《2.1.1椭圆及其标准方程》导学案(新部编)3

2.1.1《椭圆及其标准方程》导学案一、【学习目标】1、知识与技能：理解椭圆的定义，掌握求椭圆的方程.2、过程与方法:通过亲身操作加深定义的认识.3、情感、态度与价值观:让学生在发现中学习，提高学生的积极性。

培养解析法的思想。

二、【重点难点】【重点难点】椭圆的定义和标准方程。

三、【教学过程】【回顾知识，提出问题】(一) 新课复习:(1)圆是如何定义的？(2)到两定点距离之和为定值的点的集合又是什么曲线呢？（二）问题导学:问题1：根据课本上椭圆的定义，制作教具，画椭圆问题2：写出椭圆上的点满足的关系式________________________________________问题3：这两个定点叫做椭圆的_______。

两个定点的距离用______表示。

常数用______表示【合作探究】:椭圆的定义为什么要满足2a >2c呢？(1)当2a >∣F1F2∣时，轨迹是_____(2)当2a =∣F1F2∣时，轨迹是_____(3)当2a <∣F1F2∣时轨迹是. _____【小试牛刀】动点P到两定点F1（-4，0），F2（4，0）的距离和是8,则动点P 的轨迹为（）（A）椭圆（B）线段F1F2（C）直线F1F2（D）不能确定。

问题5：建立坐标系后，利用问题2的关系式，写出推导椭圆方程的过程问题6：椭圆的标准方程是：___________________________问题7：上面的a,b,c三个量满足的关系式为：___________问题8：如何判断焦点在何轴?【小试牛刀】根据下列方程，分别求出a 、b 、c(1)椭圆标准方程为161022=+y x ，则a = ,b = , =c ； (2)椭圆标准方程为1522=+y x ，则a = ,b = , =c ； (3)椭圆标准方程为8222=+y x ，则a = ,b = , =c .四、【例题讲解】 例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫-⎪⎝⎭，求它的标准方程．变式题：1.已知椭圆的焦点在y 轴上，且椭圆经过点P(-2,2)和Q(0,-3)，求此椭圆的标准方程.变式题：2.已知椭圆经过两个点P(-2,2)和Q(0,-3)，求此椭圆的标准方程.【规律方法总结】五、【课堂检测】1.如果椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是_____.2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) 1,4==b a ，焦点在x 轴上； (2)15,4==c a ，焦点在x 轴上.六、【归纳总结】1.椭圆的定义2.椭圆的标准方程.3.会根据条件求椭圆的标准方程，掌握其方法.附答案：1.14 2. 2222(1)116(2)116x y y x +=+=。

§2.1椭圆及其标准方程导学案（第1课时）【学习目标】1.能准确的说出椭圆的定义；2.会推导椭圆的标准方程并掌握椭圆的标准方程的写法． 3会用待定系数法求椭圆的标准方程 【学习过程】 一．自学探究 1.椭圆的产生 2.椭圆的定义我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．反思②：若将距离之和（| P F 1|+| P F 2|）记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为 ； 当122a F F <时，其轨迹为 ．试一试：1若动点P 到两定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和为8，则动点P 的轨迹为（ ） A.椭圆 B.线段F 1F 2 C.直线F 1F 2 D.不存在2命题甲:动点P 到两定点A 、B 的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0,常数)命题乙:P 点轨迹是椭圆， 则命题甲是命题乙的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件小结：理解椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点；②看是否满足常数122a F F >二．椭圆标准方程的推导 1．标准方程的推导步骤 (1)建立坐标系 (2)设点 (3)列式 (4)化简 (5)检验2．两种标准方程的比较2三：典型例题例1. 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程 ．方法总结：椭圆的标准方程的两种求法：（1）定义法：定义是研究椭圆问题的基础和根本，根据椭圆的定义得到相应的,,a b c ，再写出椭圆的标准方程。

（2）待定系数法，先设出椭圆的标准方程22221x y a b +=或22221x y b a+=（0a b >>），然后求出待定的系数代入方程即可四、练习提升1求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）椭圆的两焦点分别为F 1（-3,0）、F 2（3.，0），且椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8；（2）求经过两点(1，0)，(0，2)，且焦点在y 轴上。

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.2.1 椭圆及其标准方程（1）》导学案3一、学习目标：1.掌握椭圆的定义、标准方程的推导及形式；2.知道焦点、焦距的概念；3.体会建立坐标系的原则.二、重点：椭圆的定义及标准方程。

难点：椭圆标准方程的推导。

三、复习回顾：圆的定义是什么?圆的标准方程的形式怎样？如何推导圆的标准方程呢？四：自学指导：导读：阅读课本P32-P34，并回答下列问题。

导思：1、固定一条细绳的两端,用笔尖将细绳拉紧并运动,在纸上你得到了怎样的图形?2、如果调整细绳的两端的相对位置,细绳的长度不变,猜想你的椭圆会发生怎样的变化? 得出怎样三个结论？3、椭圆的定义：4、在解析几何中，如何建立恰当的坐标系能使椭圆的方程简单，请讨论？5、请在你建立的坐标系下推导椭圆的方程：6、椭圆标准方程: ， 。

7、已知椭圆标准方程，如何判断焦点位置？8、在椭圆中a 、b 、c 的关系及其几何意义是什么？五、导练展示：1、方程191622=+y x 表示曲线为 ，焦点坐标为 2、方程62322=+y x 表示曲线为 ，焦点坐标为3、方程8)2()2(2222=+++-+y x y x 表示曲线是 ，标准方程是 若将等式右边的数改为4,2又是何曲线？4、求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点p 到两焦点距离的和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2），并且椭圆经过点P )25,23(-. 六、 达标检测：课本P36 1、2七、反思小结：。

《2.1.1 椭圆及其标准方程》教案及课堂实录保俶塔实验学校张小妹一、教学目标1．知识目标：理解椭圆的定义；明确焦点、焦距的概念；了解用椭圆定义推导椭圆的标准方程；2．能力目标：学生感知数学知识与实际生活的普遍联系，培养学生数形结合的数学思想方法，提高学生的学习能力；3．情感目标：培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。

二、重点、难点及关键重点：椭圆的定义和标准方程的应用；难点：椭圆标准方程的推导；三、教学方法启发、探索四、教学媒体运用多媒体教学五、教学过程1．创设情境，引入概念。

