高考数学图形与数式

2024 高考数学考试大纲2024年高考数学考试大纲主要分为数与式、函数、几何与变换、统计与概率四个部分。

一、数与式1. 实数：实数的概念、实数的四则运算、有理数与无理数的关系、开方运算。

2. 立方根：立方根的概念、立方根的计算、立方根的性质。

3. 代数式与多项式：代数式的概念、等价代数式的判定、多项式的概念与多项式的次数、整除与同余等概念。

二、函数1. 函数的定义：函数的定义域、函数的值域、函数的单调性、函数的奇偶性等概念。

2. 一次函数：一次函数的定义、一次函数的图象与性质。

3. 二次函数：二次函数的定义、二次函数的图象与性质。

4. 分式函数：分式函数的定义、分式函数的图象与性质。

5. 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数的定义与性质。

6. 指数函数与对数函数：指数函数与对数函数的定义、指数函数与对数函数的图象与性质。

三、几何与变换1. 平面几何：平行线与相交线、三角形、四边形、圆等平面图形的性质与判定。

2. 立体几何：空间几何体的表面积和体积，空间点线面的位置关系等概念。

3. 解析几何：直线的方程，圆的方程，圆锥曲线的方程等解析几何的基本概念。

4. 坐标变换：平移变换、旋转变换等坐标变换的概念与性质。

四、统计与概率1. 概率初步知识：概率的基本概念，随机事件的概率等概念。

2. 统计初步知识：总体与样本的概念，数据的整理与表示方法等概念。

3. 离散型随机变量及其分布：离散型随机变量的概念，几种常见的离散型随机变量的分布等概念。

4. 二项分布及其应用：二项分布的概念，二项分布的性质等概念。

新高考数学公式知识点汇总在新高考改革背景下，学生们在数学考试中将会遇到更加注重能力培养和实际运用的题目。

而数学公式作为数学学习的重要基础，对于学生而言也是必备的知识点。

下面将为大家整理一份新高考数学公式的知识点汇总，希望能够对大家的学习有所帮助。

一、平面解析几何公式平面解析几何公式是数学中的重要内容，建立在笛卡尔坐标系的基础上，主要用于描述平面上的几何关系。

1. 点到直线的距离公式设直线的方程为Ax+By+C=0，点的坐标为(x0, y0)，则点到直线的距离为：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)2. 直线的斜率公式设直线上两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则直线的斜率为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)3. 直线的点斜式和斜截式设直线通过点(x0, y0)，斜率为k，则直线的点斜式和斜截式分别为：点斜式：y - y0 = k(x - x0)斜截式：y = kx + b二、立体几何公式立体几何公式主要涉及到空间中的几何图形的计算，是解决空间几何问题的基础。

1. 球体积公式设球体半径为r，则球体积为：V = (4/3)πr^32. 圆柱体体积公式设圆柱体的底面半径为r，高为h，则圆柱体体积为：V = πr^2h3. 圆锥体体积公式设圆锥体的底面半径为r，高为h，则圆锥体体积为：V = (1/3)πr^2h三、数列与级数公式数列与级数是数学中的重要概念，它们有着广泛的应用，特别是在数学建模等领域。

1. 等差数列通项公式设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n项为：an = a1 + (n-1)d2. 等差数列求和公式设等差数列的首项为a1，末项为an，项数为n，则等差数列的和为：Sn = (n/2)(a1 + an)3. 等比数列通项公式设等比数列的首项为a1，公比为q，则第n项为：an = a1 * q^(n-1)四、微积分基本公式微积分是数学中的重要分支，研究函数的变化规律和求解曲线下的面积等问题。

重点重点难点36 函数方程思想函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.●重点重点难点磁场1.（★★★★★）关于x的不等式2•32x–3x+a2–a–3＞0，当0≤x≤1时恒成立，则实数a的取值范围为.2.（★★★★★）对于函数f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)（1）若a=1,b=–2时，求f(x)的不动点；（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx+ 对称，求b的最小值.●案例探究［例1］已知函数f(x)=logm(1)若f(x)的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f(x)在定义域上的增减性，并加以说明；(2)当0＜m＜1时，使f(x)的值域为［logm［m(β–1)］，logm［m(α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由.命题意图：本题重在考查函数的性质，方程思想的应用.属★★★★级题目.知识依托：函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组.错解分析：第(1)问中考生易忽视“α＞3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根.技巧与方法：本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题.解：（1）x＜–3或x＞3.∵f(x)定义域为［α,β］,∴α＞3设β≥x1＞x2≥α，有当0＜m＜1时，f(x)为减函数，当m＞1时，f(x)为增函数.（2）若f(x)在［α,β］上的值域为［logmm(β–1),logmm(α–1)］∵0＜m＜1, f(x)为减函数.∴即即α,β为方程mx2+(2m–1)x–3(m–1)=0的大于3的两个根∴∴0＜m＜故当0＜m＜时，满足题意条件的m存在.［例2］已知函数f(x)=x2–(m+1)x+m(m∈R)(1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证：m≥5;(2)对任意实数α,恒有f(2+cosα)≤0，证明m≥3;(3)在(2)的条件下，若函数f(sinα)的最大值是8，求m.命题意图：本题考查函数、方程与三角函数的相互应用；不等式法求参数的范围.属★★★★★级题目.知识依托：一元二次方程的韦达定理、特定区间上正负号的充要条件，三角函数公式.错解分析：第(1)问中易漏掉Δ≥0和tan(A+B)＜0，第(2)问中如何保证f(x)在［1,3］恒小于等于零为关键.技巧与方法：深挖题意，做到题意条件都明确，隐性条件注意列.列式要周到，不遗漏. （1）证明：f(x)+4=0即x2–(m+1)x+m+4=0.依题意：又A、B锐角为三角形内两内角∴＜A+B＜π∴tan(A+B)＜0，即∴∴m≥5(2)证明：∵f(x)=(x–1)(x–m)又–1≤cosα≤1，∴1≤2+cosα≤3，恒有f(2+cosα)≤0即1≤x≤3时，恒有f(x)≤0即(x–1)(x–m)≤0∴m≥x但xmax=3，∴m≥xmax=3(3)解：∵f(sinα)=sin2α–(m+1)sinα+m=且≥2,∴当sinα=–1时，f(sinα)有最大值8.即1+(m+1)+m=8，∴m=3●锦囊妙计函数与方程的思想是最重要的一种数学思想，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化.考生应做到：（1）深刻理解一般函数y=f(x)、y=f–1(x)的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础.（2）密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系.掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略.●歼灭重点重点难点训练一、选择题1.（★★★★★）已知函数f(x)=loga［–(2a)2］对任意x∈［,+∞］都有意义，则实数a 的取值范围是( )A.(0,B.(0, )C.［,1D.( , ）2.（★★★★★）函数f(x)的定义域为R，且x≠1，已知f(x+1)为奇函数，当x＜1时，f(x)=2x2–x+1，那么当x＞1时，f(x)的递减区间是( )A.［，+∞B.(1,C.［,+∞D.(1, ］二、填空题3.（★★★★）关于x的方程lg(ax–1)–lg(x–3)=1有解，则a的取值范围是.4.（★★★★★）如果y=1–sin2x–mcosx的最小值为–4，则m的值为.三、解答题5.（★★★★）设集合A={x｜4x–2x+2+a=0,x∈R}.（1）若A中仅有一个元素，求实数a的取值集合B；（2）若对于任意a∈B，不等式x2–6x＜a(x–2)恒成立，求x的取值范围.6.（★★★★）已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数，且a≠0)满足条件:f(x–1)=f(3–x)且方程f(x)=2x有等根.（1）求f(x)的解析式；（2）是否存在实数m，n(m＜n＝，使f(x)定义域和值域分别为［m,n］和［4m,4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由.7.（★★★★★）已知函数f(x)=6x–6x2，设函数g1(x)=f(x), g2(x)=f［g1(x)］, g3(x)=f ［g2(x)］, …gn(x)=f［gn–1(x)］,…（1）求证：如果存在一个实数x0，满足g1(x0)=x0，那么对一切n∈N，gn(x0)=x0都成立；（2）若实数x0满足gn(x0)=x0，则称x0为稳定不动点，试求出所有这些稳定不动点；（3）设区间A=（–∞,0）,对于任意x∈A，有g1(x)=f(x)=a＜0, g2(x)=f［g1(x)］=f(0)＜0，且n≥2时，gn(x)＜0.试问是否存在区间B（A∩B≠），对于区间内任意实数x，只要n≥2，都有gn(x)＜0.8.（★★★★）已知函数f(x)= (a＞0,x＞0).（1）求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数；（2）若f(x)≤2x在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围；（3）若f(x)在［m,n］上的值域是［m,n］(m≠n)，求a的取值范围.参考答案●重点重点难点磁场1.解析：设t=3x，则t∈［1,3］，原不等式可化为a2–a–3＞–2t2+t,t∈［1,3］.等价于a2–a–3大于f(t)=–2t2+t在［1,3］上的最大值.答案：(–∞,–1)∪(2,+∞)2.解：（1）当a=1,b=–2时，f(x)=x2–x–3，由题意可知x=x2–x–3，得x1=–1,x2=3.故当a=1,b=–2时，f(x)的两个不动点为–1,3.（2）∵f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)恒有两个不动点，∴x=ax2+(b+1)x+(b–1)，即ax2+bx+(b–1)=0恒有两相异实根∴Δ=b2–4ab+4a＞0(b∈R)恒成立.于是Δ′=(4a)2–16a＜0解得0＜a＜1故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，0＜a＜1.（3）由题意A、B两点应在直线y=x上，设A(x1,x1),B(x2,x2)又∵A、B关于y=kx+ 对称.∴k=–1.设AB的中点为M(x′,y′)∵x1,x2是方程ax2+bx+(b–1)=0的两个根.∴x′=y′= ，又点M在直线上有，即∵a＞0，∴2a+ ≥2 当且仅当2a= 即a= ∈(0,1)时取等号，故b≥–，得b的最小值–.●歼灭重点重点难点训练一、1.解析：考查函数y1= 和y2=(2a)x的图象，显然有0＜2a＜1.由题意得a= ，再结合指数函数图象性质可得答案.答案：A2.解析：由题意可得f(–x+1)=–f(x+1).令t=–x+1，则x=1–t，故f(t)=–f(2–t)，即f(x)=–f(2–x).当x＞1,2–x＜1，于是有f(x)=–f(2–x)=–2(x–)2–，其递减区间为［，+∞).答案：C3.解析：显然有x＞3，原方程可化为故有(10–a)•x=29,必有10–a＞0得a＜10又x= ＞3可得a＞.答案：＜a＜104.解析：原式化为.当＜–1,ymin=1+m=–4 m=–5.当–1≤≤1,ymin= =–4 m=±4不符.当＞1，ymin=1–m=–4 m=5.答案：±5二、5.解：(1)令2x=t(t＞0)，设f(t)=t2–4t+a.由f(t)=0在(0,+∞)有且仅有一根或两相等实根，则有①f(t)=0有两等根时，Δ=0 16–4a=0 a=4验证：t2–4t+4=0 t=2∈(0,+∞)，这时x=1②f(t)=0有一正根和一负根时,f(0)＜0 a＜0③若f(0)=0，则a=0，此时4x–4•2x=0 2x=0（舍去），或2x=4,∴x=2，即A中只有一个元素综上所述，a≤0或a=4，即B={a｜a≤0或a=4}（2）要使原不等式对任意a∈(–∞,0］∪｛4｝恒成立.即g(a)=(x–2)a–(x2–6x)＞0恒成立.只须＜x≤26.解：（1）∵方程ax2+bx=2x有等根，∴Δ=(b–2)2=0,得b=2.由f(x–1)=f(3–x)知此函数图象的对称轴方程为x=–=1得a=–1，故f(x)=–x2+2x. （2）f(x)=–(x–1)2+1≤1，∴4n≤1，即n≤而抛物线y=–x2+2x的对称轴为x=1∴n≤时，f(x)在［m,n］上为增函数.若满足题设条件的m,n存在，则又m＜n≤,∴m=–2,n=0，这时定义域为［–2,0］，值域为［–8,0］.由以上知满足条件的m、n存在，m=–2,n=0.7.(1)证明：当n=1时，g1(x0)=x0显然成立；设n=k时，有gk(x0)=x0(k∈N)成立，则gk+1(x0)=f［gk(x0)］=f(x0)=g1(x0)=x0即n=k+1时，命题成立.∴对一切n∈N,若g1(x0)=x0，则gn(x0)=x0.（2）解：由（1）知，稳定不动点x0只需满足f(x0)=x0由f(x0)=x0，得6x0–6x02=x0,∴x0=0或x0=∴稳定不动点为0和.(3)解：∵f(x)＜0，得6x–6x2＜0 x＜0或x＞1.∴gn(x)＜0 f［gn–1(x)］＜0 gn–1(x)＜0或gn–1(x)＞1要使一切n∈N,n≥2，都有gn(x)＜0，必须有g1(x)＜0或g1(x)＞1.由g1(x)＜0 6x–6x2＜0 x＜0或x＞1由g1(x)＞0 6x–6x2＞1故对于区间( )和(1,+∞)内的任意实数x,只要n≥2,n∈N，都有gn(x)＜0.8.(1)证明：任取x1＞x2＞0,f(x1)–f(x2)=∵x1＞x2＞0,∴x1x2＞0，x1–x2＞0,∴f(x1)–f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，故f(x)在(0,+∞)上是增函数.（2）解：∵≤2x在(0,+∞)上恒成立，且a＞0,∴a≥在（0，+∞）上恒成立，令（当且仅当2x= 即x= 时取等号），要使a≥在(0,+∞)上恒成立，则a≥.故a的取值范围是［,+∞).(3)解：由（1）f(x)在定义域上是增函数.∴m=f(m),n=f(n)，即m2–m+1=0，n2–n+1=0故方程x2–x+1=0有两个不相等的正根m，n，注意到m•n=1，故只需要Δ=( )2–4＞0,由于a＞0，则0＜a＜.重点难点37 数形结合思想数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.●重点难点磁场1.曲线y=1+ (–2≤x≤2)与直线y=r(x–2)+4有两个交点时，实数r的取值范围.2.设f(x)=x2–2ax+2,当x∈［–1,+∞)时，f(x)＞a恒成立，求a的取值范围.●案例探究［例1］设A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x2，且x∈A }，若C B，求实数a的取值范围.命题意图：本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目.属★★★★级题目.知识依托：解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C.进而将C B 用不等式这一数学语言加以转化.错解分析：考生在确定z=x2，x∈［–2,a］的值域是易出错，不能分类而论.巧妙观察图象将是上策.不能漏掉a＜–2这一种特殊情形.技巧与方法：解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决. 解：∵y=2x+3在［–2, a］上是增函数∴–1≤y≤2a+3，即B={y｜–1≤y≤2a+3}作出z=x2的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下：①当–2≤a≤0时，a2≤z≤4即C={z｜z2≤z≤4}要使C B,必须且只须2a+3≥4得a≥与–2≤a＜0矛盾.②当0≤a≤2时，0≤z≤4即C={z｜0≤z≤4}，要使C B，由图可知：必须且只需解得≤a≤2③当a＞2时，0≤z≤a2，即C={z｜0≤z≤a2}，要使C B必须且只需解得2＜a≤3④当a＜–2时，A= 此时B=C= ，则C B成立.综上所述，a的取值范围是(–∞,–2)∪［,3］.［例2］已知acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ, k∈Z)求证：.命题意图：本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力.属★★★★★级题目.知识依托：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程.进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上.错解分析：考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一.如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二.技巧与方法：善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题.证明:在平面直角坐标系中，点A（cosα,sinα）与点B（cosβ,sinβ）是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图.从而：｜AB｜2=(cosα–cosβ)2+(sinα–sinβ)2=2–2cos(α–β)又∵单位圆的圆心到直线l的距离由平面几何知识知｜OA｜2–( ｜AB｜)2=d2即∴.●锦囊妙计应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：（1）集合的运算及韦恩图（2）函数及其图象（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合.●歼灭重点难点训练一、选择题1.（★★★★）方程sin(x–)= x的实数解的个数是( )A.2B.3C.4D.以上均不对2.（★★★★★）已知f(x)=(x–a)(x–b)–2（其中a＜b ，且α、β是方程f(x)=0的两根（α＜β，则实数a、b、α、β的大小关系为( )A.α＜a＜b＜βB.α＜a＜β＜bC.a＜α＜b＜βD.a＜α＜β＜b二、填空题3.（★★★★★）(4cosθ+3–2t)2+(3sinθ–1+2t)2，(θ、t为参数)的最大值是.4.（★★★★★）已知集合A={x｜5–x≥},B={x｜x2–ax≤x–a}，当A B时，则a的取值范围是.三、解答题5.（★★★★）设关于x的方程sinx+ cosx+a=0在（0,π）内有相异解α、β.（1）求a的取值范围；（2）求tan(α+β)的值.6.（★★★★）设A={(x,y)｜y= ,a＞0}，B={(x,y)｜(x–1)2+(y–3)2=a2,a＞0},且A∩B≠，求a的最大值与最小值.7.（★★★★）已知A（1，1）为椭圆=1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点.求｜PF1｜+｜PA｜的最大值和最小值.8.（★★★★★）把一个长、宽、高分别为25 cm、20 cm、5 cm的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为多少？参考答案●重点难点磁场1.解析：方程y=1+ 的曲线为半圆，y=r(x–2)+4为过（2，4）的直线.答案：（］2.解法一：由f(x)＞a，在［–1,+∞)上恒成立x2–2ax+2–a＞0在［–1,+∞)上恒成立.考查函数g(x)=x2–2ax+2–a的图象在［–1,+∞］时位于x轴上方.如图两种情况：不等式的成立条件是：(1)Δ=4a2–4(2–a)＜0 a∈(–2,1)(2) a∈(–3,–2 ，综上所述a∈(–3,1).解法二：由f(x)＞a x2+2＞a(2x+1)令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象.如图满足条件的直线l位于l1与l2之间，而直线l1、l2对应的a值（即直线的斜率）分别为1，–3，故直线l对应的a∈(–3,1).●歼灭重点难点训练一、1.解析：在同一坐标系内作出y1=sin(x–)与y2= x的图象如图.答案：B2.解析：a,b是方程g(x)=(x–a)(x–b)=0的两根，在同一坐标系中作出函数f(x)、g(x)的图象如图所示：答案：A二、3.解析：联想到距离公式，两点坐标为A(4cosθ,3sinθ),B(2t–3,1–2t)点A的几何图形是椭圆，点B表示直线.考虑用点到直线的距离公式求解.答案：4.解析：解得A={x｜x≥9或x≤3}，B={x｜(x–a)(x–1)≤0}，画数轴可得.答案：a＞3三、5.解：①作出y=sin(x+ )(x∈(0,π))及y=–的图象，知当｜–｜＜1且–≠时，曲线与直线有两个交点，故a∈(–2,–)∪(–,2).②把sinα+ cosα=–a,sinβ+ cosβ=–a相减得tan ，故tan(α+β)=3.6.解：∵集合A中的元素构成的图形是以原点O为圆心，a为半径的半圆；集合B中的元素是以点O′(1, )为圆心，a为半径的圆.如图所示∵A∩B≠，∴半圆O和圆O′有公共点.显然当半圆O和圆O′外切时，a最小a+a=｜OO′｜=2,∴amin=2 –2当半圆O与圆O′内切时，半圆O的半径最大，即a最大.此时a–a=｜OO′｜=2,∴amax=2 +2.7.解：由可知a=3,b= ,c=2，左焦点F1(–2,0),右焦点F2(2,0).由椭圆定义，｜PF1｜=2a–｜PF2｜=6–｜PF2｜,∴｜PF1｜+｜PA｜=6–｜PF2｜+｜PA｜=6+｜PA｜–｜PF2｜如图：由｜｜PA｜–｜PF2｜｜≤｜AF2｜= 知–≤｜PA｜–｜PF2｜≤.当P在AF2延长线上的P2处时，取右“=”号；当P在AF2的反向延长线的P1处时，取左“=”号.即｜PA｜–｜PF2｜的最大、最小值分别为，– .于是｜PF1｜+｜PA｜的最大值是6+ ,最小值是6–.8.解：本题实际上是求正方形窗口边长最小值.由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小，所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小.如图：设AE=x,BE=y,则有AE=AH=CF=CG=x，BE=BF=DG=DH=y∴∴.高考数学重点难点突破重点难点38 分类讨论思想.txt人永远不知道谁哪次不经意的跟你说了再见之后就真的再也不见了。

