中国古代数学几何问题拾趣

中国古代数学几何问题拾趣1 序言中国古代数学著作中有很多有研究价值的几何问题，如：“存在正方形”、“勾股测量”、“割圆术”、“出入相补原理”等等.由此可以看出，我国在几何学的发展并不落后于西方，在某些方面我国甚至领先于西方.某些问题已经引起国内外几何学家的关注，这些问题对世界数学的发展起了巨大的推动作用，开辟了几何学的许多新领域，最具代表性的要属我国古代的测量几何学.虽然今天的科学技术已经非常先进,但研究这些问题仍然十分重要.目前我国很多数学家在从事中国古代测量几何学的研究，他们整理了大量有趣的古代测量问题，并对这些问题做了系统分析，取得了许多新的理论成果，为测量几何学的发展做出了新贡献.2 背景介绍2.1 理论背景近年来，国内外数学史学家在整理我国古代数学方面的历史资料时，发现了我国古代在几何学方面的许多辉煌成果，这些辉煌成果令数学史学家很吃惊.特别是我国古代数学家对测量几何学的研究，可谓是独具特色.他们通过整理、研究、分析、总结这些成果，给世人呈现了中国古代数学在几何学方面的成就,也使世人不得不承认中国古代几何问题的研究为世界几何学发展做出了巨大的贡献.中国古代这些典型的几何问题非常适合作为现代教学材料，现代中学教材中有很多题目都是由这些著作中的题目改编而来的.这是因为这些题目对开发当代学生的智力非常实用，研究它们既能培养学生良好的思维习惯，又能提高分析问题、解决问题的能力，这种观点在国际上已经得到认可.2.2 历史背景测量问题历史悠久，我国古代数学名著《九章算术》中已经有很多相关问题的记载，这些问题都来自于社会生产实践，比如：种田、挖井、开山等.魏晋时期数学家刘徽发展了测量学，他在为《九章算术》作注时不仅总结了其中有关测量学方面的优秀成果，还专门写了论述测量问题的《重差》一卷，附在《九章算术》之末，后来《重差》一卷改为单行本，就是有名的数学著作《海岛算经》[]1()9068-P .在本书中共列有九个测量的问题，其中有二次测望，三次测望，四次测望的问题[]2()498479-P .3 所选测量问题的总体介绍我国古代有许多伟大的建筑工程，如万里长城、大运河等这些巨大的工程在施工时都要用到各种测量计算方法.我国古代数学名著《周髀算经》中记载了公元前1000年左右，西周开国时期，周公和商高讨论用矩测量的问题，另外此书中还详细记载了测量太阳高度的问题，并且给出了太阳高度公式[]3()493484-P .由此可见，测量学在我国有着悠久的发展历史，研究的内容也非常丰富,很多问题的提出方式和解决方法到现在仍然有不可估量的研究价值,这些问题的解决过程不仅为实际应用提供了算法和公式，而且具有独特的发现问题视角和严谨的逻辑论证思想,从一定程度说是这些为我国古代测量学奠定了基础.最具代表性的是我国古代数学名著《九章算术》（成书大约在公元50年到100年之间）和《海岛算经》[]1()9068-P .前者记载了各种各样的测量问题，其勾股章中的测量问题更具有独特的创新性和极富想象力的解决方法.比如:测树高问题、测井深问题、测山与人之间的距离问题等.后者记载了九个巧用勾股比例进行地面测量的几何问题，并且通过相似三角形结合勾股比例创造了“重差术”，解决了所提出的问题.4 《九章算术》中的测量问题《九章算术》中有很多测量问题，古代数学家在解决这类问题时已经在不少地方用到了相似形的知识. “勾股章”应用最多，从第十七题到二十四题都是测量问题，其中包括测树高问题、测井深问题、测山与人之间的距离问题.这些问题的解法都要利用相似直角三角形对应边成比例的原理，古代数学家称这种方法为“旁要术” .4.1《九章算术》勾股章中的测量问题举例4.1.1 测井深《九章算术》勾股章中的第二十四题原文[]4()342340-P ：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？答曰 五丈七尺五寸.原文解法 置井径五尺，以入径四寸减之，余，以乘立木五尺为实.以入径四寸为法.实如法得一寸.今译 如图1所示，已知有一口井，井口直径为5尺，立一根5尺的木杆AB 于井边上，从木杆顶A 正好可望见井内水面边缘，视线AF 与井口BE 交于D ，寸4=DB .问井口至水面的深度是多少？这个问题现在一看图便很容易解决.解 寸尺505==AB ,寸尺505==EB ,寸4=DB ,)(46450寸=-=-=DB EB ED57545046=⨯=⋅=DB AB ED EF (寸)2157=(尺) 但在2000年以前能够发现这个道理，却不是那么容易的事.4.1.2 测人与树之间的距离《九章算术》勾股章中的第二十二题原文[]4()342340-P ：有木去人不知远近.立四表，相去各一丈，令左两表与所望参相直.从后右表望之，入前右表三寸，问木去人几何？答曰 三十三丈三尺三寸少半寸.原文解法 令一丈自乘为实，以三寸为法，实如法而一.今译 已知有目标P 如图2，人在B 处，要测量BP 距离，则立标杆A 、B 、C 、D 成正方形，边长一丈，CP 交AD 于E ，3=DE 寸.问BP 的距离是多少？解 如图2，设BP 为x ，PBC Rt ∆～CDE Rt ∆，x :100100:3= 解得寸尺丈寸313333313333==x答 人与木标相距丈33尺3寸313.4.1.3 测山高《九章算术》勾股章中的第二十三题原文[]4()342340-P ： 有山居木西，不知其高.