备战2021届高考数学二轮复习热点难点突破专题15 数形结合思想(解析版)

高考数学二轮复习讲义 数形结合一、课前导读⑴数形结合是根据数量与图形之间的关系，认识研究对象的数学特征，寻找解决问题的方法的一种数学思想。

⑵数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系 数量关系决定了几何图形的性质⑶数形结合作为一种数学思想方法大致分为： ①借助数的精确性来阐明形的某些属性②借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系 ⑷数形结合作为手段主要用于：①平面几何、立体几何的一些算法（与解三角形有关的计算） ②解析几何中点与坐标、曲线与方程、区域(区间)与不等式的对应 ③函数与它的图象以及有关几何变换④三角函数的概念、向量及其运算的几何意义 ⑤集合的图示 ⑥导数的几何背景二、典型例题 ★221log log ab <<、若0,则（ ）()1A a b <<<0()1B b a <<<0()1C a b >>()1D b a >>★22cos sin x y x x π≤=+、若，则的最小值为_______4★343()7()17()1()1x x a a A a B a C a D a --<><<>≥、不等式+有实数解，则的取值范围是（ ）★2242)y x y x y x-、若实数,满足(+=3，则的最大值为_______★25402x y x y x y x y ++=-2、若，满足-2，则的最大值为_____★2643x x x m m -+=、关于的方程有四个不等实根，则的取值范围为___________ ★7{{}A x y y B x y y x a A B a ==+⋂≠∅、（，），（，）=，若，则的取值范围为_____________★18()log ()0()x a f x f x f x +=>∞、已知在区间(-1,0)上有，则在(-,-1)上是____函数(填增或减)★★229[1,1]()442()13()13()12()12[1,1]()442a f x x a x a xA xB x xC xD x x x f x x a x a a∈-=-+-<<<><<<>∈-=-+-、对于任何，函数+()的值总大于零，则 的取值范围是（ ）或 或 变题：对于任何，函数+()的值总大于零，则 的取值范围是_____________★★10()(0)(0,)()1,(1)0y f x x x f x x f x =≠∈+∞=--<、若奇函数在时，则的解集为_________★★211(0,1)x x a x ax a a a +>≠、关于的方程=-+2的解的个数为_____★★212AB y x M ABM y 、定长为3的线段的两个端点在抛物线=2上移动,为线段 的中点,求点到轴的最短距离★★213()3[2,2]()f x x ax x f x a a =+∈-≥、已知函数+,当时,恒成立,求的取值范围★★14[0,2]sin x a x x a π∈+=、已知，为实数，讨论的解的个数★★15sin 0021a a θθπαβαβ++=+在(，)上有相异二解、 （）求的取值范围 （2）求的值★★★1635320x y R x y -+--=222、若圆()+()=上有且仅有两点到直线4的距离为1，R 则的范围为____________★★★172,2OB OA OA OB αα→→→→、向量=(2,0)，=()，则,的夹角的范围是________★★★18S ABC αα、正三棱锥-，其相邻两侧面所成的角为，则的取值范围为________★★★19x R y ∈=、，则★★★220()log ()log 10()log (205),()()a a af x a xg x x f x g x a =-+=-<、设函数，若 不等式的整数解只有1，求的取值范围★★★222221cos sin cos sin ,1cos cos 0,020222a b c a b c b a a b ac ααββαβ+=+=+=≠≠++=、已知，且()，求证：三、巩固练习★1523()()()()x x A B C D <<-<、命题甲：0；命题乙：，则甲是乙的（ ）充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分又不必要条件★2()[37]5()[73]()()()()f x f x A B C D --、如果奇函数在区间，上是增函数，且最小值是，那么在区间，上是（ ）增函数且最小值是-5 增函数且最大值是-5 减函数且最小值是-5 减函数且最大值是-5★2321()()()()x x A B C D =+、方程的实根的个数是（ ）1 2 3 4★4log2log 20log 2log 2()()()()dc b a a b cd A a b c d B a b d c C b a c d D b a d c<<<<>>>>>><<<<<<、若，则、、、的大小关系为（ ）★53634()()()2()A B C D π1、球面上有个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这个点的小圆的周长为，则这个球的半径为（ ）★62,3(3,2(0,2)A B P P l AB -、已知点（-）、）、，过点的直线与线段有公共点， l k 则直线的斜率的取值范围为____________★73102360_______kx y k x y k -++=+-=、设直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围是★8_____、三边的长都是整数，且最大边长为9的三角形的个数是★2291916,x y -、设圆过双曲线=的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上则圆心到双曲线中心的距离是_______★★100sin tan 2παααα<<<<、已知,求证：★★21112()(1)(3)()(2)(3)()(2)(3)(4)()(3)x y x x y y x A B C D -=-=、设函数，则下列命题中正确的是（ ）（1）图象上一定存在两点，这两点的连线平行于轴 （2）图象上任意两点的连线都不平行于轴（3）图象关于直线对称（4）图象关于原点中心对称 和 和 和和★★12101____x x <<>+、“若-”，这一命题的否命题的真值为★★138040()()()()P P A B C D αβαβ︒︒、已知平面、成角，为空间的一定点，则过点且与平面、所成的角都等于的直线至多有（ ） 1条 2条 3条 4条★★14、10个相同的小球放入1、2、3号盒中，要求每个盒子的球数不小于它的编号数，则不同的放入种数为_______★★2115log 0(0,2mx x m -<、方程不等式在)时成立，则的取值范围是_______★★222160(0)2ax bx a ab a b b +=>∅-、已知方程+的解集是，则+的取值范围是_____________★★★171(2)__________x k x a a k a --+、若方程=，对任意实数都有解，则实数的取值范围是★★★18,(2,2)(),()()OA OB A a b B b a a b OP R OA OBλ→→→→→≠=-∈、已知点（），若，P 则点的轨迹方程是____________★★★221212112222191,259((4,0)x y F F PF PF PF PF PF B F MF MB MF MB +--+、设椭圆=上一点、为焦点,=4,求 变题:(1)若去掉条件=4，求的最大值(2)若、,求的最大值 (3)在(2)中求的最大值★★★2200,2,244;442,2x x ax b a b b a b b αβαβαβ+=<<<+<<+<<<、已知关于的实系数二次方程+有两个实根。

解读高考中的数学思想——数形结合篇数形结合是一种重要的数学思想方法，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动和直观来表明数之间的联系，即“以形助数”；二是借助于数的精确和严密来阐明形的某些属性，即“以数辅形”．这种思想方法在求解选择题和填空题的时候非常有用，对寻找解答题的求解思路也很有帮助．以下举例说明．一、用数形结合思想解决集合问题处理集合与集合的关系，借助图形进行直观思考，不仅可以使各集合之间的相互关系直观明了，而且也便于将各元素的归属确定下来，使抽象的集合问题，形象直观的得解． 例1 设22{()|(1)1}{()|0}A x y x y B x y x y m =+-==++，，，≥，则使A B ⊆成立的实数m 的取值范围是_____．解析：由于集合A ，B 都是点的集合，故可结合图形进行分析．集合A 是圆22(1)1x y +-=上的点的集合，集合B 是不等式0x y m ++≥表示的平面区域内的点的集合，要使A B ⊆，则应使圆被平面区域所包含（如图1），知直线0x y m ++=应与圆相切或相离且在圆的下方，即0m >．1=，解得1m =，故m的取值范围是1m ． 评述：如果所给集合是点的集合，那么在研究它们之间的关系时，可以借助数形结合思想，将问题转化为函数图象或曲线之间的关系求解．二、用数形结合思想解决方程问题在研究某些方程的根的个数问题、根的大小问题以及根的取值范围等问题时，都可以将方程进行恰当的变形，通过引进函数，转化为两个或几个函数图象之间的关系来解决． 例2 已知函数()()()2()f x x a x b a b =--+<，若()αβαβ<，是方程()0f x =的两个根，则实数a b αβ，，，之间的大小关系是（ ）．（A ）a b αβ<<< （B ）a b αβ<<<（C ）a b αβ<<< （D ）a b αβ<<<解析：若令()()()g x x a x b =--，显然函数()g x 的两个零点是a 、b ，函数()f x 的两个零点是αβ，，而函数()f x 的图象是由函数()g x 的图象沿y 轴向上平移两个单位得到的，结合图象可知a b αβ<<<，故应选（B ）．例3 若方程240x x m --=恰有4个不同的实数根，则实数m 的取值范围为_____． 解析：将方程化为24x x m -=，构造函数2()4()f x x x g x m =-=，，则方程240x x m --=恰有4个不同的实数根，亦即两个函数()f x 与()g x 的图象恰好有4个不同的交点，如图2，易知当-4＜m ＜0时方程有4个根．三、用数形结合思想解决函数问题我们学过的一些初等函数，如：正比例、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等都蕴含着丰富的数形结合的思想，因此，在处理函数问题时，要充分联系函数图象．例4 （2006年辽宁高考题）已知函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--，则()f x 的值域是（ ）．（A ）[11]-， （B）12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）12⎡-⎢⎣⎦， （D）12⎡--⎢⎣⎦， 解析：cos (sin cos )11()(sin cos )sin cos sin (sin cos )22x x x f x x x x x x x x ⎧=+--=⎨<⎩≥，，，即等价于min {sin cos }x x ，，因此在同一坐标系下分别画出函数sin cos y x y x ==，的图象，在两个图象的每两个交点之间取位于下方的图象，就是函数()f x 的图象，从而容易得到()f x 的值域是12⎡-⎢⎣⎦，，故答案为（C ）． 四、数形结合思想解决数列问题由于数列的通项公式和前n 项和公式都可以看成n 的函数，因此，许多数列问题可以借助函数的图象解决．例5 设{}()n a n *∈N 是公差为d 的等差数列，n S 是前n 项的和，且56678S S S S S <=>，，则下列结论错误的是（ ）． （A ）0d < （B ）70a =（C ）95S S > （D ）6S 和7S 均为n S 的最大值解析：可以把等差数列的前n 项和2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭看成是关于n的二次函数，结合图形可知，答案为（C ）．例6 已知在等差数列{}n a 中，312a =，前n 项和为n S ，且121300S S ><，．则当n S 取到最值时，n 等于（ ）（A ）6 （B ）7 （C ）12 （D ）13解析：由于121300S S ><，，所以130a <，而3120a =>，所以数列的公差d ＜0，即数列是递减数列．则2(0)n S an bn a b a =+∈<R ，，，如图3，可以把n S看成关于n 的二次函数，其图象是一条抛物线，经过原点，开口向下，又121300S S ><，，所以若设抛物线和x 正半轴的交点为(0)M m ，，则12＜m ＜13，于是抛物线的对称轴为(66.5)2m x =∈，，因此当n =6时n S 取到最大值，选（A ）． 编者注：数列的有关问题用函数的观点来解决是一种较好的方法，但要注意，他们并非真正意义上的一次、二次函数！五、用数形结合思想解决不等式问题例7 如图4，请你观察图形以及图形中线段的位置关系及其数量关系，说明如何通过该图形来说明不等式2a b +成立．你还能构造另外的图形来说明这个不等式成立吗？解析：在圆O 中，AB 是一条直径，M 是圆上任意一点，过M 点作MC ⊥AB 交AB 于C ，令CA =a ，CB =b ，则容易得到2a b MC MO +==，由于在Rt △MCO 中，MO 是斜边，MC是直角边，所以有2a b +>C 点与O点重合时，有2a b +=2a b +．由于问题的本质上是在Rt △AMB 中处理问题，所以可构造类似的图形如图5所示（注：CN a BN b ==，．）． 评述：几何图形的直观解释和证明，真正体现了代数和几何的有机统一，可谓“无字的证明”．六、用数形结合思想解决最值或范围问题例8 已知a 、b 、c 是某一直角三角形的三边的长，其中c 为斜边，若点（m ，n ）在直线ax +by +2c=0上，则22m n +的最小值等于_____．解析：令d ==d 表示点（m ，n ）与坐标原点之间的距离．由于点（m ，n ）在直线ax +by +2c =0上，所以d 的最小值就是坐标原点到直线ax +by +2c =022c c==，即22m n +的最小值等于4． 例9 在区间[01]，上给定曲线2y x =，试在此区间内确定点t的值，使图6中的阴影部分的面积1S 与2S 之和最小．解：1S 面积等于边长为t 与2t 的矩形的面积去掉曲线2y x =与x 轴、直线x t =围成的面积，即22312023tS t t x dx t S =-=⎰；的面积等于曲线2y x =与x 轴、1x t x ==，围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为2(1)t t -，，即12232221(1)33t S x dx t t t t =--=-+⎰． 所以阴影部分面积S 为：321241(01)33S S S t t t =+=-+≤≤ 由21()42402S t t t t t ⎛⎫'=-=-= ⎪⎝⎭，得 t =0，或12t =． 经验证知，当12t =时，S 最小．。

