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聚类分析的方法一、系统聚类法系统聚类分析法就是利用一定的数学方法将样品或变量（所分析的项目）归并为若干不同的类别（以分类树形图表示），使得每一类别内的所有个体之间具有较密切的关系，而各类别之间的相互关系相对地比较疏远。
系统聚类分析最后得到一个反映个体间亲疏关系的自然谱系，它比较客观地描述了分类对象的各个体之间的差异和联系。
根据分类目的不同，系统聚类分析可分为两类：一类是对变量分类，称为R型分析；另一类是对样品分类，称为Q型分析。
系统聚类分析法基本步骤如下（许志友，1988）。
（一）数据的正规化和标准化由于监测时所得到的数值各变量之间相差较大，或因各变量所取的度量单位不同，使数值差别增大，如果不对原始数据进行变换处理，势必会突出监测数据中数值较大的一些变量的作用，而消弱数值较小的另一些变量的作用，克服这种弊病的办法是对原始数据正规化或标准化，得到的数据均与监测时所取的度量单位无关。
设原始监测数据为Xij (i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，m；n为样品个数，m为变量个数)，正规化或标准化处理后的数据为Zij (i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，m)。
1. 正规化计算公式如下：（7-32）（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，m）2. 标准化计算公式如下：（7-33）（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，m）其中：（二）数据分类尺度计算为了对数据Zij进行分类，须对该数据进一步处理，以便从中确定出分类的尺度，下列出分类尺度计算的四种方法。
1.相关系数R两两变量间简单相关系数定义为：（7-34）（i，j＝1，2，…，m）其中一般用于变量的分类（R型）。
有一1≤≤1且愈接近1时，则此两变量愈亲近，愈接近-1，则关系愈疏远。
2.相似系数相似系数的意义是，把每个样品看做m维空间中的一个向量，n个样品相当于m维空间中的n个向量。
第i个样品与第j个样品之间的相似系数是用两个向量之间的夹角余弦来定义，即：（7-35）（i，j＝1，2，…，m）常用于样品间的分类（Q型）。
聚类分析的基本概念与方法聚类分析（Cluster Analysis）是一种将数据分组或分类的统计学方法，通过将相似的对象归为同一组，使得组内的对象之间更加相似，而不同组之间的对象则差异较大。
它是数据挖掘和机器学习领域中常用的技术之一，被广泛应用于市场分析、生物信息学、图像处理等领域。
一、聚类分析的基本概念聚类分析基于相似性的概念，即认为具有相似特征的对象更有可能属于同一类别。
在聚类分析中，每个对象都被视为一个数据点，而聚类则是将这些数据点分组。
基本概念包括以下几点：1. 数据点：数据集中的每个样本或对象都被看作是一个数据点，它具有多个特征或属性。
2. 相似性度量：聚类分析的关键是如何计算数据点之间的相似性或距离。
常用的相似性度量包括欧氏距离、曼哈顿距离、闵可夫斯基距离等。
3. 簇/类别：将相似的数据点归为一组，这个组被称为簇或类别。
簇内的数据点相似度较高，而不同簇之间的数据点相似度较低。
4. 聚类算法：聚类分析依赖于具体的算法来实现数据点的分组。
常见的聚类算法有K均值聚类、层次聚类、密度聚类等。
二、聚类分析的方法1. K均值聚类（K-means Clustering）：K均值聚类是一种迭代的聚类方法，它将数据点分成K个簇，每个簇代表一个样本集。
算法的基本思想是通过最小化簇内数据点与簇中心之间的平方误差来确定最优的簇中心位置。
2. 层次聚类（Hierarchical Clustering）：层次聚类是一种基于树状结构的聚类算法，它根据数据点之间的相似性逐步合并或分割簇。