山去木五十三里，木高九丈五尺.人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺，问山高几何？答曰 一百六十四丈九尺六寸太半寸.术曰 置木高减人目高七尺，余，以乘五十三里为实，以人去木三里为法.实如法而一，所得，加木高即山高.今译 如图3,已知一座山在木标EC 西，山与木标的距离EF 53里，木标高9丈5尺.人NM 站在木标东3里，望木梢C 与山尖P 三点成一线，人眼以下高7=NM 尺.问山的高度是多少？解 设x PB =，7=NM 尺，53=EF 里，3=EN 里，尺丈59=CE ，尺步里18003001==， 因为MCA Rt ∆～MPB Rt ∆，所以BM x AM AC ::=.即)180********(:)18003(:)795(⨯+⨯=⨯-x 解得（尺）321642=x 寸尺丈（尺）尺尺32691643216497321642==+=PF .4.2 所选问题的分析总结测山高、测井深、测人与树之间的距离,可见这些问题都是从生活中提炼出来的,这些都是当时人们进行生产生活所面临的必须解决的问题.其解决方法虽然与今天有些不同，但所用知识却是一样的.从这些例题及其解决方法可以看到当时人们已经掌握了这类问题的解决方法，对此类问题的认识已经相当深刻.这就为我国测量几何学的发展奠定了基础[]5()84-P .4.3 测量问题在现代数学中的拓展4.3.1 例题如图4所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB 、PQ ，并且PQ AB //，建筑物的一端DE 所在的直线AB MN ⊥于点M ，交PQ 于点N .小亮从胜利街的A 处沿着AB 方向前进，小明一直站在点P 的位置等候小亮.（1）请你在图4中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在的位置（用点C 表示）；（2）已知：,24,8,20m PN m MD m MN ===求（1）中的点C 到胜利街口的距离CM . 解 （1）如图5所示，CP 为视线，点C 为所求位置.（2）因为PQ AB //，AB MN ⊥于M ，又因为ο90=∠=∠PND CDM PDN CDM ∠=∠所以CDM ∆～PDN ∆,即ND MD PN CM = 因为m MD m MN 8,20==,所以m ND 12=，即12824=CM 所以m CM 16=，点C 到胜利街口的距离CM 为m 16.4.3.2 例题分析这个题目是由已知点确定未知点，然后再求指定距离.题目要求先画出小亮恰好能看见小明时的视线所在点，然后再求此点到胜利街口的距离，通过相似直角三角形的知识非常方便的就能解决.这个问题和上面所提《九章算术》中的测井深问题有很多相似的地方，通过比较古今解决同类问题的方法，可以看出古代虽然没有提及相似三角形的概念，但是已经用到了相似三角形的性质.5 刘徽对测量问题的进一步研究我国魏晋时代测量学得到了进一步发展,这个时代著名的数学家刘徽在研究测量问题时,发现如果不知道目的物的远近，要测量它的高，就必须两次“偃矩”测望；要测量它的深，就必须两次“覆矩”测望；要测量两个目的物之间的距离，也必须两次“卧矩”测望.他把这种测量方法叫作“重差术”，即二重差分析，也都是利用相似直角三角形的性质.在他的数学名著《海岛算经》中以文字形式给出了两个公式,“以表高乘表间为实.相多为法，除之,所得加表高，即为岛高;求前表去岛远近者，以前表却行乘表间为实.相多为法，除之，得岛去表里数.” []6()180162-P 这里“表”指木杆，“却行”指人后退的距离.刘徽从理论上由一次测望的简单问题发展到利用四对相似的勾股形连续进行多次测望的复杂问题.这样即使对于复杂的地形，也能设计其测量方案.他除了利用相似直角三角形性质外，还用到了相似斜三角形对应边成比例的性质.5.1《海岛算经》中的二重差问题《海岛算经》第一题的原文[]4()345343-P ：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步.令后表与前表参相直.从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合.从后表却行一百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合,问岛高及去表各几何？答曰 岛高四里五十五步,去表一百二里一百五十步.求曰 以表高乘表间为实.相多为法，除之,所得加表高，即为岛高;求前表去岛远近者，以前表却行乘表间为实.相多为法，除之，得岛去表里数.今译 如图6所示， 望见有一个海岛，不知道它的高度和他的远近.立下两个标竿，图中,,EK AG 竿的高度都是丈）尺3(h ，两杆之间的距离是步)1000(d ，并且使两个标竿和海岛的位置在一条线上.从前面标竿后退步)123(a ，人目落地观测得竿的顶端和海岛的顶端在一条线上.再从后面的标竿退后步)127(b ，以目落地，也可以观测到竿顶和山顶在一条线上.问：海岛的高以及岛和前一标竿之间的距离各是多少？5.2 原文中的解决方法分析[]4()345343-P原文解法如下：“以表高)(h 乘表间)(d 为实（分子），相多b a -为法（分母），除之，所得加表高，即得岛高。