难点37 数形结合思想数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数〞与“形〞结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合， 使代数问题、几何问题相互转化， 使抽象思 维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义， 将数量关系和空间形式巧妙结合， 来寻找解 题思路，使问题得到解决.运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.1.曲线y=1+4x 2(–2≤x≤2)与直线y=r(x –2)+4有两个交点时，实数r 的取值范围.2.设f(x)=x 2–2ax+2,当x∈［–1,+∞)时，f(x)＞a 恒成立，求a 的取值范围.［例1］设A={x ｜–2≤x≤a}，B={y ｜y=2x+3，且x∈A }，C={z ｜z=x 2，且x∈A }，假设C B ，求实数a 的取值范围.命题意图：此题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目 .属★★★★级题目.知识依托：解决此题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合 C.进而 将C B 用不等式这一数学语言加以转化.错解分析：考生在确定z=x 2，x∈［–2,a ］的值域是易出错，不能分类而论 .巧妙观察图 象将是上策.不能漏掉a ＜–2这一种特殊情形.技巧与方法：解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译〞 为一 般的数学语言，进而分析条件与结论特点， 再将其转化为图形语言， 利用数形结合的思想来 解决.解：∵y=2x+3在［–2,a ］上是增函数 ∴–1≤y≤2a+3，即B={y ｜–1≤y≤2a+3} 作出z=x 2的图象，该函数定义域右端点 x=a 有三种不同的位置情况如下：①当–2≤a ≤0时，a 2≤z ≤4即C={z ｜z 2≤z ≤4} 要使CB,必须且只须 2a+3≥4得a ≥1与–2≤a ＜0矛盾.2②当0≤a ≤2时，0≤z ≤4即C={z ｜0≤z ≤4}，要使C B ，由图可知：2a 3 4必须且只需0 a2解得1≤a≤2 2③当a＞2时，0≤z≤a2，即C={z｜0≤z≤a2}，要使C B必须且只需a 2 2a3a解得2＜a ≤32④当a ＜–2时，A=此时B=C=，那么C B 成立.综上所述，a 的取值范围是(–∞,–2)∪［1,3］.2［例2］acos α+bsin α=c,acos β+bsin β=c(ab ≠0,α–β≠k π,k ∈Z )求证：cos2 c 2.2a 2b2命题意图：此题主要考查数学代数式几何意义的转换能力.属★★★★★级题目.知识依托：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程 .进而由A 、B 两点坐标特点知其在单位圆上.错解分析：考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一.如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二.技巧与方法：善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几 何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题.证明:在平面直角坐标系中，点A 〔cos α,sin α〕与点B 〔cos β,22sin β〕是直线 l:ax+by=c 与单位圆x+y=1的两个交点如图.222从而：｜AB ｜=(cos α–cos β)+(sin α–sin β) =2–2cos(α–β)又∵单位圆的圆心到直线 l|c|的距离db 2a 2 由平面几何知识知｜OA ｜2–(1｜AB ｜)2=d 2即2122cos()d 2c 2b4a 2∴cos 2c 2 . 2a 2b 2应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化： 1〕集合的运算及韦恩图 2〕函数及其图象3〕数列通项及求和公式的函数特征及函数图象 4〕方程〔多指二元方程〕及方程的曲线以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借 助于解析几何方法 .以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合.一、选择题1.〔★★★★〕方程sin(x–)=1x的实数解的个数是()44D.以上均不对2.〔★★★★★〕f(x)=(x–a)(x–b)–2〔其中a＜b)，且α、β是方程f(x)=0的两根〔α＜β)，那么实数a、b、α、β的大小关系为()A.α＜a＜b＜βB.α＜a＜β＜b＜α＜b＜β D.a＜α＜β＜b二、填空题3〔.★★★★★〕(4cosθ+3–2t)2+(3sinθ–1+2t)2，(θ、t为参数)的最大值是.4.〔★★★★★〕集合A={x｜5–x≥2(x1)},B={x｜x2–ax≤x–a}，当A B时，那么a的取值范围是.三、解答题5.〔★★★★〕设关于x的方程sinx+3cosx+a=0在〔0,π〕内有相异解α、β.1〕求a的取值范围；2〕求tan(α+β)的值.6.〔★★★★〕设A={(x,y)｜y=2a2x2,a＞0}，B={(x,y)｜(x–1)2+(y–3)2=a2,a＞0},且A∩B≠，求a的最大值与最小值.7.〔★★★★〕A〔1，1〕为椭圆x2y29=1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆5上一动点.求｜PF1｜+｜PA｜的最大值和最小值.8.〔★★★★★〕把一个长、宽、高分别为25cm、20cm、5cm的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为多少？参考答案●难点磁场1.解析：方程y=1+4 x2的曲线为半圆，y=r(x–2)+4为过〔2，4〕的直线.答案：〔5,3］1242.解法一：由f(x)＞a，在［–1,+∞)上恒成立x2–2ax+2–a＞0在［–1,+∞)上恒成立.考查函数g(x)=x2–2ax+2–a的图象在［–1,+∞］时位于x轴上方.如图两种情况：不等式的成立条件是：(1) =4a2–4(2–a)＜0a∈(–2,1)(2)a1a∈(–3,–2]，综上所述a∈(–3,1).g(1)0解法二：由f(x)＞a x2+2＞a(2x+1)令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象.如图满足条件的直线l位于l1与l2之间，而直线l1、l2对应的a值〔即直线的斜率〕分别为1，–3，故直线l对应的a∈(–3,1).●歼灭难点训练。

2.数形结合思想以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想.借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想.数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.应用1 解决方程的根或函数零点问题 【典例1】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋34，x ≥2，log 2x ，0＜x ＜2.若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是________．(2)设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2＜0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2＞1D ．0＜x 1x 2＜1(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 (2)D [(1)画出函数f (x )的图象如图．要使函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同零点，只需y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个不同的交点，由图象易知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1.(2)本题考查函数的性质，在同一坐标系下，画出函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|的图象(图略)，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点横坐标属于(－∞，－1)，另一个交点横坐标属于(－1,0)，即在x 1，x 2中，其中一个属于(－∞，－1)，另一个属于(－1,0)，不妨设x 1∈(－∞，－1)，x 2∈(－1,0)，则有10x 1＝|lg(－x 1)|＝lg(－x 1)，10x 2＝|lg(－x 2)|＝－lg(－x 2)，10x 1－10x 2＝lg(－x 1)＋lg(－x 2)＝lg(x 1x 2)＜0，故0＜x 1x 2＜1，故选D.]用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉的函数表达式(不熟悉时，需要作适当的变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数.【对点训练1】 若关于x 的方程|x |x ＋4＝kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ [当x ＝0时，显然是方程的一个实数解； 当x ≠0时，方程|x |x ＋4＝kx 2可化为1k ＝(x ＋4)|x |(x ≠－4)，设f (x )＝(x ＋4)|x |(x ≠－4且x ≠0)，y ＝1k ，原题可以转化为两函数有三个非零交点．则f (x )＝(x ＋4)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ＞0，－x 2－4x ，x ＜0且x ≠－4的大致图象如图所示，由图，易得0＜1k ＜4， 解得k ＞14.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞.]【对点训练2】 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解之和为________．－7 [因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2.又当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象如图所示．由图象知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的实数解有7个．不妨设x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜x 5＜x 6＜x 7，则由图得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7.]应用2 求解不等式或参数范围【典例2】 若不等式4x 2－log a x <0对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1256，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1256，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1256 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1256B [由已知4x 2<log a x 对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14恒成立，相当于在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上，函数y ＝log a x 的图象恒在函数y ＝4x 2图象的上方，显然当a >1时，不成立，当0＜a ＜1时，如图，只需log a 14≥4×⎝ ⎛⎭⎪⎫142⇒a 14≥14⇒a ≥1256， 又0＜a ＜1，故a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1256，1.故选B.]求参数范围或解不等式问题经常用到函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答.【对点训练3】 设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是________．[2－1，＋∞) [集合A 是一个圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是一个不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，如直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有|m ＋1|2＝1，又m ＞0，所以m ＝2－1，故m 的取值范围是[2－1，＋∞)．]【对点训练4】 若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 [作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12.]应用3 求解解析几何问题【典例3】 (2019·成都模拟)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P .若以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2相切，则双曲线C 的离心率为( )A.2B. 3 C ．2 D. 5D [如图所示，设以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2的切点为Q ，连接OQ ，则OQ ⊥PF 2.又PF 1⊥PF 2，O 为F 1F 2的中点，所以|PF 1|＝2|OQ |＝2a .又|PF 2|－|PF 1|＝2a ，所以|PF 2|＝4a .在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2⇒4a 2＋16a 2＝20a 2＝4c 2⇒e ＝c a ＝5.](1)在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使数更形象，更直白，充分利用图象的特征，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提供方便.(2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.【对点训练5】已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m ＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为() A．7B．6C．5D．4B[根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝12|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝32＋42＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.]【对点训练6】已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，P A，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形P ACB面积的最小值为________．22[由题意知圆的圆心C(1,1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形P AC的面积S△P AC＝12·|P A|·|AC|＝12|P A|越来越大，从而S四边形P ACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动，S四边形P ACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l时，S四边形P ACB应有唯一的最小值，此时|PC|＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|P A|＝|PC|2－|AC|2＝22，所以(S四边形P ACB)min＝2×12×|P A|×|AC|＝2 2.]。

