2016高考数学二轮复习微专题强化练习题：27转化与化归思想、数形结合思想

2016版高考数学大二轮总复习增分策略专题八数学思想方法试题高考数学以能力立意，一是考查数学的基础知识，基本技能；二是考查基本数学思想方法，考查数学思维的深度、广度和宽度，数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题，是数学意识，是数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归和转化思想．(一)函数与方程思想函数思想，就是用函数与变量去思考问题分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想．例1 (1)(2014²湖南)若0<x1<x2<1，则( )A．e2x－e1x>ln x2－ln x1B．e1x－e2x<ln x2－ln x1C．x2e1x>x1e2xD．x2e1x<x1e2x(2)若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是____．思维升华函数与方程思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数有关理论．(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．跟踪演练1 (1)(2015²淄博实验中学诊断)若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)<xf′(x)，则( ) A ．2f (1)<f (2) B ．2f (1)>f (2) C ．2f (1)＝f (2)D ．f (1)＝f (2)(2)如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，－π<φ<π)在一个周期内的图象，则此函数的解析式是( )A ．y ＝2sin(2x ＋π3)B ．y ＝2sin(2x ＋2π3)C ．y ＝2sin(x 2－π3)D ．y ＝2sin(2x －π3)(二)数形结合思想数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质． 例2 (1)(2014²山东)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)(2)若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，则yx的最小值是____．思维升华 数形结合思想在解题中的应用(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式． (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的范围． (3)构建解析几何模型求最值或范围．(4)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．跟踪演练2 (1)已知奇函数f (x )的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，则满足x ²f (x )<0的x 的取值范围是___________________________________．(2)已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为________． (三)分类与整合思想分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合．例3 (1)(2015²山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1, ＋∞)(2)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________．思维升华 分类与整合思想在解题中的应用(1)由数学概念引起的分类．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算和字母参数变化引起的分类．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．跟踪演练3 (1)(2014²课标全国Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC 等于( ) A ．5 B. 5 C ．2D ．1(2)(2014²广东)设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为( ) A ．60 B ．90 C ．120D ．130(四)转化与化归思想转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题． 例 4 (1)定义运算：(a ⊕b )⊗x ＝ax 2＋bx ＋2，若关于x 的不等式(a ⊕b )⊗x <0的解集为{x |1<x <2}，则关于x 的不等式(b ⊕a )⊗x <0的解集为( ) A ．(1,2)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪(1，＋∞) (2)已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意的x 1∈(0,2)，任意的x 2∈[1,2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数b 的取值范围是( ) A ．(－∞，142] B ．(1，＋∞) C ．(1，142) D ．[1，142] 思维升华 转化与化归思想在解题中的应用(1)在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等．(2)换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法．(3)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化．(4)在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解．(5)在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题，转化为其导函数f ′(x )构成的方程、不等式问题求解．(6)在解决解析几何、立体几何问题时，常常在数与形之间进行转化．跟踪演练4 (1)(2014²安徽)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6等于( )A.12B.32C ．0D ．－12(2)已知函数f (x )＝a xa x ＋a(a >0且a ≠1)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1100＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2100＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫99100的值为________．提醒：完成作业 专题八二轮专题强化练专题八数学思想方法A 组 专题通关1．若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有( ) A ．x ＋y ≥0 B ．x ＋y ≤0 C ．x －y ≤0D ．x －y ≥02．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2 x ＋1 ，x >3，2x －3＋1， x ≤3满足f (a )＝3，则f (a －5)的值为( )A ．log 23 B.1716 C.32D ．13．已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))等于( ) A ．－5 B ．－1 C ．3D ．44．(2015²重庆月考)方程log 12(a －2x)＝2＋x 有解，则a 的最小值为( )A ．2B ．1 C.32D.125．(2015²广东实验中学阶段考试)已知0<a <b <1，则( ) A.1b >1aB ．(12)a <(12)bC ．(lg a )2<(lg b )2D.1lg a >1lg b6．(2015²天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，x －2 2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，＋∞B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，74C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74D.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2 7．已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k 等于( ) A ．－12B.12C ．0D ．－12或08．等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或129．(2014²江西)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34π C ．(6－25)πD.54π 10．已知正四棱锥S －ABCD 中，SA ＝23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为( ) A ．1 B. 3 C ．2D ．311．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |， 0<x ≤10，－12x ＋6， x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是__________．12．(2015²湖南)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是____________________．13．(2014²福建)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________．(单位：元)B 组 能力提高14．(2015²黄冈中学期中)定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )>1－f (x )，f (0)＝6，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e xf (x )>e x＋5(其中e 为自然对数的底数)的解集为( ) A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(3，＋∞)C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(3，＋∞)15．(2015²广东实验中学阶段考试)已知关于x 的方程|cos x |x＝k 在(0，＋∞)有且仅有两根，记为α，β(α<β)，则下列的四个命题正确的是( ) A ．sin 2α＝2αcos 2α B ．cos 2α＝2αsin 2α C ．sin 2β＝－2βsin 2βD ．cos 2β＝－2βsin 2β16．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a ，a n ＋1＝S n ＋3n，n ∈N *. (1)设b n ＝S n －3n，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围．17．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x1＋x .(1)求f (x )的极小值；(2)若a ，b >0，求证：ln a －ln b ≥1－b a.学生用书答案精析专题八 数学思想方法 例1 (1)C (2)38π解析 (1)设f (x )＝e x－ln x (0<x <1)， 则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x －1x.令f ′(x )＝0，得x e x－1＝0.根据函数y ＝e x与y ＝1x的图象可知两函数图象交点x 0∈(0,1)，因此函数f (x )在(0,1)上不是单调函数，故A ，B 选项不正确．设g (x )＝e xx (0<x <1)，则g ′(x )＝e xx －1x2. 又0<x <1，∴g ′(x )<0.∴函数g (x )在(0,1)上是减函数． 又0<x 1<x 2<1，∴g (x 1)>g (x 2)， ∴x 2e 1x>x 1e2x .(2)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π4)，将f (x )＝2sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位，得到y ＝2sin(2x ＋π4－2φ)的图象，由所得图象关于y 轴对称，可知sin(π4－2φ)＝±1，即sin(2φ－π4)＝±1，故2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ， 又φ>0，所以φmin＝3π8. 跟踪演练1 (1)A (2)B 解析 (1)由于f (x )<xf ′(x )，则(f x x )′＝f ′ x x －f x x 2>0恒成立，因此f xx在R 上是单调递增函数，∴f 2 2>f 11，即f (2)>2f (1)，故答案为A. (2)依函数图象，知y 的最大值为2， 所以A ＝2.又T 2＝5π12－(－π12)＝π2， 所以T ＝π，又2πω＝π，所以ω＝2，所以y ＝2sin(2x ＋φ)．将(－π12，2)代入可得sin(－π6＋φ)＝1，故φ－π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，又－π<φ<π，所以φ＝2π3.所以函数的解析式为y ＝2sin(2x ＋2π3)，故选B.例2 (1)B (2)2解析 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为(12，1)．(2)可行域如图所示．又y x的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k . 由图知，过点A 的直线OA 的斜率最小． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得A (1,2)，所以k OA ＝2－01－0＝2.所以yx 的最小值为2.跟踪演练2 (1)(－1,0)∪(0,1) (2)2 2 解析 (1)作出符合条件的一个函数图象草图即可， 由图可知x ²f (x )<0的x 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．(2)如图，S Rt△PAC ＝12|PA |²|AC |＝12|PA |，当CP ⊥l 时，|PC |＝|3³1＋4³1＋8|32＋42＝3， ∴此时|PA |min ＝|PC |2－|AC |2＝2 2. ∴(S 四边形PACB )min ＝2(S △PAC )min ＝2 2. 例3 (1)C (2)2或72解析 (1)由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.(2)若∠PF 2F 1＝90°， 则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2， ∵|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，∴|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 2PF 1＝90°， 则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2， 解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2， ∴|PF 1||PF 2|＝2. 综上所述，|PF 1||PF 2|＝2或72.跟踪演练3 (1)B (2)D解析 (1)∵S △ABC ＝12AB ²BC ²sin B＝12³1³2sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4.当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ²BC ²cos B ＝1＋2＋2＝5，所以AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ²BC ²cos B ＝1＋2－2＝1，所以AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意．故AC ＝ 5.(2)在x 1，x 2，x 3，x 4，x 5这五个数中，因为x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5，所以满足条件1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3的可能情况有“①一个1(或－1)，四个0，有C 15³2种；②两个1(或－1)，三个0，有C 25³2种；③一个－1，一个1，三个0，有A 25种；④两个1(或－1)，一个－1(或1)，两个0，有C 25C 13³2种；⑤三个1(或－1)，两个0，有C 35³2种．故共有C 15³2＋C 25³2＋A 25＋C 25C 13³2＋C 35³2＝130(种)，故选D. 例4 (1)D (2)A解析 (1)1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两实根，1＋2＝－b a ，1³2＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，由(－3⊕1)⊗x ＝－3x 2＋x ＋2<0，得3x 2－x －2>0， 解得x <－23或x >1.(2)依题意，问题等价于f (x 1)min ≥g (x 2)max .f (x )＝ln x －14x ＋34x－1，所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2－34x2. 由f ′(x )>0，解得1<x <3，故函数f (x )的单调递增区间是(1,3)，同理得f (x )的单调递减区间是(0,1)和(3，＋∞)，故在区间(0,2)上，x ＝1是函数f (x )的极小值点，这个极小值点是唯一的，所以f (x 1)min ＝f (1)＝－12.函数g (x 2)＝－x 22＋2bx 2－4，x 2∈[1,2]． 当b <1时，g (x )max ＝g (1)＝2b －5； 当1≤b ≤2时，g (x 2)max ＝g (b )＝b 2－4； 当b >2时，g (x 2)max ＝g (2)＝4b －8.故问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧b <1，－12≥2b －5或⎩⎪⎨⎪⎧1≤b ≤2，－12≥b 2－4或⎩⎪⎨⎪⎧b >2，－12≥4b －8.解第一个不等式组得b <1， 解第二个不等式组得1≤b ≤142， 第三个不等式组无解，综上所述，b 的取值范围是(－∞，142]．故选A. 跟踪演练4 (1)A (2)992解析 (1)∵f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ， ∴f (x ＋2π)＝f (x ＋π)－sin x .∴f (x ＋2π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )． ∴f (x )是以2π为周期的周期函数． 又f (23π6)＝f (4π－π6)＝f (－π6)，f ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－12.∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.故选A.(2)由于直接求解较困难，可探求一般规律， ∵f (x )＋f (1－x )＝a xa x ＋a ＋a 1－xa 1－x ＋a＝a xa x ＋a ＋aa ＋a x a＝a xa x ＋a ＋aa ＋a x ＝a ＋a xa x ＋a＝1， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫1100＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2100＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫99100＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫99100＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2100＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫98100＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫49100＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫51100＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫50100＝1³49＋12＝992.二轮专题强化练答案精析专题八 数学思想方法1．B [把不等式变形为2x－5－x≤2－y－5y ，构造函数y ＝2x －5－x，其为R 上的增函数，所以有x ≤－y .所以x ＋y ≤0.]2．C [分两种情况分析，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3，2a －3＋1＝3①或者⎩⎪⎨⎪⎧a >3，log 2 a ＋1 ＝3②，①无解，由②得，a ＝7，所以f (a －5)＝22－3＋1＝32，故选C.]3．C [因为lg(log 2 10)＋lg(lg 2)＝lg(log 210³lg 2) ＝lg(lg 10lg 2³lg 2)＝lg 1＝0，所以lg(lg 2)＝－lg(log 210)． 设lg(log 210)＝t ，则lg(lg 2)＝－t . 由条件可知f (t )＝5， 即f (t )＝at 3＋b sin t ＋4＝5， 所以at 3＋b sin t ＝1，所以f (－t )＝－at 3－b sin t ＋4＝－1＋4＝3.] 4．B [由log 12(a －2x )＝2＋x 得a ＝2x＋(12)2＋x ≥22x³ 122＋x ＝1，当且仅当x ＝－1时取等号．∴a 的最小值为1.]5．D [∵0<a <b <1，∴a －1>b －1，故A 错误；又y ＝(12)x 是减函数，∴(12)a >(12)b，故B 错误； 又y ＝lg x 是增函数， ∴lg a <lg b <0， ∴(lg a )2>(lg b )2，1lg a >1lg b， 故C 错误，D 正确．故选D.]6．D [方法一 当x >2时，g (x )＝x ＋b －4，f (x )＝(x －2)2； 当0≤x ≤2时，g (x )＝b －x ，f (x )＝2－x ；当x <0时，g (x )＝b －x 2，f (x )＝2＋x . 由于函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点， 所以方程f (x )－g (x )＝0恰有4个根．当b ＝0时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2－5x ＋8＝0，无解； 当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x －(－x )＝0，无解； 当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2＋x ＋2＝0，无解． 所以b ≠0，排除答案B.当b ＝2时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为(x －2)2＝x －2，得x ＝2(舍去)或x ＝3，有一解；当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x ＝2－x ，有无数个解；当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x 2＝x ＋2，得x ＝0(舍去)或x ＝－1，有一解．所以b ≠2，排除答案A.当b ＝1时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2－5x ＋7＝0，无解； 当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为1－x ＝2－x ，无解； 当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2＋x ＋1＝0，无解． 所以b ≠1，排除答案C.因此答案选D.方法二 记h (x )＝－f (2－x )在同一坐标系中作出f (x )与h (x )的图象如图， 直线AB ：y ＝x －4，设直线l ：y ＝x ＋b ′.当直线l ∥AB 且与f (x )的图象相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ′，y ＝ x －2 2，解得b ′＝－94，－94－(－4)＝74，所以曲线h (x )向上平移74个单位后，所得图象与f (x )的图象有两个公共点，向上平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当74＜b ＜2时，f (x )与g (x )的图象有4个不同的交点，即y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点．选D.]7．D [不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有直线y ＝kx ＋1与直线y ＝0垂直(如图①)或直线y ＝kx ＋1与直线y ＝2x 垂直(如图②)时，平面区域才是直角三角形．由图形可知斜率k 的值为0或－12.]8．C [当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1＝21，符合要求．当q ≠1时，a 1q 2＝7，a 1 1－q 31－q＝21，解得q ＝－12或q ＝1(舍去)．综上可知，q ＝1或－12.]9．A [∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上． 设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上，∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |. 又|OD |＝|2³0＋0－4|5＝45，∴圆C 的最小半径为25，∴圆C 面积的最小值为π(25)2＝45π.]10．C [设正四棱锥S －ABCD 的底面边长为a (a >0)，则高h ＝SA 2－2a 22＝ 12－a 22，所以体积V ＝13a 2h ＝1312a 4－12a 6.设y ＝12a 4－12a 6(a >0)，则y ′＝48a 3－3a 5.令y ′>0，得0<a <4；令y ′<0，得a >4.故函数y 在(0,4]上单调递增，在[4，＋∞)上单调递减．可知当a ＝4时，y 取得最大值，即体积V 取得最大值，此时h ＝ 12－a 22＝2，故选C.] 11．(10,12)解析 作出f (x )的大致图象．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a <b <c ， 则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6.∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝c . 由图知10<c <12，∴abc ∈(10,12)． 12．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析 函数g (x )有两个零点，即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根，则函数 y ＝f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点．①若a <0，则当x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增；当x >a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点． ②若0≤a ≤1，则a 3≤a 2，函数f (x )在R 上单调递增，f (x )的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y ＝b 至多有一个公共点．③若a >1，则a 3>a 2，函数f (x )在R 上不单调，f (x )的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点．综上，a <0或a >1.13．160解析 设该长方体容器的长为x m ，则宽为4xm ．又设该容器的造价为y 元，则y ＝20³4＋2(x＋4x )³10，即y ＝80＋20(x ＋4x )(x >0)．因为x ＋4x≥2x ²4x ＝4(当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取“＝”)，所以y min ＝80＋20³4＝160(元)． 14．A [由题意可知不等式 e xf (x )－e x－5>0， 设g (x )＝e xf (x )－e x－5.所以g ′(x )＝e xf (x )＋e xf ′(x )－e x＝e x[f (x )＋f ′(x )－1]>0，所以函数g (x )在定义域上单调递增， 又因为g (0)＝0，所以g (x )>0的解集为x >0.]15．C [由|cos x |x＝k ，即得方程|cos x |＝kx 在(0，＋∞)上有两个不同的解，作出y ＝|cos x |的图象，由图知直线y ＝kx 与y ＝|cos x |与x ∈(π2，π)时相切，此时y ＝|cos x |＝－cos x ，y ′|x ＝β＝sin β＝k ，又|cos β|＝k β⇒k ＝－cos ββ，所以sin β＝－cos ββ⇒sin 2β＝－2βsin 2β.]16．解 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n， 即S n ＋1＝2S n ＋3n，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n)．即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝S 1－3＝a －3， 因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n＝(a －3)2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知S n ＝3n＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2³3n －1＋(a －3)2n －2，a n ＋1－a n ＝4³3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2[12(32)n －2＋a －3]，当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇒12(32)n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9.又a 2＝a 1＋3>a 1.综上，所求的a 的取值范围是[－9，＋∞)．17．(1)解 f ′(x )＝11＋x －1＋x －x 1＋x 2＝x1＋x 2(x >－1)．令f ′(x )＝0，得x ＝0.当x 变化时，f ′(x )和f (x )的变化情况 列表如下：x (－1,0) 0 (0，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )极小值由上表可知，x ＝0时f (x )取得极小值f (0)＝0.(2)证明 在x ＝0时，f (x )取得极小值，而且是最小值，于是f (x )≥f (0)＝0，从而ln(1＋x )≥x1＋x在x >－1时恒成立， 令1＋x ＝a b >0，则x 1＋x ＝1－1x ＋1＝1－ba，∴ln a －ln b ＝ln ab ≥1－b a.因此ln a －ln b ≥1－b a在a >0，b >0时成立． ∴ln a －ln b ≥1－b a.。