古代数学趣题数学是一门古老而又神奇的学科，它是人类智慧的结晶，也是人类文明的重要组成部分。

在古代，数学的发展经历了漫长的历程，涌现出了许多伟大的数学家和数学成果。

今天，我们来探索一下古代数学中的一些趣题，感受一下数学的美妙。

1. 求圆周率圆周率是一个神秘的数，它是圆的周长与直径之比，通常用希腊字母π表示。

在古代，人们一直试图求出圆周率的精确值，但是由于它的无限不循环小数，一直没有找到确切的答案。

然而，古代数学家们并没有放弃，他们通过不断地逼近，计算出了很多近似值。

其中，最著名的是中国古代数学家祖冲之的算法。

他采用圆周率的递归公式，将圆周率的计算转化为对圆的面积的计算。

具体方法是：将一个正方形分成若干个小正方形，然后在正方形内画一个外接圆，再在圆内画一个正多边形，通过不断增加正多边形的边数，逼近圆的面积，最终得到圆周率的近似值。

祖冲之的算法虽然只是一个近似值，但是它的精度非常高，已经达到了小数点后第七位。

2. 约瑟夫问题约瑟夫问题是一个有趣而又富有挑战性的问题，它的背景是古代犹太人和罗马人的战争。

据说，当时有一群犹太人被罗马人包围在一个洞穴里，他们想出了一个聪明的方法来躲避罗马人的追捕。

具体方法是：他们站成一个圆圈，从某个人开始，每隔一个人就将他杀掉，直到只剩下一个人为止。

那么，问题来了：如果有n个人，第m个人被杀掉，那么最后剩下的人是谁？这个问题虽然看似简单，却有很多不同的解法。

其中，最著名的是约瑟夫斯问题的递推公式。

该公式可以通过递归的方式求出约瑟夫斯问题的解，具体方法是：设f(n,m)表示n个人中，最后剩下的人的编号，那么f(n,m)的值可以通过f(n-1,m)的值递推得出。

3. 平方根的逼近平方根是一个非常重要的数学概念，它在几何学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。

在古代，人们一直试图找到一种简单而又有效的方法来逼近平方根的值，以便在实际应用中使用。

其中，最著名的是希腊数学家欧几里得的算法。

巧解民间数学趣题注释我国古代名题我国古代的数学发展源远流长，古代的数学家们在没有现代科学技术的条件下，通过丰富的数学想象力和智慧，创造了许多深奥的数学问题和趣题。

这些数学趣题不仅在当时引起了广泛的兴趣，也成为了后人学习数学的重要教材和实践工具。

通过巧解这些民间数学趣题，我们可以更加深入地了解我国古代数学的独特魅力，以及古代数学家们的智慧和成就。

1. 历史悠久的民间数学趣题我国古代的民间数学趣题源远流长，从《周髀算经》中的古代数学题，到后来的《孙子算经》、《张丘建算经》等著名数学著作，古代数学趣题一直以其丰富多样、富有创意的特点吸引着学者和爱好者的兴趣。

这些数学趣题往往以平实的语言和直观的例子，引导人们去思考数学问题，培养了人们的逻辑思维和数学素养。

2. 我国古代名题的特点与魅力我国古代名题以其深刻的数学内涵和独特的解题思路而著称，例如《海岛数目问题》、《走马问题》等。

这些名题在解题过程中需要深入分析，运用数学方法和技巧，展现了古代数学家们的智慧和创造力。

通过巧解这些名题，我们可以感受到其中蕴含的数学之美，体验古人对数学的热爱和探索精神。

3. 从民间数学趣题到古代名题的延伸与升华民间数学趣题往往源自于人们日常生活和实际需求，通过民间的智慧和创造，衍生出了许多有趣的数学问题。

这些民间数学趣题后来被古代数学家们加以提炼和升华，成为了著名的古代数学名题。

这种民间数学趣题到名题的延伸与升华，不仅丰富了古代数学的理论体系，也深化了人们对数学的理解和研究。

4. 个人观点与理解在我看来，巧解民间数学趣题注释我国古代名题不仅是一种学习和研究数学的方式，更是一种感受和体验我国古代数学文化的良好途径。

通过巧解这些趣题和名题，我们能够更好地理解古代数学家们的智慧和贡献，感受数学之美，激发学习数学的兴趣和热情。

总结与回顾通过巧解民间数学趣题注释我国古代名题，我们不仅可以体验数学的乐趣，也可以感受古代数学的独特魅力。

这种方式不仅可以提高我们的数学水平，也可以让我们更加全面、深刻和灵活地理解古代数学文化的内涵与精髓。

孙子算经中的趣味算题
《孙子算经》是中国古代数学经典之一，其中不乏趣味算题，让人爱不释手。

下面介绍几个经典的趣味算题。

1. 一块石头重100斤，切成两半，一半重多少斤？
答案：50斤。

这道题看似简单，实则有技巧。

一半的重量是50斤，但是题目没有说明是轻半还是重半，因此答案应该是50斤。

2. 一只鸡和一只鸭子的总重是10斤，鸡的重量比鸭子轻3斤，鸡和鸭子各多少斤？
答案：鸡6斤，鸭子4斤。

这道题需要列方程来解决。

设鸡的重量为x，鸭子的重量为y，那么有x+y=10和x=y+3两个方程，解得
x=6，y=4。

3. 中国古代有一种称为“九九消法”的算术游戏，规则是将1到9的数字排列成3行3列的九宫格，然后任选两个数进行消去，把剩下的数字按原来的位置重新排列，最后得到一个3位数，问这个3位数最大是多少？
答案：964。

这道题需要注意到一个性质，就是任何两个数相加的和都是小于17的，因此越大的数字应当在高位。

通过尝试，可以得到这样一组解：98和7消去，得到的剩余数字是1、2、3、4、5、6，按照6、5、4、3、2、1的顺序排列，得到的最大3位数是964。

以上是《孙子算经》中的几个趣味算题，它们不仅能锻炼算数技能，还能增加数学趣味性，让人对数学产生更大的兴趣。

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中国古算解趣中国古算解趣百鸡问题今有鸡翁一，值钱五，鸡母一、值钱三，鸡雏三，值钱一。

几百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母雏各几何?答曰:鸡翁值钱二十、鸡母十八值钱五十四，鸡雏七十八，值钱二十六，又答:鸡翁八、值钱四十，鸡母十一，值钱三十三，鸡雏八十一、值钱二十七；又答：鸡翁十二，值统六十，鸡母四，值钱十二，鸡雏八十四，值钱二十八本曰:鸡翁年增四，鸡母每减七，几鸡雏母，益三即得。

本题是说，一只大公鸡值5个钱，一只母鸡值3个钱，每3只小鸡值1个钱。

现有100个钱买100只鸡，问大公鸡、母鸡。

小鸡各应买儿只?题给的“术曰”，令人费解。

很难从中想出解题的路子。

同学们可以按里常规思路，设未知数，到出方程，向前摸索将探得的结果尽量用“术曰”的方法来解释解：设大公鸡X只，母鸡y只，小鸡Z只，依题意有5z+3y+X/3=100 (35-1)X+y+z-100 (35-2)消去Z :得:7X÷4y=1007X=4(25-y) (35-3)(35-3)式表明，公鸡数X应是4的倍数，令X＝4X。