第二讲数形结合思想1．数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确．2．数形结合思想的实质、关键及运用时应注意的问题：其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化，在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参，合理用参，建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．3．实现数形结合，常与以下内容有关：(1)实数与数轴上的点的对应关系；(2)函数与图象的对应关系；(3)以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；(4)所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．如等式(x－2)2＋(y－1)2＝4，表示坐标平面内以(2,1)为圆心，以2为半径的圆．1． (·重庆)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为() A．52－4 B.17－1C．6－2 2 D.17答案 A解析设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1′(2，－3)，那么|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2.而|PM|＝|PC1|－1，|PN|＝|PC2|－3，∴|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥52－4.2．(2011·大纲全国)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是()A．1 B．2 C. 2 D.2 2答案 C解析 如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a －c ，CB →＝b －c .由题意知CA →⊥CB →，∴O 、A 、C 、B 四点共圆．∴当OC 为圆的直径时，|c |最大，此时，|OC →|＝ 2.3． (·山东)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12答案 C解析 如图，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0得A (3，－1)．此时直线OM 的斜率最小，且为－13.4． (·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ， x ≤0，ln (x ＋1)， x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]答案 D解析 函数y ＝|f (x )|的图象如图．①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立． ②当a >0时，只需在x >0时， ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度． 显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立． 即a ≥x －2成立，∴a ≥－2.综上所述：－2≤a ≤0.故选D.5． (·天津)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________． 答案 (0,1)∪(1,4)解析 根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(x >1或x <－1)，－x －1(－1≤x <1).在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示． 根据图象可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点．题型一 数形结合解决方程的根的个数问题例1 (·福建)对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x－1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．审题破题 本题以新定义为背景，要先写出f (x )的解析式，然后将方程f (x )＝m 根的个数转化为函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝m 的交点个数． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1－316，0解析 由定义可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)x ，x ≤0，－(x －1)x ，x >0.作出函数f (x )的图象，如图所示．由图可知，当0<m <14时，f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等 的实数根x 1，x 2，x 3. 不妨设x 1<x 2<x 3， 易知x 2>0，且x 2＋x 3＝2×12＝1，∴x 2x 3<14.令⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)x ＝14，x <0，解得x ＝1－34.∴1－34<x 1<0，∴1－316<x 1x 2x 3<0.反思归纳 研究方程的根的个数、根的范围等问题时，经常采用数形结合的方法．一般 地，方程f (x )＝0的根，就是函数f (x )的零点，方程f (x )＝g (x )的根，就是函数f (x )和g (x )的图象的交点的横坐标．变式训练1 已知：函数f (x )满足下面关系：①f (x ＋1)＝f (x －1)；②当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则方程f (x )＝lg x 解的个数是( )A ．5B ．7C ．9D ．10答案 C解析 由题意可知，f (x )是以2为周期，值域为[0,1]的函数．又f (x )＝lg x ，则x ∈(0,10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．由图象可知共9个交点．题型二 数形结合解不等式问题例2 设有函数f (x )＝a ＋－x 2－4x 和g (x )＝43x ＋1，已知x ∈[－4,0]时恒有f (x )≤g (x )，求实数a 的取值范围．审题破题 x ∈[－4,0]时恒有f (x )≤g (x )，可以转化为x ∈[－4,0]时，函数f (x )的图象都在函数g (x )的图象下方或者两图象有交点． 解 f (x )≤g (x )，即a ＋－x 2－4x ≤43x ＋1，变形得－x 2－4x ≤43x ＋1－a ，令y ＝－x 2－4x ， ① y ＝43x ＋1－a .②①变形得(x ＋2)2＋y 2＝4(y ≥0)，即表示以(－2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆；②表示斜率为43，纵截距为1－a 的平行直线系．设与圆相切的直线为AT ，AT 的直线方程为： y ＝43x ＋b (b ＞0)， 则圆心(－2,0)到AT 的距离为d ＝|－8＋3b |5，由|－8＋3b |5＝2得，b ＝6或－23(舍去)．∴当1－a ≥6即a ≤－5时，f (x )≤g (x )．反思归纳 解决含参数的不等式和不等式恒成立问题，可以将题目中的某些条件用图象表现出来，利用图象间的关系以形助数，求方程的解集或其中参数的范围．变式训练2 已知不等式x 2＋ax －2a 2<0的解集为P ，不等式|x ＋1|<3的解集为Q ，若P ⊆Q ，求实数a 的取值范围．解 x 2＋ax －2a 2＝(x ＋2a )(x －a )<0. |x ＋1|<3⇒Q ＝{x |－4<x <2}．当－2a <a ，即a >0时，P ＝{x |－2a <x <a }．∵P ⊆Q ，∴⎩⎨⎧－2a ≥－4，a ≤2，a >0.解得0<a ≤2.当－2a ＝a ，即a ＝0时，P ＝∅，P ⊆Q . 当－2a >a ，即a <0时，P ＝{x |a <x <－2a }，∵P ⊆Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－4，－2a ≤2，a <0， 解得－1≤a <0，综上可得－1≤a ≤2.题型三 数形结合解决有明显几何意义的式子(概念)问题例3 已知函数f (x )＝ax 2＋bx －1(a ，b ∈R 且a >0)有两个零点，其中一个零点在区间(1,2)内，则b a ＋1的取值范围为 ( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．(－2,1]D ．(－2,1)审题破题 先根据图象确定a ，b 满足的条件，然后利用ba ＋1的几何意义——两点(a ，b )，(－1,0)连线斜率求范围． 答案 D解析 因为a >0，所以二次函数f (x )的图象开口向上．又f (0)＝－1，所以要使函数f (x )的一个零点在区间(1,2)内，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋b －1<0，4a ＋2b －1>0.如图所示的阴影部分是上述不等式组所确定的平面区域，式子b a ＋1表示平面区域内的点 P (a ，b )与点Q (－1,0)连线的 斜率．而直线QA 的斜率k ＝1－00－(－1)＝1，直线4a ＋2b －1＝0的斜率为－2，显然不等式组所表示的平面区域不包括边界，所以P ，Q 连线的斜率的取值范围为(－2,1)．故选D. 反思归纳 如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有： (1)b －n a －m ↔(a ，b )、(m ，n )连线的斜率； (2)(a －m )2＋(b －n )2↔(a ，b )、(m ，n )之间的距离；(3)a 2＋b 2＝c 2↔a 、b 、c 为直角三角形的三边；(4)f (a －x )＝f (b ＋x )↔f (x )图象的对称轴为x ＝a ＋b2.只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法．变式训练3 已知点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则x 2＋y 2－6x ＋9的取值范围是 ( )A ．[2,4]B ．[2,16]C ．[4,10]D ．[4,16]答案 B解析 画出可行域如图，所求的x 2＋y 2－6x ＋9＝(x －3)2＋y 2是点Q (3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q 到射线x －y －1＝0(x ≥0)的距离d 的平方，最大值为|QA |2＝16.∵d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|3－0－1|12＋(－1)22＝(2)2＝2. ∴取值范围是[2,16]． 题型四 数形结合解几何问题例4 已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A ．(14，－1)B ．(14，1)C ．(1,2)D ．(1，－2)审题破题 本题可以结合图形将抛物线上的点P 到焦点的距离转化为到准线的距离，再探求最值． 答案 A解析 定点Q (2，－1)在抛物线内部，由抛物线的定义知，动点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，问题转化为当点P 到点Q 的距离和点P 到抛物线的准线距离之和最小时，求点P 的坐标，显然点P 是直线y ＝－1和抛物线y 2＝4x的交点时，两距离之和取最小值，解得这个点的坐标是(14，－1)．反思归纳 在几何中的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值．变式训练4 已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，求四边形P ACB 面积的最小值． 解 从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形P AC 的面积S Rt △P AC＝12|P A |·|AC |＝12|P A |越来越大，从而S 四边形P ACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形P ACB 变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直直线l 时，S 四边形P ACB 应有唯一的最小值，此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3， 从而|P A |＝|PC |2－|AC |2＝2 2.∴(S 四边形P ACB )min ＝2×12×|P A |×|AC |＝2 2.典例 (12分)已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 规范解答解 (1)f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )， 当a <0时，对x ∈R ，有f ′(x )>0，∴当a <0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)； 当a >0时，由f ′(x )>0，解得x <－a 或x >a ， 由f ′(x )<0，解得－a <x <a ，∴当a >0时，f (x )的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)； 单调减区间为(－a ，a )．[4分](2)∵f (x )在x ＝－1处取得极值，∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，∴a ＝1.[6分]∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝1.由(1)中f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点， 结合如图所示f (x )的图象可知： m 的取值范围是(－3,1)．[12分]评分细则 (1)求出f ′(x )给1分，不写出单调区间扣1分；(2)只画图象没有说明极值扣2分；(3)没有结论扣1分，结论中范围写成不等式形式不扣分．阅卷老师提醒 (1)解答本题的关键是数形结合，根据函数的性质勾画函数的大致图象； (2)解答中一定要将函数图象的特点交待清楚，单调性和极值是勾画函数的前提，然后结合图象找出实数m 的取值范围．1． 设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f (13)<f (2)<f (12)B ．f (12)<f (2)<f (13)C ．f (12)<f (13)<f (2)D ．f (2)<f (12)<f (13)答案 C解析 由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，∴f (12)<f (13)<f (2)．2． 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ， x ≤0，2， x >0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则函数y ＝g (x )＝f (x )－x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 由f (－4)＝f (0)得16－4b ＋c ＝c .由f (－2)＝－2，得4－2b ＋c ＝－2. 联立两方程解得：b ＝4，c ＝2.于是，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2， x ≤0，2， x >0.在同一直角坐标系内，作出函数y ＝f (x )与函数y ＝x 的图象，知它们有3个交点，进而函数亦有3个零点．3． 若方程x ＋k ＝1－x 2有且只有一个解，则k 的取值范围是( )A ．[－1,1)B ．k ＝±2C ．[－1,1]D ．k ＝2或k ∈[－1,1)答案 D解析 令y ＝x ＋k ，令y ＝1－x 2，则x 2＋y 2＝1(y ≥0)．作出图象如图：而y ＝x ＋k 中，k 是直线的纵截距，由图知：方程有一个解⇔直线与 上述半圆只有一个公共点⇔k ＝2或－1≤k <1.4． 设a ，b ，c 是单位向量，且a·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( )A ．－2 B.2－2 C ．－1D ．1－ 2答案 D解析 由于(a －c )·(b －c )＝－(a ＋b )·c ＋1，因此等价于求(a ＋b )·c 的最大值，这个最大值只有当向量a ＋b 与向量c 同向共线时取得．由于a ·b ＝0，故a ⊥b ，如图所示，|a ＋b |＝2，|c |＝1，当θ＝0时，(a ＋b )·c 取最大值2，故所求的最小值为1－ 2. 5． 当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)答案 B解析 由0<x ≤12，且log a x >4x >0，可得0<a <1，由4 ＝log a 12可得a ＝22.令f (x )＝4x ，g (x )＝log a x ， 若4x <log a x ，则说明当0<x ≤12时，f (x )的图象恒在g (x )图象的下方(如图所示)，12此时需a >22. 综上可得a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1.6． 已知P 为抛物线y ＝14x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是(2,0)，则|P A |＋|PM |的最小值是________． 答案5－1解析 如图，抛物线y ＝14x 2，即x 2＝4y 的焦点F (0,1)，记点P 在抛物线的准线l ：y ＝－1上的射影为P ′，根据抛物线的定义知， |PP ′|＝|PF |，则|PP ′|＋|PA |＝|PF |＋|P A |≥|AF |＝22＋12＝ 5.所以(|P A |＋|PM |)min ＝(|P A |＋|PP ′|－1)min ＝5－1.专题限时规范训练一、选择题1． 已知f (x )是定义在(－3,3)上的奇函数，当0<x <3时，f (x )的图象如图所示，那么不等式f (x )·cosx <0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－3，－π2∪(0,1)∪⎝⎛⎭⎫π2，3 B.⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪(0,1)∪⎝⎛⎭⎫π2，3 C ．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3)D.⎝⎛⎭⎫－3，－π2∪(0,1)∪(1,3) 答案 B解析 根据对称性画出f (x )在(－3，0)上的图象如图，结合y ＝cos x 在(－3,0)，(0,3)上函数值的正负，易知不等式f (x )cos x <0的解集是⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪(0,1)∪⎝⎛⎭⎫π2，3. 2． 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a 、b 、c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)答案 C解析 a ，b ，c 互不相等，不妨设a <b <c ， ∵f (a )＝f (b )＝f (c )，由图象可知，0<a <1,1<b <10,10<c <12. ∵f (a )＝f (b )，∴|lg a |＝|lg b |，即lg a ＝lg 1b ，a ＝1b .则ab ＝1，所以abc ＝c ∈(10,12)．3． 用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x } (x ≥0)，则f (x )的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 C解析 画出y ＝2x ，y ＝x ＋2，y ＝10－x 的图象，如图所示，观察图象，可知当0≤x ≤2，f (x )＝2x ，当2<x ≤4时，f (x )＝x ＋2，当x >4时，f (x )＝10－x ，f (x )的最大值在x ＝4时取得，为6.4． 函数f (x )＝(12)x －sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 函数f (x )＝(12)x －sin x 在区间[0,2π]上的零点个数即为方程(12)x －sin x ＝0在区间[0,2π]上解的个数．因此可以转化为两函数y ＝(12)x 与y ＝sin x 交点的个数．根据图象可得交点个数为2，即零点个数为2.5． 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)答案 C解析 ∵渐近线y ＝bax 与过焦点F 的直线l 平行，或渐近线从该位置绕原点按逆时针旋转时，直线l 与双曲线的右支有一个交点，∴ba ≥3，即c 2＝a 2＋b 2≥4a 2，∴e ≥2.6． 设a ＝sin5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则 ( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c答案 D解析 a ＝sin5π7＝sin ⎝⎛⎭⎫π－2π7 ＝sin 2π7，又π4<2π7<π2，可通过单位圆中的三角函数线进行比较：如图所示，cos 2π7＝OA ，sin 2π7＝AB ，tan 2π7＝MN ，∴cos 2π7<sin 2π7<tan 2π7，即b <a <c .7． 不等式x 2－log a x <0在x ∈(0，12)时恒成立，则a 的取值范围是( )A ．0<a <1 B.116≤a <1C ．a >1D ．0<a ≤116答案 B解析 不等式x 2－loga x <0转化为x 2<log a x ，由图形知0<a <1且 (12)2≤log a 12， ∴a ≥116，故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫116，1. 8． 函数y ＝11－x的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 D解析 令1－x ＝t ，则x ＝1－t .由－2≤x ≤4，知－2≤1－t ≤4，所以－3≤t ≤3. 又y ＝2sin πx ＝2sin π(1－t )＝2sin πt .在同一坐标系下作出y ＝1t 和y ＝2sin πt 的图象．由图可知两函数图象在[－3,3]上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称．因此这8个交点的横坐标的和为0，即t 1＋t 2＋…＋t 8 ＝0.也就是1－x 1＋1－x 2＋…＋1－x 8＝0， 因此x 1＋x 2＋…＋x 8＝8.二、填空题9． 若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，则yx的最小值是________． 答案 2解析 可行域如图所示．又yx 的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k . 由图知，过点A 的直线OA 的斜率最小．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得A (1,2)，∴k OA ＝2－01－0＝2.∴y x 的最小值为2.10．设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是__________． 答案 m ≥2－1解析 集合A 是一个圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是一个不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有|m ＋1|2＝1，又m >0，∴m ＝2－1，故m 的取值范围是m ≥2－1.11．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 a ＞1解析 设函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)和函数y ＝x ＋a .则函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点．由图象可知，当0＜a ＜1时，两函数只有一个交点，不符合；当a ＞1时，因为函数y ＝a x (a ＞1)的图象过点(0,1)，而直线y ＝x ＋a 的图象与y 轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a 的取值范围是a ＞1.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥0－2x ，x <0，则关于x 的方程f [f (x )]＋k ＝0，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有1个实根； ②存在实数k ，使得方程恰有2个不相等的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根．其中正确命题的序号是________．(把所有满足要求的命题序号都填上) 答案 ①②解析 依题意知函数f (x )>0，又f [f (x )]＝依据y ＝f [f (x )]的大致图象(如图)知，存在实数k ，使得方程f [f (x )]＋k ＝0恰有1个实根；存在实数k ，使得方程f [f (x )]＋k ＝0恰有2个不相等的实根；不存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根；不存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根．综上所述，其中正确命题的序号是①②. 三、解答题13．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx .(1)若函数y ＝f (x )在x ＝2处有极值－6，求y ＝f (x )的单调递减区间；(2)若y ＝f (x )的导数f ′(x )对x ∈[－1,1]都有f ′(x )≤2，求ba －1的范围．解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝－6.即⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a ＋b ＝0，8＋4a ＋2b ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－5x －2.由f ′(x )＜0，得－13＜x ＜2.∴y ＝f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－13，2. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝3－2a ＋b ≤2，f ′(1)＝3＋2a ＋b ≤2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －1≥0，2a ＋b ＋1≤0.不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b －1＝0，2a ＋b ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.∴Q 点的坐标为(0，－1)．设z ＝ba －1，则z 表示平面区域内的点(a ，b )与点P (1,0)连线的斜率．∵k PQ ＝1，由图可知z ≥1或z ＜－2，即b a －1∈(－∞，－2)∪[1，＋∞)．14．设关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.(1)求实数a的取值范围；(2)求α＋β的值．解方法一(1)设x＝cos θ，y＝sin θ，则由题设知，直线l：3x＋y＋a＝0与圆x2＋y2＝1有两个不同的交点A(cos α，sin α)和B(cos β，sin β)．所以原点O到直线l的距离小于半径1，即d＝||0＋0＋a(3)2＋12＝|a|2＜1，∴－2＜a＜2.又∵α、β∈(0,2π)，且α≠β.∴直线l不过点(1,0)，即3＋a≠0.∴a≠－3，即a∈(－2，－3)∪(－3，2)．(2)如图，不妨设∠xOA ＝α，∠xOB ＝－β，作OH ⊥AB ，垂足为 H ，则∠BOH ＝α－β2.∵OH ⊥AB ，∴k AB ·k OH ＝－1. ∴tan α＋β2＝33.又∵α＋β2∈(0,2π)，∴α＋β＝π3或α＋β＝7π3.方法二 (1)原方程可化为sin (θ＋π3)＝－a 2，作出函数y ＝sin (x ＋π3)(x ∈(0,2π))的图象．由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是⎩⎨⎧－1＜－a2＜1－a 2≠32，即－2＜a ＜－3或－3＜a ＜2.(2)由图知：当－3＜a ＜2，即－a 2∈⎝⎛⎭⎫－1，32时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin(x ＋π3)的图象交于C 、D 两点，它们中点的横坐标为7π6，∴α＋β2＝7π6，∴α＋β＝7π3.当－2＜a ＜－3，即－a 2∈⎝⎛⎭⎫32，1时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin(x ＋π3)的图象有两交点A 、B ，由对称性知，α＋β2＝π6，∴α＋β＝π3，综上所述，α＋β＝π3或α＋β＝7π3.。

