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全套课件-结构化学

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结构化学PPT课件

结构化学PPT课件

1 c1 o.5 0 s o 4 0 0.20
解得： c22 0.20
c2 0.45
c1210.80 c1 0.89
据此，可计算出H2O 中，两个孤对电子所在轨道的成分 （ α=0.30 ，β＝0.7）,夹角（θ=115.4o ）
CHENLI
19
例 2. NH 3
实验测定 NH3 分子属C3v 点群。3个 N—H 键 中 s 、p 成分相同。∠HNH=107.3o。
D∞h D3h Td
D4h D3h C4v Oh
CO2 , N3BF3 , SO3
CH4
Ni(CN)42PF5 IF5 SF6
CHENLI
13
• 杂化轨道满足正交性、归一性
例： i aisbip
由归一性可得： i *id1 ai2 bi2 1
由正交性可得： i*jd0
i j
★根据这一基本性质，考虑杂化轨道的空间分布及 杂化前原子轨道的取向，就能写出杂化轨道中原子轨道的 组合系数。
b0 .5p 5 x0 .7Cp H0 y EN L0 I .4s5
18
若不需区分 px 和 py ,只需了解杂化轨道中 s成分和 p 成分，
可按
cos 计算夹角。
对于 H2O 中的 O 原子只有 s 轨道和 p 轨道参加杂化。
设 s 成分为 α， p 成分β=1- α
则：
1 c o s 0
y H
0 .6c 1 1 p x 0 .7c 1 9 p y c2 s
根据原子轨道正交、归一条件，可得： 解之，得 c12 0.80 c1 0.89
x
{ c12 c22 1 0 .62c 1 1 2 0 .72c 9 1 2 c 2 2 0

《结构化学》课件

《结构化学》课件
《结构化学》ppt课件
contents
目录
• 结构化学简介 • 原子结构与性质 • 分子的电子结构与性质 • 晶体结构与性质 • 结构化学实验结构化学的定义
总结词
结构化学是一门研究物质结构与 性质之间关系的科学。
详细描述
结构化学主要研究原子的排列方 式、电子分布和分子间的相互作 用，以揭示物质的基本性质和行 为。
晶体的电导率、热导率等性质取决于其内 部结构，不同晶体在这些方面表现出不同 的特性。
晶体的力学性质
晶体材料的应用
晶体的硬度、韧性等力学性质与其内部原 子排列密切相关，这些性质决定了晶体在 不同工程领域的应用价值。
晶体材料广泛应用于电子、光学、激光、 半导体等领域，如单晶硅、宝石等。了解 晶体的性质是实现这些应用的关键。
分子的选择性
分子的选择性是指分子在化学反应中对反应物的选择性和对产物的选择性。选择性强的分 子可以在特定条件下优先与某些反应物发生反应，产生特定的产物。
04
晶体结构与性质
晶体结构的基础知识
晶体定义与分类
晶体是由原子、分子或离子在空 间按一定规律重复排列形成的固 体物质。根据晶体内部原子、分 子或离子的排列方式，晶体可分 为七大晶系和14种空间点阵。
电子显微镜技术
• 总结词：分辨率和应用 • 电子显微镜技术是一种利用电子显微镜来观察样品的技术。相比光学显微镜，
电子显微镜具有更高的分辨率和更大的放大倍数，因此可以观察更细微的结构 和组分。 • 电子显微镜技术的分辨率一般在0.1~0.2nm左右，远高于光学显微镜的分辨 率（约200nm）。因此，电子显微镜可以观察到更小的晶体结构、病毒、蛋 白质等细微结构。 • 电子显微镜技术的应用范围很广，例如在生物学领域中，可以用于观察细胞、 病毒、蛋白质等生物样品的结构和形态；在环境科学领域中，可以用于观察污 染物的分布和形态；在材料科学领域中，可以用于观察金属、陶瓷、高分子等 材料的表面和断口形貌等。

结构化学(共10张PPT)