【高考地位】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是高考的重点和难点。

要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。

在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.【方法点评】类型一求三角函数的单调区间使用情景：一般三角函数类型解题模板：第一步先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意参数A, 的正负；第二步利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数，且在同一单调区间；第三步运用三角函数的图像与性质确定其单调区间.例1 函数cos( 2 )y x 的单调递增区间是（）4A．[k π＋，kπ＋8 58π] B ．[k π－38π，kπ＋8]C．[2k π＋，2kπ＋8 58π] D ．[2k π－38π，2kπ＋8] （以上k∈Z）【答案】 B.考点：三角函数单调性.【点评】本题解题的关键是将 2x作为一个整体，利用余弦函数的图像将函数y cos( 2x)的单调44递增区间转化为2x 在区间2k ,2k 上递减的.4【变式演练1】已知函数 f (x) sin( 2 x )( 0), 直线x x1,x x2 是y f (x) 图像的任意两条对称6轴，且x1 x 的最小值为2 2．求函数 f (x) 的单调增区间；【答案】[ k , k ], k Z .3 6【解析】试题分析：根据两条对称轴之间的最小距离求周期，根据周期求，根据公式求此函数的单调递增区间.试题解析：由题意得T , 则1, f (x) sin(2 x ). 由2k 2x 2k , 解得6 2 6 23 k , Z. 故 f ( x) 的单调增区间是k k ], k Z x k k [ .,6 3 6考点：1．y A sin x 的单调性；【变式演练2】已知函数sin( )+ ( 0 0 )f x A x B A ，，的一系列对应值如下表：2x6 3 5643116 [73176y 2 4 2 4 （1）根据表格提供的数据求函数 f x 的解析式；（2）求函数 f x 的单调递增区间和对称中心；【答案】（1） f x 3sin x 1（2）352k ，2k (k Z)（k + ，1）(k Z).6 6 3（2）当2 2 ( )k x k k Z，即2 3 25x k ，k k Z时，函数f x 单调递2 2 ( )6 6增．令= ( x k k Z)，所以函数 f x 的对称中心为+ 1 ( x k k Z)，得= + ( k k Z)（，）．3 33考点：1．三角函数解析式及基本性质；2．数形结合法[ 来源:Z*xx*]类型二由y A sin( x ) 的图象求其函数式使用情景：一般函数y A s in( x ) 求其函数式解题模板：第一步观察所给的图像及其图像特征如振幅、周期、与x轴交点坐标等；第二步利用特殊点代入函数解析式计算得出参数A, , 中一个或两个或三个；第三步要从图象的升降情况找准第一个零点的位置，并进一步地确定参数；第四步得出结论.例2 已知函数y A sin( x ) y A s in( x )( 0, , x R) 的图象如图所示，则该函数的2解析式是（）（A）y 4 sin( x ) （B）y 4 s in( x )8 4 8 4（C）y 4 s in( x ) （D）y 4 sin( x )8 4 8 4【答案】 D考点：y Asin x 的图像【点评】本题的解题步骤是：首先根据已知图像与x轴的交点坐标可得其周期为T ，进而可得的大小；然后观察图像知其振幅 A 的大小；最后将图像与x 轴的交点坐标代入函数的解析式即可得到的大小.【变式演练3】已知函数 f x A sin x （其中 A 0, 0, ）的部分图象如图所示，则f x2的解析式为（）6A．2sinf x x B．f x2sin2x36C．2sin2f x x D．f x2sin4x6【答案】B【解析】考点：由y A s in(x)的部分图像确定解析式。

山东高考数学知识点
一、数与式
1. 实数及其性质
2. 复数
3. 数量关系与函数
二、代数式与方程
1. 代数式的基本概念
2. 多项式及其运算
3. 方程及其根
4. 一元一次方程与一元一次不等式
5. 二次根式与二次方程
6. 二次函数与一元二次方程
三、函数及其图象
1. 函数及其表示法
2. 基本初等函数及其性质
3. 图象与函数关系
4. 函数的性质和变化规律
5. 函数的应用
四、数列与数表
1. 数列的概念及分类
2. 等差数列
3. 等比数列
五、几何与变换
1. 平面几何基本概念
2. 几何变换与刚体运动
3. 平面向量及其运算
4. 解析几何在平面几何中的应用
5. 三角函数与解三角形
6. 图形与坐标几何
六、概率与统计
1. 随机事件及其概率
2. 概率的计算方法
3. 统计与统计图
4. 正态分布及其应用
七、数学思想方法
1. 数学模型与数学问题的提出
2. 运算与推理
3. 证明方法与证明思路
4. 问题解决的思路与方法
以上是山东高考数学的主要知识点，通过系统学习和掌握这些知识点，可以帮助考生更好地应对高考数学的考试。