第2讲 数形结合思想「思想方法解读」 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想体现了数与形之间的沟通与转化，它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面．数形结合的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，即将代数问题几何化、几何问题代数化．数形结合思想常用来解决函数零点问题、方程根与不等式问题、参数范围问题、立体几何模型研究代数问题，以及解析几何中的斜率、截距、距离等模型问题．热点题型探究热点1 数形结合化解方程问例1 (1)(2019·聊城市高三一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －1，x ≤0，ln xx ，x ＞0，若关于x 的方程f (x )＝x ＋a 无实根，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1B ．(－1,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e D ．(0,1)答案 B解析 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －1，x ≤0，ln xx ，x ＞0，所以关于x 的方程f (x )＝x ＋a 无实根等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 无交点，设直线y ＝x ＋a 与f (x )＝ln xx(x >0)切于点P (x 0，y 0)，由f ′(x )＝1－ln x x2，由已知得1－ln x 0x 2＝1，解得x 0＝1，则P (1,0)，则切线方程为y ＝x －1，作出函数f (x )与直线y ＝x ＋a 的图象如图所示．由图知函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 无交点时实数a 的取值范围为－1<a <0，故选B.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1x ≤0，f x －1x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)答案 C解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1x ≤0，f x －1x ＞0的图象如图所示，当a <1时，函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点，即方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根．用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数．1．(2019·天津市重点中学毕业班联考(一))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，－3≤x ≤0，2x －3，x ＞0，若方程f (x )＋|x －2|－kx ＝0有且只有三个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，3－22B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，3＋22C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－23D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，16 答案 A解析 f (x )＋|x －2|－kx ＝0有且只有三个不相等的实数根，等价于y ＝f (x )＋|x －2|与y ＝kx 的图象有三个交点，画出y ＝f (x )＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ＋2，－3≤x ≤0，x －1，0＜x ≤2，3x －5，x ＞2与y ＝kx 的图象如图，y ＝kx 与y ＝x 2＋3x ＋2相切时，k ＝3－22，y ＝kx 过(－3,2)时，k ＝－23，∴根据图象可知，－23≤k <3－22时，两函数图象有三个交点，∴若方程f (x )＋|x－2|－kx ＝0有且只有三个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，3－22，故选A. 2．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图象向右平移π8个单位后，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g (x )的图象，若g (x )＋k ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数根，则k的取值范围是( )A ．k ≤12B ．－1≤k ＜－12C ．－12＜k ≤12D ．－12＜k ≤12或k ＝－1答案 D解析 将f (x )的图象向右平移π8个单位得到h (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以g (x )＋k ＝0，即为方程sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋k ＝0.令2x －π6＝t ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以－π6≤t ≤5π6.若g (x )＋k ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数根，即g (t )＝sin t 与y ＝－k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上有且只有一个交点.如图所示，由正弦函数的图象可知－12≤－k ＜12或－k ＝1，即－12＜k ≤12或k ＝－1.热点2 数形结合化解不等式问题例2 (1)(2019·安徽省江南十校高三联考)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，z ＝xy 的最小值、最大值分别为a ，b ，且x 2－kx ＋1≥0对x ∈[a ，b ]恒成立，则k 的取值范围为( )A ．－2≤k ≤2B ．k ≤2C ．k ≥－2D ．k ≤14572答案 B解析 作出⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然z ＝xy 的最小值为0，当点(x ，y )在线段x ＋2y ＝3(0≤x ≤1)上时，z ＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 2＝－12x 2＋32x ≤1；当点(x ，y )在线段2x ＋y ＝3(0≤x ≤1)上时，z ＝xy ＝x (3－2x )＝－2x 2＋3x ≤98；即a ＝0，b ＝98；当x ＝0时，不等式x 2－kx ＋1＝1≥0恒成立，若x 2－kx ＋1≥0对x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，98恒成立，则k ≤x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，98上恒成立，又x ＋1x 在(0,1]上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1，98上单调递增， 即⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x min ＝2，即k ≤2.(2)已知关于x 的不等式x ＞ax ＋32的解集为{x |4＜x ＜b }，则ab ＝________.答案 92解析 设f (x )＝x ，g (x )＝ax ＋32(x ≥0)．因为x ＞ax ＋32的解集为{x |4＜x ＜b }，所以两函数图象在4＜x ＜b 上有f (x )＞g (x )，如图所示．当x ＝4，x ＝b 时，由f (x )＝g (x )，可得⎩⎪⎨⎪⎧4＝4a ＋32，b ＝ab ＋32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝18，b ＝36，所以ab ＝18×36＝92.数形结合思想处理不等式问题，要从题目的条件与结论出发，着重分析其几何意义，从图形上找出解题思路．因此，往往构造熟知的函数，作出函数图象，利用图象的交点和图象的位置求解不等式．1．(2019·湖南三市高三联考)设f ′(x )是函数f (x )的导函数，若f ′(x )>0，且∀x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，f (x 1)＋f (x 2)<2f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，则下列选项中不一定正确的一项是( )A ．f (2)<f (e)<f (π)B ．f ′(π)<f ′(e)<f ′(2)C ．f (2)<f ′(2)－f ′(3)<f (3)D ．f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2) 答案 C解析 因为f ′(x )>0，所以f (x )在R 上单调递增．∀x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，恒有f (x 1)＋f (x 2)<2f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，即f x 1＋f x 22<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，所以y ＝f (x )的图象是向上凸起的，如图所示．所以f (2)<f (e)<f (π)，故A 正确；因为f ′(x )反映了函数f (x )图象上各点处的切线的斜率，由图象可知，随着x 的增大，f (x )的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以f ′(π)<f ′(e)<f ′(2)，故B 正确；因为f (3)－f (2)＝f 3－f 23－2，表示点A (2，f (2))与B (3，f (3))连线的斜率，由图可知f ′(3)<k AB <f ′(2)，故D 正确；C 无法推出，故选C.2．∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，8x＜log a x ＋1恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 13≤a ＜1解析 当0＜x ＜13时，函数y ＝8x－1的图象如图中实线所示．∵∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，8x＜log a x ＋1恒成立，∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，y ＝log a x 的图象恒在y ＝8x－1的图象的上方(如图中虚线所示)．∵y＝log a x 的图象与y ＝8x－1的图象交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，a ＝13，∴13≤a ＜1.热点3 数形结合化解平面向量问题例3 (1)(2019·东北三省三校高三第二次模拟)赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)，类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF ＝2AF ，则( )A.AD →＝213AC →＋913AB →B.AD →＝29AC →＋127AB →C.AD →＝313AC →＋613AB →D.AD →＝313AC →＋913AB →答案 D解析 设DF ＝2AF ＝2，因此BD ＝AF ＝1，又由题意可得∠ADB ＝120°，所以AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD ·cos∠ADB ＝32＋12－6cos120°＝13，因此AB ＝13； 延长AD 交BC 于M ，记∠DAB ＝θ，∠AMB ＝α，则cos ∠DAB ＝AD 2＋AB 2－BD 22AD ·AB ＝9＋13－1613＝71326，所以sin ∠DAB ＝1－cos 2∠DAB ＝3926； 又由题意易知∠DAB ＝∠DBM ，则α＝120°－θ， 在三角形DBM 中，由正弦定理可得BM sin ∠MDB ＝DM sin ∠DBM ＝BDsin∠DMB，即BMsin60°＝DM sin θ＝1sin 120°－θ，因此BM ＝sin60°sin120°－θ＝3232cos θ＋12sin θ＝134＝14BC ，DM ＝sin θsin 120°－θ＝sin θ32cos θ＋12sin θ＝14，所以AD ＝33＋14AM ＝1213AM ，因为BM ＝14BC ，所以BM →＝14BC →，即AM →－AB →＝14(AC →－AB →)，整理得AM →＝34A B →＋14AC →，所以AD →＝1213AM →＝1213⎝ ⎛⎭⎪⎫34AB →＋14AC →＝913AB →＋313AC →.故选D.(2)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值为________，此时∠AOC ＝________.答案 2π3解析 由图示和题意可知，A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.设∠AOC ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，则C (cos α，sin α)．由OC →＝xOA →＋yOB →，得 ⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6.又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.建坐标系可以实现平面向量问题的全面运算，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，化繁为简，轻松破解．1．(2019·马鞍山市第二次教学质量监测)已知圆C 1，C 2，C 3是同心圆，半径依次为1,2,3，过圆C 1上点M 作C 1的切线交圆C 2于A ，B 两点，P 为圆C 3上任一点，则PA →·PB →的取值范围为( )A ．[－8，－4]B ．[0,12]C ．[1,13]D ．[4,16]答案 C解析 设同心圆的圆心为O ，由切线性质可知OM ⊥AB ，又过圆C 1上点M 作C 1的切线交圆C 2于A ，B 两点，∴OA ＝OB ＝2，OM ＝1，在Rt △OAM 中，sin ∠OAM ＝OM OA ＝12，∴∠OAB ＝∠OAM＝π6，根据OA ＝OB ＝2，可知∠OAB ＝∠OBA ＝π6，∴∠AOB ＝2π3，PA →·PB →＝(PO →＋OA →)·(PO →＋OB →)＝|PO →|2＋PO →·OB →＋OA →·PO →＋OA →·OB →＝9＋PO →·(OB →＋OA →)＋|OA →||OB →|·cos 2π3＝7－OP →·(OB →＋OA →)．∵OM ⊥AB ，OA ＝OB ，∴M 是AB 的中点，根据向量加法的几何意义得OA →＋OB →＝2OM →，代入上式得，PA →·PB →＝7－OP →·(OB →＋OA →)＝7－2OP →·OM →＝7－2|OP →||OM →|cos 〈OP →，OM →〉＝7－6cos 〈OP →，OM →〉，∵〈OP →，OM →〉∈[0，π]，∴cos 〈OP →，OM →〉∈[－1,1]，∴PA →·PB →∈[1,13]，故选C.2．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，若AB →·AC →＝2AB →·AD →，则AD →·AC →＝________.答案 12解析 解法一：因为AB →·AC →＝2AB →·AD →，所以AB →·AC →－AB →·AD →＝AB →·AD →，所以AB →·DC →＝AB →·AD →. 因为AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，所以2|AB →|＝|AB →||AD →|cos π4，化简得|AD →|＝2 2.故AD →·AC →＝AD →·(AD →＋DC →)＝|AD →|2＋AD →·DC →＝(22)2＋22×2cos π4＝12.解法二：如图，建立平面直角坐标系xAy .依题意，可设点D (m ，m )，C (m ＋2，m )，B (n,0)，其中m ＞0，n ＞0， 则由AB →·AC →＝2AB →·AD →，得(n,0)·(m ＋2，m )＝2(n,0)·(m ，m )， 所以n (m ＋2)＝2nm ，化简得m ＝2.故AD →·AC →＝(m ，m )·(m ＋2，m )＝2m 2＋2m ＝12. 热点4 数形结合化解圆锥曲线问题例4 (1)(2019·河南省高三一模)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，若双曲线的渐近线被圆M ：x 2＋y 2－10x ＝0所截得的两条弦长之和为12，已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则|sin P ||sin A －sin B |的值等于( )A.35B.73C.53D.7答案 C解析 双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ，∵双曲线的渐近线被圆M ：x 2＋y 2－10x ＝0即(x －5)2＋y 2＝25所截得的两条弦长之和为12，设圆心到渐近线的距离为d ，则d ＝25－9＝4.∴5ba 2＋b2＝4，即5b ＝4c ，b ＝45c .∵a 2＝c 2－b 2＝925c 2，∴a ＝35c ，∵A，B分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，∴|AP－BP|＝2a，根据正弦定理可得APsin B＝BPsin A＝ABsin P＝2R，∴sin B＝AP2R，sin A＝BP2R，sin P＝2c2R，∴|sin P||sin A－sin B|＝2c2R⎪⎪⎪⎪⎪⎪BP2R－AP2R ＝2c2a＝53，故选C.(2)已知A(1,1)为椭圆x29＋y25＝1内一点，F1为椭圆的左焦点，P为椭圆上一动点，求|PF1|＋|PA|的最大值和最小值．解由x29＋y25＝1可知a＝3，b＝5，c＝2，左焦点F1(－2，0)，右焦点F2(2,0)．由椭圆定义，知|PF1|＝2a－|PF2|＝6－|PF2|，∴|PF1|＋|PA|＝6－|PF2|＋|PA|＝6＋|PA|－|PF2|.如图，由||PA|－|PF2||≤|AF2|＝2－12＋0－12＝2，知－2≤|PA|－|PF2|≤ 2.当点P在AF2的延长线上的点P2处时，取右“＝”，当点P在AF2的反向延长线上的点P1处时，取左“＝”，即|PA|－|PF2|的最大、最小值分别为2，－ 2.于是|PF1|＋|PA|的最大值是6＋2，最小值是6－ 2.与圆锥曲线有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数表达式求解．但一味的强调函数观点，有时使思维陷入僵局，此时若能合理利用圆锥曲线的定义，以形助数，会使问题变得特别简单．1．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55 B.655 C.855 D.455答案 C解析 如图，设椭圆的右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′.因为|MF |＋|NF |＋|MF ′|＋|NF ′|≥|MF |＋|NF |＋|MN |，所以当直线x ＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大．此时|MN |＝2b 2a ＝855，又c ＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以此时△FMN 的面积S ＝12×2×855＝855.故选C.2．(2019·四川省成都市第七中学高三下学期三诊)已知双曲线C ：x 2a2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 由双曲线方程x 2a2－4y 2＝1(a >0)可得，双曲线的右顶点为(a,0)，渐近线方程为y ＝±12a x ，即x ±2ay ＝0.∵双曲线的右顶点到渐近线的距离等于34，∴a 1＋4a 2＝34，解得a 2＝34，∴双曲线的方程为4x 23－4y 2＝1， ∴双曲线的焦点为(1,0)．又抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，∴p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，焦点坐标为F (1,0)．如图，设点M 到直线l 1的距离为|MA |，到直线l 2的距离为|MB |，则|MB |＝|MF |，∴|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MF |.