高考数学一轮复习滚动测试卷3

第三单元 函数的概念与性质B 卷 培优提能过关卷一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．（2021·全国高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ,()2f x +为偶函数,()21f x +为奇函数,则（ ） A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f =2．（2021·全国高考真题（理））设函数()f x 的定义域为R,()1f x +为奇函数,()2f x +为偶函数,当[]1,2x ∈时,2()f x ax b =+．若()()036f f +=,则92f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A ．94-B ．32-C ．74D ．523．（2021·全国高考真题（理））设函数1()1xf x x-=+,则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()11f x --B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++4．高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号.设x ∈R ,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则[]y x =称为高斯函数.例如：[]5,16-=-,[]3π=.已知函数()21xf x x =+,则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（ ） A ．{}1-B ．{}1,0-C ．{}1D ．{}0,15．（2021·湖北襄阳市·襄阳四中高三其他模拟）设奇函数f (x )在(0,+∞)上为增函数,且f (1)=0,则不等式(2021)(2021)02021f x f x x ---<-的解集为（ ）A ．()2020,20212,()022-⋃+∞B ．()(,20202021,2023)-∞⋃C ．()(),20202022,-∞⋃+∞D ．()()2020,20212021,2022⋃6．对于函数y ＝f （x ）,其定义域为D ,如果存在区间[m ,n ]⊆D ,同时满足下列条件：①f （x ）在[m ,n ]上是单调函数；②当f （x ）的定义域为[m ,n ]时,值域也是[m ,n ],则称区间[m ,n ]是函数f （x ）的“K 区间”.若函数f （x a （a ＞0）存在“K 区间”,则a 的取值范围为（ ） A ．13,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦D ．（14,1] 7．已知定义域为R 的偶函数y ＝f （x ）﹣3x 在[0,+∞）单调递增,若f （m ）+3≤f （1﹣m ）+6m ,则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞,2]B ．[2,+∞）C ．[12,+∞） D ．（﹣∞,12] 8．（2021·四川宜宾市·高三三模（文））已知()y f x =是定义在R 上的奇函数,满足()()12f x f x +=-,下列说法：①()y f x =的图象关于3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称； ②()y f x =的图象关于32x =对称； ③()y f x =在[]0,6内至少有5个零点；④若()y f x =在[]0,1上单调递增,则它在[]2021,2022上也是单调递增. 其中正确的是（ ） A ．①④ B ．②③C ．②③④D ．①③④二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9．（2021·重庆高三其他模拟）定义在R 上的函数()f x 满足()502f x f x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭,且54y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数,则下列关于函数()f x 的说法中一定正确的是（ ）A ．周期为52B ．图象关于点5,04⎛⎫-⎪⎝⎭对称C ．是偶函数D ．图象关于直线54x =对称 10．（2021·武汉市第一中学高三二模）若函数()y f x =对定义域D 内的每一个1x ,都存在唯一的2x D ∈,使得()()121f x f x =成立,则称()f x 为“自倒函数”．则下列结论正确的是（ ）A ．f (x )＝sin x （x ∈[－2π,2π]）是“自倒函数” B ．“自倒函数”()f x 可以是奇函数 C ．“自倒函数”()f x 的值域可以是RD ．若()()y f x y g x ==，都是“自倒函数”且定义域相同,则()()y f x g x =⋅也是“自倒函数”11．（2021·重庆南开中学高三模拟）已知函数()1y f x =-的图象关于直线1x =-对称,且对x ∀∈R 有()()4f x f x +-=.当(]0,2x ∈时,()2f x x =+.则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的周期8T =B ．()f x 的最大值为4C ．()20212f =D ．()2f x +为偶函数12．假设存在两个物种,前者有充足的食物和生存空间,而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者,后者为捕食者,现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以()x t 表示,被捕食者的数量以()y t 表示.下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系,其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法不．正确的是（ ）A ．若在1t 、2t 时刻满足：()()12y t y t =,则()()12x t x t =B ．如果()y t 数量是先上升后下降的,那么()x t 的数量一定也是先上升后下降C ．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D ．被捕食者数与捕食者数总和达到最大值时,捕食者的数量也会达到最大值三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．13．（2021·浙江高考真题）已知R a ∈,函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦,则a =___________.14．（2021·全国高考真题）已知函数()()322xx xa f x -=⋅-是偶函数,则a =______.15．（2021·河南洛阳市·高三模拟（理））若存在实常数k 和b ,使得()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立,则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“分隔直线”.已知函数()()2f x x x R =-∈,()()10g x x x=>,若()f x 和()g x 之间存在“分隔直线”,则b 的取值范围为___________.16．（2021·青海西宁市·高三二模（理））已知函数2()2f x x ax a =-++,a ∈R ,若()f x 在区间[1,1]-上的最大值是3,则a 的取值范围是______.四、解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）设函数() 3 1 2 2f x x x =-++的最小值M （1）求M ；（2）已知,,a b c 为正实数,且9a b c M ++=,求证242424(1)(1)(1)8a b c---≥．18．（2021·上海高三模拟）若函数f (x )对任意的x ∈R ,均有f (x ﹣1)+f (x +1)≥2f (x ),则称函数f (x )具有性质P .（1）判断下面两个函数是否具有性质P ,并说明理由； ①y =3x ；②y =x 3；（2）若函数g (x )=2(),,x x n x Qx x -∈⎧⎨⎩为无理数,试判断g (x )是否具有性质P ,并说明理由；（3）若函数f (x )具有性质P ,且f (0)=f (n )=0(n >2,n ∈N *)求证：对任意1≤k ≤n ﹣1,k ∈N *,均有f (k )≤0.19．（2021·上海市建平中学高三三模）上海市某地铁项目正在紧张建设中,通车后将给更多市民出行带来便利,已知该线路通车后,地铁的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤,*t N ∈,经测算,在某一时段,地铁载客量与发车时间间隔t 相关,当1020t ≤≤时地铁可达到满载状态,载客量为1200人,当210t ≤<时,载客量会减少,减少的人数与(10)t -的平方成正比,且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人,记地铁载客量为()p t .（1）求()p t 的解析式；（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t-=-（元）,问当发车时间间隔为多少时,该时段这条线路每分钟的净收益最大？20．（2021·江西九江市·九江一中高三其他模拟（理））已知()21f x x x a =+--. （1）若2a =-时,求()0f x <的解集；（2）当1,2x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时,不等式()2f x x a ≤+恒成立,求a 的取值范围．21．（2021·上海高三一模）已知实数,a b 是常数,函数())f x a b =.（1）求函数()f x 的定义域,判断函数的奇偶性,并说明理由；（2）若3,1a b =-=,设t =记t 的取值组成的集合为D ,则函数()f x 的值域与函数321()(3)2g t t t =-(t D ∈)的值域相同.试解决下列问题： （i ）求集合D ； （ii ）研究函数321()(3)2g t t t =-在定义域D 上是否具有单调性？若有,请用函数单调性定义加以证明；若没有,请说明理由.并利用你的研究结果进一步求出函数()f x 的最小值.22．设()()322f x x ax x x =+-∈R ,其中常数a ∈R .（1）判断函数()y f x =的奇偶性,并说明理由；（2）若不等式()332f x x >在区间1[,1]2上有解,求实数a 的取值范围； （3）已知：若对函数()y h x =定义域内的任意x ,都有()()22h x h m x n+-=,则函数()y h x =的图象有对称中心(),m n .利用以上结论探究：对于任意的实数a ,函数()y f x =是否都有对称中心？若是,求出对称中心的坐标(用a 表示)；若不是,证明你的结论一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．（2021·全国高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ,()2f x +为偶函数,()21f x +为奇函数,则（ ） A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f =【答案】B【解析】因为函数()2f x +为偶函数,则()()22f x f x +=-,可得()()31f x f x +=-,因为函数()21f x +为奇函数,则()()1221f x f x -=-+,所以,()()11f x f x -=-+, 所以,()()()311f x f x f x +=-+=-,即()()4f x f x =+, 故函数()f x 是以4为周期的周期函数,因为函数()()21F x f x =+为奇函数,则()()010F f ==, 故()()110f f -=-=,其它三个选项未知. 故选：B.2．（2021·全国高考真题（理））设函数()f x 的定义域为R,()1f x +为奇函数,()2f x +为偶函数,当[]1,2x ∈时,2()f x ax b =+．若()()036f f +=,则92f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A ．94-B ．32-C ．74D ．52【答案】D【解析】因为()1f x +是奇函数,所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数,所以()()22f x f x +=-+②．令1x =,由①得：()()()024f f a b =-=-+,由②得：()()31f f a b ==+, 因为()()036f f +=,所以()462a b a b a -+++=⇒=-,令0x =,由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=,所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 思路二：从周期性入手由两个对称性可知,函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D ．3．（2021·全国高考真题（理））设函数1()1xf x x-=+,则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()11f x -- B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++【答案】B【解析】由题意可得12()111x f x x x-==-+++, 对于A,()2112f x x--=-不是奇函数；对于B,()211f x x-=+是奇函数； 对于C,()21122f x x +-=-+,定义域不关于原点对称,不是奇函数； 对于D,()2112f x x ++=+,定义域不关于原点对称,不是奇函数. 故选：B4．高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号.设x ∈R ,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则[]y x =称为高斯函数.例如：[]5,16-=-,[]3π=.已知函数()21xf x x =+,则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（ ） A ．{}1- B ．{}1,0-C ．{}1D ．{}0,1【答案】B【解析】因为x ∈R ,()()f x f x -=-, 所以()f x 是R 上的奇函数. 当0x >时,()210122x x f x x x <=≤=+, 所以当x ∈R 时,()11,22f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, 从而()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为{}1,0-. 故选：B5．（2021·湖北襄阳市·襄阳四中高三其他模拟）设奇函数f (x )在(0,+∞)上为增函数,且f (1)=0,则不等式(2021)(2021)02021f x f x x ---<-的解集为（ ）A ．()2020,20212,()022-⋃+∞B ．()(,20202021,2023)-∞⋃C ．()(),20202022,-∞⋃+∞D ．()()2020,20212021,2022⋃【答案】D【解析】解：因为()f x 为奇函数,则()()f x f x -=-,所以(2021)(2021)02021f x f x x ---<-,等价于2(2021)02021f x x -<-,即2021x -与()2021f x -异号,即()2021020210f x x ⎧->⎨-<⎩或()2021020210f x x ⎧-<⎨->⎩,又()f x 在()0,∞+上单调递增,且()10f =,所以()f x 在(),0-∞上单调递增,且()10f -=若()20210f x -<,则020211x <-<或20211x -<- 若()20210f x ->,则120210x -<-<或20211x ->若()2021020210f x x ⎧-<⎨->⎩,所以2021120210x x -<-⎧⎨->⎩或02021120210x x <-<⎧⎨->⎩,解得20212022x <<；若()2021020210f x x ⎧->⎨-<⎩,所以2021120210x x ->⎧⎨-<⎩或12021020210x x -<-<⎧⎨-<⎩,解得20202021x <<；综上原不等式的解集为()()2020,20212021,2022⋃ 故选：D6．对于函数y ＝f （x ）,其定义域为D ,如果存在区间[m ,n ]⊆D ,同时满足下列条件：①f （x ）在[m ,n ]上是单调函数；②当f （x ）的定义域为[m ,n ]时,值域也是[m ,n ],则称区间[m ,n ]是函数f （x ）的“K 区间”.若函数f （xa （a ＞0）存在“K 区间”,则a 的取值范围为（ ） A ．13,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦D ．（14,1] 【答案】C【解析】()f x 为减函数,所以a na m==1.= 代人a n a m ==,得11a n a m ⎧=--⎪⎨=--⎪⎩问题转化为函数y a =与函数21(0)y x x x =-+≥有两个交点结合图像可知3,14a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选：C7．已知定义域为R 的偶函数y ＝f （x ）﹣3x 在[0,+∞）单调递增,若f （m ）+3≤f （1﹣m ）+6m ,则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞,2] B ．[2,+∞） C ．[12,+∞） D ．（﹣∞,12] 【答案】D【解析】解：设()()3g x f x x =-,由题意可知函数()g x 为偶函数,并且在[0,+∞）单调递增,由()3(1)6f m f m m +≤-+,得()3(1)3(1)f m m f m m -≤---,即()(1)g m g m ≤-, 所以()(1)g m g m ≤-, 因为()g x 在[0,+∞）单调递增,所以1m m ≤-,两边平方得22(1)m m ≤-,解得12m ≤, 所以实数m 的取值范围是（﹣∞,12], 故选：D8．（2021·四川宜宾市·高三三模（文））已知()y f x =是定义在R 上的奇函数,满足()()12f x f x +=-,下列说法：①()y f x =的图象关于3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称； ②()y f x =的图象关于32x =对称；③()y f x =在[]0,6内至少有5个零点；④若()y f x =在[]0,1上单调递增,则它在[]2021,2022上也是单调递增. 其中正确的是（ ） A ．①④ B ．②③C ．②③④D ．①③④【答案】D【解析】解：由于()y f x =是定义在R 上的奇函数,满足()()12f x f x +=-, 所以()()()3f x f x f x =-=--,整理得,()()3f x f x +=, 所以：()3()f x f x -+=-故对于①,函数()f x 的图象关于3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称,故①正确,②错误.对于③,函数()00f =,()30f =,()60f =, 由于()()()3f x f x f x =+=--,令32x =-,所以3322f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 整理得302f ⎛⎫=⎪⎝⎭,()332504.f f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,故③正确； 对于④,()()()2021673322f f f =⨯+=,所以函数()f x 在[]0,1上单调递增,则它在[]2021,2022上单调递增,故④正确； 故选：D.二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分． 9．（2021·重庆高三其他模拟）定义在R 上的函数()f x 满足()502f x f x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭,且54y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数,则下列关于函数()f x 的说法中一定正确的是（ ）A ．周期为52B ．图象关于点5,04⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．是偶函数 D ．图象关于直线54x =对称 【答案】BC【解析】由题知()52f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,若()f x 的周期为52,则()()f x f x =-,即()0f x =,显然不一定；由54y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭为奇函数知54f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象关于原点对称,故()f x 的图象关于5,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称,从而()52f x f x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭,又()52f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,∴5522f x f x ⎛⎫⎛⎫--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()f x 为偶函数；又由()52f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭知,()()52f x f x f x ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭,所以()f x 的图象关于点5,04⎛⎫⎪⎝⎭对称. 10．（2021·武汉市第一中学高三二模）若函数()y f x =对定义域D 内的每一个1x ,都存在唯一的2x D ∈,使得()()121f x f x =成立,则称()f x 为“自倒函数”．则下列结论正确的是（ ）A ．f (x )＝sin x （x ∈[－2π,2π]）是“自倒函数” B ．“自倒函数”()f x 可以是奇函数 C ．“自倒函数”()f x 的值域可以是RD ．若()()y f x y g x ==，都是“自倒函数”且定义域相同,则()()y f x g x =⋅也是“自倒函数” 【答案】AB【解析】对于A,()sin ,22f x x x ππ⎫⎡⎤=+∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎭,任取1,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,有[]1sin 1,1x ∈,∴()11sin f x x =且()11]f x ∈；由()()121f x f x =,得()()211f x f x ==即2sin x =,∴2sin x =且2sin x ∈,即2sin [1,1]x ∈-,显然存在唯一的2,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦满足题意. ∴()f x 是,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的自倒函数,所以A 正确； 对于B,当()f x 是奇函数时,不妨设1()f x x=,其中(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞, 则任取1(,0)(0,)x ∈-∞+∞,有()111(,0)(0,)f x x =∈-∞⋃+∞, 由()()1212111f x f x x x =⋅=得211x x =,其中(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞,∴()f x 是定义域上的自倒函数,所以B 正确；对于C,若自倒函数()f x 的值域是R ,则当()10?f x =时,不存在2x D ∈,使得()()121f x f x ⋅=成立,所以自倒函数()f x 的值域不可以是R ,命题不成立,所以C 错误；对于D,当()y f x =,()y g x =都是自倒函数,且定义域相同时,函数()()y f x g x =⋅不一定是自倒函数, 例如()()1f x g x x ==,其中(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞,则()()21y f x g x x=⋅=不是自倒函数,因为由2212111x x ⋅=,得22211x x =,∴211x x =±不唯一,故命题不成立,所以D 错误． 故选：AB ．11．（2021·重庆南开中学高三模拟）已知函数()1y f x =-的图象关于直线1x =-对称,且对x ∀∈R 有()()4f x f x +-=.当(]0,2x ∈时,()2f x x =+.则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的周期8T =B ．()f x 的最大值为4C ．()20212f =D ．()2f x +为偶函数【答案】ABD【解析】解：函数()1y f x =-的图象关于直线1x =-对称,∴函数()y f x =的图象关于直线2x =-对称, ∴()()22f x f x -+=--对x R ∀∈有()()4f x f x +-=,∴函数()y f x =的图象关于()0,2中心对称,∴()()2222f x f x -++=--+⎡⎤⎣⎦,即()()()44f x f x f x =--=--,又()()444f x f x --++=,即()()444f x f x --=-+,∴()()4f x f x +=-,∴()()()444f x f x f x ++=-+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,即()()8f x f x +=,()()22f x f x +=-+, ∴()f x 的周期8T =,选项A 正确；()2f x +为偶函数,选项D 正确；当(]0,2x ∈时,()2f x x =+,()()4f x f x +-=,∴当[)2,0x ∈-时,(]0,2x -∈,()24f x x +-+=,即()2f x x =+, ∴当[]2,2x ∈-时,()2f x x =+,又函数()y f x =的图象关于直线2x =-对称,∴在一个周期[]6,2-上,()()max 24f x f ==,()f x ∴在R 上的最大值为4,选项B 正确；()()()()()2021252855141121f f f f f =⨯+==+=-=-+=∴,选项C 错误.故选：ABD.12．假设存在两个物种,前者有充足的食物和生存空间,而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者,后者为捕食者,现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以()x t 表示,被捕食者的数量以()y t 表示.下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系,其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法不．正确的是（ ）A ．若在1t 、2t 时刻满足：()()12y t y t =,则()()12x t x t =B ．如果()y t 数量是先上升后下降的,那么()x t 的数量一定也是先上升后下降C ．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D ．被捕食者数与捕食者数总和达到最大值时,捕食者的数量也会达到最大值 【答案】ABD【解析】由图可知,曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等,故A 不正确；在曲线上半段中观察到()y t 是先上升后下降,而()x t 是不断变小的,故B 不正确； 捕食者数量最大时是在图象最右端,最小值是在图象最左端,此时都不是被捕食者的数量的最值处,同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时,也不是捕食者数量取最值的时候,所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值,故C 正确； 当捕食者数量最大时在图象最右端,()()25,30x t ∈,()()0,50y t ∈,此时二者总和()()()25,80x t y t +∈,由图象可知存在点()10x t =,()100y t =,()()110x t y t +=,所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时,被捕食者数量也会达到最大值,故D 错误, 故选：ABD.三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．13．（2021·浙江高考真题）已知R a ∈,函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦,则a =___________. 