希望各位考生认真学习，刻苦复习，取得优异成绩！。

新高考数学基础知识点汇总随着新高考改革的推进，数学作为一门重要的科目，对学生的考试成绩和升学路径都产生着深远的影响。

为了帮助广大学生更好地备考数学，下面将对新高考数学的基础知识点进行汇总，供学生参考。

一、数与式的基本概念1. 数的基本概念数的分类、数的读法、数的性质等。

2. 数的四则运算加法、减法、乘法、除法的定义和性质。

3. 算式的基本概念算术表达式、算术表达式的概念和性质。

4. 计算顺序与计算规则加减乘除的计算顺序和计算规则。

二、代数式及其基本性质1. 代数式的概念代数式的定义和构成要素。

2. 代数式的运算代数式的加减乘除运算法则。

3. 同类项与合并同类项同类项的定义和合并同类项的方法。

4. 二项式的乘法展开二项式乘法的展开法则和运算规律。

三、方程与不等式1. 方程的基本概念方程的定义和解的概念。

2. 一元一次方程一元一次方程的解法和性质。

3. 一元二次方程一元二次方程的解法和性质。

4. 不等式的基本概念不等式的定义和解的概念。

5. 一元一次不等式一元一次不等式的解法和性质。

四、三角学1. 角的概念角的定义、角的度量、角的性质等。

2. 三角函数的基本概念正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和性质。

3. 角的变化关系三角函数之间的关系和性质。

4. 三角函数的应用三角函数在实际问题中的应用。

五、平面向量1. 向量的基本概念向量的定义、向量的表示和性质。

2. 向量的运算向量的加法、减法和数量乘法运算。

3. 向量的坐标表示在直角坐标系下向量的坐标表示方法。

4. 向量的应用向量在几何和物理问题中的应用。

六、几何图形与变换1. 几何图形的基本属性点、线段、角、面的定义和性质。

2. 三角形的性质三角形的内角和、外角和、角平分线等性质。

3. 平面几何的基本定理中线定理、高线定理、正弦定理、余弦定理等。

4. 平移、旋转、镜像和缩放平面几何变换的基本性质和规律。

通过对以上知识点的系统学习和掌握，相信广大学生能在新高考中取得优异的数学成绩。

第五十二讲数形联合A组一、选择题1. 已知函数 f(x)＝ x2＋ e x－1(x<0) 与 g(x)＝ x2＋ ln( x＋ a)的图象上存在对于y 轴对称的点，则 a 2的取值范围是 ()A.－∞，1－∞，e) C.－1， eD.－ e，1e B.(e e答案： B分析：由题意可得，当x>0 时， y＝ f(－ x)与 y＝ g(x)的图象有交点，即g(x)＝ f(－ x)有正解，即 x2＋ln( x＋ a) ＝ (－x)2＋ e－x－12有正解，即 e－x－ ln(x＋ a)－12＝ 0 有正解，令 F(x)＝ e－x－ ln(x1－x－1－x1＋a)－，则 F′(x)＝－ e<0，故函数 F(x)＝ e－ ln(x＋ a)－在 (0，＋∞)上是单一递减2x＋ a2的，要使方程g(x)＝ f(－ x)有正解，则存在正数 x 使得 F(x) ≥0，即 e－x－ln( x＋ a)－1≥0，所以2e x1 e x1x 在(0，＋∞)上单一递减，所以e 011a≤e2x ，又y＝ e2a< e20＝ e2，选B.2. 函数 f(x)= 1 x 2 (| x |1)，假如方程 f(x)=a 有且只有一个实根，那么 a 知足 ( )| x |(| x |1)A. a<0B.0≤ a<1C.a=1D.a>1答案： C分析：由图知 a=1 时，图象只有一个交点，应选 C.3.已知圆 C：( x－3)2＋( y－4)2＝1和两点 A(－m,0)，B( m，0)( m>0)，若圆 C上存在点 P，使得∠ APB＝90°，则 m的最大值为()A.7B.6C.5D.4答案： B分析 . 依据题意，画出表示图，以下图，则圆心 C 的坐标为 (3,4) ，半径 r ＝ 1，且 | AB | ＝2m .1因为∠ APB ＝ 90°，连结 OP ，易知 | OP |＝ 2| AB | ＝m .要求 m 的最大值，即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离 .22因为 | OC | ＝ 3 ＋ 4 ＝ 5，所以 | OP |max ＝ | OC | ＋ r ＝ 6，1224. 设平面点集 A ＝ {( x ，y )|( y － x ) · ( y －x ) ≥ 0} ， B ＝ {( x ， y )|( x － 1) ＋( y － 1) ≤1} ，则 A∩B 所表示的平面图形的面积为 ( ) 334πA. 4πB.5πC.7πD.21答案： D 分析：因为对于会合A ， ( y － x ) y － x ≥ 0，y － x ≥0，y － x ≤0，所以1或1其表示的平面地区如图 .y －x ≥ 0y － x ≤ 0，对于会合 B ， ( x － 1) 2＋ ( y －1) 2≤ 1 表示以 (1,1) 为圆心， 1 为半径的圆及其内部地区，其面积为π .12由题意意知 A ∩ B 所表示的平面图形为图中暗影部分，曲线y ＝ x 与直线 y ＝x 将圆 ( x －1) ＋( － 1) 2＝1 分红1， 2， 3，4四部分 . 因为圆 ( x － 1)2＋( y－ 1) 2＝1 与 y ＝ 1 的图象都对于直ySSSSx线 y ＝ x 对称，进而 S ＝S ， S ＝ S ，而 S ＋ S ＋ S ＋ S ＝π，所以 S＝S ＋S ＝ π暗影 2.1234123424二、填空题5. 已知函数 y ＝ f ( x )( x ∈ R) ，对函数 y ＝ g ( x )( x ∈ I ) ，定义 g ( x ) 对于 f ( x ) 的“对称函数” 为函数 y＝ h( x)( x∈ I )，y＝ h( x)知足：对随意x∈ I ，两个点( x，h( x))，( x，g( x))对于点( x，f ( x))对称.若 h( x)是 g( x)＝4－x2对于f ( x) ＝ 3x＋b的“对称函数” ，且h( x)> g( x) 恒成立，则实数 b的取值范围是 ________.答案： (210，＋∞ )分析由已知得h x＋ 4－x2) ＝ 6＋ 2－ 4－x 2(x)> ()＝3＋，所以 (.2x b h x x b h g x恒成立，即 6x ＋2－ 4－2> 4－x2，3 ＋> 4－x2恒成立 .b x x b在同一坐标系内，画出直线y＝3x＋ b 及半圆 y＝2如图所4－x(b示) ，可得>2，即b>2 10，故答案为 (2 10，＋∞ ). 10x2y26．椭圆a2＋b2＝ 1( a>b>0) 的左、右极点分别是A，B，左、右焦点分别是 F1，F2，若| AF1|，| F1F2 | ， | F1B| 成等比数列，则此椭圆的离心率为________．【分析】1121122∵ | AF| ＝a－c，|FF|＝ 2c， | F B| ＝a＋c，且三者成等比数列，则| FF|11222c5＝| AF| · | F B| ，即 4c＝( a－c) · ( a＋c) ，得a＝ 5c，∴ e＝a＝5.【答案】5 5三、解答题7. 已知函数f (x) ＝ 2lnx－x2＋( ∈R)．ax a(1) 当＝2时，求f (x) 的图象在x＝ 1处的切线方程；a(2) 若函数g( x)＝ f (x)－ax＋ m在1， e上有两个零点，务实数m的取值范围．e22解： (1)当 a＝2时， f( x) ＝ 2ln x－x＋ 2x，f′ ( x) ＝x－ 2x＋2，切点坐标为 (1 ， 1)，切线的斜率k＝ f ′(1)＝2，则切线方程为y－1＝2( x－1)，即 y＝2x－1.(2)g( x)＝2ln x－ x2＋ m，2－ 2（x＋ 1）（x－ 1）则 g′( x)＝x－2x＝x.1∵ x∈e，e，∴当 g′( x)＝0时， x＝1.1当 <x<1 时，g′( x)>0 ；e当 1<x<e 时，g′ ( x)<0.故 g ( x ) 在 x ＝ 1 处获得极大值 g (1) ＝ m － 1.112121 1又 g e ＝ m － 2－ e 2， g (e) ＝ m ＋ 2－ e ， g (e) － g e ＝ 4－ e ＋ e 2<0，则 g (e)< g e ，1∴ g ( x ) 在 ， e 上的最小值是 g (e) ． e1g ( x ) 在， e 上有两个零点的条件是eg （ 1）＝ m － 1>0，11 g e ＝ m － 2－e 2≤ 0，1解得 1<m ≤ 2＋e 2 ，1∴实数 m 的取值范围是1，2＋ e 2 .8. 已知函数 f(x)的图象是由函数g(x)＝cos x 的图象经以下变换获得：先将g(x)图象上全部点π的纵坐标伸长到本来的2 倍 (横坐标不变 )，再将所获得的图象向右平移2个单位长度 .(1) 求函数 f(x)的分析式，并求其图象的对称轴方程；(2) 已知对于 x 的方程 f( x) ＋g( x)＝m 在 [0,2 π)内有两个不一样的解α， β.2m 2 ①务实数m 的取值范围；②证明： cos(α－ β)＝－ 1.5解 法一 (1) 将 g(x)＝ cos x 的图象上全部点的纵坐标伸长到本来的2 倍(横坐标不变 )获得 y＝2cos x 的图象，再将 y ＝2cos x 的图象向右平移π y ＝ 2cos x －π 个单位长度后获得的图象，22故 f(x)＝ 2sin x.进而函数 f(x)＝ 2sin x 图象的对称轴方程为πx ＝ k π＋(k ∈ Z ).2(2) ① f(x)＋g(x)＝ 2sin x ＋ cos x ＝ 52sin x ＋ 1cos x ＝ 5sin(x ＋ φ)55此中 sin φ＝ 1， cos φ＝255.依题意， sin(x ＋ φ)＝ m在 [0，2π)内有两个不一样的解α， β，当且仅当m＜ 1，故 m 的取值55范围是 (－ 5， 5).②证明 因为 α， β是方程5sin( x ＋ φ)＝m 在 [0，2π)内的两个不一样的解。

高考数学数形联合思想剖析与解说所谓数形联合，就是依据数与形之间的对应关系，经过数与形的相互转变来解决数学识题的思想，实现数形联合，常与以下内容相关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（（4）以几何元素和几何条件为背景成立起来的观点，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

以“形”变“数” 固然形有形象、直观的长处，但在定量方面还一定借助代数的计算，特别是对于较复杂的“形”，不只要正确的把图形数字化，并且还要留意察看图形的特色，挖掘题目中的隐含条件，充足利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行剖析计算。

解题的基本思路：明确题中所给条件和所求的目标，剖析已给出的条件和所求目标的特色和性质，理解条件或目标在图形中的重要几何意义，用已学过的知识正确的将题顶用到的图形的用代数式表达出来，再依据条件和结论的联系，利用相应的公式或定理等。

“形”“数”互变“形”“数”互变是指在有些数学识题中不只是是简单的以“数”变“形”或以“形”变“数”而是需要“形”“数”相互变换，不只要想到由“形”的直观变成“数”的严实还要由“数”的严实联系到“形”的直观。

解决这种问题常常需要从已知和结论同时出发，仔细剖析找出内在的“形”“数”互变。

一般方法是看“形”思“数”、见“数”想“形”。

本质就是以“数”化“形”、以“形”变“数”的联合。

数形联合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题详细化的常用的数学思想方法。

要想提高学生运用数形联合思想的能力，需要教师耐心仔细的指引学生学会联系数形联合思想、理解数形联合思想、运用数形联合思想、掌握数形联合思想。

基础自测：1.已知0 a 1，则方程 a x log a x 的实数根的个数为（）A.1 个B.2 个C.3 个D.1 个或 2 个或 3 个2.设数集Mx m x m 3x n1，且 M , N 都是集合，数集 N x n4 3x 0 x 1 的子集，假如把 b a叫做会合x a x b 的“长度”，那么会合 M N 的长度的最小值为1B. 2 1 5A.3 C. D.3 12 123.若奇函数 f (x) 在 0, 上的增函数，有f ( 3) 0 ，则x x f ( x) 0 （）A. x x 3或3 x 0B. x 0 x 3或 x 3C. x x 3或x 3D. x 0 x 3或 3 x 04.当x, y知足条件x y 1时，变量u x 的取值范围是（）y 3A. 3,3B. 1 , 1C. 1 , 1D. 1 , 13 3 2 3 3 2参照分析：1.分析在同一坐标系下，画出函数y=a|x|，y=|logax| 的图象，则图象有两个交点 .2.分析 由题意知 .会合 M 的“长度”为3，会合 N4的“长度”为1，而会合 {x|0 ≤ x ≤1} 的“长度”331,b为 1；设线段 AB=1 ， a， a ， b 可在线段44AB 上自由滑动， a ， b 重叠部分的长度即为 M ∩ N.如图，明显当 a ，b 各自凑近 AB 两头时，重叠部分最短 ,其值为3 1 1 1 .4 312所以1 1 , 00 , 1.答案 Ck33综上所述，u1 ,1333.分析 由 f(x) 为奇函数且 f(-3)=0 ，得 f(3)=0.又 f(x) 在（ 0,+∞ )上是增函数，据上条件做出知足题意的 y=f(x) 草图，如图，如右图中找出f(x) 与 x 异号的部分，能够看出 x · f(x) ＜ 0 的解集为 {x|0 ＜ x ＜ 3 或 -3＜x ＜ 0}. 答案 D4.分析由题意在座标系下画出|x|+|y|≤ 1 的图象如右图暗影部分，①若 x=0 时， |y|≤ 1,此时 u=0; ②若 x ≠ 0 时，变量可当作点 A(0， 3)与可行域内的点 B 连线斜率 k 的 倒数 ,而 k ∈ (-∞ ,-3] ∪ [3,+ ∞),典型例题解说题型一代数问题“几何化”——以形助数【例 1】求函数 A 2m 46m 的值域。

新高考数学题型分布
新高考数学题型分布目前尚未确定，但根据相关政策文件和试点工作可以推测一些可能的题型分布：
1.基础知识运算题：可能会包括整数、有理数、无理数、比例、百分数、小数、分数、代数式、方程式等基本运算的题目。

2.数据分析与统计题：可能会涉及数据收集、整理、分析、解
读等内容，其考察的重点可能是提取信息、数据处理、统计分析等。

3.几何证明题：可能会要求学生进行几何图形的证明，涉及线
段相等、角度相等、三角形性质等内容。

4.函数与方程题：可能会涉及函数的性质、函数图像的画法、
方程的解法等内容。

5.空间几何与立体几何题：可能会考察学生对空间几何和立体
几何的理解，包括体积、表面积、平行四边形、正方形等内容。

需要注意的是，以上只是猜测，具体的题型分布还需要根据教育部的最新政策文件来确定。

高考数学八大模块总结归纳在高考数学的学习中，我们通常将数学知识分为八大模块，包括数与式、图形与变换、函数与方程、几何与三视图、统计与概率、三角与证明、向量与解析几何、数学建模。