层次聚类分为凝聚型和分裂型两种方法，其中凝聚型方法从单个数据点开始，逐步合并最相似的簇；分裂型方法从所有数据点开始，逐步分割最不相似的簇。
3. 密度聚类（Density-Based Clustering）：密度聚类基于密度可达的概念，将具有足够高密度的数据点归为一簇。
核心思想是在数据空间中通过密度连通性来确定簇的边界，相对于K均值聚类和层次聚类，密度聚类能够有效处理不规则形状和噪声数据。
知识点归纳数据挖掘中的聚类分析与分类算法数据挖掘中的聚类分析与分类算法数据挖掘是指从大量数据中自动发现有用的模式、关系或规律的过程。
在数据挖掘过程中，聚类分析和分类算法是两个常用且重要的技术。
本文将对这两个知识点进行归纳总结。
一、聚类分析聚类分析是将一组无标签的数据对象进行分组或聚类的数据挖掘技术。
其目标是通过对象之间的相似性将它们划分为若干个簇，使得同一簇内的对象相似度高，不同簇之间的相似度低。
聚类分析广泛应用于市场分割、社交网络分析、图像处理等领域。
常用的聚类算法有以下几种：1. K-means算法：K-means是一种基于距离度量的聚类算法。
它通过逐步迭代，将数据集分为K个簇，使得每个数据对象与本簇内的其他对象的相似度最高。
2. 层次聚类算法：层次聚类算法是一种通过计算不同类别之间的相似性，并逐步合并相似度高的类别的方式进行数据聚类的方法。
Hierarchical Agglomerative Clustering（HAC）是层次聚类的一种常见算法。
3. 密度聚类算法：密度聚类算法是一种通过计算对象的密度来确定簇的方法，常见的算法有DBSCAN和OPTICS算法。
这类算法可以有效地发现具有不同密度分布的聚类。
二、分类算法分类算法是将带有标签的数据集按照类别或标签进行划分的数据挖掘技术。
通过学习已有数据集的特征和类别标签，分类算法能够对新的未标记数据进行分类预测。
分类算法广泛应用于垃圾邮件过滤、文本分类、风险评估等领域。
常用的分类算法有以下几种：1. 决策树算法：决策树算法是一种基于树形结构的分类算法。
它通过对数据集进行递归分割，使得每个子节点具有最佳的纯度或信息增益，从而实现对数据的分类。
2. 朴素贝叶斯算法：朴素贝叶斯算法是一种基于条件概率的分类算法。
它假设特征之间相互独立，并通过计算条件概率来进行分类预测。
3. 支持向量机算法：支持向量机算法是一种通过寻找最优分割超平面将数据划分为不同类别的算法。
1、什么是聚类分析聚类分析也称群分析或点群分析，它是研究多要素事物分类问题的数量方法，是一种新兴的多元统计方法，是当代分类学与多元分析的结合。
其基本原理是，根据样本自身的属性，用数学方法按照某种相似性或差异性指标，定量地确定样本之间的亲疏关系，并按这种亲疏关系程度对样本进行聚类。
聚类分析是将分类对象置于一个多维空问中，按照它们空问关系的亲疏程度进行分类。
通俗的讲，聚类分析就是根据事物彼此不同的属性进行辨认，将具有相似属性的事物聚为一类，使得同一类的事物具有高度的相似性。
聚类分析方法，是定量地研究地理事物分类问题和地理分区问题的重要方法，常见的聚类分析方法有系统聚类法、动态聚类法和模糊聚类法等。
2、聚类分析方法的特征（1）、聚类分析简单、直观。
（2）、聚类分析主要应用于探索性的研究，其分析的结果可以提供多个可能的解，选择最终的解需要研究者的主观判断和后续的分析。
（3）、不管实际数据中是否真正存在不同的类别，利用聚类分析都能得到分成若干类别的解。
（4）、聚类分析的解完全依赖于研究者所选择的聚类变量，增加或删除一些变量对最终的解都可能产生实质性的影响。
（5）、研究者在使用聚类分析时应特别注意可能影响结果的各个因素。
（6）、异常值和特殊的变量对聚类有较大影响，当分类变量的测量尺度不一致时，需要事先做标准化处理。
3、聚类分析的发展历程在过去的几年中聚类分析发展方向有两个：加强现有的聚类算法和发明新的聚类算法。
现在已经有一些加强的算法用来处理大型数据库和高维度数据，例如小波变换使用多分辨率算法，网格从粗糙到密集从而提高聚类簇的质量。
然而，对于数据量大、维度高并且包含许多噪声的集合，要找到一个“全能”的聚类算法是非常困难的。
