江苏省东台市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的标准方程(2)导学案(无答案)苏教版选修1-

我们可利用上面的三条关系式来判断动点 M 的轨迹是什么.2.1.1圆锥曲线的基本概念 主备人： 学生姓名： 得分：学习目标：1. 通过用平面截圆锥面，经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的 定义，并能用数学符号或自然语言描述2. 通过用平面截圆锥面，感受、了解双曲线的定义，能用数学符号或自然语言描述双曲线 的定义.学习难点：双曲线的定义，能用数学符号或自然语言描述双曲线的定义学习方法：自主预习，合作探究，启发引导一、导入亮标1. 问题情境.我们知道，用一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线，当平面与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆，试改变平面的位置，观察截得的图形的 变化情况，提出问题：用平面去截圆锥面能得到哪些曲线？2. 学生活动.学生讨论上述问题，通过观察 ，可以得到以下三种不同的曲线：、自学检测1 .圆锥曲线的定义.椭圆：平面内到两定点 F1, F2的距离和等于常数（大于 F 1F 2 ）的点的轨迹叫做椭圆， 两个定点F1, F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.双曲线：平面内到两定点 F1, F2的距离的差的绝对值等于常数（小于 F 1F 2 ）的点的轨 迹叫做双曲线，两个定点 F1, F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.抛物线：平面内到一个定点 F 和一条定直线I （ F 不在I 上）的距离相等的点轨迹叫做 抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线 I 叫做抛物线的准线.2 .圆锥曲线的定义的数学表达式：设平面内的动点为M. 椭圆：动点M 满足的式子：MF 1 MF 2 2a （ 2a> F 1F 2的常数）双曲线：动点M 满足的式子：MF1 MF 2 2a （ o<2a< F 1F 2的常数）抛物线：动点 M 满足的式子： MF =d （d 为动点M 到直线I 的距离）三、合作探究例1 已知？ABC 中，B (-3 , 0), C ( 3, 0),且AB, BC, AC 成等差数列. (1 )求证：点A 在一个椭圆上运动； (2)写出这个椭圆的焦点坐标.例2 已知定点 A(3,0)和定圆C: (x + 3)2 + y2 = 16,动圆P 与圆C 相外切，并过点 A,则动圆圆心P 在 _________ 上.(选填椭圆、双曲线、抛物线)四、 展示点评五、 检测清盘1. 已知?ABC 中，BC 长为6,周长为16,那么顶点 A 在怎样的曲线上运动？2. 已知经过点A(3,0)的动圆M 与直线I : X 3相切，求动圆圆心 M 的轨迹。

2.2.1 椭圆的标准方程学习目标：1.了解椭圆标准方程的推导过程．(难点) 2.掌握椭圆的标准方程，能根据已知条件求椭圆的标准方程．(重点) 3.能用标准方程判定曲线是否是椭圆．[自 主 预 习·探 新 知]椭圆的标准方程1．判断正误：(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a 2＝b 2＋c 2.( ) (2)方程2x 2＋y 2＝4表示的曲线不是椭圆．( ) (3)圆是椭圆的特殊形式．( )(4)方程x 2a 2＋y 22a＝1(a >0)，表示焦点在x 轴上的椭圆．( )【解析】 (1)√.由椭圆方程的推导过程可知a 2＝b 2＋c 2.(2)×.把方程2x 2＋y 2＝4化为标准形式为x 22＋y 24＝1，易知其表示的曲线是椭圆．(3)×.由圆和椭圆的定义可知其错误．(4)×.当a 2＞2a ，即a ＞2时，方程x 2a 2＋y 22a＝1(a ＞0)才表示焦点在x 轴上的椭圆，否则不是．【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×2．a ＝5，c ＝3，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为______.【导学号：95902077】【解析】 ∵a ＝5，c ＝3，∴b 2＝25－9＝16， 又∵焦点在y 轴上， ∴椭圆的方程为y 225＋x 216＝1.【答案】y 225＋x 216＝1 [合 作 探 究·攻 重 难](1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)．[思路探究] (1)利用椭圆的定义或待定系数法求解；(2)利用待定系数法求解．【自主解答】 (1)方法一：由于椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧52a 2＋02b2＝1，a 2＝b 2＋42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝25，b 2＝9，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.方法二：由于椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵2a ＝＋2＋－2＝10，∴a ＝5.又c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.方法三：由于椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．因为椭圆经过点(5,0)，所以a ＝5，又因为椭圆的焦点为(－4,0)和(4,0)，所以c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝9，故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)方法一：①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧32a 2＋－2b 2＝1－232a2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧－2a2＋32b 2＝11a 2＋－232b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5b 2＝15，因为a ＞b ＞0，所以无解．所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.方法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝112m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝115n ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1. [规律方法]1．确定椭圆方程的“定位”与“定量”2．巧设椭圆方程(1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．(2)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1有相同焦点的椭圆方程可设为x 2a 2＋λ＋y 2b 2＋λ＝1.[跟踪训练]1．求焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)的椭圆的标准方程．【解】 由于椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝10a 2＋1b 2＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1.故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.如图2­2­1P 作x 轴的垂线段PP ′，P ′为垂足．M 为直线PP ′上一点，且P ′M ＝λPP ′(λ为大于零的常数)．当点P 在圆上运动时，点M 的轨迹是什么？为什么？图2­2­1[思路探究] 设出点M 和点P 的坐标，根据P ′M ＝λPP ′找到二者的联系，用点M 的坐标表示点P 的坐标，利用点P 在圆上代入可得点M 的轨迹方程，讨论λ可得点M 的轨迹．【自主解答】 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，∵PP ′⊥x 轴，且P ′M ＝λPP ′，∴x ＝x 0，y ＝λy 0，即x 0＝x ，y 0＝1λy .∵点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 20＋y 20＝1. 把x 0＝x ，y 0＝1λy 代入上式得x 2＋y 2λ2＝1.当0＜λ＜1时，点M 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆； 当λ＝1时，点M 的轨迹是圆；当λ＞1时，点M 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆.[规律方法] 求解与椭圆有关的轨迹问题，一般利用相关点法(代入法)，可先设动点的坐标为(x ，y )，然后通过题设条件给出的等量关系列出等式，再化简等式得到对应的轨迹方程.[跟踪训练]2．已知点P (x 0，y 0)是椭圆x 28＋y 24＝1上一点，A 点的坐标为(6,0)，求线段PA 中点M 的轨迹方程．【解】 设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋62＝x ，y 0＋02＝y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －6，y 0＝2y .∵点P 在椭圆x 28＋y 24＝1上，∴x 208＋y 204＝1.把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －6，y 0＝2y 代入x 208＋y 204＝1，得x －28＋y24＝1，即x －22＋y 2＝1为所求．[探究问题]1．椭圆的定义是什么？能否用一个数学式来表示椭圆的定义？【提示】 平面内与两个定点F 1，F 2距离的和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆．即PF 1＋PF 2＝2a (2a ＞F 1F 2)．2．若点P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的点，则PF 1＋PF 2的值为多少？【提示】 PF 1＋PF 2＝2a .3．在三角形PF 1F 2中，F 1F 2的长是多少？设∠F 1PF 2＝θ，结合余弦定理，PF 1·PF 2能否用椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中的参数来表示？【提示】 F 1F 2＝2c .在三角形PF 1F 2中，由余弦定理可得F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos θ＝(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2(1＋cos θ)，即4c 2＝4a 2－2PF 1·PF 2(1＋cos θ)，所以PF 1·PF 2＝2b 21＋cos θ.4．根据探究3的讨论，能把三角形PF 1F 2的面积表示出来吗？根据基本不等式，PF 1·PF 2和PF 1＋PF 2存在不等关系吗？【提示】 S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2sin θ＝b 2sin θ1＋cos θ，根据基本不等式PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝a 2.5．设点F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，则三角形PF 1F 2叫做该椭圆的焦点三角形，通过以上探究，我们解决焦点三角形问题时需要注意哪些知识？【提示】 要注意充分利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理(勾股定理)和三角形的面积公式，若涉及范围问题，往往要利用基本不等式解决．已知F 1，F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上任意一点．(1)若∠F 1PF 2＝π3，求△PF 1F 2的面积；(2)求PF 1·PF 2的最大值．[思路探究] (1)在焦点三角形PF 1F 2中，应用椭圆的定义、余弦定理和三角形的面积公式可求解；(2)利用椭圆的定义和基本不等式可求PF 1·PF 2.【自主解答】 (1)由椭圆的定义可知，PF 1＋PF 2＝20， ① 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos∠F 1PF 2， 即122＝PF 21＋PF 22－PF 1·PF 2. ② ①2＋②，并整理，得PF 1·PF 2＝2563.∴S △PF 1F 2＝12 PF 1·PF 2·sin π3＝643 3.(2)由x 2100＋y 264＝1可知，a ＝10，c ＝6. ∴PF 1＋PF 2＝20， ∴PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝100.当且仅当PF 1＝PF 2＝10时，等号成立．∴PF 1·PF 2的最大值是100. [规律方法]1．椭圆的定义给出了一个结论：椭圆上的点P 到两焦点F 1，F 2的距离的和为常数2a ，则已知点P 到一个焦点的距离就可以利用PF 1＋PF 2＝2a 求出该点到另一个焦点的距离．2．椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．3．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12ab sin C 把PF 1·PF 2看成一个整体，运用公式PF 21＋PF 22＝(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2及余弦定理求出PF 1·PF 2，而无需单独求出，这样可以减少运算量．[跟踪训练]3．已知椭圆x 24＋y 22＝1的左、右两个焦点分别是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是__________.【导学号：95902078】【解析】 因为x 24＋y 22＝1，焦点在x 轴上，则a ＝2，由椭圆定义：|PF 1|＋|PF 2|＝4，|F 1F 2|＝22，又|PF 1|－|PF 2|＝2，可得|PF 1|＝3，|PF 2|＝1，由12＋(22)2＝9，所以△PF 1F 2是直角三角形，S △PF 1F 2＝12|PF 2|·|F 1F 2|＝ 2.