首先用几何画板展示地球绕太阳公转的轨迹，形象地给出椭圆，然后请同学们列举一些实际生活中的椭圆形的例子。

以生活中的椭圆引入。

此时教师指出：椭圆在实际生活中是很常见的，学习椭圆的有关知识也是十分必要的。

那么如何统一地研究生活中出现的各种各样的椭圆呢？这就是我们今天要探究的----椭圆及其标准方程。

设计意图：本环节由实际例子引入概念，使学生易于接受，同时激发出学生的求知欲，提高学习椭圆的兴趣，也使他们的注意力集中到课堂上。

课堂实录：师：在上课之前呢，我们先来看一下太阳公转的轨迹 (几何画板展示) 。

思考太阳公转的轨迹是什么？生：椭圆。

师：是的。

其实生活中椭圆形状的东西也很多，如我们的操场，我们吃的西瓜、鸡蛋等。

今天我们就来研究下椭圆及其标准方程。

2．尝试探究，形成概念——动手作图。

工具：纸板、细绳、图钉作法：用图钉穿过准备好的细绳两端的套内，并把图钉固定在两个定点上，然后用笔尖绷紧绳子，使笔尖慢慢移动，观察画出的是什么样的一条曲线。

完成表格：提出问题：M点在动的时候，有没有发现什么是不变的？1． F1、F2——定点。

2．∣MF1∣+∣MF2∣=2a。

给出椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和是常数（大于∣F1F2∣）的点的轨迹。

两个定点F1、F2称为焦点，两焦点之间的距离称为焦距，记为2c。

2.2.1 椭圆的标准方程学习目标核心素养1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题．(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)1.通过椭圆的定义、标准方程的学习，培养学生的数学抽象素养.2.借助于标准方程的推导过程，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.新知初探1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．(2)相关概念：两个定点F1，F2叫做椭圆的，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的．思考1：椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？2.椭圆的标准方程焦点位置在x轴上在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形焦点坐标(±c,0)(0，±c) a，b，c的关系a2＝初试身手1．已知点M 到两个定点A (－1,0)和B (1,0)的距离之和是定值2，则动点M 的轨迹是( ) A 一个椭圆 B ．线段ABC ．线段AB 的垂直平分线D ．直线AB2．以下方程表示椭圆的是( ) A.x 225＋y 225＝1 B.2x 2－3y 2＝2 C.－2x 2－3y 2＝－1D.x 2n 2＋y 2n 2＋2＝0 3．以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程是( ) A.x 25＋y 24＝1 B.x 23＋y 24＝1 C.x 25＋y 24＝1或x 23＋y 24＝1 D.x 29＋y 24＝1或x 23＋y 24＝1 合作探究类型1 求椭圆的标准方程例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)． 规律方法确定椭圆方程的“定位”与“定量”提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )． 跟踪训练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)； (2)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142.类型2 椭圆的定义及其应用 [探究问题]1．如何用集合语言描述椭圆的定义？2．如何判断椭圆的焦点位置？3．椭圆标准方程中，a ，b ，c 三个量的关系是什么？例2 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 为椭圆上的点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．母题探究(改变问法)在例题题设条件不变的情况下，求点P的坐标．类型3 与椭圆有关的轨迹问题例3如图，圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．规律方法在求动点的轨迹方程时，要对动点仔细分析，当发现动点到两定点的距离之和为定值且大于两定点之间的距离时，由椭圆的定义知其轨迹是椭圆，这时可根据定值及两定点的坐标分别求出a，c，即可写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫定义法.跟踪训练2．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．规律方法椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识.对于求焦点三角形的面积，若已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12ab sin C 把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，利用定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a 及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，这样可以减少运算量. 当堂达标 1．思考辨析(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． ( ) (2)椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标是(±3,0)． ( )(3)y 2a 2＋x 2b2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆． ( )2．已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为( )A ．1B ．5C ．2D ．73．椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1的周长为( )A ．10B ．20C ．40D ．504．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆C 上的点A ⎝⎛⎭⎫1，32到F 1，F 2两点的距离之和为4，则椭圆C 的方程是________．参考答案新知初探 1．(1)和等于常数 (2)焦点 焦距思考1：[提示] 2a 与|F 1F 2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：思考2：[提示] a ，b 的值及焦点所在的位置． 初试身手 1．【答案】B【解析】定值2等于|AB |，故点M 只能在线段AB 上． 2．【答案】C【解析】A 中方程为圆的方程，B ，D 中方程不是椭圆方程． 3．【答案】C【解析】若椭圆的焦点在x 轴上，则c ＝1，b ＝2，得a 2＝5，此时椭圆方程是x 25＋y 24＝1；若焦点在y 轴上，则a ＝2，c ＝1，则b 2＝3，此时椭圆方程是x 23＋y 24＝1.] 合作探究类型1 求椭圆的标准方程例1 解：(1)由于椭圆的焦点在x 轴上， ∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵2a ＝(5＋4)2＋(5－4)2＝10，∴a ＝5. 又c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)由于椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.(3)法一：①当焦点在x 轴上时，a b依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ (3)2a 2＋(－2)2b2＝1，(－23)2a2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b2＝1，1a 2＋(－23)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15.因为a >b >0，所以无解．综上，所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝115，n ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.跟踪训练1．解：(1)法一：因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆的定义知2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，所以a ＝6. 又c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝4 2. 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.法二：因为椭圆的焦点在y 轴上，所以可设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧18a 2＋16b 2＝1，a 2＝b 2＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝32.所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.(2)法一：若椭圆的焦点在x 轴上，a b由已知条件得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎨⎧1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.同理可得：焦点在y 轴上的椭圆不存在． 综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )． 将两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.类型2 椭圆的定义及其应用 [探究问题]1．[提示] P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a,2a ＞|F 1F 2|}．2．[提示] 判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x 2项和y 2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．3．[提示] 椭圆的标准方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆．a ，b ，c (都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以a >b ，a >c ，且a 2＝b 2＋c 2(如图所示)．例2 解：由已知a ＝2，b ＝3， 得c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2， 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|·cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|. ①由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4，即|PF 2|＝4－|PF 1|. ②②代入①解得|PF 1|＝65.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335，即△PF 1F 2的面积是35 3.母题探究解：设P 点坐标为(x 0，y 0)．由本例解答可知S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝353，解得|y 0|＝353，即y 0＝±353， 将y 0＝±353代入x 24＋y 23＝1得x ＝±85，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫±85，±353. 类型3 与椭圆有关的轨迹问题例3 解：由垂直平分线性质可知|MQ |＝|MA |， |CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |. ∴|CM |＋|MA |＝5.∴M 点的轨迹为椭圆，其中2a ＝5， 焦点为C (－1,0)，A (1,0)， ∴a ＝52，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214.∴所求轨迹方程为：x 2254＋y 2214＝1.跟踪训练2．解：如图所示，设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，由题意动圆M 内切于圆C 1， ∴|MC 1|＝13－r . 圆M 外切于圆C 2，∴|MC 2|＝3＋r .∴|MC 1|＋|MC 2|＝16＞|C 1C 2|＝8，∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆， 且2a ＝16,2c ＝8， b 2＝a 2－c 2＝64－16＝48， 故所求轨迹方程为x 264＋y 248＝1.当堂达标1．[提示] (1)× 需2a ＞|F 1F 2|. (2)× (0，±3)．(3)× a ＞b ＞0时表示焦点在y 轴上的椭圆． 2．【答案】D【解析】由|PF 1|＋|PF 2|＝10可知到另一焦点的距离为7. 3．【答案】B【解析】由椭圆的定义得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝10，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝10，所以△ABF 1的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝20，故选B. 4．【答案】x 24＋y 23＝1【解析】由|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4得a ＝2，∴原方程化为x 24＋y 2b 2＝1，将A ⎝⎛⎭⎫1，32代入方程得b 2＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.。