某些算法只能解决其中的两个问题，同时能很好解决三个问题的算法还没有，现在最大的困难是高维度(同时包含大量噪声)数据的处理。
算法的可伸缩性是一个重要的指标，通过采用各种技术，一些算法具有很好的伸缩性。
聚类分析方法
俗话说，物以类聚，聚类分析（cluster analysis）就是通过观测数据将对象进行分类的统计方法。
聚类分析的主要思想就是相近（或相似）的样品（或指标）归为一类，该方法最早是由考古学家在对考古分类中研究中发展起来的，如今已经被广泛的应用在天气、地质、生物、金融、保险、图像处理等许多领域。
在食品安全领域，可以通过食品污染物数据对地域进行分类或拓展到更多方面。
聚类方法有很多，不过大致可分为两类：系统聚类（hierachical clustering）方法和动态聚类(dynamic clustering)方法,系统聚类方法中最常用的是层次聚类，动态聚类中最常用的是K-均值聚类。
1层次聚类法
层次聚类方法对给定的数据集进行层次的分解，直到某种条件满足为止。
具体又可分为凝聚的，分解的两种方案。
层次聚类法中凝聚法就是先将n个样本各自看成一类，然后规定样品之间的距离和类与类之间的距离，将距离最小的一对并成一个新类，然后，计算新类和其他类的距离，再将距离最近的两类合并，这样每次减少一类，直到所有的样品都成一类为止。
凝聚法是类由多到少的方法，而分解法是类由少到多的算法，是先将所有的样品看成一类，然后将所有的样品分成两类，使得两类之间的样品尽量的远，接着再将各小类继续分类，直到所有的样品各成一类为止。
不管是凝聚法还是分解法，最终都是将根据各类之间的亲疏关系，逐步画成一张完整的分类系统图，即谱系图或树状聚类图。
类间距离等于两类对象之间的最小距离，根据经验，由离差平方和法所得的谱系聚类图的凝聚聚类方法最为清晰。
整个过程就是建立一个树结构，类似于下图。
市场研究——聚类分析法
聚类分析法在市场研究中有着广泛的应用。
通过对市场中消费者、产品、品牌等进行聚类分析，可以帮助市场研究人员更好地理解市场细分和
目标受众，并制定针对不同群体的市场营销策略。
下面将详细介绍聚类分
析法的原理、应用和步骤。
聚类分析的原理是将数据样本划分为不同的类别或群组，使得同类之
间的差异最小，而不同类之间的差异最大。
输入聚类分析的数据通常是多
维的，每个维度代表一个变量。
聚类分析的目标是找到一个最优的聚类方案，使得相同类别内的样本相似度最高，而不同类别的样本相似度最低。
聚类分析法的应用非常广泛。
在市场研究中，它可以用于客户细分、
产品定位、市场定位等方面。
通过对消费者进行聚类，可以发现隐藏在市
场中的不同消费者群体，并确定他们的特征、需求和偏好。
对产品和品牌
进行聚类分析，则可以帮助确定产品和品牌的差异化定位和市场竞争策略。
需要注意的是，聚类分析法只是一种分析工具，通过聚类分析得到的
结果并不一定代表真实的市场现象，仅供市场研究人员参考和决策。
在市场研究中，聚类分析法的应用是非常重要的。
它能够帮助市场研
究人员更好地理解市场细分和目标受众，并制定针对不同群体的市场营销
策略。
随着数据量的不断增加和分析技术的不断发展，聚类分析法在市场
研究中的应用前景将更加广阔。
1聚类分析内涵1.1聚类分析定义聚类分析（Cluster Analysis）是一组将研究对象分为相对同质的群组(clusters)的统计分析技术. 也叫分类分析(classification analysis)或数值分类(numerical taxonomy)，它是研究（样品或指标）分类问题的一种多元统计方法，所谓类，通俗地说，就是指相似元素的集合。
聚类分析有关变量类型:定类变量,定量(离散和连续)变量聚类分析的原则是同一类中的个体有较大的相似性，不同类中的个体差异很大。