【答案】 2[构建·体系][当 堂 达 标·固 双 基]1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则PF 1＋PF 2＝________.【导学号：95902079】【解析】 由标准方程得a 2＝25，∴2a ＝10，由椭圆定义知PF 1＋PF 2＝2a ＝10. 【答案】 102．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为 ________.【解析】 c ＝1，a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.【答案】x 24＋y 23＝1 3．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________.【导学号：95902080】【解析】 由于椭圆焦点在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2>a ＋6，a ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a －，a >－6.⇔a >3或－6<a <－2.【答案】 a >3或－6<a <－24．已知点P 为椭圆x 249＋y 224＝1上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，若∠F 1PF 2为直角，则PF 1·PF 2＝__________.【解析】 由∠F 1PF 2为直角得PF 21＋PF 22＝F 1F 22，(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2＝F 1F 22. 又a 2＝49，b 2＝24得c 2＝25，所以142－2PF 1·PF 2＝102得PF 1·PF 2＝48. 【答案】 485．已知椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，求此椭圆的标准方程. 【导学号：95902081】【解】 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧925m ＋16n ＝1，1625m ＋9n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝125.∴椭圆方程为x 2＋y 225＝1.。

2.2.1 椭圆的标准方程(二)学习目标 1.加深理解椭圆定义及标准方程.2.能灵活运用条件求椭圆的标准方程.3.能够熟练求解与椭圆有关的轨迹问题．知识点 椭圆标准方程的认识与推导思考1 椭圆标准方程的几何特征与代数特征分别是什么？思考2 依据椭圆方程，如何确定其焦点位置？思考3 观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程．梳理 (1)椭圆的标准方程的形式(2)方程Ax 2＋By 2＝1表示椭圆的充要条件是____________________． (3)椭圆方程中参数a ，b ，c 之间的关系为__________．类型一 椭圆标准方程的确定例1 求焦点在坐标轴上，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点的椭圆的标准方程．反思与感悟 求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置． 跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点(－32，52)；(2)焦点在y 轴上，且经过两点(0，2)和(1，0)．类型二 相关点法在求解椭圆方程中的应用例2 如图，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹．引申探究若本例中“过点P 作x 轴的垂线段PD ”，改为“过点P 作y 轴的垂线段PD ”．那么线段PD 的中点M 的轨迹又是什么？反思与感悟 如果一个动点P 随着另一个在已知曲线上运动的动点Q 而运动，则求P 点的轨迹方程时一般用转代法来求解．基本步骤为：(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P (x ，y )，已知曲线上动点坐标为Q (x 1，y 1)．(2)求关系式：用点P 的坐标表示出点Q 的坐标，即得关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝g x ，y ，y 1＝hx ，y(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．跟踪训练2 如图所示，B 点坐标为(2，0)，P 是以O 为圆心的单位圆上的动点，∠POB 的平分线交直线PB 于点Q ，求点Q 的轨迹方程．1．若方程x 2m＋y 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1)2．设B (－4，0)，C (4，0)，且△ABC 的周长等于18，则动点A 的轨迹方程为( ) A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 216＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0) 3．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E 的方程为____________．4．在椭圆x 23＋y 2＝1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F 2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F 1，再次被椭圆反射后又回到F 2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为________． 5．△ABC 的三边长a ，b ，c 成等差数列，且b ＝6，求顶点B 的轨迹方程．1．两种形式的椭圆的标准方程的比较如下表：2.所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点．在a 2＋b 2＝1与y 2a 2＋x 2b 2＝1这两个标准方程中，都有a >b >0的要求，如方程x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )就不能肯定焦点在哪个轴上．分清两种形式的标准方程，可与直线截距式x a ＋y b ＝1类比，如x 2a 2＋y 2b2＝1中，由于a >b ，所以在x 轴上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上(即看x 2，y 2分母的大小)．要区别a 2＝b 2＋c 2与习惯思维下的勾股定理c 2＝a 2＋b 2.提醒：完成作业 第二章 2.2.1(二)答案精析问题导学 知识点思考1 标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴或y 轴上．标准方程的代数特征：方程右边为1，左边是关于x a 与yb的平方和，并且分母为不相等的正值． 思考2 把方程化为标准形式，与x 2，y 2相对应的分母哪个大，焦点就在相应的轴上． 思考3 (1) 如图所示，以经过椭圆两焦点F 1，F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy .(2)设点：设点M (x ，y )是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)． (3)列式：依据椭圆的定义式|MF 1|＋|MF 2|＝2a 列方程，并将其坐标化为x ＋c2＋y 2＋x －c2＋y 2＝2a .①(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a 2－c 2)x 2＋a 2y 2＝a 2(a 2－c 2)，为使方程简单、对称、便于记忆，引入字母b ，令b 2＝a 2－c 2，可得椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．②(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x ，y )为坐标的点到椭圆的两个焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)的距离之和为2a ，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上．由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程．梳理 (2)A >0，B >0且A ≠B (3)a 2＝b 2＋c 2题型探究例1 解 方法一 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧32a 2＋－2b 2＝1，－232a2＋12b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.(2)当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x2b 2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2＋32b 2＝1，12a 2＋－232b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15.此时不符合a >b >0，所以方程组无解． 故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.方法二 设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0且A ≠B )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3A ＋4B ＝1，12A ＋B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝115，B ＝15.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.跟踪训练1 解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义知： 2a ＝ －322＋52＋2＋－322＋52－2＝210，即a ＝10. 又c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝6. ∴所求的椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．又椭圆经过点(0，2)和(1，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求的椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1. 例2 解 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 0，y ＝y 02.因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以x 20＋y 20＝4.①把x 0＝x ，y 0＝2y 代入方程①， 得x 2＋4y 2＝4，即x 24＋y 2＝1.所以点M 的轨迹是一个焦点在x 轴上的椭圆． 引申探究解 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)， 则x 20＋y 20＝4，(*)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02，y ＝y 0代入(*)式得y 24＋x 2＝1.故点M 的轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆．跟踪训练2 解 由三角形角平分线性质得|BQ ||QP |＝|OB ||OP |＝2.∴BQ →＝2QP →.设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)， 则(x －2，y )＝2(x 0－x ，y 0－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝2x 0－2x ，y ＝2y 0－2y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －22，y 0＝3y2.又∵点P 在单位圆x 2＋y 2＝1上， ∴(3x －22)2＋(3y 2)2＝1.∴点Q 的轨迹方程为x －24＋9y24＝1. 当堂训练1．A 2.A 3.x 218＋y 29＝14．4 35．解 以直线AC 为x 轴，AC 的中点为原点，建立直角坐标系，设A (－3，0)，C (3，0)，B (x ，y )，则|BC |＋|AB |＝a ＋c ＝2b ＝2|AC |＝12，∴B 点的轨迹是以A ，C 为焦点的椭圆， 且a ′＝6，c ′＝3，b ′2＝27. 故所求的轨迹方程为x 236＋y 227＝1(y ≠0)．。