结合图形可得当A ，M ，F 三点共线时，|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MF |最小，且最小值为点F 到直线l 1的距离d ＝|4×1＋6|42＋32＝2.故选B.第3讲 分类与整合的思想「思想方法解读」分类与整合的思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的基础问题，通过对基础问题的解答，解决原问题的思维策略．实质上就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略，使用分类与整合思想应明白这样几点：一是引起分类整合的原因；二是分类中整合的原则，不重不漏，分类标准统一；三是明确分类整合的步骤；四是将各类情况总结归纳．常见的分类整合问题有以下几种：(1)由概念引起的分类整合；(2)由性质、定理、公式的限制条件引起的分类整合；(3)由数学运算引起的分类整合；(4)由图形的不确定性引起的分类整合；(5)由参数的变化引起的分类整合．热点题型探究热点1 公式、定理的分类整合法例1 (1)(2019·开封市高三第三次模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，且x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫11π36，17π36，|f (x )|<1，则ω的最大值为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2答案 C解析 因为x ＝－π4为f (x )的零点，所以－π4ω＋φ＝k 1π(k 1∈Z )，①因为x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，所以π4ω＋φ＝k 2π＋π2(k 2∈Z )，②①＋②，得2φ＝(k 1＋k 2)π＋π2，得φ＝k 1＋k 2π2＋π4，因为|φ|≤π2，得φ＝±π4.②－①，得π2ω＝(k 2－k 1)π＋π2，所以ω＝2(k 2－k 1)＋1＝2n ＋1(n ∈Z )． 当ω＝5时，如果f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5x ＋π4，令5x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，所以x ＝k π5＋π20，k ∈Z ，当k ＝2时，x ＝9π20∈⎝ ⎛⎭⎪⎫11π36，17π36，与已知不符． 如果f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5x －π4，令5x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，所以x ＝k π5＋3π20，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝7π20∈⎝ ⎛⎭⎪⎫11π36，17π36，与已知不符． 当ω＝3时，如果f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，令3x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，所以x ＝k π3＋π12，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝5π12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫11π36，17π36，与已知不符． 如果f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4，令3x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，所以x ＝k π3＋π4(k ∈Z )∉⎝ ⎛⎭⎪⎫11π36，17π36，与已知相符．故选C.(2)(2019·上海市嘉定(长宁)区高三第二次质量调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝log 2(x ＋a )．若对于任意x ∈[0,1]，都有f ⎝⎛⎭⎪⎫－x 2＋tx ＋12≥1－log 23，则实数t 的取值范围为________．答案 [0,3]解析 由题意，f (x )为周期为4的函数，且是奇函数.0在函数定义域内，故f (0)＝0，得a ＝1，所以当0≤x ≤1时，f (x )＝log 2(x ＋1)，当x ∈[－1,0]时，－x ∈[0,1]，此时f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x ＋1)，又f (x ＋2)＝－f (x )＝f (－x )，所以f (x )以x ＝1为对称轴，且当x ∈[－1,1]时，f (x )单调递增；当x ∈[1,3]时，f (x )单调递减．易知当x ∈[2,3]时，f (x )＝－log 2(x －1)．当x ∈[－1,3]时，令f (x )＝1－log 23，得x ＝－12或x ＝52，所以在[－1,3]内，当f (x )≥1－log 23时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52. 设g (x )＝－x 2＋tx ＋12，若对于x ∈[0,1]都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋tx ＋12≥1－log 23，因为g (0)＝12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52.故g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52.①当t2＜0时，g (x )在[0,1]上单调递减，故g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤t －12，12⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52，得t ≥0，无解． ②当0≤t ≤1，即0≤t 2≤12时，此时g ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2最大，g (1)最小，即g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤t －12，t 24＋12⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52.解得t ∈[0,1]．③当1＜t ≤2，即12＜t 2≤1时，此时g (0)最小，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2最大，即g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，t 24＋12⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52.解得t ∈(1,2]．④当t ＞2时，即t2>1，故g (x )在[0,1]上单调递增， 故g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，t －12⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52.解得t ∈(2,3]．综上，t ∈[0,3]．(3)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝1.则数列{a n }的通项公式是________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2解析 ①当n ＝1时，由已知可得a 1＝2a 2， 即a 2＝12a 1＝12.②当n ≥2时，由已知S n ＝2a n ＋1(n ∈N *)， 可得S n －1＝2a n (n ≥2，n ∈N *)，两式相减得a n ＝2a n ＋1－2a n ⇒2a n ＋1＝3a n ， 即a n ＋1a n ＝32，所以数列{a n }从第二项开始成一个首项为a 2＝12，公比为32的等比数列，故当n ≥2，n ∈N*时有a n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2.解决由概念、法则、公式引起的分类整合问题的步骤第一步：确定需分类的目标与对象，即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标．第二步：根据公式、定理确定分类标准．运用公式、定理对分类对象进行区分． 第三步：分类解决“分目标”问题．对分类出来的“分目标”分别进行处理． 第四步：汇总“分目标”．将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理．1．(2019·新疆维吾尔族自治区检测)已知x∈R ，sin x －3cos x ＝5，则tan2x ＝( ) A.43 B.34 C ．－34D ．－43答案 A解析 由sin x －3cos x ＝5及sin 2x ＋cos 2x ＝1，得(5＋3cos x )2＋cos 2x ＝1.即5cos 2x ＋35cos x ＋2＝0，cos x ＝－255或cos x ＝－55，所以当cos x ＝－255时，sin x ＝－55，tan x＝12，tan2x ＝2×121－14＝43；当cos x ＝－55时，sin x ＝255，tan x ＝－2，tan2x ＝2×－21－4＝43.所以tan2x ＝43，故选A.2．(2019·云南高三第一次统考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝2π3，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，BD ＝2，则△ABC 的面积的最小值为( ) A ．3 3 B ．4 3 C ．5 3D ．6 3答案 B解析 设A ＝α，则0<α<π3，C ＝π－2π3－α＝π3－α，∵∠ABC ＝2π3，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，BD ＝2，∴∠ABD ＝∠CBD ＝π3.在△ABD 中，∠ADB ＝π－π3－α＝2π3－α，由正弦定理可得ABsin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－α＝BDsin α，∴AB ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－αsin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αsin α.在△CBD 中，∠CDB ＝π3＋α，由正弦定理可得BC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝BD sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α，∴BC ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α.∴△ABC 的面积S ＝12AB ·BC ·sin 2π3＝34×2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αsin α×2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝32·1＋12cos2α＋32sin2α14cos2α＋34sin2α－14 ＝32·22＋cos2α＋3sin2α3sin2α＋cos2α－1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋63sin2α＋cos2α－1＝322＋62sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6－1∵0<α<π3，∴π6<2α＋π6<5π6，∴12<sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6≤1，∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝1时，即α＝π6时，△ABC 的面积S 最小，最小值为32×(2＋6)＝43，故选B.3．已知锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b 是12，2的等比中项，c 是1,5的等差中项，则a 的取值范围是________．答案 (22，10)解析 因为b 是12，2的等比中项，所以b ＝12×2＝1； 因为c 是1,5的等差中项，所以c ＝1＋52＝3.因为△ABC 为锐角三角形，①当a 为最大边时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋32－a 2＞0，a ≥3，1＋3＞a ，解得3≤a ＜10；②当c 为最大边时，有⎩⎪⎨⎪⎧12＋a 2－32＞0，a ＋1＞3，a ≤3，解得22＜a ≤3.由①②得22<a <10，所以实数a 的取值范围是(22，10)． 热点2 位置关系的分类整合法例2 (1)(2019·兰州一模)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)答案 A解析 如图，设DE 是椭圆的短轴，利用动态分析，或过A ，D ，B 作圆F ，根据圆周角定理，易知∠AMB ≤∠ADB .若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则∠ADB ≥120°，所以|OB ||OD |＝tan∠ODB ≥tan60°＝ 3.当焦点在x 轴上时，|OB |＝3，|OD |＝m ，3m≥3，解得0<m ≤1；当焦点在y 轴上时，|OB |＝m ，|OD |＝3，m3≥ 3，解得m ≥9.故m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)，选A.(2)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤4，x －2y ≤2，如果目标函数z ＝x ＋ay 的最大值为163，则实数a 的值为( )A ．3 B.143 C ．3或143D ．3或－113答案 D解析 先画出线性约束条件所表示的可行域，如图中阴影部分所示，目标函数化为y ＝－1a x ＋1a z ，当a >0时，－1a＜0，只需目标函数截距最大．①若－12＜－1a <0，即a >2，最优解为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，z ＝43＋43a ＝163，a ＝3，符合题意；②若－1a ＜－12，即0<a <2，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12， z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意，舍去．当a <0时，－1a>0，只需目标函数截距最小．③若0<－1a <12，即a <－2，最优解为C (－2，－2)，z ＝－2－2a ＝163，a ＝－113，符合题意；④若12<－1a <1，即－2<a <－1，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，此时a ＝143，不符合题意，舍去． ⑤若－1a >1，即－1<a <0，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12， z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意，舍去；综上可知实数a 的值为3或－113.故选D.六类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类整合(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．1．(2019·山西太原第五中学阶段检测)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，且z ＝ax ＋3y 的最小值为7，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－1答案 B解析 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3作出可行域如图中阴影部分所示，联立方程组求得A (2,1)，B (4,5)，C (1,2)，化目标函数z ＝ax ＋3y 为y ＝－a 3x ＋z3.当a ＞0时，由图可知，当直线y ＝－a 3x ＋z3过A 或C 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值．若过A ，则2a ＋3＝7，解得a ＝2，符合题意；若过C ，则a ＋6＝7，解得a ＝1不符合题意．当a ＜0时，由图可知，当直线y ＝－a 3x ＋z3过A 或B 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值．若过A ，则2a ＋3＝7，解得a ＝2，不符合题意；若过B ，则4a ＋15＝7，解得a ＝－2，不符合题意．所以a 的值为2.故选B.2．如图，M ，N 是焦点为F 的抛物线y 2＝4x 上的两个不同的点，且线段MN 的中点A 的横坐标为3，直线MN 与x 轴交于B 点，则点B 的横坐标的取值范围是( )A ．(－3,3]B ．(－∞，3]C ．(－6，－3)D ．(－6，－3)∪(－3,3]答案 A解析 ①若直线MN 的斜率不存在，则点B 的坐标为(3,0)．②若直线MN 的斜率存在，设A (3，t )(t ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2(y 1＋y 2)＝4，即k MN ＝2t ，∴直线MN 的方程为y －t ＝2t(x －3)，∴点B 的横坐标x B ＝3－t 22，由⎩⎨⎧y －t ＝2t x －3，y 2＝4x消去x ，得y 2－2ty ＋2t 2－12＝0，由Δ>0得t 2<12，又t ≠0，∴x B ＝3－t 22∈(－3，3)．综上，点B 的横坐标的取值范围为(－3，3]．热点3 含参数问题的分类整合法例3 (2019·石家庄市第二中学高三模拟)函数f (x )＝1e ·e x －ax －1e(a 为常数)的图象与x 轴有唯一公共点M .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若a ＝－2，存在不相等的实数x 1，x 2，满足f (x 1)＝－f (x 2)，证明：x 1＋x 2<0. 解 (1)函数f (x )的定义域为R ，且f (0)＝0， 由题意可知，曲线f (x )与x 轴存在公共点M (0,0)， 又f ′(x )＝ex －1－a ，若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )单调递增； 若a >0，由f ′(x )＝0得x ＝1＋ln a ，当x ∈(－∞，1＋ln a )时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(1＋ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ①当1＋ln a ＝0，即a ＝1e 时，f (x )的极小值为f (0)＝0，曲线f (x )与x 轴只有一个公共点，符合题意；②当1＋ln a >0，即a >1e 时，由基本结论“x >0时，e x >x 2”，a ＋2>a >1＋ln a .知f (a ＋2)＝ea ＋1－a (a ＋2)－1e>(a ＋1)2－a 2－2a －1＝0，又f (1＋ln a )<f (0)＝0.由零点存在定理知，此时的函数f (x )在区间(1＋ln a ，a ＋2)上有一个零点， 这与函数f (x )的图象与x 轴有唯一公共点矛盾，舍去；③当1＋ln a <0，即0<a <1e 时，设m (a )＝1＋ln a ＋1a e ，m ′(a )＝a e －1a 2e <0，则m (a )>m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1>0，即1＋ln a >－1a e ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a e ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a a e －1e＝e >0.又f (1＋ln a )<f (0)＝0.由零点存在定理知，此时函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a e ，1＋ln a 上有一个零点，这与函数f (x )的图象与x 轴有唯一公共点矛盾，舍去；综上所述，当a ＝1e 时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)．当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间．