这八大模块涵盖了高中数学的主要内容，对于考生来说都是不可或缺的。

下面，我们将对这八大模块进行总结和归纳，并简要介绍每个模块的重点知识点。

一、数与式数与式是数学学习的基础，对于高考数学来说更是重中之重。

数与式的主要内容包括整式、分式以及方程与不等式等。

整数、有理数、无理数的性质与运算是数与式的基础，学生需要熟练掌握运算法则和运算技巧。

而方程与不等式的解法是数与式的关键，比如一次方程、二次方程以及分式方程的解法，以及求解不等式的方法等。

二、图形与变换图形与变换是高考数学中的一大重点内容。

该模块主要包括点、线、面的性质与判定、图形的相似与全等、平移、旋转、翻折等变换。

学生需要掌握图形的基本性质，如三角形、四边形的性质与判定，以及图形变换的规律和方法。

此外，直线与平面的位置关系、空间几何体的表面积和体积的计算也是该模块的重点内容。

三、函数与方程函数与方程是高考数学的核心内容之一。

这个模块主要包括函数及其性质与图像、一元二次函数、指数与对数函数、三角函数以及函数方程的解法等。

在学习函数与方程的过程中，学生需要掌握函数的概念和性质，学会分析函数的图像和变化规律。

对于一元二次函数、指数与对数函数以及三角函数，需要了解其基本性质和一些常见的解法。

四、几何与三视图几何与三视图是高考数学中的重点内容之一。

几何与三视图主要包括平行线与三角形、相似与全等、三角函数以及空间几何体的三视图等。

在学习几何与三视图的过程中，学生需要掌握几何证明的方法和技巧，学会利用相似性、全等性等几何性质进行证明和解题。

此外，了解空间几何体的三视图和投影，对于学习三维几何有很大的帮助。

五、统计与概率统计与概率是数学中的实际应用部分，也是高考数学中的重要内容。

统计与概率主要包括统计图表的分析与应用、概率的概念与计算、事件与概率、统计推断等。

安徽中职对口高考数学知识点在安徽中职教育中，对口高考是一个重要的考试。

数学作为其中的一门科目，对于学生的考试成绩起着重要的影响。

因此，学生需要充分了解并掌握安徽中职对口高考数学的知识点。

一、数与式在数学中，数与式是基础知识点。

数的四则运算是基础，学生需要熟练掌握加减乘除的运算规则及其在实际问题中的应用。

同时，学生还需要理解表达式的概念，并能够进行简单的表达式化简和计算。

二、代数式与方程式代数式与方程式是进一步扩展的数学知识点。

学生需要理解方程的含义，并能够根据实际问题建立方程式。

求解一元一次方程是高考数学的基础，学生需要熟练掌握解一元一次方程的方法及其在实际问题中的应用。

三、函数函数是数学中的重要概念之一。

在对口高考中，函数的概念及其性质常常会成为考题的重点。

学生需要理解函数的定义，能够通过给定的函数表达式进行函数求值、函数的图像绘制和函数性质的分析。

四、数列与等差数列数列与等差数列是数学中的重要概念之一。

学生需要理解数列的定义，并能够对数列进行分析。

等差数列是数列的一种常见形式，学生需要掌握等差数列的通项公式、前n项和及求和公式。

五、图形的性质与变换图形的性质与变换是数学中的几何知识点。

学生需要理解平面图形的性质，能够通过给定的条件进行图形的判定和证明。

同时，学生还需要了解图形的基本变换，如平移、旋转、对称等，并能够应用这些变换解决实际问题。

六、立体几何与三视图立体几何与三视图是数学中的重要几何知识点。

学生需要了解立体几何的基本概念，能够判定立体图形的性质。

三视图是描述立体图形的一种方法，学生需要掌握绘制和分析三视图的技巧，并能够根据给定的三视图还原立体图形。

七、概率与统计概率与统计是一门实用的数学学科。

学生需要了解概率的基本概念，并能够根据给定的条件计算概率。

统计是对数据进行分析和处理的过程，学生需要掌握统计的基本方法，如数据的收集、整理、显示和分析等。

通过对以上数学知识点的学习和掌握，学生将能够在安徽中职对口高考中取得好成绩。

高考数学总复习第三讲：数形结合一、专题概述 ---什么是数形结合的思想数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想．恩格斯说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系．”“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述，数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题．实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观．数形结合包括：函数与图象、方程与曲线、复数与几何的结合；几何语言叙述与几何图形的结合等．二、例题分析1．善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系．观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的基本特征，观察图形的形状、大小和相互位置关系，并在此基础上揭示图形中蕴含的数量关系，是认识、掌握数形结合的重要进程．例1．函数的图象的一条对称轴方程是：（A）（B）（C）（D）分析：通过画出函数的图象，然后分别画出上述四条直线，逐一观察，可以找出正确的答案，如果对函数的图象做深入的观察，就可知，凡直线x=a通过这一曲线的一个最高点或一个最低点，必为曲线的一条对称轴，因此，解这个问题可以分别将代入函数的解析式，算得对应的函数值分别是：，其中只有–1是这一函数的最小值，由此可知，应选（A）2．正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系．观察图形，既要定性也要定量，借助图形来完成某些题时，仅画图示“意”是不够的，还必须反映出图形中的数量关系．例2．问：圆上到直线的距离为的点共有几个？分析由平面几何知：到定直线L：的距离为的点的轨迹是平行L的两条直线．因此问题就转化为判定这两条直线与已知圆的交点个数．将圆方程变形为：，知其圆心是C(-1,-2)，半径，而圆心到定直线L的距离为，由此判定平行于直线L且距离为的两条直线中，一条通过圆心C，另一条与圆C相切，所以这两条直线与圆C共有3个公共点（如图1）启示：正确绘制图形，一定要注意把图形与计算结合起来，以求既定性，又定量，才能充分发挥图形的判定作用．3．切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性以性识图．数形结合的核心是“数”与“形”的对应关系，熟知这些对应关系，沟通两者的联系，才能把握住每一个研究对象在数量关系上的性质与相应的图形的特征之间的关联，以求相辅相成，相互转化．例3．判定下列图中，哪个是表示函数图象．分析由=，可知函数是偶函数，其图象应关于y轴对称，因而否定（B）、（C），又，的图象应当是上凸的，（在第Ⅰ象限，函数y单调增，但变化趋势比较平缓），因而（A）应是函数图象．例4．如图，液体从一圆锥形漏斗注入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟注完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系用图象表示只可能是（）．分析由于圆柱中液面上升的速度是一个常量，所以H与t的关系不是（B），下落时间t越大，液面下落的距离H应越大，这种变化趋势应是越来越快，图象应当是下凸的，所以只可能是（D）．例5．若复数z满足，且，则在复平面上对应点的图形面积是多少？分析满足的复数z对应点的图形是：以C(1,1)为圆心，为半径的圆面，该圆面与图形的公共部分为图中所示阴影部分（要注意到∠AOC=45°）因此所求图形的面积为：4．灵活应用“数”与“形”的转化，提高思维的灵活性和创造性．在中学数学中，数形结合的思想和方法体现最充分的是解析几何，此外，函数与图象之间，复数与几何之间的相互转化也充分体现了数形结合的思想和方法．通过联想找到数与形之间的对应关系是实现转化的先决条件，而强化这种转化的训练则是提高思维的灵活性和创造性的重要手段．例6．已知C<0，试比较的大小．分析这是比较数值大小问题，用比较法会在计算中遇到一定困难，在同一坐标系中，画出三个函数：的图象位于y轴左侧的部分，（如图）很快就可以从三个图象的上、下位置关系得出正确的结论：例7 解不等式解法一（用代数方法求解），此不等式等价于：解得故原不等式的解集是解法二 （采用图象法） 设即对应的曲线是以为顶点，开口向右的抛物线的上半支．而函数y=x+1的图象是一直线．（如图） 解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是．借助于函数的图象或方程的曲线，引入解不等式（或方程）的图象法，可以有效地审清题意，简化求解过程，并检验所得的结果．例8 讨论方程的实数解的个数．分析：作出函数的图象，保留其位于x 轴上方的部分，将位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，便可得到函数的图象．（如图）再讨论它与直线y=a 的交点个数即可． ∴当a ＜0时，解的个数是0；当a=0时或a ＞4时，解的个数是2；当0＜a ＜4时，解的个数是4；当a=4时，解的个数是3．9．已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，则k 的不同取值有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个 （D ）4个分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（）的直线系，双曲线的渐近线方程为∴过（）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同值，此外，过（）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同的值，故正确答案为（D）例9．已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，则k的不同取值有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（）的直线系，双曲线的渐近线方程为∴过（）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同值，此外，过（）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同的值，故正确答案为（D）例10．设点P(x,y)在曲线上移动，求的最大值和最小值．解曲线是中心在（3，3），长轴为，短轴为的椭圆．设，即y=kx为过原点的直线系，问题转化为：求过原点的直线与椭圆相切时的斜率．（如图所示）消去y得解得：故的最大值为，最小值为例11．求函数（其中a,b,c是正常数）的最小值．分析采用代数方法求解是十分困难的，剖析函数解析式的特征，两个根式均可视为平面上两点间的距离，故设法借助于几何图形求解．如图设A(0,a),B(b,-c)为两定点，P(x,0)为x轴上一动点，则其中的等号在P为线段AB与x轴的交点外，即时成立．故y的最小值为例12．P是椭圆上任意一点，以OP为一边作矩形O P Q R（O,P,Q,R依逆时针方向排列）使|OR|=2|OP|，求动点R的轨迹的普通方程．分析在矩形O P Q R中（如图），由∠POR=90°，|OR|=2|OP|可知，OR是OP逆时针旋转90°，并将长度扩大为原来的2倍得到的．这一图形变换恰是复数乘法的几何意义，因此，可转化为复数的运算，找到R和P的两点坐标之间的关系，以求得问题的解决．解，设R点对应的复数为：，P点对应的复数为则故即由点在椭圆上可知有：整理得：就是R点的轨迹方程，表示半长轴为2a，半短轴为2b，中心在原点，焦点在y轴上的椭圆．三解题训练1．求下列方程实根的个数：（1）（2）（3）2．无论m取任何实数值，方程的实根个数都是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）不确定3．已知函数的图象如右图则（）（A）b∈(-∞,0)（B）b∈(0,1)（C）b∈(1,2) （D）b∈(2,+ ∞)4．不等式的解集是（）（A）（0，+∞）（B）（0，1）（C）（1，+∞）（D）（–∞，0）5．不等式一定有解，则a的取值范围是（）（A）（1，+∞）（B）[1,+ ∞]（C）(-∞,1)（D）(0,1]6．解下列不等式：（1）（2）7．复平面内点A、B分别对应复数2，2+i，向量绕点A逆时针方向旋转至向量，则点C对应的复数是_______．8．若复数z满足|z|<2，则arg(z-4)的最大值为___________9．若复数z满足10．函数的图象是平面上两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹，则这两定点的坐标是( )（A）（–，–）（，）（B）（–，）（，–）（C）（–2，2）（2，2）（D）（2，–2）（–2，2）11．曲线与直线的交点个数是（）．（A）0（B）1 （C）2（D）312．曲线与直线有两个交点，则实数k的取值是（）（A）（B）（C）（D）13．已知集合，满足，求实数b的取值范围．14．函数的值域是（）（A）（B）（C）（D）四、练习答案1．（1）2个（2）63个（3）2个提示：分别作出两个函数的图象，看交点的个数．2．B、提示：注意到方程右式，是过定点（，0）的直线系．3．A、提示：由图象知f(x)=0的三个实根是0，1，2这样，函数解析式可变形学习好资料欢迎下载f(x)=ax(x-1)(x-2)，又从图象中可以看出当x∈(0,1)∪(2,+∞)时，f(x)>0．而当x>2时，x,(x-1),(x-2)均大于0，所以a>0，而可知b=-3a<0，故选（A）4．A5．A6．（可以利用图象法求解）（1）x≤-1或0<x≤3（2）x≤-17．18．210°9．10．A11．D 提示：在曲线方程中，分x≥0或x<0两种情形讨论，作出图形即可．12．C13．14．A 提示：f(x)可以视作：A(cosx,sinx),B(1,2)，则f(x)=k AB，而A点为圆x2+y2=1上的动点。