【答案】2【解析】()()642233f ff f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦,故2a =, 故答案为：2.14．（2021·全国高考真题）已知函数()()322xx x a f x -=⋅-是偶函数,则a =______.【答案】1【解析】因为()()322xx xa f x -=⋅-,故()()322x x f x x a --=-⋅-,因为()f x 为偶函数,故()()f x f x -=, 时()()332222xx x x xa x a --⋅-=-⋅-,整理得到()()12+2=0x x a --,故1a =, 故答案为：115．（2021·河南洛阳市·高三模拟（理））若存在实常数k 和b ,使得()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立,则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“分隔直线”.已知函数()()2f x x x R =-∈,()()10g x x x=>,若()f x 和()g x 之间存在“分隔直线”,则b 的取值范围为___________. 【答案】[]0,4【解析】如下图所示：由图可知,21x kx b x-≤+≤,可得20x kx b ++≥对任意的x ∈R 恒成立, 则2140k b ∆=-≤,即24k b ≤,不等式210kx bx +-≤对任意的0x >恒成立,①若0k >,当x →+∞时,()21kx bx +-→+∞,不合乎题意； ②若0k =,则10bx -≤对任意的0x >恒成立,则1b x<,可得0b ≤, 又24k b ≥对任意的x ∈R 恒成立,则0b ≥,0b ∴=；③若0k <,则2240b k ∆=+≤,所以,421664b k b ≤≤,即()()()432646444160b b b b b b b b -=-=-++≤,解得04b ≤≤.综上所述,实数b 的取值范围是[]0,4. 故答案为：[]0,4.16．（2021·青海西宁市·高三二模（理））已知函数2()2f x x ax a =-++,a ∈R ,若()f x 在区间[1,1]-上的最大值是3,则a 的取值范围是______.【答案】(,0]-∞【解析】由题易知(0)23f a =+≤,即1a ≤,所以()1333f a a a a =-+=-+=, 又(1)|3|3f a a -=++≤, 所以0a ≤.下证0a ≤时,()f x 在[1,1]-上最大值为3.当(0,1]x ∈时,22()22f x x ax a x ax a =-++=-++,max ()(1)3f x f ==;当[1,0]x ∈-,若12a≤-,即2a ≤-, 则{}max ()max (1),(0)f x f f =-,满足; 若102a-<≤,即20a -<≤, 此时222122(2)332444a a a f a a a ⎛⎫=-+=-+=--+≤ ⎪⎝⎭, 而max()max (1),,(0)2a f x f f f ⎧⎫⎛⎫=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭,满足; 因此,0a ≤符合题意.四、解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）设函数() 3 1 2 2f x x x =-++的最小值M （1）求M ；（2）已知,,a b c 为正实数,且9a b c M ++=,求证242424(1)(1)(1)8a b c---≥． 【答案】（1）83=M ；（2）证明见解析. 【解析】（1）由题可得151,31()3,1351,1x x f x x x x x ⎧+≥⎪⎪⎪=-+-<<⎨⎪--≤-⎪⎪⎩,13x ≥时,8513x +≥,113x -<<时,8343x <-+<,1x ≤-时,514x --≥,于是有8,()3x R f x ∀∈≥,所以min 18()()33M f x f ===； （2）由（1）知24a b c ++=,可得24241a b c a a a -+-==,同理得241a c b b+-=,241a bc c+-=, 由基本不等式可得242424()()()(1)(1)(1)8b c c a a b a b c abc +++---=≥=当且仅当8a b c ===时取“=”,所以242424(1)(1)(1)8a b c---≥． 18．（2021·上海高三模拟）若函数f (x )对任意的x ∈R ,均有f (x ﹣1)+f (x +1)≥2f (x ),则称函数f (x )具有性质P .（1）判断下面两个函数是否具有性质P ,并说明理由； ①y =3x ；②y =x 3； （2）若函数g (x )=2(),,x x n x Qx x -∈⎧⎨⎩为无理数,试判断g (x )是否具有性质P ,并说明理由； （3）若函数f (x )具有性质P ,且f (0)=f (n )=0(n >2,n ∈N *)求证：对任意1≤k ≤n ﹣1,k ∈N *,均有f (k )≤0.【答案】（1）①具有性质P ,②不具有性质P ,理由见解析；（2）g (x )具有性质P ,理由见解析；（3）证明见解析.【解析】解：（1）①f (x ﹣1)+f (x +1)﹣2f (x )=3x ﹣1+3x +1﹣2×3x =3x (1323+-)>0,故①具有性质P ；②不具有性质P ,如x =﹣1时,f (x ﹣1)+f (x +1)=f (﹣2)+f (0)=﹣8,而2f (﹣1)=﹣2,不满足不等式,（2）1°当x 为有理数时,具有性质P ,理由如下：f (x ﹣1)+f (x +1)﹣2f (x )=(x ﹣1)2+(x +1)2﹣2x 2﹣n (x ﹣1+x +1﹣2x )=2≥0,2°当x 为无理数时,具有性质P ,理由如下：f (x ﹣1)+f (x +1)﹣2f (x )=(x ﹣1)2+(x +1)2﹣2x 2=2>0,综上可知g (x )具有性质P .（3）证明：假设f (x )为f （1）,f （2）,…,f (n ﹣1)中第一个大于0的值,则f (k )﹣f (k ﹣1)>0,因为函数f (x )具有性质P ,所以f (n +1)﹣f (n )≥f (n )﹣f (n ﹣1),所以f (n +1)﹣f (n )≥f (n )﹣f (n ﹣1)≥…≥f (k )﹣f (k ﹣1)>0,所以f (n )=[f (n )﹣f (n ﹣1)]+[f (n ﹣1)﹣f (n ﹣2)]+…+f （1）>0,与f (n )=0矛盾,所以假设错误,原命题正确,即对于任意的1≤k ≤n ﹣1,k ∈N *,均有f (k )≤0.19．（2021·上海市建平中学高三三模）上海市某地铁项目正在紧张建设中,通车后将给更多市民出行带来便利,已知该线路通车后,地铁的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤,*t N ∈,经测算,在某一时段,地铁载客量与发车时间间隔t 相关,当1020t ≤≤时地铁可达到满载状态,载客量为1200人,当210t ≤<时,载客量会减少,减少的人数与(10)t -的平方成正比,且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人,记地铁载客量为()p t .（1）求()p t 的解析式；（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t-=-（元）,问当发车时间间隔为多少时,该时段这条线路每分钟的净收益最大？【答案】（1）210200200,?210()()1200,1?020t t t p t t N t *⎧-++≤<=∈⎨≤≤⎩；（2）6分钟. 【解析】（1）由题意知21200(10),?210()?()1200,?1?020k t t p t t N t *⎧--≤<=∈⎨≤≤⎩,（k 为常数）, 因2(2)1200(102)120064560p k k =--=-=,则10k =,所以210200200,?210()()1200,1?020t t t p t t N t *⎧-++≤<=∈⎨≤≤⎩； （2）由6()3360360p t Q t -=-得26(10200200)3360360,?2103840360,1?020t t t t Q t t⎧-++--≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩, 即)3684060(),210(3840360,1020t t t Q t N t t*⎧-+≤<⎪⎪=∈⎨⎪-≤≤⎪⎩, ①当210t ≤<时,3684060()8406012120Q t t=-+≤-⨯=,当且仅当6t =等号成立； ②当1020t ≤≤时,3840360Q t=-在[10,20]上递减,当10t =时Q 取最大值24, 由①②可知,当发车时间间隔为6t =分钟时,该时段这条线路每分钟的净收益最大,最大为120元.20．（2021·江西九江市·九江一中高三其他模拟（理））已知()21f x x x a =+--.（1）若2a =-时,求()0f x <的解集；（2）当1,2x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时,不等式()2f x x a ≤+恒成立,求a 的取值范围． 【答案】（1）()1,1-；（2）[)1,+∞．【解析】（1）当2a =-时,()212f x x x =+-+,则()0f x <即2120x x +-+<,212x x +<+,()()22212x x <++,21x <,解得11x -<<, 故当2a =-时,()0f x <的解集为()1,1-.（2）当1,2x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时,()212131f x x x a x x a x a =+--=++-=+-, 不等式()2f x x a ≤+恒成立,即312x a x a +-≤+恒成立,312x a x a +-≤+,即21x a ≤-,因为x a ≤,所以21a a ≤-,解得1a ≥,a 的取值范围为[)1,+∞.21．（2021·上海高三一模）已知实数,a b 是常数,函数())f x a b =.（1）求函数()f x 的定义域,判断函数的奇偶性,并说明理由；（2）若3,1a b =-=,设t =记t 的取值组成的集合为D ,则函数()f x 的值域与函数321()(3)2g t t t =-(t D ∈)的值域相同.试解决下列问题： （i ）求集合D ；（ii ）研究函数321()(3)2g t t t =-在定义域D 上是否具有单调性？若有,请用函数单调性定义加以证明；若没有,请说明理由.并利用你的研究结果进一步求出函数()f x 的最小值.【答案】（1）定义域为[1,1]-,()f x 为偶函数,理由见解析；（2）（i）2]；（ii ）()g t 在D 上是减函数,证明见解析,()f x 最小值为2-.【解析】（1）实数,a b 是常数,函数())f x a b =,∴由2101010x x x +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩,解得11x -≤≤.∴函数的定义域是[1,1]-.对于任意[1,1]x ∈-,有[1,1]x -∈-,())f x a b -=)()a b f x ==,即()()f x f x -=对[1,1]x ∈-都成立(又()f x 不恒为零),∴函数()f x 是偶函数.（2）由3,1a b =-=,有()1)f x =.（i）t =11x -≤≤),则22t =+∴01≤≤,224(0)t t ≤≤≥,2t ≤≤.2]D ∴=.（ii ）由（i ）知：321()(3)2g t t t =-的定义域为2]D =. 对于任意的12,t t D ∈且12t t <,有32321211221()()[3(3)]2g t g t t t t t -=---2212112212121[()()3()()]2t t t t t t t t t t =-++--+22121122121122111()[(2)(2)()()]222t t t t t t t t t t t t =--+-+-+-1211221221111()[(2)(2)(2)(2)]222t t t t t t t t t t =--+-+-+-. 又12120,0,0t t t t >>-<且1220,20t t -≤-≤(这里二者的等号不能同时成立), ∴1211221221111()[(2)(2)(2)(2)]0222t t t t t t t t t t --+-+-+->,即1212()()0,()()g t g t g t g t ->>.∴函数()g t 在D 上是减函数.∴()()()32min 1223222g t g ==⨯-⨯=-. 又函数()f x 的值域与函数321()(3)2g t t t =-的值域相同, ∴函数()f x 的最小值为2-.22．设()()322f x x ax x x =+-∈R ,其中常数a ∈R . （1）判断函数()y f x =的奇偶性,并说明理由；（2）若不等式()332f x x >在区间1[,1]2上有解,求实数a 的取值范围； （3）已知：若对函数()y h x =定义域内的任意x ,都有()()22h x h m x n +-=,则函数()y h x =的图象有对称中心(),m n .利用以上结论探究：对于任意的实数a ,函数()y f x =是否都有对称中心？若是,求出对称中心的坐标(用a 表示)；若不是,证明你的结论.【答案】（1）答案见解析；（2）5(,)2+∞；（3）有对称中心,对称中心为322(,)3273a a a -+. 【解析】（1）当0a =时,()32f x x x =-,()32f x x x -=-+所以()()f x f x =--,()y f x =为奇函数.当0a ≠时,()11f a =-,()11f a -=+,因为()()11f f -≠±,所以()f x 既不是奇函数也不是偶函数.（2）原问题可化为122a x x >+在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解,则min122a x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭, 因为函数122y x x =+在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减, 所以min 52y =,所以52a >,所以a 的取值范围是5(,)2+∞.（3）假设存在对称中心(),m n ,则()()()3232222222x ax x m x a m x m x n +-+-+---=恒成立,得()()2232621248442m a x m am x m am m n +-+++-=恒成立所以23262012408442m a m am m am m n+=⎧⎪+=⎨⎪+-=⎩, 得3a m =-,322273a an =+,所以函数()y f x =有对称中心322(,)3273a a a -+。

第三章 单元测试卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1．若曲线y ＝f (x )在点)处的切线方程为3x －y ＋1＝0，则( )答案 B2．三次函数y ＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)内是减函数，则 ( )A ．a ≤0B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ＝13答案 A解析 y ′＝3ax 2－1，由y ′≤0，得3ax 2－1≤0. ∴a ≤0.3．如果函数f (x )＝x 4－x 2，那么f ′(i)＝( )A ．－2iB ．2iC ．6iD ．－6i答案 D解析 因为f ′(x )＝4x 3－2x ，所以f ′(i)＝4i 3－2i ＝－6i. 4．函数f (x )＝e x cos x 的图像在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为 ( )A ．0 B.π4 C ．1 D.π2答案 B解析 f ′(x )＝(e x cos x )′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＝e x cos x ＋e x (－sin x )＝e x (cos x －sin x )，则函数f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率，故切线的倾斜角为π4，故选B.5．已知f (x )＝x (2 013＋ln x )，，则 ( )A ．e 2B ．1C ．ln2D ．e答案 B解析 由题意可知f ′(x)＝2 013＋ln x ＋x·1x ＝2 014＋ln x. 由.6．若函数f(x)＝cos x ＋2xf ′(π6)，则f(－π3)与f(π3)的大小关系是 ( ) A ．f(－π3)＝f(π3) B ．f(－π3)>f(π3) C ．f(－π3)<f(π3) D ．不确定答案 C解析 依题意得f ′(x)＝－sin x ＋2f ′(π6)，f ′(π6)＝－sin π6＋2f ′(π6)，f ′(π6)＝12，f ′(x)＝－sin x ＋1≥0.f(x)＝cos x ＋x 是R 上的增函数，注意到－π3<π3，于是有f (－π3)<f (π3)，选C.7．设f (x )是一个三次函数，f ′(x )为其导函数，如图所示的是y ＝x ·f ′(x )的图像的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别是( )A ．f (1)与f (－1)B ．f (－1)与f (1)C ．f (－2)与f (2)D ．f (2)与f (－2)答案 C解析 ∵f (x )是一个三次函数，易知y ＝x ·f ′(x )也是三次函数，观察图像，可知y ＝x ·f ′(x )有三个零点－2,0,2.设y ＝x ·f ′(x )＝ax (x －2)(x ＋2)，∵当x >2时，y ＝x ·f ′(x )>0，∴a >0. ∴f ′(x )＝a (x －2)(x ＋2)．∴f (－2)是极大值，f (2)是极小值，故选C.8．家电下乡政策是应对金融危机，积极扩大内需的重要举措．我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定的时间T 内完成预期运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如下图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )答案 B解析 由题意可知，运输效率越来越高，只需曲线上点的切线的斜率越来越大即可，观察图形可知，选项B 满足条件，故选B.9．(2013·石家庄模拟)设函数f (x )在R 上要导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是 ( )答案 C解析 由f (x )在x ＝－2处取得极小值可知 当x <－2时，f ′(x )<0，则xf ′(x )>0， 当x >－2时，f ′(x )>0，则当－2<x <0时， xf ′(x )<0，当x >0时，xf ′(x )>0.10．已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点，且，，则f (－1)的取值范围是 ( ) A ．[－32，3] B ．[32，6] C ．[3,12] D ．[－32，12]答案 C解析f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ，由题意，得⎩⎨⎧f ′(－2)＝12－8b ＋c ≥0，f ′(－1)＝3－4b ＋c ≤0，f ′(1)＝3＋4b ＋c ≤0，f ′(2)＝12＋8b ＋c ≥0.f (－1)＝2b －c ，当直线过点A 时f (－1)取最小值3，当直线过点B 时取最大值12，故选C.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)11．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝________.答案 －1解析 f ′(x )＝2f ′(1)＋1x ，令x ＝1，得f ′(1)＝－1.12．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若函数f (x )＝a ·b 在区间(－1,1)上是增函数，则实数t 的取值范围是________．答案 [5，＋∞)解析 f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ， f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t ，由题意f ′(x )>0在(－1,1)上恒成立， 则⎩⎨⎧ f ′(－1)≥0，f ′(1)≥0，即⎩⎨⎧t －5≥0，t －1≥0，解得t ≥5.13．已知曲线y ＝x 2－1在处的切线与曲线y ＝1－x 3在处的切线互相平行，则的值为________．答案 0或－23解析 y ′＝2x ，y ′＝－3x 2，曲线y ＝x 2－1在处的切线斜率，曲线处的切线斜率为，则，解得或.14．函数f (x )＝3x －x 3在区间(a 2－12，a )上有最小值，则实数a 的取值范围是________．答案 (－1,2]解析 f ′(x )＝3－3x 2＝－3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得 x 1＝－1，x 2＝1.当x 变化时，f ′(x )、f (x )变化情况如下表∴x 1＝－1，x 2＝2.∵f (x )在开区间(a 2－12，a )上有最小值， ∴最小值一定是极小值．∴⎩⎨⎧a 2－12<－1<a ，a ≤2，解得－1<a ≤2. 15．若函数f (x )＝x －p x ＋p2在(1，＋∞)上是增函数，则实数p 的取值范围是________．答案 [－1，＋∞)解析 f ′(x )＝1＋px 2≥0对x >1恒成立，即x 2＋p ≥0对x >1恒成立，∴p ≥－x 2(x >1)．∴p ≥－1.16．函数y ＝x ＋2cos x 在区间[0，π2]上的最大值是________． 答案 π6＋ 3解析 由y ′＝1－2sin x ＝0，得x ＝π6，x ∈(0，π6)时，y ′>0，x ∈(π6，π2)，y ′<0，函数在x ＝π6处取得最大值，y max ＝π6＋2×32＝π6＋ 3.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)设函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a ≠0)为奇函数，其图像在点(1，f (1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f ′(x )的最小值为－12.(1)求a ，b ，c 的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间，并求函数f (x )在[－1,3]上的最大值和最小值． 解析 (1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3－bx ＋c ＝－ax 3－bx －c . ∴c ＝0，∵f ′(x )＝3ax 2＋b 的最小值为－12，∴b ＝－12. 又直线x －6y －7＝0的斜率为16， 因此，f ′(1)＝3a ＋b ＝－6. ∴a ＝2，b ＝－12，c ＝0.(2)单调递增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)． f (x )在[－1,3]上的最大值是18，最小值是－8 2.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2ax ＋a 2－1x 2＋1，其中a ∈R .(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程； (2)求f (x )的单调区间．解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝2xx 2＋1，f ′(x )＝－2(x ＋1)(x －1)(x 2＋1)2.由f′(0)＝2，得曲线y＝f(x)在原点处的切线方程是2x－y＝0.(2)f′(x)＝－2(x＋a)(ax－1)(x2＋1)2.①当a＝0时，f′(x)＝2x (x2＋1)2.所以f(x)在(0，＋∞)单调递增，在(－∞，0)单调递减．当a≠0，f′(x)＝－2a (x＋a)(x－1a) (x2＋1)2.②当a>0时，令f′(x)＝0，得x1＝－a，x2＝1a，f(x)与f′(x)的情况如下：故f(x)的单调减区间是(－∞，－a)，(1a，＋∞)；单调增区间是(－a，1a)．③当a<0时，f(x)与f′(x)的情况如下：所以f(x)的单调增区间是(－∞，1a)，(－a，＋∞)；单调减区间是(1a，－a)．综上，a>0时，f(x)在(－∞，－a)，(1a，＋∞)单调递减；在(－a，1a)单调递增．a＝0时，f(x)在(0，＋∞)单调递增；在(－∞，0)单调递减．a<0时，f(x)在(－∞，1a)，(－a，＋∞)单调递增；在(1a，－a)单调递减．19．已知函数f (x )＝12x 2－m ln x .(1)若函数f (x )在(12，＋∞)上是递增的，求实数m 的取值范围； (2)当m ＝2时，求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值．解析 (1)若函数f (x )在(12，＋∞)上是增函数，则f ′(x )≥0在(12，＋∞)上恒成立．而f ′(x )＝x －m x ，即m ≤x 2在(12，＋∞)上恒成立，即m ≤14.(2)当m ＝2时，f ′(x )＝x －2x ＝x 2－2x .令f ′(x )＝0，得x ＝± 2.当x ∈[1，2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，e)时，f ′(x )>0，故x ＝2是函数f (x )在[1，e]上唯一的极小值点，故f (x )min ＝f (2)＝1－ln2，又f (1)＝12，f (e)＝12e 2－2＝e 2－42>12，故f (x )max ＝e 2－42.20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0.(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x >0，且x ≠1时，f (x )>ln xx －1. 解析 (1)f ′(x )＝a (x ＋1x －ln x )(x ＋1)2－bx 2. 由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)故⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12.解得a ＝1，b ＝1. (2)由(1)知f (x )＝ln x x ＋1＋1x，所以f (x )－ln x x －1＝11－x 2(2ln x －x 2－1x )．考虑函数h (x )＝2ln x －x 2－1x (x >0)，则h ′(x )＝2x －2x 2－(x 2－1)x 2＝－(x －1)2x 2.所以当x ≠1时，h ′(x )<0.而h (1)＝0，故 当x ∈(0,1)时，h (x )>0，可得11－x 2h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0，可得11－x 2h (x )>0. 从而当x >0，且x ≠1时，f (x )－ln x x －1>0，即f (x )>ln xx －1. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－x 2＋2ln x . (1)求函数f (x )的最大值；(2)若函数f (x )与g (x )＝x ＋ax 有相同极值点， ①求实数a 的值； ②若对于，不等式恒成立，求实数k 的取值范围．解析 (1)f ′(x )＝－2x ＋2x ＝－2(x ＋1)(x －1)x (x >0)，由⎩⎨⎧ f ′(x )>0，x >0，得0<x <1；由⎩⎨⎧f ′(x )<0，x >0，得x >1. ∴f (x )在(0,1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数． ∴函数f (x )的最大值为f (1)＝－1. (2)∵g (x )＝x ＋a x ，∴g ′(x )＝1－a x 2. ①由(1)知，x ＝1是函数f (x )的极值点． 又∵函数f (x )与g (x )＝x ＋ax 有相同极值点， ∴x ＝1是函数g (x )的极值点． ∴g ′(1)＝1－a ＝0，解得a ＝1.经检验，当a ＝1时，函数g (x )取到极小值，符合题意． ②∵f (1e )＝－1e 2－2，f (1)＝－1，f (3)＝－9＋2ln3， ∵－9＋2ln3<－1e 2－2<－1，即f (3)<f (1e )<f (1)， ∴，＝－9＋2ln3，＝f (1)＝－1.由①知g (x )＝x ＋1x ，∴g ′(x )＝1－1x 2.故g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时，g ′(x )<0；当x ∈(1,3]时，g ′(x )>0.故g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1上为减函数，在(1,3]上为增函数．∵g (1e )＝e ＋1e ，g (1)＝2，g (3)＝3＋13＝103， 而2<e ＋1e <103，∴g (1)<g (1e )<g (3)． ∴，.当k －1>0，即k >1时， 对于≤1恒成立.∵，∴k ≥－3＋1＝－2，又∵k >1，∴k >1. 当k －1<0，即k <1时， 对于，恒成立.∵，∴k ≤－343＋2ln3.又∵k <1，∴k ≤－343＋2ln3.综上，所求的实数k 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－343＋2ln3∪(1，＋∞)． 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋x 2，g (x )＝x ln a ，a >1.(1)求证：函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)若函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪F (x )－b ＋1b －3有四个零点，求b 的取值范围；(3)若对于任意的时，都有e 2－2恒成立，求a 的取值范围．解析 (1)∵F (x )＝f (x )－g (x )＝a x ＋x 2－x ln a ，∴F ′(x )＝a x ·ln a ＋2x －ln a ＝(a x －1)ln a ＋2x .∵a >1，x >0，∴a x －1>0，ln a >0,2x >0.∴当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )>0，即函数F (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知当x ∈(－∞，0)时，F ′(x )<0，所以F (x )在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴F (x )取得最小值为F (0)＝1.由⎪⎪⎪⎪⎪⎪F (x )－b ＋1b －3＝0，得F (x )＝b －1b ＋3或F (x )＝b －1b －3. 所以要使函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪F (x )－b ＋1b －3有四个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧ b －1b ＋3>1，b －1b －3>1，即b－1b >4，即b 2－4b －1b>0， 解得b >2＋5或2－5<b <0.(3)∵，由(1)知F (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．∴F (x )min ＝F (0)＝1.从而再来比较F (－1)与F (1)的大小即可．F (－1)＝1a ＋1＋ln a ，F (1)＝a ＋1－ln a ，∴F (1)－F (－1)＝a －1a －2ln a .令H (x )＝x －1x －2ln x (x >0)，则H ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝x 2－2x ＋1x 2＝(x －1)2x 2>0. ∴H (x )在(0，＋∞)上单调递增．∵a >1，∴H (a )>H (1)＝0，∴F (1)>F (－1)． ∴的最大值为|F (1)－F (0)|＝a －ln a . ∴要使恒成立，只需a －ln a ≤e 2－2即可．令h (a )＝a －ln a (a >1)，h ′(a )＝1－1a >0，所以h (a )在(1，＋∞)单调递增．因为h (e 2)＝e 2－2，所以h (a )≤h (e 2)，即1<a ≤e 2.1．已知f (x )＝x (2 011＋ln x )，，则 ( ) A ．e 2B ．1C ．ln2D ．e 答案 B解析 由题意可知f ′(x)＝2 011＋ln x ＋x·1x ＝2 012＋ln x.由，∴.2．已知对任意实数x ，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f ′(x)>0，g ′(x)>0，则x<0时( ) A ．f ′(x)>0，g ′(x)>0B ．f ′(x)>0，g ′(x)<0C ．f ′(x)<0，g ′(x)>0D ．f ′(x)<0，g ′(x)<0答案 B解析 依题意得，函数f ′(x)、g ′(x)分别是偶函数、奇函数，当x<0时，－x>0，f ′(x)＝f ′(－x)>0，g ′(x)＝－g ′(－x)<0，选B .3．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln (x ＋a)相切，则a 的值为________． 答案 2解析 记切点坐标为(m ，n)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 1m ＋a ＝1，m ＋1＝ln (m ＋a ).由此解得m ＝－1，a ＝2.。