结构化学(共10张PPT)
化学物理
物理化学
化学键
结构与化学键
原子轨道 电
分子轨道
子 因
成键力 素
分子、晶体的立体结构
键 键 对 连原 角 长 称 接子
性 形间 式
几何因素
结构化学的核心问题
子力学理论
周公度《结构化学习基础题解析》(第四版)，北京大学出版社
分子结构的化学键理论 学习过程中，正确理解和处理好模型、概念、方法、结论之间的关系。
实际意义。然后再去研究中间的推导过程，不要迷失
在繁复的数学处理中。
4 教材及主要参考
1.周公度《结构化学基础》(第四版)，北京大学 出版社， 2.周公度《结构化学习基础题解析》(第四版)，北 京大学出版社 3.东北师范大学等 《结构化学》，高等教育出 版社，2003 4.徐光宪《物质结构》（第二版），科学出版社，
晶体结构的点阵理论
电子结构； 几何结构 周公度《结构化学习基础题解析》(第四版)，北京大学出版社
分子、晶体的立体结构
一条主线： 结构－性质－应用
结构化学课程的特点
抽象性（微观理论，结构实验）
综合性（学科交叉，数理方程，现代实验）
开放性（新理论，新方法，内容的拓展）
3 结构化学的学习方法
学习过程中，正确理解和处理好模型、概念、
东北师范大学等 《结构化学》，高等教育出版社，2003
综合性（学科交叉，数理方程，现代实验）
晶体结构的点阵理论 分子、晶体的立体结构
抽象性（微观理论，结构实验）
晶体结构的点阵理论
抽象性（微观理论，结构实验）
分子结构的化学键理论
两个要素： 晶体结构的点阵理论
周公度《结构化学习基础题解析》(第四版)，北京大学出版社 分子结构的化学键理论

结构化学课件第四章

结构化学课件第四章

0 x 0 y 1 z
y ' C ( ) y sin
x z
1 0 y y
Cn轴通过原点和 z 轴重合的 k 次对称操作的表示矩阵为：
2 k n 2 k k Cn sin n 0 cos sin 2 k n 2 k cos n 0 0 0 1
Structural Chemistry
“点操作”。 对称操作和对称元素是两个相互联系的不同概念，
对称操作是借助于对称元素来实现，而一个对称元 素对应着一个或多个对称操作。
Structural Chemistry
第四章 分子的对称性
对称操作的矩阵表示： 各种操作相当于坐标变换。将向量（x，y，z）变为
（x ‫׳‬，y ‫׳‬，z‫）׳‬的变换，可用下列矩阵方程表达：
x'
a
b e h
c f i
x y z
y' d z' g
图形是几何形式 矩阵式代数形式
Structural Chemistry
第四章 分子的对称性
六种对称元素和对称操作
（1）恒等元素（E）和恒等操作 （2）旋转轴（Cn）和旋转操作
（3）镜面σ和反映操作
（4）对称中心（i）和反演操作
（5）像转轴（Sn）和旋转反映操作
操作：不改变分子中各原子间距离使
分子几何结构发生位移的一种动作。
对称操作：每次操作都能产生一个
和原来图形等价的图形，通过一次 或几次操作使图形完全复原。
对称元素：实现对称操作所依赖的几 何要素（点、线、面及组合）。
Structural Chemistry
第四章 分子的对称性
分子中的对称操作共有六类，与此相应的 对称元素也有六类。它们的符号差别仅仅是对 称操作符号头顶上多一个Λ形的抑扬符^，就像

《结构化学》PPT课件

《结构化学》PPT课件
(2)反键轨道具有和成键轨道相似的性质，每一轨道也可 按Pauli不相容原理、 能量最低原理和Hund规则安排电子， 只不过能级较相应的成键轨道高，轨道的分布形状不同。
(3)在形成化学键的过程中，反键轨道并不都是处于排斥 的状态，有时反键轨道和其他轨道相互重叠，也可以形成 化学键，降低体系的能量，促进分子稳定地形成。利用分 子轨道理论能成功地解释和预见许多化学键的问题，反键 轨道的参与作用常常是其中的关键所在，在后面讨论分子 的化学键性质时，将会经常遇到反键轨道的作用问题。
方程
i i
ii
分子体系总能量 E = ∑Ei
2．分子轨道是由分子中原子的原子轨道线性组合(li near combination of atomic orbitals， LCAO)而成。
由n个原子轨道组合可得到n个分子轨道，线性组合 系数可用变分法或其它方法确定。由原子轨道形成 的分子轨道，能级低于原子轨道的称为成键轨道， 能级高于原子轨道的称为反键轨道，能级等于或接 近原子轨道的一般为非键轨道。 3．两个原子轨道要有效地组合成分子轨道，必须满 足对称性匹配，能级相近和轨道最大重叠三个条件。 其中对称性匹配是先决条件，其它影响成键的效率。 4．分子中电子按 Pauli不相容原理、 能量最低原 理和Hund规则排布在MO上
三键 三键
CO、NO的电子组态分别如下： CO [( 1σ)2 ( 2σ)2 ( 3σ)2 (4σ)2 (1π)4 (5σ)2 ] NO [( 1σ)2 ( 2σ)2 ( 3σ)2 (4σ)2 (1π)4 (5σ)2 (2π)1 ]
CO :
CO与N2是等电子体，
一样也是三重键：一个σ键， 二个π键，但是与N2分子不 同的是有一个π键为配键， 这对电子来自氧原子。(如 右图所示）CO作为一种配 体，能与一些有空轨道的 金属原子或离子形成配合 物。例如同ⅥB，ⅦB和Ⅷ 族的过渡金属形成羰基配 合物：Fe（CO)5、Ni(CO)4 和Cr(CO)6等。