2.2.2 椭圆的几何性质(一)学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点坐标思考 观察椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？答案 (1)范围：－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ； (2)对称性：椭圆关于x 轴、y 轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )． 梳理 椭圆的几何性质知识点二 椭圆的离心率 思考 如何刻画椭圆的扁圆程度？答案 用离心率刻画扁圆程度，e 越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁． 梳理 (1)焦距与长轴长的比c a称为椭圆的离心率． 记为：e ＝c a.(2)对于x 2a 2＋y 2b2＝1，b 越小，对应的椭圆越扁，反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b越接近于a ，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a ＝b 时，c ＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x 2＋y 2＝a 2.(如图)1．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长是a .(×)2．椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．(×)3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.(×)4．设F 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，M 为其上任一点，则MF 的最大值为a ＋c .(c为椭圆的半焦距)(√)类型一 由椭圆方程研究其几何性质例1 求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解 已知方程化成标准方程为x 216＋y 29＝1，于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝74，又知焦点在x 轴上，∴两个焦点坐标分别是(－7，0)和(7，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)和(0,3)． 引申探究本例中若把椭圆方程改为“9x 2＋16y 2＝1”，求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解 由已知得椭圆标准方程为x 219＋y 2116＝1，于是a ＝13，b ＝14，c ＝19－116＝712. ∴长轴长2a ＝23，短轴长2b ＝12，离心率e ＝c a ＝74. 焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－712，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫712，0， 顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±13，0，⎝⎛⎭⎪⎫0，±14. 反思与感悟 解决由椭圆方程研究其几何性质的问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量．跟踪训练1 求椭圆9x 2＋y 2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解 椭圆的标准方程为x 29＋y 281＝1，则a ＝9，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝62，长轴长2a ＝18，短轴长2b ＝6，焦点坐标为(0,62)，(0，－62)，顶点坐标为(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0)．离心率e ＝c a ＝223.类型二 椭圆几何性质的简单应用命题角度1 依据椭圆的几何性质求标准方程 例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，其离心率为12，焦距为8；(2)已知椭圆的离心率为e ＝23，短轴长为8 5.解 (1)由题意知，2c ＝8，∴c ＝4，∴e ＝c a ＝4a ＝12，∴a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，∴椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1.(2)由e ＝c a ＝23得c ＝23a ，又2b ＝85，a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝144，b 2＝80， 所以椭圆的标准方程为x 2144＋y 280＝1或x 280＋y 2144＝1.反思与感悟 依据椭圆的几何性质求标准方程问题应由所给的几何性质充分找出a ，b ，c 所应满足的关系式，进而求出a ，b ，在求解时，需注意椭圆的焦点位置． 跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且焦距为12.解 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ，4a 2＋36b2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝237，b ＝37，∴椭圆方程为x 2148＋y 237＝1.同样地可求出当焦点在y 轴上时， 椭圆方程为x 213＋y 252＝1.故所求椭圆的方程为x 2148＋y 237＝1或x 213＋y 252＝1.(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，2c ＝12，∴b ＝c ＝6，∴a 2＝b 2＋c 2＝72，∴所求的椭圆方程为x 272＋y 236＝1.命题角度2 最值问题例3 椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32到椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程．解 设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵b a＝a 2－c 2a 2＝1－e 2＝12，∴a ＝2b . ∴椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.设椭圆上点M (x ，y )到点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32的距离为d ， 则d 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝4b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 2b 2＋y 2－3y ＋94＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＋4b 2＋3，令f (y )＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＋4b 2＋3.当－b ≤－12，即b ≥12时，d 2max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4b 2＋3＝7，解得b ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.当－12<－b ，即0<b <12时，d 2max ＝f (－b )＝7，解得b ＝－32±7，与0＜b ＜12矛盾．综上所述，所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.反思与感悟 求解椭圆的最值问题的基本方法有两种(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解．(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．跟踪训练3 已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是________． 答案 2解析 设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)，PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)，∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20 ＝22－2y 20＋y 20 ＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1， ∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2. 类型三 求椭圆的离心率例4 如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上的点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解 设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为a ，b ，c .则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，23b ， 且△MF 1F 2为直角三角形． 在Rt △MF 1F 2中，F 1F 22＋MF 22＝MF 21， 即4c 2＋49b 2＝MF 21.而MF 1＋MF 2＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝49.所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，所以e ＝53.反思与感悟 求椭圆离心率的方法(1)直接求出a 和c ，再求e ＝ca ，也可利用e ＝1－b 2a2求解． (2)若a 和c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到a 和c 的齐次等式关系，然后整理成c a的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e 的方程，进而求解．跟踪训练4 已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A (5,0)，求椭圆C 的离心率． 解 若焦点在x 轴上，得 ⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，25a 2＋0b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1，∴c ＝a 2－b 2＝52－12＝26，∴e ＝c a ＝265；若焦点在y 轴上，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5，∴c ＝a 2－b 2＝252－52＝106，∴e ＝c a ＝10625＝265.故椭圆C 的离心率为265.1．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为________． 答案33解析 由2x 2＋3y 2＝m (m >0)，得x 2m 2＋y 2m3＝1，∴c 2＝m 2－m 3＝m 6，∴e 2＝13，又∵0＜e ＜1，∴e ＝33.2．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是________． 答案 x 2＋y 26＝1解析 由已知得c ＝5，b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6， 又椭圆的焦点在y 轴上， 故椭圆的标准方程为y 26＋x 2＝1.3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．答案 35解析 由题意有，2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ， 又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ， 即5e 2＋2e －3＝0，又∵0＜e ＜1，∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．4．若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为________．答案 32解析 ∵焦点在y 轴上，∴0<m <2， ∴a ＝2，b ＝m ，∴c ＝2－m ，又e ＝c a ＝12，∴2－m 2＝12，解得m ＝32.5．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是________________． 答案 [4－23，4＋23]解析 因为点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，即在椭圆x 23＋y 28＝1上，所以点(m ，n )满足椭圆的范围|x |≤3，|y |≤22，因此|m |≤3，即－3≤m ≤3，所以2m ＋4∈[4－23，4＋23]．1．椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的位置． 2．椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关，它们反映了椭圆的形状． 3．讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型，不能确定的应分焦点在x 轴上、y 轴上进行讨论．4．与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1有相同焦点的椭圆可设为x 2a 2＋m ＋y 2b 2＋m＝1.一、填空题1．椭圆4x 2＋49y 2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是________． 答案 14,4，357解析 先将椭圆方程化为标准形式，得x 249＋y 24＝1，其中b ＝2，a ＝7，c ＝3 5.2．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的标准方程为________． 答案x 236＋y 216＝1解析 依题意得c ＝25，a ＋b ＝10， 又a 2＝b 2＋c 2从而解得a ＝6，b ＝4.3．若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为________． 答案5－12解析 依题意得，4b 2＝4ac ，∴b 2a 2＝c a，即1－e 2＝e .∴e 2＋e －1＝0，∴e ＝5－12(舍去负值)． 4．已知椭圆的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1，F 2，F 1F 2＝2，离心率e ＝12，则椭圆的标准方程为________________． 答案x 24＋y 23＝1解析 因为F 1F 2＝2，离心率e ＝12，所以c ＝1，a ＝2，所以b 2＝3，椭圆方程为x 24＋y 23＝1.5．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为32，且过点(2,0)的椭圆的标准方程是________． 答案x 24＋y 2＝1或x 24＋y 216＝1解析 若焦点在x 轴上，则a ＝2. 又e ＝32，∴c ＝ 3.∴b 2＝a 2－c 2＝1， ∴方程为x 24＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，则b ＝2.又e ＝32，∴b 2a 2＝1－34＝14，∴a 2＝4b 2＝16，∴方程为x 24＋y 216＝1.6．椭圆x 212＋y 23＝1的左焦点为F 1，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点M 在y 轴上，则点P 的纵坐标是________． 答案 ±32解析 设椭圆的右焦点为F 2，由题意知PF 2⊥x 轴， 因为a 2＝12，b 2＝3，所以c 2＝a 2－b 2＝9，c ＝3. 所以点P 和点F 2的横坐标都为3. 故将x ＝3代入椭圆方程，可得y ＝±32. 7．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是________． 