2.1.1 椭圆及其标准方程学习目标1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程和椭圆标准方程的推导与化简过程．2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形，会用待定系数法求椭圆的标准方程．重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式．难点：椭圆标准方程的建立和推导．教材新知知识点1 椭圆的定义思维导航思维导航在生活中，我们对椭圆并不陌生．油罐汽车的贮油罐横截面的外轮廓线、天体中一些行星和卫星运行的轨道都是椭圆；灯光斜照在圆形桌面上，地面上形成的影子也是椭圆形的．那么椭圆是怎样定义的？怎样才能画出椭圆呢？给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，能画出椭圆吗？新知导学1．我们已知平面内到两定点距离相等的点的轨迹为______________________________．也曾讨论过到两定点距离之比为某个常数的点的轨迹的情形．那么平面内到两定点距离的和(或差)等于常数的点的轨迹是什么呢？2．平面内与两个定点F1、F2的距离的_____等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的______，_______间的距离叫做椭圆的焦距．当常数等于|F1F2|时轨迹为__________，当常数小于|F1F2|时，轨迹_______．牛刀小试1．已知F1、F2是两点，|F1F2|＝8，(1)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则点M的轨迹是______.(2)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则点M的轨迹是_______.知识点2 椭圆的标准方程思维导航思维导航1．如何建立坐标系才能使椭圆的方程比较简单．答：求椭圆的方程，首先要建立直角坐标系，由于曲线上同一个点在不同的坐标系中的坐标不同，曲线的方程也不同，为了使方程简单，必须注意坐标系的选择．一般情况下，应使已知点的坐标和直线(或曲线)的方程尽可能简单，在求椭圆的标准方程时，选择x 轴经过两个定点F 1、F 2，并且使坐标原点为线段F 1F 2的中点，这样两个定点的坐标比较简单，便于推导方程．2．在推导椭圆方程时，为何要设|F 1F 2|＝2c ，常数为2a ？为何令a 2－c 2＝b 2？答：在求方程时，设椭圆的焦距为2c (c >0)，椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为2a (a >0)，这是为了使推导出的椭圆的方程形式简单．令a 2－c 2＝b 2是为了使方程的形式整齐而便于记忆．3．推导椭圆方程时，需化简无理式，应注意什么？答：(1)方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移到另一侧；(2)方程中有两个根式时，需将它们放在方程的两侧，并使其中一侧只有一个根式，然后两边平方．4．椭圆的标准方程 ，参数a 、b (a >b >0)有什么意义？方程x 2a 2＋y 2b 2＝1与y 2a 2＋x 2b 2＝1有何不同？a 、b 、c 满足什么关系？答：a 表示椭圆上的点到两焦点距离和的一半，a 、b 、c 的关系如图．当a >b >0时，方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，方程y 2a 2＋x 2b 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，即焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就大．牛刀小试2．椭圆x 225＋y 2169＝1的焦点坐标是( ) A ．(±5,0)B ．(0，±5)C ．(0，±12)D ．(±12,0)3．椭圆x 216＋y 27＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．44．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于8；(2)两个焦点的坐标分别为(0，－4)，(0,4)，并且椭圆经过点(3，－5)．命题方向1 椭圆的定义例1 (1)椭圆x 225＋y 216＝1上一点M 到一个焦点的距离为4，则M 到另一个点的距离为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．2(2)如果方程x 24－m ＋y 2m －3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为( ) A ．3<m <4B ．m >72C ．3<m <72D ．72<m <4 方法规律总结1.由椭圆的标准方程可求a 、b 、c 的值，进而可求焦点坐标等．2.椭圆标准方程中，哪个项的分母大，焦点就在哪个轴上．3.当问题中涉及椭圆上的点到焦点距离时，注意考虑可否利用定义求解．跟踪训练1(1)对于常数m 、n ，“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)椭圆x 225＋y 29＝1的两焦点为F 1、F 2，一直线过F 2交椭圆于P 、Q 两点，则△PQF 1的周长为__________.命题方向2 求椭圆的标准方程例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4，32)；(3)经过两点(2，－2)，(－1，142)．方法规律总结 求椭圆的标准方程常用的方法有：定义法和待定系数法．无论何种方法都应做到：①先定位：即确定焦点的位置，以便正确选择方程的形式，如果不能确定焦点的位置，就需分类讨论，或者利用椭圆方程的一般形式(通常设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B ))，避免讨论；②后定量：根据已知条件，列出方程组求解未知数．跟踪训练2(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(0，－2)和(0,2)，且过点(－32，52)，则椭圆的标准方程为__________.(2)已知椭圆经过点(3，12)，(152，－14)，求其标准方程．命题方向3 焦点三角形问题例3 如图所示，已知点P 是椭圆y 25＋x 24＝1上的点，F 1和F 2是焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积．方法规律总结 在解焦点三角形问题时，一般有两种方法：(1)几何法：利用两个关系式：①|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)；②利用正余弦定理可得|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|的关系式，然后求出|PF 1|，|PF 2|.但是，一般我们不直接求出，而是根据需要，把|PF 1|＋|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|，|PF 1|·|PF 2|看成一个整体来处理．(2)代数法：将P 点坐标设出来，利用条件，得出点P 的坐标间的关系式，再由点P 在椭圆上，代入椭圆方程，联立方程组，解出点P 的纵坐标，然后求出面积．跟踪训练3已知椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为( )A ．9B ．12C ．10D ．8命题方向4 定义法解决轨迹问题例4 已知B、C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．方法规律总结如果在条件中有两定点，涉及动点到两定点的距离，可考虑能否运用椭圆定义求解．利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程．跟踪训练4已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆和圆C1内切，和圆C2外切，求动圆圆心的轨迹方程．参考答案新知导学1．连结这两点的线段的垂直平分线2．和 焦点 两焦点 线段|F 1F 2| 不存在牛刀小试1．【答案】 (1)以F 1、F 2为焦点，焦距为8的椭圆 (2)线段F 1F 2【解析】 (1)因为|F 1F 2|＝8且动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝10>8＝|F 1F 2|，由椭圆定义知，动点M 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，焦距为8的椭圆．(2)因为|MF 1|＋|MF 2|＝8＝|F 1F 2|，所以动点M 的轨迹是线段F 1F 2.牛刀小试2．【答案】 C【解析】 ∵椭圆方程为x 225＋y 2169＝1， ∴椭圆焦点在y 轴上，又∵a ＝13，b ＝5，∴c ＝12，∴椭圆焦点坐标为(0，±12)．3．【答案】 B【解析】 由题设条件知△ABF 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16.4．解：(1)椭圆的焦点在x 轴上，设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知，得2a ＝8，得a ＝4.又因为c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝42－32＝7.因此，所求椭圆的标准方程为x 216＋y 27＝1. (2)椭圆的焦点在y 轴上，设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知，得c ＝4.因为c 2＝a 2－b 2，所以a 2＝b 2＋16. ①因为点(3，－5)在椭圆上， 所以(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1，即5a 2＋3b2＝1.将①式代入②，得5b 2＋16＋3b 2＝1， 解得b 2＝4(b 2＝－12舍去)．由①得a 2＝4＋16＝20.因此，所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1. 命题方向1 椭圆的定义例1 【答案】 (1)B (2)C【解析】 (1)设椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，不妨令|MF 1|＝4， 由|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，得|MF 2|＝10－|MF 1|＝10－4＝6，故选B ．(2)由题意，得4－m >m －3>0，∴3<m <72. 跟踪训练1【答案】 (1)B (2)20【解析】 (1)若方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆，则m >0，n >0，从而mn >0，但当mn >0时， 可能有m ＝n >0，也可能有m <0，n <0，这时方程mx 2＋ny 2＝1不表示椭圆，故选B ．(2)如图，由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝|QF 1|＋|QF 2|＝2a ＝10，∴△PQF 1的周长等于|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝|PF 1|＋|PF 2|＋|QF 1|＋|QF 2|＝4a ＝20.命题方向2 求椭圆的标准方程例2 解：(1)由题意可知椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝4，2a ＝10，∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. (2)解法一：∵椭圆的焦点在y 轴上，∴可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由椭圆的定义知2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，所以a ＝6.又c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝32.∴椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1. 解法二：∵椭圆的焦点在y 轴上，∴可设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 18a 2＋16b 2＝1a 2＝b 2＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36b 2＝32. ∴椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1. (3)解法一：若椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知条件得⎩⎨⎧ 4a 2＋2b 2＝11a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8b 2＝4. ∴所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.同理可得：焦点在y 轴上的椭圆不存在.综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1. 解法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )． 将两点(2，－2)，(1，142)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4A ＋2B ＝1A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧ A ＝18B ＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1. 跟踪训练2(1)【答案】y 210＋x 26＝1 【解析】(定义法)由椭圆的定义知，2a ＝(－32)2＋(52＋2)2＋(－32)2＋(52－2)2＝210， ∴a ＝10.又c ＝2，∴b 2＝6.又∵椭圆的焦点在y 轴上，∴所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1. (2)解：(待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，把点(3，12)，(152，－14)分别代入方程， 列方程组为⎩⎨⎧ 3A ＋B 4＝1，15A 4＋B 16＝1，解得A ＝14，B ＝1， ∴椭圆标准方程为x 24＋y 2＝1. 命题方向3 焦点三角形问题 例3 解：在椭圆y 25＋x 24＝1中，a ＝5，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝1，又∵点P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25 ① 由余弦定理知|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos30° ＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4 ②①式两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝20③ ③－②得(2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin30°＝8－4 3. 跟踪训练3 【答案】 A【解析】 解法一：几何法如图，由已知得a ＝5，b ＝3，∴c ＝4.则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝64. 由此可得|PF 1||PF 2|＝18，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|＝9.解法二：代数法设点P 坐标为(x ，y )，由已知得a ＝5，b ＝3，∴c ＝4.∵PF 1⊥PF 2，∴点P 在以F 1F 2为直径的圆上，即：x 2＋y 2＝16，又∵点P 在椭圆上，所以x 225＋y 29＝1， 联立方程组得：⎩⎪⎨⎪⎧ x 225＋y 29＝1，x 2＋y 2＝16，解得：y ＝±94， ∴S △F 1PF 2＝12|F 1F 2||y P |＝12×8×94＝9. 命题方向4 定义法解决轨迹问题例4 解：以过B 、C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，如图所示．由|BC |＝8，可知点B (－4,0)，C (4，0)，c ＝4.由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，|BC |＝8，得|AB |＋|AC |＝10.因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，但点A 不在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．跟踪训练4解：如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为r.由题意得动圆M和内切于圆C1，∴|MC1|＝13－r.圆M外切于圆C2，∴|MC2|＝3＋r.∴|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8，∴动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，b2＝a2－c2＝64－16＝48，故所求椭圆方程为x264＋y248＝1.。