专题3.9 函数的实际应用练基础1.（2021·广东高三专题练习）某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了（）A．0.33米B．0.42米C．0.39米D．0.43米2.（2020·四川省乐山沫若中学高一月考）2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为（）A．1800 B．1000 C．790 D．5603．（2021·浙江高一期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（ ）A ．36mB ．39mC ．315mD ．318m4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知声音强弱的等级()f x (单位：dB)由声音强度x (单位：2W/m )决定．科学研究发现，()f x 与lg x 成线性关系，如喷气式飞机起飞时，声音强度为2100W/m 声音强弱的等级为140dB ；某动物发出的鸣叫，声音强度为21W/m ，声音强弱的等级为120dB ．若某声音强弱等级为90dB ，则声音强度为（ ）2W/mA ．0.001B ．0.01C ．0.1D ．15．（2021·全国高三其他模拟（理））2021年初我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务．经过数据分析得到某山区贫困户年总收入与各项投入之间的关系是：贫困户年总收入y （元）=1200+4.1⨯年扶贫资金（元）+4.3⨯年自投资金（元）900+⨯自投劳力（个）．若一个贫困户家中只有两个劳力，2016年自投资金5000元，以后每年的自投资金均比上一年增长10%，2016年获得的扶贫资金为30000元，以后每年获得的扶贫资金均比上一年减少5000元，则该贫困户在2021年的年总收入约为()51.1 1.6≈（ ）A ．48100元B ．57900元C ．58100元D ．64800元 6．（2021·全国高三其他模拟（理））生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断．已知水中某生物体内药物残留量y （单位：mg ）与时间t （单位：年）近似满足关系式()1e t y λλ-=-，其中λ为抗生素的残留系数，当23t =时，910y λ=，则λ的值约为（ln10 2.3≈）（ ）A ．110B ．10C ．100D ．11007．（2021·山东聊城市·高三三模）声强级I L （单位：dB ）由公式1210lg 10I I L -⎛⎫=⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：W /m 2）一般正常人听觉能忍受的最高声强级为120dB ，平时常人交谈时声强级约为60dB ，那么一般正常人能忍受的最高声强是平时常人交谈时声强的（ ）A ．104倍B ．105倍C ．106倍D ．107倍8．（2021·陕西西安市·高三其他模拟（理））现在有红豆、白豆各若干粒.甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取4粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩10粒；第二轮，甲每次取1粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩()*1620,n n n ∈<<N粒.则红豆和白豆共有________粒.9．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类以平均每年4%的速度增加.按这个增长速度，大约经过___________年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的4倍或4倍以上.(结果保留整数)(参考数据：lg 20.30,lg13 1.11≈≈)10．（2021·浙江高一期末）某公司生产某种电子产品的固定成本为2万元，每生产一台该产品需增加投入100元，已知总收入R （单位：元）关于月产量x （单位：台）满足函数：21400,0400280000,400x x x R x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩（1）将利润()f x （单位：元）表示成月产量x 的函数（2）当月产量x 为何值时，公司所获利润最大，最大利润是多少？（利润+总成本=总收入）1．（2021·四川高三三模（理））一种药在病人血液中的量保持在不低于1500mg ，才有疗效；而低于500mg ，病人就危险．现给某病人的静脉注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时0020的比例衰减，则再向这种病人的血液补充这种药物的时间范围是（ ）A ．5551log 31,1log 41log 4⎛⎤- ⎥--⎝⎦ B ．5551log 31,1log 41log 4⎛⎫- ⎪--⎝⎭ C ．(]51log 3,1- D ．()51log 3,1-2．（2021·湖北武汉市·高三三模）2020年我国832个贫困县全部“摘帽”，脱贫攻坚战取得伟大胜利.湖北秭归是“中国脐橙之乡”，全县脐橙综合产值年均20亿元，被誉为促进农民增收的“黄金果”.已知某品种脐橙失去的新鲜度h 与其采摘后的时间t (天)满足关系式：t h m a =⋅.若采摘后10天，这种脐橙失去的新鲜度为10%，采摘后20天失去的新鲜度为20%，那么采摘下来的这种脐橙在多长时间后失去50%的新鲜度（ ）(已知lg 20.3≈，结果四舍五入取整数)A ．23天B ．33天C ．43天D ．50天3．（2021·全国高三其他模拟）生物学家为了了解滥用抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来作出判断．已知水中某生物体内抗生素的残留量y （单位：mg ）与时间t （单位：年）近似满足数学函数关系式()1t y e λλ-=-，其中λ为抗生素的残留系数．经测试发现，当23t =时，910y λ=，则抗生素的残留系数λ的值约为（ ）()ln10 2.3≈练提升A ．10B ．110C ．100D ．11004．（2021·全国高三其他模拟）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v (单位：m /s )，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q .科学研究发现v 与3log 100Q 成正比，且当1m /s v =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900.现有如下说法：①v 与3log 100Q 的正比例系数为13k =； ②当2m/s v =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为2700；③当鲑鱼的耗氧量的单位数为100时，游速1m /s v e=. 则说法正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 5．（2021·全国高三其他模拟）在新冠肺炎疫情初期，部分学者利用逻辑斯蒂增长模型预测某地区新冠肺炎患者数量()P t (t 的单位：天)，逻辑斯蒂增长模型具体为()0.420.4211tt e P t e K =⎛⎫+- ⎪⎝⎭，其中K 为环境最大容量.当()027.31KP t K K e=-+时，标志着已初步遏制疫情，则0t 约为（ ） A ．63B ．65C ．66D ．69 6．（2021·四川眉山市·高三三模（理））2021年3月20日，“沉睡三千年，一醒惊天下”的三星堆遗址向世人展示了其重大考古新发现——6个三星堆文化“祭祀坑”现已出土500余件重要文物.为推测文物年代，考古学者通常用碳14测年法推算，碳14测年法是根据碳14的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法.2021年，考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳14年代测定，检测出碳14的残留量约为初始量的68%，已知碳14的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间）是5730年，且属于指数型衰减.以此推算出该文物大致年代是（ ）（参考数据：log 19034.7≈-，log 6834881≈-）A ．公元前1400年到公元前1300年B ．公元前1300年到公元前1200年C ．公元前1200年到公元前1100年D ．公元前1100年到公元前1000年7．（2021·山西太原市·太原五中高三二模（理））地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．震级M 用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示．里氏震级的计算公式为：max 0lg A M A =（其中常数0A 是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅；max A 是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量E 是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量． 4.8 1.51010M E =⨯（单位：焦耳），其中M 为地震震级．已知甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的310倍，若乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A ，则甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为（ ）A ．2AB ．10AC ．100AD ．1000A8．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））自新冠病毒爆发以后，各国科技人员都在攻关疫苗的难题，近日我国在这一领域取得重大突破，国产疫苗在国际上受到广泛认可.我国在实验阶段为了研究T 型病毒的变化规律，将T 型病毒注入一个健康的小白鼠体内，根据观测统计的数据分析，小白鼠体内的病毒数y 与天数n 近似满足1*3()n y n N -=∈.已知T 型病毒在体内超过109个时，小白鼠就会死亡，但如果注射了某种药物可有效杀死体内的T 型病毒，为使小白鼠在实验过程中不会死亡，第一次注射该种药物最迟应在第___________天(参考数据：lg30.477=).9．（2021·浙江高一期末）砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD 截去同心扇形OAB 所得部分．已知扇环周长300cm =，大扇形半径100cm OD =，设小扇形半径cm OA x =，AOB θ∠=弧度，则①θ关于x 的函数关系式()x θ=_________．②若雕刻费用关于x 的解析式为()101700w x x =+，则砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为________．10．（2021·浙江高一期末）为了响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，王韦达同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产x 万件，需另投入可变成本()C x 万元，在年产量不足8万件时，21()33C x x x =+（万元）；在年产量不小于8万件时，100()837C x x x=+-（万元）．每件产品售价为7元，假设小王生产的商品当年全部售完．（1）写出年利润()f x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式（注：年利润=年销售收入-固定成本-可变成本）；（2）年产量x 为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？1．（2020·全国高考真题（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名2．（2021·全国高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ 1.259≈） A ．1.5 B ．1.2 C ．0.8 D ．0.63.（2020·全国高考真题（文））Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I Kt --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3）A ．60B ．63C ．66D ．694．（2020·山东海南省高考真题）基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天 5．（2019·全国高考真题（理））2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通练真题讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++. 设r Rα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 ABCD6.（2018·上海高考真题）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x%（0<x <100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f (x )={30 ， 0<x ≤302x +1800x−90 ， 30<x <100 （单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间g (x )的表达式；讨论g (x )的单调性，并说明其实际意义．。

专题03不等式一、单选题1．（2021·广东高三月考）若不等式220ax bx ++>的解集为{}21x x -<<，则二次函数224y bx x a =++在区间[]0,3上的最大值、最小值分别为（ ）A ．-1，-7B ．0，-8C ．1，-1D ．1，-7【答案】D 【分析】由题意可知2-，1是方程220ax bx ++=的根，代入可求a ，b ，然后结合二次函数的性质即可求解 【详解】220ax bx ++>的解集为{}21x x -<<，2∴-，1是方程220ax bx ++=的根，且0a <，∴21221b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，1a ∴=-，1b =-，则二次函数2224241y bx x a x x =++=-+-开口向下，对称轴1x =，在区间[]0,3上，当1x =时，函数取得最大值1，当3x =时，函数取得最小值7- 故选：D ．2．（2021·广东中山模拟预测）“0x <”是“()ln 10x +<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】先由()ln 10x +<解得10x -<<，从而可判断. 【详解】由()ln 10x +<，可解得011x <+<，即10x -<<，由“0x <”是“10x -<<”的必要不充分条件可得“0x <”是“()ln 10x +<”的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了充分性和必要性的判断，解题的关键是先解出对数不等式的等价条件，属于基础题.3．（2021·广东高三月考）已知0x >，则函数254()x x f x x -+=的最小值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A 【分析】转化函数为4()5f x x x=+-，利用均值不等式即得解【详解】因为0x >，由均值不等式所以2544()551x x f x x x x -+==+-≥=-，当且仅当4x x =，即2x =时，函数()f x 取得最小值为1-故选：A4．（2021·广东·高三阶段练习）已知0.21.5a =，0.2log 1.5b =， 1.50.2c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >>【答案】B 【分析】分别判断,,a b c 与0,1等的大小关系判断即可. 【详解】因为0.20.511 1.5>=.故1a >.又0.20.2log 1.5log 10<=,故0b <.又 1.500.2001.2<<=,故01c <<.所以a c b >>. 故选：B 【点睛】本题主要考查了根据指对幂函数的单调性判断函数值大小的问题,属于基础题.5．（2021·广东·金山中学高三期中）设a ，b 都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【详解】若333a b >>，则1a b >>，从而有log 3log 3a b <，故为充分条件. 若log 3log 3a b <不一定有1a b >>，比如.1,33a b ==，从而333a b >>不成立.故选B.考点：命题与逻辑.6．（2021·广东·高三阶段练习）当01a b <<<时，下列不等式中正确的是（ ） A ．1(1)(1)b b a a ->- B ．(1)(1)a b a b +>+ C ．2(1)(1)bb a a ->- D ．(1)(1)a b a b ->-【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性可依次判断大小. 【详解】 对A ，01a b <<<，011a ∴<-<，则()1xy a =-单调递减，又11b b>>，则1(1)(1)b b a a -<-，故A 错误；对B ，01a b <<<，111a b ∴<+<+，(1)(1)(1)a a b a b b ∴+<+<+，故B 错误； 对C ，由A 选项，()1xy a =-单调递减，又2bb >，则2(1)(1)b b a a -<-，故C 错误； 对D ，可得(1)(1)a b a a ->-，又11a b ->-，则(1)(1)b b a b ->-，则(1)(1)a b a b ->-，故D 正确. 故选：D.7．（2021·广东·高三阶段练习）在下列函数中，最小值为2的是（ ） A ．1y x x=+B ．1lg (110)lg y x x x=+<<C ．222(1)1x x y x x -+=>-D ．1sin 0sin 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭【答案】C 【分析】结合基本不等式的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A 选项，1x =-时，y 为负数，A 错误.对于B 选项，110x <<，0lg 1x <<，1lg 2lg x x +≥，但不存在x 使1lg lg x x =成立，所以B 错误.对于C 选项，()221122112111x x x y x x x x -+-+===-+≥=---，当且仅当11,21x x x -==-时等号成立，C 正确.对于D 选项，02x π<<，0sin 1x <<，1sin 2sin x x +≥，但不存在x 使1sin sin =x x成立，所以D 错误. 故选：C8．（2021·广东·高三阶段练习）“1a >”是“11a<”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件【答案】A 【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】 当1a >时，11a<成立，即充分性成立， 当1a =-时，满足11a<，但1a >不成立，即必要性不成立， 则“1a >“是“11a<“的充分不必要条件， 故选：A ．9．（2021·广东·高三阶段练习）已知(),,0,1a b c ∈，且2ln 32ln 13a a --=，212ln 1b b e--=，2ln 2ln 1c c ππ--=，则（ ）A ．c b a >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】D 【分析】令()22ln 1f x x x =--，即可得到()ln 33f a =，()1f b e =，()ln f c ππ=，利用导数说明()f x 在()0,1的单调性，再令()ln x g x x=，利用导数说明其单调性，即可得到ln ln 313e ππ<<，从而得到()()()f c f a f b <<，即可得解； 【详解】解：令()22ln 1f x x x =--，()0x >，所以()2ln 32ln 13f a a a =--=，()212ln 1f b b b e=--=，()2ln 2ln 1f c c c ππ=--=，所以()()()21122x x f x x x x+-'=-=，因为(),,0,1a b c ∈，所以当()0,1x ∈时()0f x '<，即()f x 在()0,1上单调递减，令()ln x g x x =，()0x >，则()21ln xg x x -'=，所以当()0,x e ∈时，()0g x '>，函数单调递增，当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，函数单调递减，所以()g x 在x e =处取得极大值即最大值，()()max 1g x g e e ==，因为3e π>>，所以ln ln 313eππ<<，即()()()f c f a f b <<，所以c a b >>， 故选：D10．（2021·广东顺德·高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足：121a b+=，则23ab a b --的最小值为（ ）A ．B ．3+C ．6D ．无最小值【答案】B 【分析】对121a b+=去分母得2a b ab +=，代换23ab a b --中的ab ，再结合“1”的妙用即可求解 【详解】由1212a b ab a b+=⇒+=，则23423ab a b a b a b a b --=+--=+，()12233a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭2b ==23ab a b --的最小值为3+故选：B11．（2021·广东·高三阶段练习）已知实数(),,0,a b c e ∈，且22a a =，33b b =，55c c =，则（ ） A ．c a b << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<【答案】A 【分析】 构造函数()ln xf x x=，判断函数单调性，比大小. 【详解】由22a a =，33b b =，55c c =，得ln ln 22a a =，3ln ln 3b b =，ln ln 55c c =， 又252ln5ln5ln 25ln 2=<=，即ln 5ln 252<， 同理323ln 2ln 2ln32ln3=<=，即ln 2ln 323<， 所以ln5ln 2ln3523<<，即ln ln ln c a b c a b<<， 设函数()ln x f x x=()0,x e ∈，()21ln 0xf x x -'=>在()0,e 上恒成立，故函数()f x 在()0,e 上单调递增， 所以c a b <<， 故选：A.12．（2021·广东化州·高三阶段练习）下列叙述中正确的是（ ） A ．若*x N ∀∈，则()210x ->B ．若“x y <，则22x y <”的逆否命题是真命题C ．“2x x >”是“1x >”的必要不充分条件D ．“0x ∀>，都有230x x --<”的否定是“0x ∃<，使得230x x --≥” 【答案】C 【分析】取特殊值可判断A ，根据原命题与逆否命题等价判断B ，解不等式后根据集合的包含关系可判断C ，由含量词命题的否定判断D. 【详解】1x =时，()210x -=，故A 错；“若x y <，则22x y <”是假命题，故其逆否命题是假命题，故B 错；2x x >的解集是{|0x x <或1}x >，由{|1}x x > 真包含于{|0x x <或1}x > 可知“2x x >”是“1x >”的必要不充分条件，故C 对；“0x ∀>，都有230x x --<”的否定是“0x ∃>，使得230x x --≥”，故D 错. 故选：C13．（2021·广东·高三阶段练习）设实数x ，y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则()2xy u x y =+的取值范围是（ ） A ．32,169⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．31,102⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【分析】根据题意，画出可行域，结合斜率的坐标公式，以及对勾函数的图形性质，即可求解. 【详解】根据题意，由线性约束条件画出可行域，如图中的阴影部分.由图可知，OB OA y k k x ≤≤，即123y x ≤≤，令123yt x≤=≤，结合对勾函数图像性质，可知11023t t ≤+≤，因为()211122xyu x y x y t y x t===+++++，所以31164u ≤≤. 故选：B.14．（2021·广东·华南师大附中高三阶段练习）若关于x 的不等式240x x a -->在区间(1，5)内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−∞，5) B ．(5，+∞)C ．(−4，+∞)D ．(−∞，4)【答案】A 【分析】设2()4f x x x a =--，由题意可得(5)0f >，从而可求出实数a 的取值范围 【详解】设2()4f x x x a =--，开口向上，对称轴为直线2x =，所以要使不等式240x x a -->在区间(1，5)内有解，只要(5)0f >即可， 即25200a -->，得5a <， 所以实数a 的取值范围为(,5)-∞， 故选：A二、多选题15．