计算机的运算⽅法计算机的运算⽅法⽆符号数计算机中的数存放在寄存器中,通常将寄存器的位数称为机器字长, ⼤家说的⽆符号数其实就是不区分正负号的数,换句话说,就是没负数,全是正数,⼤家知道,计算机中的数是以0-1存储的, 假如我们的寄存器16位, ⽆符号数表⽰的范围就是0~65535 (2^64=65536), 有符号就是分正负数,总数65536就被分成两半,⼀半正数,⼀般负数,范围就是 -32768~32767有符号数有符号数,就是正负数同时存在, ⼈们固然能区分开整正负数,计算机怎么区分呢?前⾯说了,计算机只认识01这样的数,于是⼈们规定 0表⽰正数, 1表⽰负数, 于是这样符号就被数字化了, 并且规定将其放在真实值前⾯, 于是有符号数就诞⽣了如上图,按照计算机存数数据的特性将符号数字化, 数字化后的编码⽅式得到的结果称为机器数, 将带有+-符号的数字称为真值既然现在将有符号数数字化后,新的问题来了,当这些机器数之间需要进⾏运算时, 符号位怎么办? 符号位能否参加机器数之间的运算呢? 如果说,需要参加运算⼜需要哪些处理才能消除符号位对计算结果的影响呢? **这⼀连串问题就引出了符号位和数值位所构成的编码: 原码 , 补码 ,反码 , 移码 **其实在学习的过程中该⼀直问⾃⼰,⾃⼰在⼲什么就⽐如现在,我在前⾯⼤概说了说计算机是如何表⽰数字的，于是认识了机器码，机器码之间需要进⾏运算于为了设计出使机器码运算的⽅式，⼈们对机器码进⾏不同的变形编码，得到了，原码，补码，反码，移码等，下⾯看⼀下这⼏种编码的由来，以及他们对实现机器码的可计算的贡献原码原码是机器码最简单的⼀种变形，同样的它的符号位0表⽰正数，1表⽰负数。
数值位就是真值的绝对值⼈们为了书写⽅便已经区分⼩数和整数，在符号位和数值位之间使⽤逗号分隔整数的原码举个例⼦:x= +1110, 那么它的原码就是 0，1110x= -1110, 原码=1，1110⼩数的原码举个例⼦x= 0.1101 , 那么它的原码就是 0.1101x= -0.1101, 原码=1 - (-0.1101) = 1.1101看上⾯的原码计算⽅式，显然机器码很容易就转成原码，但是想想如果⽤原码进⾏数值运算的话就会带来很多⿇烦，我们得先判断两个机器数绝对值的⼤⼩然后⽤⼤的减去⼩的，最终的符号再按照绝对值⼤的算， **⽽且我们需要设计两套运算流程，⼀套给加法⽤，⼀套给减法⽤，但是前辈们很智慧，因为⼈们找到了⼀种⽅式，找到了⼀个正数去替换原来减数位置的负数，类似像下⾯这样，实现了在计算机中仅仅设计⼀套加法器就实现加减法的运算 **5-3=25+(-3)=2上述⽅法的实现就依赖于下⾯的补码补码补码的概念和补数的概念很像，⽐如现在时钟六点了，我们想让它指向三点，于是我们可以往回转3（6-3=3）圈时针能回退到3点，也可以往前转9圈（6+9=15），可以前进到三点，对时钟来说往顺时针还是逆时针的过程不⼀样，但是对我们来说结果是⼀样的，都是三点了这个过程就类似于，找到⼀个正数，让这个正数代替负数去参加运算，使⽤加法运算器也能得到正确的结果时钟旋转⼀圈12⼩时，在这12⼩时中是不被显⽰且⾃动丢失的，也就是说 15-3=3 点，于是我们可以说，其实对时钟来说， -3 +9 的作⽤其实是⼀致的，结果都是三点，在数学上我们将12称为模，写成mod 12 ，我们管9 称为是 -3以12为模的补数于是我们得知，只要我们确定了模，我们就能求出这个数对这个模的地位相同的补数，或者说当我们想将已知的负数转换成可以替换他的正数的话，借助模就可以完成如何利⽤模求补数呢？正数的补数是它本⾝负数可以⽤它的正补数等价替换负数的补数= 模+负数本⾝如何进⾏求模⽰例：-3 全等于 +7 (mod10)+7 全等于 +7 (mod10)-3 全等于 +97 (mod100)-1011 全等于 +0101 (mod2^4)2^4=1 0 0 0 0- 1 0 1 1---------------0 1 0 1+0101 全等于 +0101 (mod2^4)⼩数的mod = 2+0.1001 全等于 +0.1001 (mod2)-0.1001 全等于 +1.0111 (mod2)1 0.0 0 0 0- 0.1 0 0 1--------------1.0 1 1 1求补码的公式求负数补数的⽰例其实⼤家可以看⼀下,对负数的公式来说,公式中的n就是负数的位数, -1101 ⼀共四位, n=4, 但是取的是n+1位, 换句话说是⽤⼀个⽐原负数多两位的数加上这个负数, 多出来⼀个符号位, 最后的结果中别忘了⽤逗号分隔符号位和数值位, 当然这是为了⽅便我们⾃⼰看,让⼈们⼀眼看去知道最开始的1是个符号位,后⾯的数才是想求的补数结果⼩数求补码的公式举个例⼦: 求 -0.0110 的补码此外, +0 -0的补码都是 0从上⾯的讨论我们知道,之所以想引⼊补码是为了消除减法运算,即将⼀个负数转换成它的正数补码,但是根据补码的定义,⼤家可以看到上⾯的两个例⼦,在产⽣补码的过程中⼜出现了减法运算,怎么办呢?