答案2mm解析 椭圆方程可化简为x 211＋m ＋y 21m＝1，由题意知m >0，∴11＋m <1m ，∴a ＝mm ，∴椭圆的长轴长2a ＝2mm.8．已知椭圆C 的上，下顶点分别为B 1，B 2，左，右焦点分别为F 1，F 2，若四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，则此椭圆的离心率e ＝________. 答案22解析 因为四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，所以b ＝c ， 所以a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，所以e ＝c a ＝22. 9．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是____________． 答案x 25＋y 24＝1 解析 ∵x ＝1是圆x 2＋y 2＝1的一条切线． ∴椭圆的右焦点为A (1,0)，即c ＝1.设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，则k OP ＝12，∵OP ⊥AB ，∴k AB ＝－2，则直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，它与y轴的交点为(0,2)．∴b ＝2，a 2＝b 2＋c 2＝5，故椭圆的方程为x 25＋y 24＝1. 10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．考点 椭圆的离心率问题题点 求a ，b ，c 得离心率答案 33解析 由题意可设PF 2＝m ，结合条件可知PF 1＝2m ，F 1F 2＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝F 1F 2PF 1＋PF 2＝3m 2m ＋m ＝33. 11．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．答案 34解析 设直线x ＝3a 2与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°， 在Rt △PF 2M 中，PF 2＝F 1F 2＝2c ，F 2M ＝3a 2－c ， 故cos60°＝F 2M PF 2＝3a 2－c 2c ＝12， 解得c a ＝34，故离心率e ＝34.二、解答题12．已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．解 (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10， 短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35. (2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)，焦点坐标(0,6)，(0，－6)；④离心率：e ＝35. 13．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率是23，长轴长是6； (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)． 由已知得2a ＝6，e ＝c a ＝23，∴a ＝3，c ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1. (2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)． 如图所示，△A 1FA 2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2上的中线(高)，且OF ＝c ，A 1A 2＝2b ， ∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1. 三、探究与拓展 14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，过点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0的直线与椭圆相交于点A ，B 两点，且F 1A ∥F 2B ，F 1A ＝2F 2B ，则椭圆的离心率为________． 答案 33解析 由F 1A ∥F 2B ，F 1A ＝2F 2B ，得EF 2EF 1＝F 2B F 1A ＝12， 从而a 2c －c a 2c＋c ＝12，整理得a 2＝3c 2.故离心率e ＝c a ＝33. 15．已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1,0)，一个顶点为H (2,0)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t,0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围． 解 (1)由题意可得，c ＝1，a ＝2，∴b ＝ 3.∴所求椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则x 204＋y 23＝1.①MP →＝(t －x 0，－y 0)，MH →＝(2－x 0，－y 0)，由MP ⊥MH 可得MP →·MH →＝0，即(t －x 0)(2－x 0)＋y 20＝0.②由①②消去y 0，整理得t (2－x 0)＝－14x 20＋2x 0－3.∵x 0≠2，∴t ＝14x 0－32.∵－2<x 0<2，∴－2<t <－1.∴实数t 的取值范围为(－2，－1)．。

2.2.1 椭圆的标准方程学习目标：1.了解椭圆标准方程的推导过程．(难点) 2.掌握椭圆的标准方程，能根据已知条件求椭圆的标准方程．(重点) 3.能用标准方程判定曲线是否是椭圆．[自 主 预 习·探 新 知]椭圆的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0) 图形焦点坐标(－c,0)，(c,0)(0，－c )，(0，c )a ，b ，c 的关系 b 2＝a 2－c 21．判断正误：(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a 2＝b 2＋c 2.( ) (2)方程2x 2＋y 2＝4表示的曲线不是椭圆．( ) (3)圆是椭圆的特殊形式．( )(4)方程x 2a 2＋y 22a＝1(a >0)，表示焦点在x 轴上的椭圆．( )【解析】 (1)√.由椭圆方程的推导过程可知a 2＝b 2＋c 2.(2)×.把方程2x 2＋y 2＝4化为标准形式为x 22＋y 24＝1，易知其表示的曲线是椭圆．(3)×.由圆和椭圆的定义可知其错误．(4)×.当a 2＞2a ，即a ＞2时，方程x 2a 2＋y 22a＝1(a ＞0)才表示焦点在x 轴上的椭圆，否则不是．【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×2．a ＝5，c ＝3，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为______.【导学号：95902077】【解析】 ∵a ＝5，c ＝3，∴b 2＝25－9＝16， 又∵焦点在y 轴上， ∴椭圆的方程为y 225＋x 216＝1.【答案】y 225＋x 216＝1 [合 作 探 究·攻 重 难]求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)．[思路探究] (1)利用椭圆的定义或待定系数法求解；(2)利用待定系数法求解．【自主解答】 (1)方法一：由于椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧52a 2＋02b 2＝1，a 2＝b 2＋42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝25，b 2＝9，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.方法二：由于椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵2a ＝5＋42＋5－42＝10，∴a ＝5.又c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.方法三：由于椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．因为椭圆经过点(5,0)，所以a ＝5，又因为椭圆的焦点为(－4,0)和(4,0)，所以c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝9，故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)方法一：①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 32a 2＋－22b 2＝1－232a2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧－22a2＋32b 2＝11a 2＋－232b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5b 2＝15，因为a ＞b ＞0，所以无解．所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.方法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m＋4n＝112m＋n＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m＝115n＝15.所以所求椭圆的标准方程为x215＋y25＝1.[规律方法]1．确定椭圆方程的“定位”与“定量”2．巧设椭圆方程(1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．(2)与椭圆x2a2＋y2b2＝1有相同焦点的椭圆方程可设为x2a2＋λ＋y2b2＋λ＝1.[跟踪训练]1．求焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)的椭圆的标准方程．【解】由于椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a2＋0b2＝1a2＋1b2＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a2＝4b2＝1.故所求椭圆的标准方程为y24＋x2＝1.与椭圆有关的轨迹问题如图2­2­1所示，圆x2＋y2x轴的垂线段PP′，P′为垂足．M为直线PP′上一点，且P′M＝λPP′(λ为大于零的常数)．当点P在圆上运动时，点M的轨迹是什么？为什么？图2­2­1[思路探究] 设出点M 和点P 的坐标，根据P ′M ＝λPP ′找到二者的联系，用点M 的坐标表示点P 的坐标，利用点P 在圆上代入可得点M 的轨迹方程，讨论λ可得点M 的轨迹．【自主解答】 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，∵PP ′⊥x 轴，且P ′M ＝λPP ′，∴x ＝x 0，y ＝λy 0，即x 0＝x ，y 0＝1λy .∵点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 20＋y 20＝1.把x 0＝x ，y 0＝1λy 代入上式得x 2＋y 2λ2＝1.当0＜λ＜1时，点M 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆； 当λ＝1时，点M 的轨迹是圆；当λ＞1时，点M 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆.[规律方法] 求解与椭圆有关的轨迹问题，一般利用相关点法(代入法)，可先设动点的坐标为(x ，y )，然后通过题设条件给出的等量关系列出等式，再化简等式得到对应的轨迹方程.[跟踪训练]2．已知点P (x 0，y 0)是椭圆x 28＋y 24＝1上一点，A 点的坐标为(6,0)，求线段PA 中点M 的轨迹方程．【解】 设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋62＝x ，y 0＋02＝y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －6，y 0＝2y .∵点P 在椭圆x 28＋y 24＝1上，∴x 208＋y 204＝1.把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －6，y 0＝2y代入x 208＋y 204＝1，得2x －628＋2y24＝1，即x －322＋y 2＝1为所求．椭圆的定义及标准方程的应用[探究问题]1．椭圆的定义是什么？能否用一个数学式来表示椭圆的定义？【提示】 平面内与两个定点F 1，F 2距离的和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆．即PF 1＋PF 2＝2a (2a ＞F 1F 2)．2．若点P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的点，则PF 1＋PF 2的值为多少？【提示】 PF 1＋PF 2＝2a .3．在三角形PF 1F 2中，F 1F 2的长是多少？设∠F 1PF 2＝θ，结合余弦定理，PF 1·PF 2能否用椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中的参数来表示？【提示】 F 1F 2＝2c .在三角形PF 1F 2中，由余弦定理可得F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos θ＝(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2(1＋cos θ)，即4c 2＝4a 2－2PF 1·PF 2(1＋cos θ)，所以PF 1·PF 2＝2b 21＋cos θ.4．根据探究3的讨论，能把三角形PF 1F 2的面积表示出来吗？根据基本不等式，PF 1·PF 2和PF 1＋PF 2存在不等关系吗？【提示】 S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2sin θ＝b 2sin θ1＋cos θ，根据基本不等式PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝a 2.5．设点F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，则三角形PF 1F 2叫做该椭圆的焦点三角形，通过以上探究，我们解决焦点三角形问题时需要注意哪些知识？