（2021·广东·高三阶段练习）下列说法正确的是（ ） A ．“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件B ．若a 、b ∈R ，则“220a b +≠”是“a 、b 不全为0”的充要条件C ．命题“1x ∀<，都有||1x <”的否定是“01x ∃≥，使得0||1x ≥”D ．命题:p “若a b >，则22am bm >”的否定是真命题 【答案】ABD 【分析】根据正切函数的性质，结合充分、必要条件的判定方法，可判定A 正确；根据不等式的性质和充分、必要条件的判定方法，可判定B 正确；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定C 错误，根据命题p 与非p 真假相反，可判定D 正确. 【详解】对于A 中，当4x π=时，可得tan 1x =成立，即充分性成立；反之：当tan 1x =时，可得,4x k k Z ππ=+∈，所以4x π=不一定成立，即必要性不成立，所以 “4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件，所以A 正确；对于B 中，由220a b +≠，可得,a b 不全为0，即充分性成立； 反之：若,a b 不全为0，可得220a b +≠成立，即必要性成立， 所以“220a b +≠”是“a 、b 不全为0”的充要条件，所以B 正确； 对于C 中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“1x ∀<，都有||1x <”的否定是“01x ∃<，使得0||1x ≥”，所以C 不正确； 对于D 中，当0m =时，22am bm =，所以命题p 为假命题， 所以命题p 的否定为真命题，所以D 正确. 故选：ABD16．（2021·广东·高三阶段练习）设正实数x ，y 满足21x y +=，则（ ） A ．10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．xy 的最大值为14C ．22x y +的最小值为15D ．42x y +的最小值为4【答案】AC 【分析】选项A. 由120y x =->可得判断；选项B.由均值不等式可得12x y =+≥从而可判断；选项C. 由()222212x y x x +=+-配方可判断；由24222x y x y +=+利用均值不等式可判断. 【详解】选项A. 由21x y +=，可得120y x =->，所以102x <<. 故选项A 正确. 选项B.由12x y =+≥可得18xy ≤，当且仅当221x y x y =⎧⎨+=⎩，即1214y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立. 故选项B 不正确.选项C. ()222222211125415555x y x x x x x ⎛⎫+=+-=-+=-+≥ ⎪⎝⎭当25x =时，等号成立. 故选项C 正确. 选项D.由24222x y x y +=+≥=当且仅当221x y x y =⎧⎨+=⎩，即1214y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立. 故选项D 不正确.故选：AC17．（2021·广东·模拟预测）下列说法正确的是（ ）A ．命题：(]1,1x ∀∈-，2230x x +-<的否定是：(]1,1x ∃∈-，2230x x +-≥；B ．26k παπ=+，k Z ∈是1sin 2α=的充要条件； C ．1a >是11a<的充分非必要条件； D ．[]2,2a ∈-是命题：x R ∀∈，210x ax -+>恒成立的充分非必要条件 【答案】AC 【分析】依次判断，根据命题的否定定义可知A 的正误，计算1sin 2α=，可知B 的正误，计算11a <可知C 正误，计算x R ∀∈，210x ax -+>恒成立的条件可知D 的正误，可得结果. 【详解】对A ，(]1,1x ∀∈-，2230x x +-<的否定是(]1,1x ∃∈-，2230x x +-≥，A 正确； 对B ，2in 61s 2k πααπ=⇒+=或52,6k k Z παπ=+∈， 故26k παπ=+，k Z ∈是1sin 2α=的充分不必要条件，故B 错； 对C ，110a a <⇒<或1a >，所以1a >是11a<的充分非必要条件，故C 正确； 对D ，x R ∀∈，210x ax -+>恒成立的条件为24022a a -<⇒-<< 所以[]2,2a ∈-是命题：x R ∀∈，210x ax -+>恒成立的必要不充分条件 故选：AC18．（2021·广东广雅中学高三阶段练习）若,,a b c ∈R ，则下列命题正确的是（ ）A ．若0ab ≠且a b <，则11a b>B ．若01a <<，则21122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a aC ．若0a b >>且0c >，则b c ba c a+>+ D ．222(1)a b a b +≥+-【答案】BCD 【分析】通过举出反例，当1a =-，1b =时，即可判断A 选项；利用不等式的基本性质和作差比较法对BCD 选项逐一进行判断，从而得出答案. 【详解】解：对于A ，当1a =-，1b =时，11a b<，故A 错误； 对于B ，因为01a <<，()210a a a a -=-<，即2a a <，所以21122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a，故B 正确； 对于C ，因为0a b >>且0c >，所以()()()0()()()b c b a b c b a c ac bc a b ca c a a a c a a c a a c ++-+---===>++++，故b c ba c a+>+，故C 正确； 对于D ，因为22222(1)(1)(1)0a b a b a b +-+-=-+-≥，故D 正确； 故选：BCD.19．（2021·广东化州·高三阶段练习）已知0a b >>，1c >，且a ，b 都是不等于1的实数，则下列不等式成立的是（ ） A ．c c a b > B ．log log c c a b <C ．a b c c >D ．11c c a b--> 【答案】AC 【分析】根据幂函数，对数函数，指数函数的单调性判断． 【详解】考查函数c y x =，0c >时，c y x =在定义域上是增函数，a b >时，c c a b >，故A 正确； 考查函数log c y x =，1c >时，log c y x =在定义域上是增函数，a b >时，log log c c a b >，故B 错误；考查函数x y c =，1c >时，x y c =在定义域上是增函数，a b >时，a b c c >，故C 正确； 考查函数1c y x，1c >时，1c y x 在()0,∞+上是减函数，a b >时，11c c a b--<，故D 错误.故选：AC ．20．（2021·广东·华南师大附中高三阶段练习）若110a b<<，则下列不等式中，正确的不等式有（ ） A ．a b ab +< B ．||||a b > C ．a b <D ．2b aa b+>【答案】AD 【分析】利用不等式的基本性质即可得出． 【详解】 ∵110a b<<， ∴ 0b a <<，∴ 0a b ab +<<，故A 正确，C 错误. ∴0b a ->->， 则b a >，故B 错误. 由于0b a >，0ab>，∴2b a a b +>，故D 正确. 故选：AD.三、填空题21．（2021·广东·普宁市华侨中学高三期中）已知a >0，b >0，若不等式3m a b +－3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为____________． 【答案】16 【分析】问题转化为31(3)m a b a b ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭恒成立，利用基本不等式求得31(3)a b a b ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭的最小值，故答案为： 【详解】 3131(3)3mm a b a ba b a b ⎛⎫+⇒+⋅+ ⎪+⎝⎭对0,0a b >>恒成立，3133(3)1010616b a a ba b a b ⎛⎫+⋅+=+++= ⎪⎝⎭，等号成立当且仅当a b =， ∴16m ≤，故答案为：1622．（2021·广东·高三阶段练习）若不等式()21x a -<成立的充分不必要条件是12x <<，则实数a 的取值范围是________． 【答案】[]1,2 【分析】计算不等式()21x a -<，然后得出1112a a -≤⎧⎨+≥⎩且等号不能同时取得，计算即可.【详解】由()21x a -<得11a x a -<<+，因为12x <<是不等式()21x a -<成立的充分不必要条件，∴满足1112a a -≤⎧⎨+≥⎩且等号不能同时取得，即21a a ≤⎧⎨≥⎩，解得12a ≤≤．故答案为：[]1,2专题03不等式一、单选题 1．（2021·广东高三月考）若不等式220ax bx ++>的解集为{}21x x -<<，则二次函数224y bx x a =++在区间[]0,3上的最大值、最小值分别为（ ）A ．-1，-7B ．0，-8C ．1，-1D ．1，-72．（2021·广东中山模拟预测）“0x <”是“()ln 10x +<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2021·广东高三月考）已知0x >，则函数254()x x f x x -+=的最小值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．24．（2021·广东·高三阶段练习）已知0.21.5a =，0.2log 1.5b =， 1.50.2c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >>5．（2021·广东·金山中学高三期中）设a ，b 都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．（2021·广东·高三阶段练习）当01a b <<<时，下列不等式中正确的是（ ） A ．1(1)(1)b b a a ->- B ．(1)(1)a b a b +>+ C ．2(1)(1)bb a a ->-D ．(1)(1)a b a b ->-7．（2021·广东·高三阶段练习）在下列函数中，最小值为2的是（ ） A ．1y x x=+B ．1lg (110)lg y x x x=+<< C ．222(1)1x x y x x -+=>-D ．1sin 0sin 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭8．（2021·广东·高三阶段练习）“1a >”是“11a<”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．非充分非必要条件9．（2021·广东·高三阶段练习）已知(),,0,1a b c ∈，且2ln 32ln 13a a --=，212ln 1b b e--=，2ln 2ln 1c c ππ--=，则（ ）A ．c b a >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．c a b >>10．（2021·广东顺德·高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足：121a b+=，则23ab a b --的最小值为（ ） A ．22B ．322+C ．6D ．无最小值11．（2021·广东·高三阶段练习）已知实数(),,0,a b c e ∈，且22a a =，33b b =，55c c =，则（ ） A ．c a b << B ．a c b << C ．b c a <<D ．b a c <<12．（2021·广东化州·高三阶段练习）下列叙述中正确的是（ ） A ．若*x N ∀∈，则()210x ->B ．若“x y <，则22x y <”的逆否命题是真命题C ．“2x x >”是“1x >”的必要不充分条件D ．“0x ∀>，都有230x x --<”的否定是“0x ∃<，使得230x x --≥”13．（2021·广东·高三阶段练习）设实数x ，y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则()2xy u x y =+的取值范围是（ ） A ．32,169⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．31,102⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．（2021·广东·华南师大附中高三阶段练习）若关于x 的不等式240x x a -->在区间(1，5)内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−∞，5)B ．(5，+∞)C ．(−4，+∞)D ．(−∞，4)二、多选题 15．（2021·广东·高三阶段练习）下列说法正确的是（ ） A ．“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件B ．若a 、b ∈R ，则“220a b +≠”是“a 、b 不全为0”的充要条件C ．命题“1x ∀<，都有||1x <”的否定是“01x ∃≥，使得0||1x ≥”D ．命题:p “若a b >，则22am bm >”的否定是真命题16．（2021·广东·高三阶段练习）设正实数x ，y 满足21x y +=，则（ ） A ．10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．xy 的最大值为14C ．22x y +的最小值为15D ．42x y +的最小值为417．（2021·广东·模拟预测）下列说法正确的是（ ）A ．命题：(]1,1x ∀∈-，2230x x +-<的否定是：(]1,1x ∃∈-，2230x x +-≥；B ．26k παπ=+，k Z ∈是1sin 2α=的充要条件； C ．1a >是11a<的充分非必要条件； D ．[]2,2a ∈-是命题：x R ∀∈，210x ax -+>恒成立的充分非必要条件18．（2021·广东广雅中学高三阶段练习）若,,a b c ∈R ，则下列命题正确的是（ ）A ．若0ab ≠且a b <，则11a b>B ．若01a <<，则21122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a aC ．若0a b >>且0c >，则b c ba c a+>+ D ．222(1)a b a b +≥+-19．（2021·广东化州·高三阶段练习）已知0a b >>，1c >，且a ，b 都是不等于1的实数，则下列不等式成立的是（ ） A ．c c a b >B ．log log c c a b <C ．a b c c >D ．11c c a b--> 20．（2021·广东·华南师大附中高三阶段练习）若110a b<<，则下列不等式中，正确的不等式有（ ） A ．a b ab +< B ．||||a b >C ．a b <D ．2b aa b +>三、填空题21．（2021·广东·普宁市华侨中学高三期中）已知a >0，b >0，若不等式3m a b +－3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为____________．22．（2021·广东·高三阶段练习）若不等式()21x a -<成立的充分不必要条件是12x <<，则实数a 的取值范围是________。

2021年高考数学一轮复习 第三章 单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为3x －y ＋1＝0，则( ) A ．f ′(x 0)＜0 B ．f ′(x 0)＞0 C ．f ′(x 0)＝0 D ．f ′(x 0)不存在答案 B2．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则实数a 等于( ) A ．2B.12C ．－12D ．－2答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝x －1＋2x －1＝1＋2x －1， ∴y ′＝－2x －12，∴曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝3＝－12. 由题意知ax ＋y ＋1＝0的斜率为k ′＝2，∴a ＝－2，故选D. 3．函数y ＝x e x的单调递增区间是( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，－1] C ．[1，＋∞) D ．(－∞，1]答案 A解析 令y ′＝e x (1＋x )≥0，又e x>0，∴1＋x ≥0，∴x ≥－1，故选A. 4．若三次函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数，则( ) A ．a ≤0 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a ＝13答案 A解析 y ′＝3ax 2－1，由y ′≤0，得3ax 2－1≤0.∴a ≤0.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－1≤x ≤0，cos x 0<x ≤π2，则f (x )d x ＝( )A.12 B ．1 C ．2 D.32答案 D6．若函数f (x )＝2x＋ln x ，且f ′(a )＝0，则2aln2a＝( ) A ．1 B ．－1 C ．－ln2 D ．ln2答案 B解析 f ′(x )＝2x ln2＋1x ，由f ′(a )＝2a ln2＋1a ＝0，得2a ln2＝－1a，则a ·2a ·ln2＝－1，即2a ln2a＝－1.7．已知函数f (x )＝e x－mx ＋1的图像为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝12x 垂直的切线，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≤2B ．m >2C ．m ≤－12D ．m >－12答案 B解析 因为函数f (x )＝e x－mx ＋1的图像为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝12x 垂直的切线，即说明e x－m ＝－2有解，∴m ＝e x＋2，则实数m 的取值范围是m >2，故选B.8．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在(12，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[－1，＋∞)C ．[0,3]D ．[3，＋∞)答案 D解析 由条件知f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在(12，＋∞)上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在(12，＋∞)上恒成立．∵函数y ＝1x 2－2x 在(12，＋∞)上为减函数，∴y max <1122－2×12＝3.∴a ≥3.故选D.9．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝x·f′(x)的图像的一部分如图所示，则( )A．f(x)的极大值为f(3，极小值为f(－3)B．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)答案 D解析由函数y＝x·f′(x)的图像可知，x∈(－∞，－3)，f′(x)<0，f(x)单调递减；x∈(－3,3)，f′(x)>0，f(x)单调递增；x∈(3，＋∞)，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴选D.10．若f(x)＝ln xx，e<a<b，则( )A．f(a)>f(b) B．f(a)＝f(b) C．f(a)<f(b) D．f(a)f(b)>1 答案 A解析f′(x)＝1－ln xx2，当x>e时，f′(x)<0，则f(x)在(e，＋∞)上为减函数，f(a)>f(b)，故选A.11．若a>2，则函数f(x)＝13x3－ax2＋1在区间(0,2)上恰好有( )A．0个零点B．1个零点C．2个零点D．3个零点答案 B解析∵f′(x)＝x2－2ax，且a>2，∴当x∈(0,2)时，f′(x)<0，即f(x)在(0,2)上是单调减函数．又∵f(0)＝1>0，f(2)＝113－4a<0，∴f(x)在(0,2)上恰好有1个零点．故选B.12.已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图像如图所示，它与x轴相切于原点，且x轴与函数图像所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－2答案 A解析 方法一：因为f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，函数f (x )的图像与x 轴相切于原点，所以f ′(0)＝0，即b ＝0，所以f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)．因为函数f (x )的图像与x 轴所围成区域的面积为112，所以⎠⎛a 0(－x 3＋ax 2)d x ＝－112，所以(－14x 4＋13ax 3)| 0a ＝－112，所以a ＝－1或a ＝1(舍去)，故选A.方法二：因为f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，函数f (x )的图像与x 轴相切于原点，所以f ′(0)＝0，即b ＝0，所以f (x )＝－x 3＋ax 2.若a ＝0，则f (x )＝－x 3，与x 轴只有一个交点(0,0)，不符合所给的图像，排除B ；若a ＝1，则f (x )＝－x 3＋x 2＝－x 2(x －1)，与x 轴有两个交点(0,0)，(1,0)，不符合所给的图像，排除C ；若a ＝－2，则所围成的面积为－ (－x 3－2x 2)d x ＝(14x 4＋23x 3) ＝43≠112，排除D.故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知曲线y ＝－13x 3＋2与曲线y ＝4x 2－1在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为________．答案 12解析 ∵两曲线在x 0处切线互相垂直， ∴(－x 20)·(8x 0)＝－1.∴x 0＝12.14．已知f (x )＝x (1＋|x |)，则f ′(1)·f ′(－1)＝________. 答案 9解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2＋x ，f ′(x )＝2x ＋1， 则f ′(1)＝3.当x <0时，f (x )＝x －x 2，f ′(x )＝1－2x ，则f ′(－1)＝3，故f ′(1)·f ′(－1)＝9. 15．已知函数f (x )＝ax sin x －32(a ∈R )，若对x ∈[0，π2]，f (x )的最大值为π－32，则(1)实数a 的值为________；(2)函数f (x )在(0，π)内的零点个数为________． 答案 (1)1 (2)2解析 因为f ′(x )＝a (sin x ＋x cos x )，当a ≤0时，f (x )在x ∈[0，π2]上单调递减，最大值f (0)＝－32，不适合题意，所以a >0，此时f (x )在x ∈[0，π2]上单调递增，最大值f (π2)＝π2a －32＝π－32，解得a ＝1，符合题意，故a ＝1.f (x )＝x sin x －32在x ∈(0，π)上的零点个数即为函数y ＝sin x ，y ＝32x的图像在x ∈(0，π)上的交点个数．又x ＝π2时，sin π2＝1>3π>0，所以两图像在x ∈(0，π)内有2个交点，即f (x )＝x sin x －32在x ∈(0，π)上的零点个数是2.16．若对定义在R 上的函数f (x )，对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“H 函数”．给出下列函数：①y ＝－x 3＋x ＋1; ②y ＝3x －2(sin x －cos x )； ③y ＝e x＋1; ④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |，x ≠0，0，x ＝0.以上函数是“H 函数”的所有序号为________． 答案 ②③解析 因为x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，即(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0， 所以函数f (x )在R 上是增函数．由y ′＝－3x 2＋1>0，得－33<x <33，即函数在区间(－33，33)上是增函数，故①不是“H 函数”；由y ′＝3－2(cos x ＋sin x )＝3－22sin(x ＋π4)≥3－22>0恒成立，所以②为“H 函数”；由y ′＝e x>0恒成立，所以③为“H 函数”；由于④为偶函数，所以不可能在R 上是增函数，所以不是“H 函数”．综上可知，是“H 函数”的有②③.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.(1)求a ，b 的值；(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间．答案 (1)a ＝12，b ＝1 (2)单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)解析 (1)因为函数f (x )＝ax 2＋b ln x ， 所以f ′(x )＝2ax ＋b x.又函数f (x )在x ＝1处有极值12，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝0，f 1＝12.即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，a ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －1x ＝x ＋1x －1x.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) －0 ＋ f (x )极小值所以函数y ＝f (x )18．(本题满分12分) 已知函数f (x )＝12x 2－m ln x .(1)若函数f (x )在(12，＋∞)上是单调递增的，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值． 答案 (1)m ≤14 (2)最大值e 2－42，最小值1－ln2解析 (1)若函数f (x )在(12，＋∞)上是增函数，则f ′(x )≥0在(12，＋∞)上恒成立．而f ′(x )＝x －m x ，即m ≤x 2在(12，＋∞)上恒成立，即m ≤14.(2)当m ＝2时，f ′(x )＝x －2x ＝x 2－2x.令f ′(x )＝0，得x ＝± 2.当x ∈[1，2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，e)时，f ′(x )>0，故x ＝2是函数f (x )在[1，e]上唯一的极小值点，故f (x )min ＝f (2)＝1－ln2.又f (1)＝12，f (e)＝12e 2－2＝e 2－42>12，故f (x )max ＝e 2－42.19．(本题满分12分)(xx·江西理)已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )·1－2x (b ∈R )． (1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上单调递增，求实数b 的取值范围．答案 (1)极小值为0，极大值为4 (2)(－∞，19]解析 (1)当b ＝4时，f ′(x )＝－5xx ＋21－2x，由f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝0.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(－2,0)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 故f (x )当x ＝－2时取得极小值f (－2)＝0， 在当x ＝0时取得极大值，f (0)＝4.(2)f ′(x )＝－x [5x ＋3b －2]1－2x，因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，－x 1－2x＜0，依题意当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0， 从而53＋(3b －2)≤0.所以实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，19. 20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝(x －a )2＋(ln x －a )2. (1)求函数f (x )在A (1,0)处的切线方程；(2)若g ′(x )在[1，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围； (3)证明：g (x )≥12.答案 (1)y ＝x －1 (2)a ≥－2 (3)略 解析 (1)因为f ′(x )＝1x，所以f ′(1)＝1.故切线方程为y ＝x －1. (2)g ′(x )＝2(x －a x ＋ln xx－a )，令F (x )＝x －a x＋ln xx－a ，则y ＝F (x )在[1，＋∞)上单调递增．F ′(x )＝x 2－ln x ＋a ＋1x2，则当x ≥1时，x 2－ln x ＋a ＋1≥0恒成立， 即当x ≥1时，a ≥－x 2＋ln x －1恒成立．