【命题热点突破一】分类与整合思想例1、(1)[2015·湖北卷] 设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为P 0(0<P 0<1)，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．①张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，若X ≤3的概率为79，求P 0的值；②若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，则他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【答案】 (1)B[t 5]＝5，则5≤t 5<6，即 515≤t<615，⑤因为615<313，所以515≤t<615与313≤t <514的交集为空集．所以n 的最大值是4.(2)解：①由已知得，张三中奖的概率为23，李四中奖的概率为P 0，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”为事件A ，则事件A 的对立事件为“X ＝5”．因为P(X ＝5)＝23P 0，所以P(A)＝1－P(X ＝5)＝1－23×P 0＝79，所以P 0＝13.若E(2X 1)<E(3X 2)，则83<6P 0，即49<P 0<1； 若E(2X 1)＝E(3X 2)，则83＝6P 0，即P 0＝49.综上所述，当0<P 0<49时，他们都选择方案甲进行抽奖，累计得分的数学期望较大；当49<P 0<1时，他们都选择方案乙进行抽奖，累计得分的数学期望较大；当P 0＝49时，他们选择方案甲或方案乙进行抽奖，累计得分的数学期望相等．【特别提醒】分类与整合思想是最重要的数学思想方法之一，是高考考查的重点，涉及的试题各类题型均有．从2015年高考看，在部分选择题、填空题中也需要分类讨论才能解决问题，高考中的分类与整合思想的考查已经不仅仅局限在函数导数、概率的解答题中．【变式探究】(1)[2015·广东卷] 若集合E ＝{(p ，q ，r ，s)|0≤p<s ≤4，0≤q<s ≤4，0≤r<s ≤4且p ，q ，r ，s ∈N }，F ＝{(t ，u ，v ，w )|0≤t <u ≤4，0≤v <w ≤4且t ，u ，v ，w ∈N }，用card(X )表示集合X 中元素的个数，则card(E )＋card(F )＝( )A ．200B ．150C ．100D ．50(2)已知函数f (x )＝m ln x ＋2m x －e x x 2.①若m ≤0，求函数f (x )的单调区间；②若函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点，求m 的取值范围．【答案】(1)A【解析】当s ＝4时，p ，q ，r 都可取0，1，2，3中的一个，有4×4×4＝64(种)；当s ＝3时，p ，q ，r 都可取0，1，2中的一个，有3×3×3＝27(种)；当s ＝2时，p ，q ，r 都可取0，1中的一个，有2×2×2＝8(种)；当s ＝1时， p ，q ，r 都取0.所以card (E)＝64＋27＋8＋1＝100.当t ＝0时，u 可取1，2，3，4中的一个；当t ＝1时，u 可取2，3，4中的一个；当t ＝2时，u 可取3，4中的一个；当t ＝3时，u 取4.所以t ，u 的取值共有1＋2＋3＋4＝10(种)，同理v ，w 的取值也有10种，所以card (F)＝10×10＝100，所以card (E)＋card (F)＝100＋100＝200.(2)解：①函数y ＝f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝m x －2m x 2－e x ·x 2－e x ·2x x 4＝（mx －e x ）（x －2）x 3. 当m≤0时，mx －e x <0，所以当x ∈(0，2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x ∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．综上，f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，＋∞)．(ii )当m>1时，g′(x)＝m －e x ＝e ln m －e x ，所以当x ∈(0，ln m)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x ∈(ln m ，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以函数g(x)在(0，＋∞)上的最大值为g(ln m)＝m(ln m －1)． 若函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点，则⎩⎪⎨⎪⎧g （0）<0，g （ln m ）>0，g （2）<0，0<ln m<2，解得e <m<e22.综上所述，函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点时，m 的取值范围为(e ，e 22)． 【命题热点突破二】化归与转化思想例2、(1)[2015·四川卷] 已知函数f(x)＝2x ，g(x)＝x 2＋ax(其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2，n ＝g （x 1）－g （x 2）x 1－x 2，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m >0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n >0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)．(2)P ，Q 为△ABC 内不同的两点．若3PA →＋2PB →＋PC →＝0，3QA →＋4QB →＋5QC →＝0，则S △PAB ∶S△QAB＝________．【答案】(1)①④ (2)2∶5(2)如图所示，以A 为坐标原点，边AB 所在的直线为x 轴，垂直于AB 的直线为y 轴，建立直角坐标系．设△ABC 的面积为S ，P(x 1，y 1)，B(m ，0)，C(a ，b)，则3(x 1，y 1)＋2(x 1－m ，y 1)＋(x 1－a ，y 1－b)＝(0，0)，解得y 1＝b 6，即△PAB 的高为△CAB 的高的16，故△PAB 的面积为16S.设Q(x 2，y 2)，则3(x 2，y 2)＋4(x 2－m ，y 2)＋5(x 2－a ，y 2－b)＝(0，0)，解得y 2＝512b ，即△QAB 的高为△CAB 的高的512，故△QAB 的面积为512S.所以S △PAB ∶S △QAB ＝16∶512＝2∶5.【特别提醒】化归与转化思想的实质是把已知问题化为更容易解决的问题，如把数的问题转化为形的问题、把空间问题转化为平面问题、把立体几何问题转化为空间向量问题等．在数学方法中，换元法、割补法、坐标法等都是化归与转化思想的具体体现．【变式探究】(1)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则a 的取值范围为( )A ．a ≥1B ．a ≤－1C ．－1≤a ≤1D ．a ≥1或a ≤－1(2)一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．9B ．10C ．11D .232【答案】(1)C (2)C【解析】(1)已知不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，其顶点坐标分别为(－3，3)，(3，－3)，(3，9)．根据已知，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －3≤－3a ＋3≤3a ＋9，3a －3≤3a －3≤3a ＋9，3a －3≤3a ＋9≤3a ＋9.解得－1≤a≤1.(2)该几何体的直观图如图所示，其体积为2×2×3－13×12×2×1×3＝12－1＝11. 【高考真题解读】1．[2015·安徽卷] 已知数列{a n }是递增的等比数列．a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．【答案】2n －12．[2015·福建卷] 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x>2(a>0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．【答案】(1，2]【解析】函数f(x)的大致图像如图所示．∵当x≤2时，f(x)∈[4，＋∞)， ∴要使f(x)在R 上的值域是[4，＋∞)， 只需当x >2时，f (x )∈[4，＋∞)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1，3＋log a 2≥4， 解得1<a ≤2.3．[2015·山东卷] 若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． 【答案】1【解析】∵y ＝tan x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，∴y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4的最大值为tan π4＝1.又∵“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，∴m ≥1.4．[2015·四川卷] 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有________个．【答案】120【解析】由题意知，万位上排4时，有2×A 34个大于40 000的偶数，万位上排5时，有3×A 34个，故共有5×A 34＝120(个)．5．[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．【答案】－146．[2014·陕西卷改编] 设函数f(x)＝ln x ＋mx ，m ∈R .若对任意b >a >0，f （b ）－f （a ）b －a <1恒成立，则m 的取值范围是________．【答案】[14，＋∞) 【解析】对任意的b >a >0，f （b ）－f （a ）b －a<1恒成立，等价于f (b )－b <f (a )－a 恒成立．(*) 设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋mx －x (x >0)， ∴(*)等价于h (x )在(0，＋∞)上单调递减． 由h ′(x )＝1x －mx 2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得m ≥－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14(x >0)恒成立，∴m ≥14⎝⎛⎭⎫对m ＝14，h ′（x ）＝0仅在x ＝12时成立，∴m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，＋∞. 7．[2015·湖北卷改编] 已知集合A ＝{(x ，y)|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合A B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则AB 中元素的个数为________．【答案】45方法二：x1的取值为－1，0，1，x2的取值为－2，－1，0，1，2，x1＋x2的不同取值为－3，－2，－1，0，1，2，3；同理y1＋y2的不同取值为－3，－2，－1，0，1，2，3.当x1＋x2＝－3时，y1只能等于零，此时y1＋y2≠±3，多出2个，同理，x1＋x2＝3时，y1只能等于零，此时y1＋y2≠±3，多出2个，共多出4个．所以A⊕B中元素的个数为7×7－4＝45.。

GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG2021年第2化归与转化思想在高考数学解题中的运用■甘肃省秦安县第二中学罗文军yxo化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图像、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.1．化归与转化的思想方法：解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的.2．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则；（2）简单化原则；（3）和谐化原则；（4）直观化原则；（5）正难则反原则3．化归与转化的途径：（1）从问题的反面思考；（2）局部向整体的转化；（3）未知向已知转化；（4）固定向重组的转化；（5）抽象向具体转化；（6）个别向一般的转化；（7）数向形的转化；（8）定量向定性的转化；（9）主元向辅元的转化.以下结合一些经典试题，谈谈化归与转化思想在高三解题中的运用.题型一：化归与转化思想简单化原则的体现化归与转化思想简单化原则在解题中的体现主要有：（1）将比较代数式的大小的问题，运用同构法，通过构造函数，化归为利用函数的单调性根据自变量的大小比较函数值的大小或者根据函数值的大小比较自变量的大小；（2）将概率与统计问题化归为集合间的基本关系与基本运算问题.例1.若2a +log 2a ＝4b +2log 4b ，则（）A.a ＞2b B.a ＜2b C.a ＞b 2 D.a ＜b 2【解析】由指数幂的运算性质和对数的运算性质可得，2a +log 2a ＝4b +2log 4b ＝22b +log 2b ，又因为22b +log 2b ＜22b +log 22b ＝22b +1+log 2b ，所以2a +log 2a ＜22b +log 22b .令ｆ（ｘ）＝2x +log 2ｘ，由指数函数和对数函数性质以及函数单调性的性质可得ｆ（ｘ）在（0，+∞）上单调递增，由ｆ（a ）＜ｆ（2a ），可得a ＜2b .【评析】本题考查了指数幂和对数的运算，函数的单调性的性质，构造函数后，把问题化归与转化为根据函数单调性，由函数值的大小比较自变量的大小，体现了化归与转化思想的简单化原则.例2.设命题p ∶4x-3≤1，命题q ∶x 2-（2a+1）x +a （a +1）≤0.若劭p 是劭q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________.【解析】由4x-3≤1，得１２≤x ≤１，记A ＝{x │１２≤x ≤１}；由x ２-（２a+1）x+a （a+1）≤0，可得a ≤x ≤a +1，记B ＝{x │a ≤x ≤a +1}.因为劭p 是劭q 的必要不充分条件，所以q 是p 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，所以A 芴B ，所以a ≤１２，a+１≥11，解得0≤a ≤１２，所以实数a 的取值范围是[0，１２].【评注】本题的解答中，先把两个命题中的不等式的解集分别用集合A 和集合B 表示，再由劭p 是劭q 是的必要不充分条件转化为p 是q 的充分不必要条件，再转化为集合A 为集合B 的真子集，解得a 的范围.题型二：化归与转化思想直观化原则的体现化归与转化思想直观化原则在解题中的体现主要有：（1）画出函数图像后，利用函数图像研究函数的性质，进而直观的解决与函数有关的问题；（2）立体几何问题中，将立体问题平面化，画出轴截面或者中截面，利用平面几何问题破解题目.例3.设a ，b ∈R ，则|“a ＞b ”是“a a ＞b b ”的（）A.充要不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充要也不必要条件【解析】构造函数ｆ（ｘ）＝x x ＝ｘ２，ｘ≥0-x ２，ｘ＜1函数图像如图1，由图像可知ｆ（ｘ）＝x x 在R 上单调递增.当a ＞b 时，ｆ（a ）＞ｆ（b ），即a a ＞b b ，a ＞b 圯a a ＞b b .当ｆ（a ）＞ｆ（b ），即a a ＞b b 时，a ＞b ，a a ＞b b 圯a ＞b ，所以a ＞b 圳a a ＞b b ，“a ＞b ”是“a a ＞b b ”的充要条件，故选C.【评注】本题是一道比较复杂的充分必要条件问题，通过观察题目，通过类比和联想，运用化归与转化思想，构造函数ｆ（ｘ）＝x x 后，画出这个函数的图像，运用图像法判断这个函数在其定义域R 上为单调递增函数，把a 和b 看成这个函数的两个自变量，a a 和b b 分别看成这个函数的函数值ｆ（a ）29数学有数和ｆ（b），由增函数的性质可以得出，ａ＞b圳a a＞b b，所以ａ＞b是a a＞b b的充分必要条件，体现了化归与转化思想的简单化和直观化原则.例4.已知某个机械零件是由两个有公共底面的圆锥组成的，且这两个圆锥有公共点的母线互相垂直，把这个机械零件打磨成球形，该球的半径最大为1，设这两个圆锥的高分别为h1，h２，则h1+h２的最小值为________．【答案】22姨.【解析】由题意可知，打磨后所得半径最大的球是由这两个圆锥构成的组合体的内切球，内切球的半径R=1，如图为这个组合体的轴截面示意图，圆O为内切球的轴截面，E，F，G，H分别为切点，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，OH，由题意可知AB⊥BC，AD⊥DC，AC＝h1+h2，R＝OE＝OF＝OG＝OH＝1，则S四边形ABCD＝S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD，即AB×BC＝１２R×AB+１２R×BC+１２R×CD+１２R×AD＝１２R（2AB+2BC）＝R（AB+BC），所以AB×BC＝AB+BC.由基本不等式可得AB×BC＝AB+BC≥2AB×BC姨，则AB×BC≥4，当且仅当AB＝BC时等号成立．所以（h1+h2）2＝AC2＝AB2+BC2≥2AB×BC≥8，当且仅当AB＝BC时等号成立，故h1+h2的最小值为22姨.【评注】本题的解答运用了化归与转化的思想，通过研究组合体和其内切球的轴截面，把空间立体几何问题化归为平面几何问题，做到了把问题直观化的原则.题型三：化归与转化思想熟悉化原则的体现化归与转化思想熟悉化原则在解题中的体现主要有：（1）不等式题目中，把含一个参数的不等式恒成立问题，通过分离变量，化归为求函数在给定区间上的最值问题；（2）立体几何题目中，利用长方体或者正方体模型，把一些三棱锥、四棱锥和三棱柱的外接球问题化归为熟悉的长方体或者正方体的外接球问题.例5.若对任意的ｘ∈（0，+∞），ax-ln（2ｘ）≥1恒成立，则实数a的最小值是_______【解析】由已知可得，对任意的ｘ∈（0，+∞），a≥ln（2ｘ）+1ｘ恒成立，令g（ｘ）＝ln（2ｘ）+1ｘ，g′（ｘ）＝１ｘ·ｘ-ln（2ｘ）ｘ2＝1-ln（2ｘ）ｘ2，令g′（ｘ）＝0，则1-ln（2ｘ）＝0，则ｘ＝e2，当0＜ｘ＜e2时，g′（ｘ）＞0，g（ｘ）单调递增；当ｘ＞e2时，g′（ｘ）＜0，g（ｘ）单调递减，所以当ｘ＝e2时，g（ｘ）取得最大值g（ｘ）max＝g（e2）＝ln e+1e2＝4e，所以a≥4e，所以a的最小值为4e.【评注】本题的解答运用了分离变量法，分离变量后，构造函数后，把a≥g（ｘ）在（0，+∞）上恒成立等价转化为a≥[g（ｘ）]max（ｘ∈（0，+∞）），转化为求函数g（ｘ）在（0，+∞）上的最大值问题，g（ｘ）的最大值即为a的最小值，本题体现了化归与转化思想的熟悉化原则.例6.设数列{a n}的前n项为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n S n-2S2n.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k2n+1姨对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由.解：（1）因为当n≥2时，a n＝2a n S n-2S2n，所以a n＝2S2n2S n-1，n≥2，所以（S n-S n-1）（2S n-1）＝2S2n，所以S n-S n-1＝-2S n S n-1，所以１S n-１S n-1＝2，n≥2，所以数列{１S n}是以１S1＝1为首项，以2为公差的等差数列，所以１S n＝1+2（n-1）＝2n-1，所以S n＝１2n-1，所以，当n≥2时，a n＝S n-S n-1＝１2n-1-１2n-３＝-2（2n-1）（2n-3），因为a1＝S1＝1，所以a n＝1，n=1-2（2n-1）（2n-3）.n≥≥2（2）设ｆ（n）＝（1+S1）（1+S2）…（1+S n）2n+1姨，则ｆ（n+1）ｆ（n）＝2n+22n+1姨2n+3姨＝4n2+8n+44n2+8n+3姨＞1，所以ｆ（n）在n∈N鄢上递增，要使ｆ（n）≥k恒成立，只需要ｆ（n）min≥k，因为ｆ（n）min＝ｆ（1）＝2３姨３，所以0＜k≤2３姨3.【评注】第（1）问运用了数列的前n项和S n与通项a n之间的关系a n＝S n-S n-1（n≥2），把a n转化为S n-S n-1，再合并同类项后运用取倒数法，再根据等差数列的定义得出数列{１S n}的通项公式，再得出数列{a n}的通项公式；第（2）问分离变量后构造函数ｆ（n），用作商法判断ｆ（n）的单调性，把不等式ｆ（n）≥k在n∈N鄢上恒成立等价转化为ｆ（n）min≥k（n∈N鄢），两问都运用到了化归与转化思想.AEBFHDGOC302021年第2GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG2021年第2题型四：化归与转化思想和谐化原则的体现化归与转化思想和谐化原则在解题中的体现主要有：（1）解三角形问题中利用正弦定理实现边角的互化；（2）在三角函数问题中，将形如y=a sin x+b cos x 的函数问题利用辅助角公式化归为形如y=A sin （棕x+渍）的函数问题；（3）解析几何中，将两直线垂直化归为斜率乘积为-1或者方向向量的数量积为0；（4）将形如滋＝y -b x -a形式的最值问题，转化为动直线斜率的最值问题.例7.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b -c ＝a ·cos C -c ·cos A .（1）求角A ；（2）若a ＝3，求b +2c 的最大值.【解析】（1）因为b -c ＝a ·cos C -c ·cos A ，由正弦定理可得，sin B -sin C ＝sin A cos C -sin C cos A ，所以sin B -sin C ＝sin （A -C ）所以sin （A +C ）-sin C ＝sin （A -C ），所以sin A cos C +cos A sin C -sin C ＝sin A cos C -cos A sin C ，所以cos A ＝１２，因为0＜A ＜仔，所以A ＝仔３.（2）由（1）可得，C ＝２仔３-B ，由正弦定理得，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，所以３sin 仔３＝b sin B ＝c sin （２仔３-B ），所以b ＝2３姨sin B ，c ＝2３姨sin （２仔３-B ），所以b +2c ＝2３姨sin B +4３姨sin （２仔３-B ）＝2３姨（2sin B +３姨cos B ）＝221姨sin （B +渍），其中tan 渍＝３姨2，渍∈（0，仔2），由B ∈（0，２仔３），存在B 使得B +渍＝仔2，所以sin （B +渍）的最大值为1，所以b+２c 的最大值为221姨.【评注】第（1）问运用正弦定理实现边转化为角，再逆用两角差的正弦公式，运用内角和定理以及诱导公式，再运用两角和的正弦公式和两角差的正弦公式，得出cos A 的值，得出角A 的值；第（2）问运用了正弦定理将关于边的最值问题化为角的最值问题，运用三角形内角和定理以及诱导公式，再运用辅助角公式，化为三角函数在给定范围上的最值问题；两问都运用了化归与转化思想，体现了和谐化原则.例8.已知函数f （ｘ）＝ｘ2ｘ-1，则f （12019）+f （22019）+f （32019）+…+f （20182019）的值为_____.【解析】由于直接计算有困难，先探求一般的规律，因为f （ｘ）＝ｘ2ｘ-1，所以f （1-ｘ）＝1-ｘ2（1-ｘ）-1＝1-ｘ1-2ｘ＝ｘ-12ｘ-1，所以f （ｘ）+f （1-ｘ）＝1，倒叙相加可得f （12019）+f （22019）+f （32019）+…+f （20182019）＝1009.【评注】本题的解答中体现了特殊问题转化为一般化，运用了化归与转化思想，先通过探究在宏观上把握问题的一般规律，再将特殊问题破解.题型五：化归与转化思想的正难则反原则在解题中的体现化归与转化思想的正难则反原则在高中数学解题中的体现主要有：（1）间接证明方法中的反证法在解题中的运用；（2）概率问题中对立事件和互斥事件的概率公式的运用.例9.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a １＝1+2姨，S 3＝9+32姨.（1）求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；（2）设b n ＝S n n（n ∈N 鄢），求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【解析】（1）设公差为d ，由已知得ａ1＝2姨+1，3ａ1+3d ＝9+32姨姨，所以d ＝2，故a n ＝2n -1+2姨，S n ＝n （n +2姨）．（2）证明：由（1）得b n ＝S n n＝n +2姨.假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r （p 、q 、r 互不相等）成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即（q +2姨）2＝（p +2姨）（r +2姨），所以（q 2-pr ）+（2q -p-r ）2姨＝0.因为p ，q ，r ∈N 鄢，所以q ２-pr ＝0，2q-p-r ＝0姨，所以（p+r 2）２＝pr ，（p-r ）２＝0，所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.【评注】本题的解答的第（2）问中运用了反证法，先反设假定要证的结论不成立，而设出结论的反面成立，将这个反设作为条件，运用等比数列的定义和通项公式，通过推理，得出p ＝r 与已知条件相矛盾，所以反设错误，所以要证明的结论成立，反证法归属于间接证明方法，第（2）问运用了化归与转化的思想.例10.掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A +B 发生的概率为____.【答案】23.【解析】掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P （A ）＝26＝13，P （B ）＝46＝23，所以P （B ）＝1-P （B ）＝1-23＝13，显然A 与B 互斥，从而P （A+B ）＝P （A ）+P （B ）＝13+13＝23.【评注】先由古典概型概率公式求出事件A 和事件B 的概率，再由对立事件概率公式求出事件B 的对立事件B 的概率，再由互斥事件概率公式，把事件A+B 的概率化归为求P （A ）和P （B ）的和，运用了化归与转化思想.责任编辑徐国坚31。