大学《结构化学-原子的结构和性质》课件

大学《结构化学-原子的结构和性质》课件
2 4 2 n 2 2 2 2 0
对于每一个n值均有相应径向波函数
2Z 3 (n l 1)! 12 2 l 2l 1 Rn ,l ( ) [( ) ] e Ln l ( ) 3 n 0 2n[(n 1)!]
2Zr , n 0
2l 1 n 1 d d 2 l 1 n l Ln l e e 2l 1 n l d d
2 2 2 2 2 2 0
1 1 1 [ (sin ) ] ( , ) k ( , ) sin sin
2 2 2
——勒让德方程
将 Y ( , ) ( ).( ) 代入，整理得：
Sin 2 2 Sin k Sin m

3 2
Zr Z2 r 2 27 18 2 2 0 0 Zr e
m 1 im 1 i e cos m sin m 2 2 2
它们的线性组合也是方程的解，由此得到方程的实函数解：
2C C ( m m ) cos m 2 i2D sin m D ( m m ) sin m 2
2s 2p
Z 0 Z 0
Zr Zr 2 e 0 Zr e
20
20
3 2
Zr 0
3s 3p
Z 2 R 3 , 0 r 81 3 0 Z 4 R 3 ,1 r 81 6 0 4 R 3 , 2 r 81 30
Θ(θ) 方程的解：
2 1 d m 由原方程得： (sin ) k 0 2 sin d sin

结构化学(第一节)

结构化学(第一节)

5
量子化特征 微观粒子运动遵循量子力学规律，与经典力学 运动规律不同的重要特征是“量子化（quantized）”。 “量子化”是指微观粒子的运动以及运动过程 中能量的变化是不连续的，而是以某一最小量 为单位呈现跳跃式的变化。
6
―量子化”这一重要概念是普朗克（Plank） 于1900年首先提出的。他根据黑体辐射实验 的结果，提出能量的传递与变化是不连续的， 是量子化的这一大胆假说。这是与传统的物 理学观念相背的、革命性科学假说，后来发 展为量子论，是现代量子力学发展的开端， 是科学发展史上具有划时代意义的里程碑之 一。
1结构化学第一节2第一节原子结构与元素周期系一微观粒子的运动特征二原子结构1波函数与原子轨道2四个量子数3原子轨道的图形4电子云和几率密度三核外电子的排布1基本原则2原子轨道能级的顺序3原子中电子的实际排布4原子的电子排布和元素周期系四元素性质的周期性变化31897年汤姆逊thomson18561940通过阴极射线发现了电子的存在
23
薛定谔方程是现代量子力学及原子结构理论 的重要基础和最基本的方程式。薛定谔方程 不是用数学方法推导出来的。其正确性、真 理性是靠大量实验事实来证明的。
24
Ψ称为波函数(wave function)。它是空间坐标（x、y、 z）的函数， Ψ ＝ Ψ （x、y、z）；也可用球坐标（r、 、）表示： Ψ ＝ Ψ （r、、）。