X为整数。

则y=25-7X－X=75÷3X (35-4)当X-1、2、3时，其解为X:4 8 12 y:18 11 4 z:78 81 84事实上，列出方程(35-1)(35-2)(35-3)是很容易的。

想一、一的学生都做得出来，关键在于分析。

“浅会辄止"是做不出什么难题的。

(35-4)式的引出揭示了“术日”关键，"X增1.则X(翁)增4.y(母)减7，z(雏)益3.从X必须是4的倍数出发，其解答就不难得到了。

程大位曾经说过“难者，难也，然似难图实非难也。

…，其难是唯在乎立法。

立法既明，则迎刃而破，又何难之有哉、若认定为非负解，则(0，25，75）亦可视为一组比利时鲁文大学教授李信始在他的《十三世纪的中国数学中道:“张丘建求得了正确的解，但是，惊人的事实说明了他深知这些解之间的关系。

可惜的是，我们不知道他推求的第一组解的方直到时日整(1861年)的时代，没有注释者了解张氏的法则。

篇一：中国古代的趣味数学中国古代的趣味数学——简析几个典型的古代数学问题夏超（马克思主义教育学院思想政治教育专业学号：1012279）关键词：鸡兔同笼百鸡问题孙子定理数学在中国拥有悠久的历史，在古人的智慧中，我们可以发现数学之美，探寻数学之趣，数学的好玩之处，并不限于数学游戏。

数学中有些极具实用意义的内容，包含了深刻的奥妙，发人深思，使人惊讶。

中国古代的数学广泛应用于各个领域，对中国古代的农业、天文学等的发展作出了重大贡献。

其中的一些脍炙人口的趣味小问题也让我们在探究中发现数学之美。

1. 鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题是我国古代一道经典的数学趣题。

它记载于大约1500年前的《孙子算经》中，书中是这样描述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这句话的意思是：若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有三十五个头：从下面数，有九十四只脚。

求笼中各有几只鸡和兔？用解法一（假设法）：已知鸡兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，即，将兔子看做两只脚的鸡，鸡兔总的脚数是35×2=70（只），比题中说的94只要少24只。

可知这24只脚是兔子，因此有兔子24÷2=12（只）。

所以有鸡35-12=23（只）。

解：假设全是鸡： 35×2=70（只）比总脚数少：94-70=24（只）它们脚数的差：4-2=2（只）因此有兔子：24÷2=12（只）鸡：35-12=23（只）解法二（方程法）：解：设兔有x只，则鸡有35-x只。

4x+2（35-x）=94 2x=24x=1235-12=23（只）故：有鸡23只，兔12只。

除此之外还有解法3：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只数总只数－鸡的只数=兔的只数解法4（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数） =兔的只数总只数－兔的只数=鸡的只数解法5：总脚数÷2—总头数=兔的只数总只数—兔的只数=鸡的只数解法4：鸡的只数=（4×鸡兔总只数-鸡兔总脚数）÷2 兔的只数=鸡兔总只数-鸡的只数6解法7兔总只数=（鸡兔总脚数-2×鸡兔总只数）÷2 鸡的只数=鸡兔总只数-兔总只数一个简单的鸡兔同笼问题却能有如此多的解法，是不是很奇妙呢? 通过对一个简单的数学问题的剖析，你是否从中发现了探索的乐趣呢？在探索的过程中你是否体味到数学解题思想的变幻之美呢？2.百鸡问题百鸡问题记载于中国古代约5-6世纪成书的《张丘建算经》中，该问题导致的三元不定方程组开创了“一问多答的先例”这是过去中国古算书书中所没有的，体现了中国数学的发展。

中国古代数‎学1. 及时梨果元代数学家‎朱世杰于1‎303年编‎著的《四元玉鉴》中有这样一‎道题目：九百九十九‎文钱，及时梨果买‎一千，一十一文梨‎九个，七枚果子四‎文钱。

问：梨果多少价‎几何？此题的题意‎是：用999文‎钱买得梨和‎果共100‎0个，梨11文买‎9个，果4文买7‎个。

问买梨、果各几个，各付多少钱‎？ 解：梨每个价：11÷9＝911（文） 果每个价：4÷7＝74（文） 果的个数：（911×1000－999）÷（911－74）＝343（个） 梨的个数：1000－343＝657（个）梨的总价：911×657＝803（文） 果的总价：74×343＝196（文）2．两鼠穿墙我国古代数‎学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两‎鼠穿墙问题‎:今有垣厚五‎尺，两鼠对穿，大鼠日一尺‎，小鼠也日一‎尺。

大鼠日自倍‎，小鼠日自半‎。

问何日相逢‎，各穿几何?今意是:有厚墙5尺‎，两只老鼠从‎墙的两边相‎对分别打洞‎穿墙。

大老鼠第一‎天进一尺，以后每天加‎倍；小老鼠第一‎天也进一尺‎，以后每天减‎半。

问几天后两‎鼠相遇，各穿几尺?解：第一天，1+1=2尺 还有3尺第二天，2+0.5=2.5尺 还有0.5尺第三天，解：设还需X 天‎。

(4+0.25)X=0.5 X=172 172天=2小时49‎分 在第三日凌‎晨2时49‎分相逢，相逢时大老‎鼠穿 3.47尺，小老鼠穿 1.53尺。

3．隔壁分银只闻隔壁客‎分银，不知人数不‎知银，四两一份多‎四两，半斤一份少‎半斤。

试问各位能‎算者，多少客人多‎少银？（注：旧制1斤＝16两，半斤＝8两）此题是民间‎算题，用方程解比‎较方便。

解：设客人为x‎人。

4x＋4＝8x－8x＝34×3＋4＝16（两）答：客人3人，银16两。

4．李白打酒李白街上走‎，提壶去打酒‎；遇店加一倍‎，见花喝一斗‎；三遇店和花‎，喝光壶中酒‎。

中国古代数学1.及时梨果元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱。

问：梨果多少价几何？此题的题意是：用999文钱买得梨和果共1000个，梨11文买9个，果4文买7个。

问买梨、果各几个，各付多少钱？解：梨每个价：11÷9＝911（文）果每个价：4÷7＝74（文）果的个数：（911×1000－999）÷（911－74）＝343（个）梨的个数：1000－343＝657（个）梨的总价：911×657＝803（文）果的总价：74×343＝196（文）2．两鼠穿墙我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺。