【提示】 要注意充分利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理(勾股定理)和三角形的面积公式，若涉及范围问题，往往要利用基本不等式解决．已知F 1，F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上任意一点． (1)若∠F 1PF 2＝π3，求△PF 1F 2的面积；(2)求PF 1·PF 2的最大值．[思路探究] (1)在焦点三角形PF 1F 2中，应用椭圆的定义、余弦定理和三角形的面积公式可求解； (2)利用椭圆的定义和基本不等式可求PF 1·PF 2.【自主解答】 (1)由椭圆的定义可知，PF 1＋PF 2＝20， ① 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos∠F 1PF 2， 即122＝PF 21＋PF 22－PF 1·PF 2. ② ①2＋②，并整理，得PF 1·PF 2＝2563.∴S △PF 1F 2＝12 PF 1·PF 2·sin π3＝643 3.(2)由x 2100＋y 264＝1可知，a ＝10，c ＝6. ∴PF 1＋PF 2＝20， ∴PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝100.当且仅当PF 1＝PF 2＝10时，等号成立．∴PF 1·PF 2的最大值是100. [规律方法]1．椭圆的定义给出了一个结论：椭圆上的点P 到两焦点F 1，F 2的距离的和为常数2a ，则已知点P 到一个焦点的距离就可以利用PF 1＋PF 2＝2a 求出该点到另一个焦点的距离．2．椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．3．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12ab sin C 把PF 1·PF 2看成一个整体，运用公式PF 21＋PF 22＝(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2及余弦定理求出PF 1·PF 2，而无需单独求出，这样可以减少运算量．[跟踪训练]3．已知椭圆x 24＋y 22＝1的左、右两个焦点分别是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是__________.【导学号：95902078】【解析】 因为x 24＋y 22＝1，焦点在x 轴上，则a ＝2，由椭圆定义：|PF 1|＋|PF 2|＝4，|F 1F 2|＝22，又|PF 1|－|PF 2|＝2，可得|PF 1|＝3，|PF 2|＝1，由12＋(22)2＝9，所以△PF 1F 2是直角三角形，S △PF 1F 2＝12|PF 2|·|F 1F 2|＝ 2.【答案】2[构建·体系][当 堂 达 标·固 双 基]1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则PF 1＋PF 2＝________.【导学号：95902079】【解析】 由标准方程得a 2＝25，∴2a ＝10，由椭圆定义知PF 1＋PF 2＝2a ＝10. 【答案】 102．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为 ________. 【解析】 c ＝1，a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.【答案】x 24＋y 23＝13．如果方程x 2a2＋y2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________.【导学号：95902080】【解析】 由于椭圆焦点在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2>a ＋6，a ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2a －3>0，a >－6.⇔a >3或－6<a <－2.【答案】 a >3或－6<a <－24．已知点P 为椭圆x 249＋y 224＝1上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，若∠F 1PF 2为直角，则PF 1·PF 2＝__________.【解析】 由∠F 1PF 2为直角得PF 21＋PF 22＝F 1F 22，(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2＝F 1F 22. 又a 2＝49，b 2＝24得c 2＝25，所以142－2PF 1·PF 2＝102得PF 1·PF 2＝48. 【答案】 485．已知椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，求此椭圆的标准方程. 【导学号：95902081】【解】 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧925m ＋16n ＝1，1625m ＋9n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝125.∴椭圆方程为x 2＋y 225＝1.。

2.2.1 椭圆的标准方程1．了解椭圆标准方程的推导．(难点)2．掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程．(重点) 3．椭圆的两种标准方程的区分．(易混点)[基础·初探]教材整理 椭圆的标准方程阅读教材P 30～P 31思考上面内容，完成下列问题.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆的标准方程中，“标准”的条件是椭圆的焦点在坐标轴上，且两焦点关于原点对称．( )(2)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a 2＝b 2＋c 2.( )(3)方程x 2m ＋y 2n＝1(m ＞0，n ＞0)是椭圆的方程．( )(4)椭圆x 24＋y 26＝1的焦点在x 轴上．( )(5)设椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，则PF 1＋PF 2＝2.( )(6)椭圆x 212＋y 28＝1的焦点坐标是(±2,0)．( )【解析】 (1)(2)明显正确；(3)x 2m 2＋y 2n2＝1中，当m ＝n >0时方程表示圆，故错误； (4)方程y 2的分母大于x 2的分母，故椭圆的焦点在y 轴上，故错误； (5)方程x 24＋y 2＝1中，a ＝2，所以PF 1＋PF 2＝4.所以错误；(6)因为a 2－b 2＝12－8＝4，所以c ＝2，即焦点坐标为(±2，0)，故正确． 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)椭圆的焦距为2，且过点P (－5，0)；(2)两个焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，并且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52. 【精彩点拨】 求椭圆的标准方程关键是确定焦点的位置及a ，b 的值，若不能确定焦点位置，则要根据焦点在x 轴上还是y 轴上分类讨论．【自主解答】 (1)①若椭圆的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵c ＝1，点P (－5，0)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧5a 2＝1，a 2－b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝4.故椭圆的标准方程为x 25＋y 24＝1.②若椭圆的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧5b2＝1，a 2－b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝6，b 2＝5.故椭圆的标准方程为y 26＋x 25＝1.故所求椭圆的方程是x 25＋y 24＝1或y 26＋x 25＝1.(2)法一：因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义知 2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＝210，∴a ＝10.又c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝6， 所以所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1. 法二：设所求椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫522a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝10，b 2＝6，所以所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.法三：设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2a 2－4＝1(a >2)，∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52在椭圆上，∴254a 2＋94a 2－4＝1， 整理得2a 4－25a 2＋50＝0， 解得a 2＝52(舍)，a 2＝10，所以所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.用待定系数法求椭圆的标准方程，一般解题步骤可归纳为[再练一题]1．求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．【解】 (1)法一：因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)．将点(5,0)代入上式解得a ＝5，又c ＝4， 所以b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.法二：由椭圆的定义可知2a ＝－4－2＋0＋－2＋0＝10，∴a ＝5，又c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.(1)若椭圆的焦点在x 轴上，求α的取值范围； (2)若椭圆的焦点在y 轴上，求α的取值范围．【精彩点拨】 (1)已知方程不是椭圆的标准形式，应先化成标准方程．(2)对于椭圆方程x 2m ＋y 2n＝1(m >0，n >0，m ≠n )可由m ，n 的大小确定椭圆焦点的位置，列出三角不等式后求α的范围．【自主解答】 将椭圆方程x 2·sin α－y 2·cos α＝1(0≤α≤2π)化为标准形式为x 21sin α＋y 21－cos α＝1(0≤α≤2π)．(1)若方程表示焦点在x 轴上的椭圆， 则1sin α>－1cos α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan α>－1，所以34π<α<π，即α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π.(2)若方程表示焦点在y 轴上的椭圆， 则－1cos α>1sin α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan α<－1，所以π2<α<3π4，即α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.1．椭圆标准方程形式：左边是“平方＋平方”，分母不等，右边为“1”．2．焦点在x 轴上⇔标准方程中x 2项的分母较大，焦点在y 轴上⇔标准方程中y 2项的分母较大，因此由椭圆的标准方程判断焦点位置时要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”．[再练一题]2．(1)若方程x 29－k＋y 2k －3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________．(2)已知曲线C ：x 2k －5＋y 23－k＝－1，则“4≤k ＜5”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的________条件．【解析】 (1)据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧9－k ＞0，k －3＞0，9－k ＞k －3，解得3＜k ＜6，所以实数k 的取值范围是(3,6)． (2)将曲线C 的方程化为x 25－k ＋y 2k －3＝1，若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则k －3＞5－k ＞0，即4＜k ＜5，故“4≤k ＜5”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的必要不充分条件．【答案】 (1)(3,6) (2)必要不充分[探究共研型]探究1 点P 是椭圆上的点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，|PF 1||PF 2|的最大值是什么？ 【提示】 因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a (定值)，由基本不等式得|PF 1||PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＝a 2，这时PF 1＝PF 2，即P 为y 轴上的交点时，|PF 1||PF 2|取的最大值为a 2. 探究2 若∠F 1PF 2＝θ，当θ取最大值时，cos θ的最小值是多少？ 【提示】 在△PF 1F 2中，令PF 1＝r 1，PF 2＝r 2则r 1＋r 2＝2a ，由F 1F 2＝2c ，所以cos θ＝r 21＋r 22－4c22r 1r 2＝r 1＋r 22－2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝4b 2－2r 1r 22r 1r 2＝2b2r 1r 2－1≥2b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫r 1＋r 222－1＝2b2a 2－1，这时θ最大， 当且仅当r 1＝r 2时，cos θ取得最小值2b2a2－1.探究3 当点P 为y 轴的交点时，若∠F 1PF 2为锐角，椭圆上是否存在点M ，使∠F 1MF 2＝90°；若∠F 1PF 2为钝角呢？【提示】 若∠F 1PF 2为锐角时，不存在点M ，使∠F 1MF 2＝90°；若∠F 1PF 2为钝角时，根据椭圆的特点，会存在四个点M ，使∠F 1MF 2＝90°.如图2­2­1所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．