全国高考数学复习微专题：恒成立问题——数形结合法

恒成立问题基本题型及解题方法恒成立问题一直以来都有是数学中的一个重点、难点，这类问题也没有一个固定的思想方法去处理，各类考试以及高考中都屡见不鲜。

如何更好地简单，准确，快速解决这类问题并更好地认识把握，本文通过举例说明这类问题的一些常规解题方法。

一 转化为二次函数，利用分类讨论思想解题例1． 已知函数f(x)=x 2-2ax+4在区间[-1，2] 上都不小于2，求a 的值。

解：由函数f(x)=x 2-2ax+4的对称轴为x=a所以必须考察a 与-1，2的大小，显然要进行三种分类讨论1．当a ≥2时f(x)在[-1，2]上是减函数此时min )(x f = f(2)=4-4a+42≥ 即a 23≤ 结合a ≥2，所以a 的解集为φ 2．当a 1-≤ 时 f(x)在[-1，2]上是增函数， min )(x f = f(-1)=1+2a+42≥结合a 1-≤ 即123-≤≤-a 3．当-1<a<2时 m i n )(x f = f(a)=a 2-2a 2+4 2≥ 即≤-2a 2≤ 所以21≤<-a综上1，2，3满足条件的a 的范围为：223≤≤-a 二 确定主元，构造函数，利用单调性解题 例2．对于满足0≤a ≤4的所有实数a 求使不等式x 2+ax>4x+a-3都成立的x 的取值范围。

解：不等式变形为x 2+(x-1)a-4x+3>0设f(a)= (x-1)a+x 2-4x+3，则其是关于a 的一个一次函数：是单调函数结合题意有⎩⎨⎧>>0)0(0)4(f f 即 得1-<x 或3>x 三 利用不等式性质解题例3．若关于x 的不等式|x-2|+|x+3|≥a 恒成立，试求a 的范围 解：由题意知只须min )32(++-≤x x a 由5)3(232=+--≥++-x x x x 所以 5≤a四 构造新函数，利用导数求最值：例4．已知)1lg(21)(+=x x f )2lg()(t x x g +=若当]1,0[∈x 时)()(x g x f ≤在[0，1]恒成立，求实数t 的取值范围。

关于高考数学中的恒成立问题与存在性问题 Last revised by LE LE in 2021“恒成立问题”的解法常用方法：①函数性质法； ②主参换位法； ③分离参数法； ④数形结合法。

一、函数性质法1.一次函数型：给定一次函数()(0)f x ax b a =+≠,若()y f x =在[m,n]内恒有()0f x >，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于⎩⎨⎧>)(0)(n f m f ；同理，若在[m,n]内恒有()0f x <，则有⎩⎨⎧((n f m f 例1.p ,求使不等式2x x 的取值范围。

略解：不等式即为2(1)210x p x x -+-+>,设2()(1)21f p x p x x =-+-+,则()f p 在[2,2]-上恒大于0，故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 3111x x x x ><⎧⇒⎨><-⎩或或13x x ⇒<->或.2.二次函数：①.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在R 上恒成立，则有00a >⎧⎨∆<⎩（或0a <⎧⎨∆<⎩）； ②.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。

例2.已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ )A ．(0，2)B ．(0，8)C ．(2，8)D ．(－∞，0)选B 。

例3.设2()22f x x ax =-+,当[1,)x ∈-+∞时，都有()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围。

高考数学备考微专题恒成立问题一.恒成立问题的基本类型及处理思路1、利用一次函数的性质类型1：对于一次函数有：(ⅰ)，或(ⅱ)；亦可合并定成；2、利用一元二次函数的判别式类型2：设（1）上恒成立； （2）上恒成立. 类型3：设（1）当时，上恒成立， 上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立3、利用函数的最值（或值域）类型4：.],[,)(n m x b kx x f ∈+=()0f x >⇔恒成立⎩⎨⎧>>0)(0m f a ⎩⎨⎧><0)(0n f a ⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f ()0()0()0f m f x f n <⎧<⇔⎨<⎩恒成立)0()(2≠++=a c bx ax x f R x x f ∈>在0)(00<∆>⇔且a R x x f ∈<在0)(00<∆<⇔且a )0()(2≠++=a c bx ax x f 0>a ],[0)(βα∈>x x f 在222()00()0b b ba a a f f ααββαβ⎧⎧⎧-<-->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<>⎩⎩⎩≤≤或或],[0)(βα∈<x x f 在⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f 0<a ],[0)(βα∈>x x f 在⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f ],[0)(βα∈<x x f 在222()00()0b b ba a a f f ααββαβ⎧⎧⎧-<-->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<<⎩⎩⎩≤≤或或αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切()f x x I α<∈对一切恒成立类型5：对于任意的恒成立，或在上的图像始终在的上方.（通常移项，使即可；若的最值无法求出，则考虑数形结合，只需在上的图像始终在的上方即可.）二.经典例题例1、已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。