令G (x )＝－x 2＋ln x －1，则当x ≥1时，G ′(x )＝1－2x2x<0，故G (x )＝－x 2＋ln x －1在[1，＋∞)上单调递减． 从而G (x )max ＝G (1)＝－2. 故a ≥G (x )max ＝－2.(3)证明：g (x )＝(x －a )2＋(ln x －a )2＝2a 2－2(x ＋ln x )a ＋x 2＋ln 2x ，令h (a )＝2a 2－2(x ＋ln x )a ＋x 2＋ln 2x ，则h (a )≥x －ln x22.令Q (x )＝x －ln x ，则Q ′(x )＝1－1x ＝x －1x，显然Q (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，则Q (x )min ＝Q (1)＝1.则g (x )＝h (a )≥12.21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝ln(x ＋m )＋2x 2在点P (0，f (0))处的切线方程与直线x ＋y ＝0垂直． (1)若∀x 1>x 2>－m ，f (x 1)－f (x 2)>a (x 1－x 2)恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当x >0时，求证：ln(x ＋1)＋2x 2>12(9x －5)．答案 (1)(－∞，0] (2)略解析 (1)函数f (x )的定义域为(－m ，＋∞)．f ′(x )＝1x ＋m ＋4x ，故函数f (x )在点P (0，f (0))处的切线斜率k ＝f ′(0)＝1m ＝1，即1m＝1，解得m ＝1.故f (x )＝ln(x ＋1)＋2x 2.由f (x 1)－f (x 2)>a (x 1－x 2)，得f (x 1)－ax 1>f (x 2)－ax 2. 故由题意可得g (x )＝f (x )－ax 在(－1，＋∞)上为增函数． 故g ′(x )＝f ′(x )－a ≥0在(－1，＋∞)上恒成立，即1x ＋1＋4x －a ≥0在(－1，＋∞)上恒成立． 故a ≤1x ＋1＋4x 在(－1，＋∞)上恒成立． 设p (x )＝1x ＋1＋4x ＝1x ＋1＋4(x ＋1)－4， 因为x ＋1>0，所以1x ＋1＋4(x ＋1)－4≥21x ＋1×4x ＋1－4＝0.所以实数a 的取值范围是(－∞，0]． (2)设h (x )＝ln(x ＋1)＋2x 2－12(9x －5)．则h ′(x )＝1x ＋1＋4x －92＝2＋8x x ＋1－9x ＋12x ＋1＝8x 2－x －72x ＋1＝8x ＋7x －12x ＋1，令h ′(x )＝0，解得x ＝－78或x ＝1.故当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增．所以函数h (x )在(0，＋∞)上的最小值为h (1)＝ln(1＋1)＋2×12－12×(9×1－5)＝ln2>0.故h (x )>0，即ln(x ＋1)＋2x 2－12(9x －5)>0，也就是ln(x ＋1)＋2x 2>12(9x －5)．22．(本题满分12分)设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x－ax ，其中a 为实数．(1)若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，求实数a 的取值范围； (2)若g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f (x )的零点个数，并证明你的结论．答案 (1)a >e (2)a ＝1e 或a ≤0时，f (x )有1个零点；0<a <1e 时，f (x )有2个零点解析 (1)f ′(x )＝1x－a ≤0在(1，＋∞)上恒成立，则a ≥1x，x ∈(1，＋∞)，故a ≥1.g ′(x )＝e x －a ，若1≤a ≤e，则g ′(x )＝e x－a ≥0在(1，＋∞)上恒成立．此时，g (x )＝e x －ax 在(1，＋∞)上是单调增函数，无最小值，不合题意；若a >e ，则g (x )＝e x －ax 在(1，ln a )上是单调减函数，在(ln a ，＋∞)上是单调增函数，g (x )min ＝g (ln a )，满足题意．故实数a 的取值范围为a >e.(2)g ′(x )＝e x－a ≥0在(－1，＋∞)上恒成立，则a ≤e x， 故a ≤1e ，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x(x >0)．①若0<a ≤1e ，令f ′(x )>0得单调递增区间为(0，1a )；令f ′(x )<0得单调递减区间为(1a，＋∞)．当x →0时，f (x )→－∞；当x →＋∞时，f (x )→－∞； 当x ＝1a 时，f (1a )＝－ln a －1≥0，当且仅当a ＝1e 时取等号．故当a ＝1e 时，f (x )有1个零点；当0<a <1e 时，f (x )有2个零点．②若a ＝0，则f (x )＝－ln x ，易知f (x )有1个零点． ③若a <0，则f ′(x )＝1x－a >0在(0，＋∞)上恒成立，即f (x )＝ln x －ax 在(0，＋∞)上是单调增函数， 当x →0时，f (x )→－∞；当x →＋∞时，f (x )→＋∞. 此时，f (x )有1个零点．综上所述，当a ＝1e或a ≤0时，f (x )有1个零点；当0<a <1e时，f (x )有2个零点．37838 93CE 鏎23634 5C52 屒26760 6888 梈39539 9A73 驳)T24443 5F7B 彻38284 958C 閌 26675 6833 栳zr!38646 96F6 零35159 8957 襗。

阶段滚动检测(三)(建议用时：90分钟) 一、选择题1.设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则右图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为( ) A.3B.4C.7D.8解析 由于A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x －x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，由题意知，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1，2，3}，所以其真子集有∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共7个. 答案 C2.曲线y ＝x 2＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为( ) A.3x －y －2＝0 B.x －3y ＋2＝0 C.3x ＋y －4＝0D.x ＋3y －4＝0解析 y ′＝2x ＋1x ，故y ′|x ＝1＝3，故在点(1，1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，化简整理得3x －y －2＝0. 答案 A3.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝( )A.1B.2C.3D.4解析 f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋a x ＋1′＝（x 2＋a ）′（x ＋1）－（x 2＋a ）（x ＋1）′（x ＋1）2＝x 2＋2x －a（x ＋1）2， ∵x ＝1为函数的极值点， ∴f ′(1)＝0，即3－a ＝0，∴a ＝3. 答案 C4.(2022·金华重点中学联考)设x ，y ∈R ，则“x 2＋y 2≥9”是“x ＞3且y ≥3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 当x ＝－4时满足x 2＋y 2≥9，但不满足x ＞3，所以充分性不成立；反之，当x ＞3且y ≥3时，肯定有x 2＋y 2≥9，所以必要性成立，即“x 2＋y 2≥9”是“x ＞3且y ≥3”的必要不充分条件，故选B. 答案 B5.(2022·杭州质量检测)如图，在平面直角坐标系中，AC 平行于x 轴，四边形ABCD 是边长为1的正方形，记四边形位于直线x ＝t (t ＞0)左侧图形的面积为f (t )，则f (t )的大致图象是( )解析 由题意得，f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2⎝⎛⎭⎪⎫0＜t ≤22，－（t －2）2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫22＜t ＜2，1（t ≥2），故其图象为C. 答案 C6.已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2恒成立，则a 的最大值为( )A.0B.1C.2D.3解析 令f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f ′(x )＝x －1x 2，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1时，f ′(x )＜0，当x ∈(1，2]时，f ′(x )＞0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1上单调递减，在(1，2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (1)＝0，∴a ≤0. 答案 A7.设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )解析 如图所示，当x ∈(－∞，x 0)时，函数f (x )为增函数，当x ∈(x 0，0)和x ∈(0，＋∞)时，函数f (x )为减函数，∴x ＝x 0是函数f (x )的极大值点，可得f ′(x 0)＝0，且当x ∈(－∞，x 0)时，f ′(x )＞0，当x ∈(x 0，0)和x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＜0.由此对比各个选项，可得函数y ＝f ′(x )的图象只有A 项符合.答案 A8.对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b ＜1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( ) A.(－2，1) B.[0，1] C.[－2，0)D.[－2，1)解析 当x 2－1≥4＋x ＋1，即x ≤－2或x ≥3时，f (x )＝4＋x ，当x 2－1＜4＋x ＋1，即－2＜x ＜3时，f (x )＝x 2－1，如图所示，作出f (x )的图象，由图象可知，要使－k ＝f (x )有三个根，需满足－1＜－k ≤2，即－2≤k ＜ 1.答案 D9.函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )＞1，则不等式e x ·f (x )＞e x ＋1的解集为( ) A.{x |x ＞0} B.{x |x ＜0}C.{x |x ＜－1或x ＞1}D.{x |x ＜－1或0＜x ＜1}解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x .由于g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x ＞e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数.由于g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，故原不等式化为g (x )＞g (0)，解得x ＞0.答案 A10.已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.(0，1)D.(0，＋∞)解析 由题知，x >0，f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ，由于函数f (x )有两个极值点，则f ′(x )＝0有两个不等的正根，故y ＝ln x ＋1与y ＝2ax 的图象有两个不同的交点(x >0)，则a >0.设函数y ＝ln x ＋1上任一点(x 0，1＋ln x 0)处的切线为l ，则k l ＝y ′＝1x 0，当直线l 过坐标原点时，1x 0＝1＋ln x 0x 0，则x 0＝1，从而令2a ＝1，∴a ＝12.结合函数图象知0<a <12. 答案 B 二、填空题11.已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________.解析 ∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin π4＋cos π4， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(2－1)cos π4＋sin π4＝1. 答案 112.(2022·杭州高三模拟)给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件； ②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0相互垂直”的充要条件； ④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则A ＝30°是B ＝60°的必要不充分条件. 其中真命题的序号是________.解析 对于①，当数列{a n }为等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列，但当数列{a n a n ＋1}为等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1，3，2，6，4，12，8明显不是等比数列，而相应的数列3，6，12，24，48，96是等比数列，因此①正确；对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m ＝3时，相应两条直线垂直，反之，这两条直线垂直时，不肯定有m ＝3，也可能m ＝0.因此③不正确；对于④，由题意得b a ＝sin B sin A ＝3，若B ＝60°，则sin A ＝12，留意到b ＞a ，故A ＝30°，反之，当A ＝30°时，有sin B ＝32，由于b ＞a ，所以B ＝60°或B ＝120°，因此④正确.综上所述，真命题的序号是①④. 答案 ①④13.(2022·杭州重点中学联考)对于任意x ∈R ，满足(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0恒成立的全部实数a构成集合A ，使不等式|x －4|＋|x －3|＜a 的解集为空集的全部实数a 构成集合B ，则A ∩(∁R B )＝________．解析 对于任意x ∈R ，不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0恒成立，则a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，Δ＝4（a －2）2＋16（a －2）＜0，解得－2＜a ≤2，所以集合A ＝(－2，2]．当不等式|x －4|＋|x －3|＜a 有解时，a ＞(|x －4|＋|x －3|)min ＝1，所以解集为空集的全部实数a 构成集合B ＝(－∞，1]， 则∁R B ＝(1，＋∞)，所以A ∩(∁R B )＝(－2，2]∩(1，＋∞)＝(1，2]． 答案 (1，2]14.若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是________. 解析 2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x ＞0)，则h ′(x )＝（x ＋3）（x －1）x 2.当x ∈(0，1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4，则a ≤h (x )min ＝4，故实数a 的取值范围是(－∞，4]. 答案 (－∞，4] 三、解答题15.已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；(2)争辩f (x )的单调性，并求f (x )的极大值. 解 (1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x(x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12.令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减. 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2.) 16.(2022·南山中学月考)已知函数f (x )＝sin x (x ≥0)，g (x )＝ax (x ≥0). (1)若f (x )≤g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当a 取(1)中的最小值时，求证：g (x )－f (x )≤16x 3. (1)解 令h (x )＝sin x －ax (x ≥0)， 则h ′(x )＝cos x －a .①若a ≥1，h ′(x )＝cos x －a ≤0，h (x )＝sin x －ax (x ≥0)单调递减，h (x )≤h (0)＝0， 则sin x ≤ax (x ≥0)成立.②若0<a <1，存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，使得cos x 0＝a ，当x ∈(0，x 0)，h ′(x )＝cos x －a >0，h (x )＝sin x －ax (x ∈(0，x 0))单调递增，h (x )>h (0)＝0，不合题意.③当a ≤0，结合f (x )与g (x )的图象可知明显不合题意. 综上可知，a ≥1.即实数a 的取值范围是[1，＋∞). (2)证明 当a 取(1)中的最小值为1时， g (x )－f (x )＝x －sin x .设H (x )＝x －sin x －16x 3(x ≥0)，则H ′(x )＝1－cos x －12x 2.令G (x )＝1－cos x －12x 2， 则G ′(x )＝sin x －x ≤0(x ≥0)，所以G (x )＝1－cos x －12x 2在[0，＋∞)上单调递减，此时G (x )＝1－cos x －12x 2≤G (0)＝0， 即H ′(x )＝1－cos x －12x 2≤0，所以H (x )＝x －sin x －16x 3在x ∈[0，＋∞)上单调递减.所以H (x )＝x －sin x －16x 3≤H (0)＝0， 则x －sin x ≤16x 3(x ≥0).所以，当a 取(1)中的最小值时，g (x )－f (x )≤16x 3. 17.已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0. (1)求a ，b 的值；(2)假如当x ＞0，且x ≠1时，f (x )＞ln x x －1＋kx，求k 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x（x ＋1）2－bx 2.由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1，1)，故⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1，f ′（1）＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12.解得a ＝1，b ＝1. (2)由(1)知f (x )＝ln x x ＋1＋1x，所以 f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x －1＋k x ＝11－x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2ln x ＋（k －1）（x 2－1）x . 考虑函数h (x )＝2ln x ＋（k －1）（x 2－1）x (x ＞0)，则h ′(x )＝（k －1）（x 2＋1）＋2xx 2.(ⅰ)设k ≤0，由h ′(x )＝k （x 2＋1）－（x －1）2x 2知，当x ≠1时，h ′(x )＜0，而h (1)＝0，故当x ∈(0，1)时，h (x )＞0.可得11－x 2h (x )＞0； 当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜0，可得11－x 2h (x )＞0. 从而当x ＞0，且x ≠1时，f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x －1＋k x ＞0，即f (x )＞ln x x －1＋kx.(ⅱ)设0＜k ＜1，由于当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，11－k 时，(k －1)(x 2＋1)＋2x ＞0.故h ′(x )＞0，而h (1)＝0，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，11－k 时，h (x )＞0，可得11－x 2h (x )＜0.与题设冲突.(ⅲ)设k ≥1，此时h ′(x )＞0，而h (1)＝0，故当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＞0，可得11－x 2h (x )＜0，与题设冲突.综合得k 的取值范围为(－∞，0]. 18.(2022·陕西检测)设函数f (x )＝e x －ax －1.(1)若函数f (x )在R 上单调递增，求a 的取值范围； (2)当a ＞0时，设函数f (x )的最小值为g (a )，求证： g (a )≤0；(3)求证：对任意的正整数n ，都有1n ＋1＋2n ＋1＋3n ＋1＋…＋n n ＋1＜(n ＋1)n ＋1.(1)解 由题意知f ′(x )＝e x －a ≥0对x ∈R 均成立，又e x ＞0(x ∈R )，故a 的取值范围为(－∞，0].(2)证明 由a ＞0，及f ′(x )＝e x －a 可得，函数f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故函数f (x )的最小值为g (a )＝f (ln a )＝e ln a －a ln a －1＝a －a ln a －1，则g ′(a )＝－ln a ， 故当a ∈(0，1)时，g ′(a )＞0，当a ∈(1，＋∞)时，g ′(a )＜0，从而可知g (a )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，又g (1)＝0，故g (a )≤0. (3)证明 当a ＝1时，f (x )＝e x －x －1，由(2)可知，e x －x －1≥0，当且仅当x ＝0时等号成立. ∴当x ≠0时，总有e x ＞x ＋1.于是，可得当x ≠0时，(x ＋1)n ＋1＜(e x )n ＋1＝e (n ＋1)x (n ∈N *). 令x ＋1＝1n ＋1，即x ＝－n n ＋1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＜e －n；令x ＋1＝2n ＋1，即x ＝－n －1n ＋1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n ＋1＜e －(n －1)；令x ＋1＝3n ＋1，即x ＝－n －2n ＋1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫3n ＋1n ＋1＜e －(n －2)；……令x ＋1＝n n ＋1，即x ＝－1n ＋1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＋1＜e －1.对以上各式求和可得：⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3n ＋1n ＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＋1＜e －n ＋e －(n －1)＋e －(n －2)＋…＋e －1＝e －n （1－e n ）1－e ＝e －n －11－e ＝1－e －n e －1＜1e-1＜1.故对任意的正整数n ，都有1n ＋1＋2n ＋1＋3n ＋1＋…＋n n＋1＜(n ＋1)n ＋1.阶段。

专题3.4 幂函数（真题测试）一、单选题1．（2021·福建·高三学业考试）函数y = ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的性质判断函数值、增长特点，即可确定大致图象. 【详解】由0y =，排除B 、D ，根据对应幂函数的性质，第一象限增速逐渐变慢，排除C. 故选：A.2．（2011·上海·高考真题（文））下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．2yxB ．1y x -=C ．2y xD ．13y x =【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C 为偶函数， C. 2yx 在区间(0,)+∞上单调递增函数，故选A ．3.（2021·全国·高考真题（文））下列函数中是增函数的为（ ）A ．()f x x =-B ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x =D ．()f x D【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A ，()f x x =-为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，()2f x x =在(),0-∞为减函数，不合题意，舍.对于D ，()f x R 上的增函数，符合题意， 故选：D.4．（2011·陕西·高考真题（文））函数的图象是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：先找出函数图象上的特殊点（1，1），（8，2），（，），再判断函数的走向，结合图形，选出正确的答案．解：函数图象上的特殊点（1，1），故排除A ，D ； 由特殊点（8，2），（，），可排除C ．故选B ．5．（2007·山东·高考真题（理））设11,1,,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所A ．1,3B ．1,1-C ．1,3-D ．1,1,3-【答案】A 【解析】 【详解】11,2αα=-=时，函数定义域不是R,不合题意； 1,3αα==时，函数y x α=的定义域为R 且为奇函数，合题意，故选A.6．（2019·全国·高考真题（理））若a >b ，则 A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │【答案】C 【解析】 【分析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3x y =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错．【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．7．（2015·湖北·高考真题（理））设x R ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立，则正整数n 的最大值是A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】【详解】因为[]x 表示不超过x 的最大整数．由得，由得，由得，所以，所以， 由得，所以，由得，与矛盾，故正整数n 的最大值是4．8．（2012·山东·高考真题（理））设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是 A ．当0a <时，12120,0x x y y +<+> B ．当0a <时，12120,0x x y y +>+< C ．当0a >时，12120,0x x y y +<+< D ．当0a >时，12120,0x x y y +>+> 【答案】B 【解析】 【详解】令()()f x g x =,可得21ax b x =+． 设21(),F x y ax b x ==+ 根据题意()F x 与直线y ax b =+只有两个交点， 不妨设12x x <，结合图形可知，当0a >时如右图，y ax b =+与()F x 左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点，根据对称性可得12||>x x ，即120->>x x ，此时120x x +<， 21122111,0y y y y x x =>=-∴+>-，同理可得，当0a <时如左图，120x x +>，120y y +< 故选：B ．二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）下列关于幂函数图象和性质的描述中，正确的是（ ） A ．幂函数的图象都过(1,1)点B ．幂函数的图象都不经过第四象限C ．幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种D ．幂函数必定是增函数或减函数中的一种 【答案】AB 【解析】举反例结合幂函数的性质判断即可. 【详解】因为11α=，所以的幂函数都经过(1,1)，故A 正确；当0x >时，0x α>，幂函数的图象都不经过第四象限，故B 正确；12y x =的定义域为[)0,+∞，为非奇非偶函数，故C 错误；1y x=在(),0-∞和()0,∞+上为减函数，但在定义域内不是减函数，故D 错误. 故选：AB10.（2021·全国·高三专题练习）下列关于幂函数y x α=的性质，描述正确的有（ ） A ．当1α=-时函数在其定义域上是减函数 B ．当0α=时函数图象是一条直线 C ．当2α=时函数是偶函数 D ．