第12讲数形结合与巧用放缩法知识与方法数形结合思想就是根据试题中给出的条件和结论,考虑几何含义来证明不等式.若想要运用好数形结合思想,必须灵活地把抽象笼统的数量关系式与直观明了的图形结合起来,然后在几何与代数的背景下寻找解题的突破口.数形结合有两种情况:一是以数解形,二是以形助数,而通常情况下我们是以形助数来解题,所谓“以形助数”就是构造出与题意相吻合的图形,并通过图象的性质来帮助解决“数”的问题.典型例题x2−ax有两个极值点x1,x2(e为自然对数的底数).【例1】已知函数f(x)=e x−12(1)求实数a的取值范围;(2)求证:f(x1)+f(x2)>2.x2−ax,则f′(x)=e x−x−a,【解析】(1)由于f(x)=e x−12设g(x)=f′(x)=e x−x−a,则g′(x)=e x−1.令g′(x)=e x−1=0,解得x=0.所以当x∈(−∞,0)时,g′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,g′(x)>0.所以g(x)min=g(0)=1−a.(1)当a⩽1时,g(x)=f′(x)⩾0,所以函数f(x)单调递增,没有极值点;(2)当a>1时,g(x)min=1−a<0,且当x→−∞时,g(x)→+∞;当x→+∞时,g(x)→+∞.此时,g(x)=f′(x)=e x−x−a有两个零点x1,x2,不妨设x1<x2,则x1<0<x2,所以函数x2−ax有两个极值点时,实数a的取值范围是(1,+∞);f(x)=e x−12(2)由(1)知,x1,x2为g(x)=0的两个实数根,x1<0<x2,g(x)在(−∞,0)上单调递减.下面先证x1<−x2<0,只需证g(−x2)<g(x1)=0.由于g(x2)=e x2−x2−a=0,得a=e x2−x2,所以g(−x2)=e−x2+x2−a=e−x2−e x2+2x2.−e x+2<0,设ℎ(x)=e−x−e x+2x(x>0),则ℎ′(x)=−1e x所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递减,所以ℎ(x)<ℎ(0)=0,ℎ(x2)=g(−x2)<0,所以x1<−x2<0.由于函数f(x)在(x1,0)上也单调递减,所以f(x1)>f(−x2).要证f(x1)+f(x2)>2,只需证f(−x2)+f(x2)>2,即证e x2+e−x2−x22−2>0.设函数k(x)=e x+e−x−x2−2,x∈(0,+∞),则k′(x)=e x−e−x−2x.设φ(x)=k′(x)=e x−e−x−2x,则φ′(x)=e x+e−x−2>0,所以φ(x)在(0,+∞)上单调递增,φ(x)>φ(0)=0,即k′(x)>0.所以k(x)在(0,+∞)上单调递增,k(x)>k(0)=0.故当x∈(0,+∞)时,e x+e−x−x2−2>0,则e x2+e−x2−x22−2>0,所以f(−x2)+f(x2)>2,亦即f(x1)+f(x2)>2.【点睛】第一问函数f(x)有两个极值点实质上就是其导数f′(x)有两个零点,亦即函数y=e x 与直线y=x+a有两个交点,如图所示,显然实数a的取值范围是(1,+∞).第二问是极值点偏移问题的泛化,是拐点的偏移,依然可以使用极值点偏移问题的有关方法来解决.只不过需要挖掘出拐点偏移中隐含的拐点的不等关系,如本题中的x1<−x2<0,如果“脑中有'形'”,如图所示,并不难得出.【例2】已知函数f(x)=e x−ax2,且曲线y=f(x)在点x=1处的切线与直线x+(e−2)y=0垂直.（1）求函数f(x)的单调区间;(2)求证:x>0时,e x−ex−1⩾x(ln⁡x−1).【解析】(1)由f(x)=e x−ax2,得f′(x)=e x−2ax.因为曲线y=f(x)在点x=1处的切线与直线x+(e−2)y=0垂直,所以f′(1)=e−2a=e−2,所以a=1,即f(x)=e x−x2,f′(x)=e x−2x.令g(x)=e x−2x,则g′(x)=e x−2,g′(ln⁡2)=0.所以x∈(−∞,ln⁡2)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;x∈(ln⁡2,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增.所以g(x)min=g(ln⁡2)=2−2ln⁡2>0,所以f′(x)>0,f(x)单调递增.即f(x)的单调递增区间为(−∞,+∞),无递减区间;(2)由(1)知f(x)=e x−x2,f(1)=e−1,所以y=(x)在x=1处的切线为y−(e−1)=(e−2)(x−1),即y=(e−2)x+1.令ℎ(x)=e x−x2−(e−2)x−1,则ℎ′(x)=e x−2x−(e−2)=e x−e−2(x−1),且ℎ′(1)=0,ℎ′′(x)=e x−2,x ∈(−∞,ln⁡2)时,ℎ′′(x)<0,ℎ′(x)单调递减; x ∈(ln⁡2,+∞)时,ℎ′′(x)>0,ℎ′(x)单调递增.因为ℎ′(1)=0,所以ℎ′(x)min =ℎ′(ln⁡2)=4−e −2ln⁡2<0, 因为ℎ′(0)=3−e >0,所以存在x 0∈(0,1),使x ∈(0,x 0)时,ℎ′(x)>0,ℎ(x)单调递增; x ∈(x 0,1)时,ℎ′(x)<0,ℎ(x)单调递减; x ∈(1,+∞)时,ℎ′(x)>0,ℎ(x)单调递增. 又ℎ(0)=ℎ(1)=0,所以x >0时,ℎ(x)⩾0,即e x −x 2−(e −2)x −1⩾0,所以e x −(e −2)x −1⩾x 2. 今ेφ(x)=ln⁡x −x ,则φ′(x)=1x −1=1−x x.所以x ∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)单调递增;x ∈(1,+∞)时,φ′(x)<0,φ(x)单调递减,所以φ(x)⩽φ(1)=−1,即ln⁡x +1⩽x , 因为x >0,所以x(ln⁡x +1)⩽x 2,所以x >0时,e x −(e −2)x −1⩾x(ln⁡x +1), 即x >0时,e x −ex −1⩾x(ln⁡x −1).强化训练1.若关于x 的不等式a −ax >e x (2x −1)(a >−1)有且仅有两个整数解,则实数a 的取值范围为 A.(−34,53e 2] B.(−1,−32e ] C.(−32e ,−53e 2] D.(−34,−53e 2]【答案】C【解析】设g(x)=a −ax,ℎ(x)=e x (2x −1), 不等式a −ax >e x (2x −1)(a >−1)即g(x)>ℎ(x),ℎ′(x)=e x (2x +1),由ℎ′(x)>0得x >−12,由ℎ′(x)<0得x <−12,ℎ(x)在(−∞,−12)单调递减,在(−12,+∞)单调递增.作出g(x)的图象如图所示,直线g(x)=a −ax 过定点(1,0).若不等式g(x)>ℎ(x)有且仅有两个整数解,则这两个整数只能是0和−1,所以{g(−1)>ℎ(−1),g(−2)⩽ℎ(−2),得−32e <a ⩽−53e 2,实数a 的取值范围是(−32e ,−53e 2],故选:C .2.已知关于x 的不等式|ln⁡x+x−4e x|>ax 的解集中只有两个整数,则实数a 的取值范围为（）A.(ln⁡22e 4,2−ln⁡22e 2] B.[ln⁡3−13e 3,2−ln⁡22e 2) C.[ln⁡3+13e 3,2−ln⁡22e 2)D.(ln⁡3+13e 3,2−ln⁡22e 2)【答案】A 【解析】依题意,a <|ln⁡x+x−4|xe x=|ln⁡x+x−4xe x|,令ℎ(x)=ln⁡x+x−4xe x,则ℎ′(x)=−(x+1)(ln⁡x+x−5)x 2e x,令φ(x)=ln⁡x +x −5,则φ′(x)=1x +1>0,则φ(x)在(0,+∞)上单调递增, 又φ(3)=ln⁡3−2<0,φ(4)=ln⁡4−1>0,所以存在t ∈(3,4),使得φ(t)=0,所以x ∈(0,t),φ(x)<0即ℎ′(x)>0,ℎ(x)在(0,t)单调递增,当x ∈(t,+∞),φ(x)>0,即ℎ′(x)<0,ℎ(x)在(t,+∞)单调递减, 因为ℎ(1)=−3e <0,ℎ(2)=ln⁡2−22e 2<0,ℎ(3)=ln⁡3−12e 3>0,且当x >3时,ℎ(x)>0, 又|ℎ(1)|=3e ,|ℎ(2)|=2−ln⁡22e 2>|ℎ(3)|=ln⁡3−12e 3,|ℎ(4)|=ln⁡22e 4>|ℎ(3)|,故要使不等式|ln⁡x+x−4e x|>ax 的解集中只有两个整数,a 的取值范围应为ln⁡22e 4<a ⩽2−ln⁡22e 2.故选:A .3.已知函数f(x)=ln⁡x +12x 2+ax(a ∈R),g(x)=e x +32x 2−x .(1)讨论f(x)的单调性; (2)定义:对于函数f(x),若存在x 0,使f (x 0)=x 0成立,则称x 0为函数f(x)的不动点.如果函数F(x)=f(x)−g(x)存在不动点,求实数a 的取值范围. 【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f ′(x)=x 2+ax+1x(x >0),对于函数y =x 2+ax +1，(1)当Δ=a 2−4⩽0时,即−2⩽a ⩽2时,x 2+ax +1⩾0在x >0恒成立. 所以f ′(x)=x 2+ax+1x⩾0在(0,+∞)恒成立.所以f(x)在(0,+∞)为增函数; (2)当Δ>0,即a <−2或a >2时, 当a <−2时,由f ′(x)>0, 得x <−a−√a 2−42或x >−a+√a 2−42,0<−a−√a 2−42<−a+√a 2−42,所以f(x)在(0,−a−√a 2−42)上递增,在(−a−√a 2−42,−a+√a 2−42)上递减.在(−a+√a 2−42,+∞)上递增;当a >2时,由f ′(x)=x 2+ax+1x>0在(0,+∞)恒成立,所以f(x)在(0,+∞)为增函数.综上:当a<−2时,f(x)在(0,−a−√a2−42)上为增函数,在(−a−√a2−42,−a+√a2−42)上为减函数,在(−a+√a2−42,+∞)上为增函数;当a⩾−2时,f(x)在(0,+∞)上为增函数.(2)F(x)=f(x)−g(x)=ln⁡x−x2+ax+x−e x(x>0),因为F(x)存在不动点,所以方程F(x)=x有实数根,即a=e x−ln⁡x+x2x有解,令ℎ(x)=e x+x2−ln⁡xx(x>0),ℎ′(x)=e x(x−1)+ln⁡x+(x+1)(x−1)x2=(e x+x+1)(x−1)+ln⁡xx2,令ℎ′(x)=0,得x=1,当x∈(0,1)时,ℎ′(x)<0,ℎ(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,ℎ′(x)>0,ℎ(x)单调递增;所以ℎ(x)⩾ℎ(1)=e+1,当a⩾e+1时,F(x)有不动点,所以a的范围为[e+1,+∞).【点睛】导数式含参数时,如何讨论参数范围而确定到数值的正负是解决这类题的难点,般采用求根法和图像法.(1)对函数f(x)求导,结合二次函数的性质讨论a的范围,即可判断f(x)的单调性;(2)由F(x)存在不动点,得到F(x)=x有实数根,即a=e x−ln⁡x+x2x有解,构造函数令ℎ(x)=e x+x2−ln⁡xx(x>0),通过求导即可判断ℎ(x)的单调性,从而得到ℎ(x)的取值范围,即可得到a的范围.巧用放缩法知识与方法放缩法就是针对不等式的结构特征,运用不等式的性质,将不等式的一边或两边进行放大或缩小,也就是对代数式进行恰到好处的变形,使问题便于解决.放缩法大致分为以下几类:1.将代数式中的分母和分子同时扩大和缩小;2.利用均值不等式或其它的不等式放缩数式;3.也可以在不等式两边同时加上或减去某一项;4.可以把代数式中的一些项进行分解再重新组合,这样就可以消去一些项便于求解,这也是我们常用的裂项法.导数的解答题中,经常会用到一些不等式进行放缩,主要分为五类:1.切线不等式(1)e x⩾x+1;(2)ln⁡x⩽x−1;(3)e x⩾ex;(4)ln⁡x⩽1e x;(5)ln⁡x⩾1−1x.2.与三角有关的一些不等式(1)当x⩾0时,sin⁡x⩽x,cos⁡x⩾1−x22;(2)当0⩽x⩽π2时,cos⁡x⩽1−x24;(3)当0<x<π2时,sin⁡x<x<tan⁡x;(4)当0<x⩽π2时,sin⁡xx⩾2π.3.一些常见不等式(稍微提高)(1)当x>1时,x2−1x2+1<2(x−1)x+1<ln⁡x<√x−√x<12(x−1x);(2)当0<x<1时,12(x−1x)<√x√x<ln⁡x<2(x−1)x+1<x2−1x2+1;(3)对数平均不等式:∀x1>x2>0,√x1x2<x1−x2ln⁡x1−ln⁡x2<x1+x22.4.一些不常见的不等式(1)当x>0时,e x>1+x+12x2;(2)当0<x<1时,ln⁡1+x1−x >2x+23x3;当−1<x<0时,ln⁡1+x1−x<2x+23x3.5.偶尔用上的不等式当n>1,n∈N∗,x>−1时,则:(1+x)n⩾1+nx,(1+x)1n⩽1+1nx.（当且仅当x=0时等号成立.)在解答导数问题时,我们经常使用到函数的切线、割线逼近进行放缩,两个常用的结论为ln⁡x⩽x−1(当且仅当x=1时取等号),e x⩾x+1(当且仅当x=0时取等号),借助这两个结论可以将超越函数放缩成一次函数.针对高考压轴导数问题,放缩法可以起到很好的效果.使用放缩法需要较高的拆分组合技巧,一定要点睛意同向传递,还要把握好放缩的“尺度”,否则将达不到预期的目的,或者会得出错误的结论.典型例题指数放缩【例1】已知函数f(x)=ae x+2x−1(其中常数e=2.71828⋯,是自然对数的底数).(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:对任意的a⩾1,当x>0时,f(x)⩾(x+ae)x.【解析】(1)求导,得f′(x)=ae x+2.当a⩾0时,f′(x)>0,f(x)在R上单调递增;当a<0时,令f′(x)=0,得x=ln⁡(−2a).