1.2聚类分析分类聚类分析的功能是建立一种分类方法，它将一批样品或变量，按照它们在性质上的亲疏、相似程度进行分类．聚类分析的内容十分丰富，按其聚类的方法可分为以下几种：(1)系统聚类法：开始每个对象自成一类，然后每次将最相似的两类合并，合并后重新计算新类与其他类的距离或相近性测度．这一过程一直继续直到所有对象归为一类为止．并类的过程可用一张谱系聚类图描述．(2)调优法(动态聚类法)：首先对n个对象初步分类，然后根据分类的损失函数尽可能小的原则对其进行调整，直到分类合理为止．(3)最优分割法(有序样品聚类法)：开始将所有样品看成一类，然后根据某种最优准则将它们分割为二类、三类，一直分割到所需的K类为止．这种方法适用于有序样品的分类问题，也称为有序样品的聚类法．(4)模糊聚类法：利用模糊集理论来处理分类问题，它对经济领域中具有模糊特征的两态数据或多态数据具有明显的分类效果．(5)图论聚类法：利用图论中最小支撑树的概念来处理分类问题，创造了独具风格的方法．(6)聚类预报法：利用聚类方法处理预报问题，在多元统计分析中，可用来作预报的方法很多，如回归分析和判别分析．但对一些异常数据，如气象中的灾害性天气的预报，使用回归分析或判别分析处理的效果都不好，而聚类预报弥补了这一不足，这是一个值得重视的方法。
聚类分析根据分类对象的不同又分为R型和Q型两大类，R型是对变量(指标)进行分类，Q 型是对样品进行分类。
聚类分析的方法及应用通常，我们在研究与处理事物时，经常需要将事物进行分类，例如地质勘探中根据物探、化探的指标将样本进行分类；古生物研究中根据挖掘出的骨骼形状和尺寸将它们分类；大坝监控中由于所得的观测数据量十分庞大，有时亦需将它们分类归并，获得其典型代表再进行深入分析等，对事物进行分类，进而归纳并发现其规律已成为人们认识世界、改造世界的一种重要方法。
由于对象的复杂性，仅凭经验和专业知识有时不能确切地分类，随着多元统计技术的发展和计算机技术的普及，利用数学方法进行更科学的分类不仅非常必要而且完全可能。
近些年来，数值分类学逐渐形成了一个新的分支，称为聚类分析，聚类分析适用于很多不同类型的数据集合，很多研究领域，如工程、生物、医药、语言、人类学、心理学和市场学等，都对聚类技术的发展和应用起到了推动作用。
1、什么是聚类分析？聚类分析也称群分析或点群分析，它是研究多要素事物分类问题的数量方法，是一种新兴的多元统计方法，是当代分类学与多元分析的结合。
其基本原理是，根据样本自身的属性，用数学方法按照某种相似性或差异性指标，定量地确定样本之间的亲疏关系，并按这种亲疏关系程度对样本进行聚类。
聚类分析是将分类对象置于一个多维空问中，按照它们空问关系的亲疏程度进行分类。
通俗的讲，聚类分析就是根据事物彼此不同的属性进行辨认，将具有相似属性的事物聚为一类，使得同一类的事物具有高度的相似性。
聚类分析方法，是定量地研究地理事物分类问题和地理分区问题的重要方法，常见的聚类分析方法有系统聚类法、动态聚类法和模糊聚类法等。
2、聚类分析方法的特征（1）、聚类分析简单、直观。
（2）、聚类分析主要应用于探索性的研究，其分析的结果可以提供多个可能的解，选择最终的解需要研究者的主观判断和后续的分析。
（3）、不管实际数据中是否真正存在不同的类别，利用聚类分析都能得到分成若干类别的解。
（4）、聚类分析的解完全依赖于研究者所选择的聚类变量，增加或删除一些变量对最终的解都可能产生实质性的影响。
2010年第27期（总第162期）
NO.27.2010
（CumulativetyNO.162）
摘要：在某公司PMS系统上收集了某部门的八个项目的各项管理活动数据。
文章利用聚类分析进行归纳和评价，最终得到项目的分类情况，对实现工作中的量化管理和科学决策有很好的帮助。
关键词：聚类分析；量化管理；多维变量；PMS系统
中图分类号：F323 文献标识码：A
文章编号：1009-2374 （2010）27-0128-02
俗话说：物以类聚，分类是人们认识世界的基础。
在日常工作、生活以及社会经济等各种现象中，存在着大量分类研究的问题。
假如您属于市场体系，需要研究上海市手机通讯市场的分布规律，这就要针对上海各个区域市场总量状况、不同手机款式、不同销售量、不同消费人群等大量数据进行整理后，最终得到关于手机市场的分类。