图2­2­1【精彩点拨】 根据椭圆的标准方程知PF 1＋PF 2＝4，结合面积公式和余弦定理找到PF 1和PF 2的关系求解．【自主解答】 由已知a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，F 1F 2＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得PF 22＝PF 21＋F 1F 22－2PF 1·F 1F 2cos 120°，即PF 22＝PF 21＋4＋2PF 1.① 由椭圆定义，得PF 1＋PF 2＝4， 即PF 2＝4－PF 1.② ②代入①解得PF 1＝65.∴S △PF 1F 2＝12PF 1·F 1F 2·sin 120°＝12×65×2×32＝335， 即△PF 1F 2的面积是335.在椭圆中，由三条线段PF 1，PF 2，F 1F 2围成的三角形称为椭圆的焦点三角形.涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出PF 1＋PF 2＝2a ，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.[再练一题]3．若椭圆x 2100＋y 264＝1的焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2【解析】 由已知得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20，|F 1F 2|＝2c ＝12.由余弦定理，知(2c )2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°，即144＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1|·|PF 2|，∴|PF 1|·|PF 2|＝2563，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝6433.【答案】6433[构建·体系]1．椭圆x 236＋y 225＝1的焦点坐标为________．【解析】 ∵a 2＝36，b 2＝25，∴c ＝a 2－b 2＝11， 故焦点坐标为(11，0)，(－11，0)． 【答案】 (11，0)，(－11，0) 2．若方程x 2k －3＋y 25－k＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________.【导学号：09390022】【解析】 据题意有⎩⎪⎨⎪⎧k －3＞0，5－k ＞0，5－k ＞k －3，解得3＜k ＜4.【答案】 (3,4)3．若a ＝5，c ＝2，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为________．【解析】 由b 2＝a 2－c 2，得b 2＝25－4＝21.因为焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 225＋x 221＝1.【答案】y 225＋x 221＝1 4．已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，则动点P 的轨迹【解析】 由条件知PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝4，即a ＝2.∵c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3，故动点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.【答案】x 24＋y 23＝1 5．已知椭圆经过点⎝⎛⎭⎪⎫63，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫223，1，求椭圆的标准方程． 【解】 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． 因为点⎝⎛⎭⎪⎫63，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫223，1都在椭圆上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫632＋n 32＝1，m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2232＋n ·12＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2m 3＋3n ＝1，8m 9＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝19，所以所求的椭圆的标准方程为x 2＋y 29＝1.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1)(2)学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．(2016·聊城高二检测)椭圆x 29＋y 216＝1的两个焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若| PF 1|＝3，则PF 2＝___________________________________________.【解析】 方程x 29＋y 216＝1中，a ＝4，则PF 1＋PF 2＝8，∴PF 2＝2a －PF 1＝8－3＝5. 【答案】 52．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值为________．【解析】 ∵2c ＝2，∴c ＝1，∴m －4＝1或4－m ＝1， ∴m ＝3或5. 【答案】 3或53．(2016·无锡高二检测)设F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 225＝1(a >5)的两个焦点，且|F 1F 2|＝8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为________. 【导学号：09390023】【解析】 易知|F 1F 2|＝8＝2c ，即c ＝4，∴a 2＝25＋16＝41，∴a ＝41，因为弦AB 过点F 1，所以△ABF 2的周长为AB ＋AF 2＋BF 2＝AF 1＋AF 2＋BF 1＋BF 2＝4a ＝441.【答案】 4414．若方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数m 的取值范围是________．【解析】 ∵方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，将方程改写为y 22－m 2＋x 2m＝1，∴有⎩⎪⎨⎪⎧2－m 2>m ，m >0，解得0<m <1. 【答案】 (0,1)5．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，点P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是________三角形(填“直角”“锐角”或“钝角”)【解析】 不妨设PF 1>PF 2，由条件知PF 1－PF 2＝2，又PF 1＋PF 2＝2a ＝8，解得PF 1＝5，PF 2＝3.又∵F 1F 2＝2c ＝216－12＝4，∴F 1F 22＋PF 22＝PF 21，故△PF 1F 2是直角三角形．【答案】 直角6．设F 1，F 2是椭圆4x 249＋y 26＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为________．【解析】 根据椭圆定义有⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，|PF 1|＋|PF 2|＝7，因此|PF 1|＝4，|PF 2|＝3.又因为|F 1F 2|＝5，因此△PF 1F 2为直角三角形，S △PF 1F 2＝12×3×4＝6. 【答案】 67．过点(3，－5)且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________． 【解析】 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝ 3－2＋－5＋2＋3－2＋－5－2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2，可得b 2＝4，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1. 【答案】 y 220＋x 24＝1 8．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是________．【解析】 设椭圆的另一焦点为F 2，由条件可知PF 2∥OM ，∴PF 2⊥x 轴．设P 点纵坐标为y ，则由x 212＋y 23＝1，得y ＝±32， ∴点M 的纵坐标为±34. 【答案】 ±34 二、解答题9．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→，若△PF 1F 2的面积为9，求b 的值．【解】 如图所示，PF 1⊥PF 2，F 1F 2＝2c ，根据椭圆的定义可知，PF 1＋PF 2＝2a ，在Rt △F 1PF 2中，PF 21＋PF 22＝4c 2.又S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2＝9，即PF 1·PF 2＝18.∴(PF 1＋PF 2)2＝PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝4c 2＋36＝4a 2，∴4a 2－4c 2＝36，即a 2－c 2＝9，即b 2＝9，∴b ＝3.10．求符合下列条件的参数的值或取值范围．(1)若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上的椭圆，求k 的取值范围；(2)若椭圆8k 2x 2－ky 2＝8的一个焦点为(0，7)，求k 的值．【解】 (1)原方程可化为x 22＋y 22k＝1.∵其表示焦点在x 轴上的椭圆，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k>0，2k <2，解得k >1.故k 的取值范围是k >1.(2)原方程可化为x 21k 2＋y 28－k＝1.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ －8k >0，－8k >1k 2，－8k －1k 2＝7，即⎩⎪⎨⎪⎧ k <0，k <－18，k ＝－1或k ＝－17.故k 的值为－1或－17. [能力提升]1．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4，0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B的值为________. 【导学号：09390024】 【解析】 由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x 轴上，且半焦距c ＝a 2－b 2＝25－9＝4,2a ＝10.∴A (－4,0)和C (4,0)是椭圆的左、右焦点．∵点B 在椭圆上，∴|BA |＋|BC |＝2a ＝10，∴sin A ＋sin C sin B ＝2R sin A ＋2R sin C 2R sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝108＝54(R 为△ABC 外接圆的半径)． 【答案】 542．已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5,3，过P 且与x 轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，则椭圆的方程为________．【解析】 由题意知椭圆焦点在x 轴上，设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝5＋3，c 2＝52－32，解得a ＝4，c ＝2，b 2＝12. 故所求方程为x 216＋y 212＝1. 【答案】 x 216＋y 212＝1 3．(2016·漳州模拟)“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆”的________条件．【解析】 由方程mx 2＋ny 2＝1，得x 21m ＋y 21n ＝1，所以要使方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1m >0，1n >0，m ≠n ，即m >0，n >0且m ≠n .所以，“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件．【答案】 必要不充分4．已知椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，焦距为6，求实数m 的值．【解】 ①当椭圆焦点在x 轴上时，由2c ＝6，得c ＝3.由椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，得a 2＝25，b 2＝m 2，所以m 2＝25－9＝16.因为m >0，所以m ＝4.②当椭圆焦点在y 轴上时，由2c ＝6，得c ＝3.由椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，得a 2＝m 2，b 2＝25，所以m 2＝25＋9＝34.因为m >0，所以m ＝34.综上所述，实数m 的值为4或34.。

x
c
线.
非板书组： 组员在科研 组长带领下，
解答过程，及 总结如何这类 例题解法；
进行培辅与
预展；
认真阅读课本例 6，思考以下
问题：
（1）说出椭圆交点在 y 轴上时 椭圆的准线方程；
（2）例题中的椭圆上到定点 F 与到定直线 l 距离的比值 4 对
5
应着椭圆的哪个量？由例题的 过程你能得出椭圆的第二定义 吗？
12. 已知椭圆
( a>b>0) 的离心率 e＝
. 过点 A(0 ，－ b) 和 B( a, 0) 的直线与原点的距
离为 ，求椭圆的标准方程．
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13. 如下图所示， F1，F2 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点 M的横坐标等于右焦点的横坐标，其
纵坐标等于短半轴长的
2 、紧扣主题，展示知识点、可加题型、可表困惑
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满分： 100 分 得分：
考查内容 ： 椭圆的几何性质 2
考查主题 ： 灵活运用数形结合解题
考查形式： 封闭式训练，导师不指导、不讨论、不抄袭 .
温馨提示： 本次训练时间约为 40 分钟，请同学们认真审题，仔细答题，安静、自主的完成训练 内容 .