于是我们这样求补码: 先求原码, 然后变换这个原码得到补码, 怎么变换呢? 就是将除了符号位的原码其它为取反之后再加1举个例⼦: 上⾯的就⽤ -1101 来说, 如下:于是看到这⾥我们彻底知道了,只为计算机设计⼀个加法器是完全ok的,下⽂会介绍如何运算反码通过上⾯的运算我们知道下⾯的运算规则原码(符号位,数值位) => 除符号位外其他位取反 = 反码反码+1 = 补码补码-1 = 反码由此可知,其实这个反码就是原码和补码双⽅转换时的中间状态⼩结原码,反码,补码的最⾼位都是符号位, 符号位和数值位之间使⽤.或者逗号分隔(⼩数⽤点, 整数⽤逗号)真值为整数时, 原码,反码,补码的表⽰形式是相同的虽然真值为负数时,原码.反码补码各不相同,但是最⾼位的符号为都是1, 并且原码求反+1=补码 , 原码每位求反=反码移码真值转换成补码后,由于符号位和数值位是⼀起进⾏编码的,因此⼈们很难分清补码之间的⼤⼩就像下⾯这样⼗进制的21 对应⼆进制为+10101 补码为 0,10101⼗进制的-21 对应⼆进制为-10101 补码为 1,01011⼗进制的31 对应⼆进制为 +11111 补码为 0,11111⼗进制的-31 对应⼆进制为-11111 补码为 1,00001直观上看他们的⼤⼩是 101011>010101 100001>011111 ⽽实际上恰恰相反于是我们这样, 在每⼀个真值的基础上加上⼀个2^n , 情况就发⽣了变化+10101 加上2^5 得 110101-10101 加上2^5 得 001011+11111 加上2^5 得 111111-11111 加上2^5 得 000001这样的话不需要借助补码,六位代码本⾝就能看到出真值的⼤⼩更进⼀步,通过观察可以发现,其实⼀个数的补码和移码之间就差⼀个符号位,换句话说,如果我们将补码的符号位从0换为1,或者从1换成0得到的就是它的移码, 在这基础上⽐较⼤⼩得到的结果是准确的此外正负零的移码的⼀样的移位运算计算机中的机器数的字长往往是固定的,当机器数左移n位或者是⼜移n位时,势必会倒是另外⼀边出现空位,那么在出现空位的位置到底是补充1还是填充0呢? 这取决于机器数是有符号还是⽆符号,其中有符号的机器数采取的位移称为算数位移,⽆符号的唯⼀称为逻辑位移算数位移的移位规则真值码制补填代码正数原码,补码,反码0负数原码0负数原码左移添0负数补码右移添1负数反码1⽆论是正数还是负数,移位后的符号位都是不变的举⼏个例⼦机器数⼗进制移位前 : 0,0011010 +26左移1位: 0,0110100 +52右移1位: 0,0001101 +13左移⼀位,除符号位外原来的最⾼位被移⾛了,右边空出的1位⽤0补全,但是⾼位丢失了其实得到的就是错误的结果,但是这个错误的结果恰好是原值的2倍,⽽且唯⼀运算速度还快,因此很多框架的底层都青睐使⽤这个位移运算的特性每次右移时,最右边的数就会丢失,精度收到影响左移⼀位相当于乘以2,右移1位相当于除以2逻辑位移的移位规则逻辑左移,⾼位丢失,低位填0, 逻辑右移,低位丢失,⾼位补0加法与减法运算回到⼀开始话题,计算机的运算⽅法,前⾯通过补码的介绍我们知道了只设计⼀套加法器其实是可⾏的,下⾯具体看⼀下是如何进⾏运算的即 A-B = A + (-B)补码的加法公式整数: [A]补 + [B]补 = [A+B]补 (mod 2^n+1)⼩数: [A]补 + [B]补 = [A+B]补 (mod 2)对于减法来说整数: [A-B]补 = [A]+[-B]补 (mod 2^n+1)⼩数: [A-B]补 = [A]+[-B]补 (mod 2)最后看⼀个例⼦: 看看计算机如何将减法转换成加法并携带符号位运⾏得出正确结果假设机器8位(含⼀位符号位),若A=+15 B=+24, 让我们求 [A-B]补 ,并还原真值A=+15 = +0001111 (算上+号⼀共⼋位)b=+24 = +0011000 (算上+号⼀共⼋位)A和B都是整数,所以他们的补码就是原码本⾝:[A]补 = 0,0001111[B]补 = 0,0011000[-B]原码 = 1，0011000[-B]反码 = 1，1100111 （除符号位取反得到反码：）[-B]补 = 1，1101000 （由反码+1得到）[A-B]补 = [A]补 + [-B]补= 0,0001111 + 1，1101000= 1,1110111那么 A-B = 啥呢? 反着换回去1，11101111，1110110 （末位减1再取反）1，0001001 = -0001001 = -9。
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