另外在生活中也不乏需要进行变量聚类的实例，比如高校可以运用系统聚类法中的最短距离法，按学生的思想品德、学习成绩、身心健康三项指标将学生分成四类，即优、良、中、一般，从而为学生管理工作者根据分类结果对不同类型的学生实施有针对性的管理提供科学依据。
1 方法简介
传统的分类方法起源很早，但利用统计数学和计算机对复杂对象进行定量分类的方法仅有约三十年的历史。
过去人们主要靠经验和专业知识进行定性分类处理，致使许多分类带有主观性和任意性，不能很好地提示客观事物内在的本质差别与联系，特别是对于多因素、多指标的分类问题。
为了克服定性分类的不足，引入统计数学后形成了数值分类法。
数值分类一般有两种情况：一是已知研究对象的分类情况，需将某些未知个体正确地归属于其中某一类，这称为有师分类或判别分析(Discriminant Analysis)；二是研究对象不存在事前分类的情况，而将数据进行结构性分类，是一种无师分类或称聚类分析。
聚类分析是研究“物以类聚”的一种多元统计分析方法。
其基本思想是根据对象间的相关程度进行类别的聚合，在进行聚类分析前，这些类别是隐蔽的，能分为多少种类别事先也是不知道的。
聚类分析的结果是使得同一类中的个体有较大的相似性，而不同类中的个体差异很大。
文中介绍聚类分析中最重要的系统聚类法，其过程是：聚类开始时，样本中的各个样品(或变量)自成一类；通过计算样品间的相似性，把其中最相似的两个样品进行合并，合并后，类的数目就减少一个；重新计算类与类之间的相似性，再选择其中最相似的两类进行合并，……，这种计算、合并的过程重复进行，直至所有的样品归为一类。
根据分类对象的不同可把聚类分析分为样品聚类(Q型聚类)和变量聚类(R型聚类)。
本文属于样品聚类，就是对样本单位的观测量或特征进行聚类。
不同的分析目的，需要选用不同的指标(变量)作为分类的依据。
2 聚类分析的三个步骤
2.1 数据变换处理
分析过程中，需要对各个原始数据进行一些相互比较运算，但由于计量单位的不同会对数据值造成影响，因此首先进行原始数据的变换处理。
2.2 计算聚类统计量
聚类统计量是根据变换以后的数据计算得到的一个新数据。
它用于表明各样品或变量间的关系密切程度，最常用的统计量有距离和相似系数两种。
2.3 选择聚类方法
根据聚类统计量，运用一定的聚类方法，将关系密切的样品或变量聚为一类，将关系不密切的样品或变量加以区分。
选择聚类方法是聚类分析最终、也是最重要的一步。
3 分析步骤和推导过程
3.1 原始数据收集
全部来自PMS系统，收集了某部门的八个项目在2010-1-1～2010-4-20期间数据：
项目名称
项目人数
(人)
实际工作量
(小时)
剩余工作
量
总任务数
(个)
已经完成
任务数
按时完成
任务数
延期完成
任务数
提前完成
任务数x1x2x3x4x5x6x7x8
项目A880.00 2893.38 90000
项目B16657.00 3958.08 121010
项目C2310890.00 -246.16 84503857
项目D255605.50 3141.82 935430717
项目E236951.50 -1481.23 46161033
项目F211652.00 -45.46 1812561
项目G101426.40 879.20 248143
项目H19928.00 103.75 90000 3.2 数据变换
采用最常用的标准化变换方法，即将原始数据转换为标准Z分数(Z score)。
运用聚类分析法进行管理对象分类
李瑞妹
（陕西理工学院，陕西 汉中 723001）
--
128
- -
129计算公式为：X ij '＝X ij -X
S j
，其中X 表示样本均值，
S j 表示样本标准差。
为简化起见，不再详述过程数据。
当使用Minitab 软件计算时，只要输入原始数据，通过软件设置，也能自动产生最终结果。
但实际操作中希望能关注每一步中间数据，这样最终会对分析和解决问题起到重要作用。
3.3 计算聚类统计量
采用最常用的欧氏距离(Euclidean distance)来研究样品或变量疏密程度。