思想方法专题数形结合思想【思想方法诠释】一、数形结合的思想所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．二、数形结合思想解决的问题常有以下几种：1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；2．构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；3．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；4．构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；5．构建立体几何模型研究代数问题；6．构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；7．构建方程模型，求根的个数；8．研究图形的形状、位置关系、性质等。

三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效，具体操作时，应注意以下几点：1．准确画出函数图象，注意函数的定义域；2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图）然后作出两个函数的图象，由图求解。

四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：1．要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；2．要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；3．要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；4．精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。

第36练 转化与化归思想1．(2021·浙江)已知a ，b ∈R ，ab >0，函数f (x )＝ax 2＋b (x ∈R )，若f (s －t )，f (s )，f (s ＋t )成等比数列，则平面上点(s ，t )的轨迹是( )A ．直线和圆B ．直线和椭圆C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线答案 C解析 因为f (x )＝ax 2＋b ，所以f (s －t )＝a (s －t )2＋b ，f (s )＝as 2＋b ，f (s ＋t )＝a (s ＋t )2＋b .因为f (s －t )，f (s )，f (s ＋t )成等比数列，所以f 2(s )＝f (s －t )f (s ＋t )，即(as 2＋b )2＝[a (s －t )2＋b ]·[a (s ＋t )2＋b ]，化简得－2a 2s 2t 2＋a 2t 4＋2abt 2＝0，得t ＝0或2as 2－at 2＝2b ，易知点(s ，t )的轨迹为一条直线和一条双曲线．2．(2017·山东)若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a ＋1b <b2a <log 2(a ＋b )B.b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1bC ．a ＋1b <log 2(a ＋b )<b2aD ．log 2(a ＋b )<a ＋1b <b2a答案 B解析 方法一 ∵a >b >0，ab ＝1，∴log 2(a ＋b )>log 2(2ab )＝1. ∵b 2a ＝1a 2a ＝a －1·2－a ， 令f (a )＝a －1·2－a ，∵b ＝1a，a >b >0， ∴a >1a，解得a >1. ∴f ′(a )＝－a －2·2－a －a －1·2－a ·ln 2＝－a －2·2－a (1＋a ln 2)<0，∴f (a )在(1，＋∞)上单调递减．∴f (a )<f (1)，即b 2a <12. ∵a ＋1b＝a ＋a ＝2a >a ＋b >log 2(a ＋b )， ∴b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b. 方法二 ∵a >b >0，ab ＝1，∴取a ＝2，b ＝12， 此时a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 25－1≈1.3， ∴b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b. 3．(2015·全国Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π答案 C解析 如图，要使三棱锥O －ABC 即C －OAB 的体积最大，则点C 到平面OAB 的距离，即三棱锥C －OAB 底面OAB 上的高最大，其最大值为球O 的半径R ，则V O －ABC 最大为13×12×R 2×R ＝16R 3＝36， 所以R ＝6，所以球O 的表面积为4πR 2＝4π×62＝144π.4．(2019·浙江)设a ，b ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <0，13x 3－12(a ＋1)x 2＋ax ，x ≥0.若函数y ＝f (x )－ax －b 恰有3个零点，则( )A ．a <－1，b <0B ．a <－1，b >0C ．a >－1，b <0D ．a >－1，b >0 答案 C解析 由题意可得，当x ≥0时，f (x )－ax －b ＝13x 3－12(a ＋1)x 2－b ， 令f (x )－ax －b ＝0，则b ＝13x 3－12(a ＋1)x 2＝16x 2[2x －3(a ＋1)]． 因为对任意的x ∈R ，f (x )－ax －b ＝0有3个不同的实数根，所以要使其满足条件，则当x ≥0时，b ＝16x 2[2x －3(a ＋1)]必须有2个根， 所以3(a ＋1)2>0，解得a >－1. 所以b <0.5．(2011·上海)随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是________．(默认每月天数相同，结果精确到0.001)答案 0.985解析 设事件A 为“至少有2位同学在同一月份出生”，则A 的对立事件A 为“所有人出生月份均不相同”，则P (A )＝1－P (A )＝1－A 912129 ＝1－12×11×10×9×8×7×6×5×4129≈1－0.015 5＝0.984 5≈0.985.6．(2022·全国乙卷)若f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪a ＋11－x ＋b 是奇函数，则a ＝______，b ＝______.答案 －12ln 2 解析 f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋11－x ＋b ＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋11－x ＋ln e b ＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪(a ＋1)e b －a e b x 1－x . ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪(a ＋1)2e 2b －a 2e 2b x 21－x 2＝0， ∴||(a ＋1)2e 2b －a 2e 2b x 2＝|1－x 2|.当(a ＋1)2e 2b －a 2e 2b x 2＝1－x 2时，[(a ＋1)2e 2b －1]＋(1－a 2e 2b )x 2＝0对任意的x 恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋1)2e 2b －1＝0，1－a 2e 2b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－12，b ＝ln 2.当(a ＋1)2e 2b －a 2e 2b x 2＝x 2－1时，[(a ＋1)2e 2b ＋1]－(a 2e 2b ＋1)x 2＝0对任意的x 恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋1)2e 2b ＋1＝0，a 2e 2b ＋1＝0，无解． 综上，a ＝－12，b ＝ln 2.7．(2016·天津)已知函数f (x )＝4tan x ·sin ⎝⎛⎭⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的单调性． 解 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z . f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3 ＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3 ＝4sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x － 3 ＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4， ∴2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－5π6，π6. 由y ＝sin x 的图象可知，当2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－5π6，－π2， 即x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，－π12时，f (x )单调递减； 当2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π2，π6，即x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π4时，f (x )单调递增， ∴当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上单调递减． 8．(2019·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x －x cos x －x ，f ′(x )为f (x )的导数．(1)证明：f ′(x )在区间(0，π)上存在唯一零点；(2)若x ∈[0，π]时，f (x )≥ax ，求a 的取值范围．(1)证明 设g (x )＝f ′(x )，则g (x )＝cos x ＋x sin x －1，g ′(x )＝x cos x .当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，g ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，g ′(x )<0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减．又g (0)＝0，g ⎝⎛⎭⎫π2>0，g (π)＝－2<0，故g (x )在(0，π)上存在唯一零点．所以f ′(x )在区间(0，π)上存在唯一零点．(2)解 由题设知f (π)≥a π，f (π)＝0，可得a ≤0.由(1)知，f ′(x )在(0，π)上只有一个零点，设为x 0，且当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )>0；当x ∈(x 0，π)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，π)上单调递减．又f (0)＝0，f (π)＝0，所以当x ∈[0，π]时，f (x )≥0.又当a ≤0，x ∈[0，π]时，ax ≤0，故f (x )≥ax .因此，a 的取值范围是(－∞，0]．9．(2022·开封模拟)若关于x 的不等式a ·2|x |>2|x |＋1(x ∈R )恒成立，则实数a 的取值范围是() A ．(1，＋∞) B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 B解析 因为x ∈R ，所以2|x |≥1，又a ·2|x |>2|x |＋1恒成立，即a >2|x |＋12|x |＝1＋12|x |恒成立，因为y ＝1＋1x在[1，＋∞)上单调递减， 所以1<1＋12|x |≤2， 所以a >2，即a ∈(2，＋∞)．10．已知函数f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f (－2)＝10，那么f (2)等于( )A ．－26B ．－18C ．－10D ．10答案 A解析 ∵f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，∴f (－x )＝－x 5－ax 3－bx －8，∴f (x )＋f (－x )＝－16，令x ＝2，则f (2)＋f (－2)＝－16，又f (－2)＝10，∴f (2)＝－16－10＝－26.11．不等式t 2－2at ＋1≥sin x 对一切x ∈[－π，π]及a ∈[－1,1]恒成立，则t 的取值范围是( )A ．t ≤－2 或t ≥2B ．t ≤2C ．t ≥－2D ．t ≤－2 或t ≥2 或t ＝0答案 D解析 由题意t 2－2at ＋1≥sin x 对一切x ∈[－π，π]及a ∈[－1,1]恒成立，则t 2－2at ＋1≥1，a ∈[－1,1]，即2at －t 2≤0，a ∈[－1,1]，令f (a )＝2at －t 2，则f (a )≤0 对一切a ∈[－1,1]恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0，解得t ≤－2或t ≥2 或t ＝0. 12．(2022·汕头模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (2－x )＋f (x )＝0，当x ∈(0,1]时，f (x )＝－log 2x ，若函数F (x )＝f (x )－tan πx 在区间[－1，m ]上有10个零点，则m 的取值可以是( )A ．3.8或3.9B ．3.9或4C ．4D ．