专题17 恒成立问题——数形结合法【热点聚焦与扩展】不等式恒成立问题常见处理方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x =图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 1、函数的不等关系与图象特征：（1）若x D ∀∈，均有()()()f x g x f x <⇔的图象始终在()g x 的下方 （2）若x D ∀∈，均有()()()f x g x f x >⇔的图象始终在()g x 的上方2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数3、要了解所求参数在图象中扮演的角色，如斜率，截距等4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图象，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点： （1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图象变换作图 （2）所求的参数在图象中具备一定的几何含义 （3）题目中所给的条件大都能翻译成图象上的特征【经典例题】例1．【2018届浙江省金华十校4月模拟】若对任意的，存在实数，使恒成立，则实数的最大值为__________．【答案】9【解析】若对任意的，恒成立，可得：恒成立，令，，原问题等价于：，结合对勾函数的性质分类讨论：(1)当时，，，原问题等价于存在实数满足：，故，解得：，则此时；(2)当时，，，原问题等价于存在实数满足：，原问题等价于存在实数满足：，故，解得：，则此时；当时，，原问题等价于存在实数满足：，故，解得：，则此时；综上可得：实数的最大值为.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.例2.【2018届一轮训练】已知log12 (x＋y＋4)<log12(3x＋y－2)，若x－y≤λ恒成立，则λ的取值范围是______________．【答案】[10，＋∞)点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.例3．已知函数在上不单调，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】已知函数定义域为，，，令，图象如图，∵函数在上不单调，∴区间在零点1或3的两侧，或，解得或.即实数的取值范围是.点睛：利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想例4．【2018届二轮训练】对于0≤m≤4的任意m ，不等式x 2＋mx>4x ＋m －3恒成立，则x 的取值范围是________________． 【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞)【解析】不等式可化为m(x －1)＋x 2－4x ＋3>0在0≤m≤4时恒成立． 令f(m)＝m(x －1)＋x 2－4x ＋3.结合二次函数的图象得()()00{40f f >>⇒22430{10x x x >>－＋－⇒13{11x x x x -或或即x<－1或x>3.故答案为：(－∞，－1)∪(3，＋∞)例5.已知不等式()21log a x x -<在()1,2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是_________ 【答案】12a <≤可得：1log 22a a ≤⇒≤，综上可得：12a <≤.【名师点睛】（1）通过常系数函数图象和恒成立不等式判断出对数函数的单调性，进而缩小了参数讨论的取值范围.（2）学会观察图象时要抓住图象特征并抓住符合条件的关键点（例如本题中的2x =）. （3）处理好边界值是否能够取到的问题.例6.若不等式log sin 2(0,1)a x x a a >>≠对于任意的0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都成立，则实数a 的取值范围是___________ 【答案】,14a π⎛⎫∈⎪⎝⎭【解析】本题选择数形结合，可先作出sin 2y x =在0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的图象，a 扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得01a <<，观察图象进一步可得只需4x π=时，log sin2a x x ≥，即log sin 21444aa πππ>⋅=⇒>，所以,14a π⎛⎫∈⎪⎝⎭例7. 已知函数()21f x x mx =+-，若对任意的[],1x m m ∈+，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是_____________【答案】2⎛⎫-⎪⎝⎭【名师点睛】本题也可以用最值法求解：若()0f x <，则()max 0f x <，而()f x 是开口向上的抛物线，最大值只能在边界处产生，所以()()010f m f m <⎧⎪⎨+<⎪⎩，再解出m 的范围即可.例8.已知函数()22,1{ log ,1x x f x x x <=≥若直线y m =与函数()f x 的图象只有一个交点,则实数m 的取值范围是________.【答案】0m =或[2,m ∈+∞） 【解析】作出函数f(x)的图象如图,例9.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2221232f x x a x a a =-+-- ，若()(),1x R f x f x ∀∈-≤，则实数a 的取值范围是_____________【答案】66⎡-⎢⎣⎦【解析】()f x 是奇函数且在0x >时是分段函数（以22,2a a 为界），且形式比较复杂，恒成立的不等式()()1f x f x -≤较难转化为具体的不等式，所以不优先考虑参变分离或是最值法.从数形结合的角度来看，一方面()f x 的图象比较容易作出，另一方面()1f x -可看作是()f x 的图象向右平移一个单位所得，相当于也有具体的图象.所以考虑利用图象寻找a 满足的条件.先将()f x 写为分段函数形式：()2222223,2,2,0x a x a f x a a x a x x a ⎧-≥⎪=-≤<⎨⎪-<<⎩，作出正半轴图象后再根据奇函数特点，关于原点对称作出x 负半轴图象.()()1f x f x -≤恒成立，意味着()f x 的图象向右平移一个单位后，其图象恒在()f x 的下方.