利用分类整合思想的注意点(1)分类整合要标准统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”．(2)分类整合时要先根据题设条件确定讨论的级别，再确定每级讨论的对象与标准，每级讨论中所分类别应做到与前面所述不重不漏，最后将讨论结果归类合并，其中级别与级别之间有严格的先后顺序、类别和类别之间没有先后；最后整合时要注意是取交集、并集，还是既不取交集也不取并集只是分条列出．(2019·湖南省高三六校联考)已知函数f (x )＝e x，g (x )＝ax 2＋x ＋1(a >0)． (1)设F (x )＝g xf x，讨论函数F (x )的单调性；(2)若0<a ≤12，证明：f (x )>g (x )在(0，＋∞)上恒成立．解 (1)F (x )＝g x f x ＝ax 2＋x ＋1ex， F ′(x )＝－ax 2＋2a －1xex＝－ax ⎝⎛⎭⎪⎫x －2a －1a ex.①若a ＝12，F ′(x )＝－x22e x ≤0，∴F (x )在R 上单调递减． ②若a >12，则2a －1a>0，当x <0或x >2a －1a 时，F ′(x )<0，当0<x <2a －1a时，F ′(x )>0，∴F (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎪⎫2a －1a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a －1a 上单调递增．③若0<a <12，则2a －1a <0，当x <2a －1a 或x >0时，F ′(x )<0，当2a －1a <x <0时，F ′(x )>0.∴F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a －1a ，(0，＋∞)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －1a ，0上单调递增．(2)证明：∵0<a ≤12，∴ax 2＋x ＋1≤12x 2＋x ＋1.设h (x )＝e x －12x 2－x －1，则h ′(x )＝e x－x －1.设p (x )＝h ′(x )＝e x－x －1，则p ′(x )＝e x－1，在(0，＋∞)上，p ′(x )>0恒成立．∴h ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又∵h ′(0)＝0，∴x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0， ∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴h (x )>h (0)＝0，∴e x －12x 2－x －1>0，e x >12x 2＋x ＋1，∴e x >12x 2＋x ＋1≥ax 2＋x ＋1，∴f (x )>g (x )在(0，＋∞)上恒成立．第4讲 转化与化归的思想「思想方法解读」 转化与化归思想是指在研究解决数学问题时，采用某种手段将问题通过转化，使问题得以解决的一种思维策略，其核心是把复杂的问题化归为简单的问题，将较难的问题化归为较容易求解的问题，将未能解决的问题化归为已经解决的问题． 常见的转化与化归思想应用具体表现在：将抽象函数问题转化为具体函数问题，立体几何和解析几何中一般性点或图形问题转化为特殊点或特殊图形问题，以及“至少”或“是否存在”等正向思维受阻问题转化为逆向思维问题，空间与平面的转化，相等问题与不等问题的转化等．热点题型探究热点1 特殊与一般的转化例1 (1)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q等于( )A ．2a B.12a C ．4a D.4a答案 C解析 抛物线y ＝ax 2(a >0)的标准方程为x 2＝1a y (a >0)．焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，取过焦点F 的直线垂直于y 轴，则|PF |＝|QF |＝12a ，所以1p ＋1q＝4a .(2)在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝12，|AD →|＝8.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( )A ．20B ．15C ．36D ．6答案 C解析 解法一：由BM →＝3MC →，DN →＝2NC →知，点M 是BC 的一个四等分点，且BM ＝34BC ，点N是DC 的一个三等分点，且DN ＝23DC ，所以AM →＝AB →＋34AD →，AN →＝AD →＋DN →＝AD →＋23AB →，所以NM →＝AM →－AN →＝AB →＋34AD →－⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋23AB →＝13AB →－14AD →，所以AM →·NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－14AD →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－34AD →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →2－916AD →2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫144－916×64＝36，故选C. 解法二：不妨设∠DAB 为直角，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．则M (12,6)，N (8,8)，所以AM →＝(12,6)，NM →＝(4，－2)，所以AM →·NM →＝12×4＋6×(－2)＝36，故选C.一般问题特殊化，使问题处理变的直接、简单；特殊问题一般化，可以把握问题的一般规律，使我们达到成批处理问题的效果．对于客观题，当题设条件提供的信息在普通条件下都成立或暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，可以快捷地得到答案．1．(2019·甘青宁高三3月联考)若函数f (x )＝1＋x 3，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4答案 A解析 ∵f (x )＝1＋x 3，∴f (－x )＋f (x )＝2， ∵lg 12＝－lg 2，∴f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝2，故选A. 2．(2019·济南市高三3月模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 3－12x 2，x ＜0，e x ，x ≥0，则f (3－x 2)>f (2x )的解集为( )A ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)B ．(－3,1)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－1,3) 答案 B解析 当x <0时，f (x )＝13x 3－12x 2，f ′(x )＝x 2－x ，∵x <0，∴f ′(x )>0，f (x )单调递增，且x →0时，f (x )→0，∴f (x )<0；当x ≥0时，f (x )＝e x单调递增，且f (x )≥f (0)＝1.因此可得f (x )在整个定义域上单调递增，∴f (3－x 2)>f (2x )可转化为3－x 2>2x .解得－3<x <1，故选B. 热点2 函数、方程、不等式间的转化例 2 (1)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，∃x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0]D ．[0，＋∞)答案 C解析 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3时，f (x )≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时等号成立，此时f (x )min＝4.当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a .依题意f (x )min ≥g (x )min ，∴a ≤0.选C.(2)(2019·河南十所名校高三第二次联考)已知函数f (x )＝ax (x 2－1)＋x (a >0)，方程f [f (x )]＝b 对于任意b ∈[－1,1]都有9个不等实根，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(4，＋∞)答案 D解析 ∵f (x )＝ax (x 2－1)＋x (a >0)，∴f ′(x )＝3ax 2＋(1－a )．若a ≤1，则f ′(x )≥0，f (x )单调递增，此时方程f [f (x )]＝b 不可能有9个不等实根，故a >1.令f ′(x )＝0，得x ＝±a －13a ，不妨令x 1＝－a －13a ，x 2＝a －13a.∵当a >1时，a －1<3a ， ∴－1<x 1<0，0<x 2<1.f (－x )＝a (－x )·[(－x )2－1]＋(－x )＝－[ax (x 2－1)＋x ]＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，又函数f (x )过定点(1,1)，(－1，－1)和(0,0)，则作出函数f (x )的大致图象如图所示．令f (x )＝t ，方程f (t )＝b 对于任意b ∈[－1,1]都有9个不等实根，即方程f (x )＝t 1，f (x )＝t 2，f (x )＝t 3，一共有9个不等实根，∴f (x )在极小值点处的函数值小于－1，即f ⎝⎛⎭⎪⎫a －13a ＝23(1－a ) a －13a<－1，即(a －4)(2a ＋1)2>0，解得a >4，故实数a 的取值范围为(4，＋∞)．故选D.函数、方程与不等式相互转化的应用函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式之间的转化可以将问题化繁为简，常常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题；将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题，将方程的求解问题转化为函数的零点问题．1．(2019·安徽马鞍山二次质检)已知函数f (x )＝x ＋(2－kx )e x(x >0)，若f (x )>0的解集为(a ，b )，且(a ，b )中恰有两个整数，则实数k 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e 2 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 4＋12，1e 3＋23C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 3＋23，1e 2＋1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e2＋1，1e ＋2答案 C解析 f (x )＝x ＋(2－kx )e x >0⇒x >(kx －2)e x⇒x e x >kx －2，设g (x )＝xe x (x >0)，h (x )＝kx －2，问题就转化为在(a ，b )内，g (x )>h (x )，且(a ，b )中恰有两个整数．先研究函数g (x )的单调性，g ′(x )＝1－xe x (x >0)，当x >1时，g ′(x )<0，所以函数g (x )在(1，＋∞)上单调递减；当0<x <1时，g ′(x )>0，所以函数g (x )在(0,1)上单调递增，所以g (x )max ＝g (1)＝1e.注意到g (0)＝0，当x >0时，g (x )>0.h (x )＝kx －2，恒过(0，－2)，要想在(a ，b )内，g (x )>h (x )，且(a ，b )中恰有两个整数，必须要满足以下两个条件：⎩⎪⎨⎪⎧g2＞h 2，g 3≤h 3⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＜1e 2＋1，k ≥1e 3＋23⇒1e 3＋23≤k ＜1e2＋1，故选C. 2．已知a ＝13ln 94，b ＝45ln 54，c ＝14ln 4，则( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a答案 B解析 a ＝13ln 94＝13ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝23ln 32＝ln 3232，b ＝45ln 54＝ln 5454，c ＝14ln 4＝14×2ln 2＝ln 22. 故构造函数f (x )＝ln x x ，则a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，c ＝f (2)． 因为f ′(x )＝1－1·ln x x 2＝1－ln xx2， 由f ′(x )＝0，解得x ＝e.故当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，e]上单调递增； 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＜0，函数f (x )在[e ，＋∞)上单调递减．因为54＜32＜2＜e ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f (2)，即b ＜a＜c ，故选B.热点3 正难则反的转化例3 (1)(2019·湖南邵阳高三10月大联考)若命题“∃x 0∈R ，x 20＋2mx 0＋m ＋2<0”为假命题，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C ．[－1,2]D ．(－1,2)答案 C解析 若命题“∃x 0∈R ，x 20＋2mx 0＋m ＋2<0”为假命题，则命题等价于∀x ∈R ，x 2＋2mx ＋m ＋2≥0恒成立，故只需要Δ＝4m 2－4(m ＋2)≤0⇒－1≤m ≤2.故选C.(2)已知函数f (x )＝ax 2－x ＋ln x 在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 解析 f ′(x )＝2ax －1＋1x.(ⅰ)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，则f ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x ≥0，得a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.① 令t ＝1x ，因为x ∈(1,2)，所以t ＝1x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.设h (t )＝12(t －t 2)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋18，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，显然函数y ＝h (t )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，所以h (1)＜h (t )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即0＜h (t )＜18.由①可知，a ≥18.(ⅱ)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，则f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x ≤0，得a ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.② 结合(ⅰ)可知，a ≤0.综上，若函数f (x )在区间(1,2)上单调，则实数a 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞.所以若函数f (x )在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.正与反的转化法正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．1．若抛物线y ＝x 2上的所有弦都不能被直线y ＝k (x －3)垂直平分，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞答案 D解析 当k ＝0时，显然符合题意．当k ≠0时，设抛物线y ＝x 2上两点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)关于直线y ＝k (x －3)对称，AB 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 21＋x 222.由题设知x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，所以x 1＋x 22＝－12k .又AB 的中点P (x 0，y 0)在直线y ＝k (x －3)上，所以x 21＋x 222＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－3＝－6k ＋12，所以中点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ，－6k ＋12.由于点P 在y >x 2的区域内，则－6k ＋12>⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 2，整理得(2k ＋1)(6k 2－2k ＋1)<0，解得k <－12.因此当k <－12时，抛物线y ＝x 2上存在两点关于直线y ＝k (x －3)对称，于是当k ≥－12时，抛物线y ＝x 2上不存在两点关于直线y ＝k (x －3)对称．所以实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞.故选D. 2．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )＞0，则实数p 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32解析 若在区间[－1,1]内不存在c 满足f (c )＞0，因为Δ＝36p 2≥0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f －1≤0，f 1≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.所以p ≤－3或p ≥32，取补集得－3＜p ＜32，即满足题意的实数p 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32.热点4 形体位置关系的转化例4 (1)(2019·延安市高考模拟)正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 折叠，使点B与点C 间的距离为3，则四面体ABCD 外接球的表面积为( )A ．6πB ．7πC ．8πD ．9π答案 B解析 根据题意可知四面体ABCD 的三条侧棱BD ⊥AD ，DC ⊥DA ，底面△BDC 是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，在三棱柱底面△BDC 中，BD ＝CD ＝1，BC ＝3，∴∠BDC ＝120°，∴△BDC 的外接圆的半径为12×3sin120°＝1，由题意可得，球心到底面的距离为12AD ＝32，∴球的半径为r ＝34＋1＝72.故外接球的表面积为4πr 2＝7π，故选B. (2)(天津市滨海新区2020届高三摸底考试)如图所示，已知多面体ABCDEFG 中，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1，则该多面体的体积为________．答案 4解析 解法一：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C 作CH ⊥DG 于H ，连接EH ，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH －ABC 和一个斜三棱柱BEF －CHG .由题意，知V 三棱柱DEH －ABC ＝S △DEH ·AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2＝2，V 三棱柱BEF －CHG ＝S △BEF ·DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2＝2.故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEFG ＝2＋2＝4.解法二：(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为。