4.1答案 A 解析 由题意知f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＝－f (x )，f (0)＝0，又f (2－x )＋f (x )＝0，则f (2－x )＝－f (x )＝f (－x )，令t ＝－x ，得f (t )＝f (t ＋2)，即f (x )＝f (x ＋2)，所以f (x )是周期为2的周期函数，所以f (0)＝f (2)＝f (4)＝ 0又f (1)＝－log 21＝0，所以f (1)＝f (3)＝f (5)＝ 0所以f (n )＝0，n ∈Z ，作出y ＝f (x )和y ＝tan πx 的图象，其中y ＝tan πx 的周期是T ＝ππ＝1， 如图，由图可知当x ≥－1时，从点A (－1,0)向右的10个函数f (x )图象与y ＝tan πx 图象的交点依次为A ，B ，O ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，I ，点J 是第11个交点，J (4,0)，设C 点横坐标为x 0，显然x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，f ⎝⎛⎭⎫14＝－log 214＝2， tan π4＝1，因此x 0>14，所以14<x 0<12，于是－12<x B <－14，4－12<x I <4－14， 即3.5<x I <3.75，结合选项知m 可取3.8,3.9，当m ≥4时至少有11个零点．13．已知等差数列{a n } 的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9 成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10的值是________． 答案 1316解析 由题意知，只要满足a 1，a 3，a 9 成等比数列的条件，{a n } 取何种等差数列(d ≠0)与所求代数式的值是没有关系的．因此，可选取数列a n ＝n (n ∈N *)，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝1＋3＋92＋4＋10＝1316. 14．(2022·毕节模拟)已知在三棱锥P －ABC 中，PC ⊥平面ABC ，∠PBC ＝45°，PC ＝AC ＝2，AB ＝22，这个三棱锥的外接球的表面积为________．答案 12π解析 ∵PC ⊥平面ABC ，AC ，BC ⊂平面ABC ，∴PC ⊥AC ，PC ⊥BC ，∵∠PBC ＝45°，∴△PCB 是等腰直角三角形，∴BC ＝2，∴AC 2＋BC 2＝22＋22＝8＝AB 2，∴AC ⊥BC ，∴AC ，BC ，PC 三条直线两两垂直，且长度均为2，∴可将三棱锥P －ABC 放到一个棱长为2的正方体内部，如图所示，∴三棱锥的外接球为正方体的外接球，外接球球心为正方体的中心，直径为正方体的体对角线PD ，设外接球半径为R ，则(2R )2＝22×3，解得R ＝3，∴三棱锥外接球的表面积S ＝4πR 2＝12π.15．(2022·北京模拟)某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测．若每件产品的生产成本为1 200元，每件一级品可卖1 700元，每件二级品可卖 1 000元，三级品禁止出厂且销毁．某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示．(1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．若从生产的所有产品中随机取出2件，求至少有一件产品是一级品的概率；(2)现从样本产品中利用分层抽样的方法抽取10件产品，再从这10件中任意抽取3件，设取到的二级品的件数为ξ，求随机变量ξ的分布列和均值；(3)已知该生产线原先的年产量为80万件，为提高企业利润，计划明年对该生产线进行升级，预计升级需一次性投入2 000万元，升级后该生产线年产量降为70万件，但产品质量显著提升，不会再有三级品，且一级品与二级品的产量比会提高到8∶2，若以该生产线今年利润与明年预计利润为决策依据，请判断该次升级是否合理．解 (1)抽取的100件产品是一级品的频率是70100＝710， 则从生产的所有产品中任取1件，是一级品的概率是710， 设从生产的所有产品中随机选2件，至少有一件是一级品的事件为A ，则P (A )＝1－⎝⎛⎭⎫1－7102＝91100， 所以至少有一件产品是一级品的概率是91100. (2)依题意，10件产品中一级品7件，二级品2件，三级品1件，ξ的可能的取值是0,1,2，P (ξ＝0)＝C 38C 310＝715，P (ξ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (ξ＝2)＝C 22C 18C 310＝115，所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×715＋1×715＋2×115＝35.(3)今年利润为80×⎝⎛⎭⎫70100×500－20100×200－10100×1 200 ＝15 200(万元)， 明年预计利润为70×⎝⎛⎭⎫810×500－210×200－2 000＝23 200(万元)， 显然有23 200>15 200， 所以该次升级合理．16．(2022·九江模拟)已知函数f (x )＝e x ＋mx (m ∈R )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)若b >a >0，且af (b )>bf (a )，求证：a ＋b >2. (1)解 f ′(x )＝e x ＋m ，当m ≥0时，f ′(x )>0，f (x )在R 上单调递增， 当m <0时，由f ′(x )>0，得x >ln(－m )； 由f ′(x )<0，得x <ln(－m )．∴f (x )在(－∞，ln(－m ))上单调递减，在(ln(－m )，＋∞)上单调递增． 综上，当m ≥0时，f (x )在R 上单调递增；当m <0时，f (x )在(－∞，ln(－m ))上单调递减，在(ln(－m )，＋∞)上单调递增． (2)证明 由af (b )>bf (a )，得a (e b ＋mb )>b (e a ＋ma )， 即a e b >b e a ，即b e b <ae a ，令g (x )＝xe x ，则g (b )<g (a )． ∵g ′(x )＝1－xex ，∴g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 作出g (x )的大致图象，如图所示，当x >0时，g (x )>0， ∴0<a <1<b 或1≤a <b ， ①若1≤a <b ，显然a ＋b >2，②若0<a <1<b ，要证a ＋b >2，只需证b >2－a >1， 即证g (b )<g (2－a )，若能证g (a )<g (2－a )，则原命题得证， 令G (x )＝g (x )－g (2－x )，x ∈(0,1)， G ′(x )＝1－x e x ＋x －1e 2－x ＝(1－x )(e －x －e x －2)，∵0<x <1，∴1－x >0，e －x －e x －2>0， ∴G ′(x )>0，∴G (x )在(0,1)上单调递增， ∴G (x )<G (1)＝0，∴g (a )<g (2－a )，即原命题得证． 综上，a ＋b >2.[考情分析]转化和化归思想一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．转化和化归思想在高考中起到十分重要的作用，数学问题的解决，总离不开转化和化归，它几乎可以渗透到所有的数学内容和解题过程中．一、特殊与一般的转化核心提炼化一般为特殊的应用要点把一般问题特殊化，解答选择题、填空题常能起到事半功倍的效果，既准确又迅速．常用的特例有特殊值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等，要注意恰当利用所学知识、恰当选择特殊量．练后反馈题目23101314正误错题整理：二、正与反、常量与变量的转化核心提炼正与反的转化，体现“正难则反”的原则，先从正面求解，再取正面答案的补集即可．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单．因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中．练后反馈题目51115正误错题整理：三、函数、方程、不等式之间的转化核心提炼函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．练后反馈题目1467891216正误错题整理：1．[T5补偿](2022·江门模拟)第24届北京冬季奥林匹克运动会的项目中有两大项是滑雪和滑冰，其中滑雪有6个分项，分别是高山滑雪、自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪和北欧两项，滑冰有3个分项，分别是短道速滑、速度滑冰和花样滑冰．甲和乙相约去观看比赛，他们约定每人观看两个分项，而且这两个分项要属于不同大项．若要求他们观看的分项最多只有一个相同，则不同的方案种数是()A．324 B．306 C．243 D．162答案 B解析由题意得，总的观看方案种数为(C16C13)2＝(6×3)2＝324，两个分项都相同的观看方案种数为C16C13＝6×3＝18，所以观看的分项最多只有一个相同的方案种数是324－18＝306.2．[T14补偿]已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝22，E为CC1的中点，则直线AC1到平面BED的距离为()A．2 B. 3 C. 2 D．1答案 D解析如图所示，连接AC交BD于点O，易知O为AC的中点，因为点E为CC1的中点，所以OE∥AC1，又OE ⊂平面BED ，AC 1⊄平面BED ， 所以AC 1∥平面BED ，所以直线AC 1到平面BED 的距离等于点C 1到平面BED 的距离． 又点E 为CC 1的中点，所以点C 1到平面BED 的距离等于点C 到平面BED 的距离． 设点C 到平面BED 的距离为d ， 由V C －BED ＝V E －BDC ， 得13S △BED ×d ＝13S △BDC ×EC ， 即13×12×22×2×d ＝13×12×2×2×2， 解得d ＝1，即直线AC 1到平面BED 的距离为1.3．[T8补偿]已知函数f (x )＝3e |x |.若存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得对任意的x ∈[1，m ]，m ∈Z 且m >1，都有f (x ＋t )≤3e x ，则m 的最大值为________． 答案 3解析 因为当t ∈[－1，＋∞)且x ∈[1，m ]时， x ＋t ≥0，所以f (x ＋t )≤3e x ⇔e x ＋t ≤e x ⇔t ≤1＋ln x －x ， 所以原条件等价于存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得不等式t ≤1＋ln x －x 对任意x ∈[1，m ]，m ∈Z 且m >1恒成立． 令h (x )＝1＋ln x －x (x ≥1)， 则h ′(x )＝1x－1≤0(x ≥1)，所以函数h (x )在[1，＋∞)上单调递减． 又x ∈[1，m ]，所以h (x )min ＝h (m )＝1＋ln m －m ，所以m 需满足1＋ln m －m ≥－1，m ∈Z 且m >1. 因为h (3)＝ln 3－2＝ln ⎝⎛⎭⎫1e ·3e >ln 1e＝－1，h (4)＝ln 4－3＝ln ⎝⎛⎭⎫1e ·4e 2<ln 1e ＝－1， 所以满足条件的m 的最大值为3.4．[T11补偿]若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－373，－5 解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2， 若g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数， 则g ′(x )≥0 在(t ，3)上恒成立，① 或g ′(x )≤0 在(t ，3)上恒成立．② 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t ，3)上恒成立，所以m ＋4≥2t －3t 在t ∈[1,2]上恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5 ； 由②得3x 2＋(m ＋4)x －2≤0，即m ＋4≤2x －3x 在x ∈(t ，3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.于是g (x )在区间(t ，3)上为单调函数时， m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－373∪[－5，＋∞)， 所以函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数时，m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－373，－5. 5．[T16补偿](2022·宁波模拟)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)若对任意的m ∈(－2,2)，方程f (x )＝m (其中x ∈[0，a ))始终有两个不同的根x 1，x 2. ①求实数a 的值；②求x 1＋x 2的值．解 (1)f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－π2 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，令π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 则5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π，k ∈Z ， 因此函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z )． (2)①当x ∈[0，a )时，2x －π3∈⎣⎡⎭⎫－π3，2a －π3， 所以2a －π3－⎝⎛⎭⎫－π3＝2π， 解得a ＝π.②由①知2x －π3∈⎣⎡⎭⎫－π3，5π3， 根据三角函数图象的对称性，可得2x 1－π3＋2x 2－π3＝π或2x 1－π3＋2x 2－π3＝3π，解得x 1＋x 2＝5π6或x 1＋x 2＝11π6.。