通过观察可得在平移一个单位至少要平移26a 个长度，所以可得：26166a a ≤⇒-≤≤答案：66⎡-⎢⎣⎦. 例10【2018届河南省高三4月考试】已知函数.（1）若在处取得极值，求的值；（2）若在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）上恒成立，时再分两种情况讨论可得时，在上恒成立，当时，根据二次函数的性质可得不满足题意，进而可得结果. 试题解析：（1），∵在处取到极值， ∴，即，∴.经检验，时，在处取到极小值. （2），令，①当时，，在上单调递减.又∵，∴时，，不满足在上恒成立.时，，单调递增，∴.又∵，∴，故不满足题意.③当时，二次函数开口向下，对称轴为，在上单调递减，，∴，在上单调递减.又∵，∴时，，故不满足题意.综上所述，.【精选精练】1．【2018届东莞市高三毕业班第二次综合考试】已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围为( )A. B.C. D.【答案】C2.若函数有极大值点和极小值点，则导函数的大致图象可能为（）A. B.C. D.【答案】C则导函数在区间上为正数，在区间上为负数，在区间上为正数；观察所给的函数图象可知，只有C 选项符合题意. 本题选择C 选项. 3．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】A 【解析】二次函数的对称轴为；∵该函数在上是增函数；∴，∴，∴实数的取值范围是，故选B.4. 若||2p ≤,不等式212x px p x ++>+恒成立,则x 的取值范围是______【答案】x <或x > 【解析】思路：本题中已知p 的范围求x 的范围，故构造函数时可看作关于p 的函数，恒成立不等式变形为 ()2210x p x x -+-+>,设()()()22122f x x p x x p =-+-+-≤≤,即关于p 的一次函数，由图象可得：无论直线方向如何，若要()0f x >，只需在端点处函数值均大于0即可，即()()2020f f >⎧⎪⎨->⎪⎩,解得：x <或x >答案：x <或x > 【名师点睛】（1）对于不等式，每个字母的地位平等，在构造函数时哪个字母的范围已知，则以该字母作为自变量构造函数.（2）线段的图象特征：若两个端点均在坐标轴的一侧，则线段上的点与端点同侧. （3）对点评（2）的推广：已知一个函数连续且单调，若两个端点在坐标轴的一侧，则曲线上所有点均与端点同侧.5.设a R ∈，若0x >时均有()21110a x x ax ⎡⎤----≥⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则a =_________【答案】32a =32a =答案：32a =6.【2018届二轮训练】当实数x ，y 满足240{10 1x y x y y +-≤--≤≥时，ax ＋y≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________． 【答案】3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】要使平面区域在直线4y ax =-+的下方，则只要B 在直线上或直线下方即可，即214a +≤，得302a <≤，综上32a ≤，所以实数a 的取值范围是3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故答案为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 7．【2018届二轮训练】已知函数f 1(x)＝|x －1|，f 2(x)＝13x ＋1，g(x)＝()()122f x f x +＋()()122f x f x -，若a ，b∈[－1,5]，且当x 1，x 2∈[a，b]时，()()1212g x g x x x --＞0恒成立，则b －a 的最大值为________． 【答案】5 【解析】[]15a b ∈-，，， 且[]()()1212120g x g x x x a b a b x x -∈∴-，，，＜，＞ 恒成立，g x ∴（）在区间[]a b ，上单调第增， ∵函数()()()()121212111322f x f x f x f x f x x f x xg x -+=-=+=+（），（），（），()][()[]121035{03f x x g x f x x ⎡⎤∈-⋃⎣⎦∴=∈，，，（），， 当[10x ∈-，） 时， 1g x x =-（），单调减；当[]10313x g x x ∈=+，时，（）， 单调增； 当[]35x ∈，时， 1g x x =-（），单调递增． 05a b b a ∴==-，．的最大值为505-=． 故答案为5.8．【2018届吉林省长春市高三监测（三）】已知函数，若，则实数的取值范围是___________. 【答案】9．【2018届吉林省长春市高三监测（三）】已知函数，若，则实数的取值范围是___________. 【答案】【解析】当，当， 故.故答案为：10．当1x >时，不等式11x a x +≥-恒成立，则实数a 的最大值是__________． 【答案】3【解析】令()1(1)1f x x x x =+>-，则由题意可知()min f x a ≥， ∵1x >，∴()11111311f x x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当111x x -=-，即2x =时，等号成立， ∴()min 3f x =，从而3a ≤． 故实数a 的最大值是3． 故答案为：3.()1f x x x=+的图象向右、向上均平移1单位得到，结合图象可得解.11．【2018届宁夏银川高三4月模拟】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出以下命题：①当时，；②函数有个零点；③若关于的方程有解，则实数的取值范围是；④对恒成立，其中，正确命题的序号是__________．【答案】①④若方程有解，则，且对恒成立，故③错误，④正确.故答案为①④.12．函数的定义域为（为实数）.（1）若函数在定义域上是减函数，求的取值范围；（2）若在定义域上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）利用单调性的定义，根据函数在定义域上是减函数，可得不等式恒成立，从而可求的取值范围；（2）利用分离参数思想原题意等价于恒成立，∵，∴函数在上单调减，∴时，函数取得最小值，即.。