2
x
2


2
y
2


2
z
2

8 m
2
h
2
( E V ) 0
（4-3）
22
薛定谔方程，是函数Ψ对x、y、z三个空间坐 标变量的二阶偏微分方程。Ψ是薛定谔引入 的一个物理量，它是电子空间坐标x、y、z的 函数： Ψ （x，y，z）。薛定谔用Ψ（x，y， z）来描述或表征电子运动的波动性，因此Ψ （x，y，z）应该服从、遵循某种波动的规律， 即符合波动方程式的要求。故称为波函数。

结构化学课件

结构化学课件

4
化学学院 结构化学
第二章
5
化学学院 结构化学
第二章 C. 径向分布函数 2R2n,l(r)~r图 径向分布函数r 图
6
化学学院 结构化学
第二章
球极坐标与笛卡儿坐标的关系
7
化学学院 结构化学
第二章
☆1s态：核附近D为0；r＝a0时，D极大。表 1s态 核附近D 极大。 明在r 附近，厚度为dr的球壳夹层内 明在r＝a0附近，厚度为dr的球壳夹层内 找到电子的几率要比任何其它地方同样厚 度的球壳夹层内找到电子的几率大。 度的球壳夹层内找到电子的几率大。 ☆每一 n 和 l 确定的状态，有n－l个极大值 确定的状态， 值为0的点。 和n－l－1个D值为0的点。 ☆n相同时：l越大，主峰离核越近；l越小， 相同时： 越大，主峰离核越近； 越小， 峰数越多，最内层的峰离核越近； 峰数越多，最内层的峰离核越近； l相同时：n越大，主峰离核越远；说明n小 相同时： 越大，主峰离核越远；说明n 的轨道靠内层，能量低； 的轨道靠内层，能量低； 电子有波性，除在主峰范围活动外， ☆电子有波性，除在主峰范围活动外，主量 子数大的有一部分会钻到近核的内层。 子数大的有一部分会钻到近核的内层。
25
化学学院 结构化学
10
第二章
11
化学学院 结构化学
第二章
12
化学学院 结构化学
第二章
13
化学学院 结构化学
第二章
14
化学学院 结构化学
第二章 （3） 空间分布 ）
ψ −r 和 ψ2 −r图 ★ s态的 态的
Z 3 − a0 1 −r ψ1s = 3 e ⇒ψ1s = e πa π 0
3 1 Z ψ 2s = 2πa3 4 0 1/ 2 r − Zr − 2a0 1 1 2 2 − e ⇒ψ 2s = (2 − r)e a0 4 2π Zr

结构化学

结构化学

绪论
3 学习结构化学的方法
结构化学课程是在学过高等数学，普通物理，无机化 学，分析化学等课程的基础上，进一步讲授微观物质的运 动规律。由于该课程需要的数理基础知识多，概念又比较 抽象，所以，初学者在开始学习时常有雾里看花，无所适 从之感。针对结构化学课程的特点，必须探索出适合自己 的学习方法，作为学习结构化学普遍性的学习原则，应注 意以下几点。
2.2.3 新材料、新药的合成
7
结构化学精品课程
绪论
2.2.1 反应机理的研究
反应机理研究是一个既古老而又有很多问题尚不清楚 的学科。美国 R.Hoffmann 和日本 Kenich Fukui分别提出 了分子轨道对称守恒原理和提出前线轨道理论，为此他们 获得了1981 年诺贝尔化学奖。由李远哲教授等创立的交叉 分子束反应是研究微观反应机理的重要实验手段，为此他 们获得了1986年诺贝尔化学奖。
3.3 广泛联系无机、有机、物化中遗留的问题
由于该课程涉及的数理公式多，概念抽象，很容易使初学者 感到枯燥、无味，失去学习的兴趣。因此，在学习过程中必须广 泛联系无机、有机、物化中遗留的问题，用结构化学的观点、知 识分析解决这些问题是提高学习兴趣的有效方法。
全满、半满的稳定性： 例如：
各种效应：
离域效应、量子力学隧道效应、红移效应、取代基团的定位效应
14
结构化学精品课程
绪论
超导材料: YBa2Cu3O7的结构 （Y:Ba:Cu=1:2:3规则）
以钙钛矿型结构为基本单元， 通过原子的空缺、置换、位移变 形、堆叠组合等多种型式，可以 描述多种氧化物超导相的结构. 例如，钇钡铜氧高温超导体就是 一种缺氧钙钛矿型三倍超格子结 构，属正交晶系.
15
Cu O Ba Y