数学思想专项训练(二) 转化与化归思想一、选择题1．已知奇函数f (x )在R 上单调递增，且f (x 2＋x )－f (2)<0，则实数x 的取值范围为( )A ．(－2，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－2,1)D ．(－1,2)2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝4n＋t (t 是实数)，下列结正确的是( ) A ．t 为任意实数，{a n }均是等比数列 B ．当且仅当t ＝－1时，{a n }是等比数列 C ．当且仅当t ＝0时，{a n }是等比数列 D ．当且仅当t ＝－4时，{a n }是等比数列3．关于x 的不等式x 2＋16≥mx 在x ∈[1,10]上恒成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．(1,8)B ．(1,8]C ．(－∞，8)D ．(－∞，8]4．如图所示，在棱长为5的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF ＝2，点Q 是A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则四面体PQEF 的体积( )A ．是变量且有最大值B ．是变量且有最小值C ．是变量有最大值和最小值D ．是常量5．如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝3，那么y x的最大值是( ) A.12B.33C.32D. 36．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右支上存在一点P ，使得点P 到双曲线右焦点的距离等于它到直线x ＝－a 2c(其中c 2＝a 2＋b 2)的距离，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A ．(1，2]B ．[2，＋∞)C ．(1，2＋1]D ．[2＋1，＋∞)二、填空题7．设α为第四象限的角，若sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝________.8．若f (x )是定义在R 上的函数，对任意实数x 都有f (x ＋3)≤f (x )＋3和f (x ＋2)≥f (x )＋2，且f (1)＝1，则f (2 014)＝________.9．给定k ∈N +，设函数f ：N +→N +满足：对于任意大于k 的正整数n ，f (n )＝n －k .已知命题：k ＝3，当n ≤3且n ∈N +时，2≤f (n )≤3为真命题，则不同的函数f 的个数为________．10．若椭圆C 的方程为x 25＋y 2m ＝1，焦点在x 轴上，与直线y ＝kx ＋1总有公共点，那么m 的取值范围为________．三、解答题11．对于满足|p |≤2的所有实数p ，求使不等式x 2＋px ＋1＞2x ＋p 恒成立的x 的取值范围．12．设P 是双曲线x 23－y 2＝1右支上的一个动点，F 是双曲线的右焦点，已知A 点的坐标是(3,1)，求|PA |＋|PF |的最小值．答 案1．选C 依题意，由f (x 2＋x )－f (2)<0可得f (x 2＋x )<f (2)，由f (x )在R 上单调递增，即x 2＋x <2，得－2<x <1.2．选 B ∵S n ＝4n＋t ，∴S 1＝4＋t ，S 2＝16＋t ，S 3＝64＋t ，∴a 1＝4＋t ，a 2＝S 2－S 1＝12，a 3＝S 3－S 2＝48，若{a n }是等比数列，则a 22＝a 1a 3，∴122＝48(4＋t )，∴t ＝－1.3．选D 由于x ∈[1,10]，原不等式可化为m ≤x ＋16x.又x ＋16x≥2x ·16x＝8，当x ＝4时，等号成立．所以m ≤8，即m 的取值范围是(－∞，8]．4．选D 点Q 到棱AB 的距离为常数，所以△EFQ 的面积为定值．由C 1D 1∥EF ，可得棱C 1D 1∥平面EFQ ，所以点P 到平面EFQ 的距离是常数．于是四面体PQEF 的体积为常数．5．选D 原题即为：在圆(x －2)2＋y 2＝3上求一点P ，使直线OP 的斜率最大．如图，显然当直线OP 为圆的切线时斜率最大，设此时OP 与x 轴的夹角为θ，则有sin θ＝32，所以tan θ＝ 3. 6．选C 若离心率e ＝2，设双曲线为x 2－y 23＝1，P (x ，y )，则右焦点为(2,0)，依题意有⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＝(x －2)2＋y 2，联立双曲线方程，消去y ，得12x 2－20x ＋3＝0，该方程有实根，所以离心率可以取2，排除A ，D.若离心率e ＝3，设双曲线为x 2－y 28＝1，双曲线上不存在点P 使P 点到双曲线右焦点(3,0)的距离等于它到直线x ＝－13的距离，所以离心率不可以取3，排除B ，D ，选C.7．解析：借助三角变换转化求cos 2α、sin 2α，∵sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α， ∴sin 3αsin α＝2cos 2α＋cos 2α＝1＋cos 2α＋cos 2α＝135.∴cos 2α＝45.又2k π－π2＜α＜2k π(k ∈Z )，∴4kπ－π<2α<4k π(k ∈Z )， ∴sin 2α＝－35.∴tan 2α＝－34.答案：－348．解析：∵f (x ＋1)≤f (x ＋3)－2≤f (x )＋3－2＝f (x )＋1，f (x ＋1)≥f (x ＋4)－3≥f (x ＋2)＋2－3≥f (x )＋4－3＝f (x )＋1，∴f (x )＋1≤f (x ＋1)≤f (x )＋1，∴f (x ＋1)＝f (x )＋1，∴数列{f (n )}为首项为1，公差为1的等差数列． ∴f (2 014)＝f (1)＋2 013×1＝2 014. 答案：2 0149．解析：由题可知k ＝3，n ＞3时，f (n )＝n －3，(n －3)∈N +，而n ≤3时，2≤f (n )≤3，即f (n )∈{2,3}，即n ∈{1,2,3}，f (n )∈{2,3}，一一列举可知，三对一的有2种，二对一的有6种，不同的函数f 的个数为8.答案：810．解析：由椭圆C 的方程及焦点在x 轴上，知0＜m ＜5. 又直线与椭圆总有公共点，直线恒过点(0,1)，则定点(0,1)必在椭圆内部或边界上． 则025＋12m ≤1，即m ≥1. 故m 的取值范围为[1,5)． 答案：[1,5)11．解：构造函数f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，|p |≤2.当⎩⎪⎨⎪⎧f －2＞0，f2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1＋x 2－2x ＋1＞02x －1＋x 2－2x ＋1＞0时，亦即当⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＞0，x 2－1＞0，(*)时，f (p )＞0(|p |≤2)恒成立，由(*)式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞3或x ＜1x ＞1或x ＜－1∴x ＞3或x ＜－1.∴当x ＞3或x ＜－1时，f (p )＞0(|p |≤2)恒成立． 即：x 2＋px ＋1＞2x ＋p 恒成立．12．解：若设出P 点坐标，把|PA |＋|PF |表示出来，再求最值相当困难．画出图形，联想双曲线的定义，则可使问题迎刃而解．设F ′为双曲线的左焦点， 则|PF ′|－|PF |＝23， |PF |＝|PF ′|－23，∴|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PF ′|－23，原问题转化成了求|PA |＋|PF ′|的最小值问题，(如图)(|PA |＋|PF ′|)min ＝|AF ′|＝26.∴(|PA |＋|PF |)min ＝(|PA ＋|PF ′|)min －2 3 ＝26－2 3.。