2.1.1椭圆及其标准方程（三）教学目标：理解椭圆的定义及焦点、焦距的概念，掌握椭圆的标准方程及其推导方法. 重点难点分析教学重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程. 教学难点：椭圆标准方程的推导. 教学设计： 【讲授新课】 【复习引入】1．椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 12222=+bx a y （a ＞b ＞0）【讲授新课】.,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ''解: (相关点法)设点M (x , y ),点P (x 0, y 0),则x ＝x 0, y ＝ 20y得x 0＝x ， y 0＝2y.∵x 02＋y 02＝4, 得 x 2＋(2y )2＝4,即.142=+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆. 解法二:设线段PQ 中点为M (x , y )．∵圆的参数方程：⎩⎨⎧==.sin 2cos 2θθy x ，∴点M 轨迹的参数方程：⎩⎨⎧==.sin cos 2θθy x ，M 点的轨迹方程：.1222=+⎪⎭⎫⎝⎛y x.94)6,0()6,0(.2的轨迹方程求顶点，的斜率的乘积是、另两边和的两个顶点坐标分别是例C BC AC B A ABC --∆解:设顶点C 的坐标为(x , y ).由题意得.9466-=+⋅-x y x y y O F 1F 2x Mc cxF 2F 1O y M c cy xPO P 'M 6yxBAO-6∴顶点C 的轨迹方程为1368122=+y x (x ≠0).(y ≠±6) .,94,)0,6()0,6(的轨迹方程求顶点的斜率的乘积是、另两边和的两个顶点坐标分别是练习C BC AC B A ABC --∆1163622=+y x (x ≠±6)(y ≠0)课堂练习1. 如图，线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，|AB |＝5，点M 是AB 上一点.且|AM |＝2，点M 随线段AB 的运动而变化，求点M 的轨迹方程.)(14 .2212122==+PF P x F F F y x ，则交点为一个轴的直线与椭圆相交，作垂直于，过，的两个焦点为椭圆4 D. 27 C. 3 B. 23A. 【课堂小结】1.两种椭圆的标准方程：当焦点在x 轴上，则标准方程为12222=+b y a x （a ＞b ＞0）当焦点在y 轴上，则标准方程为12222=+bx a y （a ＞b ＞0）2.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法【课后作业】1. 阅读教科书；2. 《习案》作业十.B A O6-6y x y x BAO M。

2.1.1 椭圆及其标准方程（第一课时）导学案【学法指导】1.仔细阅读教材（P28—P30），独立完成导学案，规范书写，用红色笔勾画出疑惑点，课上讨论交流。

2.通过动手画出椭圆图形，研究椭圆的标准方程。

【学习目标】1.掌握椭圆的定义，标准方程的两种形式。

2.会根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程。

【学习重、难点】学习重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．学习难点：椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因．【预习案】预习一：椭圆的定义（仔细阅读教材P28，回答下列问题）1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ． 点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数． 2.平面内与两个定点1F ，2F 的 的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的 ， 叫做椭圆的焦距。

3.将“大于|1F 2F |”改为“等于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨迹是 将“大于|1F 2F |”改为“小于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨迹存在吗？结论：在椭圆上有一点P ，则|1PF |+|2PF |= (a2>|1F 2F | )。

a 2>|1F 2F |时，点的轨迹为 ； a 2=|1F 2F |时，点的轨迹为 ； a2<|1F 2F |时，点的轨迹 。

预习二：椭圆的标准方程（仔细阅读教材P40，回答下列问题）结论：2x ，2y 分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。

【探究案】探究一、椭圆定义的应用 1.设P 是椭圆1162522=+yx 上的任意一点，若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则21PF PF +等于（ ）A.10B.8C.5D.4 （解法指导：由椭圆的标准方程找到a ，根据|1PF |+|2PF |=a 2。

2. 1.1椭圆的标准方程一预习目标理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．二预习内容1.什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？．2.圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？3．椭圆的定义：---------------------------------------------------------------- 轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的-------------，两焦点的距离叫做 ----------------。

4. 椭圆标准方程的推导：①建系；以-----------为轴，----------- 为轴，建立直角坐标系，则的坐标分别为：--------------------②写出点集；设P（）为椭圆上任意一点，根据椭圆定义知： ------------------------------③坐标化；④化简（注意根式的处理和令a2-c2=b2）类似的，焦点在----- 轴上的椭圆方程为：-------------------------- 其中焦点坐标为：--------------------------三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1..通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力。

2通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力．重点：椭圆的定义的理解及其标准方程记忆难点：椭圆标准方程的推导二、学习过程1.思考：(1)动点是在怎样的条件下运动的？(2)动点运动出的轨迹是什么？得出结论：在平面上到两个定点F1，F2距离之和等于定值2a的点的轨迹为2．推导椭圆的标准方程．1)建系：以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，并设椭圆上任意一点的坐标为M(x，y)，设两定点坐标为：F1(-c，0)，F2(c，0)，2)则M满足：|MF1|+|MF2|=2a，思考：我们要化简方程就是要化去方程中的根式，你学过什么办法？a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．b2=a2-c2得：() 222210 x ya ba b+=>>3.例题例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫-⎪⎝⎭，求它的标准方程．设椭圆的标准方程为--------------------，因点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上， 代入化简可得标准方程。

《椭圆及其标准方程》教案（通用4篇）《椭圆及其标准方程》篇1教学目标:(一)知识目标:掌握椭圆的定义及其标准方程,能正确推导椭圆的标准方程.(二)能力目标:培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力;培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力.(三)情感目标:激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神.教学重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程.教学难点:椭圆标准方程的推导.教学方法:探究式教学法,即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果,引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律,使学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力.教具准备:多媒体和自制教具:绘图板、图钉、细绳.教学过程:(一)设置情景,引出课题问题:XX年10月12日上午9时,“神州六号”载人飞船顺利升空,实现多人多天飞行,标志着我国航天事业又上了一个新台阶,请问:“神州六号”飞船的运行轨道是什么?多媒体展示“神州六号”运行轨道图片.(二)启发诱导,推陈出新复习旧知识:圆的定义是什么?圆的标准方程是什么形式?提出新问题:椭圆是怎么画出来的?椭圆的定义是什么?它的标准方程又是什么形式?引出课题:椭圆及其标准方程(三)小组合作,形成概念动画演示椭圆形成过程.提问:点m运动时,f1、f2移动了吗?点m按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆?下面请同学们在绘图板上作图,思考绘图板上提出的问题:1.在作图时,视笔尖为动点,两个图钉为定点,动点到两定点距离之和符合什么条件?其轨迹如何?2.改变两图钉之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗?3.当绳长小于两图钉之间的距离时,还能画出图形吗?学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程,得出这样三个结论:椭圆线段不存在并归纳出椭圆的定义:平面内与两个定点、的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.(四)椭圆标准方程的推导:1.回顾:求曲线方程的一般步骤:建系、设点、列式、化简.2.提问:如何建系,使求出的方程最简?由各小组讨论,请小组代表汇报研讨结果.各组分别选定一种方案:(以下过程按照第一种方案)①建系:以所在直线为x轴,以线段的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系。

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校2.1.1《椭圆及其标准方程（1）》导学案学习目标：1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；2．掌握椭圆的定义；3．掌握椭圆的标准方程．自主学习：(认真自学课本P 32-P 34)新知1：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．思考：若将常数记为2a 当122a F F =时，其轨迹为_________；122a F F <时，其轨迹为_________． 试试：已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是_________． 应用椭圆的定义注意两点：① 分清动点和定点； ②看是否满足常数122a F F >．新知2：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程()222210x y a b a b+=>>,其中222a b c =+.若焦点在y 轴上，两个焦点坐标_________，则此时椭圆的标准方程是_________． 预习自测:1、设P 是椭圆1162522=+y x 上的一点，21,F F 是椭圆的两个焦点， =+21PF PF _________________________2、椭圆的焦点坐标为(-6，0)，(6，0)，=+21PF PF 20则其方程为_________.3、椭圆221259x y +=的焦点坐标____________________________. 合作探究:例1．(教材P 34例1)已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛--23,25，求它的标准方程． 例2．焦点在x 轴上的椭圆过点 ()2,0-，(2,0)，(0,1)，求它的标准方程．目标检测:1．平面内一动点M 到两定点1F 、2F 距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为( )．A ．椭圆B ．圆C ．无轨迹D ．椭圆或线段或无轨迹2. 如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是( )．A ．4B ．14C ．12D ．83. 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是( )．A ．B ．6C ．D ．124. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；⑵4,a c ==y 轴上；⑶10,a b c +==。

课题：2.2.1 椭圆及其标准方程（第一课时）【课标要求】1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程． 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．【考纲要求】（1）掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程。