其中距离含义是：把每个单位看成是p 维(本文是8维)空间的一个点，在p 维坐标系中计算的点与点之间的某种距离。
第
i 个样品与第k 个样品之间的欧氏距离为：
ik d =
3.4 选择聚类方法
采用目前应用最广泛的系统聚类法。
首先将每个样品各自看成一类，选择距离最小的两类合并成一新类，然后计算该新类与其他类之间的距离，再将距离最小的两类进行合并，如此继续，直到所有的样品都聚为一类为止。
在计算类与类之间的距离时，采用最短距离法(nearest neighbor)首先合并最近的或最相似的两类，用两类间最近点间的距离代表两类间的距离。
最终计算得到数据结果如下：
Number of
observations
Within cluster sum of squares Average distance
from centroid
Maximum
distance
from centroid
Cluster1618.1635 1.69126 2.39638Cluster210.00000.000000.00000Cluster310.00000.000000.00000
Cluster Centroids
Variable Cluster1 Cluster2 Cluster3 Grand centroid x1 -0.311382 0.77514 1.09315 -0.0000000x2 -0.406452 1.90138 0.53733 -0.0000000x3 -0.051085 -0.71966 1.02617 -0.0000000x4 -0.504358 1.38118 1.64496 0.0000000x5 -0.520229 1.46988 1.65149 0.0000000x6 -0.520080 1.82581 1.29467 0.0000000x7 -0.337953 0.64518 1.38254 -0.0000000x8 -0.465577 0.53720 2.25626 -0.0000000Distances Between Cluster Centroids Cluster1
Cluster2
Cluster3
Cluster1 0.00000 4.68452 5.19824
Cluster2 4.68452 0.00000 2.98215Cluster3 5.19824 2.98215
0.00000
3.5 绘制分类树形图
从图中可以最终得到，根据PMS 中项目数据，将8个项目分成了三类情况。
第二类只有项目组C，它和别的项目区别很大。
结合原始数据，在3.6月内项目C 共通过PMS 下达了10890小时工作量，人均每月132小时工作量，基本符合22×8＝176小时的标准月工作时要求；同时从任务数、计划完成率、提前完成率等也能反应出，按照公司规范和量化管理的要求，项目C 的计划管理水平和效果显著高于其它项目。
建议是继续保持。
第三类只有项目D，整体做的较好，建议是改进完善。
第一类是剩下的6个项目，其中项目A、B、I 每月人均下达了不足15小时工作量。
这6个项目整体从PMS 上看，近期未有效采用PMS 进行工作计划和员工任务的下达和管理。
通过访谈也发现，整个项目计划管理活动在开始制定时还比较规范，但后期由于进度等原因，项目大多使用邮件和口头方式进行正式的任务和计划管理。
建议是立即整改。
4 总结
通过使用聚类分析法，对管理工作中的多维变量问题进行了科学的计算和分析。
最终得到分类情况，对实现工作中的量化管理和科学决策有着非常好的帮助作用。
参考文献
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教育与教学研究，2009，23（9）．
[2]
李伟，王黎勇，等．运用系统聚类法综合评价农村社区卫生服务中心功能[J]．中国医院统计，2006，13（3）．[3]
宁正元，王李进．统计与决策常用算法及其实现[M]．清华大学出版社，2009．
作者简介：李瑞妹（1978-），女，陕西渭南人，陕西理工学院讲师，硕士，研究方向：管理学。