大鼠日自倍，小鼠日自半。

问何日相逢，各穿几何?今意是:有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙。

大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半。

问几天后两鼠相遇，各穿几尺?解：第一天，1+1=2尺还有3尺第二天，2+0.5=2.5尺还有0.5尺第三天，解：设还需X 天。

(4+0.25)X=0.5 X=172172天=2小时49分在第三日凌晨2时49分相逢，相逢时大老鼠穿 3.47尺，小老鼠穿1.53尺。

3．隔壁分银只闻隔壁客分银，不知人数不知银，四两一份多四两，半斤一份少半斤。

试问各位能算者，多少客人多少银？（注：旧制1斤＝16两，半斤＝8两）此题是民间算题，用方程解比较方便。

解：设客人为x 人。

4x ＋4＝8x －8x＝34×3＋4＝16（两）答：客人3人，银16两。

4．李白打酒李白街上走，提壶去打酒；遇店加一倍，见花喝一斗；三遇店和花，喝光壶中酒。

试问酒壶中，原有多少酒？这是一道民间算题。

题意是：李白在街上走，提着酒壶边喝边打酒，每次遇到酒店将壶中酒加一倍，每次遇到花就喝去一斗（斗是古代容量单位，1斗＝10升），这样遇店见花各3次，把酒喝完。

选择题古有智者，以绳量井深，三折而余四，四折而缺一，井深与绳长几何？A. 井深十二，绳长三十六B. 井深十一，绳长三十三（正确答案）C. 井深十，绳长四十D. 井深九，绳长二十七有米一堆，甲取一半少半升，乙取余下一半多半升，丙再取余下一半，米尽。

问米原有多少？A. 七升六合B. 五升四合C. 八升八合（正确答案）D. 六升二合三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆整半月，除百零五便得知。

此诗暗含何数？A. 一百六十八B. 二百三十三C. 三百七十八（正确答案）D. 四百五十二今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？A. 二十三B. 一百二十三C. 二十二（正确答案）D. 一百二十二甲乙丙丁四人共捕鹿，甲捕三分之一又一只，乙捕剩下三分之一又二只，丙捕再剩三分之一又三只，丁捕尽。

问鹿共几只？A. 二十四B. 三十七（正确答案）C. 四十九D. 六十一古有算题，鸡兔同笼，脚共四十，头共十五，鸡兔各几何？A. 鸡九兔六（正确答案）B. 鸡八兔七C. 鸡七兔八D. 鸡六兔九有竹一竿，离地面三尺折，再折其上二尺，又折余下一尺，问竹原高几何？A. 六尺B. 七尺（正确答案）C. 八尺D. 九尺今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐。

问水深、葭长各几何？A. 水深一丈二，葭长二丈二B. 水深八尺，葭长九尺（正确答案）C. 水深七尺，葭长八尺D. 水深六尺，葭长七尺甲乙两人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十。

问甲乙持钱各几何？A. 甲三十，乙七十B. 甲三十五，乙六十五C. 甲三十六，乙六十四（正确答案）D. 甲三十七，乙六十三。

古代趣题（一）远望巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，请问各层几盏灯？【解说】这是明代数学家程大位编写的一道著名诗题。

题目的意思可以是：有一座高大雄伟的宝塔，共有七层。

每层都挂着红红的大灯笼。

各层的盏数虽然不知道是多少，但知道从上到下的第二层开始，每层盏数都是上一层盏数的2倍，并知道总共有灯381盏。

问：这个宝塔每层各有多少盏灯？显然，这宝塔的灯是上少下多的。

现在设从上到下的第一层（最上层）的盏数为1，则第二层至第七层（在地面的一层）的盏数就分别是1×2=2，2×2=4，4×2=8，8×2=16，16×2=32，32×2=64。

总的份数就是（1 +2+ 4+ 8+ 16+ 32+ 64）=127份，故每一份的盏数（即最上层的盏数）是381÷（1+2+4+8+16+32+64）=381÷127=3（盏）从上到下的第二层盏数是3×2=6（盏）；第三层盏数是6×2=12（盏）；第四层盏数是12×2=24（盏）；第五层盏数是24×2=48（盏）；第六层盏数是48×2=96（盏）；第七层（地面上的一层）盏数是96×2=192（盏）。

（答略）（二）三百七十八里关，初行健步不为难；此后脚痛递减半，六朝才能到边关。

请君仔细算一算，每日里数各若干？【解说】这是一道在我国民间广泛流传的著名数诗算题，在题目中，“六朝”即“6日”的意思。

诗题的意思可以作如下的叙述：从某地到某一边关的路程为378里，某人第一天行了若干里。

他自第二日开始，每天行的路程都是前一天路程数的一半。

这样经过了6日，他才到达目的地。

他每天行的路程各是多少里？解答时，我们可以假定第六天行的里数为“1份”，那么，其他天数所行里数便是第五天――1×2=2（份）第四天――2×2=4（份）第三天――4×2=8（份）第二天――8×2=16（份）第一天――16×2=32（份）这六天行程的总份数就是1+2+4+8+16+32=63（份）因为六天行的总路程数为378里，而这路程已经分成了63份，所以每一份的里数便是378÷63=6（里）于是，每天行的里数就是第一天：6×32=192（里）；第二天：6×16=96（里）；第三天：6×8=48（里）；第四天：6×4=24（里）；第五天：6×2=12（里）；（三）一百馒头一百僧，大僧三个更无增；小僧三人分一个，大小和尚各几丁？【解说】明代大数学家程大位著的《算法统宗》中记载的。

