备战2021届高考数学二轮复习热点难点突破专题15 数形结合思想(解析版)

专题15 数形结合思想

专题点拨

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．

(1)数形结合思想解决的问题常有以下几种：

①构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围；

②构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围；

③构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系；

④构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；

⑤构建立体几何模型研究代数问题；

⑥构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；

⑦构建方程模型，求根的个数；

⑧研究图形的形状、位置关系、性质等．

(2)数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题、选择题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：

①准确画出函数图像，注意函数的定义域；

②用图像法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图像，由图求解．

(3)在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：

①要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；

②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；

③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；

④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解．

例题剖析

一、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用

【例1】若方程x2－4x＋3＋m＝0在x∈(0，3)时有唯一实根，求实数m的取值范围．

【解析】利用数形结合的方法，直接观察得出结果．

原方程可化为－(x －2)2＋1＝m (0

是(－3，0]∪{1}．

【变式训练1】 已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，

－x 2－2x ，x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范

围为________．

【答案】(0，1) 【解析】 函数f (x )＝

⎩⎪⎨⎪⎧2x －1， x ＞0－x 2－2x ， x ≤0＝⎩

⎪⎨⎪

⎧2x －1， x ＞0－（x ＋1）2＋1， x ≤0， 画出其图像如图所示．

又由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，知y ＝f (x )与y ＝m 有3个交点，则实数m 的取值范围是(0，1).

【例2】 若实系数一元二次方程x 2＋ax ＋2b ＝0有两个根，一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(1，2)内，求：

(1)点(a ，b )对应的区域的面积； (2)b －2a －1的取值范围； (3)(a －1)2＋(b －2)2的值域． 【解析】 可将

b －2

a －1

看作点(a ，b )和(1，2)连线的斜率，而(a －1)2＋(b －2)2表示点(a ，b )与定点(1，2)之间的距离的平方．

方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根在区间(0，1)和(1，2)上的几何意义分别是：函数y ＝f (x )＝x 2＋ax ＋2b 与x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0，1)和(1，2)内，且x 1x 2＝2b ＞0，

由此可得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0f （1）＜0f （2）＞0⇒⎩⎪⎨⎪

⎧b ＞0，a ＋2b ＋1＜0，a ＋b ＋2＞0.

∴在如图所示的aOb 坐标平面内，满足约束条件的点(a ，b )对应的平面区域为△ABC (不包括边界)．

由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a ＋b ＋2＝0，解得A (－3，1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋2＝0，b ＝0，解得B (－2，0)， 由⎩

⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，b ＝0，解得C (－1，0)． (1)△ABC 的面积为S △ABC ＝12·|BC |·h ＝1

2(h 为A 到Oa 轴的距离)．

(2)b －2

a －1几何意义是点(a ，

b )和点D (1，2)连线的斜率． ∵k AD ＝2－11＋3＝14，k CD ＝2－0

1＋1＝1，

由图可知k AD ＜b －2

a －1＜k CD ，

∴14

a －1<1，即

b －2a －1∈⎝⎛⎭

⎫14，1. (3)∵(a －1)2＋(b －2)2表示区域内的点(a ，b )与定点(1，2)之间距离的平方，由图可知，当取点C (－1，0)时有最小值8，当取点A (－3，1)时有最大值17，∴(a －1)2＋(b －2)2的值域为(8，17)．

二、数形结合思想在不等式求最值问题、求方程的根的相关问题中的应用 【例3】若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，

则y

x

的最大值为________．

【答案】 3

【解析】 作出约束条件确定的可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，y

x

是可行域内一点与原

点连线的斜率，由图可知，点A 与原点连线的斜率最大．联立⎩

⎪⎨⎪⎧x －1＝0x ＋y －4＝0，解得A (1，3)，所以y

x 的最大值

3

.

【例4】设函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪

⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x ＞0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则函数y ＝g (x )＝f (x )－x 的零点

个数为________．

【答案】 3

【解析】 将函数方程进行等价变形，转化为两函数在某个范围内有相等的解的问题，再利用函数的图像进行解决．

由f (－4)＝f (0)，得16－4b ＋c ＝c .由f (－2)＝－2，得4－2b ＋c ＝－2.联立两方程解得：b ＝4，c ＝2.

于是，f (x )＝⎩

⎪⎨⎪

⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x ＞0.在同一直角坐标系内，作出函数y ＝f (x )与函数y ＝x 的图像，知它们有3

个交点，进而函数亦有3个零点．

【例5】 若方程lg(－x 2＋3x －m )＝lg(3－x )在x ∈(0，3)内有唯一解，求实数m 的取值范围． 【解析】 将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决．

原方程变形为⎩

⎪⎨⎪⎧3－x ＞0，

－x 2＋3x －m ＝3－x ，