等式，得⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a －b 42＋316b 2[22＋(23)2]≥⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫a －b 4＋34b ×232＝|2a ＋b |2，故当|2a ＋b |取得最大值时，有23×⎝⎛⎭⎫a －b 4＝2×34b ，∴a ＝b 2，c ＝b 2.∴1a ＋2b ＋4c ＝2b ＋2b ＋4b 2＝4b ＋4b 2＝4⎝⎛⎭⎫1b ＋122－1，当b ＝－2时，取得最小值为－1.5．已知a>0，b>0，c>0且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值是________．【答案】9 【解析】∵a ，b ，c 均为正数且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ·(a ＋b ＋c )≥⎝⎛⎭⎫1a ·a ＋1b ·b ＋1c ·c 2＝9， ∴⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c min ＝9.6．已知a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋x 23＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是________．【答案】1 【解析】∵||a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n ≤a 21＋a 22＋…＋a 2n ·x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，∴－1≤a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n ≤1.故最大值为1. 7．(2017年武汉校级月考)设f (x )＝|x －3|＋|x －4|. (1)解不等式f (x )≤2；(2)已知实数x ，y ，z 满足2x 2＋3y 2＋6z 2＝a (a ＞0)，且x ＋y ＋z 的最大值是1，求a 的值． 【解析】(1)当x ＜3时，不等式化为－x ＋3－x ＋4≤2，∴x ≥52，∴52≤x ＜3；当3≤x ≤4时，不等式化为x －3－x ＋4≤2，成立；当x ＞4时，不等式化为x －3＋x －4≤2，∴x ≤92，∴4＜x ≤92.综上所述，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪52≤x ≤92. (2)由柯西不等式得[(2x )2＋(3y )2＋(6z )2]·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫162≥(x ＋y ＋z )2， 因为2x 2＋3y 2＋6z 2＝a (a ＞0)，所以a ≥(x ＋y ＋z )2. 因为x ＋y ＋z 的最大值是1，所以a ＝1.当2x ＝3y ＝6z 时，x ＋y ＋z 取最大值，所以a ＝1.B ．能力提升8．已知P 是边长为23的等边三角形内一点，它到三边的距离分别是x ，y ，z ，则x ，y ，z 的关系式是________，x 2＋y 2＋z 2的最小值是__________．【答案】x ＋y ＋z ＝3 3【解析】∵S ＝12·23(x ＋y ＋z )＝12×(23)2sin 60°，∴x ＋y ＋z ＝3.又∵(12＋12＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋y ＋z )2＝9， ∴x 2＋y 2＋z 2≥3.∴(x 2＋y 2＋z 2)min ＝3.。

自我小测1．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．42．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，则a 的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．43．n 个正数的和与这n 个正数的倒数和的乘积的最小值是( ) A ．1 B ．n C ．n 2 D ．1n4．若实数x ＋y ＋z ＝1，则2x 2＋y 2＋3z 2的最小值为( ) A ．1 B ．6 C ．11 D ．6115．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c ＞0，则2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a 的最小值为( )A ．1B ．3C ．6D ．96．设a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b＋36c 的最小值是________．7．设x ，y ，z ∈R ，若x 2＋y 2＋z 2＝4，则x －2y ＋2z 的最小值为________． 8．已知实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，则x 2＋4y 2＋z 2的最小值为________． 9．在△ABC 中，设其各边长分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，求证：(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2. 10．已知二次三项式f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的所有系数均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：对于任何正数x 1，x 2，当x 1·x 2＝1时，必有f (x 1)·f (x 2)≥1.参考答案1．解析：(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1.当且仅当a i ＝x i ＝nn(i ＝1,2，…，n )时等号成立． ∴a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1. 答案：A2．解析：由柯西不等式，得(2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2，即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2，当且仅当2b 12＝3c 13＝6d 16时等号成立．又b ＋c ＋d ＝3－a,2b 2＋3c 2＋6d 2＝5－a 2， 故5－a 2≥(3－a )2，解得1≤a ≤2，即a 的最大值是2. 答案：B3．解析：设n 个正数为x 1，x 2，…，x n ， 由柯西不等式，得(x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n≥⎝⎛⎭⎪⎫x 1×1x 1＋x 2×1x 2＋…＋x n ×1x n 2＝(1＋1＋…＋1)2＝n 2.当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n 时取等号． 答案：C4．解析：∵(2x 2＋y 2＋3z 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1＋13≥⎝⎛⎭⎪⎫2x ·12＋y ·1＋3z ·132＝(x ＋y ＋z )2＝1.∴2x 2＋y 2＋3z 2≥112＋1＋13＝611，当且仅当x ＝311，y ＝611，z ＝211时等号成立．∴2x 2＋y 2＋3z 2的最小值为611. 答案：D5．解析：∵a ＋b ＋c ＝1， ∴2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a＝2(a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥(1＋1＋1)2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．答案：D6．解析：(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b ＋36c ＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6c 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·3b ＋c ·6c 2＝(2＋3＋6)2＝121.当且仅当a 2＝b 3＝c6时等号成立． 答案：1217．解析：由柯西不等式得(x 2＋y 2＋z 2)[12＋(－2)2＋22]≥(x －2y ＋2z )2，∴(x －2y ＋2z )2≤4×9＝36.当且仅当x 1＝y －2＝z2＝k ，k ＝±23时，上式取得等号，当k ＝－23时，x －2y ＋2z 取得最小值－6.答案：－68．解析：由柯西不等式得(x 2＋4y 2＋z 2)(1＋1＋1)≥(x ＋2y ＋z )2. ∵x ＋2y ＋z ＝1.∴3(x 2＋4y 2＋z 2)≥1.即x 2＋4y 2＋z 2≥13.当且仅当x ＝2y ＝z ＝13，即x ＝13，y ＝16，z ＝13时等号成立．故x 2＋4y 2＋z 2的最小值为13.答案：139．证明：∵a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ， ∴(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin A ＋b sin B ＋c sin C 2＝36 R 2. ∴原不等式成立．10．证明：f (x 1)·f (x 2)＝(ax 21＋bx 1＋c )(ax 22＋bx 2＋c )≥[a (x 1x 2)2＋b x 1x 2＋c ]2＝f 2(x 1x 2)＝f 2(1)＝1.故f (x 1)·f (x 2)≥1.。