当3α=时函数在其定义域上是增函数【答案】CD 【解析】 【分析】根据幂函数的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项． 【详解】对于A 选项，1y x=，在(,0)-∞和(0,)+∞上递减，不能说在定义域上递减，故A 选项错误．对于B 选项，0y x =，0x ≠，图像是：直线1y =并且除掉点(0,1)，故B 选项错误．对于C 选项，2yx ，定义域为R ，是偶函数，所以C 选项正确．对于D 选项，3y x =，函数在其定义域上是增函数，所以D 选项正确．故选：CD11．（2022·广东潮州·二模）已知幂函数()f x 的图象经过点4,2，则下列命题正确的有（ ）． A ．函数()f x 的定义域为R B ．函数()f x 为非奇非偶函数C ．过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭且与()f x 图象相切的直线方程为1122y x =+D ．若210x x >>，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出幂函数的解析式，写出函数的定义域、判定奇偶性，即判定选项A 错误、选项B 正确；设出切点坐标，利用导数的几何意义和过点P 求出切线方程，进而判定选项C 正确；平方作差比较大小，进而判定选项D 错误. 【详解】设()f x x α=，将点4,2代入()f x x α=，得24α=，则12α=，即12()f x x =， 对于A ：()f x 的定义域为[)0,+∞，即选项A 错误； 对于B ：因为()f x 的定义域为[)0,+∞， 所以()f x 不具有奇偶性，即选项B 正确；对于C ：因为12()f x x =，所以()f x '=设切点坐标为(0x ，则切线斜率为()0k f x ='0)y x x -，又因为切线过点1(0,)2P ，所以01)2x -，解得01x =， 即切线方程为11(x 1)2y -=-，即1122y x =+，即选项C 正确；对于D ：当120x x <<时，()()212221212[]222f x f x x x x x f +++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎝⎭212024x x +==-<，即()()1212()22f x f x x xf ++<成立，即选项D 错误．故选：BC ．12．（2022·全国·模拟预测）已知实数0,0,a b c R >>∈,且1a b +=,则下列判断正确的是（ ） A ．2212a b +≥B ．22ac bc <C ．()2bb a a >- D ．2111b a -<+ 【答案】AD 【解析】 【分析】利用均值不等式可判断A ；取0c 可判断B ；借助幂函数b y x =的单调性，结合0,1a b <<可判断C ；作差法可判断D 【详解】 由于0,0a b >>，由均值不等式114a b ab +=≥≤，当且仅当12a b ==时等号成立选项A ，22211()2121242a b a b ab ab +=+-=-≥-⨯=，当且仅当12a b ==时等号成立，故A 正确；选项B ，由于R c ∈，当0c 时，22ac bc =，故B 错误；选项C ，由于0,0a b >>，1a b +=，故01,122a a <<<-<，即2a a <-由于01b b y x <<∴=在(0,)+∞单调递增，故()2bb a a <-，故C 错误； 选项D ，2122111b b a a a ----=++，由于0,1220,10a b b a a <<∴--<+>，故21101b a --<+，2111b a -∴<+，故D 正确 故选：AD13．（2022·全国·模拟预测）若幂函数()25ay a a x =--的图像关于y 轴对称，则实数=a ______．【答案】2- 【解析】 【分析】根据幂函数的概念和性质计算即可 【详解】由幂函数可得251a a --=，解得3a =或2a =-，又因为函数图像关于y 轴对称，则a 为偶数，所以2a =-． 故答案为：2-14．（2020·江苏·高考真题）已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (-8)的值是____. 【答案】4- 【解析】 【分析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f - 【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=- 故答案为：4-15．（2014·上海·高考真题（理））若，则满足的取值范围是_____.【答案】(0,1) 【解析】 【详解】根据幂函数的性质，由于1223<，所以当01x <<时2132x x <，当1x >时，2132x x >，因此()0f x <的解集为(0,1). 16．（2022·北京房山·二模）已知函数()3,,.x x a f x x x a ≤⎧=⎨>⎩，若函数()f x 在R 上不是增函数，则a 的一个取值为___________.【答案】-2(答案不唯一，满足1a <-或01a <<即可) 【解析】作出y =x 和y =3x 的图象，数形结合即可得a 的范围，从而得到a 的可能取值． 【详解】y =x 和y =3x 的图象如图所示：∴当1a <-或01a <<时，y =3x 有部分函数值比y =x 的函数值小，故当1a <-或01a <<时，函数()f x 在R 上不是增函数． 故答案为：-2． 四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）幂函数()()22211mm m f xx m --=--在区间()0,∞+上是增函数，求实数m 的取值集合． 【答案】{}1- 【解析】 【分析】解方程211m m --=得到m 的值，再检验即得解. 【详解】解：由题得211m m --=，所以1m =-或2m =．当1m =-时，()2f x x =在()0,∞+上是增函数； 当2m =时，()1f x x -=在()0,∞+上不是增函数，舍去．故所求实数m 的取值集合为{}1-．18．（2020·全国·高三专题练习（理））已知幂函数()()22421mm f x m x -+=-在()0,∞+上单调递增，函数()2g x x k =-. (1)求m 的值；(2)当[]1,2x ∈时，记()(),f x g x 的值域分别为集合,A B ，若A B A ⋃=，求实数k 的取值范围.【答案】(1)0m =； (2)[]0,1. 【解析】 【分析】（1）根据幂函数定义和在第一象限内的单调性可构造方程组求得m ；（2）由一次函数和二次函数单调性可求得,A B ，由并集结果可构造不等式组求得结果. (1)()f x 为幂函数且在()0,∞+上单调递增，()2211420m m m ⎧-=⎪∴⎨-+>⎪⎩，解得：0m =；(2)由（1）知：()2f x x =，∴当[]1,2x ∈时，()[]1,4f x ∈，即[]1,4A =；当[]1,2x ∈时，()[]2,4g x k k ∈--，即[]2,4B k k =--；A B A =，2144k k -≥⎧∴⎨-≤⎩，解得：01k ≤≤，即实数k 的取值范围为[]0,1.19．（2021·新疆·乌鲁木齐市第二十中学高三阶段练习）已知函数23y x =（1）求定义域； （2）判断奇偶性；（3）已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间.【答案】（1）定义域为(),x ∈-∞+∞；（2）偶函数；（3）图像见解析，23y x =的单调增区间是[)0+∞，，单调减区间是(]0-∞，【分析】（1）将函数23y x =改写成y ，即可判断定义域;（2）令23()f x x =()f x -并判断与()f x 的关系即可确定函数的奇偶性；（3）根据23y x =的奇偶性补全图像，根据补全后的图像确定函数的单调区间；【详解】（1）23y x =R;（2）令23()y x f x =23()f x x =(()f x f x ∴-，且定义域关于坐标原点对称，∴函数23y x =为偶函数.（3）因为函数23y x =为偶函数,所以函数23y x =的图像关于y 轴对称， 根据23y x =第一象限的图像补全图像如图所示:根据图像可知，函数23y x =单调增区间是[)0+∞，，单调减区间是(]0-∞，. 20．（2021·福建·上杭一中高三阶段练习）已知幂函数()()225222k k f x m m x -=-+（k ∈Z ）是偶函数，且在0,上单调递增．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()212f x f x -<-，求x 的取值范围；【答案】（1）()2f x x =；（2）()1,1-.【解析】【分析】（1）根据幂函数，偶函数的定义以及题意可知，2221m m -+=，2520k k ->，即可求出,m k ，得到函数()f x（2）由偶函数的性质以及函数的单调性可得()()212f x f x -<-，即212x x -<-，即可解出．【详解】（1）∵2221m m -+=，∴1m =，∵2520k k ->， ∴()502k k <<∈Z ，即1k =或2， ∵()f x 在()0,∞+上单调递增，()f x 为偶函数，∴2k =，即()2f x x =．(2)∵()()()()212212f x f x f x f x -<-⇒-<- ∴212x x -<-，()()22212x x -<-，21x <，∴()1,1x ∈-，即x 的取值范围为()1,1-．21．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()()3m f x x m N -*=∈的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，求满足13233m m f a f a ⎛⎫⎛⎫+-<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的实数a 的取值范围. 【答案】21033a a ⎧<<⎨⎩且43a ⎫≠⎬⎭. 【解析】【分析】根据幂函数()f x 的图象关于y 轴对称，且在(0,)+∞上单调递减，可得30m -<且3m -为偶数，求得1m =，再利用函数2y x 在在0,上为减函数，由偶函数的性质可转化为28233a a +>-求解即可. 【详解】因为函数()f x 在0,上单调递减，所以30m -<，解得3m <. 因为m *∈N ，所以1m =或2.又函数()f x 的图象关于y 轴对称，所以3m -是偶数，而231-=-为奇数，132-=-为偶数，所以1m =，所以()2f x x -=，()f x 在,0上为增函数，在0,上为减函数，所以1113233f a f a ⎛⎫⎛⎫+-<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价于28233a a +>-且8203a -≠， 解得21033a <<且43a ≠. 故实数a 的取值范围为21033a a ⎧<<⎨⎩且43a ⎫≠⎬⎭.. 22．（2021·全国·高三专题练习）已知幂函数()()23122233p p f x p p x--=-+，满足()()24f f <.(1)求函数()f x 的解析式. (2)若函数()()()2g x f x mf x =+，[]1,9x ∈，是否存在实数m 使得()g x 的最小值为0？(3)若函数()()3h x n f x =-+，是否存在实数(),a b a b >，使函数()h x 在[],a b 上的值域为[],a b ？若存在，求出实数n 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】(1)()f x =存在1m =-使得()g x 的最小值为0(3)存在，9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义结合()()24f f <即可得解；（2）由函数()()()2g x f x mf x =+，即()2g x =+令t =记()2k t t mt =+，分12m -≤，132m <-<，32m -≥三种情况讨论即可得出答案； （3）由函数()()3h x n f x n =-+=在定义域内为单调递减函数，若存在实数a ，b （a b <），使函数()h x 在[],a b 上的值域为[],a b ，则n b n a ⎧=⎪⎨=⎪⎩①②，消元可得1n a a =+=+令q =求出q 的范围，即可得解.(1)解：∵()f x 是幂函数，∴得2331p p -+=，解得：1p =或2p =，当1p =时，()1f x x =，不满足()()24f f <， 当2p =时，()f x ()()24f f <，∴故得2p =，函数()f x 的解析式为()f x =(2)解：由函数()()()2g x f x mf x =+，即()2g x =+令t =[]1,9x ∈，∴[]1,3t ∈，记()2k t t mt =+，其对称轴在2m t =-， ①当12m -≤，即2m ≥-时，则()()min 110k x k m ==+=，解得：1m =-； ②当132m <-<时，即62m -<<-，则()2min 024m m k x k ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得：0m =，不满足，舍去； ③当32m -≥时，即6m ≤-时，则()()min 3390k x k m ==+=，解得：3m =-，不满足，舍去； 综上所述，存在1m =-使得()g x 的最小值为0；(3)解：由函数()()3h x n f x n =-+=若存在实数a ，b （a b <），使函数()h x 在[],a b 上的值域为[],a b，则n b n a ⎧=⎪⎨⎪⎩①②， ②-()()33a b a b -=+-+22=-=，1=③，将③代入②得，1n a a ==+q = ∵a b <1=313b a +=++-1b a a =+->，112<，∴102q <≤， 得：2219224n q q q ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭.故得实数n 的取值范围9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦.。

专题3.5 指数与指数函数（真题测试）一、单选题1．（2007·山东·高考真题（理））已知集合{}1,1M =-，11|24,Z 2x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭，则MN =A ．{}1,1-B ．{}1-C ．{}0D ．{}1,0-2．（2022·北京·高考真题）己知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（ ） A ．()()0f x f x B ．()()0f x f x --= C ．()()1f x f x -+=D ．1()()3f x f x --=3．（2012·四川·高考真题（文））函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是 ( )A ．B ．C ．D ．4．（2014·江西·高考真题（文））已知函数f (x )=2,0,2,0x xa x x -⎧⋅≥⎨<⎩(a ∈R )，若((1))1f f -=，则a =（ ） A ．14B ．12C ．1D ．25.（2018·全国·高考真题（文））函数()2e e x xf x x --=的图像大致为 ( )A ．B ．C ．D ．6．（2013·全国·高考真题（文））若存在正数x 使2x （x -a ）＜1成立，则a 的取值范围是 A ．（-∞，+∞）B ．(-2, +∞)C ．(0, +∞)D ．（-1，+∞）7．（2015·山东·高考真题（文））设0.6 1.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是 A ．a b c ＜＜B ．a cb ＜＜ C ．b ac ＜＜D ．b c a ＜＜8．（2014·陕西·高考真题（文））下了函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是A ．()3f x x =B ．()3xf x =C ．()23f x x = D ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭二、多选题9．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）已知a b >，0ab ≠，则（ ） A ．a b >B ．1133a b -->C ．33a b >D ．11a b< 10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示，则()x g x a b =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．（2022·山东潍坊·高三期末）已知函数x x x xe ef xe e，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 是奇函数C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 无最小值，无最大值12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2,0(),2,0x xa x f x a R a x -⎧-+<=∈⎨->⎩，下列结论正确的是（ ） A ．()f x 为奇函数B ．若()f x 在定义域上是增函数，则1a ≤C ．若()f x 的值域为R ，则1a <D ．当1a ≤时，若()(34)0f x f x ++>，则(1,0)(0,)x ∈-+∞ 三、填空题13．（2022·全国·高三专题练习）函数()f x =的定义域为______.14．（2012·山东·高考真题（文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m =-[0,)+∞上是增函数，则a ＝______.15．（2015·山东·高考真题（理））已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b +=_____________.16．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）设函数()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()1f 是函数()f x 的最大值，则实数a 的取值范围为_______．四、解答题17．（2021·新疆·伊宁市第一中学高三期中（理））若(1)()42(1)2x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围.18．（2021·福建龙岩·高三期中）已知()2221x m f x -=++是奇函数. (1)求m 的值；(2)求()f x 的值域.19．（2021·福建·永安市第三中学高中校高三期中）已知指数函数()(0xf x a a =>且1)a ≠的图象过点129⎛⎫ ⎪⎝⎭，．(1)求函数()xf x a =的解析式；(2)已知()()1f x f >，求x 的取值范围；20．（2021·安徽省六安中学高三阶段练习（文））已知函数()()33xf x k a b ⋅=++-(0a >，且1a ≠)是指数函数.(1)求k ，b 的值；(2)求解不等式()()2743f x f x ->-.21．（2021·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习）设()e e x x f x -=-()R x ∈．(1)判断并证明函数()y f x =的奇偶性；(2)解不等式()()22f x f x -≤．22．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()33x xf x -=-．(1)利用函数单调性的定义证明()f x 是单调递增函数；(2)若对任意[]1,1x ∈-，()()24f x mf x ⎡⎤+≥-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．专题3.5 指数与指数函数（真题测试）一、单选题1．（2007·山东·高考真题（理））已知集合{}1,1M =-，11|24,Z 2x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭，则MN =A ．{}1,1-B ．{}1-C ．{}0D ．{}1,0-【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性化简集合N ，然后利用交集的定义运算即得. 【详解】函数2x y =是增函数，则不等式11242x +<<，即112222x -+<< ∴112,x -<+<即21x -<<，所以{}{}|21,Z 1,0N x x x =-<<∈=-，又{}1,1M =-， ∴{}1.M N ⋂=- 故选：B.2．（2022·北京·高考真题）己知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（ ） A ．()()0f x f x B ．()()0f x f x --= C ．()()1f x f x -+= D ．1()()3f x f x --=【答案】C 【解析】 【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误． 【详解】()()1121112121212x x x x xf x f x --+=+=+=++++，故A 错误，C 正确；()()11212121121212122121x x x x x x x xf x f x ----=-=-==-++++++，不是常数，故BD 错误； 故选：C ．3．（2012·四川·高考真题（文））函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是 ( )A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】对a 进行分类讨论，结合指数函数的单调性以及函数图像平移变换，即可得出答案. 【详解】①当1a >时，函数(0,1)x y a a a a =->≠可以看做函数x y a =的图象向下平移a 个单位，由于1a >，则A 错误； 又1x =时，0y a a =-=，则函数(0,1)x y a a a a =->≠过点(1,0)，故B 错误；②当01a <<时，函数(0,1)x y a a a a =->≠可以看做函数x y a =的图象向下平移a 个单位，由于01a <<，则D 错误；又1x =时，0y a a =-=，则函数(0,1)x y a a a a =->≠过点(1,0)，故C 正确； 故选：C4．（2014·江西·高考真题（文））已知函数f (x )=2,0,2,0x xa x x -⎧⋅≥⎨<⎩(a ∈R )，若((1))1f f -=，则a =（ ） A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】A 【解析】 【分析】先求出(1)f -的值，再求((1))f f -的值，然后列方程可求得答案【详解】解：由题意得(1)(1)22f ---==，所以2((1))(2)241f f f a a -==⋅==，解得a =14.故选：A5.（2018·全国·高考真题（文））函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A,1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x ---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．6．（2013·全国·高考真题（文））若存在正数x 使2x （x -a ）＜1成立，则a 的取值范围是 A ．（-∞，+∞） B ．(-2, +∞)C ．(0, +∞)D ．（-1，+∞）【答案】D 【解析】由题意知，存在正数x ，使12xa x >-，所以，而函数12xy x =-在(0,)+∞上是增函数，所以(0)1y y >=-，所以1a >-，故选D.7．（2015·山东·高考真题（文））设0.6 1.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是 A ．a b c ＜＜ B ． a c b ＜＜ C ．b a c ＜＜ D ．b c a ＜＜【答案】C 【解析】 【详解】由0.6x y =在区间(0,)+∞是单调减函数可知， 1.50.600.60.61<<<，又0.61.51>，故选C . 8．（2014·陕西·高考真题（文））下了函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是A ．()3f x x =B ．()3xf x =C ．()23f x x = D ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：A 选项：由()()3f x y x y +=+，()()333()f x f y x y xy =⋅=，得()()()f x y f x f y +≠，所以A 错误；B 选项：由()3x y f x y ++=，()()333x y x y f x f y +=⋅=，得()()()f x y f x f y +=；又函数()3xf x =是定义在R 上增函数，所以B 正确；C 选项：由()()23f x y x y +=+，()()f x f y 2233x y =⋅23()xy =，得()()()f x y f x f y +≠，所以C 错误；D 选项：函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是定义在R 上减函数，所以D 错误；故选B.二、多选题9．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）已知a b >，0ab ≠，则（ ） A ．a b >B ．1133a b -->C ．33a b >D ．11a b< 【答案】BC 【解析】对A ，D 可取反例；对B ，C 可利用函数的单调性判断； 【详解】对A ，取1,2a b ==-，则||||a b >不成立，故A 错误； 对B ，11a b a b >⇒->-，∴1133a b -->，故B 成立；对C ，33a b a b >⇒>，故C 成立； 对D ，取1,1a b ==-，11a b<不成立； 故选：BC10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示，则()x g x a b =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【解析】【分析】依题意可得a 、b 两个数一个大于1，一个大于0且小于1，再分类讨论，结合指数函数的性质判断即可； 【详解】解：令()()()0f x x a x b =--=，解得1x a =、2x b =，根据二次函数图形可知，a 、b 两个数一个大于1，一个大于0且小于1，①当1a >，01b <<时，则()x g x a b =-在定义域上单调递增，且()001g a b b =-=-，即()001g <<，所以满足条件的函数图形为C ；②当1b >，01a <<时，则()x g x a b =-在定义域上单调递减，且()0010g a b b =-=-<，所以满足条件的函数图形为A ； 故选：AC11．（2022·山东潍坊·高三期末）已知函数x x x xe ef x e e，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 是奇函数C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 无最小值，无最大值 【答案】BD 【解析】 【分析】求解0x x e e --≠，可判断A ；利用函数奇偶性的定义可判断B ；比较(1),(1)f f -可判断C ；分离常数得到2211x f x e ，分析单调性及函数值域可判断D【详解】选项A ，0x x e e --≠，解得0x ≠，故()f x 的定义域为{|0}x x ≠，选项A 错误；选项B ，函数定义域关于原点对称，且()()x x x x e ef x f x e e --+-==--，故()f x 是奇函数，选项B 正确；选项C ，()121212121110,(1)011e e e e e ef f e e e e e e ----++++-==<==>----，故(1)(1)f f -<，即()f x 在定义域上不是减函数，选项C 不正确；选项D ，()22212111x x x x x x x e e e f x e e e e --++===+---，令20x t e =>，211y t =+-，由于2x t e =在R 上单调递增，211y t =+-在(0,1),(1,)+∞分别单调递减，故函数()f x 在(,0),(0,)-∞+∞分别单调递减，且x →-∞时，()1f x →-，0x -→时，()f x →-∞，0x +→时，()f x →+∞，x →+∞时，()1f x →，故函数()f x 的值域为(,1)(1,-∞-⋃+∞），无最小值，无最大值，选项D 正确故选：BD12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2,0(),2,0x xa x f x a R a x -⎧-+<=∈⎨->⎩，下列结论正确的是（ ）A ．()f x 为奇函数B ．若()f x 在定义域上是增函数，则1a ≤C ．若()f x 的值域为R ，则1a <D ．当1a ≤时，若()(34)0f x f x ++>，则(1,0)(0,)x ∈-+∞ 【答案】ABD 【解析】 【分析】分段函数奇偶性判断需要分段判断，分段函数的单调性需要列两段分别单调，衔接处单调即可. 【详解】当0x <时，0x ->，()2,()2(2)()x x x f x a f x a a f x ---=-+-=-=--+=-；当0x >时，0x -<，()2,()2()x x f x a f x a f x =--=-+=-．