（2）了解圆锥曲线的初步应用。

编写者试图通过本节教材，使学生系统地掌握坐标法并进一步激活数形结合的数学思想。

【教学目标叙写】根据学生在日常生活中的经验积累，对椭圆形状有了初步的认识。

通过典故的课堂引入及从圆和相关的图片引入着手学生亲自体验画椭圆，激发学习的兴趣和研究椭圆定义的求知欲，去发现椭圆定义的本质，探索图形变化规律，掌握椭圆的概念。

从而推导出椭圆标准方程并会利用待定系数法求椭圆标准方程。

【使用说明与学法指导】1.阅读探究课本P38-P40的基础知识，自主高效预习；2.阅读导学案预习案部分的内容，自主自主完成各项要求；3.结合课本基础知识和例题及预习案，完成预习自测题；对合作探究部分认真审题，做不好的上课时组内讨论。

4.本导学案中题号后凡标明A ，B ，C 的只要求相应层次的学生完成即可。

5.将预习中不能解决的问题标识出来，并写到后面“我的疑惑”处，准备课上讨论质疑。

【预习案】一. 温故夯基1．圆心为O ，半径为r 的圆上的点M 满足集合P ＝{M||MO|＝r}，其中r>0. 2．求曲线方程的基本方法有：_________，_________，__________ 二．知新益能1．课堂引入：这是一个发生在古希腊的故事：西西里岛的一个岩洞里，被关押的犯人不堪忍受这非人的待遇，他们偷偷聚集在岩洞的最里面，小声议论越狱和暴动的办法。

但是，他们商量好的计划很快就被看守人员掌握了，看守人员提前采取了措施，使商量好的计划无法实行，犯人们开始互相猜疑，认为一定是出了叛徒，但是不管怎么查找，也找不到告密者是谁，这究竟是怎么回事呢？原来，并没有人当叛徒去告密，当然找不到告密者了。

2．1.1 椭圆及其标准方程学习目标：1.掌握椭圆的定义，会用待定系数法求椭圆的标准方程．2．了解椭圆标准方程的推导、坐标法的应用．预习提示：1．给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板能画出椭圆吗？2．在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足的几何条件吗？3．观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程简单？4．椭圆方程中，a 、b 以及参数c 有什么几何意义，它们满足什么关系？5．椭圆定义中，为什么要限制常数|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＞|F 1F 2|?课堂探究：例1、 (1)已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，则到F 1、F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是________；(2)椭圆x 216＋y 225＝1的两焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 1的周长为________．变式训练：椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8D ．32例2、 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两焦点坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且过点(5,0)；(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)和(0,1)两点．变式训练：本例(2)若改为“经过(－23，1)和(3，－2)两点”，其他条件不变，试求椭圆的标准方程．例3、已知圆x 2＋y 2＝9，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，垂足为P ′，点M在PP ′上，并且PM →＝2MP′→，求点M 的轨迹．变式训练：设A 是椭圆x 225＋y 216＝1与x 轴的左交点，P 是椭圆上一个动点，试求AP 中点M 的轨迹方程．例4、 已知B 、C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长为18，求这个三角形顶点A 的轨迹方程．变式训练：已知动圆与定圆C ：x 2＋y 2＋4y －32＝0内切，且过定圆内的一个定点A (0,2)，求动圆圆心P 的轨迹方程．当堂达标：1．平面内到两定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离之和为4的点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．圆D ．以上都不对2．椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标是( ) A ．(±4,0) B ．(0，±4) C ．(±3,0) D ．(0，±3) 3．一椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(0，－8)，F 2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )A.x 2100＋y 236＝1B.y 2400＋x 2336＝1C.y 2100＋x 236＝1D.y 220＋x 212＝1 4．已知一椭圆标准方程中b ＝3，c ＝4，求此椭圆的标准方程．答案：1．【提示】固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键．2．【提示】笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长．3．【提示】以经过椭圆两焦点F1、F2的直线为x(y)轴，线段F1F2的垂直平分线为y(x)轴建系．4．【提示】椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆，a、b、c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半，叫半焦距．a、b、c始终满足关系式a2＝b2＋c2.5．【提示】只有当2a＞|F1F2|时，动点M的轨迹才是椭圆；当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2；当2a＜|F1F2|时满足条件的点不存在．课堂探究：例1、【自主解答】(1)由于动点到F1、F2的距离之和恰巧等于F1F2的长度，故此动点的轨迹是线段F1F2.(2)由椭圆的定义，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF1|＝2a，∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＝20，∴△ABF1的周长为20.【答案】(1)线段F1F2(2)20变式训练：【解析】如图，F2为椭圆右焦点，连MF2，则ON是△F1MF2的中位线，∴|ON|＝12|MF2|，又|MF 1|＝2，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，∴|MF 2|＝8，∴|ON |＝4.【答案】 B例2、【自主解答】 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， ∴2a ＝(5＋4)2＋ (5－4)2＝10，∴a ＝5.又c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9，故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. (2)法一 当椭圆的焦点在x 轴上时，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)． ∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1. ∴所求椭圆的方程为：x 24＋y 2＝1； 当椭圆的焦点在y 轴上时， 设方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)． ∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，∴⎩⎨⎧ 0a 2＋4b 2＝1，1a 2＋0b 2＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2.与a ＞b 矛盾，故舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. 法二 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )．∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ＝1，n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝14，n ＝1，综上可知，所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1. 变式训练：【解】 设椭圆的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，将点(－23，1)，(3，－2)代入上述方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 12m ＋n ＝1，3m ＋4n ＝1，解得⎩⎨⎧ m ＝115，n ＝15，故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1. 例3、【自主解答】 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝x ，y 0＝3y . ∵P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝9上，∴x 20＋y 20＝9. 将x 0＝x ，y 0＝3y 代入得x 2＋9y 2＝9，即x 29＋y 2＝1. ∴点M 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2＝1. 变式训练：【解】 设P (x 0，y 0)，AP 的中点M (x ，y )，则⎩⎨⎧ x ＝x 0－52，y ＝y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2x ＋5，y 0＝2y ，代入椭圆方程x 225＋y 216＝1， 得(2x ＋5)225＋y 24＝1， 所以AP 中点M 的轨迹方程是(2x ＋5)225＋y 24＝1. 例4、【自主解答】 以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的中点为原点，建立平面直角坐标系．由|BC |＝8，可知点B (－4,0)，C (4,0)．由|AB |＋|BC |＋|AC |＝18，得|AB |＋|AC |＝10＞|BC |＝8.因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两个焦点的距离之和为2a ＝10，即a ＝5，且点A 不能在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)． 变式训练：【解】 如图所示．由定圆C ：x 2＋(y ＋2)2＝36知圆心C (0，－2)，半径r ＝6.设动圆圆心P 的坐标为(x ，y )，半径为|P A |.∵圆P 与圆C 内切，∴|PC |＝r －|P A |，即|P A |＋|PC |＝r ＝6.∴动圆圆心P 到两定点A (0,2)，C (0，－2)的距离之和为6，且6＞4.故动圆圆心P 的轨迹是以A ，C 为焦点的椭圆，且2a ＝6,2c ＝4，即a ＝3，c ＝2，∴b 2＝5.∴ 所求动圆圆心P 的轨迹方程为x25＋y29＝1. 当堂达标：1．【解析】 因|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|＝4，故点M 的轨迹是线段．【答案】 B2．【解析】 ∵a 2＝25，b 2＝16且焦点在y 轴上，∴c ＝3，焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)．【答案】 D3．【解析】 由题意c ＝8，a ＝10且焦点在y 轴上，∴b 2＝a 2－c 2＝100－64＝36，∴方程为y 2100＋x 236＝1. 【答案】 C4．【解】 ∵b 2＝9，c 2＝16，∴a 2＝b 2＋c 2＝25.∵此椭圆的焦点不确定，∴标准方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1.。