2021年高考数学二轮复习 函数与方程思想，数形结合思想一、选择题1．(文)(xx·广东广州高三综合测试)已知非空集合M 和N ，规定M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，那么M －(M －N )等于( )A ．M ∪NB ．M ∩NC ．MD ．N【解析】 如图(1)为M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，则图(2)为M －(M －N )，特别的，当N ⊆M 时，图(3)为M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，则图(4)为M －(M －N )，∴M －(M －N )＝M ∩N .【答案】 B(理)(2)(xx·广东广州高三综合测试)任取实数a 、b ∈[－1,1]，则a 、b 满足|a －2b |≤2的概率为( )A.18B.14C.34D.78【解析】 建立如图所示的坐标系，∵|a －2b |≤2，∴－2≤a －2b ≤2，即为图中阴影部分，∴|a －2b |≤2的概率为S 阴影S 正方形＝78.【答案】 D 2．(xx·浙江十二校联考)若椭圆C ：x 29＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【解析】 因为|PF 1|＝4，所以|PF 2|＝2，又|F 1F 2|＝27，根据余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝－12，所以∠F 1PF 2＝120°.选C.【答案】 C3．(xx·福建厦门质检)已知x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－4≥0，x＋2y－7≤0，ax－y－2≤0且x2＋y2的最小值为8，则正实数a的取值范围是( )A．(0,2] B．[2,5]C．[3，＋∞) D．(0,5]【解析】画出⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－4≥0x＋2y－7≤0，表示的平面区域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－4＝0，x＋2y－7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝1，y＝3.∴A点的坐标为(1,3)，z＝x2＋y2表示可行域上的点到原点距离的平方，∴原点到直线x＋y＝4的距离d＝42＝22，∴d2＝8，过点O作OB垂直于直线x＋y＝4，垂足为B，由⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－4＝0，y＝x，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝2，y＝2.∴B点的坐标为(2,2)，且|OB|2＝8，∴可行域内必含有点(2,2)，当直线y＝ax－2过点(2,2)时，2＝2a－2，解得a＝2，观察图象知，0<a≤2.故选A.【答案】 A4．若方程sin2x＋2sin x＋a＝0有解，则实数a的取值范围是( )A．[－3,1] B．(－∞，1]C．[1，＋∞) D．[－1,1]【解析】由sin2x＋2sin x＋a＝0得sin2x＋2sin x＝－a.令f(x)＝sin2x＋2sin x，∴f(x)＝(sin x＋1)2－1.∴－1≤f(x)≤3，∴－1≤－a≤3，即－3≤a≤1.故选A.【答案】 A5．(xx·四川成都诊断)已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x－1|－1，0<x≤2，12f x－2，x>2，则关于x的方程6[f(x)]2－f(x)－1＝0的实数根的个数为( )A．3 B．7 C．8 D．9【解析】由题意，当x>0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x·2－1，0<x<1，2x·12－1，1≤x≤2，12f x－2，x>2，此时f(x)∈[0,1]．又f(x)为R上的奇函数，∴f(x)的值域为[－1,1]．令f(x)＝t，t∈[－1,1]，∵6[f(x)]2－f(x)－1＝0，∴6t2－t－1＝0，则t＝12或t＝－13.当t＝12时，结合图象知在x∈(0,2]上有2个根，在x∈(2,4]上有1个根；当t＝13时，结合图象知在[0,4]上有4个根，又f (x )是奇函数，所以当t ＝－13时，在[0,4]上有4个根．综上，方程的实数根个数为7.【答案】 B 二、填空题6．(xx·东北三校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 21－x ＋1，－1≤x <0，x 3－3x ＋2，0≤x ≤a ，的值域是[0,2]，则实数a 的取值范围是________．【解析】 先作出函数f (x )＝log 2(1－x )＋1，－1≤x <0的图象，再研究f (x )＝x 2－3x＋2,0≤x ≤a 的图象．令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝1(x ＝－1舍去)，由f ′(x )>0得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1.∴当x ＝1时，f (x )在0≤x ≤a 有最小值f (1)＝0，又f (3)＝2.∴1≤a ≤ 3.【答案】 [1，3]7．(xx·福建福州质检)若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，f (2－x )＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，其图象是四分之一圆(如图所示)，则函数H (x )＝|x e x|－f (x )在区间[－3,1]上的零点个数为________．【解析】 ∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数，又∴f (2－x )＝f (x )，∴f (2－x )＝f (－x )，∴2是函数f (x )的周期．令g (x )＝|x e x |，当x ≥0时，g (x )＝x e x 单调递增；当x <0时，g (x )＝－x e x ，∴g ′(x )＝－(e x ＋x e x )＝－(1＋x )e x ，令g ′(x )＝0得x ＝－1，g (－1)＝e －1＝1e，函数f (x )与g (x )的图象如图所示，观察图象可知，f (x )与g (x )的图象有4个交点，即函数H (x )＝|x e x|－f (x )在区间[－3,1]上的零点个数为4.【答案】 4 8．(xx·山东高考)已知函数y ＝f (x )(x ∈R )．对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．【解析】 由题意：f (x )＝h x ＋g x2，∴h (x )＝2f (x )－g (x )， ∵h (x )>g (x )恒成立， ∴2f (x )－g (x )>g (x )． ∴2f (x )>2g (x )， 即f (x )>g (x )恒成立作出y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象，则圆心O 到直线y ＝3x ＋b 的距离大于2. ∴|b |10>2，∴|b |>210，又b >0，∴b >210.【答案】 (210，＋∞) 三、解答题9．(xx·江西南昌一模)已知函数f (x )＝ln x ＋x 2－ax (a 为常数)． (1)若x ＝1是函数f (x )的一个极值点，求a 的值； (2)当0<a ≤2时，试判断f (x )的单调性； (3)若对任意的a ∈(1,2)，x 0∈[1,2]，不等式f (x 0)>m ln a 恒成立，求实数m 的取值范围．【解】 f ′(x )＝1x＋2x －a .(1)由已知得：f ′(1)＝0，所以1＋2－a ＝0，所以a ＝3. (2)当0<a ≤2时，f ′(x )＝1x ＋2x －a ＝2x 2－ax ＋1x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 42＋1－a 28x.因为0<a ≤2，所以1－a 28>0，而x >0，即f ′(x )＝2x 2－ax ＋1x>0，故f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)当a ∈(1,2)时，由(2)知，f (x )在[1,2]上的最小值为f (1)＝1－a ，故问题等价于：对任意的a ∈(1,2)，不等式1－a >m ln a 恒成立，即m <1－aln a恒成立．记g (a )＝1－a ln a (1<a <2)，则g ′(a )＝－a ln a －1＋aa ln 2a，令M (a )＝－a ln a －1＋a ，则M ′(a )＝－ln a <0， 所以M (a )在(1,2)上单调递减，所以M (a )<M (1)＝0， 故g ′(a )<0，所以g (a )＝1－aln a 在a ∈(1,2)上单调递减，所以m ≤g (2)＝1－2ln 2＝－log 2e ，即实数m 的取值范围为(－∞，－log 2e]．10．(xx·湖北八市联考)定义在R 上的函数g (x )及二次函数h (x )满足：g (x )＋2g (－x )＝e x＋2ex －9，h (－2)＝h (0)＝1且h (－3)＝－2.(1)求g (x )和h (x )的解析式；(2)对于x 1，x 2∈[－1,1]，均有h (x 1)＋ax 1＋5≥g (x 2)－x 2g (x 2)成立，求a 的取值范围；(3)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧gx ，x >0，h x ，x ≤0，讨论方程f [f (x )]＝2的解的个数情况．【解】 (1)∵g (x )＋2g (－x )＝e x＋2ex －9，①∴g (－x )＋2g (x )＝e －x ＋2e －x －9，即g (－x )＋2g (x )＝2e x＋1e x －9，②由①②联立解得：g (x )＝e x－3.∵h (x )是二次函数，且h (－2)＝h (0)＝1，可设h (x )＝ax (x ＋2)＋1， 由h (－3)＝－2，解得a ＝－1，∴h (x )＝－x (x ＋2)＋1＝－x 2－2x ＋1，∴g (x )＝e x －3，h (x )＝－x 2－2x ＋1，(2)设φ(x )＝h (x )＋ax ＋5＝－x 2＋(a －2)x ＋6，F (x )＝g (x )－xg (x )＝e x －3－x (e x －3)＝(1－x )e x ＋3x －3， 依题意知：当－1≤x ≤1时，φ(x )min ≥F (x )max .∵F ′(x )＝－e x ＋(1－x )e x ＋3＝－x e x＋3，在[－1,1]上单调递减， ∴F ′(x )min ＝F ′(1)＝3－e>0，∴F (x )在[－1,1]上单调递增，∴F (x )max ＝F (1)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧φ－1＝7－a ≥0，φ1＝a ＋3≥0， 解得：－3≤a ≤7，∴实数a 的取值范围为[－3,7]．(3)f (x )的图象如图所示：令T ＝f (x )，则f (T )＝2.∴T ＝－1或T ＝ln 5，∴f (x )＝－1有2个解，f (x )＝ln 5有3个解．∴f [f (x )]＝2有5个解．40159 9CDF 鳟1w932291 7E23 縣25231 628F 抏20151 4EB7 亷34523 86DB 蛛29974 7516 甖29527 7357 獗C25593 63F9 揹22106565A 噚28272 6E70 湰4。