高中数学解题方法系列：函数中恒成立问题解题策略函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点.函数类问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的应用.恒成立问题，在高中数学中较为常见.这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.恒成立问题在解题过程中有以下几种策略：①赋值型；②一次函数型；③二次函数型；④变量分离型；⑤数形结合型.现在我们一起来探讨其中一些典型的问题. 策略一、赋值型——利用特殊值求解等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例1．由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4= (x+1)4+b 1(x+1)3+ b 2(x+1)2+b 3(x+1)+b 4 定义映射f ：(a 1,a 2,a 3,a 4)→b 1+b 2+b 3+b 4,则f ：(4,3,2,1) → ( )A.10B.7C.-1D.0略解：取x=0，则 a 4=1+b 1+b 2+b 3+b 4,又 a 4=1,所以b 1+b 2+b 3+b 4 =0 ，故选D例2．如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=8π- 对称，那么a=（ ）.A .1B .-1C .2D . -2.略解：取x=0及x=4π-，则f(0)=f(4π-),即a=-1，故选B.此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想. 策略二、一次函数型——利用单调性求解给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（线段）（如下图） 可得上述结论等价于ⅰ）⎩⎨⎧>>0)(0m f a ，或 ⅱ）⎩⎨⎧><0)(0n f a 可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有⎨⎧<0)(m f例3．对于满足|a|≤2的所有实数a,求使不等式x 2+ax+1>2a+x 恒成立的x 的取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x 及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a 的一次函数大于0恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x 2-2x+1>0在|a|≤2时恒成立,设f(a)= (x-1)a+x 2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3. 即x ∈(－∞,－1)∪(3,+∞)此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x 轴上方（或下方）即可.策略三、二次函数型——利用判别式,韦达定理及根的分布求解对于二次函数f(x)=ax 2+bx+c=0(a ≠0)在实数集R 上恒成立问题可利用判别式直接求解，即f(x)>0恒成立⇔⎩⎨⎧<∆>00a ；f(x)<0恒成立⇔⎩⎨⎧<∆<0a . 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.例4． 若函数12)1()1()(22++-+-=a x a x a x f 的定义域为R ，求实数 a 的取值范围.分析：该题就转化为被开方数012)1()1(22≥++-+-a x a x a 在R 上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论.解：依题意，当时，R x ∈012)1()1(22≥++-+-a x a x a 恒成立， 所以，①当,1,01,01{,0122=≠+=-=-a a a a 时，即当此时.1,0112)1()1(22=∴≥=++-+-a a x a x a ②当时，时，即当012)1(4)1(,01{012222≤+---=∆>-≠-a a a a a 有,91,09101{22≤<⇒≤+->a a a a 综上所述，f(x)的定义域为R 时，]9,1[∈a例5.已知函数2()3f x x ax a =++-，在R 上()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.分析：()y f x =的函数图像都在X 轴及其上方，如右图所示：略解：()22434120a a a a ∆=--=+-≤62a ∴-≤≤ 变式1：若[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.分析：要使[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，只需)(x f 的最小值0)(≥a g 即可.解：22()324a a f x x a ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭，令()f x 在[]2,2-上的最小值为()g a .⑴当22a -<-，即4a >时，()(2)730g a f a =-=-≥73a ∴≤又4a >Q a ∴不存在.⑵当222a-≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a a g a f a ==--+≥62a ∴-≤≤又44a -≤≤Q 42a ∴-≤≤⑶当22a->，即4a <-时，()(2)70g a f a ==+≥7a ∴≥-又4a <-Q 74a ∴-≤<- 综上所述，72a -≤≤. 变式2：若[]2,2x ∈-时，()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围.解法一：分析：题目中要证明2)(≥x f 在[]2,2-上恒成立，若把2移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[]2,2-时恒大于等于0的问题.略解：2()320f x x ax a =++--≥，即2()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上成立.⑴()2410a a ∆=--≤222222a ∴--≤≤-+⑵24(1)0(2)0(2)02222a a f f a a ⎧∆=-->⎪≥⎪⎪⎨-≥⎪⎪-≥-≤-⎪⎩或2225--≤≤-∴a 综上所述，2225-≤≤-a . 解法二：（运用根的分布）2—2⑴当22a -<-，即4a >时，()(2)732g a f a =-=-≥()54,3a ∴≤∉+∞a ∴不存在.⑵当222a-≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3224a a g a f a ==--+≥，222222-≤≤-a －2224-≤≤-∴a ⑶当22a->，即4a <-时，()(2)72g a f a ==+≥，5a ∴≥-54a ∴-≤<-综上所述2225-≤≤-a .此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，对轴与区间的位置进行分类讨论；还有与其相反的，轴动区间定，方法一样.对于二次函数在R 上恒成立问题往往采用判别式法（如例4、例5），而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题策略四、变量分离型——分离变量，巧妙求解 运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x 取值范围内的任何一个数都有f(x)>g(a)恒成立，则g(a)<f(x)min ;若对于x 取值范围内的任何一个数，都有f(x)<g(a)恒成立，则g(a)>f(x)max .(其中f(x)max 和f(x)min 分别为f(x)的最大值和最小值)例 6.已知三个不等式①0342<+-x x ，②0862<+-x x ，③0922<+-m x x ．要使同时满足①②的所有x 的值满足③，求m 的取值范围.略解：由①②得2<x<3,要使同时满足①②的所有x 的值满足③,即不等式0922<+-m x x 在)3,2(∈x 上恒成立，即)3,2(922∈+-<x x x m 在上恒成立，又，上大于在9)3,2(922∈+-x x x 所以9≤m例7. 函数)(x f 是奇函数，且在]1,1[-上单调递增，又1)1(-=-f ，若12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈a 都成立，求t 的取值范围 .解：据奇函数关于原点对称，,1)1(=f 又1)1()(]1,1[)(max ==-f x f x f 上单调递增在Θ12)(2+-≤at t x f Θ对所有的]1,1[-∈a 都成立.因此，只需122+-at t 大于或等于上在]1,1[)(-x f 的最大值1，0211222≥-⇒≥+-∴at t at t 都成立对所有又]1,1[-∈a Θ，即关于a 的一次函数在[-1，1]上大于或等于0恒成立，2020202{22-≤=≥⇒≥+≥-∴t t t t t t t 或或即：),2[}0{]2,(+∞--∞∈Y Y t利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题.策略五、数形结合——直观求解例8. a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数>--+21的取值范围. 分析：设y=|x+1|-|x-2|,恒成立，不等式对任意实数a x x x >--+21即转化为求函数y=|x+1|-|x-2|的最小值，画出此函数的图象即可求得a 的取值范围.解：令⎪⎩⎪⎨⎧≥<<---≤-=--+=2321121321x x x x x x y在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象可看出，要使a x x x >--+21，不等式对任意实数恒成立，只需3-<a .故实数.3），的取值范围是（-∞-a 本题中若将a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数>--+21改为①a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数<--+21，同样由图象可得a>3;②a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数>-++21,构造函数，画出图象，得a<3.利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围.恒成立的题型和解法还有很多，只要我们充分利用所给定的函数的特点和性质，具体问题具体分析，选用恰当的方法，对问题进行等价转化，就能使问题获得顺利解决. 只有这样才能真正提高分析问题和解决问题的能力.。