结构化学 绪论 ppt

结构化学 绪论 ppt

结构化学告诉你 —— “为什么”！
24
绪论
参考书目
1. 周公度，段连运，结构化学基础(第四版)，北京大学出版社， 2008 2. 西北大学《结构化学》精品课程网站 /jghx 3. 周公度，段连运，结构化学习基础题解析(第四版)，北京大学 出版社，2008 4. 徐光宪，物质结构(第二版)，高等教育出版社，1987 5. 李炳瑞编著，结构化学，北京：高等教育出版社，2004 6. 林梦海等编，结构化学(第二版)，北京：科学出版社，2008 7. R. McWeeny, C.A. Coulson著，原子价，余敬曾译，科学出版 社，1986 8. 徐森，物质结构目标教学辅导，上海科技文献出版社，32开， 1989（推荐）
基本知识已广泛地应用于化学的各个领域。特别是：当
今化学早已进入纳米空间(10-9m)、飞秒时间(10-15s)时 代，结构化学知识越显重要，很多学科领域都与结构化 学知识密切相关。 2.2.1 反应机理的研究 2.2.2 人工模拟生物固氮催化剂的合成
2.2.3 新材料、新药的合成
7
绪论
2.2.1 反应机理的研究 反应机理研究是一个既古老而又有很多问题尚不清楚 的学科。美国 R.Hoffmann 和日本Kenich Fukui分别提出 了分子轨道对称守恒原理和前线轨道理论，为此他们获得 了1981 年诺贝尔化学奖。由李远哲教授等（李远哲，D. R. Herschbach，J. Polanyi）创立的交叉分子束反应是研 究微观反应机理的重要实验手段，为此他们获得了1986年 诺贝尔化学奖。 常规的宏观动力学方法有时很难确定一些反应的具体 微观机理，只能是一种推断。 8
m 1
过渡态
400
300
209 389

结构化学课件7

结构化学课件7
共五十九页
图 7.19 腺嘌呤和胸腺嘧啶生成由两个(liǎnɡ ɡè)氢键联结的互补对的示意图
共五十九页
图 7.20 胞嘧啶和鸟嘌呤生成(shēnɡ chénɡ)三个氢键联结的互补对的示意图
共五十九页
氢键(qīnɡ jiàn)
共五十九页
HF
HCl HBr HI
沸点/℃
19.9 -85.0 -66.7 -
共五十九页
4、氢键对物质性质(xìngzhì)的影响：
氢键广泛存在，如水、醇、酚、酸、羧酸、氨、胺。 氨基酸、蛋白质、碳水化合物等许多化合物都存在氢键。 氢键对物质的影响也是多方面的。
（1）对物质熔、沸点的影响。 分子间形成氢键使物质的熔沸点升高。如图7-32。
这是由于(yóuyú)要使液体气化或使固体液化都需要能 量去破坏分子间氢键的缘故。
35.4
极化率Biblioteka 小大色散作
用
弱
强
沸
点
低
高
HF的沸点反常的高？
原因：存在氢键。
HF分子中，共用电子对强烈偏向电负性大的F原子
一侧。在几乎裸露的H原子核与HF分子中F原子的
某一孤对电子之间产生的吸引作用称为氢键。 共五十九页
除了分子间氢键外，还有分子内氢键。例如(lìrú)：
硝酸的分子内氢键使其溶沸点降 低。
共五十九页
2、氢键 的特点： (qīnɡ jiàn)
（1）氢键具有(jùyǒu)方向性。它是指Y原子与X－Y形成氢键 时，尽可能使氢键的方向与X－H键轴在同一条直线上，这 样可使X与Y的距离最远，两原子电子云间的斥力最小，因 此形成的氢键愈强，体系愈稳定。
（2）氢键具有饱和性。它是指每一个X－H只能与一个Y原
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• 其中N是归一化因子：

•
玻尔半径
• 单电子原子的波函数：
• 三个量子数n，L，m

• n=1, 2, 3… n≥L+1
• L=0, 1, 2… L ≥|m|
• m=0, ±1, ±2 … ±L 2L+1个值
• 常用符号s, p, d, f, g…代表L=0, 1, 2, 3, 4… 的状态。
子数mj来确定 • mj= ±1/2, ±3/2, …, ±j
2.3 波函数和电子云的图形
• 2.3.1 Ψ,|Ψ|2和r的关系
• H原子，采用原子单位 • h/2π=1au, m=1au, e=1au, 4πε0=1au