有趣的中国古代数学故事
以下是一些有趣的中国古代数学故事：
1. 赵爽的猜想：古代数学家赵爽提出了一个有趣的猜想，即两数之积等于两数之和与差的平方差。

这个猜想后来被数学家刘徽证明为正确，成为中国古代数学的重要成果之一。

2. 剪纸问题：古代数学家刘徽提出了一个有关剪纸的问题，即如何用一张正方形的纸剪出一个等边三角形。

这个问题一度困扰了数学家们，直到刘徽发现了一个巧妙的解法，利用了数学中的逼近法和比例关系。

3. 鸡兔同笼问题：这是一个有关代数方程问题的故事。

古代数学家张丘建提出了一个关于鸡兔总数和腿的关系的问题，即知道总腿数和总头数，如何确定鸡和兔的数量。

这个问题成为中国古代数学中的经典问题，也引发了许多数学家的研究和探讨。

4. 割圆问题：古代数学家刘徽提出了一个有关割圆问题的难题，即如何用规定的刀子割出已知长宽比的矩形。

他通过对割圆的问题进行几何变换和代数求解，得到了解决的方法，并且提出了一个著名的定理，即“正方形的对角线相等于边长的根号二倍”。

5. 数学家的雨伞：唐代数学家李冶因为研究数学问题而着迷，甚至连睡觉时都要把雨伞打开放在头顶，以便在有灵感时随时记录下来。

他的这种奇特举动成为了当时的一种笑谈，但也反映了他对数学事业的执着和热情。

这些古代数学故事展示了中国古代数学家们的智慧和创造力，同时也揭示了他们对数学的热爱和追求。

这些故事不仅带给我们乐趣，也让我们对古代数学的发展和成就有了更深刻的了解。

中国古代数学趣题及答案的主要内容展开写
中国古代数学趣题主要涉及算学、立体几何、比例几何和代数。

这里有一些著名的趣题，其中包括：
1. 同济大学：用什么样的几何结构来构建一座坚固的城堡？
2. 孙子算经：求两个河流的交点。

3. 元素狩猎：找到一个相对容易的方法来计算圆的面积。

4. 烧饼方程：如何使用基本几何运算来解决一个复杂的方程？
5. 求列方程：用几何和代数计算方程的特定解。

以上趣题的答案分别可以是：
1. 七角形城堡是最坚固的形式，由六边形和五边形构成，能够抵御多种攻击。

2. 通过计算每个河流的斜率，然后将两个斜率相等的方程的系数相减来求得交点的坐标。

3. 使用圆周率乘以半径的平方来计算圆的面积。

4. 通过联立矩阵的方式来解方程。

5. 通过画几何图形的方式求出不同变量之间的关系，最后转换成求解系数的代数方程。

10道数学古代名题难度高〔一〕竹原高一丈，末节着地，去本三尺，竹海高几何答案：竹海高7尺一〕今有田广十五步，从十六步。

问为田几何？答曰：一亩。

〔二〕又有田广十二步，从十四步。

问为田几何？答曰：一百六十八步。

方田术曰：广从步数相乘得积步。

以亩法二百四十步除之，即亩数。

百亩为一顷。

〔三〕今有田广一里，从一里。

问为田几何？答曰：三顷七十五亩。

〔四〕又有田广二里，从三里。

问为田几何？答曰：二十二顷五十亩。

里田术曰：广从里数相乘得积里。

以三百七十五乘之，即亩数。

九章算术——勾股〔五〕今有木长二丈，围之三尺。

葛生其下，缠木七周，上与木齐。

问葛长几何？荅曰：二丈九尺。

术曰：以七周乘三尺为股，木长为句，为之求弦。

弦者，葛之长。

〔六〕今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。

引葭赴岸，适与岸齐。

问水深、葭长各几何？荅曰：水深一丈二尺；葭长一丈三尺。

术曰：半池方自乘，以出水一尺自乘，减之，余，倍出水除之，即得水深。

加出水数，得葭长。

〔七〕今有立木，系索其末，委地三尺。

引索却行，去本八尺而索尽。

问索长几何？荅曰：一丈二尺、六分尺之一。

术曰：以去本自乘，令如委数而一，所得，加委地数而半之，即索长〔八〕今有垣高一丈。

倚木于垣，上与垣齐。

引木却行一尺，其木至地。

问木几何？荅曰：五丈五寸。

术曰：以垣高十尺自乘，如却行尺数而一，所得，以加却行尺数而半之，即木长数。

〔九〕今有圆材，埋在壁中，不知大小。

以鐻鐻之，深一寸，鐻道长一尺。

问径几何？荅曰：材径二尺六寸。

术曰：半鐻道自乘，如深寸而一，以深寸增之，即材径。

〔十〕今有开门去阃一尺，不合二寸。

问门广几何？荅曰：一丈一寸。

术曰：以去阃一尺自乘，所得，以不合二寸半之而一，所得，增不合之半，即得门广。

分类：文库1 古算摘奇：七数剩一，八数剩二，九数剩三，问本总数几何？答曰：四百九十八2 韩信点兵：韩信练兵，每三人一列，余一人，每五人一列，余二人。

每七人一列，余四人，十三人一列，余六人。

问多少士兵？（至少有53人）3 李白买酒：李白街上走。

提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒，试问酒壶中，原有多少酒？4 两鼠穿墙：今有墙厚五尺，两鼠对穿。