微专题23恒成立、能成立问题【方法技巧与总结】1.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.2.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()y f x =，[],x a b ∈，()y g x =，[],x c d ∈.（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12f x g x <成立，则()()max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，则()()max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，则()()min max f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =成立，则()f x 的值域是()g x 的值域的子集.【题型归纳目录】题型一：分离参数题型二：判别式法题型三：数形结合题型四：多变量的恒成立问题题型五：主元法题型六：直接法【典型例题】题型一：分离参数例1．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高一阶段练习）若对任意12x ≤≤，有2x a ≤恒成立，则实数的取值范围是（）A ．{|2}a a ≤B ．{|4}a a ≥C ．{|5}a a ≤D ．{|5}a a ≥例2．（2022·天津·高一期末）对于满足等式1411a b +=+的任意正数,a b 及任意实数[1,)x ∈+∞，不等式26a b x x m +≥-+-恒成立，则实数m 的取值范围为（）A ．[2,)+∞B ．[1,)+∞C ．[0,)+∞D ．[3,)-+∞例3．（2022·全国·高一课时练习）已知对任意[]1,3m ∈，215mx mx m --<-+恒成立，则实数x 的取值范围是（）A ．6,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．11,,22∞∞⎛⎛⎫+-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．6,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．⎝⎭变式1．（2022·全国·高一单元测试）已知12x ≤≤，20x ax ->恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．{}1a a ≥B ．{}1a a >C ．{}1a a ≤D ．{}1a a <变式2．（2022·广东·深圳外国语学校高一阶段练习）若关于x 的不等式26110x x a -+-<在区间()2,5内有解，则实数a 的取值范围是（）A ．[)6,+∞B ．()6,+∞C ．[)2,+∞D ．()2,+∞题型二：判别式法例4．（2022·山东·潍坊一中高三期中）若关于x 的不等式()()224210a x a x -++-≥的解集不为空集，则实数a 的取值范围为（）A ．62,5⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．6(,2)[,)5-∞-⋃+∞D ．6(,2],5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭例5．（2022·陕西·西安市西光中学高二阶段练习）关于x 的不等210ax ax a ++-<的解集为R ，则a ∈（）A ．(),0∞-B ．(0，+∞)C ．(0，1)D ．(]0-∞，例6．（2022·河北唐山·高一期中）已知关于x 的不等式2220mx mx ++≥的解集为R ，则实数m 的取值范围是（）A ．02m <<B ．02m ≤≤C ．0m ≤或2m ≥D ．0m <或m>2变式3．（2022·广东·石门高级中学高一阶段练习）若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是（）A ．[]3,0-B ．()(),30,-∞-⋃+∞C ．(]3,0-D ．(][),30,-∞-⋃+∞变式4．（2022·北京市第五十中学高一阶段练习）对于任意实数x ，不等式()()222240m x m x ---+>恒成立，则m 的取值范围是（）A ．{22}mm -<<∣B ．{22}mm -<≤∣C ．{2mm <-∣或2}m >D ．{2mm <-∣或2}m ≥变式5．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知不等式()2110ax a x --+>对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围是（）A ．{|3a a >-0}a <B ．{|33a a -<<+C ．{|3a a <-3a >+D ．{33a a -<+题型三：数形结合例7．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式(2)(1)f ax f +- 对于[1x ∈，2]恒成立，则a 的取值范围是()A ．(-∞，32-B ．(-∞，1]2-C ．[3-，12-D ．3[,1]2--例8．当(1,2)x ∈时，不等式1log a x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为()A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(1，2]D ．(2,)+∞例9．当(1,2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为()A ．(2，3]B ．[4，)+∞C ．(1，2]D ．[2，4)变式6．存在[3x ∈，4]使得2()1x x a - 成立，则实数a 的取值范围是．题型四：多变量的恒成立问题例10．（2022·江苏省镇江第一中学高一阶段练习）已知函数2()2,R =++∈f x x ax a ．(1)若不等式()0f x ≤的解集为[1,2]，求不等式2()1f x x ≥-的解集；(2)若对于任意[1,1]x ∈-，不等式()2(1)4f x a x ≤-+恒成立，求实数a 的取值范围；(3)已知()g x x m =-+，当3a =-时，若对任意1[1,4]x ∈，总存在2(1,8)x ∈，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．例11．（2022·浙江·杭十四中高一期末）已知函数()4af x x x=+-，()g x x b =-，2()2h x x bx =+(1)当2a =时，求函数()()y f x g x =+的单调递增与单调递减区间（直接写出结果）；(2)当[]3,4a ∈时，函数()f x 在区间[]1,m 上的最大值为()f m ，试求实数m 的取值范围；(3)若不等式()()()()1212h x h x g x g x -<-对任意1x ，[]20,2x ∈（12x x <）恒成立，求实数b 的取值范围.例12．（2022·辽宁·大连二十四中高三阶段练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x --=，且()2()log 21x f x kx =+-，()()g x f x x =+．