)
A． ＋ ＝ 1 B． ＋ ＝ 1C． ＋ ＝ 1D． ＋ ＝ 1
3. 已知 F1、 F2 为椭圆
( a>b>0) 的两个焦点，过 F2 作椭圆的弦 AB，若△ AF1B 的周长为
16，椭圆离心率 e＝ ，则椭圆的方程是 ( )
A． ＋ ＝ 1B． ＋ ＝ 1C． ＋ ＝ 1D． ＋ ＝ 1
4. 中心在坐标原点的椭圆，焦点在 x 轴上，焦距为 4，离心率为

2.3.2双曲线的几何性质(1)主备人： 学生姓名： 得分：一、教学内容：双曲线的几何性质（1） 二、教学目标1．了解双曲线简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等． 2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题． 三、课前预习1．已知方程11122=--+ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是____________.2、过双曲线3422y x -=1左焦点1F 的直线交双曲线的左支于N M ,两点，2F 为其右焦点，则MN NF MF -+22的值为____________.3．21,F F 是双曲线116922=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足3221=∙PF PF ，则可得=∠21PF F ____________.4．已知双曲线与椭圆1362722=+y x 有共同的焦点，且过点)4,15(，求双曲线的方程____________. 四、讲解新课 （一）引入新课1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？ 2．双曲线的两种标准方程是什么？下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质． （二）类比联想得出性质（范围、对称性、顶点） 引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格： 曲线椭圆双曲线适合条件的点的集合{}a PF PF P 221=+{}a PF PF P 2||21=-标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=-b y a x （0,0>>b a ）图形c b a ,,关系范围 对称性顶点（三）渐近线双曲线的范围在以直线b y x a =和by x a =-为边界的平面区域内，那么从x ，y 的变化趋势看，双曲线22221x y a b -=与直线b y x a =±具有怎样的关系呢？ 定义：直线b y x a =±叫做双曲线22221x y a b -=的渐近线；直线a y x b =±叫做双曲线22221y x a b -=的渐近线．（四）、离心率由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：1．双曲线的焦距与实轴的比c e a =叫做双曲线的离心率，且1e >． 2．由于1122222222-=-=-==e a c aa c ab ab，所以e 越大，b a 也越大，即渐近线by xa =±的斜率绝对值越大．这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．这时，指出：焦点在y 轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变． （五）例题讲解例1　求双曲线22143x y -=的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．例2　已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程．五、随堂练习1. 双曲线224x y -=-的实轴长是 、虚轴长是 、顶点坐标是 、 焦点坐标是 、 离心率是 、渐近线的方程是2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上；（2）焦距是10，虚轴长是8，焦点在y 轴上；（3）离心率2=e ，经过点)2,0(P ；（4）两条渐近线的方程是xy 34±=，焦点为)0,5(),0,5(-四、 课堂小结： 五、 课后作业：六、 1.（13江苏）双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 2.双曲线1322=-y x 的两条渐近线所成的锐角是3.已知双曲线1422=-k y x 的离心率)2,1(∈e ，实数k 的取值范围是4．（12江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+则m 的值为 ．5．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)顶点在x 轴上，焦距为l0，离心率是45;(2) 焦点在y 轴上，一条渐近线为xy 43=，实轴长为l2；(3) 渐近线方程是xy 43±=,焦点坐标为)0,25(-和).0,25(6．已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为)22,0(F ,求双曲线的方程．。

2.2.1 椭圆的标准方程学习目标：1.了解椭圆标准方程的推导．(难点)2.掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程．(重点、易混点)3.能用标准方程判定曲线是否是椭圆．[自 主 预 习²探 新 知]教材整理 椭圆的标准方程阅读教材P 30～P 31思考上面内容，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“³”)(1)椭圆的标准方程中，“标准”的条件是椭圆的焦点在坐标轴上，且两焦点关于原点对称．( )(2)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a 2＝b 2＋c 2.( )(3)方程x 2m ＋y 2n＝1(m ＞0，n ＞0)是椭圆的方程．( )(4)椭圆x 24＋y 26＝1的焦点在x 轴上．( )(5)设椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，则PF 1＋PF 2＝2.( )(6)椭圆x 212＋y 28＝1的焦点坐标是(±2,0)．( )[解析] (1)(2)明显正确；(3)x 2m ＋y 2n＝1中，当m ＝n >0时方程表示圆，故错误；(4)方程y 2的分母大于x 2的分母，故椭圆的焦点在y 轴上，故错误； (5)方程x 24＋y 2＝1中，a ＝2，所以PF 1＋PF 2＝4.所以错误；(6)因为a 2－b 2＝12－8＝4，所以c ＝2，即焦点坐标为(±2，0)，故正确． [答案] (1)√ (2)√ (3)³ (4)³ (5)³ (6)√[合 作 探 究²攻 重 难](1)椭圆的焦距为2，且过点P (－5，0)；(2)两个焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，并且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52. 【导学号：71392056】[精彩点拨] 求椭圆的标准方程关键是确定焦点的位置及a ，b 的值，若不能确定焦点位置，则要根据焦点在x 轴上还是y 轴上分类讨论．[自主解答] (1)①若椭圆的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵c ＝1，点P (－5，0)在椭圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧5a 2＝1，a 2－b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝4.故椭圆的标准方程为x 25＋y 24＝1.②若椭圆的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧5b2＝1，a 2－b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝6，b 2＝5.故椭圆的标准方程为y 26＋x 25＝1.故所求椭圆的方程是x 25＋y 24＝1或y 26＋x 25＝1.(2)法一：∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义知 2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＝210，∴a ＝10.又c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝6， ∴所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1. 法二：设所求椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫522a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝10，b 2＝6，∴所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.法三：设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2a 2－4＝1(a >2)，∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52在椭圆上，∴254a 2＋94a 2－4＝1， 整理得2a 4－25a 2＋50＝0， 解得a 2＝52(舍)，a 2＝10，∴所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.1．求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)坐标轴为对称轴，并且经过两点A (0,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 3. [解] (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，因为椭圆经过点(5,0)，所以25a2＝1，a 2＝25，又c ＝4，b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9，所以椭圆方程为x 225＋y 29＝1. (2)法一：①若椭圆的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，把A ，B 两点坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋4b＝1，14a 2＋3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝4(舍去)．②若椭圆的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a ＋x 2b＝1(a ＞b ＞0)把A ，B 两点的坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，3a 2＋14b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1. 综上，所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.法二：设所求椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )， 把A 、B 两点坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧4n ＝1，m4＋3n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝14，故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.(1)若椭圆的焦点在x 轴上，求α的取值范围； (2)若椭圆的焦点在y 轴上，求α的取值范围.【导学号：71392057】[精彩点拨] (1)已知方程不是椭圆的标准形式，应先化成标准方程．(2)对于椭圆方程x 2m ＋y 2n＝1(m >0，n >0，m ≠n )可由m ，n 的大小确定椭圆焦点的位置，列出三角不等式后求α的范围．[自主解答] 将椭圆方程x 2²sin α－y 2²cos α＝1(0≤α≤2π)化为标准形式为x 21sin α＋y 21－cos α＝1(0≤α≤2π)．(1)若方程表示焦点在x 轴上的椭圆， 则1sin α>－1cos α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan α>－1，所以34π<α<π，即α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π.(2)若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则－1cos α>1sin α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan α<－1，所以π2<α<3π4，即α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.2．(1)若方程x 29－k＋y 2k －3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________．(2)已知曲线C ：x 2k －5＋y 23－k＝－1，则“4≤k ＜5”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的________条件．[解析] (1)据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧9－k ＞0，k －3＞0，9－k ＞k －3，解得3＜k ＜6，所以实数k 的取值范围是(3,6)． (2)将曲线C 的方程化为x 25－k ＋y 2k －3＝1，若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则k －3＞5－k ＞0，即4＜k ＜5，故“4≤k ＜5”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的必要不充分条件．[答案] (1)(3,6) (2)必要不充分[1．点P 是椭圆上的点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，|PF 1||PF 2|的最大值是什么？[提示] 因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a (定值)，由基本不等式得|PF 1||PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＝a 2，这时PF 1＝PF 2，即P 为y 轴上的交点时，|PF 1||PF 2|取的最大值为a 2. 2．若∠F 1PF 2＝θ，当θ取最大值时，cos θ的最小值是多少？ [提示] 在△PF 1F 2中，令PF 1＝r 1，PF 2＝r 2则r 1＋r 2＝2a ，由F 1F 2＝2c ，所以cos θ＝r 21＋r 22－4c22r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝4b 2－2r 1r 22r 1r 2＝2b2r 1r 2－1≥2b2⎝ ⎛⎭⎪⎫r 1＋r 222－1＝2b2a2－1，这时θ最大，当且仅当r 1＝r 2时，cos θ取得最小值2b2a2－1.3．当P 为椭圆与y 轴的交点时，若∠F 1PF 2为锐角，椭圆上是否存在点M ，使∠F 1MF 2＝90°；若∠F 1PF 2为钝角呢？[提示] 若∠F 1PF 2为锐角时，不存在点M ，使∠F 1MF 2＝90°；若∠F 1PF 2为钝角时，根据椭圆的特点，会存在四个点M ，使∠F 1MF 2＝90°.如图2­2­1所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积. 【导学号：71392058】图2­2­1[精彩点拨] 根据椭圆的标准方程知PF 1＋PF 2＝4，结合面积公式和余弦定理找到PF 1和PF 2的关系求解．[自主解答] 由已知a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，F 1F 2＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得PF 22＝PF 21＋F 1F 22－2PF 1²F 1F 2cos 120°，即PF 22＝PF 21＋4＋2PF 1.① 由椭圆定义，得PF 1＋PF 2＝4， 即PF 2＝4－PF 1.② ②代入①解得PF 1＝65.∴S ＝12PF 1²F 1F 2²sin 120°＝12³65³2³32＝335， 即△PF 1F 2的面积是335.3．若椭圆x 2100＋y 264＝1的焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是________．[解析] 由已知得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20，|F 1F 2|＝2c ＝12.