二、数形结合思想方法一 函数图象数形沟通法 模型解法函数图象数形沟通法，即通过函数图象来分析和解决函数问题的方法，对于高中数学函数贯穿始终，因此这种方法是最常用的沟通方法．破解此类题的关键点：①分析数理特征，一般解决问题时不能精确画出图象，只能通过图象的大概性质分析问题，因此需要确定能否用函数图象解决问题．②画出函数图象，画出对应的函数、转化的函数或构造函数的图象． ③数形转化，这个转化实际是借助函数图象将难以解决的数理关系明显化． ④得出结论，通过观察函数图象得出相应的结论．典例1 设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0.则函数y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8解析 ∵当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1，f (x )是最小正周期为2π的偶函数， ∴当x ∈[－3π，3π]时，0≤f (x )≤1.∵当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )为单调减函数；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，f (x )为单调增函数， ∵当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1，定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝f (x )的草图如图，由图知y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为6，故选C. 答案 C思维升华 由函数图象的变换能较快画出函数图象，应该掌握平移(上下左右平移)、翻折(关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转化法与函数解析式的关系．跟踪演练1 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解之和为( )A ．－7B ．－6C ．－3D ．－1答案 A解析 因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2，如图，在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象，由图知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的实数解有7个．不妨设7个解中x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7，故选A. 方法二 几何意义数形沟通法 模型解法几何意义数形沟通法即在解决问题的过程中对题目中的一些代数式进行几何意义分析，将其转化为与几何结构相关的问题，通过解决几何问题达到解决代数问题的目的．此方法适用于难以直接解决的抽象问题，可利用图形使其直观化，再通过图形的性质快速解决问题．破解此类题的关键点：①分析特征，一般从图形结构、性质等方面分析代数式是否具有几何意义． ②进行转化，把要解决的代数问题转化为几何问题．③得出结论，将几何问题得出的结论回归到代数问题中，进而得出结论．典例2 如果实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，则yx的最大值为( ) A.12 B.33 C.32D. 3 解析 方程(x －2)2＋y 2＝3的几何意义为坐标平面上的一个圆，圆心为M (2,0)，半径为r ＝3(如图)，而y x ＝y －0x －0则表示圆M 上的点A (x ，y )与坐标原点O (0，0)的连线的斜率．所以该问题可转化为动点A 在以M (2,0)为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA 的斜率的最大值．由图可知当∠OAM 在第一象限，且直线OA 与圆M 相切时，OA 的斜率最大，此时OM ＝2，AM ＝3，OA ⊥AM ，则OA ＝OM 2－AM 2＝1，tan∠AOM ＝AMOA ＝3，故y x的最大值为3，故选D. 答案 D思维升华 解决此类问题需熟悉几何结构的代数形式，一般从构成几何图形的基本因素进行分析，主要有(1)比值——可考虑直线的斜率． (2)二元一次式——可考虑直线的截距． (3)根式分式——可考虑点到直线的距离． (4)根式——可考虑两点间的距离．跟踪演练2 设点P (x ，y )满足：{ x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，x ≥1，y ≥1，则y x －xy的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1 D ．[－1,1] 答案 B解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，x ≥1，y ≥1所表示的可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，其中A (2,1)，B (1,2)，令t ＝yx，f(t )＝t －1t，根据t 的几何意义可知，t 为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，连接OA ，OB ，显然OA 的斜率12最小，OB 的斜率2最大，即12≤t ≤2.由于函数f (t )＝t －1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，故－32≤f (t )≤32，即y x －x y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32.方法三 圆锥曲线数形沟通法 模型解法圆锥曲线数形沟通法是根据圆锥曲线中许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合思想，快速解决某些相应的问题．破解此类题的关键点：①画出图形，画出满足题设条件的圆锥曲线的图形，以及相应的线段、直线等．②数形求解，通过数形结合，利用圆锥曲线的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆与圆锥曲线的位置关系等进行分析与求解．③得出结论，结合题目条件进行分析，得出所要求解的结论．典例3 已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2)解析 点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离，如图所示，设焦点为F ，过点P 作准线的垂线，垂足为S ，则|PF |＋|PQ |＝|PS |＋|PQ |，故当S ，P ，Q 三点共线时取得最小值，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，设点P 的横坐标为x 0，代入y 2＝4x 得x 0＝14，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，故选A. 答案 A思维升华 破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数和形的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息进行研究．直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论．跟踪演练3 已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12解析 因为(－2)2<8×4，所以点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图所示，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ ，由抛物线的定义可知，△APF 的周长为|PF |＋|PA |＋|AF |＝|PQ |＋|PA |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |.因为A (－2,4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12，故使△APF 的周长最小的点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12.。

【高中数学】2021年高考数学复习：数形结合的解题策略
2021年
高考
将于6月7日、8日举行，高考频道编辑为广大考生整理了高考数学考试重点及常用公式，帮助大家有效记忆。

数形结合思想在解题中的应用
一、知识整合
1.数形结合是数学解题中常用的思想方法。

采用数形结合的方法，可以很容易地解决许多问题，而且求解过程简单。

所谓数形结合，是根据数形对应关系，通过数形相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数与形相结合的思想，通过“以形助数，以数解形”，简化了复杂问题，具体化了抽象问题。

它能将抽象思维转化为形象思维，有助于把握数学问题的本质。

它是数学规律性和灵活性的有机结合。

2.实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图象的对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

3.纵观历年高考试题，熟练运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可以事半功倍。

数形结合的重点是研究“用形助数”。

4.数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。

这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。