高考冲刺转化与化归的思想编稿：孙永钊审稿：张林娟【高考展望】解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“转化与化归的思想方法”转化与化归思想在高考中占有相当重要的地位，可以说比比皆是，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.高考对本讲的考查为：（1）常量与变量的转化：如分离变量，求范围等。

（2）数与形的互相转化：若解析几何中斜率、函数中的单调性等。

（3）数学各分支的转化：函数与立体几何、向量与解析几何等的转化。

（4）出现更多的实际问题向数学模型的转化问题。

【知识升华】转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题变换转化为已解决的问题.解题的过程就是“化归”的过程，不断地改变待解决的问题，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止.1．转化与化归应遵循的原则（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和方法来解决.（2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所呈现的和谐统一的形式，或者转化命题，使其有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.2．转化与化归的基本类型（1）正与反、一般与特殊的转化，即正难则反，特殊化原则.（2）常量与变量的变化，即在处理多元问题时，选取其中的变量（或参数）当“主元”，其他的变量看作常量.（3）数与形的转化，即利用对数量关系的讨论来研究图形性质，也可利用图形直观提供思路，直观地反映函数或方程中的变量之间的关系.（4）数学各分支之间的转化，如利用向量方法解立体几何问题，用解析几何方法处理平面几何、代数、三角问题等.（5）相等与不等之间的转化，如利用均值不等式、判别式等.（6）实际问题与数学模型的转化.3．常见的转化方法（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.（2）换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换、获得转化途径.（4）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化.（5）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题.（6）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题.（7）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论.（8）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题.（9）一般化方法：当原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且又较难解决时，可将问题通过一般化的途径进行转化.（10）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的.（11）加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即把命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，加强命题法是非等价转化方法.（12）补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集U Að获得原问题的解决. 以上所列的一些方法是互相交叉的，不能截然分割.4．利用转化与化归的思想解决问题的模式可图示如下：【典型例题】类型一、函数、方程与不等式之间的转化与化归【例1高清转化与化归的思想例题1 ID:404094】设函数f(x)＝13x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常数a＞1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若当x≥0时，f(x)＞0恒成立，求a的取值范围．【思路点拨】(1)求f′(x)＝0的根，比较两根的大小、确定区间，讨论f(x)的单调性；(2)将f(x)＞0恒成立转化为f(x)的最小值大于0.【解析】(1)f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a)．由已知a＞1，∴2a＞2，∴令f′(x)＞0，解得x＞2a或x＜2，∴当x∈(－∞，2)和x∈(2a，＋∞)时，f(x)单调递增，当x∈(2,2a)时，f(x)单调递减．综上，当a＞1时，f(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数．(2)由(1)知，当x≥0时，f(x)在x＝2a或x＝0处取得最小值．f(2a)＝13(2a)3－(1＋a)(2a)2＋4a·2a＋24a＝－43a3＋4a2＋24a＝－43a(a－6)(a＋3)，f(0)＝24a.由题设知1,(2)0,(0)0,af af>⎧⎪>⎨⎪>⎩即1,4(3)(6)0,3240,aa a aa>⎧⎪⎪-+->⎨⎪>⎪⎩解得1＜a＜6.故a的取值范围是(1,6)．【总结升华】函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围． 举一反三：【变式】函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ▲ ．【答案】(【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得：1266000112log 0log 620<x >x >x >x x x x ≤-≥≤≤⎧⎧⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎩【例2】已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 【答案】212【思路点拨】利用递推数列的通项公式构造函数，利用导数判断函数单调性求解。

思想方法训练4 转化与化归思想能力突破训练1.已知M={(x ，y )｜y=x+a ｝，N=｛（x ，y )｜x 2+y 2=2｝，且M ∩N=⌀，则实数a 的取值范围是( ）A.a>2B.a<—2C.a 〉2或a<—2D.-2〈a 〈22.若直线y=x+b 被圆x 2+y 2=1所截得的弦长不小于1，则b 的取值范围是( )A .［—1，1］B 。

[-√22,√22] C .[-√32,√32] D 。

[-√62,√62]3。

设P 为曲线C :y=x 2+2x+3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0,π4],则点P 横坐标的取值范围为（ ）A 。

[-1,-12] B .［-1，0］ C 。

[0，1] D .[12,1]4。

设a=√22（sin 17°+cos 17°)，b=2cos 213°—1，c=√32，则a ,b ，c 的大小关系是( )A.c<a 〈b B 。

a<c<b C 。

b 〈a 〈c D.c<b<a5.(2015山东菏泽期末）已知定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (1)=3，且f (x )的导数f'(x ）在R 上恒有f’（x ）〈2(x ∈R ),则不等式f (x )〈2x+1的解集为( ）A 。

（1,+∞）B 。

(-∞,-1）C .(-1,1)D 。

(—∞,-1）∪（1,+∞）6。

已知函数f （x )=ax 3+b sin x+4（a ,b ∈R )，f （lg(log 210)）=5,则f （lg （lg 2)）=（ )A 。

—5B 。

-1 C.3 D 。

47。

在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是 .8.设f （x ）是定义在R 上的奇函数,且当x ≥0时，f （x ）=x 2，若对任意x ∈［a ,a+2］，不等式f (x+a ）≥f (3x+1）恒成立，则实数a 的取值范围是 .9.若对于任意t ∈[1,2］，函数g (x )=x 3+(m 2+2)x 2-2x 在区间（t ，3）上总不为单调函数,求实数m 的取值范围.10.已知函数f (x ）=23x 3-2ax 2-3x 。