2．2.1椭圆及其标准方程1．椭圆(1)□01平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，□02这两个定点叫做椭圆的焦点，□03两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．应用定义解题时，不要漏掉|MF1|＋|MF2|＝2a□04>|F1F2|这一个条件．(2)集合的语言描述为P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a□05>|F1F2|}．2．椭圆的标准方程1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.()(2)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(3)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式：Ax2＋By2＝1(其中A>0，B>0，A≠B)．()答案(1)√(2)×(3)√2．做一做(1)(教材改编P38“椭圆的定义”)设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．直线C．圆D．线段(2)a＝5，c＝3，焦点在x轴上的椭圆标准方程为________________________．(3)椭圆的方程为y29＋x24＝1，则a＝______，b＝______，c＝________.(4)椭圆x225＋y29＝1上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为________．答案(1)A(2)x225＋y216＝1(3)325(4)6解析(1)∵|MF1|＋|MF2|＝10>|F1F2|＝6，由椭圆定义可知，动点M的轨迹为椭圆．探究1椭圆的定义例1已知△ABC的周长是8，且B(－1,0)，C(1,0)，则顶点A的轨迹方程是()A.x29＋y28＝1(x≠±3) B.x29＋y28＝1(x≠0)C.x24＋y23＝1(y≠0) D.x23＋y24＝1(y≠0)[解析] ∵|AB|＋|AC|＝8－|BC|＝6>|BC|＝2，∴顶点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，设其方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则a＝3，b＝2 2.又∵A，B，C三点不共线，∴顶点A的轨迹方程为x29＋y28＝1(x≠±3)．[答案] A拓展提升1.对椭圆定义的三点说明(1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．(2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．(3)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件．2．椭圆定义的两个应用(1)若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则动点M的轨迹是椭圆．(2)若点M在椭圆上，则|MF1|＋|MF2|＝2a.【跟踪训练1】已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P 过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．解设圆P的半径为r.又圆P过点B，∴|PB|＝r.又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10.∴两圆的圆心距|P A|＝10－r，即|P A|＋|PB|＝10(大于|AB|)．∴点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．∴2a＝10,2c＝|AB|＝6，∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.即点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1. 探究2 椭圆标准方程的应用例2 若方程x 216－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．－9<m <16B ．－9<m <72 C.72<m <16D ．m >72[解析]依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧16－m >0，m ＋9>0，m ＋9>16－m ，解得72<m <16. [答案] C[条件探究] 若将例2条件“y 轴”改为“x 轴”，其他条件不变，试求实数m 的取值范围．解依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧16－m >0，m ＋9>0，16－m >m ＋9，解得－9<m <72.[结论探究] 如果把例2的问题改为“求该椭圆的焦距的取值范围”，怎样解答呢？解 由题意得c 2＝(m ＋9)－(16－m )＝2m －7， 所以c ＝2m －7，又72<m <16，所以0<2m －7<25，c ∈(0,5)， 所以焦距2c ∈(0,10)． 拓展提升方程x 2m ＋y 2n ＝1表示椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m ≠n ，表示焦点在x 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m >n ，表示焦点在y 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m <n .【跟踪训练2】 (1)“3<m <7”是“方程x 27－m ＋y 2m －3＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析由方程x 27－m ＋y 2m －3＝1表示的曲线是椭圆，可得⎩⎪⎨⎪⎧7－m >0，m －3>0，7－m ≠m －3，解得3<m <7且m ≠5，所以3<m <7且m ≠5⇒3<m <7， 而3<m <7推不出3<m <7且m ≠5.所以，“3<m <7”是“方程x 27－m ＋y 2m －3＝1表示椭圆”的必要不充分条件．(2)已知椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，并且焦距为6，求实数m 的值． 解 ∵2c ＝6，∴c ＝3.当椭圆的焦点在x 轴上时，由椭圆的标准方程知a 2＝25，b 2＝m 2 ，a 2＝b 2＋c 2，得25＝m 2＋9，∴m 2＝16，又m >0，故m ＝4.当椭圆的焦点在y 轴上时，由椭圆的标准方程知a 2＝m 2，b 2＝25, a 2＝b 2＋c 2，得m 2＝25＋9＝34，又m >0，故m ＝34.综上，实数m 的值为4或34. 探究3 椭圆的标准方程例3 求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，且经过点(4,32)； (2)a ＝8，c ＝6；(3)经过两点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12.[解] (1)由题意得， 2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，得a ＝6.又c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝32. ∴所求的椭圆的方程为x 232＋y 236＝1.(2)∵a ＝8，c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝64－36＝28. 当焦点在x 轴上时，椭圆的方程为x 264＋y 228＝1； 当焦点在y 轴上时，椭圆的方程为y 264＋x 228＝1. 故所求的椭圆方程为x 264＋y 228＝1或y 264＋x 228＝1.(3)①当椭圆的焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫132a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝14.∵a 2＝15<14＝b 2，∴焦点在x 轴上的椭圆不存在． ②当椭圆的焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为 y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫132a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝15.故所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.[解法探究] 解答例3(1)(3)有没有其他解法呢？ 解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上， 设所求的椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 由题意得⎩⎨⎧16b 2＋18a 2＝1，a 2－b 2＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝32.∴所求的椭圆方程为x 232＋y 236＝1.(3)设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝5，B ＝4，∴所求的椭圆方程为5x 2＋4y 2＝1，即y 214＋x 215＝1.例4 已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹．[解] 如图所示，由已知可得圆C 1与C 2的圆心坐标分别为C 1(4,0)，C 2(－4，0)，其半径分别为r 1＝13，r 2＝3.设动圆的圆心为C ，其坐标为(x ，y )，动圆的半径为r .由于圆C 1与圆C 相内切，依据两圆内切的充要条件，可得|C 1C |＝r 1－r .①由于圆C 2与圆C 相外切，依据两圆外切的充要条件，可得|C 2C |＝r 2＋r .② 由①＋②可得|CC 1|＋|CC 2|＝r 1＋r 2＝13＋3＝16，即点C 到两定点C 1与C 2的距离之和为16，且|C 1C 2|＝8，可知动点C 的轨迹为椭圆，且以C 1与C 2为焦点．由题意，得c ＝4，a ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝64－16＝48. ∴椭圆的方程为x 264＋y 248＝1，∴动圆圆心的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，其方程为x 264＋y 248＝1.拓展提升求椭圆标准方程的方法(1)求关键量代入法：先确定椭圆的焦点位置明确其标准方程的形式，再利用定义及a 2－b 2＝c 2求出参数a ，b ，最后代入椭圆标准方程．(2)待定系数法：构造a ，b ，c 三者之间的关系，通过解方程组求出a ，b .但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )．因为它包括焦点在x 轴上(m <n )或焦点在y 轴上(m >n )两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．(3)定义法：利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后由定义确定椭圆的基本量a ，b ，c ，这就是定义法求椭圆标准方程的方法，但注意检验．(4)相关点法：当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点的方法求解．用相关点法求轨迹方程的基本步骤为①设点：设所求轨迹上动点坐标为P (x ，y )，已知曲线上动点坐标为Q (x 1，y 1)． ②求关系式：用点P 的坐标表示出点Q 的坐标，即得关系式⎩⎨⎧x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y ).③代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．【跟踪训练3】 (1)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．答案 x 2＋3y 22＝1解析 设点A 在点B 上方，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝1－b 2.因为AF 2⊥x轴，所以点A 的坐标为(c ，b 2)，设点B 的坐标为(x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1→＝3F 1B →，即⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3(x 0＋c )，－b 2＝3y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得25(1－b 2)9＋19b 2＝1，得b 2＝23，所以椭圆方程为x 2＋3y22＝1.(2)求过点(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程． 解 ∵c 2＝9－4＝5，焦点在x 轴上， ∴设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.∵点(－3,2)在椭圆上， ∴9a 2＋4a 2－5＝1，∴a 2＝15，∴所求椭圆方程为x 215＋y 210＝1. 探究4 椭圆的焦点三角形问题例5 已知椭圆x 24＋y 23＝1中，点P 是椭圆上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[解] 由x 24＋y 23＝1可知a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1，从而|F 1F 2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4.②由①②联立可得|PF1|＝65.所以S△PF1F2＝12|PF1||F1F2|sin∠PF1F2＝12×65×2×32＝335.[条件探究] 例5中“∠PF1F2＝120°”改为“∠F1PF2＝60°”，其他条件不变，应该怎样解答？解由已知a＝2，b＝3，得c＝a2－b2＝4－3＝1.∴|F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos60°，即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1|·|PF2|cos60°.∴4＝16－3|PF1||PF2|.∴|PF1||PF2|＝4，∴S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin60°＝12×4×32＝ 3.拓展提升1.椭圆中焦点三角形的解题策略在解焦点三角形的相关问题时，一般利用两个关系式：(1)由椭圆的定义可得|PF1|，|PF2|的一个关系式，|PF1|＋|PF2|＝2a.(2)利用正、余弦定理可得|PF1|，|PF2|的一个关系式．这样我们便可求解出|PF1|，|PF2|.但是通常情况下我们是把|PF1|±|PF2|，|PF1|·|PF2|看成一个整体进行转化求解，而不是具体求出|PF1|与|PF2|的值，所以在解题时注意椭圆定义及正、余弦定理的灵活运用．2．焦点三角形的常用公式(1)焦点三角形的周长L ＝2a ＋2c .