由余弦定理，知(2c )2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|²|PF 2|²cos 60°，即144＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1|²|PF 2|，∴|PF 1|²|PF 2|＝2563，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|²|PF 2|²sin 60°＝6433.[答案]6433[当 堂 达 标²固 双 基]1．椭圆x 236＋y 225＝1的焦点坐标为________．[解析] ∵a 2＝36，b 2＝25，∴c ＝a 2－b 2＝11， 故焦点坐标为(11，0)，(－11，0)． [答案] (11，0)，(－11，0) 2．若方程x 2k －3＋y 25－k＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________．[解析] 据题意有⎩⎪⎨⎪⎧k －3＞0，5－k ＞0，5－k ＞k －3，解得3＜k ＜4.[答案] (3,4)3．若a ＝5，c ＝2，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为________．[解析] 由b 2＝a 2－c 2，得b 2＝25－4＝21.因为焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 225＋x 221＝1. [答案]y 225＋x 221＝1 4．已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，则动点P 的轨迹方程是________．[解析] 由条件知PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝4，由椭圆定义知，点P 轨迹是椭圆，且2a ＝4，∴a ＝2.∵c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3，故动点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.[答案]x 24＋y 23＝1 5．已知椭圆经过点⎝⎛⎭⎪⎫63，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫223，1，求椭圆的标准方程. 【导学号：71392059】[解] 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． 因为点⎝⎛⎭⎪⎫63，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫223，1都在椭圆上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ²⎝ ⎛⎭⎪⎫632＋n ²(3)2＝1，m ²⎝ ⎛⎭⎪⎫2232＋n ²12＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2m 3＋3n ＝1，8m 9＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝19，所以所求的椭圆的标准方程为x 2＋y 29＝1.。

2.2.1 椭圆的标准方程学习目标：1.了解椭圆标准方程的推导过程．(难点) 2.掌握椭圆的标准方程，能根据已知条件求椭圆的标准方程．(重点) 3.能用标准方程判定曲线是否是椭圆．[自 主 预 习·探 新 知]椭圆的标准方程1．判断正误：(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a 2＝b 2＋c 2.( ) (2)方程2x 2＋y 2＝4表示的曲线不是椭圆．( ) (3)圆是椭圆的特殊形式．( )(4)方程x 2a 2＋y 22a＝1(a >0)，表示焦点在x 轴上的椭圆．( )【解析】 (1)√.由椭圆方程的推导过程可知a 2＝b 2＋c 2.(2)×.把方程2x 2＋y 2＝4化为标准形式为x 22＋y 24＝1，易知其表示的曲线是椭圆．(3)×.由圆和椭圆的定义可知其错误．(4)×.当a 2＞2a ，即a ＞2时，方程x 2a 2＋y 22a＝1(a ＞0)才表示焦点在x 轴上的椭圆，否则不是．【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×2．a ＝5，c ＝3，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为______.【导学号：95902077】【解析】 ∵a ＝5，c ＝3，∴b 2＝25－9＝16， 又∵焦点在y 轴上， ∴椭圆的方程为y 225＋x 216＝1.【答案】y 225＋x 216＝1[合 作 探 究·攻 重 难](1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)．[思路探究] (1)利用椭圆的定义或待定系数法求解；(2)利用待定系数法求解．【自主解答】 (1)方法一：由于椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧52a 2＋02b 2＝1，a 2＝b 2＋42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝25，b 2＝9，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.方法二：由于椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵2a ＝＋2＋－2＝10，∴a ＝5.又c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.方法三：由于椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．因为椭圆经过点(5,0)，所以a ＝5，又因为椭圆的焦点为(－4,0)和(4,0)，所以c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝9，故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)方法一：①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 32a 2＋－2b 2＝1－232a2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧－2a2＋32b 2＝11a 2＋－232b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5b 2＝15，因为a ＞b ＞0，所以无解．所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.方法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝112m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝115n ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1. [规律方法]1．确定椭圆方程的“定位”与“定量”2．巧设椭圆方程(1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．(2)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1有相同焦点的椭圆方程可设为x 2a 2＋λ＋y 2b 2＋λ＝1.[跟踪训练]1．求焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)的椭圆的标准方程．【解】 由于椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝10a 2＋1b 2＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1.故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.如图2­2­1所示，圆x 2＋y 2x 轴的垂线段PP ′，P ′为垂足．M 为直线PP ′上一点，且P ′M ＝λPP ′(λ为大于零的常数)．当点P 在圆上运动时，点M 的轨迹是什么？为什么？图2­2­1[思路探究] 设出点M 和点P 的坐标，根据P ′M ＝λPP ′找到二者的联系，用点M 的坐标表示点P 的坐标，利用点P 在圆上代入可得点M 的轨迹方程，讨论λ可得点M 的轨迹．【自主解答】 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，∵PP ′⊥x 轴，且P ′M ＝λPP ′，∴x ＝x 0，y ＝λy 0，即x 0＝x ，y 0＝1λy .∵点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 20＋y 20＝1. 把x 0＝x ，y 0＝1λy 代入上式得x 2＋y 2λ2＝1.当0＜λ＜1时，点M 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆； 当λ＝1时，点M 的轨迹是圆；当λ＞1时，点M 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆.[规律方法] 求解与椭圆有关的轨迹问题，一般利用相关点法(代入法)，可先设动点的坐标为(x ，y )，然后通过题设条件给出的等量关系列出等式，再化简等式得到对应的轨迹方程.[跟踪训练]2．已知点P (x 0，y 0)是椭圆x 28＋y 24＝1上一点，A 点的坐标为(6,0)，求线段PA 中点M 的轨迹方程．【解】 设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋62＝x ，y 0＋02＝y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －6，y 0＝2y .∵点P 在椭圆x 28＋y 24＝1上，∴x 208＋y 204＝1.把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －6，y 0＝2y代入x 208＋y 204＝1，得x －28＋y24＝1，即x －22＋y 2＝1为所求．[探究问题]1．椭圆的定义是什么？能否用一个数学式来表示椭圆的定义？【提示】 平面内与两个定点F 1，F 2距离的和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆．即PF 1＋PF 2＝2a (2a ＞F 1F 2)．2．若点P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的点，则PF 1＋PF 2的值为多少？【提示】 PF 1＋PF 2＝2a .3．在三角形PF 1F 2中，F 1F 2的长是多少？设∠F 1PF 2＝θ，结合余弦定理，PF 1·PF 2能否用椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中的参数来表示？【提示】 F 1F 2＝2c .在三角形PF 1F 2中，由余弦定理可得F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos θ＝(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2(1＋cos θ)，即4c 2＝4a 2－2PF 1·PF 2(1＋cos θ)，所以PF 1·PF 2＝2b 21＋cos θ.4．根据探究3的讨论，能把三角形PF 1F 2的面积表示出来吗？根据基本不等式，PF 1·PF 2和PF 1＋PF 2存在不等关系吗？【提示】 S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2sin θ＝b 2sin θ1＋cos θ，根据基本不等式PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝a 2.5．设点F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，则三角形PF 1F 2叫做该椭圆的焦点三角形，通过以上探究，我们解决焦点三角形问题时需要注意哪些知识？【提示】 要注意充分利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理(勾股定理)和三角形的面积公式，若涉及范围问题，往往要利用基本不等式解决．已知F 1，F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上任意一点． (1)若∠F 1PF 2＝π3，求△PF 1F 2的面积；(2)求PF 1·PF 2的最大值．[思路探究] (1)在焦点三角形PF 1F 2中，应用椭圆的定义、余弦定理和三角形的面积公式可求解； (2)利用椭圆的定义和基本不等式可求PF 1·PF 2.【自主解答】 (1)由椭圆的定义可知，PF 1＋PF 2＝20， ① 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos∠F 1PF 2， 即122＝PF 21＋PF 22－PF 1·PF 2. ② ①2＋②，并整理，得PF 1·PF 2＝2563.∴S △PF 1F 2＝12 PF 1·PF 2·sin π3＝643 3.(2)由x 2100＋y 264＝1可知，a ＝10，c ＝6. ∴PF 1＋PF 2＝20， ∴PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝100.当且仅当PF 1＝PF 2＝10时，等号成立．∴PF 1·PF 2的最大值是100. [规律方法]1．椭圆的定义给出了一个结论：椭圆上的点P 到两焦点F 1，F 2的距离的和为常数2a ，则已知点P 到一个焦点的距离就可以利用PF 1＋PF 2＝2a 求出该点到另一个焦点的距离．2．椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．3．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12ab sin C 把PF 1·PF 2看成一个整体，运用公式PF 21＋PF 22＝(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2及余弦定理求出PF 1·PF 2，而无需单独求出，这样可以减少运算量．[跟踪训练]3．已知椭圆x 24＋y 22＝1的左、右两个焦点分别是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是__________.【导学号：95902078】【解析】 因为x 24＋y 22＝1，焦点在x 轴上，则a ＝2，由椭圆定义：|PF 1|＋|PF 2|＝4，|F 1F 2|＝22，又|PF 1|－|PF 2|＝2，可得|PF 1|＝3，|PF 2|＝1，由12＋(22)2＝9，所以△PF 1F 2是直角三角形，S △PF 1F 2＝12|PF 2|·|F 1F 2|＝ 2.【答案】2[构建·体系][当 堂 达 标·固 双 基]1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则PF 1＋PF 2＝________.【导学号：95902079】【解析】 由标准方程得a 2＝25，∴2a ＝10，由椭圆定义知PF 1＋PF 2＝2a ＝10. 【答案】 102．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为 ________. 【解析】 c ＝1，a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.【答案】x 24＋y 23＝13．如果方程x 2a2＋y2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________.【导学号：95902080】【解析】 由于椭圆焦点在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2>a ＋6，a ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a －，a >－6.⇔a >3或－6<a <－2.【答案】 a >3或－6<a <－24．已知点P 为椭圆x 249＋y 224＝1上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，若∠F 1PF 2为直角，则PF 1·PF 2＝__________.【解析】 由∠F 1PF 2为直角得PF 21＋PF 22＝F 1F 22，(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2＝F 1F 22. 又a 2＝49，b 2＝24得c 2＝25，所以142－2PF 1·PF 2＝102得PF 1·PF 2＝48. 【答案】 485．已知椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，求此椭圆的标准方程. 【导学号：95902081】【解】 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧925m ＋16n ＝1，1625m ＋9n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝125.∴椭圆方程为x 2＋y 225＝1.。