当x∈(−∞,ln⁡(−2a))时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(ln⁡(−2a),+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.综上,当a⩾0时,f(x)在R上单调递增;当a<0时,f(x)在(−∞,ln⁡(−2a ))上单调递增,在(ln⁡(−2a),+∞)上单调递减.(2)解法1:指对处理技巧xe x型当a⩾1,x>0时,要证f(x)⩾(x+ae)x,即ae x−x2+(2−ae)x−1⩾0，即1−x2−(2−ae)x+1ae x⩾0,令g(x)=1−x 2−(2−ae)x+1ae x,则g′(x)=(x−1)(x+ae−3)ae x,(i)当a⩾3e时,令g′(x)=0,得x=1,故当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(1,+∞),g′(x)>0,g(x)单调递增.所以g(x)⩾g(1)=0,即f(x)⩾(x+ae)x.(ii)当1⩽a<3e吋,令g′(x)=0,得x=1,或x=3−ae.当x∈(0,3−ae),(1,+∞),g′(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(3−ae,1),g′(x)<0,g(x)单调递减.又g(0)=1−1a⩾0,g(1)=0,故此时g(x)⩾0,即f(x)⩾(x+ae)x.综上,对任意的a⩾1,当x>0时,f(x)⩾(x+ae)x.解法2:指对处理技巧e xx+主元放缩当a⩾1,x>0时,要证f(x)⩾(x+ae)x,即a(e x−ex)−(x−1)2⩾0,即证e xx −xa−1ax+2a−e⩾0，令g(x)=e xx −xa−1ax+2a−e,则g′(x)=(x−1)(ae x−x−1)ax2,当a⩾1时,ae x−x−1⩾e x−x−1,当且仅当a=1时等号成立,令ℎ(x)=e x−x−1,则ℎ′(x)=e x−1>0在(0,+∞)上恒成立,故ℎ(x)单调递增,ℎ(x)>ℎ(0)=0,g′(x)=0,则x=1,所以x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增.所以g(x)⩾g(1)=0,即e xx −xa−1ax+2a−e⩾0,即f(x)⩾(x+ae)x.综上,对任意的a⩾1,当x>0时,f(x)⩾(x+ae)x.解法3:直接讨论法当a⩾1,x>0时,要证f(x)⩾(x+ae)x,即a(e x−ex)−(x−1)2⩾0,令g(x)=ae x−x2+(2−ae)x−1,则g′(x)=ae x−2x−(ae−2),因此g′′(x)=ae x−2在(0,+∞)上单调递增.(i)当a⩾2时,g′′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,故g′(x)单调递增,又g′(1)=0,故当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增.所以g(x)⩾g(1)=0,即f(x)⩾(x+ae)x.当1⩽a<2时,令g′′(x)=0,得x=ln⁡2a∈(0,1).当x∈(0,ln⁡2a),g′′(x)<0,g′(x)单调递减;当x∈(ln⁡2a,+∞),g′′(x)>0,g′(x)单调递增.(ii)当2e−1⩽a<2时,g′(0)=a(1−e)+2⩽0,又g′(1)=0,g′(ln⁡2a)<g′(1)=0,故当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增.所以g(x)⩾g(1)=0,即f(x)⩾(x+ae)x.(iii)当1⩽a<2e−1时,则g′(0)=a(1−e)+2>0,又g′(ln⁡2a )<g′(1)=0,故存在唯一x0∈(0,ln⁡2a),使得ℎ(x0)=0,当x∈(0,x0),(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(x0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减.又g(0)=a−1⩾0,g(1)=0.故此时g(x)⩾0,即f(x)⩾(x+ae)x.综上,对任意的a⩾1,当x>0时,f(x)⩾(x+ae)x.解法4:主元放缩+指数放缩法当a⩾1,x>0时,要证f(x)⩾(x+ae)x,即a(e x−ex)−(x−1)2⩾0,令g(x)=e x−ex,则g′(x)=e x−e,令g′(x)=0,得x=1.当x∈(−∞,1),g′(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(1,+∞),g′(x)>0,g(x)单调递增.所以g(x)⩾g(1)=0,即e x−ex⩾0,当且仅当x=1时等号成立,故a(e x−ex)⩾e x−ex,当且仅当a=1,x=1时等号成立;要证a (e x −ex )−(x −1)2⩾0,只需要证e x −ex −(x −1)2⩾0. 策略一:直接讨论法令ℎ(x)=e x −ex −(x −1)2(x >0),则ℎ′(x)=e x −e −2(x −1),ℎ′′(x)=e x −2,令ℎ′′(x)=0,得x =ln⁡2. 当x ∈(0,ln⁡2)时,ℎ′′(x)<0,ℎ′(x)单调递减; 当x ∈(ln⁡2,+∞)时,ℎ′′(x)>0,ℎ′(x)单调递增. 又ℎ′(0)=3−e >0,ℎ′(1)=0,ℎ′(ln⁡2)<0, 因此存在唯一x 0∈(0,ln⁡2),使得ℎ′(x 0)=0.当x ∈(0,x 0)时,ℎ′(x)>0,ℎ(x)单调递增;当x ∈(x 0,1),ℎ′(x)<0,ℎ(x)单调递减. 又ℎ(0)=0,ℎ(1)=0,故此时ℎ(x)⩾0恒成立,即f(x)⩾(x +ae)x . 综上,对任意的a ⩾1,当x >0时,f(x)⩾(x +ae)x . 策略二:指数处理,同解法1 即证1−ex+(x−1)2e x⩾0,令g(x)=1−ex+(x−1)2e x,则g ′(x)=(x−1)(x+e−3)e x，令g ′(x)=0,得x =1,或x =3−e .当x ∈(0,3−e),(1,+∞)时,g ′(x)>0,g(x)单调递增; 当x ∈(3−e,1)时,g ′(x)<0,g(x)单调递减.又g(0)=0,g(1)=0,故此时g(x)⩾0,即f(x)⩾(x +ae)x . 综上,对任意的a ⩾1,当x >0时,f(x)⩾(x +ae)x . 策略三:指对处理,同解法2 即证e xx −x −1x +2−e ⩾0，令g(x)=e x x−x −1x +2−e ,则g ′(x)=(x−1)(e x −x−1)x 2.令ℎ(x)=e x −x −1,则ℎ′(x)=e x −1>0在(0,+∞)上恒成立,故ℎ(x)单调递增,从而ℎ(x)>ℎ(0)=0,令g′(x)=0,则x=1.当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增.所以g(x)⩾g(1)=0,即e xx −x−1x+2−e⩾0,从而f(x)⩾(x+ae)x.综上,对任意的a⩾1,当x>0时,f(x)⩾(x+ae)x.【点睛】本题的第(2)问是一道开放性较强的试题,可以从多角度入手分析.当a⩾1,x>0时,要证f(x)⩾(x+ae)x,即ae x−x2+(2−ae)x−1⩾0,观察此时含有指数项ae x,也含有二次项,直接讨论至少要求两次导数才便于探究(解法2),结合指对处理技巧,可考虑同时除以ae x,这样求导后就只需要讨论二次型函数即可.即证g(x)=1−x 2−(2−ae)x+1ae x⩾0,求导后分耇竕是可因式分解的二次函数，且两根易求,分别为x=1与x=3−ae.但对于x=3−ae是否在区间(0,+∞)内不能确定,因此需要进行讨论.解法1采用的是整理为xe x 型函数,解法2则是整理为exx型的函数,解法2采用的是直接讨论.对于解法4,观察到所证不等式中含有e x与ex,即可联想到e x⩾ex,为此将待证式整理成a(e x−ex)−(x−1)2⩾0,借助e x⩾ex,只需要证明e x−ex−(x−1)2⩾0即可.接下来的证明与前述含参讨论的情形大同小异,可直接讨论,也可采用指对处理对数放缩【例2】已知函数f(x)=x−1ln⁡x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)证明:在x>12且x≠1时,f(x)<x2+34恒成立.【解析】(1)f′(x)=ln⁡x−1+1 x(ln⁡x)2(x>0,且x≠1),令g(x)=ln⁡x−1+1x ,则g′(x)=1x−1x2=x−1x2,当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增;故g(x)>g(1)=0,即f′(x)>0恒成立,故f(x)在(0,1),(1,+∞)上单调递增.综上,f(x)的单调递增区间为(0,1),(1,+∞),无单调递减区间. (2)解法1:放缩法今ℎ(x)=x −1−ln⁡x(x >0),则ℎ′(x)=x−1x,当x ∈(0,1),ℎ′(x)<0,ℎ(x)单调递减;当x ∈(1,+∞),ℎ′(x)>0,ℎ(x)单调递增. 故ℎ(x)⩾ℎ(1)=0,即x −1⩾ln⁡x ,当且仅当x =1时等号成立. 因此,当x ∈(12,1),x −1>ln⁡x ,则x−1ln⁡x <1, 而此时x 2+34>1,所以x−1ln⁡x<x 2+34;另一方面,x ∈(1,+∞),由(1)可知ln⁡x >1−1x , 因此x−1ln⁡x<x−11−1x=x ,而x 2+34−x >0在(1,+∞)恒成立,故x 2+34>x >x−1ln⁡x成立.综上,不等式x−1ln⁡x<x 2+34在x >12,且x ≠1时恒成立.解法2:等价变形 当x ∈(12,1)时,即证x−1x 2+34>ln⁡x ;当x ∈(1,+∞),即证x−1x 2+34<ln⁡x ;令F(x)=x−1x 2+34−ln⁡x (x >12,且x ≠1),则F ′(x)=x 2+34−2x(x−1)(x 2+34)2−1x =−x 4+x 3−12x 2−34x+916x(x 2+34)2,令G(x)=x 4+x 3−12x 2−34x +916,则G ′(x)=4x 3+3x 2−x −34=4x 2(x +34)−(x +34)=(x +34)(4x 2−1)>0, 故G(x)单调递增,G(x)>G (12)=14>0,故F′(x)<0,所以F(x)单调递减,而F(1)=0,故当x∈(12,1)时,F(x)>0,即x−1x2+34>ln⁡x;当x∈(1,+∞)时,F(x)<0,即x−1x2+34<ln⁡x.综上,不等式x−1ln⁡x <x2+34在x>12且x≠1时成立.指对混合放缩【例3】已知函数f(x)=e x.(1)讨论函数g(x)=f(ax)−x−a的单调性;(2)证明:f(x)+ln⁡x+3x >√x.【解析】(1)g(x)=f(ax)−x−a=e ax−x−a,g′(x)=ae ax−1,(1)若a⩽0时,g′(x)<0,g(x)在R上单调递减;(2)若a>0时,当x<−1aln⁡a时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x>−1aln⁡a时,g′(x)>0,g(x)单调递增;综上若a⩽0时,g(x)在R上单调递减;若a>0时,g(x)在(−∞,−1a ln⁡a)上单调递减;在(−1aln⁡a,+∞)上单调递增;(2)证明:要证f(x)+ln⁡x+3x >√x,只需证x(ln⁡x+e x)−4√x+3>0,由(1)可知当a=1时,e x−x−1⩾0,即e x⩾x+1,当x+1>0时,上式两边取以e为底的对数,可得ln⁡(x+1)⩽x(x>−1),用x−1代替x可得ln⁡x⩽x−1(x>0),又可得ln⁡1x ⩽1x−1(x>0),所以ln⁡x⩾1−1x(x>0),所以x(ln⁡x+e x)−4√x+3>x(1−1x+x+1)−4√x+3=x2+2x+2−4√x=(x+1)2−4√x+1⩾(2√x)2−4√x+1=(2√x−1)2⩾0,从而不等式f(x)+ln⁡x+3x >√x成立.【例4】已知函数f(x)=e x−ax2,g(x)=xln⁡x−x2+(e−1)x+1,且曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx+1.(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)在[0,1]上的最小值;(3)证明:当x>0时,g(x)⩽f(x).【解析】(1)a=1,b=e−2.(2)f(x)min=1;(3)即证:e x+(1−e)x−xln⁡x−1⩾0,因为f(0)=1,且曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=(e−2)x+1,故可猜测:当x>0且x≠1时,f(x)的图象恒在切线y=(e−2)x+1的上方.下面证明:当x>0时,f(x)⩾(e−2)x+1.解法1:设φ(x)=f(x)−(e−2)x−1(x>0),则φ′(x)=e x−2x−(e−2),今F(x)=φ′(x),F′(x)=e x−2,当x∈(0,ln⁡2)时,F′(x)<0,φ′(x)单调递减;当x∈(ln⁡2,+∞)时,F′(x)>0,φ′(x)单调递增.又φ′(0)=3−e>0,φ′(1)=0,0<ln⁡2<1,φ′(ln⁡2)<0所以,存在x0∈(0,1),使得φ′(x0)=0.当x∈(0,x0)∪(1,+∞)时,φ′(x)>0;当x∈(x0,1),φ′(x)<0;故φ(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.又φ(0)=φ(1)=0,所以φ(x)=e x−x2−(e−2)x−1⩾0,当且仅当x=1时取等号.故e x+(2−e)x−1x⩾x(x>0).