(1)若不等式()422(2)x xg a g -⋅+>-恒成立，求实数a 的取值范围；(2)设4()ln 21h x x x x mx =+-+，若对任意的[]10,3x ∈，存在22e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得()()12g x h x ≥，求实数m 的取值范围．变式7．（2022·湖北武汉·高一期中）已知函数()()2=R f x x mx m -∈.(1)若存在实数x ，使得()()22x xf f -=-成立，试求m 的最小值；(2)若对任意的[]12,1,1x x ∈-，都有()()122f x f x -≤恒成立，试求m 的取值范围.变式8．（2022·湖南·株洲二中高一阶段练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x --=且()()2log 21x f x kx =++，()()g x f x x =+．(1)求()f x 的解析式；(2)若不等式()()4213x xg a g -⋅+>-恒成立，求实数a 取值范围；(3)设()221h x x mx =-+，若对任意的[]10,3x ∈，存在[]21,3x ∈，使得()()12g x h x ≥，求实数m 取值范围．变式9．（2022·山西·晋城市第一中学校高一阶段练习）已知函数()4f x x x=+，(1)判断函数()f x 在区间()0,∞+上的单调性，并利用定义证明；(2)若对任意的121,,42x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()122f x f x m m -≤+恒成立，求实数m 的取值范围.变式10．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一阶段练习）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()212132f x x a x a +=+--+.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若对任意的[]3,2a ∈--，都有()0f x <恒成立，求实数x 的取值范围；(3)若[]12,2,1x x ∃∈-使得()()124f x f x >+，求实数a 的取值范围.变式11．（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（文））设函数()f x 的定义域是()0,+∞，且对任意的正实数x 、y 都有()()()f xy f x f y =+恒成立，已知()164f =，且01x <<时()0f x <.(1)求()1f 与()2f 的值；(2)求证：对任意的正数1x 、2x ，()()121f x x f x +>；(3)解不等式()()111282f x f x +>-.题型五：主元法例13．（2022·广东实验中学高三阶段练习）已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，且()12f =-(1)判断()f x 的奇偶性；(2)求函数()f x 在区间[]3,3-上的最大值；(3)若][()21,1,1,1,<22x a f x m am ∃∈-∀∈---⎡⎤⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围.例14．（2022·广东·深圳中学高三阶段练习）已知当11a -≤≤时，()24420x a x a +-+->恒成立，则实数x 的取值范围是（）A ．(),3-∞B ．][(),13,∞∞-⋃+C ．(),1-∞D ．()(),13,-∞⋃+∞例15．（2022·黑龙江·双鸭山一中高一阶段练习）若命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，则实数x 的取值范围为（）A ．[]1,4-B ．50,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦D ．[)51,0,43⎛⎤- ⎥⎝⎦变式12．（2022·江西·于都县新长征中学高一阶段练习）已知[1a ∈-，1]，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为()A ．(-∞，2)(3⋃，)∞+B ．(-∞，1)(2⋃，)∞+C ．(-∞，1)(3⋃，)∞+D ．(1,3)变式13．（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（理））不等式225732ax x a x +->-对一切()1,0a ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是（）A ．(]1,42⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(][),41,-∞-⋃-+∞C ．()4,1--D ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭题型六：直接法例16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()23f x x ax =--+满足对任意[2,]x a a ∈-，恒有()0f x >，则实数a 的取值范围是（）A ．(1,1)-B ．5101,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．510,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．5101,3⎛+ ⎝⎭例17．（2022·全国·高一单元测试）若不等式2(1)10x a x +-+≥对一切(1,2]x ∈都成立，则a 的最小值为（）A ．0B ．-C ．2-D ．5-例18．（2022·全国·高一课时练习）若关于x 的不等式22(1)0x m x m -+-≥在(1,1)-有解，则m 的取值范围为（）A ．(,1][0,)-∞-+∞B ．(,1)(0,)-∞-+∞C ．[0,1]D ．(0,1)【过关测试】一、单选题1．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）已知函数()()log 8a f x ax =-满足1a >，若()1f x >在区间[]1,2上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．()4,+∞B ．8,43⎛⎫⎪⎝⎭C ．81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()81,4,3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭2．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()()221,1,,12,2,2xa x x f x a x x ax a x ⎧-+≤⎪=<<⎨⎪+-≥⎩（0a >且1a ≠），若对任意两个不相等的实数1x ，2x ，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]2,4B ．