则函数()f x 为奇函数，故A 正确；若()f x 在定义域上是增函数，则0022a a --+≤-，即1a ≤，故B 正确；当0x <时，()2xf x a -=-+在区间(,0)-∞上单调递增，此时值域为(,1)a -∞-；当0x >时，()2x f x a =-在区间()0,∞+上单调递增，此时值域为(1,)a -+∞．要使得()f x 的值域为R ，则11a a ->-，即1a >，故C 错误；当1a ≤时，由于0022a a --+≤-，则函数()f x 在定义域上是增函数，由()(34)0f x f x ++>，得()(34)f x f x >--，则034034x x x x ≠⎧⎪--≠⎨⎪>--⎩解得(1,0)(0,)x ∈-+∞，故D 正确．故选：ABD. 三、填空题13．（2022·全国·高三专题练习）函数()f x =的定义域为______.【答案】[)()0,11,+∞【解析】【分析】结合分式型，二次根号型函数的定义即可求解. 【详解】由题知，021********x xx x x x x ⎧⎧≥-≥≥⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨≠-≠-≠≠⎪⎪⎩⎩⎩且，所以()f x 的定义域为[)()0,11,+∞，故答案为：[)()0,11,+∞.14．（2012·山东·高考真题（文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m =-[0,)+∞上是增函数，则a ＝______.【答案】14【解析】 【详解】当1a >时，有214,a a m -==，此时12,2a m ==，此时()g x = 不合题意.若01a <<，则124,a a m -==，故11,416a m ==，检验知符合题意15．（2015·山东·高考真题（理））已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b +=_____________. 【答案】32-【解析】 【详解】若1a > ，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+= ，此方程组无解； 若01a << ，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=- ，解得1{22a b ==- ，所以32a b +=-. 16．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）设函数()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()1f 是函数()f x 的最大值，则实数a 的取值范围为_______． 【答案】[1,2]【解析】 【分析】由1x >，求得()f x 的范围，再求得||()2x a f x -=的单调性，讨论1a <，1a 时函数()f x 在1x 的最大值，即可得到所求范围． 【详解】解：因为()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，当1x >时()112f x x =-+函数单调递减且()12f x <，当1x ≤时()122x ax af x ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，可得在x a >时函数单调递减，在x a <单调递增，若1a <，1x ，则()f x 在x a =处取得最大值，不符题意； 若1a ，1x ，则()f x 在1x =处取得最大值，且11122a -⎛⎫≥⎪⎝⎭，解得12a ， 综上可得a 的范围是[]1,2． 故答案为：[]1,2 四、解答题17．（2021·新疆·伊宁市第一中学高三期中（理））若(1)()42(1)2x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围. 【答案】[4,8). 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数(1)()42(1)2xa x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则满足114024122a a a a⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪⎛⎫-⨯+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得48a ≤<， 所以实数a 的取值范围[4,8).18．（2021·福建龙岩·高三期中）已知()2221x m f x -=++是奇函数. (1)求m 的值； (2)求()f x 的值域. 【答案】(1)-2 (2)11-（，） 【解析】【分析】（1）因为()f x 为奇函数，且在0x =处有意义，所以()00f =，便可求出m 的值；（2）在（1）的前提下，对于复合函数分解成若干基本初等函数，然后逐个求其值域，从而求出()f x 的值域. (1)因为()f x 为奇函数，所以()00f =，即2022m +=，解得2m =-. 经检验：当2m =-时，()f x 为奇函数； (2)由（1）知()2121xf x -=-+，因为211x -+∈+∞（，）， 所以20221x -∈+（，），于是()11f x ∈-（，），因此()f x 的值域为11-（，）. 19．（2021·福建·永安市第三中学高中校高三期中）已知指数函数()(0xf x a a =>且1)a ≠的图象过点129⎛⎫ ⎪⎝⎭，．(1)求函数()xf x a =的解析式；(2)已知()()1f x f >，求x 的取值范围；【答案】(1)()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)()1,1- 【解析】 【分析】（1）将点129⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入()(0xf x a a =>且1)a ≠，解之即可得出答案；（2）根据指数函数的单调性即可得出答案. (1)解：将点129⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入()(0xf x a a =>且1)a ≠，得：219a =，解得13a =，所以()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；(2)因为1013<<，所以函数()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，由()()1f x f >，得1x <，解得11x -<<， 所以()()1f x f >的解为()1,1-.20．（2021·安徽省六安中学高三阶段练习（文））已知函数()()33xf x k a b ⋅=++-(0a >，且1a ≠)是指数函数.(1)求k ，b 的值；(2)求解不等式()()2743f x f x ->-. 【答案】(1)2k =-，3b = (2)答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的定义列出方程，即可得解；（2）分1a >和01a <<两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解. (1)解：因为()()33x f x k a b =++-(0a >，且1a ≠)是指数函数， 所以31k +=，30b -=， 所以2k =-，3b =； (2)解：由（1）得()xf x a =(0a >，且1a ≠)，①当1a >时，()xf x a =在R 上单调递增，则由()()2743f x f x ->-， 可得2743x x ->-，解得2x <-；②当01a <<时，()xf x a =在R 上单调递减，则由()()2743f x f x ->-， 可得2743x x -<-，解得2x >-，综上可知，当1a >时，原不等式的解集为(),2-∞-； 当01a <<时，原不等式的解集为()2,-+∞.21．（2021·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习）设()e e x xf x -=-()R x ∈．(1)判断并证明函数()y f x =的奇偶性；(2)解不等式()()22f x f x -≤．【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)[]1,2- 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义判断证明即可；（2）根据指数函数单调性以及函数单调性的性质判断()y f x =的单调性，再由单调性去掉f 转化为解一元二次不等式即可求解. (1)()e e x x f x -=-是R 上的奇函数，证明如下：()e e x x f x -=-的定义域为R 关于原点对称，()()()e e e e x x x x f x f x ---=-=--=-，所以()e e x xf x -=-是R 上的奇函数.(2)因为e x y =为R 上的增函数，1ee xxy -==为R 上的减函数， 所以()e e x xf x -=-为R 上的增函数，若()()22f x f x -≤，则22x x -≤即220x x --≤，可得()()210x x -+≤，解得：12x -≤≤，所以不等式()()22f x f x -≤的解集为：[]1,2-.22．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()33x xf x -=-．(1)利用函数单调性的定义证明()f x 是单调递增函数；(2)若对任意[]1,1x ∈-，()()24f x mf x ⎡⎤+≥-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)证明见解析(2)[]4,4- 【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义，取值、作差、整理、定号、得结论，即可得证.（2）令33x x t -=-，根据x 的范围，可得t 的范围，原式等价为()2h t t mt =+，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，只需()min 4h t ≥-即可，分别讨论823m -≤-、88323m -<-<和823m -≥三种情况，根据二次函数的性质，计算求值，分析即可得答案. (1)由已知可得()f x 的定义域为R ， 任取12,x x ∈R ，且12x x <，则()()12f x f x -()()1122121121333331313x x x x x x x x x ---+⎛⎫=---=-+ ⎪⎝⎭，因为130x >，121103x x ++>，21130x x --<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在R 上是单调递增函数． (2)()()()()223333x x x xf x mf x m --⎡⎤+=-+-⎣⎦，令33x x t -=-，则当[]1,1x ∈-时，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()()22f x mf x t mt ⎡⎤+=+⎣⎦．令()2h t t mt =+，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则只需()min 4h t ≥-． 当823m -≤-，即163m ≥时，()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以()min 86484393h t h m ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得256m ≤，与163m ≥矛盾，舍去；当88323m -<-<，即161633m -<<时，()h t 在8,32m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,23m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()2min424m m h t h ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得44m -≤≤；当823m -≥即163m ≤-时，()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()min 86484393h t h m ⎛⎫==+≥- ⎪⎝⎭，解得256m ≥-，与163m ≤-矛盾，舍去． 综上，实数m 的取值范围是[]4,4-．。

滚动测试卷一(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2017某某某某一模)若P={x|x<4},Q={x|x2<4},则()A.P⊆QB.Q⊆PC.P⊆∁R QD.Q⊆∁R P2.不等式-x2+|x|+2<0的解集是()A.{x|-2<x<2}B.{x|x<-2,或x>2}C.{x|-1<x<1}D.{x|x<-2,或x>1}3.若幂函数的图象经过点(3,),则该函数的解析式为()A.y=x3B.y=C.y=D.y=x-14.下列判断错误的是()A.命题“若am2≤bm2,则a≤b”是假命题B.命题“∀x∈R,x3-x2-1≤0”的否定是“∃x0∈R,-1>0”C.“若a=1,则直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的逆否命题为真命题D.命题“p∨q为真命题”是命题“p∧q为真命题”的充分不必要条件5.下列函数中,既是奇函数,又在(0,+∞)内单调递增的是()A.y=sin xB.y=-x2+C.y=x3+3xD.y=e|x|6.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为,则m的取值X围是()A.(0,4]B.C.D.7.设函数f(x)=若f=8,则m=()A.2B.1C.2或1D.8.(2017某某某某一模)已知函数f(x)=e x+e-x,则y=f'(x)的图象大致为()9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且最小正周期为2,当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(-1)+f(-2 017)=()A.0B.C.1D.210.(2017某某某某一模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)+f(1-x)=2.当x>1时,f(x)=,则关于x的方程f(x)+2a=0没有负实根时实数a的取值X围是()A.(-∞,-1]∪B.(0,1)C.D.11.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x>0时,不等式f(x)+x·f'(x)<0成立,若a=30.2·f(30.2),b=(logπ2)·f(logπ2),c=·f,则a,b,c的大小关系为()A.c>b>aB.c>a>bC.b>a>cD.a>c>b12.已知函数f(x)=+sin πx在[0,1)内的最大值为m,在(1,2]上的最小值为n,则m+n=()A.-2B.-1C.1D.2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知曲线f(x)=ln x在点(x0,f(x0))处的切线经过点(0,1),则x0的值为.14.(2017某某,11)已知函数f(x)=x3-2x+e x-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值X围是.15.已知函数f(x)=的值域是[0,2],则实数a的取值X围是.16.已知函数f(x)=x2+,g(x)=-m.若∀x1∈[1,2],∃x2∈[-1,1],使f(x1)≥g(x2),则实数m的取值X围是.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知a∈R,函数f(x)=log2.(1)当a=5时,解不等式f(x)>0;(2)若关于x的方程f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰有一个元素,求a的取值X围;(3)设a>0,若对任意t∈,函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值X围.18.(12分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;(3)求f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 015)的值.19.(12分)如图,在半径为30 cm的四分之一圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC,其中点B 在圆弧上,点A,C在两半径上,现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设矩形的边长AB=x cm,圆柱的体积为V cm3.(1)写出体积V关于x的函数解析式;(2)当x为何值时,才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大?20.(12分)(2017某某某某一模)已知函数f(x)=(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若∀x∈[1,+∞),不等式f(x)>-1恒成立,某某数a的取值X围.21.(12分)已知函数f(x)=,其中a∈R.(1)若a=0,求函数f(x)的定义域和极值.(2)当a=1时,试确定函数g(x)=f(x)-1的零点个数,并证明.22.(12分)已知函数f(x)=2ln x-x2+ax(a∈R).(1)若函数f(x)的图象在x=2处的切线斜率为-1,且不等式f(x)≥2x+m在上有解,某某数m的取值X围;(2)若函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点A(x1,0),B(x2,0),且0<x1<x2,求证:f'<0(其中f'(x)是f(x)的导函数).参考答案滚动测试卷一(第一~三章)1.B解析由P={x|x<4},Q={x|x2<4}={x|-2<x<2},可得∁R P={x|x≥4},∁R Q={x|x≤-2或x≥2},结合选项可知只有Q⊆P成立,故选B.2.B解析由-x2+|x|+2<0,得x2-|x|-2>0,即(|x|+1)(|x|-2)>0,故|x|-2>0,解得x>2或x<-2.3.B解析设幂函数解析式为y=xα,则=3α,故α=,即y=.故选B.4.D解析A中,当m=0时,满足am2≤bm2,但a可以大于b,故命题是假命题,故正确;B显然正确;C中,原命题是真命题,故其逆否命题也为真命题,故正确;D中,p∨q为真命题,可知p,q至少有一个为真,但推不出p∧q为真命题,故错误.故选D.5.C解析选项A,C中函数为奇函数,又函数y=sin x在(0,+∞)内不是单调函数,故选C.6.C解析y=x2-3x-4=.当x=0或x=3时,y=-4,故≤m≤3.7.B解析∵f=8,∴f(4-m)=8.若4-m<1,即3<m,可得5(4-m)-m=8,解得m=2,舍去.若4-m≥1,即m≤3,可得24-m=8,解得m=1.故选B.8.D解析函数f(x)=e x+e-x,则y=f'(x)=e x-e-x,因为y=e x是增函数,y=-是增函数,所以导函数是增函数.故选D.9.D解析∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,且最小正周期为2,当0≤x≤1时,f(x)=x,∴f(-1)=f(1)=1,f(-2017)=f(2017)=f(1)=1,∴f(-1)+f(-2017)=1+1=2.10.A解析∵f(x)满足f(x+1)+f(1-x)=2,∴f(x)的图象关于点(1,1)中心对称,作出其图象如图.∵f(x)+2a=0没有负实根,∴-2a≤1或-2a≥2,解得a≥-或a≤-1.故选A.11.A解析设F(x)=xf(x),当x>0时,F'(x)=[xf(x)]'=f(x)+xf'(x)<0,即函数F(x)在(0,+∞)内单调递减,又y=f(x)在R上是偶函数,则F(x)在R上是奇函数,从而F(x)在R上单调递减,又30.2>1,0<logπ2<1,log2<0,即30.2>logπ2>log2,所以F(30.2)<F(logπ2)<F,即a<b<c.12.D解析可知f(x)=+sinπx=1++sinπx.记g(x)=+sinπx,则当x∈[0,1)时,g(2-x)=+sinπ(2-x)=-sinπx=-=-g(x),即在区间[0,1)∪(1,2]上,函数f(x)关于点(1,1)中心对称,故m+n=2.13.e2解析因为函数f(x)的导数为f'(x)=,所以切线斜率k=f'(x0)=,所以切线方程为y-ln x0=(x-x0).因为切线过点(0,1),所以代入切线方程得ln x0=2,解得x0=e2.14.解析因为f(-x)=(-x)3-2(-x)+e-x-=-f(x),所以f(x)为奇函数.因为f'(x)=3x2-2+e x+e-x≥3x2-2+2≥0(当且仅当x=0时等号成立),所以f(x)在R上单调递增.因为f(a-1)+f(2a2)≤0可化为f(2a2)≤-f(a-1),即f(2a2)≤f(1-a),所以2a2≤1-a,2a2+a-1≤0,解得-1≤a≤,故实数a的取值X围是.15.[1,]解析先作出函数f(x)=log2(1-x)+1,-1≤x<0的图象,再研究f(x)=x3-3x+2,0≤x≤a的图象.由f(x)=x3-3x+2(0≤x≤a)可知f'(x)=3x2-3=0,得x=1(x=-1舍去).由f'(x)>0,得x>1;由f'(x)<0,得0<x<1.故当x=1时,f(x)在x∈[0,a]上有最小值f(1)=0,又f()=2.所以1≤a≤.16.解析∀x1∈[1,2],∃x2∈[-1,1],使f(x1)≥g(x2),只需f(x)=x2+在[1,2]上的最小值大于等于g(x)=-m在[-1,1]上的最小值.因为f'(x)=2x-≥0在[1,2]上恒成立,且f'(1)=0,所以f(x)=x2+在[1,2]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=12+=3.因为g(x)=-m在[-1,1]上单调递减,所以g(x)min=g(1)=-m,所以-m≤3,即m≥-.17.解(1)由log2>0,得+5>1,解得x∈∪(0,+∞).(2)+a=(a-4)x+2a-5,(a-4)x2+(a-5)x-1=0,当a=4时,x=-1,经检验,满足题意.当a=3时,x1=x2=-1,经检验,满足题意.当a≠3且a≠4时,x1=,x2=-1,x1≠x2.x1是原方程的解当且仅当+a>0,即a>2;x2是原方程的解当且仅当+a>0,即a>1.于是满足题意的a∈(1,2].综上,a的取值X围为(1,2]∪{3,4}.(3)当0<x1<x2时,+a>+a,log2>log2,所以f(x)在(0,+∞)内单调递减.函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值分别为f(t),f(t+1).f(t)-f(t+1)=log2-log2≤1即at2+(a+1)t-1≥0,对任意t∈成立.因为a>0,所以函数y=at2+(a+1)t-1在区间上单调递增,当t=时,y有最小值a-, 由a-≥0,得a≥.故a的取值X围为.18.(1)证明因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x).所以f(x)是周期为4的周期函数.(2)解当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2].由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,又f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-2x-x2,所以f(x)=x2+2x.又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],所以f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期为4的周期函数,所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.从而求得当x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8. (3)解f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又f(x)是周期为4的周期函数,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015)=0.所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2015)=0.19.解(1)连接OB,因为AB=x cm,所以OA=cm.设圆柱的底面半径为r cm,则=2πr,即4π2r2=900-x2,所以V=πr2x=π··x=,其中0<x<30.(2)由(1)知V=(0<x<30),则V'=.由V'==0,得x=10,可知V=在(0,10)内是增函数,在(10,30)内是减函数.所以当x=10时,V有最大值.20.解(1)f'(x)=,当Δ=4+8a≤0,即a≤-时,x2-2x-2a≥0,f'(x)≥0,∴函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.当a>-时,令x2-2x-2a=0,解得x1=1-,x2=1+.∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,1-)和(1+,+∞),单调递减区间为(1-,1+).(2)∵f(x)>-1⇔>-1⇔2a>x2-e x,∴由条件知,2a>x2-e x对∀x≥1成立.令g(x)=x2-e x,h(x)=g'(x)=2x-e x,∴h'(x)=2-e x.当x∈[1,+∞)时,h'(x)=2-e x≤2-e<0,∴h(x)=g'(x)=2x-e x在[1,+∞)上单调递减,∴h(x)=2x-e x≤2-e<0,即g'(x)<0,∴g(x)=x2-e x在[1,+∞)上单调递减,∴g(x)=x2-e x≤g(1)=1-e,故f(x)>-1在[1,+∞)上恒成立,只需2a>g(x)max=1-e,∴a>,即实数a的取值X围是.21.解(1)当a=0时,函数f(x)=的定义域为{x|x∈R,且x≠-1},f'(x)=.令f'(x)=0,得x=0.当x变化时,f'(x)和f(x)的变化情况如下:x(-∞,-1) (-1,0) 0 (0,+∞)f'(x) --0 +f(x) 单调递减单调递减极小值单调递增所以f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(-1,0);单调递增区间为(0,+∞).故当x=0时,函数f(x)有极小值f(0)=1.函数f(x)无极大值.(2)函数g(x)存在两个零点.证明过程如下:由题意,函数g(x)=-1.因为x2+x+1=>0,所以函数g(x)的定义域为R.求导,得g'(x)=,令g'(x)=0,得x1=0,x2=1,当x变化时,g(x)和g'(x)的变化情况如下:x(-∞,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞)g'(x) +0 -0 +g(x) 单调递增极大值单调递减极小值单调递增故函数g(x)的单调递减区间为(0,1);单调递增区间为(-∞,0),(1,+∞).当x=0时,函数g(x)有极大值g(0)=0;当x=1时,函数g(x)有极小值g(1)=-1.因为函数g(x)在(-∞,0)内单调递增,且g(0)=0,所以对于任意x∈(-∞,0),g(x)≠0.因为函数g(x)在(0,1)内单调递减,且g(0)=0,所以对于任意x∈(0,1),g(x)≠0.因为函数g(x)在(1,+∞)内单调递增,且g(1)=-1<0,g(2)=-1>0,所以函数g(x)在(1,+∞)内有且仅有一个x0,使得g(x0)=0,故函数g(x)存在两个零点(即0和x0).22.(1)解由f'(x)=-2x+a,可知切线的斜率k=f'(2)=a-3=-1,故a=2.因此f(x)=2ln x-x2+2x.由f(x)≥2x+m,得m≤2ln x-x2.∵不等式f(x)≥2x+m在上有解,∴m≤(2ln x-x2)max.令g(x)=2ln x-x2,则g'(x)=-2x=.∵x∈,∴当g'(x)=0时,x=1.当<x<1时,g'(x)>0;当1<x<e时,g'(x)<0.故g(x)在x=1处取得最大值g(1)=-1,因此m≤-1,即m的取值X围为(-∞,-1). (2)证明∵f(x)的图象与x轴交于两个不同的点A(x1,0),B(x2,0),∴方程2ln x-x2+ax=0的两个根为x1,x2,∴∴a=(x1+x2)-.又f'(x)=-2x+a,∴f'-(x1+x2)+a=.下证<0,即证+ln<0.设t=,∵0<x1<x2,∴0<t<1.即证μ(t)=+ln t<0在t∈(0,1)内恒成立,∵μ'(t)=,又0<t<1,∴μ'(t)>0,∴μ(t)在(0,1)内是增函数,∴μ(t)<μ(1)=0, 从而知+ln<0,故<0,即f'<0成立.。