由(2)知,e x⩾x+1,故x⩾ln⁡(x+1),所以x−1⩾ln⁡x,当且仅当x=1时取等号.所以e x+(2−e)x−1x⩾x⩾ln⁡x+1,即e x+(2−e)x−1x⩾ln⁡x+1.所以e x+(2−e)x−1⩾xln⁡x+x,即e x+(1−e)x−xln⁡x−1⩾0成立(当x=1时等号成立).故当x>0时,g(x)⩽f(x).解法2:要证xln⁡x−x2+(e−1)x+1⩽e x−x2,等价于证明xln⁡x+(e−1)x+1−e x⩽0,又x>0,可转化为证明ln⁡x+e−1+1x −e xx⩽0,令F(x)=ln⁡x+e−1+1x −e xx,则F′(x)=1x−1x2−e x(x−1)x2=(x−1)(1−e x)x2,因为x>0,所以当x∈(0,1)时,F′(x)>0,F(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,F′(x)<0,F(x)单调递减;所以F(x)有最大值F(1)=0,故F(x)⩽0恒成立,即当x>0时,g(x)⩽f(x).三角放缩【例5】设a>0,且a≠1,函数f(x)=sin⁡ax−asin⁡x.(1)若f(x)在区间(0,2π)上有唯一极值点x0,证明:f(x0)<min{2aπ,(1−a)π};(2)若f(x)在区间(0,2π)没有零点,求a的取值范围.【解析】(1)f′(x)=acos⁡ax−acos⁡x=a(cos⁡ax−cos⁡x)=−2asin⁡a+12xsin⁡a−12x,若a>1,则f′(x)在区间(0,2π)至多有x1=2πa+1,x2=4πa+1两个变号零点,故0<a<1,令f′(x)=0,得x m=2mπa+1,x n=2nπa+1,其中m,n∈Z,仅当m=1时,x1=2πa+1∈(0,2π),且在x1的左右两侧,导函数的值由正变负,故当0<a<1时,f(x)在区间(0,2π)有唯一极值点x0=2πa+1,此时f(x0)= sin⁡ax0−asin⁡x0.解法1:将x 0=2πa+1代入得f (x 0)=sin⁡2aπa+1−asin⁡2πa+1=sin⁡2aπa+1+asin⁡(2π−2πa+1)=(1+a)sin⁡2aπa+1, (1)当2aa+1⩽12,即0<a ⩽13时,2aπ⩽(1−a)π,由不等式x >0,sin⁡x <x 知:(1+a)sin⁡2aπa+1<(1+a)2aπa+1=2aπ;(2)当2a a+1>12,即当13<a <1时,(1−a)π<2aπ,(1+a)sin⁡2aπa+1=(1+a)sin⁡(π−2aπa+1)=(1+a)sin⁡(1−a)πa+1,由不等式x >0,sin⁡x <x 知:(1+a)sin⁡2aπa+1<(1+a)(1−a)πa+1=(1−a)π.由(1)(2)知f (x 0)<min{2aπ,(1−a)π}. 解法2:由x 0=2πa+1⇒ax 0=2π−x 0,a =2πx 0−1,代入得f (x 0)=sin⁡ax 0−asin⁡x 0=sin⁡(2π−x 0)−(2πx 0−1)sin⁡x 0,即f (x 0)=−2πxsin⁡x 0. 以下用分析法可证:f (x 0)<min{2aπ,(1−a)π}.(2)(1)当a >1时,f (πa )=sin⁡(a ⋅πa )−asin⁡πa =−asin⁡πa <0,f (3π2)=sin⁡(3aπ2)+a >0,所以f (πa )f (3π2)<0,由零点存在性定理知,f(x)在区间(πa ,3π2)至少有一个零点;(2)当12<a <1时,π<πa<2π,π2<aπ<π,π<2aπ<2π,f (πa )=−asin⁡πa >0,f(π)=sin⁡aπ>0,f(2π)=sin⁡2aπ<0, 由零点存在定理可知,f(x)在区间(π,2π)至少有一个零点; (3)当0<a ⩽12时,f ′(x)=acos⁡ax −acos⁡x =a(cos⁡ax −cos⁡x), 令g(x)=cos⁡ax −cos⁡x ,则g ′(x)=−asin⁡ax +sin⁡x , 在区间(0,π)上,cos⁡ax >cos⁡x,f ′(x)>0,f(x)是增函数;在区间(π,2π)上,g ′(x)<0,即g(x)递减,即f ′(x)递减,f ′(x)<f ′(2π)<0,故f(x)在(0,π)上递增,在(π,2π)上递减,又f(0)=0,f(π)=sin⁡aπ>0,f(2π)=sin⁡2aπ⩾0,即在(π,2π)上,f(x)>0.所以f(x)在区间(0,2π)上没有零点,满足题意.综上所述,若f(x)在区间(0,2π)没有零点,则正数a的取值范围是(0,12].含三角函数的指对放缩【例6】已知函数f(x)=e x−ax−cos⁡x,其中a∈R.(1)求证:当a⩽−1时,f(x)无极值点;(2)若函数g(x)=f(x)+ln⁡(x+1),是否存在a,使得g(x)在x=0处取得极小值?并说明理由.【解析】(1)证明:f′(x)=e x−a+sin⁡x,显然e x>0,−1⩽sin⁡x⩽1,当a⩽−1时,e x−a+sin⁡x>0−a−1⩾0,即f′(x)>0,所以函数f(x)在其定义域上为增函数,故f(x)无极值点;(2)g(x)=e x−ax−cos⁡x+ln⁡(x+1),g′(x)=e x−a+sin⁡x+1x+1,显然x=0是g(x)的极小值点的必要条件,为g′(0)=2−a=0,即a=2.此时g′(x)=e x+1x+1+sin⁡x−2,显然当x∈(0,π2)时,g′(x)=e x+1x+1+sin⁡x−2>1+x+1x+1+sin⁡x−2>sin⁡x>0,当x∈(−14,0)时,(1+x)(1−x+32x2)=1+x22(3x+1)>1,故11+x <1−x+32x2,令m(x)=(1+x+x 22)e−x,则m′(x)=−x22e−x⩽0,故m(x)是减函数,故当x<0时,m(x)>m(0)=1,即e x<1+x+x22,令ℎ(x)=sin⁡x−12x,则ℎ′(x)=cos⁡x−12,当−1<x<0时,ℎ′(x)>cos⁡1−12>0,故ℎ(x)在(−1,0)单调递增,故当−1<x<0时,ℎ(x)<ℎ(0)=0,即sin⁡x<12x,故当x∈(−14,0)时,g′(x)=e x+1x+1+sin⁡x−2⩽(1+x+x22)+(1−x+32x2)−2+x2=2x2+x2<0,因此,当a=2时,x=0是g(x)的极小值点,即充分性也成立.综上,存在a=2,使得g(x)在x=0处取得极小值.【点睛】本题第(2)问先由必要性探路可知a=2,再证明当a=2时,x=0是函数g(x)的极小值点,即证明其充分性,由此即可得出结论.【例7】已知函数f(x)=2ln⁡(x+1)+sin⁡x+1,函数g(x)=ax−1−ln⁡x(a∈R,且a≠0).(1)讨论函数g(x)的单调性;(2)证明:当x⩾0时,f(x)⩽3x+1;(3)证明:当x>−1时,f(x)<(x2+2x+2)e sin⁡x.【解析】(1)g(x)定义域为(0,+∞),g′(x)=a−1x =ax−1x.当a<0时,g′(x)<0,则g(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,令g′(x)>0,得x>1a ,即g(x)在(1a,+∞)上单调递增;令g′(x)<0,得0<x<1a ,得g(x)在(0,1a)上单调递减.综上所述,当a<0时,g(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,g(x)在(1a ,+∞)上单调递增,在(0,1a)上单调递减.(2)解法1:作差法+直接求导设函数ℎ(x)=f(x)−(3x+1),则ℎ′(x)=2x+1+cos⁡x−3.因为x⩾0,所以2x+1∈(0,2],cos⁡x∈[−1,1],则ℎ′(x)⩽0,从而ℎ(x)在[0,+∞)上单调递减,所以ℎ(x)=f(x)−(3x−1)⩽ℎ(0)=0,即f(x)⩽3x+1.解法2:常用不等式+兵分两路当a=1时,g(x)=x−1−ln⁡x,由(1)知g(x)min=g(1)=0,所以ln⁡x⩽x−1,所以2ln⁡(x+1)⩽2x.令φ(x)=x−sin⁡x,则φ′(x)=1−cos⁡x⩾0恒成立,又φ(0)=0,所以当x⩾0时,有φ(x)=x−sin⁡x⩾0,即sin⁡x⩽x.所以f(x)=2ln⁡(x+1)+sin⁡x+1⩽2x+x+1=3x+1.(3)证明:当a=1时,g(x)=x−1−ln⁡x,由(1)知g(x)min=g(1)=0,所以x⩾ln⁡x+1,当x>−1时,(x+1)2>0,(x+1)2e sin⁡x>0,所以(x+1)2e sin⁡x>ln⁡[(x+1)2e sin⁡x]+1=2ln⁡(x+1)+sin⁡x+1.从而(x2+2x+2)e sin⁡x>(x+1)2e sin⁡x>ln⁡[(x+1)2e sin⁡x]+1=2ln⁡(x+1)+sin⁡x+1=f(x),所以f(x)<(x2+2x+2)e sin⁡x.强化训练1.已知函数f(x)=x+ae x(a∈R)在x=0处取得极值.(1)求a,并求f(x)的单调区间;(2)证明:当0<m⩽e,x∈(1,+∞)时,xe x−2−m(x−1)ln⁡x>0.【解析】(1)f′(x)=1−x−ae x,由题意可得,f′(0)=1−a=0,故a=1,f(x)=1+xe x ,f′(x)=−xe x,由f′(x)>0可得x<0,故函数单调递增区间(−∞,0),由f′(x)<0可得x>0,故函数单调递减区间(0,+∞),(2)证明:由(1)可知f(x)在(−∞,0)上单调递增,在(0,+∞)单调递减,故f(x)⩽f(0)=1,即x+1e x⩽1,故e x⩾x+1,所以e x−2⩾x−1,当且仅当x=2时取等号,又因为x>0,所以xe x−2⩾x(x−1),所以xe x−2−m(x−1)ln⁡x⩾x(x−1)−m(x−1)ln⁡x=(x−1)(x−mln⁡x),因为x>1,所以ln⁡x>0,因为0<m⩽e,所以x−mln⁡x⩾x−elnx,令g(x)=x−eln⁡x,则g′(x)=1−ex,由g′(x)>0可得,x>e,故g(x)在(e,+∞)上单调递增,由g′(x)<0可得,x<e,故g(x)在(−∞,e)上单调递减,所以g(x)⩾g(e)=0,即x−elnx⩾0在x=e处取得等号,所以xe x−2−m(x−1)ln⁡x⩾(x−1)(x−mln⁡x)⩾(x−1)(x−eln⁡x)⩾0,由于取等条件不同,所以xe x−2−m(x−1)ln⁡x>0.2.已知函数f(x)=ln⁡x−xe.(1)若曲线y=f(x)存在一条切线与直线y=ax垂直,求a的取值范围.(2)证明:f(x)<x2−ln⁡x−34sin⁡x.【解析】(1)f′(x)=1x −1e.因为f(x)的定义域为(0,+∞),所以1x−1e>−1e.因为曲线y=f(x)存在一条切线与直线y=ax垂直,所以−1a >−1e,解得a<0或a>e,则a的取值范围为(−∞,0)∪(e,+∞).(2)f′(x)=1x −1e=e−xxe.当x∈(0,e)时,f′(x)>0;当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0.所以f(x)max =f(e)=ln⁡e −e e =0.设函数g(x)=x 2−ln⁡x ,则g ′(x)=2x −1x =2x 2−1x .当x ∈(0,√22)时,g ′(x)<0;当x ∈(√22,+∞)时,g ′(x)>0.所以g(x)min =g (√22)=12−12ln⁡12=12+12ln⁡2. 因为ln⁡2>ln⁡√e =12,g(x)min >34. 因为34sin⁡x ∈[−34,34],所以x 2−ln⁡x −34sin⁡x >0.又f(x)⩽f(x)max =0,所以f(x)<x 2−ln⁡x −34sin⁡x .3.已知函数f(x)=xln⁡x +32x 2−(a +1)x +b . (1)当a =3时,求f(x)的单调区间;(2)e 为自然对数的底数,若a ∈(3e −1,3e +1)时,f(x)⩾0恒成立,证明:b −2a +6>0.【解析】(1)当a =3时,f(x)=xln⁡x +32x 2−4x +b , 则f ′(x)=ln⁡x +3x −3在(0,+∞)上单调递增,又f(1)=0, 故当x ∈(0,1)时,f ′(x)<0,f(x)单调递减;当x ∈(1,+∞)时,f ′(x)>0,f(x)单调递增.综上,当a =3时,f(x)的单调咸区间为(0,1),单调增区间为(1,+∞).(2)对f(x)求导,得f ′(x)=ln⁡x +3x −a ,知f ′(x)在(0,+∞)上单调递增. 因为a ∈(3e −1,3e +1),故f ′(1e )=3e −1−a <0,f ′(e)=3e +1−a >0, 故存在唯一x 0∈(1e ,e),使得f ′(x 0)=0,即ln⁡x 0+3x 0−a =0,所以a =ln⁡x 0+3x 0.当x∈(0,x0)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.又f(x)⩾0,故f(x)min=f(x0)=x0ln⁡x0+32x02−(a+1)x0+b⩾0,即x0ln⁡x0+32x02−(ln⁡x0+3x0+1)x0+b=−32x02−x0+b⩾0在x0∈(1e,e)上恒成立.令ℎ(x)=−32x2−x+b,则ℎ(x)在(1e,e)上单调递减,故只需ℎ(e)=−32e2−e+b⩾0,即b⩾32e2+e,故b−2a+6⩾32e2+e−6e−2+6=32e2−5e+4>0,从而得证.解法2:转化为关于x0的函数所以b⩾32x02+x0,则b−2a+6⩾32x02+x0−2(ln⁡x0+3x0)+6=32x02−5x0−2ln⁡x0+6,令ℎ(x)=32x2−5x−2ln⁡x+6(1e<x<e),则ℎ′(x)=3x−5−2x =3x2−5x−2x=(3x+1)(x−2)x,令ℎ′(x0)=0,得x=2.当x∈(1e,2),ℎ′(x)<0,ℎ(x)单调递减;当x∈(2,e)时,ℎ′(x)>0,ℎ(x)单调递增.故ℎ(x)min=ℎ(2)=32×4−10−2ln⁡2+6=2(1−ln⁡2)>0,即b−2a+6>0,从而不等式得证.。