• 简化后
•1

• 势能：
e
r Z
• Schrodinger方程



变数分离法解schrodinger方程
•令 • 乘以
得：

• R方程：
• 乘以sin2θ得： • 移项得： • Θ方程 • Φ方程
• He原子 •
玻恩-奥本海默近似（核不动）
• 采用原子单位：
• h/2π =1au, m=1au, e=1au, 4πε0=1au
• 1. 独立电子近似（单电子近似）
• 每个电子在由核和其余电子构成的势场中ww运w.the动mega，llery该.com电 子的势能只与其坐标有关。
• 对于He的1s电子1的schrodinger方程：
•1•1www.t 2.3.5 电子云
• 用小黑点稠密稀疏形象描述相对大小的图 形。
2.4 多电子原子的结构

• 2.4.1 多电子原子的薛定谔方程及近似解
LOGO

• 2.1 单电子原子的薛定谔方程及其解 • 2.1.1 单电子原子的薛定谔方程及其解 • 玻恩-奥本海默近似：将原子核和电子
的运动分开，原子核视为不动，电子绕原 子核和电子的质量中心运动。
单电子原子：H原子 He+ Li2+

2.3.2 径向分布函数与r的关系图

• 径向分布函数：计算半径r为r+dr到的球壳内电 子出现的几率。

• 径向分布函数的特点：

• ①峰数(n-L)个，零值点(n-L-1)个。

• 磁旋比
Bohr磁子 βe=9.274×10-24 J/T
2.2.3 磁量子数m

• 1. 决定电子的轨道角动量在Z方向上的分 量
• 由：
• 得：
m= 0, ±1, ±2, …,±L
• 2. 决定轨道运动磁矩在磁场方向上的分量

Φ方程的解
•由
令k=-m2

• 得二阶齐次线性方程
• 两个复数特解 Φm=Aeimφ, m=±|m| • 归一化
• 得：
• 磁量子数：m= 0, ±1, ±2 • 实函数解：
Θ方程的解
• 由Θ方程，且K= -m2
•得 • 联属Legendre方程 • 为保证Θ连续，必须： • ① λ为两个连续数的乘积 • λ=(L+1)L
• • 夹角：
ms=±1/2
•
θ=54.73°
•1

2.2.5 总量子数j 总磁量子数mj
• 总角动量：电子轨道角动量与自旋角动 量的矢量和。
• 总角动量Mj的大小由总量子数来确定：
• j=L+s,L+s-1,…,|L-s| • 总角动量沿磁场方向的分量Mjz由总磁量
• μz=-mβe • L=2, m=2, 1, 0, -1, -2
•

2.2.4 自旋量子数s 自旋磁量子数ms
• 自旋角动量的大小由自旋量子数s 决定
•
s=1/2
• 自旋磁量子数ms决定自旋角动量在磁场 方向上的分量
• 自洽场方法（Hartree-Fock方法）
• 先假设初始波函数
得
•及
，再由
得
•
及
……达到自洽。
• 单电子波函数又称轨道。单电子近似又叫轨道近似。
• 2. 中心力场近似：

• 将原子中其他电子对某电子的排斥作用看成是球对 称的，只与径向有关的力场。
• σi---屏蔽常数。由于其他电子对电子 i 的排斥作用， 使 i 感受到核的电荷减小。
• ②n相同，L不同；L越小，峰数越多。
• ③L相同，n不同；n越大，最大峰距核越近。
2.3.3 Ψ |Ψ|2的等值线图

•1
2.3.4 原子轨道轮廓图

•1

•1

2.2 量子数的物理意义

• 2.2.1 主量子数n • 1. 确定原子轨道运动状态的能量
• 对于氢原子 • 2. 零点能 • 3. 能级差: n→∞, △E→0。显示连续性
2.2.2 角量子数L
• 1. 决定轨道角动量的大小
•
有确定值
•∴ • 2. 决定轨道运动磁矩的大小 • 磁矩

• ②而连续数须为自然数与m之和 • L=ν+ m ν=0,1,2…… • ∴L≥ m • 得到角量子数L

R方程的解
• 由R方程及λ=L(L+1)
•得 • 联属Laguerre方程 • 解出能量
• R方程的解为：