(2)在△MF 1F 2中，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos ∠F 1MF 2.(3)焦点三角形的面积S △F 1MF 2＝12|MF 1||MF 2|·sin ∠F 1MF 2＝b 2tan ∠F 1MF 22.【跟踪训练4】 椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为________．答案 120°解析 ∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝2a －4＝6－4＝2.∵|F 1F 2|＝2c ＝27，∴在△F 1PF 2中，利用余弦定理可得， cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝－12，∴∠F 1PF 2的大小为120°.1.椭圆定义的应用(1)椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．在解题过程中将|PF1|＋|PF2|看成一个整体，可简化运算.(2)椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决.2.椭圆标准方程的两种应用由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参数的值(或取值范围).(1)求椭圆的焦点坐标时，若方程不为标准方程，应先将其化为标准方程，确定a2，b2的值和焦点所在的坐标轴，再利用关系式a2＝b2＋c2求出c，即可写出焦点坐标.(2)已知方程求参数的值(或取值范围)时，需注意：对于方程x2m＋y2n＝1，当m>n>0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；当n>m>0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆．特别地，当n＝m>0时，方程表示圆心在原点的圆．若已知方程的形式不是标准方程，需先进行转化.3.求椭圆标准方程的常用方法(1)求关键量代入法；(2)待定系数法；(3)定义法；(4)相关点法.4.椭圆的焦点三角形问题解答此类问题可结合椭圆的定义列出|PF1|＋|PF2|＝2a，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等.1．若平面内点M到定点F1(0，－1)，F2(0,1)的距离之和为2，则点M的轨迹为()A．椭圆B．直线F1F2C．线段F1F2D ．直线F 1F 2的垂直平分线 答案 C解析 |MF 1|＋|MF 2|＝2＝|F 1F 2|，所以点M 的轨迹为线段F 1F 2.2．以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，则此椭圆的方程是( )A.y 225＋x 2＝1 B.x 225＋y 2＝1C.x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 D ．以上都不对 答案 A解析设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，则⎩⎪⎨⎪⎧925m ＋16n ＝1，1625m ＋9n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝125，∴椭圆方程为x 2＋y225＝1.故选A.3．椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标为( ) A ．(±3,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫±13，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫±320，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±320 答案 D解析 椭圆的标准方程为x 2125＋y 2116＝1，知焦点在y 轴上，c 2＝116－125＝9400，故焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±320. 4．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.答案3解析 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，①12r 1r 2＝9，②r 21＋r 22＝(2c )2，③由①得r 21＋2r 1r 2＋r 22＝4a 2，由②得r 1r 2＝18，所以r 21＋r 22＋36＝4a 2，④④－③得36＝4a 2－4c 2，即4b 2＝36， 所以b 2＝9，b ＝3.5．点M (x ，y )与定点F (2,0)的距离和它到定直线x ＝8的距离的比是1∶2，求点M 的轨迹方程．解 设d 是点M 到直线x ＝8的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫M ⎪⎪⎪|MF |d ＝12， 由此得(x －2)2＋y 2|8－x |＝12.将上式两边平方，并化简，得3x 2＋4y 2＝48， 即点M 的轨迹方程为x 216＋y 212＝1.A 级：基础巩固练一、选择题1．已知点A (－3,0)，B (0,2)在椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1上，则椭圆的标准方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 29＋y 24＝1 C.x 23＋y 2＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 B解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9m 2＝1，4n 2＝1，解得m 2＝9，n 2＝4，所以椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1.2．如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．射线D ．圆 答案 A解析 根据题意知，CD 是线段MF 的垂直平分线，所以|MP |＝|PF |，所以|PF |＋|PO |＝|PM |＋|PO |＝|MO |(定值)，又因为|MO |>|FO |，所以根据椭圆的定义可判断出点P 的轨迹是以F ，O 两点为焦点的椭圆．3．方程(x －2)2＋y 2＋(x ＋2)2＋y 2＝10化简的结果是( )A.x 225＋y 216＝1 B.x 225＋y 221＝1 C.x 225＋y 24＝1 D.y 225＋x 216＝1答案 B解析 由方程左边的几何意义及椭圆定义可知，方程表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆，且c ＝2，a ＝5.所以b 2＝a 2－c 2＝21，故化简结果为x 225＋y 221＝1.4．椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．6 D.32 答案 B解析 设椭圆的另一个焦点为F 2，因为椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，即|MF 1|＝2，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，所以|MF 2|＝8.因为N 是MF 1的中点，O 是F 1F 2的中点，所以|ON |＝12|MF 2|＝4.5．椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到两焦点的距离之积为m ，则m 取最大值时，P 点坐标是( )A ．(5,0)或(－5,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，332或⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－332 C ．(0,3)或(0，－3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫532，32或⎝ ⎛⎭⎪⎫－532，32 答案 C解析 记F 1(－4,0)，F 2(4,0)，|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1022＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，等号成立．∴P 应在椭圆短轴的端点，∴P (0,3)或(0，－3)．6．我们把由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆y 2b 2＋x 2c 2＝1(x <0)合成的曲线称作“果圆”(其中a 2＝b 2＋c 2，a >b >c >0)．如图所示，设点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点，A 1，A 2和B 1，B 2是“果圆”与x 轴和y 轴的交点，若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，则a ，b 的值分别为( )A.72，1 B.3，1 C ．5,3 D ．5,4 答案 A解析 由题意知，a 2－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34，b 2－c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，∴a 2－c 2＝1.又a2＝b2＋c2，∴b2＝1，b＝1.∴a2＝74，a＝72.二、填空题7．已知F1，F2为椭圆x225＋y29＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.答案8解析如图，由椭圆的定义知，|F1A|＋|F2A|＝2a＝10，|F1B|＋|F2B|＝2a＝10，∴|AB|＝20－|F2A|－|F2B|＝20－12＝8.8．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆x225＋y29＝1上．则sin A＋sin Csin B＝________.答案5 4解析由椭圆方程x225＋y29＝1知，a＝5，b＝3，∴c＝4，即点A(－4,0)和C(4,0)是椭圆的焦点．又点B在椭圆上，∴|BA|＋|BC|＝2a＝10，且|AC|＝8.于是，在△ABC中，由正弦定理，得sin A＋sin Csin B＝|BC|＋|BA||AC|＝54.9．(2018·上海金山中学高二期中)已知椭圆x25＋y24＝1的左、右顶点分别为A，B，P是椭圆上不同于A，B的一点，直线P A，PB的倾斜角分别为α，β，则cos(α－β) cos(α＋β)＝________.答案1 9解析 设P (x 0，y 0)，则k AP ·k BP ＝y 0x 0－5·y 0x 0＋5＝y 20x 20－5＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 205x 20－5＝－45，所以tan αtan β＝－45，故cos (α－β)cos (α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βcos αcos β－sin αsin β＝1＋tan αtan β1－tan αtan β＝1－451＋45＝19.三、解答题10．如图，已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若PF 1→·PF 2→＝0.(1)求椭圆的方程； (2)求△PF 1F 2的面积． 解 (1)∵PF 1→·PF 2→＝0，∴△PF 1F 2是直角三角形，∴|OP |＝12|F 1F 2|＝c . 又|OP |＝32＋42＝5，∴c ＝5.∴椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1.又P (3,4)在椭圆上，∴9a 2＋16a 2－25＝1，∴a 2＝45或a 2＝5. 又a >c ，∴a 2＝5舍去． 故所求椭圆方程为x 245＋y 220＝1.(2)由椭圆定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝65，① 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，②由①2－②得2|PF 1|·|PF 2|＝80， ∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×40＝20.B 级：能力提升练1．已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点．(1)当∠F 1PF 2＝60°时，求△F 1PF 2的面积；(2)当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 横坐标的取值范围．解 (1)由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4且F 1(－3，0)，F 2(3，0)．① 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°.② 由①②得|PF 1||PF 2|＝43.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝33.(2)设点P (x ，y )，由已知∠F 1PF 2为钝角，得PF 1→·PF 2→<0，即(－3－x ，－y )(3－x ，－y )<0.又y 2＝1－x 24，所以34x 2<2，解得－263<x <263.所以点P 横坐标的范围是⎝⎛⎭⎪⎫－263，263. 2．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点．(1)若椭圆C 上的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1，F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设点K 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程． 解 (1)椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1，F 2两点的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，因此122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，得b 2＝3，则c 2＝a 2－b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1，焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．(2)设椭圆C 上的动点K (x 1，y 1)，线段F 1K 的中点Q (x ，y )，则x ＝－1＋x 12，y ＝y 12，即x 1＝2x ＋1，y 1＝2y .因为点K (x 1，y 1)在椭圆x 24＋y 23＝1上，所以(2x ＋1)24＋(2y )23＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋4y23＝1，此即为所求点的轨迹方程．。