(]1,4C ．()2,+∞D ．(]2,43．（2022·湖南·高一阶段练习）已知())()ln 0f x ax a =>是奇函数，若()()210f ax bx f ax -++<恒成立，则实数b 的取值范围是（）A ．()8,8-B ．()0,8C ．()8,16-D ．()8,0-4．（2022·江苏·高一专题练习）若4230x x m -+>在()01x ∈，上恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．()+∞B ．()4∞+，C．(-∞D ．()4∞-，5．（2022·辽宁·东北育才双语学校高一期中）定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=，且当1x ≥时，()23,141log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩，若对任意的[],1x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，则实数t 的最大值为（）A ．-1B ．23-C ．23D ．13-6．（2022·四川·石龙中学高一阶段练习）已知对于任意实数x ，220kx x k -+>恒成立，则实数k 的取值范围是（）A ．1k >B ．=1k C ．1k ≤D ．1k <7．（2022·全国·高一单元测试）已知函数2()3f x ax x =+-，若对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且()()121212,3f x f x x x x x -≠<-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(,0)-∞D ．(,0]-∞8．（2022·江苏省横林高级中学高一阶段练习）已知对任意(),0,x y ∈+∞，且23x y +=，11221t x y ≤+++恒成立，则t 的取值范围是（）A ．4t ≤B ．12t ≤C ．13t ≤D ．23t ≤二、多选题9．（2022·重庆十八中高一阶段练习）不等式22x bx c x b ++≥+对任意R x ∈恒成立，则（）A ．2440b c -+≤B ．0b ≤C ．1c ≥D ．0b c +≥10．（2022·福建·三明一中高一阶段练习）已知函数()f x 的定义域为{}0x x >，当210x x >>时，()()1212120x x f x f x x x ⎡⎤-+->⎣⎦恒成立，则（）A ．()y f x =在()0,∞+上单调递减B ．()12y f x x=-在()0,∞+上单调递减C ．()()1236f f ->D ．()()1236f f -<11．（2022·浙江省平阳中学高一阶段练习）设函数()22f x x x a =++，若关于x 的不等式()()0f f x ≥恒成立，则实数a 的可能取值为（）A ．0B ．12C ．1D ．3212．（2022·江苏省怀仁中学高一阶段练习）已知函数()[]()212,2f x x x =-+∈-，()[]()220,3g x x x x =-∈，则下列结论正确的是（）A ．[]2,2x ∀∈-，()f x a >恒成立，则实数a 的取值范围是(),3-∞-B ．[]2,2x ∃∈-，()f x a >恒成立，则实数a 的取值范围是(),3-∞-C ．[]0,3x ∃∈，()g x a =，则实数a 的取值范围是[]1,3-D ．[]2,2x ∀∈-，[]0,3t ∃∈，()()f x g t =三、填空题13．（2022·江苏省新海高级中学高一期中）若不等式()()2log ln 40,1a x x a a -<>≠对于任意()31,e x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是____________14．（2022·全国·高一单元测试）若关于x 的方程12log 1mx m =-在区间()01，上有解，则实数m的取值范围是_____．15．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的方程2222212x a x a x x a ++-=-+-+有解，则实数a 的取值范围是___________．16．（2022·全国·高一单元测试）记{}()max ,()a ab a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，已知2()3,()2g x x f x x =-=，设函数{}()max (),()F x f x g x =，若方程()0F x m -=有解，则实数m 的取值范围是__________________．四、解答题17．（2022·广东·广州市第十六中学高一期中）已知函数()f x 是定义在[]22-,上的奇函数，满足()115f =，当20x -≤≤时，有2 ()4ax bf x x +=+(1)求函数()f x 的解析式；(2)判断()f x 的单调性，并利用定义证明；(3)若关于x 的不等式()21f x m ≥-在[]2,2x ∈-上有解，求实数m 的取值范围．18．（2022·四川·成都市树德协进中学高一阶段练习）设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0 x >时，()(2)f x x x =-.（1）求函数()f x 的解析式.（2）当0x >时，()4f x ax ≥+有解，试求a 的取值范围.（3）当0x >时，2()33f x ax a >+-在[]a 0,1∈上恒成立，试求x 的取值范围.19．（2022·广东·广州六中高一期中）已知两数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x <0时，()41x f x -=+（1）求函数()f x 的解析式；（2）求1[()]2f f -及2(log 3)f 的值；（3）若存在实数1[,1]2x ∈，使得不等式2[()]8[()1]f x f x m ++≤有解，求实数m 的取值范围.20．（2022·黑龙江·哈九中高一阶段练习）已知函数()f x 的定义域是()0,∞+，对定义域内的任意12x x , 都有()()()1212f x x f x f x =+，且当01x <<时，()0f x >.(1)证明：当1x >时，()0f x <；(2)判断()f x 的单调性并加以证明；(3)如果对任意的()12,0,x x ∈+∞ ，()()()221212f x x f a f x x +≤+恒成立，求实数a 的取值范围.21．（2022·江苏·高一单元测试）已知函数()1f x x x=+．(1)写出函数()f x 的定义域及奇偶性；(2)请判断函数()f x 在()0,1上的单调性，并用定义证明在()0,1上的单调性；(3)当11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，210x ax -+≥恒成立，求实数a 的取值范围．22．（2022·江苏·高一单元测试）已知()21x ax b f x x +=++是定义在[]1,1-上的奇函数．(1)求()f x 的解析式；(2)判断并证明()f x 的单调性；(3)若不等式()()210f mx f mx --->对[]1,2x ∈恒成立，求m 的取值范围．。