高考数学数形结合的思想方法---应用篇真题精选数形结合的思想方法(1)---应用篇一、知识要点概述数与形是数学两个最古老、最基本的元素,是数学大厦深处的两块基石,所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的:每一个几何图形都蕴藏着一定的数量关系,而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。

因此,在解决数学问题时,常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,将数的问题利用形来观察,提示其几何意义;而形的问题也常借助数去思考,分析其代数含义,如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来,并充分利用这种“结合”,寻找解题思路,使问题得到解决的方法,简言之,就是把数学问题的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法,称之为数形结合的思想方法。

数形结合是一个数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。

在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围。

二、解题方法指导1.转换数与形的三条途径:①通过坐标系的建立,引入数量化静为动,以动求解。

②转化,通过分析数与式的结构特点,把问题转化到另一个角度来考虑,如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。

③构造,比如构造一个几何图形,构造一个函数,构造一个图表等。

高考数学公式公式总结一元二次方程的解-b+_radic;(b2-4ac)/2a -b-_radic;(b2-4ac)/2a根与系数的关系 _1+_2=-b/a _1__2=c/a 注：韦达定理判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac_gt;0 注：方程有两个不相等的个实根b2-4ac_lt;0 注：方程有共轭复数根立体图形及平面图形的公式圆的标准方程 (_-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标圆的一般方程 _2+y2+D_+Ey+F=0 注：D2+E2-4F_gt;0抛物线标准方程 y2=2p_ y2=-2p_ _2=2py _2=-2py直棱柱侧面积 S=c_h 斜棱柱侧面积 S=c__39;_h正棱锥侧面积 S=1/2c_h__39; 正棱台侧面积 S=1/2(c+c__39;)h__39;圆台侧面积 S=1/2(c+c__39;)l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi_r2圆柱侧面积 S=c_h=2pi_h 圆锥侧面积 S=1/2_c_l=pi_r_l弧长公式 l=a_r a是圆心角的弧度数r _gt;0 扇形面积公式 s=1/2_l_r锥体体积公式 V=1/3_S_H 圆锥体体积公式 V=1/3_pi_r2h斜棱柱体积 V=S__39;L 注：其中,S__39;是直截面面积， L是侧棱长柱体体积公式 V=s_h 圆柱体 V=pi_r2h图形周长面积体积公式长方形的周长=(长+宽)_times;2正方形的周长=边长_times;4长方形的面积=长_times;宽正方形的面积=边长_times;边长三角形的面积已知三角形底a，高h，则S=ah/2已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S= _radic;[p(p - a)(p - b)(p - c)] (海伦公式)(p=(a+b+c)/2)和：(a+b+c)_(a+b-c)_1/4已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S=absinC/2设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r则三角形面积=(a+b+c)r/2设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r则三角形面积=abc/4r已知三角形三边a、b、c,则S= _radic;{1/4[c a -((c +a -b )/2) ]} (三斜求积南宋秦九韶)| a b 1 |S△=1/2 _ | c d 1 || e f 1 |【| a b 1 || c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC| e f 1 |选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小!】秦九韶三角形中线面积公式S=_radic;[(Ma+Mb+Mc)_(Mb+Mc-Ma)_(Mc+Ma-Mb)_(Ma+Mb-Mc)]/3其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.平行四边形的面积=底_times;高梯形的面积=(上底+下底)_times;高_divide;2直径=半径_times;2 半径=直径_divide;2圆的周长=圆周率_times;直径=圆周率_times;半径_times;2圆的面积=圆周率_times;半径_times;半径长方体的表面积=(长_times;宽+长_times;高+宽_times;高)_times;2 长方体的体积 =长_times;宽_times;高正方体的表面积=棱长_times;棱长_times;6正方体的体积=棱长_times;棱长_times;棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长_times;高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积_times;高圆锥的体积=底面积_times;高_divide;3长方体(正方体、圆柱体)的体积=底面积_times;高平面图形名称符号周长C和面积S正方形 a边长 C=4aS=a2长方形 a和b-边长 C=2(a+b)S=ab三角形 a,b,c-三边长h-a边上的高s-周长的一半A,B,C-内角其中s=(a+b+c)/2 S=ah/2=ab/2?sinC=[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2=a2sinBsinC/(2sinA)推论及定理1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180_deg;18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60_deg;34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论 2 有一个角等于60_deg;的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30_deg;那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a +b =c 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a +b =c ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360_deg;49四边形的外角和等于360_deg;50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)_times;180_deg;51推论任意多边的外角和等于360_deg;52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 66菱形面积=对角线乘积的一半，即s=(a_times;b)_divide;267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半l=(a+b)_divide;2 s=l_times;h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a/b=c/d,那么(a_plusmn;b)/b=(c_plusmn;d)/d85 (3)等比性质如果a/b=c/d=_hellip;=m/n(b+d+_hellip;+n_ne;0),那么(a+c+_hellip;+m)/(b+d+_hellip;+n)=a/b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似(asa)92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(sas)94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似(sss)95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

高考图形问题的解题策略图形是数学学习、考试中不可缺少的重要组成部分，在每年的高考中都有和图形有关的一些问题出现。

这些问题主要以两种方式呈现：一、以实际问题为背景，构造图象，暗含数学问题；二、根据一些函数的特点，绘制图象，利用函数的性质解决问题。

这些问题一般多以选择题的形式出现，所给条件往往是一种定性描述，一般不易得到准确信息。

我们可以通过阅读图象获取一定的信息，采用灵活多样的方法来解决问题。

常见方法有如下几种：一、直接法直接从题设出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应的选择。

例1：（09广东）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲 和v 乙 ．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是 ( ) A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 分析：本题给出的是一个物理上的速度与时间的关系图象，由物理知识可知，在速度与时间的关系图象中，位移是用速度曲线与横轴及时间轴围成的面积来计算的。

由图知无论在t 0时刻还是t 1时刻，甲车对应的面积都比乙车对应的面积大，即甲车的位移比乙车的大。

因此直接判断正确答案是A 。

二、验证法将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确判断的方法叫验证法，即将各选择支分别作为条件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案。

例2：（07浙江）设f ＇(x)是函数f(x)的导函数，将y= f(x)和y= f ＇(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能．．．正确的是 （ ）分析：本题给出了两个函数的图象，但没有说明哪一个是原函数的图象，哪一个是A ． B ． C ． D ．导函数的图象，直接做无法下手，如果用验证法来做就会顺手多啦。

高考数学知识点总结及公式大全高三数学公式整理1.y=c(c为常数) y=02.y=x^n y=nx^(n-1)3.y=a^x y=a^xlnay=e^x y=e^x4.y=logax y=logae/xy=lnx y=1/x5.y=sinx y=cosx6.y=cosx y=-sinx7.y=tanx y=1/cos^2x8.y=cotx y=-1/sin^2x9.y=arcsinx y=1/√1-x^210.y=arccosx y=-1/√1-x^211.y=arctanx y=1/1+x^212.y=arccotx y=-1/1+x^2三角函数公式锐角三角函数公式sin α=∠α的对边 / 斜边cos α=∠α的邻边 / 斜边tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)(注：SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) )三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina辅助角公式Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina=3sina-4sin3acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa=4cos3a-3cosasin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sin2a)=4sina[(√3/2)2-sin2a]=4sina(sin260°-sin2a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina.2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2].2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4)=4cosa[cos2a-(√3/2)2]=4cosa(cos2a-cos230°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa.2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2].{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°) /2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)数学圆锥公式知识点正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角圆的`标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：(a,b)是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F0抛物线标准方程y2=2pxy2=-2px-x2=2pyx2=-2py直棱柱侧面积S=c.h斜棱柱侧面积S=c.h正棱锥侧面积S=1/2c.h正棱台侧面积S=1/2(c+c)h圆台侧面积S=1/2(c+c)l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi.r2圆柱侧面积S=c.h=2pi.h圆锥侧面积S=1/2.c.l=pi.r.l弧长公式l=a.ra是圆心角的弧度数r0扇形面积公式s=1/2.l.r锥体体积公式V=1/3.S.H圆锥体体积公式V=1/3.pi.r2h斜棱柱体积V=SL注：其中,S是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s.h圆柱体V=p.r2h乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b=-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1.X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根b2-4ac0注：方程有两个不等的实根b2-4ac0注：方程没有实根，有共轭复数根三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosαtan3α=[3tanα-tan^3(α)]/[1-3tan^2(α)]三倍角公式推导附推导：tan3α=sin3α/cos3α=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα)上下同除以cos^3(α)，得：tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα=2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα=2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^3(α)=3sinα-4sin^3(α)cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα=(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)=2cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α))=4cos^3(α)-3cosα即sin3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosα三倍角公式联想记忆记忆方法：谐音、联想正弦三倍角：3元减 4元3角(欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”))余弦三倍角：4元3角减 3元(减完之后还有“余”)☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。

新高考数学常用知识点一、函数及其性质函数的概念：函数是一种描述两个变量之间关系的规律或规则。

函数的表示方法：函数可以用方程、图表或者词语描述。

函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性等。

二、集合与运算集合的概念：集合是由一些确定的元素组成的整体。

集合的表示方法：列举法、描述法、区间法等。

集合运算：并集、交集、差集、补集等。

三、数与代数实数与有理数：实数是指全部的数，有理数是可写成两个整数之比的数。

绝对值：一个实数的绝对值是它到原点的距离，用|a|表示。

代数式：用字母表示数的式子，包括多项式、分式等。

四、平面几何和空间几何几何图形：点、线、面等几何基本元素构成的图形。

平面几何：研究点、线、面在平面上的性质和关系。

空间几何：研究点、线、面在空间中的性质和关系。

五、概率与统计概率的概念：事件发生的可能性大小，范围从0到1。

概率的计算：基本事件的概率计算、事件关系的概率计算等。

统计学：对数据进行收集、整理、分析和解释的学科。

六、数列与数学归纳法数列：按一定规则排列的数的序列。

等差数列：相邻两项之差相等的数列。

等比数列：相邻两项之比相等的数列。

数学归纳法：证明数学命题在自然数上成立的方法。

七、导数与微分导数的概念：描述函数变化率的指标，表示函数在某一点上的瞬时变化率。

导数的计算：使用导数的定义或一些基本公式进行计算。

八、不等式与不等式的应用不等式的概念：关于未知数的相对大小的数学陈述。

解不等式：求出使不等式成立的未知数范围。

不等式的应用：在实际问题中，利用不等式来求解和判断。

九、数理逻辑与证明数理逻辑：研究正确推理的规律、方法和规则。

命题与命题连接词：由语句构成的有确定真假的陈述称为命题。

十、立体几何多面体：具有三维形状的几何体，如正方体、长方体等。

圆锥、圆柱和圆台：具有特定形状的立体几何体。

体积与表面积：立体几何体的容积和表面积的计算。

以上是新高考数学常用知识点的概要介绍，希望能对你的学习有所帮助。

请根据个人实际情况进行详细学习和深入理解，并结合具体问题进行练习和应用。

高考数学必背公式最新(完整版)高考数学必背公式1、圆体积=4/3(pi)(r^3)2、面积=(pi)(r^2)3、周长=2(pi)r4、圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2【(a,b)是圆心坐标】5、圆的一般方程x2+y2+dx+ey+f=0【d2+e2-4f0】高中必背88个数学公式——椭圆公式1、椭圆周长公式：l=2πb+4(a-b)2、椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴，长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差.3、椭圆面积公式：s=πab4、椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。

以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率t,但这两个公式都是通过椭圆周率t推导演变而来。

高中必背88个数学公式——两角和公式1、sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-sinbcosa2、cos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinb3、tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb) 4、ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga)ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga) 高中必背88个数学公式——倍角公式1、tan2a=2tana/(1-tan2a)ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga2、cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a高中必背88个数学公式——半角公式1、sin(a/2)=√((1-cosa)/2)sin(a/2)=-√((1-cosa)/2)2、cos(a/2)=√((1+cosa)/2)cos(a/2)=-√((1+cosa)/2)3、tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa))tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa))4、ctg(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa))ctg(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa))高中必背88个数学公式——和差化积1、2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b)2、2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b)3、sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)4、tana+tanb=sin(a+b)/cosacosbtana-tanb=sin(a-b)/cosacosb5、ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb-ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb高中必背88个数学公式——等差数列1、等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d (1)2、前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)从(1)式可以看出,an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0.在等差数列中,等差中项：一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项.且任意两项am,an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式.3、从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}若m,n,p,q∈N__,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aqSm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等.和=(首项+末项)__项数÷2项数=(末项-首项)÷公差+1首项=2和÷项数-末项末项=2和÷项数-首项项数=(末项-首项)/公差+1高中必背88个数学公式——等比数列1、等比数列的通项公式是：An=A1__q^(n-1)2、前n项和公式是：Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q)且任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)3、从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}4、若m,n,p,q∈N__,则有：ap·aq=am·an,等比中项：aq·ap=2ar ar则为ap,aq等比中项.记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列.在这个意义下,我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的.性质：①若 m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am·an=ap__aq;②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列.“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.高中必背88个数学公式——抛物线1、抛物线：y=ax__+bx+c就是y等于ax的平方加上bx再加上c。