大鼠日一尺，小鼠亦一尺。

大鼠日自倍（每天的进度为前一天的两倍），小鼠日自半（每天进度是前一天的一半）问何日相逢？各穿几何？5 百羊问题：甲赶赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半（注：四分之一的意思）群，得你一只来方凑。

玄机奥妙谁参透？（意思是，再加这么多。

然后再加半群，再加四分之一群，再加你的一只，就凑够了一百只）。

问甲有多少只羊？6 鸡兔同笼：今有鸡兔同笼，上有8头，下有26足，问鸡兔各几只？7 梨果问题：九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱。

问：梨果多少价几何？8 浮屠增级：远看巍巍塔七层红光点点倍加倍共灯三百八十一请问尖头几盏灯9 物不知数：今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何? （23）10 以碗知僧：巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧。

三百六十四只碗，恰合用尽不差争。

三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹。

请问先生能算者，道来寺内几多僧。

11 百鸡问题：今有鸡翁一，值钱五：鸡母一，值钱三：鸡雏三，值钱一。

今百钱买鸡百只。

问鸡翁，鸡母。

鸡雏各几何？12：今有人共买鸡,人出九（买九只鸡）,盈十一,人出六（买六只鸡）,不足十六,问人数（银数）,鸡几何? （鸡9 银70）13：有井不知深，先将绳三折入井，井外绳长四尺，后将绳四折入井，井外绳长一尺。

问：井深绳长各几何？（井深8尺绳长36尺）14：趣分馒头：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？（注：“几丁”即“几个”）15：船缸均载：三百六十一只缸，任君分作几船装，不许一船多一只，不许一船少一缸，问有多少只？(需要19只船，每船装19只缸)16：系羊问索：旷野之地有个桩，桩上系着一腔羊。

巧解民间数学趣题注释中国古代名题摘要：一、引言：介绍中国古代数学趣题的背景和意义二、中国古代著名数学趣题之一：百钱买鸡1.题目描述2.解题思路3.解答三、中国古代著名数学趣题之二：韩信点兵1.题目描述2.解题思路3.解答四、中国古代著名数学趣题之三：李白买酒1.题目描述2.解题思路3.解答五、中国古代著名数学趣题之四：两鼠穿墙1.题目描述2.解题思路3.解答六、结论：总结中国古代数学趣题的价值和启示正文：中国古代数学趣题是一种特殊的数学问题，它们通常源于生活实践，以生动、有趣的形式呈现。

这些题目虽然看似简单，但却蕴含了丰富的数学知识，既考验了人们的数学思维能力，也丰富了人们的文化生活。

在本文中，我们将介绍四个中国古代著名的数学趣题，并尝试用巧妙的方法来解决它们。

一、百钱买鸡这是一个经典的数学问题，题目描述如下：现在有一百钱，可以买一百只鸡，问鸡翁、鸡母和鸡雏各有多少只？解题思路：我们可以通过设变量的方法来解决这个问题。

设鸡翁为x 只，鸡母为y 只，鸡雏为z 只。

根据题意，我们可以列出以下方程组：x + y + z = 100 (1)x * 2 + y * 3 + z * 4 = 100 (2)其中，方程(1) 表示总共有100 只鸡，方程(2) 表示总共有100 块钱。

我们可以用消元法求解这个方程组，得到：x = 25, y = 25, z = 50因此，鸡翁、鸡母和鸡雏各有25 只、25 只和50 只。

二、韩信点兵这是一个关于数学余数的问题，题目描述如下：韩信练兵，每三人一列，余一人；每五人一列，余二人；每七人一列，余四人；十三人一列，余六人。

问多少士兵？解题思路：我们可以通过求解这个数学余数问题来得到士兵的数量。

设士兵数量为x，根据题意，我们可以列出以下方程：x ≡ 1 (mod 3)x ≡ 2 (mod 5)x ≡ 4 (mod 7)x ≡ 6 (mod 13)其中，≡表示同余。

我们可以通过求解这个同余方程组来得到x 的值。

古代数学趣题（10道）
1、远望巍巍塔七层,红光点点倍加增; 共灯三百八十一,请问各层几盏灯（问问塔尖几盏灯）?
——明代数学家程大位编著的《算法统宗》
2、有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少。

（《孟子》全书34685字）
3、三百七十八里关，初行健步步为难，脚痛每日减一半，六朝才的道其关，要见每朝行里数，请君仔细祥推算。

4、放牧任粗心大意，三畜偷偷吃苗青；苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样，羊吃了马的一半，马吃了牛的一半，请问各畜赔多少。

5．蒲第一天长3尺，以后逐日减半；莞第一天长1尺，以后逐日倍增，问多少天后蒲、莞长度相等？——《九章算术》
6．今有金菙（鞭子）长5尺。

斩本一尺重四斤，斩末一尺重二斤。

问次一尺各重几何？——《九章算术》
7．良马初日行一百九十三里，日增十三里，求其15日所行里数。

——《九章算术》
8．今有女善织，日益功疾。

初日织五尺，今一月织九匹三丈。

问日益几何？——《孙子算经》
9．今有初门往见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？——《孙子算经》10．今有户出银一斤八两一十二铢。

今以家有贫富不等，令户别作差品，通融出之。

最下户出银八两，以次户差各多三两，问户几何？——《孙子算经》。

中国古代的趣味数学——简析几个典型的古代数学问题夏超（马克思主义教育学院思想政治教育专业学号：1012279）关键词：鸡兔同笼百鸡问题孙子定理数学在中国拥有悠久的历史，在古人的智慧中，我们可以发现数学之美，探寻数学之趣，数学的好玩之处，并不限于数学游戏。