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（真题测试）一、单选题1．（2021·河北·沧县中学高一阶段练习）函数()()()[]224,,21,2,2,1x x x f x x x ∞∞⎧--+∈--⋃+⎪=⎨-+∈-⎪⎩的值域为（ ）A ．(],4∞-B ．(],2-∞C ．[)1,+∞D ．(),4-∞【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数的性质求解. 【详解】解：()()()[]224,,21,2,2,1x x x f x x x ∞∞⎧--+∈--⋃+⎪=⎨-+∈-⎪⎩, 当[]2,1x ∈-，()[]21,4f x x =-+∈，当()()1,,2x ∈+∞⋃-∞-，()()2154f x x =-++<，所以()(,4]∈-∞f x ， 故选：A2．（2008·江西·高考真题（文））已知函数2()2(4)4f x x m x m =+-+-，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 A ．[4,4]- B ．(4,4)-C ．(,4)-∞D ．(,4)-∞-【答案】C 【解析】 【详解】当2160m ∆=-<时，显然成立当4,(0)(0)0m f g ===时，显然不成立； 当24,()2(2),()4m f x x g x x =-=+=-显然成立；当4m <-时12120,0x x x x +，则()0f x =两根为负，结论成立故4m <,故选C.3．（2014·北京·高考真题（文））加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足函数关系p=at 2+bt+c （a ，b ，c 是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟【答案】B 【解析】 【详解】由图形可知，三点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函数2p at bt c =++的图象上，所以930.7{1640.82550.5a b c a b c a b c ++=++=++=，解得0.2, 1.5,2a b c =-==-，所以20.2 1.52p t t =-+-=215130.2()416t --+，因为0t >，所以当153.754t ==时，p 取最大值， 故此时的t=3.75分钟为最佳加工时间，故选B.4．（2022·河南·焦作市第一中学高二期中（文））设p ：二次函数()()210f x ax ax a =++≠的图象恒在x 轴的上方，q ：关于x 的方程22210x ax a -+-=的两根都大于－1，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】 由p 可得20Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，由q 可得1111a a ->-⎧⎨+>-⎩，进而判断两集合关系，即可得到答案. 【详解】由p ，则2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<；由q ，方程22210x ax a -+-=的两根为11x a =-，21x a =+，则1111a a ->-⎧⎨+>-⎩，解得0a >，因为{}04a a << {}0a a > ，所以p 是q 的充分不必要条件， 故选：A5．（2022·陕西·长安一中高一期中）设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，(1)1f -=-．若函数()221f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，则当[1,1]a ∈-时，t 的取值范围是（ ） A ．22t -≤≤B ．1122t -≤≤C ．2t ≤-，或0=t ，或2t ≥D ．12t ≤-，或0=t ，或12t ≥【答案】C 【解析】 【分析】求出函数()f x 在[1,1]-上的最大值，再根据给定条件建立不等关系，借助一次型函数求解作答. 【详解】因奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，(1)1f -=-，则max ()(1)(1)1f x f f ==--=， 依题意，[1,1]a ∈-，22211()20t at g a ta t -+≥⇔=-+≥恒成立，则有22(1)20(1)20g t t g t t ⎧-=+≥⎨=-≥⎩，解得2t ≤-或0=t 或2t ≥， 所以t 的取值范围是2t ≤-或0=t 或2t ≥. 故选：C6．（2016·浙江·高考真题（文））已知函数f(x)=x 2+bx ，则“b ＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由题意知222()()24b b f x x bx x =+=+-，最小值为24b -．令2=+t x bx ，则2222(())()(),244b b b f f x f t t bt t t ==+=+-≥-，当0b <时，(())f f x 的最小值为24b-，所以“0b <”能推出“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”；当0b =时，4(())=f f x x 的最小值为0，()f x 的最小值也为0，所以“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”不能推出“0b <”．故选A ．7．（2022·广东佛山·二模）设,,R a b c ∈且0a ≠，函数2(),()(2)()g x ax bx c f x x g x =++=+，若()()0f x f x +-=，则下列判断正确的是（ ） A ．()g x 的最大值为-a B ．()g x 的最小值为-a C ．()()22g x g x +=- D ．()()2g x g x +=-【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，用a 表示b ，c ，再结合二次函数的性质求解作答. 【详解】依题意，232()(2)()(2)(2)2f x x ax bx c ax a b x b c x c =+++=+++++，因()()0f x f x +-=，则()f x 是奇函数，于是得2020a b c +=⎧⎨=⎩，即2,0b a c =-=， 因此，22()2(1)g x ax ax a x a =--=-，而0a ≠，当0a >时，()g x 的最小值为-a ，当0a <时，()g x 的最大值为-a ，A ，B 都不正确；2(2)(1)g x a x a +=+-，2(2)(1)g x a x a -=-+-，22()(1)(1)g x a x a a x a -=---=+-，即()()22g x g x +≠-，()()2g x g x +=-，因此，C 不正确，D 正确. 故选：D8．（2022·浙江金华第一中学高一阶段练习）当11x -时，21ax bx c ++恒成立，则（ ）A ．当2a =时，||||1b c +=B ．当2a =时，||||2b c +=C ．当1b =时，||0a c +=D ．当1b =时，||||0a c +=【答案】AC 【解析】 【分析】先举出反例，排除BD 选项，对于A 选项，根据绝对值三角不等式，得到11b -≤≤，31c -≤≤-，再根据14b f ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭得到288c b ≥-，综合得到88c =-，288b -=-，求出1c =-，0b =，从而判断出A 正确；D 选项，利用类似方法得到0a c +=，验证后得到结论. 【详解】当2a =时，221x bx c ++在11x -上恒成立，可取0,1b c ==-，验证可知符合题意，此时2b c +≠，B 错误；当1b =时，21ax x c ++在11x -上恒成立，可取11,44a c ==-，验证可知符合题意，故D 错误；对于A 选项，令()22f x x bx c =++，必有()()11,11f f ≤-≤，即21,21b c b c ++≤-+≤，则222222b c b c b c b c b ≥+++-+≥++-+-=， 解得：11b -≤≤，则()f x 的对称轴1,144b x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，同理：2222222b c b c b c b c c ≥+++-+≥+++-+=+， 所以21c +≤，解得：31c -≤≤-，于是()1f x ≤要满足()()28114811212111b c b f f b c b c f ⎧⎧⎛⎫--≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪-≤⇒-+≤⎨⎨⎪⎪++≤≤⎪⎪⎪⎪⎩⎩①②③，由①知：288c b ≥-，因为11b -≤≤，故2888c b ≥-≥-④， 因为31c -≤≤-所以88c ≤-⑤，综合④⑤，可知：88c =-， 解得：1c =-，此时288b -=-，解得：0b =，所以()221f x x =-，经验证满足题意，且||||1b c +=，A 正确；对于C 选项，令()2g x ax x c =++，由()111g a c =++≤，()111g a c -=-+≤可得：2002a c a c -≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，故0a c +=， 则()2g x ax x a =+-，所以211ax x a -≤+-≤恒成立，即211x ax a x --≤-≤-，易知：1122a -≤≤即可，故C 正确 故选：AC 【点睛】对于含有绝对值不等式的二次不等式问题，要充分考虑函数图象，以及对称轴和端点值的取值范围，结合绝对值三角不等式进行求解. 二、多选题9．（2021·江西·丰城九中高二阶段练习）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为1x =，点B 坐标为()10-，，则下面结论中正确的是（ ） A ．20a b += B ．420a b c -+＜C ．240b ac -＞D ．当0y ＜时，1x -＜或4x ＞【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和二次函数的性质，可以判断各个小题的结论是否成立，即可求出答案.【详解】因为二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象的对称轴为1x =，所以12bx a=-=得20a b +=，故A 正确； 当2x =-时，420y a b c =-+＜，故B 正确；该函数图象与x 轴有两个交点，则240b ac -＞，故C 正确；因为二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象的对称轴为1x =，点B 坐标为()10-，，所以点A 的坐标为()3,0，所以当0y ＜时，1x -＜或x 3＞，故D 错误. 故选：ABC.10．（2022·全国·模拟预测）已知二次函数()()241230f x mx mx m m =-+-<，若对任意12x x ≠，则（ ）A ．当124x x +=时，()()12f x f x =恒成立B ．当124x x +>时，()()12f x f x <恒成立C ．0x ∃使得()00f x ≥成立D ．对任意1x ，2x ，均有()()831,2i f x m i ≤-=恒成立 【答案】AD 【解析】 【分析】二次函数开口向下，对称轴为2x =，结合二次函数的性质对选项逐一判断即可. 【详解】依题意，二次函数()()241230f x mx mx m m =-+-<的对称轴为422-=-=mx m. 因为0m <，所以其函数图象为开口向下的抛物线，对于A 选项，当124x x +=时，1x ，2x 关于直线2x =对称， 所以()()12f x f x =恒成立，所以A 选项正确；对于B 选项，当124x x +>，若12x x >，则不等式可化为1222x x ->-， 所以()()12f x f x <；若12x x <，则不等式可化为2122x x ->-，所以()()21f x f x <，所以B 选项错误； 对于C 选项，因为0m <，所以()()224412332120m m m m m ∆=---=-+<，所以二次函数()()241230f x mx mx m m =-+-<的图象开口向下，且二次函数与x 轴无交点，所以不存在0x 使得()00f x ≥成立，所以C 选项错误；对于D 选项，()()max 24812383f x f m m m m ==-+-=-，所以对任意1x ，2x ，均有()()831,2i f x m i ≤-=恒成立，所以D 选项正确， 故选：AD.11．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．()30-，B ．(]30-，C ．()31--，D ．()3∞-+，【答案】AC 【解析】 【分析】先求命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题的等价条件，再结合充分不必要的定义逐项判断即可.【详解】因为23,208x R kx kx ∀∈+-<为真命题，所以0k =或230k k k <⎧⎨+<⎩30k ⇔-<≤， 所以()30-，是命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题充分不必要条件，A 对， 所以(]30-，是命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题充要条件，B 错， 所以()31--，是命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题充分不必要条件，C 对， 所以()3∞-+，是命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题必要不充分条件，D 错， 故选：AC12．（2021·江苏·高一单元测试）已知函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，且对于()()y f x x R =∈，当12,(,0)x x ∞∈-时，()()12210f x f x x x -<-恒成立，若()()2221f ax f x <+对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的范围可以是下面选项中的（ ）A ．()B ．(),1-∞C ．(0D ．)+∞【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意求得函数()f x 为偶函数，且在()0-∞，上为减函数，在()0+∞，上为增函数，把不等式转化为2221ax x <+，得到不等式4224(44)10x a x +-+>恒成立，设20t x =≥，令()224(44)1g t t a t =+-+，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数()1y f x =-的图象关于1x =对称， 可得函数()f x 关于y 轴对称，即()f x 为偶函数，又当12,(,0)x x ∞∈-时，()()12210f x f x x x -<-恒成立，所以()f x 在()0-∞，上为减函数，则()f x 在()0+∞，上为增函数， 又因为()()2221f ax f x <+，所以2221ax x <+，即22424441a x x x <++恒成立，即4224(44)10x a x +-+>恒成立，设20t x =≥，令()224(44)1g t t a t =+-+，即()0g t >在区间[0,)+∞上恒成立，当2102a t -=≤时，即11a -≤≤时，()g t 在[0,)+∞为单调递增函数，则满足()min (0)10g t g ==>，符合题意；当当2102a t -=>时，即1a <-或1a >时，要使得()0g t >在区间[0,)+∞上恒成立，则满足22(44)160a ∆=--<，解得a <0a ≠，即1a <<-或1a <<综上可得，实数a 的取值范围是(， 结合选项，选项A 、C 符合题意. 故选：AC.三、填空题13．（2012·江苏·高考真题）已知函数的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为__________． 【答案】9． 【解析】 【详解】∵f(x)＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，∴b －24a ＝0，∴f(x)＝x 2＋ax ＋14a 2＝12x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2.又∵f(x)＜c 的解集为(m ，m ＋6)，∴m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋24a－c ＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得()226{64m a a m m c +=-+=-解得c ＝9.14．（2022·天津·耀华中学二模）已知不等式28(8)0x x a a -+-<的解集中恰有五个整数，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】[)(]1,26,7⋃ 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合已知分类讨论进行求解即可. 【详解】28(8)0()[(8)]0x x a a x a x a -+-<⇒---<，当4a =时，原不等式化为2(4)0x -<，显然x ∈∅，不符合题意； 当4a >时，不等式的解集为8a x a -<<，其中解集中必有元素4，若五个整数是0,1,2,3,4时，可得18045a a -≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集，若五个整数是1,2,3,4,5时，08156a a ≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集，若五个整数是2,3,4,5,6时，18267a a ≤-<⎧⎨<≤⎩67a ⇒<≤，若五个整数是3,4,5,6,7时，28378a a ≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集，若五个整数是4,5,6,7,8时，38489a a ≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集；当4a <时，不等式的解集为8a x a <<-，其中解集中必有元素4，若五个整数是0,1,2,3,4时，可得10485a a -≤<⎧⎨<-≤⎩，此时解集为空集，若五个整数是1,2,3,4,5时，01586a a ≤<⎧⎨<-≤⎩，此时解集为空集， 若五个整数是2,3,4,5,6时，1212687a a a ≤<⎧⇒≤<⎨<-≤⎩， 若五个整数是3,4,5,6,7时，23788a a ≤<⎧⎨<-≤⎩，此时解集为空集， 五个整数是4,5,6,7,8时，38489a a ≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集， 故答案为：[1,2)(6,7].15．（2015·湖北·高考真题（文））a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()h a . 当=a _________时，()h a 的值最小.【答案】2．【解析】【详解】因为函数2()||f x x ax =-，所以分以下几种情况对其进行讨论：①当0a ≤时，函数22()f x x ax x ax =-=-在区间[0,1]上单调递增，所以max ()()1f x g a a ==-；②当02a <<时，此时22()()2224a a a a f a =-⨯=，(1)1f a =-，而22(2)(1)2044a a a +--=-<，所以max ()()1f x g a a ==-； ③当22a ≤<时，22()f x x ax x ax =-=-+在区间(0,)2a 上递增，在(,1)2a 上递减．当2a x =时，()f x 取得最大值2()24a a f =； ④当2a ≥时，22()f x x ax x ax =-=-+在区间[0,1]上递增，当1x =时，()f x 取得最大值(1)1f a =-，则()21,2{,2241,2a a a h a a a a -<=≤<-≥在(,2)-∞上递减，2,)+∞上递增，即当2a =时，()g a 的值最小．故答案为：2．16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知()283f x ax x =++，对于给定的负数a ，有一个最大的正数()M a ，使得()0,x M a ∈⎡⎤⎣⎦时，都有()5f x ≤，则()M a 的最大值为___________.【解析】【分析】二次函数配方得到()f x 的含有参数的最大值，研究二次函数最值与5的大小关系，分类讨论，求出()M a 的最大值.【详解】()22416833f x ax x a x a a ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭，当1635a ->，即80a -<<时，要使()5f x ≤在()0,x M a ∈⎡⎤⎣⎦上恒成立，要使()M a 取得最大值，则()M a 只能是2835ax x ++=的较小的根，即()M a =当1635a-≤，即8a ≤-时，要使()M a 取得最大值，则()M a 只能是2835ax x ++=-的较大的根，即()M a =当80a -<<时，()12M a ==<，当8a ≤-时，()M a =()M a .四、解答题17．（2022·山西运城·高二阶段练习）已知函数2()2(0)f x ax ax b a =-+>的定义域为R ，且在区间[0,3]上有最大值5，最小值1．(1)求实数a ，b 的值；(2)若函数()()22g x f x mx m =-+-，求()0>g x 的解集．【答案】(1)1,2a b ==(2)答案见解析【解析】【分析】（1）由二次函数的性质可知函数在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，则()()11,35,f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩从而可求出a ，b 的值，（2）由（1）得2()(2)2(2)()g x x m x m x x m =-++=--，然后分2m =，2m >和2m <三种情况解不等式(1)∵22()2(1)(0)f x ax ax b a x b a a =-+=-+->，在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，∴()()11,35,f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩即21,965,a a b a a b -+=⎧⎨-+=⎩解得1,2.a b =⎧⎨=⎩ (2)由（1）知2()(2)2(2)()g x x m x m x x m =-++=--，①2m =时，()0>g x 的解集为{}2x x ≠；②2m >时，()0>g x ，则x m >或2m <，故2m >时，()0>g x 的解集为{x x m >或2}x <；③2m <时，()0>g x ，则2x >或x m <，故2m <时，()0>g x 的解集为{2x x >或}x m <．综上，当2m =时，解集为{}2x x ≠；当2m >时，解集为{x x m >或2}x <；当2m <时，解集为{2x x >或}x m <． 18．（2015·浙江·高考真题（理））已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是()f x 在区间[1,1]-上的最大值.（1）证明：当2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤，求a b +的最大值.【答案】（1）详见解析；（2）3.【解析】【详解】（1）分析题意可知()f x 在[1,1]-上单调，从而可知{}(,)max (1),(1)M a b f f =-，分类讨论a 的取值范围即可求解.；（2）分析题意可知,0{,0a b ab a b a b ab +≥+=-<，再由(,)2M a b ≤可得1(1)2a b f ++=≤，1(1)2a b f -+=-≤，即可得证.试题解析：（1）由22()()24a a f x xb =++-，得对称轴为直线2a x =-，由2a ≥，得 12a -≥，故()f x 在[1,1]-上单调，∴{}(,)max (1),(1)M a b f f =-，当2a ≥时，由 (1)(1)24f f a --=≥，得{}max (1),(1)2f f -≥，即(,)2M a b ≥，当2a ≤-时，由(1)(1)24f f a --=-≥，得{}max (1),(1)2f f --≥，即(,)2M a b ≥，综上，当2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）由(,)2M a b ≤得1(1)2a b f ++=≤，1(1)2a b f -+=-≤，故3a b +≤，3a b -≤，由,0{,0a b ab a b a b ab +≥+=-<，得3a b +≤，当2a =，1b =-时，3a b +=，且221x x +-在[1,1]-上的最大值为2，即(2,1)2M -=，∴a b +的最大值为3.19．（2014·辽宁·高考真题（文））设函数()211f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（1）求M ；（2）当x M N ∈⋂时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤. 【答案】（1）4|03M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）详见解析. 【解析】【详解】试题分析：（1）由所给的不等式可得当1x ≥时，由()331f x x =-≤，或 当1x <时，由()11f x x =-≤，分别求得它们的解集，再取并集，即得所求．（2）由4g x ≤（） ，求得N ，可得3{|0}4M N x x ⋂=≤≤．当x ∈M∩N 时，f （x ）=1-x ，不等式的左边化为211()42x --，显然它小于或等于14，要证的不等式得证． （1）33,[1,)(){1,(,1)x x f x x x -∈+∞=-∈-∞ 当1x ≥时，由()331f x x =-≤得43x ≤，故413x ≤≤； 当1x <时，由()11f x x =-≤得0x ≥，故01x ≤<；所以()1f x ≤的解集为4{|0}3M x x =≤≤.（2）由2()16814g x x x =-+≤得2116()4,4x -≤解得1344x -≤≤，因此13{|}44N x x =-≤≤，故3{|0}4M N x x ⋂=≤≤. 当x M N ∈⋂时，()1f x x =-，于是22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +=+2111()(1)()424xf x x x x ==-=--≤. 20．（2021·河北·沧县中学高一阶段练习）已知二次函数()()223R f x x kx k =-+∈．(1)若()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，求实数k 的取值范围；(2)若()2f x ≥在()0,x ∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)1k ≤(2)1k ≤【解析】【分析】（1）利用二次函数的单调性求解；（2）将()2f x ≥在()0,x ∈+∞上恒成立，转化为12k x x≤+在()0,x ∈+∞恒成立求解． (1)解：因为()f x 在()1,x ∈+∞单调递增，所以()212k --≤， 解得1k ≤；(2)因为()2f x ≥在()0,x ∈+∞上恒成立，所以2210x kx -+≥在()0,x ∈+∞恒成立， 即12k x x≤+在()0,x ∈+∞恒成立．令()1g x x x =+，则()12g x x x =+≥=， 当且仅当1x =时等号成立．所以1k ≤．21．（2021·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第1年到第n 年(*)n ∈N 花在该台运输车上的维护费用总计为2(5)n n +万元，该车每年运输收入为25万元.(1)该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）(2)若该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由.【答案】(1)3年(2)方案①较为合算【解析】【分析】（1）由22549(5)0n n n --+≥，能求出该车运输3年开始盈利.（2）方案①中，22549(5)4920()6n n n n n n--+=-+≤.从而求出方案①最后的利润为59（万)；方案②中，2222549(5)2049(10)51y n n n n n n =--+=-+-=--+，10n =时，利润最大，从而求出方案②的利润为59（万)，比较时间长短，进而得到方案①较为合算.(1)由题意可得22549(5)0n n n --+≥，即220490n n -+≤，解得1010n ≤≤3n ∴≥，∴该车运输3年开始盈利.；(2)该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，22549(5)4920()6n n n n n n--+=-+≤， 当且仅当7n =时，取等号，∴方案①最后的利润为：25749(4935)1759⨯--++=（万)；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，2222549(5)2049(10)51y n n n n n n =--+=-+-=--+，10n ∴=时，利润最大，∴方案②的利润为51859+=（万)，两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短， ∴方案①较为合算.22．（2009·江苏·高考真题）设a 为实数，函数2()2()f x x x a x a =+--.(1)若(0)1f ≥，求a 的取值范围；(2)求()f x 的最小值；(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.【答案】（1） （2）22min 2,0(){2,03a a f x a a -≥=<(3) 当26(,)22a ∈时，解集为(,)a +∞;当62(,)22a ∈--时，解集为223232(,][,)33a a a a a --+-⋃+∞; 当[a ∈时，解集为)+∞. 【解析】【详解】(3)。