恒成立问题求解四策略恒成立问题中参数范围的求解，一直是高中数学中极为重要的知识点，也是高考经久不衰的热点题型．本文从五个方面来阐述这类问题的求解策略．一、数形结合法利用基本初等函数的图象来求恒成立的参数问题，能使我们领略数的严谨形的直观． 例1 当(1,2)x ∈时，不等式12(1)log 0x ax -+<恒成立，求a 的取值范围．解：原式化为2(1)log x a x -<，设212(1),log x a y x y =-=，在同一坐标系中画出其图象，如图示由图象可得：要使12y y <在区间（１，２）上恒成立，则1a >且2(1)log x a x -<， ∴12a <≤评注：在利用数形结合的数学思想解题时，一些特殊点（尤其是端点）的取值要引起重视．比如本例中要注意a=2是否取得到．二、分离变量法将所求恒成立的不等式中的参数移至一边，含自变量的项移至另一边，然后通过构造函数利用函数的值域方法求得．例2 设函数2()()f x x x a =--（x R ∈），其中a R ∈．（１）当0a >时，求函数()f x 的极大值和极小值；（２）当3a >时，证明存在[]10k ∈-，，使得不等式22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x R ∈恒成立．（１）解：2322()()2f x x x a x ax a x =--=-+- 22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+-=---．若0a >，当x 变化时，()f x '在3aa ⎛⎫ ⎪⎝⎭，为正，在3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∞，，()a +，∞为负． 因此，函数()f x 在3a x =处取得极小值3a f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； 函数()f x 在x a =处取得极大值()f a ，且()0f a =．（２）证明：由3a >，得13a >，当[]10k ∈-，时， cos 1k x -≤，22cos 1k x -≤．由（１）知，()f x 在(]1-∞，上是减函数，要使22(cos )(cos )f k x f k x --≥，x R ∈ 只要22cos cos ()k x k x x R --∈≤，即22cos cos ()x x k k x R --∈≤ ① 设2211()cos cos cos 24g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则函数()g x 在R 上的最大值为2． 要使①式恒成立，必须22k k -≥，即2k ≥或1k -≤．故在区间[]10-，上存在1k =-，使得22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x R ∈恒成立．评注：将不等式恒成立问题分离参数后，转化为参数与一个新函数的最值大小间的关系，使问题思路得到简化．另外要注意的是“存在[]10k ∈-，”与“[]10k ∈-，”使命题成立的区别．三、 判别式法根据二次函数的取值在实数集上恒正（非负）的条件，来解决恒成立问题中参数范围． 例3 在实数集R 上定义运算：*(1)x y x y =-，若不等式()*()1x a x a -+<对任意实数x 恒成立，则（ ）Ａ．11a << Ｂ．02a << Ｃ．1322a -<< Ｄ．3122a -<< 解：由题意：()*()()(1)x a x a x a x a -+=---，∴()(1)1x a x a ---<对任意实数恒成立，即使2210x x a a --++>对任意x 恒成立． ∴214(1)0a a ∆=--++<，解得1322a -<<，选Ｃ． 评注：此类题型往往与新定义题型及导数的有关运算结合在一起考查．若区间不为实数集Ｒ时，往往还需要实数根的分布情况辅以甄别．四、 主元思想法当要利用某个变量的范围转而求其它变量的范围时，可以将已知范围的变量当作一个新的主元，从而将问题转化为简单函数的最值求解问题．例4 已知f(x)=222+-x a x (x ∈R)，设关于x 的方程f(x)=x 1的两个非零实根为x 1、x 2.试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm+1-|x 1-x 2|≥0对任意a ∈[-1，1]及t ∈[-1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：由222+-x a x =x 1，得x 2-ax-2=0， ∵△=a 2+8>0 ∴x 1，x 2是方程x 2-ax-2=0的两非零实根∴ 12122x x a x x +=⎧⎨=-⎩，从而|x 1-x 2|=212214)(x x x x -+=82+a . 又∵-1≤a ≤1， ∴|x 1-x 2|=82+a ≤3.要使不等式m 2+tm+1≥|x 1-x 2|对任意a ∈[-1，1]及t ∈[-1，1]恒成立，当且仅当m 2+tm+1≥3对任意t ∈[-1，1]恒成立，即m 2+tm-2≥0对任意t ∈[-1，1]恒成立. ②设g(t)=m 2+tm-2=mt+(m 2-2)，这是关于自变量t 的一次函数，由其性质可得：22(1)20(1)20g m m g m m ⎧=--≥⎪⎨-=+-≥⎪⎩ 由此得到：m ≥2或m ≤-2. 故存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1-x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤-2}.评注：本例在前部分采用了分离参数法求关于m,t 的不等式，而在后部分已知t 的范围时，巧妙地采用了以t 为主元的一次函数来求解．恒成立的参数范围的求解问题，通常要用到函数与方程思想及数形结合思想等．在解答时，要注意运用一些基本初等函数的性质与图象．特别是要注意运用二次函数、二次方程及二次不等式的整合．。