2011高考数学二轮复习专题演练7.1 数学思想方法---转化与化归思想一、选择题1．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q 且a 2＝－6，那么a 10等于( )A ．－165B ．－33C ．－30D ．－21解析：由p p ＋q ＝a p ＋a q ，a 2＝－6，得a 4＝a 2＋a 2＝－12，同理a 8＝a 4＋a 4＝－24，所 以a 10＝a 8＋a 2＝－24－6＝－30.答案：C2．方程sin 2x ＋cos x ＋k ＝0有解，则k 的取值范围是 ( )A ．－1≤k ≤54B ．－54≤k ≤0 C ．0≤k ≤54 D ．－54≤k ≤1 解析：k ＝cos 2x －cos x －1＝⎝⎛⎭⎫cos x －122－54 当cos x ＝12时，k min ＝－54当cos x ＝－1时，k max ＝1，∴－54≤k ≤1，故选D. 答案：D3．设a >1，若对于任意的x ∈[a,2a ]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝3，这时a的取值的集合为 ( )A ．{a |1<a ≤2}B ．{a |a ≥2}C ．{a |2≤a ≤3}D ．{2,3}解析：∵log a x ＋log a y ＝3，∴xy ＝a 3.∴y ＝a 3x . 由于当x 在[a,2a ]内变化时，都有y ∈[a ，a 2]满足方程，因此[a ，a 2]应包含函数y ＝a 3x 在[a,2a ]上的值域，也就是函数y ＝a 3x在[a,2a ]的值域是[a ，a 2]的子集． ∵12a ≤1x ≤1a ，∴a 22≤a 3x≤a 2. ∴a 22≥a ，∴a ≥2. 答案：B4．(2009·全国Ⅰ)设a 、b 、c 是单位向量，有a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( )A ．－2 B.2－2C ．－1D ．1－ 2解析：解法一：设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(cos θ，sin θ)，则(a －c )·(b －c )＝(1－cos θ，－sin θ)·(－cos θ，1－sin θ)＝1－sin θ－cos θ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 因此当sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1时，(a －c )·(b －c ) 取到最小值1－ 2. 解法二：(a －c )·(b －c )＝a ·b －(a ＋b )·c ＋c 2＝1－(a ＋b )· c ≥1－|a ＋b ||c |＝1－(a ＋b 2) ＝1－ 2.答案：D5．e 416，e 525，e 636(其中e 为自然常数)的大小关系是 ( ) A.e 416<e 525<e 636 B.e 636<e 525<e 416C.e 525<e 416<e 636D.e 636<e 416<e 525解析：由于e 416＝e 442，e 525＝e 552，e 636＝e 662，故可构造函数f (x )＝e x x 2，于是f (4)＝e 416，f (5)＝ e 525，f (6)＝e 636. 而f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e x x 2′＝e x ·x 2－e x ·2x x 4＝e x (x 2－2x )x 4，令f ′(x )>0得x <0或x >2，即函数f (x ) 在(2，＋∞)上单调递增，因此有f (4)<f (5)<f (6)，即e 416<e 525<e 636，故选A. 答案：A二、填空题6．函数f (x )＝x ＋1－x 的值域为________．解析：∵f (x )的定义域为x ∈[0,1]，∴设x ＝sin 2α⎝⎛⎭⎫0≤α≤π2. 则f (x )＝y ＝sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4∈[1，2]． 答案：[1，2]7．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )，那么f (2)，f (1)，f (4)的大小关系是________．解析：转化为在同一个单调区间上比较大小问题．由f (2＋t )＝f (2－t )知f (x )的对称轴为x ＝2.∴f (x )在[2，＋∞)上为单调增函数．f (1)＝f (2×2－1)＝f (3)∵f (2) <f (3)<f (4)∴f (2)<f (1)<f (4)．答案：f (2)<f (1)<f (4)三、解答题8．已知非空集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0，x ∈R }，若A ∩R －≠∅，求实数m 的取值 范围(R －表示负实数集，R ＋表示正实数集)．解：设全集U ＝{m |Δ＝16m 2－8m －24≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≤－1，或m ≥32. 方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根均非负的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0，可得m ≥32. ∴A ∩R －＝∅时，实数m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≥32. ∴A ∩R －≠∅时，实数m 的取值范围为{m |m ≤－1}．9．对于满足|p |≤2的所有实数p ，求使不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p 恒成立的x 的取值范围．解：构造函数f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，|p |≤2.当⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)>0f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2(x －1)＋x 2－2x ＋1>02(x －1)＋x 2－2x ＋1>0时， 亦即当⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0x 2－1>0(*)时，f (p )>0(|p |≤2)恒成立，由(*)式得 ⎩⎪⎨⎪⎧x >3或<1x >1或x <－1. ∴x >3或x <－1.∴当x >3或x <－1时，f (p )>0(|p |≤2)恒成立．即：x 2＋px ＋1>2x ＋p 恒成立．10．设函数f (x )＝x －2m sin x ＋(2m －1)sin x cos x (m 为实数)在(0，π)上为增函数，试求m的取值范围．解：∵f (x )在区间(0，π)上是增函数，∴f ′(x )＝1－2m cos x ＋2⎝⎛⎭⎫m －12cos 2x ＝2[(2m －1)cos 2x －m cos x ＋1－m ]＝2(cos x －1)[(2m －1)cos x ＋(m －1)]>0在(0，π)上恒成立，令cos x ＝t ，则－1<t <1，即不等式(t －1)[(2m －1)t ＋(m －1)]>0在(－1,1)上恒成立， ①若m >12，则t <1－m2m －1在(－1,1)上恒成立，则只需1－m2m －1≥1，即12<m ≤23；②当m ＝12时，则0·t ＋12－1<0，在(－1,1)上显然成立；③若m <12，则t >1－m2m －1在(－1,1)上恒成立，则只需1－m2m －1≤－1，即0≤m <12.综上所述，所求实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，23.。

数学思想专项训练(二) 转化与化归思想一、选择题1．已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2－4)＜2，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(2，5)C ．(－5，－2)D ．(－5，－2)∪(2，5)2．已知函数f (x )＝a x 和函数g (x )＝b x 都是指数函数，则“f (2)＞g (2)”是“a ＞b ”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图所示，在棱长为5的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF ＝2，点Q 是A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则四面体PQEF 的体积( )A ．是变量且有最大值B ．是变量且有最小值C ．是变量有最大值和最小值D ．是常量4．已知点P 在直线x ＋y ＋5＝0上，点Q 在抛物线y 2＝2x 上，则|PQ |的最小值为( ) A.924 B ．22 C.322D. 2 5．在平面直角坐标系中，若与点A (1,1)的距离为1，且与点B (2，m )的距离为2的直线l 恰有两条，则实数m 的取值范围是( ) A ．[1－22，1＋22] B ．(1－22，1＋22) C ．[1－22，1)∪(1,1＋22] D ．(1－22，1)∪(1,1＋22)6．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，4]C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)二、填空题7．已知f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，对任意的x 1≥0，x 2≥0，若x 1≠x 2，则f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0.如果f ⎝⎛⎭⎫13＝34，4f ⎝⎛⎭⎫log 18x ＞3，那么x 的取值范围为________． 8．已知tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝2，则sin 2αcos 2β＝________. 9．(2015·西城期末)已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．10．若椭圆C 的方程为x 25＋y 2m＝1，焦点在x 轴上，与直线y ＝kx ＋1总有公共点，那么m 的取值范围为________．三、解答题11．(2015·潍坊二检)设奇函数f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，若函数f (x )≤t 2－2at ＋1(其中t ≠0)对所有的x ∈[－1,1]都成立，当a ∈[－1,1]时，求t 的取值范围．12．设P 是双曲线x 23－y 2＝1右支上的一个动点，F 是双曲线的右焦点，已知A 点的坐标是(3,1)，求|P A |＋|PF |的最小值．答案1．选D 因为函数f (x )＝ln x ＋2x 在定义域上单调递增，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x 2－4)＜2得f (x 2－4)<f (1)，所以0＜x 2－4＜1，解得－5＜x ＜－2或2＜x ＜ 5.2．选C 由于函数f (x )＝a x 和函数g (x )＝b x 都是指数函数，则a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，f (2)＞g (2)等价于a 2＞b 2，等价于a ＞b ，所以“f (2)＞g (2)”是“a ＞b ”的充要条件．故选C.3．选D 点Q 到棱AB 的距离为常数，所以△EFQ 的面积为定值．由C 1D 1∥EF ，可得棱C 1D 1∥平面EFQ ，所以点P 到平面EFQ 的距离是常数．于是四面体PQEF 的体积为常数．4．选A 设与直线x ＋y ＋5＝0平行且与抛物线y 2＝2x 相切的直线方程是x ＋y ＋m ＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋m ＝0，y 2＝2x 消去x 得y 2＋2y ＋2m ＝0，令Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，因此|PQ |的最小值为直线x ＋y ＋5＝0与直线x ＋y ＋12＝0之间的距离，即⎪⎪⎪⎪5－122＝924.5．选D 由题意可得，以点A (1,1)为圆心、1为半径的圆与以点B (2，m )为圆心、2为半径的圆相交，则1＜1＋(m －1)2＜9，得1－22＜m ＜1＋2 2 且m ≠1.6．选B 2x ln x ≥－x 2＋ax －3恒成立，即a ≤2ln x ＋x ＋3x 恒成立．设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2(x ＞0)．当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4.7．解析：依题意得，函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数，又f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，所以函数f (x )在(－∞，0)上是增函数，则4f ⎝⎛⎭⎫log 18x ＞3等价于f ⎝⎛⎭⎫log 18x ＞34，即f ⎝⎛⎭⎫log 18x ＞f ⎝⎛⎭⎫13，所以⎪⎪⎪⎪log 18x ＜13，解得12＜x ＜2. 答案：⎝⎛⎭⎫12，28．解析：sin 2αcos 2β＝sin[(α＋β)＋(α－β)]cos[(α＋β)－(α－β)]＝ sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)＝ tan (α＋β)＋tan (α－β)1＋tan (α＋β)tan (α－β)＝1. 答案：19．解析：因为命题p 是假命题，所以綈p 为真命题，即∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12＞0恒成立．当a ＝0时，x ＞－12，不满足题意；当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，1－4×12×a ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0a ＞12，所以a ＞12，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫12，＋∞10．解析：由椭圆C 的方程及焦点在x 轴上，知0＜m ＜5.又直线y ＝kx ＋1与椭圆总有公共点，直线恒过点(0,1)，则定点(0,1)必在椭圆内部或边界上．则025＋12m≤1，即m ≥1. 故m 的取值范围为[1,5)．答案：[1,5)11．解：因为奇函数f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，所以最大值为f (1)＝1，要使f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，则1≤t 2－2at ＋1，即t 2－2at ≥0.令g (a )＝－2ta＋t 2，可知⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)≥0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2t ＋t 2≥0，－2t ＋t 2≥0， 解得t ≥2或t ≤－2.故t 的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞)12．解：设F ′为双曲线的左焦点，则|PF ′|－|PF |＝23，|PF |＝|PF ′|－23，∴|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PF ′|－23，原问题转化成了求|P A |＋|PF ′|的最小值问题，(如图)(|P A |＋|PF ′|)min ＝|AF ′|＝26.∴(|P A |＋|PF |)min ＝(|P A ＋|PF ′|)min －2 3 ＝26－2 3.。