数学中有些极具实用意义的内容，包含了深刻的奥妙，发人深思，使人惊讶。

中国古代的数学广泛应用于各个领域，对中国古代的农业、天文学等的发展作出了重大贡献。

其中的一些脍炙人口的趣味小问题也让我们在探究中发现数学之美。

1.鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题是我国古代一道经典的数学趣题。

它记载于大约1500年前的《孙子算经》中，书中是这样描述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这句话的意思是：若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有三十五个头：从下面数，有九十四只脚。

求笼中各有几只鸡和兔？用解法一（假设法）：已知鸡兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，即，将兔子看做两只脚的鸡，鸡兔总的脚数是35×2=70（只），比题中说的94只要少24只。

可知这24只脚是兔子，因此有兔子24÷2=12（只）。

所以有鸡35-12=23（只）。

解：假设全是鸡： 35×2=70（只）比总脚数少：94-70=24（只）它们脚数的差：4-2=2（只）因此有兔子：24÷2=12（只）鸡：35-12=23（只）解法二（方程法）：解：设兔有x只，则鸡有35-x只。

4x+2（35-x）=942x=24x=1235-12=23（只）故：有鸡23只，兔12只。

除此之外还有解法3：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只数总只数－鸡的只数=兔的只数解法4（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=兔的只数总只数－兔的只数=鸡的只数解法5：总脚数÷2—总头数=兔的只数总只数—兔的只数=鸡的只数解法4：鸡的只数=（4×鸡兔总只数-鸡兔总脚数）÷2 兔的只数=鸡兔总只数-鸡的只数6解法7兔总只数=（鸡兔总脚数-2×鸡兔总只数）÷2 鸡的只数=鸡兔总只数-兔总只数一个简单的鸡兔同笼问题却能有如此多的解法，是不是很奇妙呢? 通过对一个简单的数学问题的剖析，你是否从中发现了探索的乐趣呢？在探索的过程中你是否体味到数学解题思想的变幻之美呢？2.百鸡问题百鸡问题记载于中国古代约5-6世纪成书的《张丘建算经》中，该问题导致的三元不定方程组开创了“一问多答的先例”这是过去中国古算书书中所没有的，体现了中国数学的发展。

中国古代数学故事与趣题
中国古代数学故事与趣题非常丰富，以下列举几个著名的例子：
商高的一段数学故事：中国西周时期的数学家商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。

他同时提出了“周三径一”之率，该表述比毕达哥拉斯早了五百多年。

“割圆术”：魏晋时期，数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率。

世界上第一个将圆周率精确到小数点后7位的人是中国南北朝时期的数学家祖冲之。

“杨辉三角”：南宋时期的数学家杨辉发现了一种独特的数学图形，即现在所称的“杨辉三角”。

这个三角形的数字排列规律与现代二项式系数的排列一致，这为组合数学和二项式定理的发展做出了重要贡献。

“天元术”：金朝数学家李冶发明了“天元术”，这是一种用数学符号列方程的方法，比西方同类方法早了近四百年。

“算盘”和“珠算”：中国是算盘的故乡，后来被带到日本、朝鲜、印度、阿拉伯、欧洲等地区。

明朝时，珠算正式被使用，这使得中国在商业计算领域方面遥遥领先。

“垛积术”：元朝数学家朱世杰提出了“垛积术”，即高阶等差数列求和的方法，比西方同类方法早了四百多年。

这些故事和趣题展示了中国古代数学的卓越成就和独特贡献。

分式方程历史趣题赏析分式方程是数学中一个有趣而深奥的领域，它可以直观地表示复杂的问题和模型，而且在历史上也一直占据着重要的地位。

它们出现有一段时间，并且已发展成一种常见的数学工具，经常被用于描述现实世界中复杂的运动与模型。

在这篇文章中，我将分享一些有趣的分式方程历史趣题，让大家了解分式方程的演变历程以及它们所蕴含的历史文化背景。

首先，有关分式方程的一个有趣趣题是，它们在古代古埃及文明中是如何出现的？古埃及人利用许多数学形式来解决实际问题，而分式方程就是其中之一。

古埃及文明拥有丰富的有关建筑、数学和艺术的古代文献，其中记载了他们如何利用复数和分式方程来描述现实世界。

例如，古埃及的数学家们可以根据当时的木材结构和建筑原理，使用分式方程来计算木材支持的重量，以便正确地安排建筑的结构。

此外，在古希腊时期，分式方程也得到了广泛的应用。

当时的数学家们利用分式方程来分析问题，包括几何原理、物理原理以及其他一些相关内容。

其中，最著名的例子是毕达哥拉斯在公元前六世纪利用分式方程来解决了几何方面的问题。

例如，他利用分式方程来解决如何用一条直线划分一个平面为两部分，他还定义了一种新的几何结构，称为“毕达哥拉斯多边形”，利用这种几何结构，数学家们可以解决许多几何问题。

同样，分式方程也在古代印度文明中得到了很好的发展，古印度的数学家们利用分式方程来解决一些有关算法的问题。

例如，在古印度的文献中，数学家们记录了如何用分式方程来计算圆周率的方法，这在当时算是一个重要的成就。

此外，在中国古代，分式方程也受到了普遍的应用。

在古代中国，学者们大量利用分式方程来解决数学问题，例如如何确定几何图形的形状和面积等。

有一些著名的中国数学家，如张邱建、苏鲁塔和魏博等，他们分析和总结了许多关于分式方程的研究成果，这些成果对于中国古代数学文化的发展有重要意义。

最后，在现代，分式方程也被广泛应用于科学和工程领域，它们可以帮助人们更加清晰地表达模型，从而准确地预测和描述现实世界中各种运动和模型。

写一写你都知道了哪些有趣的古代数学知识
1、鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。

大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。

书中是这样叙述的：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。

问笼中各有多少只鸡和兔？
2、这一问题的本质是一种二元方程。

如果教学方法得当，可以让小学生初步地理解未知数和方程等概念，并锻炼从应用问题中抽象出数的能力。

一般在小学四到六年级时，配合一元一次方程等内容教授。