2.1.1椭圆及其标准方程（一）教材分析（1）教材的地位与作用：《2.1.1椭圆及其标准方程》选自普通高中课程标准实验教科书.人民教育出版社A版数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆第一节，本节课是继学习必修2圆以后又一个二次曲线的实例。

我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆。

如果改变平面与圆锥轴线的夹角，会得到什么图形呢？我将把这样的问题抛给学生，让学生用事先准备好的模具来探究，演示，从而培养学生交流合作意识和动手实践能力。

（2）知识和方法分析：从知识体系来看，它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质和双曲线、抛物线的基础；从教学和学习方法上说，它所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程思想等，都为我们后面研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和方法.椭圆的标准方程是圆锥曲线方程研究的基础，它的学习对这一章具有导向和引领作用. （二）学情分析（1）学生的已有的知识结构:学生在学习了必修2圆的方程和几何性质后，对探究新知已经有了自己的判断和认识。

这对于进一步学习椭圆的相关知识，具有一定的辅助作用，但还是需要老师的适时点拨。

（2）教学对象：高二文科实验班的学生学习兴趣比较浓厚，表现欲和求知欲比较强，逻辑思维能力也基本形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思维尽管活跃，、敏捷，但缺乏冷静和深刻的思考，因而片面，不够严谨。

（3）从学生的认知角度来看：学生很容易和圆类比，利用圆的知识和方法学习椭圆，但又不尽相同，这是学生探究中发现的，是学生学习的积极因素，应因势利导。

不利因素，由于本章节难度教大，学生觉得比较困难.特别是缺乏数形结合能力，不善于简化平面几何问题；概念也比较多，性质又比较相似，容易互相干扰而影响学习效果；再者，学生缺乏一定的联想、归纳、化归的数学思想，容易受图形表象的影响，产生错误的结论，进而对数学源于生活，对观察产生怀疑。

《椭圆及其标准方程》教学案教学目标：⑴知识目标：①掌握椭圆的定义及其标准方程；②通过对椭圆标准方程的探求，熟悉求曲线方程的一般方法.⑵能力目标:通过自我探究、操作、数学思想(待定系数法)的运用等，从而提高学生实际动手、合作学习以及运用知识解决实际问题的能力.⑶情感目标:在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会形数美的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索，勇于创新的精神.重点和难点：重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程；难点：椭圆标准方程的建立和推导.教学过程：(一)设置情景，导入新课1、(借助多媒体)先演示本章开头语中用一个倾斜平面截圆锥，可以得到截口曲线(椭圆)；今天我们就着手研究这个内容.(进而出示本节研究的课题的教学目标)2、(借助多媒体)展示图片【设计意图】让学生明确椭圆与科研、生产以及人类生活有着紧密的关系，激发学生的求知欲.(二)尝试画图、形成感知1、动手画椭圆(1)请学生拿出课前准备的硬纸板、细线、铅笔，同桌一起合作画椭圆.(2)动画演示椭圆的形成过程.(动画1)2、同学们作完图、观察完演示后，思考下面问题： ⑴.结合实验，你应如何给椭圆下定义？定义含有几个要点？⑵.在画出一个椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？ ⑶.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？ ⑷.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？ 3、教师再进一步明确椭圆概念、焦点、焦距概念，强调形成椭圆的条件. (三)探究椭圆的标准方程1、复习求动点的轨迹方程的基本步骤 (由学生回答，不正确的教师给予纠正)2、椭圆标准方程的探求 ⑴建系让学生自己动手试一试如何恰当地建立坐标系.教师巡回察看各个同学的建系情况，然后让几个同学说出自己建系的依据，师生共评，寻找最佳方案.【学情预设】学生可能会建系如下几种情况： 方案一：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 1F 2的中点为原点； 方案二：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 1为原点； 方案三：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 2原点；方案四：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 1F 2与x 轴的左交点为原点； 方案五：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 1F 2与x 轴的右交点为原点； 经过比较确定方案一.以两定点1F 、2F 所在的直线为x 轴，线段1F 2F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图1)．设c F F 221=()0>c ，则()01，c F -，()02，c F ． 已知图形，建立直角坐标系的一般要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系.⑵设点设()y x M ，为椭圆上的任意一点，M 与1F 、2F 的距离的和等于a 2(c a 22>)．由定义得到椭圆上点M 的集合为{}a MF MF M P 221=+=．⑶列式将条件式a MF MF 221=+代数化，得（图1）()()a y c x y c x 22222=+-+++ (*)⑷化简先让学生各自在练习本上自行化简，教师巡视.预测学生问题：①若学生采用两次平方的方法化简，最后应得到()()22222222c a a y a x c a-=+- (* *)在此过程中，教师一边巡视，一边给予指导和提示，然后选出1—2位学生的推导过程展示出来，并请学生本人作简要陈述．然后教师提出：有无较为简单的方法化简(*)式呢？ 请学生观察式子()()a y c x y c x 22222=+-+++，引导学生联想等差中项的定义：“n p m ,,成等差数列p n m 2=+⇔”， 知()22y c x ++，a ，()22y c x +-成等差数列，可设 ()()⎪⎩⎪⎨⎧+=+--=++.,2222d a y c x d a y c x再设法消去d ，即可将(*)式化简为(* *)式．若学生先想到利用等差中项的概念式化简得(* *)式，则教师提出采用两次平方的方法请学生一试，也可得(* *)式．②b 的引入由椭圆的定义可知，c a 22>，022>-∴c a ， 让点M 运动到y 轴正半轴上(如图2)，由学生观察图形自行获得a ，c 的几何意义，进而自然引进b ，此时222c a b -=，于是得222222b a y a x b =+，两边同时除以22b a ，得椭圆的标准方程为:()012222>>=+b a by a x ． ③教师对标准方程的说明ⅰ.椭圆的标准方程既简洁整齐，又对称和谐；ⅱ.上述方程表示焦点在x 轴上，中心在坐标原点的椭圆，其中222b a c -=；ⅲ.以上的推导过程，没有证明“以满足方程12222=+by a x 的实数对),(y x 为坐标的点都在椭圆上”，有兴趣的同学可在课后自行证明；ⅳ.如果椭圆的焦点在y 轴上，并且焦点为),0(),,0(21c F c F -，则椭圆方程为图212222=+b x a y ()0>>b a ，这也是椭圆的标准方程，它可以看成将方程12222=+by a x 中的y x ,对换而得到的；ⅴ.对于给定的椭圆的标准方程，要判断焦点在哪个轴上，只需比较与2x 与2y 项分母的大小即可．若2x 项分母大，则焦点在x 轴上；若2y 项分母大，则焦点在y 轴上．ⅵ.对椭圆的两种标准方程，都有()0>>b a ，焦点都在长轴上，且a 、b 、c 始终满足222b a c -=(四)、实例演练例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程．分析：有两种解题思路：思路1：利用椭圆定义(椭圆上的点⎪⎭⎫⎝⎛-2523，到两个焦点()20-，、()20，的距离之和为常数2a ，求出a 值，再结合已知条件和a 、b 、c 间的关系求出2b 的值，进而写出标准方程；思路2：先根据已知条件设出焦点在y 轴上的椭圆方程的标准方程12222=+bx a y ()0>>b a ，再将椭圆上点的坐标⎪⎭⎫ ⎝⎛-2523，代入此方程，并结合a 、b 、c 间的关系求出2a 、2b 的值，从而得到椭圆的标准方程为161022=+x y ．(五)、回顾小结，归纳提炼 1、先让学生思考，然后填表.定 义 图 形 标准方程a 、b 、c 的关系焦 点 焦点位置的判断建系设点－列等式－代坐标－化简方程. 3、求椭圆方程常用方法：待定系数法.。